tài liệu phương trình hệ phương trình toán 9

Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
[Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
»»»»—««««
Toán 9 Tân phương trình và hệ phương trình
Diendan.hocmai.vn - box Toán
Tổng hợp và biên tập bởi Lê Hồng Phúc (demon311) - THPT Cửa Tùng
Giới thiệu:
Thread này được lập ra bởi bigbang195.
Bạn có thể xem toàn bộ thread tại: />___________________________
Sau đây là các bài được tổng hợp:
B1 Giải phương trình:
x
2
+
√
x + 5 = 5
Giải: Ta có:
x
2
+
√
x + 5 = 5
⇔ x
2
= 5 −
√
x + 5
⇔ x
2
+ x +
1

4
= x + 5 −2.
1
2
√
x + 5 +
1
4
⇔ (x +
1
2
)
2
= (
√
x + 5 −
1
2
)
2

B2 Giải phương trình:
a) x
2
+ x + 12
√
x + 1 = 36
b) 2
√
2x + 4 + 4

√
2 − x =
√
9x
2
+ 16
Box Toán học 1
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
Giải:
a)
36 − x
2
− x −2.6.
√
x + 1 = 0
x + 1 −2.6.
√
x + 1 + 36 − (x
2
+ 2x + 1) = 0
(
√
x + 1 − 6)
2
− (x + 1)
2
= 0
(
√
x + 1 − 6 − x −1)(

√
x + 1 − 6 + x + 1) = 0

b)
2
√
2x + 4 + 4
√
2 − x =
√
9x
2
+ 16
⇒ 4(2x + 4) + 16(2 − x) + 16

(4 − x
2
)2 = 9x
2
+ 16
⇔ 8x + 16 + 32 − 16x + 16
√
8 − 2x
2
− 9x
2
− 16 = 0
⇔ 16
√
8 − 2x

2
− 8x + 32 − 9x
2
= 0
⇔ 4(8 − 2x
2
) + 16
√
8 − 2x
2
+ 16 −8x − 9x
2
+ 8x
2
− 16 = 0
⇔ (2
√
8 − 2x
2
+ 4)
2
− x
2
− 8x −16 = 0
⇔ (2
√
8 − 2x
2
+ 4)
2

− (x + 4)
2
= 0
⇔
B3 Giải phương trình:
x +
√
4 − x
2
= 2 + 3x
√
4 − x
2
Giải
Đặt
√
4 − x
2
= a (a ≥ 0)
⇒ 4 − x
2
= a
2
⇔ x
2
= 4 − a
2
và x + a = 2 + 3xa ⇒ x =
2 − a
1 − 3a

⇒ x
2
=
(2 − a)
2
(1 − 3a)
2
⇒ 4 − a
2
=
4 − 4a + a
2
1 − 6a + 9a
2
⇒ (1 − 6a + 9a
2
)(4 − a
2
) = 4 − 4a + a
2
Box Toán học 2
Edited by Foxit Reader
Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2009
For Evaluation Only.
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
⇔ 4 − a
2
− 24a + 6a
3
+ 36a

2
− 9a
4
= 4 − 4a + a
2
⇔ 9a
4
− 6a
3
− 34a
2
+ 20a = 0
⇔ a(9a
3
− 6a
2
− 34a + 20) = 0
⇔ a(a − 2)(9a
2
+ 12a −10) = 0
⇔ a = 0; a = 2; 9a
2
+ 12a −10 = 0 (1)
∆

= 6
2
+ 10.9 = 129 ⇒ a =
−6 +
√

129
9
(a ≥ 0)
B4 Giải phương trình:
x
2
+
√
x
2
+ 11 = 31
Giải:
x
2
+
√
x
2
+ 11 = 31 ⇔ (x
2
+ 11) +
√
x
2
+ 11 − 42 = 0 ⇒ x
2
+ 11 = 36 ⇒ x = ±5
B5 Giải hệ phương trình sau:










3
√
x − y =
√
x − y
x + y =
√
x + y + 2
Giải:
Ta có:
3
√
x − y =
√
x − y ⇔ (x − y)
2
= (x − y)
3
⇔






x = y
x = y + 1
TH1: x = y
x + y =
√
x + y + 2
⇔ 2x =
√
2x + 2
⇔ 4x
2
= 2x + 2 ⇒ x = y = 1
TH2: x = y + 1
x + y =

x + y + 2
⇔ 2y + 1 =

2y + 3
Box Toán học 3
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
⇔ 4y
2
+ 4y + 1 = 2y + 3
⇒ y =
1
2
; x =
3

2
B6
1
4x − 2006
+
1
5x + 2004
=
1
15x − 2007
−
1
6x − 2005
Giải:
1
4x − 2006
+
1
5x + 2004
=
1
15x − 2007
−
1
6x − 2005
⇔
9x − 2
(4x − 2006)(5x + 2004)
=
−(9x − 2)

(15x − 2007)(6x − 2005)
B7









3(x +
1
x
) = 4(y +
1
y
) = 5(z +
1
z
)
xy + yz + zx = 1
Giải:
Viết lại phương trình đầu như sau: với x,y,z khác 0 :
x
3(x
2
+ 1)
=
y

4(y
2
+ 1)
=
z
5(z
2
+ 1)
(1)
(1) ⇒ nếu (x
0
, y
0
, z
0
) là nghiệm ở đây x
0
> 0, y
0
> 0, z
0
> 0 thì −x
0
, −y
0
, −z
0
cũng
là nghiệm (1) dẫn tới (1) có nghiệm cùng dấu
x = tan

A
2
, y = tan
B
2
, z = tan
C
2
Lại có do: (2) tan
A
2
. tan
B
2
+ tan
B
2
. tan
C
2
+ tan
C
2
. tan
A
2
= 1
nên A,B,C là 3 góc của 1 tam giác
lại có: sin A =
tan

A
2
1 + tan
2
A
2
Nên: (1) ⇔
sin A
3
=
sin B
4
=
sin C
5
⇒ các cặp cạnh đối diện cũng tỉ lệ : a,b,c là các cạnh đối diện với góc A,B,C
Box Toán học 4
Edited by Foxit Reader
Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2009
For Evaluation Only.
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
a
3
=
b
4
=
c
5
Nên tam giác này là tam giác vuông tại C ⇒ C = 90

dẫn tới z = tan 45
o
= 1
Thế vào PT(1) được x =
1
3
, y =
1
2
Nên HPT có 1 nghiệm là (
1
3
,
1
2
, 1)
theo lý luận trên đầu bài dẫn tới hệ cũng có nghiệm (−
1
3
, −
1
2
, −1)
KL :HPT có 2 nghiệm (
1
3
,
1
2
, 1), (−

1
3
, −
1
2
, −1)
B8 :




6
3 − x
+




8
2 − x
= 6
Giải:
ĐK : x < 2
⇔




6
3 − x

− 2 +




8
2 − x
− 4 = 0
⇔
6
3 − x
− 4




6
3 − x
+ 2
+
8
2 − x
− 16




8
2 − x
+ 4

= 0
⇔
2(2x − 3)
3 − x




6
3 − x
+ 2
+
8(2x − 3)
2 − x
− 16




8
2 − x
+ 4
= 0
⇔ (2x − 3)( ) = 0
mà ( ) khác 0 nên ta được x =
3
2
Box Toán học 5
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
B9

2(x
2
− 3x + 2) = 3
√
x
3
+ 8
Giải:
ĐK : x ≥ −2
⇔ 2[x
2
− 2x + 4 − (x + 2)] = 3

(x + 2)(x
2
− 2x + 4)
Đặt a =
√
x + 2 ; b =
√
x
2
− 2x + 4 (a, b ≥ 0
Ta được 2(b
2
− a
2
) = 3ab
⇔ (a + 2b)(2a −b) = 0
B10

√
2x + 3 +
√
x + 1 = 3x + 2
√
2x
2
+ 5x + 3 − 16
Giải:
ĐK: Đặt t = V T (ĐK: t ≥ ) PT trên tương đương với t = t
2
− 20
(t − 5)(t + 4) = 0
B11
√
4x − 1 +
√
4x
2
− 1 = 1 Giải:
ĐK :
⇔
√
4x
2
− 1 = 1 −
√
4x − 1
2 vế không âm bình phương lên thu được
4x − 2

√
4x
2
− 1 = 4x
2
− 1
⇔ 2
√
4x
2
− 1 = −(2x − 1)
2
PT đánh giá: V T ≥ 0 ;VP ≤ 0
Ta được nghiệm x =
1
2
B12
√
x
2
+ 2x +
√
2x − 1 =
√
3x
2
+ 4x + 1
Giải:
Box Toán học 6
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình

ĐK là các biểu thức trong dấu căn không âm
Đặt a =
√
x
2
+ 2x , b =
√
2x − 1(a, b ≥ 0)
PT trở thành
a + b =
√
3a
2
− b
2
⇔ a
2
+ 2ab + b
2
= 3a
2
− b
2
⇔ 2a
2
− 2ab −2b
2
a =
1 +
√

5
2
b
B13
x
2
− 2x + 3 =
√
2x
2
− x +
√
1 + 3x − 3x
2
Giải:
Theo AM-GM









√
2x
2
− x ≤
2x

2
−x+1
2
√
1 + 3x − 3x
2
≤
1+3x−3x
2
+1
2
⇒ x
2
− 2x + 3 ≤
−x
2
+ 2x + 3
2
⇔ 2x
2
− 4x + 6 + x
2
− 2x −3 ≤ 0
⇔ 3(x − 1)
2
≤ 0
⇒ x = 1
B14
√
x + 3.x

4
= 2x
4
− 2008x + 2008
Giải:
tx
4
= 2x
4
− 2008(x −1) = 2x
4
− 2008(t
2
− 4)
⇔ −2008t
2
− tx
4
+ (2x
4
+ 2008.4) = 0
∆ = x
8
−4(−2008)(2x
4
+ 2008.4) = x
8
+ 2.4.2008x
4
+ (4.2008)

2
= (x
4
+ 4.2008)
2
x
1
=
x
4
− (x
4
+ 4.2008)
−2.2008
= 2
hay
√
x + 3 = 2 ⇔ x = 4 − 3 = 1
Box Toán học 7
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
x
2
=
x
4
+ x
4
+ 4.2008
−2.2008
=

√
x + 3
B15









√
2x + y + 1 −
√
x + y = 1
3x + 2y = 4
Giải:









√
2x + y + 1 = a
√

x + y = b
Hệ









a − b = 1
a
2
+ b
2
= 5
⇔









a = 2
b = 1
B16










x
4
− x
3
y + x
2
y
2
= 1
x
3
y −x
2
+ xy = −1
Giải:
Đặt:










x
2
− xy = a
x
3
y = b
Hệ tương đương:









a
2
+ b = 1
a − b = −1










a = −1
b = 0
⇒ (x, y) =
B17
Box Toán học 8
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
x
4
+
√
x
2
+ 2010 = 2010
Giải:
Đặt x
2
= a ,
√
x
2
+ 2010 = t
Ta có:










a
2
+ t = 2010
t
2
− a = 2010
⇔ (a + t)(a −t + 1) = 0
B18









xy + x + 1 = 7y
x
2
y
2
+ xy + 1 = 13y
2
Giải:
Nhận thấy y = 0 không phải nghiệm.

Hệ trên tương đương với:











x +
x
y
+
1
y
= 7
x
2
+
x
y
+
1
y
2
= 13
⇔






















x +
x
y
+
1
y
= 7
(x +
1

y
)
2
−
x
y
= 13
Đặt:











x +
1
y
= a
x
y
= b
⇒










a + b = 7
a
2
− b = 13
Từ đây dễ dàng giải tiếp.
B19
x
2
+ x + 12
√
x + 1 = 36 (1)
Box Toán học 9
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
Giải:
ĐK: x ≥ −1
(1) ⇔ (x + 1)
2
− (x + 1) + 12
√
x + 1 = 36
Đặt: t =
√
x + 1 (t ≥ 0)
t

4
− t
2
+ 12t −36 = 0
t
4
= (t − 6)
2
B20
√
x + 1 + x + 2 =
√
2x
2
+ 6x + 6 (1)
Œt :









√
x + 1 = a (a ≥ 0)
x + 2 = b (b ≥ 1)
(1) ⇔ a + b =
√

2b
2
− 2a
2
⇔ a
2
+ 2ab + b
2
= 2b
2
− 2a
2
⇔ 3a
2
+ 2ab −b
2
= 0
⇔ (3a − b)(a + b) = 0
Do a, b > 0 nên 3
√
x + 1 = x + 2
⇔ 9x + 9 = x
2
+ 4x + 4
⇔ x
2
− 5x −5 = 0
B21
Giải hệ phương trình:
a)










x(3x + 2y)(x + 1) = 12
x
2
+ 4x + 2y − 8 = 0
(1)
b)









x(x + 2)(2x + y) = 9
x
2
+ 4x + y − 6 = 0
(2)
Giải:

a)
Box Toán học 10
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
(1)⇔









(3x + 2y)(x
2
+ x) = 12
x
2
+ 4x + 2y − 8 = 0
Đặt:









a = 3x + 2y

b = x
2
+ x
Như vậy thì:









ab = 12
a + b = 8
⇔









































a = 2
b = 6






a = 6
b = 2

b)
(1)⇔









(x
2
+ 2x)(2x + y) = 12
x
2
+ 4x + y − 6 = 0
Đặt:










a = x
2
+ 2x
b = 2x + y
Như vậy thì:









ab = 9
a + b = 6
⇔









a = 3

b = 3
⇔









x
2
+ 2x −3 = 0
2x + y = 3
Box Toán học 11
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
⇔









































x = 1
x = −3






y = 1
y = 9
Nghiệm: (x; y) = (1; 1); (3; −9)
B22




42
5 − x
+




60
7 − x
= 6
Giải:
ĐK: x < 5
Nếu x ∈ (−∞;
1
3
) thì V T > 6
Nếu x ∈ (

1
3
; 5) thì V T < 6
Nếu x =
1
3
thì V T = 6
Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =
1
3
B23
x
2
+
3
2
x +
1
2
=

x
2
+ 5x + 7 +

x
2
− 2x −8
Đặt
√

x
2
+ 5x + 7 = a ;
√
x
2
− 2x −8 = b (a, b ≥ 0) Ta có:
a
2
+ b
2
2
+ 1 = a + b
a
2
+ b
2
+ 2 −2a − 2b = 0
(a − 1)
2
+ (b −1)
2
= 0
Đến đây ta xét đấu bằng xảy ra, thay vào tìm x
Kết quả: vô nghiệm
B24
2
√
2x + 4 + 4
√

2 − x =
√
9x
2
+ 16
Giải:
Box Toán học 12
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
Bình phương 2 vế:
8x + 16 + 32 − 16 + 16

2(4 − x
2
) = 9x
2
+ 16
⇔ x
2
+ 8x + 16 = 8(4 − x
2
) + 16

2(4 − x
2
) + 16
⇔ (x + 4)
2
= (2

2(4 − x

2
) + 4)
2

⇔ x = 2

2(4 − x
2
)

B25





(x + y)(x
2
− y
2
) = 45
(x − y)(x
2
+ y
2
) = 85
Giải:
Ta thấy: x = ±y
Từ đây ta có:
17(x − y)(x + y)

2
= 9(x − y)(x
2
+ y
2
)
⇔ 4x
2
+ 17xy + 4y
2
= 0
⇔ (4x + y)(4y + x) = 0
⇔









x = 4
y = −1
B26










4 − x
2
+ (x −y)
2
= 5
2x(y −x) + x + y = 5
Giải:
Đặt:









a = 2x
b = y − x
Box Toán học 13
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
⇔










a
2
+ b
2
= 5
ab + a + b = 5
⇔ Hệ đối xứng
B27









x
2
+ y
2
− xy = 1
x
3
+ 3y

3
= x + 3y
Giải:
Vì x
2
+ y
2
− xy = 1 nên:
x
3
+ 3y
3
= (x + 3y)(x
2
+ y
2
− xy)
x
3
+ 3y
3
= x
3
+ xy
2
− x
2
y + 3x
2
y + 3y

3
− 3xy
2
2x
3
+ 2x
2
y −2xy
2
= 0
xy(x − y) = 0
B28
Tìm ngiệm nguyên dương của hệ:









2
x
= 2y
2
y
= 2x
Giải:
Với x > y ⇔ 2

x
> 2
y
⇔ 2y = 2
x
> 2
y
= 2x ⇔ y > x (vô lý)
Với x < y ⇔ 2
x
< 2
y
⇔ ⇔ x > y (vô lý)
Vậy x = y
Thay vào:
2
x
= 2x
Thử với các số 1,2,3,4,
Ta được nghiệm: (x; y) = (1; 1); (2; 2)
B29
Box Toán học 14
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình










x
2
− xy + y
2
= 3
z
2
+ yz + 1 = 0
Giải:
Từ phương trình thứ nhất ta có x là ẩn, y là tham số:
∆ = y
2
− 4y
2
+ 12 = −3y
2
+ 12 ≥ 0 ⇔ y
2
≤ 4
Từ phương trình thứ hai coi z là ẩn, y là tham số:
∆ = y
2
− 4 ≥ 0 ⇔ y ≥ 4
Suy ra y
2
= 4 ⇔ y = ±2
Với y = 2 thì x = 1 và z = −1
Với y = −2 thì x = −1 và z = 1

B30









xy + x + 1 = 7y
x
2
y
2
+ xy + 1 = 13y
2
Giải:
Nhận thấy y = 0 không phải nghiệm của hệ
Ta chia 2 vế của phương trinh thứ nhất cho y, chia 2 về của phương trình thứ hai cho
y
2
, ta được:














x +
x
y
+
1
y
= 7
x
2
y
2
+
x
y
+
1
y
2
= 13
⇔






















(x +
1
y
) +
x
y
= 7
(x +
1
y
)
2
−

x
y
= 13
Đặt:
Box Toán học 15
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình











a = x +
1
y
b =
x
y
Hệ trở thành:










a + b = 7
a
2
− b = 13
Cộng vế theo về, giải ra a và b sau đó thay vào
B31
Tìm nghiệm nguyên dương: 3xyz − 5yz + 3x + 3z = 5
Giải:
Cách 1: Biến đổi phương trình:
x +
z
yz + 1
= 1 +
2
3
⇒ x = 1 ;
z
yz + 1
=
2
3
⇔ z =
2
3 − 2y
x = 1 ; y = 1 ; z = 2 Cách 2:
Từ đề bài ta được:
(3x − 5)(yz + 1) + 3z = 0

Nếu x ≥ 2 thì 3x − 5 ≥ 1 , khi đó (3x − 5)(yz + 1) + 3z > 0
Do đó x = 1
Sau đó thay vào
B32
Giải hệ:
a)

















xy + y + 2x + 2 = 4
yz + 2z + 3y = 2
xz + z + 3x = 5
(1)
Box Toán học 16
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
b)










√
x +
√
y = 4
√
x + 5 +
√
y + 5 = 5
(2)
Giải
a)
(1) ⇔


















(x + 1)(y + 2) = 4
(z + 3)(y + 2) = 8
(x + 1)(z + 3) = 8
Lấy pt 1 chia pt 2 rồi nhân pt 3 ta được (x + 1)
2
= 4
Từ đây ta thay vào giải ra
b)
Đặt a = x + y ; b = xy (a, b ≥ 0 ; a
2
≥ 4b)
Ta có:









a + 2

√
b = 16
a + 10 + 2
√
5a + b + 25 = 36
⇔
√
5a + b + 25 −
√
b = 5
⇔
5a + b + 25 = 25 + 10
√
b + b
a = 2
√
b
a
2
= 4b
⇔ x = y (nghiệm kép của phương trình bậc 2)
Do đó:










√
x = 2
√
x + 5 = 3
⇔ x = y = 4
B33









x + y + z = 2
2xy −z
2
= 4
Box Toán học 17
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
Giải:
x + y + z = 2 ⇔ x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2xy + 2yz + 2xz = 2xy −z

2
(x + z)
2
+ (y + z)
2
= 0
⇔









x + z = 0 ⇔ y = 2
y + z = 0 ⇔ x = 2
x = y = 2 ; z = −2
B34
a)
√
x
2
+ x +
√
x − x
2
= x + 1
b) (x

2
+ 1)(y
2
+ 2)(z
2
+ 8) = 32xyz (z, y, x ≥ 0)
c)
x + 1
√
x
+
4(y −1)
3
√
y −1 + 4
3

(y −1)
2
= 10
Giải:
a)
Áp dụng BĐT Cauchy:

x
2
+ x ≤
x + x + 1
2


x − x
2
≤
x + 1 − x
2
⇔

x
2
+ x +

x − x
2
≤
x + x + 1 + x + 1 − x
2
= x + 1 Vì phương trình là trường
hợp xảy ra dấu bằng nên:
x = x + 1
x = 1 − x
Do đó phương trình vô nghiệm
b) Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
x
2
+ 1 ≥ 2x
y
2
+ 2 ≥ 2
√
2y

Box Toán học 18
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
z
2
+ 8 ≥ 4
√
2z
⇒ (x
2
+ 1)(y
2
+ 2)(z
2
+ 8) ≥ 32xyz Phương trình chính là trường hợp dấu bằng xảy
ra nên:
x = 1
y =
√
2
z = 2
√
2
c) Ta có:
x + 1
√
x
≥ 2
Đặt: a =
3
√

y −1 (a = 0)
4(y −1)
3
√
y −1 + 4
3

(y −1)
2
=
4a
4
+ 4
a
2
≥ 8
x + 1
√
x
+
4(y −1)
3
√
y −1 + 4
3

(y −1)
2
≥ 10 Phương trình xảy ra:










x = 1
3
√
y −1 ⇔ y = 2
⇔ (x; y) = (1; 2)
B35


















x
5
− x
4
+ 2x
2
y = 2
y
5
− y
4
+ 2y
2
z = 2
z
5
− z
4
+ 2z
2
x = 2
Giải:
Nhận thấy: x = y = z = 1 là 1 nghiệm của hệ
Nếu x> 1 ⇒ 2 = z
5
− z
4
+ 2z
2

x > z
5
− z
4
+ 2z
2
⇒ (z − 1)(z
4
+ 2z + 2) < 0 ⇒ z < 1 ⇒ y > 1 ⇒ x < 1 (vô lí)
Đối với trường hợp x < 1 thì tương tự
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: x = y = z = 1
B36
Box Toán học 19
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
a) x
2
−
√
x + 5 = 5
b)
√
2x + 15 = 32x
2
+ 32x −20
c)
3
√
7x + 1 −
3
√

x
2
− x −8 +
3
√
x
2
− 8x −1 = 2
d)
4
√
97 − x +
4
√
x − 15 = 4
e)
√
x + 5 = x
2
− 4x + 3
f)
x
2
√
3x − 2
−
√
3x − 2 = 1 −x
g)
x

x + 1
− 2
√
x + 1
√
x
= 3
Giải:
a) ĐK: x ≥ −5
Đặt :
√
x + 5 = t (t ≥ 0)
⇔ t
2
= x + 5 ⇔ t
2
− x = 5
Đưa về hệ:









t
2
− x = 5

x
2
− t = 5
⇔ (x − t)(x + 1 + 1) = 0
b) Biến đổi:
√
2x + 15 − 4 = 8(2x − 1)(2x + 3)
2x − 1
√
2x + 15 + 4
= 8(2x − 1)(2x + 3)
Đã xuất hiện nhân tử chung
c) Đặt 3 cái căn bậc 3 lần lượt là a,b,c thì suy ra:
(a − b + c)
3
= a
3
− b
3
+ c
3
d) Đặt:
4
√
97 − x = a ;
4
√
x − 15 = b ; ⇒

a + b = 4a

4
+ b
4
= 82
e) ĐK: x ≥ −5
Phương trình ban đầu:
⇔
√
x + 5 − 2 = x
2
− 4x −5
Box Toán học 20
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
⇔
x + 1
√
x + 5 + 2
= (x + 1)(x −5)
⇔





x = −1
1 = [(x + 5) −10](
√
x + 5 + 2) (∗)
Để xử lí (*), ta đặt
√

x + 5 = y (y ≥ 0). Khi đó:
(2) ⇔ (y
2
− 10)(y + 2) = 1
y
3
+ 2y
2
− 10y −21 = 0
(y + 3)(y
2
− y −7) = 0
y =
1 +
√
29
2
⇒ x =
5 +
√
29
2
f)
x
2
√
3x − 2
−
√
3x − 2 = 1 −x

⇔ x
2
− 3x + 2 = (1 − x)
√
3x − 2
⇔ (x − 2)(x −1) + (x −1)
√
3x − 2 = 0
⇔ (x − 1)(x −2 +
√
3x − 2) = 0
g)
x
x + 1
− 2
√
x + 1
√
x
= 3
ĐK: x > 0
Đặt:
√
x + 1
√
x
= t
⇒ (
1
t

)
2
− 2t = 3
t = 0, 5 ; t = −1 (loại)
⇒
√
x + 1
√
x
=
1
2
x =
−4
3
(loại)
B37
a) 3x
2
+ 2x = 2
√
x
2
+ x + 1 − x
Box Toán học 21
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
b)
√
x + 1 + 2(x + 1) = x − 1 +
√

1 − x + 3
√
1 − x
2
Giải:
a) ĐK: x ≤ −1 hoặc x ≥ 0
3x
2
+ 2x = 2
√
x
2
+ x + 1 − x
⇔ (
√
x
2
+ x −1)
2
+ 2(x
2
+ x −1) = 0
⇔ (
√
x
2
+ x −1)(3
√
x
2

+ x + 1) = 0
b) Đặt:









√
1 + x = a (a ≥ 0)
√
1 − x = b (b ≥ 0)
Suy ra:









a
2
+ b
2
= 2

a + a
2
+ 2 = b + 3ab
⇔ 2a
2
+ b
2
+ a −b − 3ab = 0
⇔ (a − b)
2
+ (a −b) + a(a − b) = 0
⇔ (a − b)(a −b + 1 + a) = 0
⇔ (a − b)(2a − b + 1) = 0 Đến đây thử từng trường hợp, rút a theo b (b theo a) rồi
thay vào tính
B38


















x
2
− 6x −2y − 15 = 0
x
2
y −3xy + 2z + 6 = 0
x
2
y
2
+ 2y + 12 − 4z ≤ 0
(x, y, z ∈ Z)
Giải:
Ta có:
(x
2
− 3x −2y − 15) + 2(x
2
y −3xy + 2z + 6) + (x
2
y
2
+ 2y + 12 − 4z) ≤ 0
⇒ (xy + x)
2
− 6(xy + x) + 9 ≤ 0
(xy + x − 3)
2

≤ 0
xy + x − 3 = 0 ⇔ x(y + 1) = 3 (x, y ∈ Z)
Box Toán học 22
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
B39









x
2
+ y
2
− 4x + 2y = −3
x
2
− xy + y
2
+ x −2y = 12
Giải:










x
2
+ y
2
− 4x + 2y = −3 (1)
(x − y)
2
+ x
2
+ y
2
+ 2x −4y = 24 (2)
Lấy (2) trừ (1):
(x − y)
2
+ 6(x −y) = 27





x − y = 3
x − y = 9
B40
3
√

x + 1 +
3
√
x − 1 =
3
√
5x
Giải:
3
√
x + 1 +
3
√
x − 1 =
3
√
5x
⇔ (
3
√
x + 1 +
3
√
x − 1)
3
= (
3
√
5x)
3

⇔ 2x + 3
3

(x
2
− 1).5x = 5x
⇔
3

(x
2
− 1).5x = x
⇔ 5x
3
− 5x = x
3
⇔ x(4x
2
− 5) = 0
⇒






x = 0
x = ±
√
5

2
B41
Phương trình nghiệm nguyên:
a) x
6
+ 3x
3
+ 1 = y
2
b) 1 + x
2
+ x
3
+ x
4
= y
4
c) 1 + x + x
2
= y
2
Box Toán học 23
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
Giải:
Sử dụng phương pháp kẹp để giải:
a) Nếu x ≥ 1 thì
(x
3
+ 1)
2

< y
2
= x
6
+ 3x
3
+ 1 < (x
3
+ 2)
2
⇔ vô nghiệm
Nếu x ≤ −2 thì:
(x
3
+ 2)
2
< y = x
6
+ 3x
3
+ 1 < (x
3
+ 1)
2
(vô nghiệm)
Vậy, ta thử x = 0 hoặc x = −1, suy ra x = 0 là nghiệm
b)
Nếu x ≥ 1 thì:
x
4

< y
4
< (x + 1)
4
(vô lí)
Nếu x ≤ 1 thì:
x
4
> y
4
> (x + 1)
4
(vô lí)
Do đó x = 0
c)
Tương tự câu a)
B42
√
1 − 2x +
√
1 + 2x = x
2
+ 2
Giải:
Khi đó ta có:
x
2
+ 2 ≥ 2
√
1 + 2x +

√
1 − 2x ≤ 2




1 + 2x + 1 − 2x
2
= 2
⇒
√
1 − 2x +
√
1 + 2x = x
2
+ 2 ⇔ x = 0
B43
(2x
2
+ 2)
2
= 4y
2
− 3
Giải:
Box Toán học 24
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình
(2x
2
+ 2)

2
+ 3 = 4y
2
Ta thấy: (2x
2
+ 2)
2
.
.
.4
4y
2
.
.
.4
Mà 3 
.
.
.4 nên phương trình vô nghiệm
B44









x

3
y
2
= −8
x
9
+ y
6
= 56
Giải:
Đặt:
x
3
= a và y
2
= b (y ≥ 0)
Hệ trở thành:









ab = −8
a
3
+ b

3
= 56









a = −2
b = 4
Tới đây ta thay vào và giải ra.
B45
√
x − 2 +
√
4 − x +
√
2x − 5 = 2x
2
− 5x (1)
ĐK:
5
2
≤ x ≤ 4
(1) ⇔
√
x − 2 − 1 +

√
4 − x − 1 +
√
2x − 5 − 1 = 2x
2
− 5x −3
⇔
x − 2 − 1
√
x − 2 + 1
+
4 − x − 1
√
4 − x + 1
+
2x − 5 − 1
√
2x − 5 + 1
= (x − 3)(2x + 1)
⇔ (x − 3)(
1
√
x − 2 + 1
−
1
√
4 − x + 1
+
2
√

2x − 5 + 1
− 2x −1) = 0
⇔ x = 3
B46
√
13x
2
+ 17x + 7 +
√
7x
2
+ 8x + 13 +
√
x
2
− x + 19 = 3
√
3(x + 2)
Giải:
Box Toán học 25