chuyên đề phương trình hệ phương trình lớp 10

B tr kin thc Toỏn 10CB Ti liu tng min phớ cho hc sinh 12|2010
Biờn son: gv ng Trung Hiu www.gvhieu.wordpress.com 0939239628 Phiờn bn 1.0
1
B
B




t
t
r
r




k
k
i
i


n
n


t
t
h
h

c
c
,
,


c
c
h
h








:
:


P
P
H
H

N
N
G
G


T
T
R
R
è
è
N
N
H
H






H
H

P
P
H
H




N
N
G
G


T
T
R
R
è
è
N
N
H
H


A. PHNG TRèNH
I. MT S PHNG TRèNH THNG GP
1. Phng trỡnh tớch:
Mt v ca phng trỡnh c to thnh bi tớch cỏc biu thc, hm s v cũn li bng 0.

Vớ d:
().()0
fxgx
=
;
().().()0
fxgxhx
=

Cỏch gii:
()0
().()0
()0
fx
fxgx
gx
=
ộ
=
ờ
=
ở
;
()0
().().()0()0
()0
fx
fxgxhxgx
hx
=

ộ
ờ
==
ờ
ờ
=
ở

Vớ d: gii phng trỡnh
2
(3)(32)0
xxx
+-+=

Gii:
2
2
3
30
(3)(32)01
320
2
x
x
xxxx
xx
x
=-
ộ
+=

ộ
ờ
+-+==ị
ờ
ờ
-+=
ở
ờ
=
ở
tp nghim
{3;1;2}
T
=-

2. Phng trỡnh cú cha n mu
gii phng trỡnh loi ny, ta tin hnh:
t iu kin > Quy ng > B mu > gii phng trỡnh tỡm nghim > kim tra k > kt lun
Vớ d: gii phng trỡnh
3
4
213
xx
xx
-
+=
-+
(1)
Gii: iu kin
21012

303
xx
xx
-ạạ
ỡỡ

ớớ
+ạạ-
ợợ

()
222
2
(3)(3)(21)4(21)(3)
1
(21)(3)(21)3(21)(3)
(3)(3)(21)4(21)(3)
9282012
21501
52130
10
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxx
xxx
-+ +
+=
-+-+-+
ị-++-=-+

-+-=+-
-
+-==

Kim tra iu kin ta thy c hai nghim tha. Vy tp nghim
2150121501
;
1010
T
ỡỹ
-+
ùù
=
ớý
ùù
ợỵ

3. Phng trỡnh cú n trong du giỏ tr tuyt i
Phng phỏp chung l kh du giỏ tr tuyt i bng cỏch da vo
,0
||
,0
xx
x
xx

ỡ
=
ớ
-<

ợ

Mt s dng mu mc thng gp:
ã
22
0
0
||
()()0
B
B
AB
ABAB
AB


ỡ
ỡ
=
ớớ
-+=
=
ợ
ợ


ã
22
||||()()0
ABABABAB

==-+=

Vớ d 1: gii phng trỡnh
2
|54|4
xxx
-+=+
(*)
Núi chung l ta khụng cn
gii iu kin
Tuy nhiờn, nu iu kin
d gii, thỡ nờn gii ra c
th, khi cú nghim so
sỏnh cho nhanh.
Bổ trợ kiến thức Toán 10CB “Tài liệu tặng miễn phí cho học sinh” 12|2010
Biên soạn: gv Đặng Trung Hiếu – www.gvhieu.wordpress.com – 0939239628 – Phiên bản 1.0
2
Giải:
( )
( )
( )
( )
( )( )
22
22
22
22
404
4
(*)

6480
5445440
xx
x
xxxx
xxxxxx
+³³-
ìì
³-
ì
ïïï
ÛÛÛ
ííí
+=
-+=+-+-+=
ï
ïï
î
îî

2
2
2
4
4
4
0
600
6
60

6
480
x
x
x
x
xxx
x
xx
x
xx
³-
ì
³-
ì
³-
=
ì
é
ï
ï
é
ÛÛÛÛ
-==
é
ííí
ê
=
-=
ê

ë
ê
î
ïï
=
-+=
ë
î
ë
î

Ví dụ 2: Giải phương trình
|1||2|3
xx
-++=
(*)
Giải: Dựa vào bảng xét dấu ta có:
Nếu
2
x
<-

(*)(1)(2)3
xx
Þ +=

123242
xxxx
Û-+ =Û-=Û=-
(loại)

Nếu
21
x
-£<

(*)(1)(2)3
xx
Þ ++=

12333
xx
Û-+++=Û=
ta thấy luôn luôn đúng. Vậy tập nghiệm là
1
[2;1)
T =-
Nếu
1
x
³

(*)123
xx
Þ-++=

213221
xxx
Û+=Û=Û=
(nhận)
{

}
2
1
T =
Vậy tập nghiệm của phương trình
|1||2|3
xx
-++=
là
[2;1){1}[2;1]
T
=-È=-

BÀI TẬP
1. Giải các phương trình sau:
a)
2
|54|4
xxx
-+=+
Đáp số: 0 ; 6
b)
22
28|1|
xxx
-+=-
Đáp số:
94

c)

2
5|1|10
xx
=
Đáp số: -6 ; 1
d)
3
|1|1
xxx
-=++
Đáp số: 0
2. Giải các phương trình sau:
a)
|31||23|0
xx
+=
Đáp số:
25;4
-
b)
2|||3|3
xx
=
Đáp số: -6 ; 2
c)
|72||53||2|
xxx
-=-++
Đáp số:
253

x-££
4. Phương trình chứa ẩn trong dấu căn (phương trình vô tỷ)
Phương pháp chung là tìm cách khử dấu căn (thường là bình phương, lập phương…), đưa về
dạng mẫu mực… Lưu ý: kiểm tra loại bỏ những nghiệm ngoại lai.
Một số dạng mẫu mực:
·
2
0
B
AB
AB
³
ì
=Û
í
=
î

·
0
A
AB
AB
³
ì
=Û
í
=
î
hoặc

0
B
AB
³
ì
Û
í
=
î

Tổng quát:
Căn bậc chẵn:
2
2
0
n
n
B
AB
AB
³
ì
=Û
í
=
î
Căn bậc lẻ
21
21
n

n
ABAB
+
+
=Û=

Ví dụ 1: Giải phương trình
3620
xx
+=
(*)
Bổ trợ kiến thức Toán 10CB “Tài liệu tặng miễn phí cho học sinh” 12|2010
Biên soạn: gv Đặng Trung Hiếu – www.gvhieu.wordpress.com – 0939239628 – Phiên bản 1.0
3
Giải: (*)
22
2
202
2
362
2
5
36(2)7100
5
x
xx
x
xx
x
x

xxxx
x
³
ì
-³³
=
ìì
é
ï
-=-ÛÛÛÛ
=
é
ííí
ê
=
-= +=
ë
êîî
ï
=
ë
î

Ví dụ 2: Giải phương trình
1831
xx
+=-+
(1)
Giải: Điều kiện
101

1
31013
3
xx
x
xx
+³³-
ìì
ÛÛ³-
íí
+³³-
îî

(1)1318
xx
Û+++=

2
2
12(1)(31)3164422(1)(31)64
31
31
3120
2
(1)(31)312
2
120
(1)(31)(312)
1289600
8

xxxxxxx
x
x
x
xxx
x
xxx
xx
x
Þ++++++=Û++++=
ì
£
ì
ï
-³
£
ì
ïï
Û++=-ÛÛÛ
ííí
=
é
++=-
î
ïï
-+=
ê
î
ï
=

ë
î

8
x
Û=


DẠNG: Đưa phương trình vô tỷ về hệ bậc nhất hai ẩn
Ví dụ: Giải phương trình
22
32153287
xxxx
-++-+=
(*)
Giải:
Nhân 2 vế của phương trình (*) với lượng liên hợp
22
3215328
xxxx
-+ +
ta có:
(
)
(
)
(
)
222222
22

3215328321532873215328
32153281(**)
xxxxxxxxxxxx
xxxx
-++-+-+ +=-++-+
Û-++-+=

Từ (*) và (**) ta có hệ
22
22
32153287
32153281
xxxx
xxxx
ì
-++-+=
ï
í
-+ +=
ï
î
(1)
Đặt
22
3215,328
uxxvxx
=-+=-+
điều kiện
0,0
uv

³³

22
2
2
1
7432154321516
(1)
1
13
3289
3283
3
x
uvuxxxx
vvv
x
xx
xx
=
é
ì
ì
+==-+=-+=
ìì
ïï
ê
ÞÛÛÛÛ
íííí
ê

-==
=-
-+=
ï
îî
-+=
î
ï
î
ë

DẠNG: Đặt ẩn phụ
Ví dụ 1: Giải phương trình
2
(1)(4)3526
xxxx
++-++=
(1)
Giải:
Ta có
(
)
2222
(1)5435265223526
xxxxxxxx
Û++-++=Û+++-++=
(*)
Đặt
2
52

txx
=++
điều kiện
0
t
³

22
52
txx
Þ=++

22
1
(*)2363404
4
t
ttttt
t
=-
é
Þ+-=Û =ÛÞ=
ê
=
ë
(vì điều kiện
0
t
³
)

Với
222
7
452452165140
2
x
txxxxxx
x
=-
é
=Û++=Û++=Û+-=Û
ê
=
ë

Ví dụ 2: Giải phương trình
3
13
xx
+=-
(*)
Giải:
Đặt
3
1,3
uxvx
=+=-
điều kiện
0
v

³

Bổ trợ kiến thức Toán 10CB “Tài liệu tặng miễn phí cho học sinh” 12|2010
Biên soạn: gv Đặng Trung Hiếu – www.gvhieu.wordpress.com – 0939239628 – Phiên bản 1.0
4
Phương trình (*)
uv
Û=
(1)
Mặt khác do cách đặt u, v nên
3
2
1
3
ux
vx
ì
=+
ï
Þ
í
=-
ï
î

32
4
uv
Þ-=
(2)

Từ (1) và (2)
32322
2
20
440(2)(2)0
20
uv
uvuvuv
u
uvuuuuu
uu
=
ì
===
ììì
ï
-=
ÞÛÛÛ
é
íííí
-= =-++=
ê
îîî
ï
++=
ë
î

2
uv

u
=
ì
Û
í
=
î

3
127
xx
Û+=Û=

BÀI TẬP
1. Giải các phương trình sau:
a)
2
242
xxx
-+=-
Đáp số: -2
b)
2
3912
xxx
-+=-
Đáp số: 3
c)
2
391|2|

xxx
-+=-
Đáp số:
3;12
-
d)
3712
xx
+-+=
Đáp số: 1 ; 3
e)
22
5845
xxxx
+-++-=
Đáp số: 2
2. Giải các phương trình sau:
a)
22
3583511
xxxx
++-++=
Đáp số:
83;1
-
b)
2
(5)(2)330
xxxx
+ +=

Đáp số: 1 ; -4
c)
22
1131
xx
++=
Đáp số:
5;5
-

d)
363(3)(6)
xxxx
++-=++-
Đáp số: 6 ; -3
e)
225232572
xxxx-+-+++-= Đáp số: 15


II. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO QUY VỀ BẬC HAI
1. Phương trình trùng phương
42
0
axbxc
++=
(1)
Cách giải: Đặt
2
tx

=
điều kiện
0
t
³
. Khi đó từ phương trình
2
(1)0
atbtc
Þ++=

Dạng tổng quát:
2
0
nn
axbxc
++=

Đặt
n
tx
=
, nếu n là số chẵn thì điều kiện
0
t
³
, còn n là số lẻ thì không cần điều kiện.
2. Phương trình bậc 3:
Nếu phương trình bậc 3:
32

0
axbxcxd
+++=
có một nghiệm là
x
a
=
thì
322
0()(''')0
axbxcxdxaxbyc
a
+++=Û-++=

Trong đó
2
'''
axbyc
++
là kết quả của phép chia đa thức
32
axbxcxd
x
a
+++
-

Ví dụ: Giải phương trình
32
2430

xxx
-+-=

Nhẩm ta thấy x=1 là nghiệm của phương trình trên. Chia đa thức
32
2
243
3
1
xxx
xx
x
-+-
=-+
-

Nên
322
2
10
2430(1)(3)01
30
x
xxxxxxx
xx
-=
é
-+-=Û +=ÛÛ=
ê
-+=

ë

B tr kin thc Toỏn 10CB Ti liu tng min phớ cho hc sinh 12|2010
Biờn son: gv ng Trung Hiu www.gvhieu.wordpress.com 0939239628 Phiờn bn 1.0
5
3. Phng trỡnh dng:
()()()()
xaxbxcxde
++++=
trong ú
abcd
+=+

Cỏch gii: Phng trỡnh ó cho tng ng vi
(
)
(
)
22
()()
xabxabxcdxcde
++++++=

t
2
()
2
abcd
txabx
+

=+++ ta c:
22
abcdabcd
tte

ổửổử
+-=
ỗữỗữ
ốứốứ

Vớ d: Gii phng trỡnh
(1)(2)(3)(6)56
xxxx
+-++=-

Gii:
Phng trỡnh ó cho tng ng vi phng trỡnh
22
(43)(412)56
xxxx
+++-=-
(*)
t
2
412
txx
=+-

2
4315

xxt
ị++=+

2
7
(*)(15)5615560
8
t
tttt
t
=-
ộ
+=-++=
ờ
=-
ở

ã Vi
22
1
74127450
5
x
txxxx
x
=
ộ
=-+-=-+-=
ờ
=-

ở

ã Vi
22
222
84128440
222
x
txxxx
x
ộ
=-+
=-+-=-+-=
ờ
=
ờ
ở

Vy phng trỡnh ó cho cú 4 nghim
1,5,222
xxx=-=-=-
4. Phng trỡnh hi quy
432
0(0)
axbxcxbxaa
+++=ạ
(*)
Cỏch gii: chia 2 v ca phng trỡnh (*) cho
2
x

ta c:
2
2
11
0
axbxc
xx
ổửổử
+++=
ỗữỗữ
ốứốứ
(**)
t
1
tx
x
=
iu kin
||2
t


2222
22
11
22
txxt
xx
ị=+ị+=
m

thay vo phng trỡnh (**) ta c
(
)
2
20
atbtc
++=
m
Vớ d: Gii phng trỡnh
432
26210
xxxx
+=
(*)
Gii: ta thy x=0 khụng l nghim ca (*). Chia hai v ca (*) cho x
2
ta c:
2
2
11
260
xx
xx
ổử
+-+-=
ỗữ
ốứ
(**)
t
1

tx
x
=+
2222
22
11
22
txxt
xx
ị=++ị+=-

Thay vo (**) ta c:
22
4
(**)2260280
2
t
tttt
t
=
ộ
= =
ờ
=-
ở

ã Vi
2
23
1

44410
23
x
txxx
x
x
ộ
=+
=+=-+=
ờ
=-
ờ
ở

B tr kin thc Toỏn 10CB Ti liu tng min phớ cho hc sinh 12|2010
Biờn son: gv ng Trung Hiu www.gvhieu.wordpress.com 0939239628 Phiờn bn 1.0
6
ã Vi
2
1
222101
txxxx
x
=-+=-++==-

Vy phng trỡnh ó cho cú 3 nghim
1,23
xx=-=
5. Phng trỡnh dng:
44

()()
xaxbc
+++=

Cỏch gii: t
2
ab
tx
+
=+ , ri bin i a phng trỡnh ó cho v phng trỡnh trựng phng
theo t.
Vớ d: Gii phng trỡnh
44
(2)(3)1
xx
-+-=
(*)
Gii: t
2(3)5
22
txtx
-+-
=+=-

1
2
2
xt
ị-=+
;

1
3
2
xt
-=-
, thay vo (*) ta c:
44
11
1
22
tt
ổửổử
++-=
ỗữỗữ
ốứốứ
(**)
(Ta cú cú hng ng thc
4432234
()464
abaabababb
+=++++
)

4234
432
11111
464
22222
ttttt
ổửổửổửổử

+=++++
ỗữỗữỗữỗữ
ốứốứốứốứ


4234
432
11111
464
22222
ttttt
ổửổửổửổử
-=-+-+
ỗữỗữỗữỗữ
ốứốứốứốứ


4424
4242
11111
212223
22228
tttttt
ổửổửổửổử
ị++-=++=++
ỗữỗữỗữỗữ
ốứốứốứốứ


Thay vo (**) ta c

42
1
231
8
tt
++=

Phng trỡnh ny l phng trỡnh trựng phng theo t . Gii phng trỡnh ta c
1
2
t
=

Cui cựng ta c
2,3
xx
==

BI TP
Gii cỏc phng trỡnh sau:
a)
42
4720
xx
+-=
ỏp s:
1
2

b)
63
5230
xx
=
ỏp s:
3
1;35
-
c)
2
(23)(2)(5)12
xxx
-+-=-
ỏp s:
3
1;2;23
2


d)
432
32310
xxxx
+ +=
ỏp s:
3
1
1;13
22

-

e)
432
22174105500
xxxx
-+-+=
ỏp s:
5
1;2;5;
2

f)
44
(3)(1)82
xx
-++=
ỏp s: 0;2
g)
32
3530
xxx
+ =
ỏp s:
110
1;
33
-
Bổ trợ kiến thức Toán 10CB “Tài liệu tặng miễn phí cho học sinh” 12|2010
Biên soạn: gv Đặng Trung Hiếu – www.gvhieu.wordpress.com – 0939239628 – Phiên bản 1.0

7

PHỤ LỤC
TAM GIÁC PASCAL
Khi khai triển hằng đăng thức
()
n
ab
+ ta có thể sử dụng quy tắc sau đây để ghi các hệ số.


222
()2
abaabb
+=++

33223
()33
abaababb
+=+++

4432234
()464
abaabababb
+=++++

…


Để khai triển

()
n
ab
- ta chỉ cần điền từng dấu +,-, +,-… vào trước hệ số.

LƯỢC ĐỒ HORNER
Lược đồ này dùng để chia đa thức
1
110

nn
nn
axaxaxa
-
-
++++
cho đa thức
x
a
-

Hệ số

n
a

1
n
a
-

2
n
a
-
…
1
a

0
a

a

n
b

1
n
b
-

2
n
b
-
…
1
b

0
b



Trong đó:

nn
ba
=
11
.
nnn
bba
a

=+
212
.
nnn
bba
a

=+


Khi thực hiện phép chia, nếu b
0
=0 thì chia hết và
a

là nghiệm của đa thức.
Tổng quát ta có:
1
12
1100
11


nn
nn
nn
nn
axaxaxab
bxbxb
xx
aa
-

-
-
++++
=++++



Ứng dụng: khi
a
là nghiệm ta sẽ có:
112
11011

()( )
nnnn
nnnn
axaxaxaxbxbxb
a


++++=-+++

Định lí Vi-ét đối với phương trình bậc ba
Cho phương trình bậc ba:
32
0
axbxcxd
+++=
(
0
a
¹
) (1)
Phần thuận: nếu
123
;;
xxx
là nghiệm của phương trình (1) thì:
123
122331
123
b
xxx

a
c
xxxxxx
a
d
xxx
a
ì
++=-
ï
ï
ï
++=
í
ï
ï
=-
ï
î
(*)
Phần đảo: Nếu ba số
123
,,
xxx
thỏa mãn hệ (*) thì chúng là nghiệm của phương trình (1)

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1

1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
………


n
a

1
n
a
-



a

n
a
kết quả
nhân

C
ộng

B tr kin thc Toỏn 10CB Ti liu tng min phớ cho hc sinh 12|2010
Biờn son: gv ng Trung Hiu www.gvhieu.wordpress.com 0939239628 Phiờn bn 1.0
8
B. H PHNG TRèNH BC HAI
1. H I XNG LOI I

H i xng hai n x, y l h phng trỡnh m ta hoỏn i v trớ ca x v y cho nhau thỡ h khụng
thay i. (cũn gi l h i xng loi 1)
Cỏch gii: t ,
SxyPxy
=+=

Vớ d: gii h phng trỡnh
22
3
2
xxyy
xyxy
++=
ỡ
ớ
+=
ợ
(*)
Gii: Ta cú (*)
3
()2
xyxy
xyxy
++=
ỡ

ớ
+=
ợ
. t ,

SxyPxy
=+=
ta c
3(1)
2(2)
SP
SP
+=
ỡ
ớ
=
ợ

T (1)
3
PS
ị=-
. Thay vo (2) ta c
2
1
(3)2320
2
S
SSSS
S
=
ộ
-=-+=
ờ
=

ở

Vi S=1
1
2
2
xy
P
xy
+=
ỡ
ị=ị
ớ
=
ợ
Gii h ny, ta thy h vụ nghim
Vi
2
23
1
xy
SP
xy
+=
ỡ
=ị=ị
ớ
=
ợ
. Gii h ny ta c

1
1
x
y
=
ỡ
ớ
=
ợ

BI TP
1. Gii cỏc h phng trỡnh:
a)
22
5
7
xy
xxyy
+=
ỡ
ớ
-+=
ợ
b)
22
15
42
xy
xyxy
=

ỡ
ớ
+++=
ợ
c)
30
35
xyyx
xxyy
ỡ
+=
ù
ớ
+=
ù
ợ
` d)
3333
17
5
xxyy
xxyy
ỡ
++=
ớ
++=
ợ


ỏp s: a) (3;2); (2;3) b) (6;-1); (-1;6) c) (4;9); (9;4) d) (2;1); (1;2)

2. Gii cỏc h phng trỡnh:
a)
1117
2
7
2
1
xyz
xyz
xyz
ỡ
++=
ù
ù
ù
++=
ớ
ù
=
ù
ù
ợ
b)
111
3
111
3
1
1

xyz
xyyzzx
xyz
ỡ
++=
ù
ù
ù
++=
ớ
ù
ù
=
ù
ợ

(Hng dn: t ;;
SxyzPxyyzzxTxyz
=++=++=
)
ỏp s: a)
111
2;1;;;1;2;1;2;
222
ổửổửổử
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
b) (1;1;1)

2. H I XNG LOI II

H phng trỡnh hai n x, y c gi l h i xng loi hai nu ta thay x bi y thỡ phng trỡnh
ny tr thnh phng trỡnh kia v ngc li.
Cỏch gii: Tr hai v ca phng trỡnh cho nhau. a phng trỡnh kt qu v phng trỡnh tớch,
trong ú cú tha s (x-y) tc l h cú nghim x=y. T ú tỡm cỏc nghim cũn li.
Vớ d: Gii h phng trỡnh
2
2
245(1)
()
245(2)
xyy
I
yxx
ỡ
=-+
ù
ớ
=-+
ù
ợ

Gii: Tr v theo v ca (1) v (2) ta c:
22
2()44
xyyxyx
-= +

Bổ trợ kiến thức Toán 10CB “Tài liệu tặng miễn phí cho học sinh” 12|2010
Biên soạn: gv Đặng Trung Hiếu – www.gvhieu.wordpress.com – 0939239628 – Phiên bản 1.0
9

0
2()()()4()()(2)0
20
xy
xyxyxyxyxyxy
xy
-=
é
Û-= ++-Û-+-=Û
ê
+-=
ë

Trường hợp 1:
xy
=
khi đó hệ (I) tương đương với
2
1
650
5
x
xx
x
=
é
-+=Û
ê
=
ë

Với
11
xy
=Þ=
. Hệ có nghiệm (1;1)
Với
55
xy
=Þ=
. Hệ có nghiệm (5;5)

Trường hợp 2: 202
xyyx
+-=Þ=-
.
Thay vào (2) ta có:
2
2101
xxx
-+=Û=

211
y
Þ=-=
. Hệ có nghiệm (1;1)
Kết luận: Hệ (I) có hai nghiệm là (1;1) và (5;5)

BÀI TẬP
1. Giải các hệ phương trình sau:

a)
2
2
134
413
xxy
yxy
ì
=+
ï
í
=+
ï
î
b)
2
2
2
2
xy
yx
ì
=-
ï
í
=-
ï
î
c)
3

3
5
5
xxy
yyx
ì
=+
ï
í
=+
ï
î

2. Tìm điều kiện của m để hệ
2
2
20
20
xym
yxm
ì
-+=
ï
í
-+=
ï
î
có nghiệm.
Đáp số: a) (0;0), (12;-3), (17;17), (-3;12) b)(2;2), (-1;-1) c)(0;0), (2;-2); (-2;2)

3. HỆ ĐẲNG CẤP DẠNG
22
1111
22
2222
axbxycyd
axbxycyd
ì
++=
ï
í
++=
ï
î
(I)
Cách giải:
Có thể giải hệ (I) theo hai cách sau:
Cách 1: - Giải hệ (I) với x=0.
Xét
0
x
¹
. Đặt
ykx
=
và đưa hệ (I) về hệ ẩn x, k. Khử x trong hệ này ta được phương trình theo
ẩn k.
Cách 2: Khử x
2
(hoặc y

2
) ta tính được y theo x (hoặc x theo y). Thay vào một trong hai phương
trình của hệ được phương trình trùng phương theo x (hoặc y)
Ví dụ: Giải hệ phương trình
22
2
41
34
xxyy
yxy
ì
-+=
ï
í
-=
ï
î
(I)
Giải:
Cách 1: Thay x=0 vào hệ (I) ta được
2
2
1
4
y
y
ì
=
ï
í

=
ï
î
suy ra hệ vô nghiệm.
Với
0
x
¹
, ta đặt
ykx
=
, hệ (I) trở thành
2222
222
4.()1(14)1(1)
()3.4(3)4(2)
xxkxkxxkk
kxxkxxkk
ìì
-+=-+=
ïï
Û
íí
-=-=
ïï
îî

222
4
4(14)331340

1
3
k
kkkkkk
k
=
é
Þ-+=-Û-+=Û
ê
=
ê
ë

Thay k=4 vào (2) ta được
222
(43.4)411
xxx
-=Û=Û=±

Với x=1 thì y=kx=4.1=4 Hệ có nghiệm (1;4)
Với x=-1 thì y=kx=4.(-1)=-4 Hệ có nghiệm (-1;-4)
Thay k=1/3 vào (2) ta được
2
9
2
x=-
. Hệ vô nghiệm. Vậy hệ có 2 nghiệm (1;4) và (-1;-4)

B tr kin thc Toỏn 10CB Ti liu tng min phớ cho hc sinh 12|2010
Biờn son: gv ng Trung Hiu www.gvhieu.wordpress.com 0939239628 Phiờn bn 1.0

10

Cỏch 2:
S dng phng phỏp th. T phng trỡnh
2
2
4
34
3
y
yxyx
y
-
-=ị= (vỡ y=0 khụng l nghim)
Ri thay vo phng trỡnh cũn li, tip tc gii ta cng c nghim nh cỏch 1.

BI TP
Gii cỏc h phng trỡnh sau:
a)
22
22
30
231
xxyy
xxyy
ỡ
+-=
ù
ớ
-+=-

ù
ợ
b)
22
22
3211
2317
xxyy
xxyy
ỡ
++=
ù
ớ
++=
ù
ợ
c)
22
22
35438
59315
xxyy
xxyy
ỡ
+-=
ù
ớ
=
ù
ợ

d)
2
22
32160
328
xxy
xxyy
ỡ
-=
ù
ớ
=
ù
ợ


ỏp s:a)! b)(1;2); (-1;-2) c) (-3;-1); (3;1) d)
1717
(8;2);(8;2);5;;5;
22
ổửổử

ỗữỗữ
ốứốứ


4. MT S DNG KHC
Khi gp h phng trỡnh khụng thuc cỏc dng trờn, ta phi t tỡm cỏch gii no cho hp lớ nht,
cú th kt hp cỏc phng phỏp ó bit gii.
Vớ d: Gii h

2
2
2
2(1)
2(2)
2(3)
xyz
yzx
zxy
ỡ
+=
ù
+=
ớ
ù
+=
ợ

Gii:
Ly (1) tr (2) ta c:
22
0()()0
xyzyzxzxzxy
+ =-+-=

Ly (2) tr (3) ta c
22
0()()0
yzxzxyxyxyz
+ =-+-=

Vy h ó cho tng ng vi cỏc h
2222
0000
0000
2222
zxzxzxyzxy
xyxyzxyxyz
zxyzxyzxyzxy
ỡỡỡỡ
-=-=+-=+-=
ùùùù
-=+-=-=+-=
ớớớớ
ùùùù
+=+=+=+=
ợợợợ

Ln lt gii cỏc h trờn ta s cú cỏc nghim:
(1;1;1),(2;0;2),(2;0;2),(2;2;0),(2;2;0),
(0;2;2),(0;2;2)


BI TP
Gii cỏc h sau:
a)
15
16
7
xyyz

yzzx
zxxy
+=
ỡ
ù
+=
ớ
ù
+=
ợ
b)
xyxyz
yzxyz
zxxyz
+=
ỡ
ù
+=
ớ
ù
+=
ợ

c)
222
2
231
(2)(1)9
xyz
xyz

xyz
ỡ++=
ù
++=
ớ
ù
+++-=
ợ
d)
12
15
20
xy
xz
yz
=
ỡ
ù
=
ớ
ù
=
ợ


ỏp s: a) (1;3;4); (-1;-3;-4)
b) (0;0;0) c)(3;-2;1), (-1;0;3)
d) (3;4;5), (-3;-4;-5)