Tuyển tập các bài toán về đường thẳng hệ oxy trong các đề thi

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
Tập các bài Tốn về Đường thẳng trong các thi

A(2;1) , B(1; 2)
Bi 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với

, trọng tâm G của tam giác
27
x+ y2=0
2
nằm trên đờng thẳng
. Tìm tọa độ ®Ønh C biÕt diƯn tÝch tam gi¸c ABC b»ng
uu
ur
x+ y−2=0
G = (t ; 2 − t )
AG = (t − 2;3 t )
Hng dn: Vì G nằm trên đờng thẳng
nên G có tọa độ
. Khi đó
,
uu
ur
AB = ( 1; 1)

S=
Vậy diện tích tam giác ABG là

(

)

[

]

2
1
1
AG 2 . AB 2 − AG. AB =
2 (t − 2) 2 + (3 − t ) 2 − 1
2
2

=

2t − 3
2

27
2

27 9
=
6 2

Nếu diện tích tam giác ABC bằng
thì diện tích tam gi¸c ABG b»ng
.
2t − 3 9
=

G1 = (6;−4) , G 2 = (−3;−1)
t=6
t = −3
2
2
VËy
, suy ra
hc
. VËy cã hai điểm G :
. Vì G là trọng tâm
tam giác ABC nªn
xC = 3 xG − ( x A + xB )
yC = 3 yG − ( y A + yB )
vµ
.
G1 = (6;−4)
C1 = (15;−9)
G 2 = (−3;−1)
C2 = (−12;18)
Víi
ta cã
, víi
ta cã
Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng đi qua trung
điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y − 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; −3)
nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.
∆
Hướng dẫn: Gọi là đường thẳng đi qua trung điểm của AC và AB
6+6−4
d ( A, ∆ ) =

=4 2
E
2
Ta có
∆
∆
Vì là đường trung bình của ABC
∆
⇒ d ( A; BC ) = 2d ( A; ∆ ) = 2.4 2 = 8 2
x+ y+a =0

B

H

C

Gọi phương trình đường thẳng BC là:
6+6+a
a = 4
= 8 2 ⇒ 12 + a = 16 ⇒ 
2
 a = −28
Từ đó:
x + y − 28 = 0
a = −28
∆
Nếu
thì phương trình của BC là
, trường hợp này A nằm khác phía đối với BC và

x+ y+4=0
a=4
, vơ lí. Vậy
, do đó phương trình BC là:
.
Sưu tầm & biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ

Page 1


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
Tập các bài Tốn về Đường thẳng trong các đề thi

∆ABC

⊥ BC x + y + 4 = 0
là đường thẳng đi qua A(6;6) và
:
nên có phương trình là

Đường cao kẻ từ A của
x− y =0
.
Tọa độ chân đường cao H kẻ từ A xuống BC là nghiệm của hệ phương trình
x − y = 0
 x = −2
⇒

 x + y + 4 = 0  y = −2
Vậy H (-2;-2)

x+ y+4=0
Vì BC có phương trình là
nên tọa độ B có dạng: B(m; -4-m)
Lại vì H là trung điểm BC nên C(-4-m;m)
uu
ur
uu
ur
CE = ( 5 + m; −3 − m ) , AB = ( m − 6; −10 − m)
CE ⊥ AB
Suy ra:
;Vì
nên
uu uu
ur ur
AB.CE = 0 ⇔ ( a − 6 ) ( a + 5 ) + ( a + 3 ) ( a + 10 ) = 0
a = 0
2a + 12a = 0 ⇒ 
 a = −6
2

⇔

Vậy

 B ( 0; −4 )


C ( −4; 0 )


hoặc

 B ( −6; 2 )


C ( 2; −6 )


.
( d ) : x − 2y + 3 = 0

A ( −1; 2 )
Bài 3 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm
B, C

và đường thẳng

. Tìm trên đường thẳng (d)

AC = 3BC

hai điểm

sao cho tam giác ABC vuông tại C và
.
Hướng dẫn: Từ yêu cầu của bài toán ta suy ra C là hình chiếu vng góc của A trên (d)

( ∆)
Phương trình đường thẳng

2x + y + m = 0
qua A và vng góc với (d) là:

A ( −1; 2 ) ∈ ( ∆ ) ⇔ −2 + 2 + m = 0 ⇔ m = 0

{

( ∆ ) : 2x + y = 0
Suy ra:

B ( 2t − 3; t ) ∈ (d)

Đặt

3

x=−
2x + y = 0 ⇔ 
5 ⇒ C− 3 ; 6 

÷
x − 2y = −3 
6
 5 5
y =
5


.Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình:

, theo giả thiết ta có:

.

AC = 3BC ⇔ AC 2 = 9 BC 2

 16
2
2

t =
4 16
12   6  
⇔
+
= 9  2t − ÷ +  t − ÷  ⇔ 45t 2 − 108t + 64 = 0 ⇔  15
4
25 25
5   5 



t =
 3
.

t=
•

Với

16
 13 16 
⇒ B− ; ÷
15
 15 15 

t=
;

Với

4
 1 4
⇒ B− ; ÷
3
 3 3

Sưu tầm & biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ

Page 2


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
Tập các bài Tốn về Đường thẳng trong các đề thi

Vậy, có hai điểm thỏa đề bài là:

 13 16 
B− ; ÷

 15 15 

hoặc

 1 4
B− ; ÷
 3 3

A ( 2;1)

.

Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
và các đường thẳng
B ∈ ( d1 ) , D ∈ ( d 2 )
( d1 ) : x + 2 y − 1 = 0, ( d2 ) : x + 2 y + 8 = 0
. Tìm
và C sao cho ABCD là hình vng.
Hướng dẫn: Tịnh tiến gốc tọa độ về điểmA, tìm pt đường (d1),(d2) trong hệ trục mới
B(m; n) ∈ ( d1 ) => D(n; m) ∈ ( d 2 )
(do ABCD là hình vng từ đó tìm được điểm B,D,C
M ( −3;1)
( C ) : x2 + y2 − 2x − 6 y + 6 = 0
Bài 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn
và điểm
. Gọi
T1
T2
( C)
T1T2

và
là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến
. Viết phương trình đường thẳng
.
2
PM = 15 = ( MT1 )
(C )

Hướng dẫn: Tính phương tích của điểm M đối với đường trịn(C),
Viết phương trình đường trịn tâm M ,bk

r = 15 => ( x + 3 ) + ( y − 1 ) = 15 ⇔ x 2 + y 2 + 6 x − 2 y − 5 = 0
2

T1
Tọa độ

T2

2

 x2 + y2 − 2x − 6 y + 6 = 0

⇒ 8 x + 4 y − 11 = 0
 2
2
 x + y + 6x − 2 y − 5 = 0


và là các nghiệm của hê.

.Suy ra phương trình
T1T2
8 x + 4 y − 11 = 0
đường thẳng
là:
Bài 6 Trong mp với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giac PQR có đường cao hạ từ đỉnh P là d: 2x+y+3=0 và
đường phân giác trong của góc Q là d': x-y=0. PQ đi qua điểm I(0;-1) và RQ=2IQ. Viết phương trình
đường thẳng PR.
Hướng dẫn: Gọi I; là điểm đối xúng của I qua đường phân giác trong của góc Q thi I’ nằm trên đường
thảng QR. Từ đây viết được pt QR => điểm Q và pt cạnh PQ, tọa độ điểm P. Có điểm Q và từ hệ thức
RQ=2IQ , ta sẽ tìm được điểm R ( sẽ có hai điểm R) Kiểm tra và kết luận.
Bài 7. Cho đường tròn (C ) : (x-1)2 + (y+3)2 =9 hoctoancapba.com
A(-1,1); B(2 ,-2) tìm C, D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Hướng dẫn: (C) có tâm I(1;−3) và bán kính R = 3. Dễ thấy A nằm ngoài (C) và B nằm trong (C)
uu
ur
2
AB
Ta có
= (3;−3) ⇒ AB = 3
r
n
CD // AB ⇒ CD có vtpt =(1;−1) ⇒ CD: x − y + m = 0
2

2
3 2 
3 2
 CD 
2

R −
÷ = 3 −
 2 ÷ = 2
÷
 2 


2

2
ABCD là hình bình hành nên CD = AB = 3
⇒ d(I, CD) =
4+m 3 2
=
m+4
2
2
⇔
⇔
= 3 ⇔ m = −1 ∨ m = −7
⇒ CD: x − y − 1 = 0 hoặc x − y − 7 = 0
Sưu tầm & biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ

Page 3


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
Tập các bài Tốn về Đường thẳng trong các đề thi

( x − 1)2 + ( y + 3) 2 = 9


x − y −1 = 0

( x − 1) 2 + ( x + 2) 2 = 9

 y = x −1

Th1: CD: x − y − 1 = 0 ⇒ tọa độ C, D là nghiệm của hệ:
⇔
2
2 x + 2 x − 4 = 0  x = 1  x = −2
∨


 y = x −1
 y = 0  y = −3
⇔
⇔
⇒ C(1;0), D(−2;−3) hoặc C(−2;−3), D(1;0)
( x − 1)2 + ( y + 3) 2 = 9 ( x − 1) 2 + ( x − 4) 2 = 9


x − y − 7 = 0
y = x −7
Th2: CD: x − y − 7 = 0 ⇒ tọa độ C, D là nghiệm của hệ:
⇔

9 ± 17
x =


4
2
2 x − 9 x + 8 = 0 
9 + 17 −19 + 17
9 − 17 −19 − 17
 y = −19 ± 17


y = x−7


4
4
4
4
4
⇔
⇔
⇒ C(
;
), D(
;
)
9 − 17 −19 − 17
9 + 17 −19 + 17
4
4
4
4
hoặc C(

;
), D(
;
)
Bài 8. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thang ABCD vng tại A và D, phương trình cạnh AD là
M ( 2;5 )
2x + y + 6 = 0
CD = BC 2 = 2 AB
, điểm
là trung điểm của BC và
. Tìm tọa độ các đỉnh của hình
thang biết A có tung độ dương
+ ngồi lề : thơng thường tìm tọa độ của 1 điểm :
giao của hai đường thẳng. (1)
vecto này bằng k lần vecto kia. (2)
Hướng dẫn:

Gọi E là trung điểm của CD.
N …………………. AD;
F là giao của AD và BC
Pt MN : x – 2y + 8 = 0, suy ra N( -4 ; 2)
Dễ dàng nhận ra tam giác rBEC vuông cân nên u DFC = 450 = góc hai đường thẳng AD và BC.
góc
u
u
r
n1 = (k ;1)
n2 = (2;1)
Giả sử VTPT của BC là
; của AD :

uu
r u
r
n1.n2
2k + 1
1
u u
r u
r
=
n1 . n2
2
k 2 + 1. 5
Cos(AD ;BC) =
=
suy ra k = 1/3 ; k = -3.
Với k = -3u PT BCr: 3x – y – 1 = 0 => Suy F ( - 1 ; -4). Gỉa sử điểm A( a; -6 – 2a)
u:u u u
r
u
FA = 2 AN
dễ thấy
suy ra A ( nhớ là tung độ A dương mới nhận, không dương ta xét nốt
k = 1/3) , từ đây bạn suy ra D. tới đây mình nghĩ có nhiều cách để suy ra C và B
C1 : Lập PT tìm giao điểm
C2 : vecto = k lân nhau
Bài 9

Sưu tầm & biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ

Page 4


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
Tập các bài Tốn về Đường thẳng trong các đề thi

Hướng dẫn:
B(b; 0), C(0; c) ĐK: b, c > 0
+ ABC vuông tại A nên: 2b + c - 5 = 0 (1)
1
2
S ABC = AB. AC = ( b − 2 ) + 1 ≥ 1
2
+
=> b =2 và c = 1.

Bài 10
Hướng dẫn:
A(a; 0), B(0; b) ĐK: a, b > 0
x y
+ =1
a b
AB có pt:
3 2
+ = 1 (*)
a b
+ AB qua M nên:
3 2
6
(*) 1 = + ≥ 2

⇒ ab ≥ 24
a b
ab
1. Ta có:
…..
 3 2
 + ( a + b ) ≥ 3 + 2
a b
2. ta có: OA + OB = a+b =
Tự tìm dấu bằng xảy ra => KQ.
3. Áp dụng bunhia

(

2

(

)

2

BĐT bunhia.

)

1 
1 
1
1

1
3 2
 1
 1
1 =  +  ≤ 32 + 2 2  2 + 2  = 13
+
⇒
+
≥
2
2 
2
2
b 
13
a b
a
 OA OB  OA OB

…Tự tìm ra dấu = xảy ra => KQ.

Bài 11

Sưu tầm & biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ

Page 5


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
Tập các bài Tốn về Đường thẳng trong các đề thi

Bài 12.

Hướng dẫn:

Bài 13

Bài 14

Sưu tầm & biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ

Page 6


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
Tập các bài Tốn về Đường thẳng trong các đề thi

Bài 15

độ các đỉnh của tam giác.

Bài 16.

Bài 17

Sưu tầm & biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ

Page 7

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
Tập các bài Tốn về Đường thẳng trong các đề thi

.

Bài 18

Bài 19

Sưu tầm & biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ

Page 8


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
Tập các bài Tốn về Đường thẳng trong các đề thi

Bài 20

A ( 1; 0 ) , B ( −2; 4 ) , C ( −1; 4 ) , D ( 3;5 )

Bài 21 Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm

và đường thẳng

d : 3x − y − 5 = 0

Hướng dẫn:

. Tìm điểm M trên d sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau

M thuộc d thi M(a;3a-5 )
uu
ur
x −1 y
AB = ( −3; 4 ) ⇒ AB = 5, ( AB ) :
= ⇔ 4x + 3y − 4 = 0
−3
4

- Mặt khác :
uu
ur
x +1 y − 4
⇔ CD = ( 4;1) ↔ CD = 17; ( CD ) :
=
⇔ x − 4 y − 17 = 0
4
1
h1 = ( M , AB ) =

4a + 3 ( 3a − 5 ) − 4
5

=

13a − 19
5

, h2 =

a − 4 ( 3a − 5 ) − 17
17

=

3 − 11a
17

- Tính :
- Nếu diện tich 2 tam giác bằng nhau thì :

11

5. 13a − 19
17. 3 − 11a
13a − 19 = 3 − 11a
1
1
 a = 12
⇔ AB.h1 = CD.h2 ⇔
=
⇔
⇔
2
2
5
17
13a − 19 = 11a − 3  a = 8

Sưu tầm & biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ

Page 9


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
Tập các bài Tốn về Đường thẳng trong các đề thi

 11 27 
M 1  ; − ÷, M 2 ( 8;19 )
 12 12 

- Vậy trên d có 2 điểm :
Bài 22.
Viết phương trình cạnh BC của tam giác ABC , biết tọa độ chân các đường cao tương ứng là A’,B’,C’.
Hướng dẫn:

Bài 23. Cho hình tam giác ABC có diện tích bằng 2. Biết A(1;0), B(0;2) và trung điểm I của AC nằm trên
đường thẳng y = x. Tìm toạ độ đỉnh C
Hướng dẫn:
0−2
d ( B, d ) =
= 2
2
- Nếu C nằm trên d : y=x thì A(a;a) do đó suy ra C(2a-1;2a).- Ta có :
.
1
4
2
2
S = AC.d ( B, d ) = 2 ⇒ AC =

= ( 2a − 2 ) + ( 2a − 0 )
2
2
- Theo giả thiết :

1− 3
a =
2
⇔ 8 = 8a 2 − 8a + 4 ⇔ 2 a 2 − 2 a − 1 = 0 ⇔ 

1+ 3
a =

2

- Vậy ta có 2 điểm C :

 1− 3 1− 3 
1+ 3 1+ 3 
C1 
;
;
÷, C2 
÷
 2
2 ÷  2
2 ÷






A(1;1) , B (−2; 5)
Bi 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với
, đỉnh C nằm trên đờng thẳng
2x 3 y + 6 = 0
x4=0
, và trọng tâm G của tam giác nằm trên đờng thẳng
. Tính diện tích tam gi¸c ABC.
Hướng dẫn:
 AB = 5
uu
ur
AB = ( −3; 4 ) ⇒ 
( AB ) : x − 1 = y − 1 ⇔ 4 x + 3 y − 7 = 0
−3
4

- Tọa độ C có dạng : C(4;a) ,

Sưu tầm & biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ

Page 10


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
Tập các bài Tốn về Đường thẳng trong các đề thi

- Theo tính chát trọng tâm ;

x +x +x
1− 2 + 4


xG = A B C
xG =
=1




3
3
⇔

y A + yB + yC
y =
 y = 1+ 5 + a = a + 6
 G
 G
3
3
3


a+6
⇒ 2.1 − 3 
÷+ 6 = 0 ⇔ a = 2
 3 

- Do G nằm trên : 2x-3y+6=0 , cho nên :
.
4.4 + 3.2 − 7
1
1
15
d ( C , AB ) =
= 3 ⇒ S ABC = AB.d ( C , AB ) = 5.3 =
2
2
2
16 + 9
- Vậy M(4;2) và
(đvdt)
A(2;−1) , B(1;− 2)
Bi 25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với
, trọng tâm G của tam giác
x+ y2=0
nằm trên đờng thẳng
. Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng 13,5 .
3 1
; ữ
2 2
Hướng dẫn: Ta có : M là trung điểm của AB thì M
. Gọi C(a;b) , theo tính chất trọng tam tam
a+3

 xG = 3



a +3 b−3
y = b −3
+
− 2 = 0 ⇔ a + b = 6 ( 1)
 G
3

3
3
giác :
; Do G nằm trên d :
uu
ur
3a − b − 5
x − 2 y −1
AB = ( 1;3) ⇒ ( AB ) :
=
⇔ 3x − y − 5 = 0 ⇔ h ( C , AB ) =
1
3
10
- Ta có :
2a − b − 5 2a − b − 5
1
1
S ABC = AB.h ( C , AB ) =
10.
=
= 13,5
2

2
2
10
- Từ giả thiết :
 2a − b − 5 = 27
 2a − b = 32
⇔ 2a − b − 5 = 27 ⇔ 
⇔
 2a − b − 5 = −27
 2a − b = −22
- Kết hợp với (1) ta có 2 hệ :

20
 b = − 3
 a + b = 6
 a + b = 6




38

 2a − b = 32
3a = 38
 38 20 
⇔
⇔
⇔  a =
⇒ C1  ; − ÷, C2 ( −6;12 )


 a + b = 6
 a + b = 6
3

3 
 3



 b = 12
  2a − b = −22
 3a = −18


 a = −6


∆ABC

Bài 26 Trong mặt phẳng oxy cho
có A(2;1) . Đường cao qua đỉnh B có phương trình x- 3y - 7 =
0 .Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình : x + y +1 = 0 . Xác định tọa độ B và C . Tính diện tích

∆ABC

.

Sưu tầm & biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ

Page 11

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
Tập các bài Tốn về Đường thẳng trong các đề thi

Hướng dẫn: - Đường thẳng (AC) qua A(2;1) và vng góc với đường cao kẻ qua B , nên có véc tơ chỉ
r
x = 2 + t
n = ( 1; −3) ⇒ ( AC ) : 
( t ∈ R)
 y = 1 − 3t
phương
x = 2 + t

⇒  y = 1 − 3t
x + y +1 = 0

- Tọa độ C là giao của (AC) với đường trung tuyến kẻ qua C :
Giải ta được : t=2 và C(4;-5). Vì B nằm trên đường cao kẻ qua B suy ra B(3a+7;a) . M là trung điểm của
 3a + 9 a + 1 
⇒M
;
÷
2 
 2
AB
.
3a + 9 a + 1
⇔
+

+ 1 = 0 ⇔ a = −3 ⇔ B ( 1; −2 )
2
2
- Mặt khác M nằm trên đường trung tuyến kẻ qua C :
uu
ur
12
x − 2 y −1
AB = ( −1; −3 ) ⇔ AB = 10, ( AB ) :
=
⇔ 3 x − y − 5 = 0, h ( C ; AB ) =
1
3
10
- Ta có :
1
1
12
S ABC = AB.h ( C , AB ) =
10.
=6
2
2
10
Vậy :
(đvdt).
Bài 27 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình đường trung trực
cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam
giác ABC
 a+5 b+2

;

÷
2 
 2
A(5;2)
Hướng dẫn: - Gọi B(a;b) suy ra M
. M nằm
trên trung
tuyến nên : 2a-b+14=0 (1).
2x-y+3=0
- B,B đối xứng nhau qua đường trung trực cho nên :
x = a + t
( BC ) : 
( t ∈ R)
M
y = b +t
N
.
B
C
Từ đó suy ra tọa độ N :
x+y-6=0
 6−a −b
t =
2
x = a + t

3a − b − 6



⇒ x =
y = b + t
2
x + y − 6 = 0 

6+b−a

y =
2

 3a − b − 6 6 + b − a 
⇔ N
;
÷
2
2


. Cho nên ta có tọa độ C(2a-b-6;6-a )
- Do C nằm trên đường trung tuyến : 5a-2b-9=0 (2)

Sưu tầm & biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ

Page 12


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
Tập các bài Tốn về Đường thẳng trong các đề thi

- Từ (1) và (2) :

2a − b + 14 = 0
a = 37
⇒
⇔
⇒ B ( 37;88 ) , C = ( −20; −31)
5a − 2b − 9 = 0
b = 88

∆ x + 3 y + 8 = 0 ∆ ' :3 x − 4 y + 10 = 0
Bài 28 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng :
,
và
∆
điểm A(-2 ; 1). Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc đường thẳng , đi qua điểm A và tiếp xúc với
∆
đường thẳng ’.
 x = −2 + 3t
∆:
⇒ I ( −2 + 3t ; −2 − t )
 y = −2 − t
Hướng dẫn: : - Gọi tâm đường tròn là I , do I thuộc

( 3t )

⇒ IA =
- A thuộc đường tròn

∆'⇒

2

+ ( 3+t) = R
2

(1)
3 ( −2 + 3t ) − 4 ( −t − 2 ) + 10
5

- Đường tròn tiếp xúc với

( 3t )

2

+ ( 3+ t) =
2

=R⇔

13t + 12
5

=R
. (2)

13t + 12
2
2

2
⇔ 25 ( 3t ) + ( 3 + t )  = ( 13t + 12 )


5

- Từ (1) và (2) :
Bài 29 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn
(C ) : x 2 + y 2 – 2 x – 2 y + 1 = 0, (C ') : x 2 + y 2 + 4 x – 5 = 0
cùng đi qua M(1; 0). Viết phương trình
(C ), (C ')
đường thẳng qua M cắt hai đường tròn
lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB
Hướng dẫn: * Cách 1.
r
 x = 1 + at
u = ( a; b ) ⇒ d : 
 y = bt
- Gọi d là đường thẳng qua M có véc tơ chỉ phương
( C1 ) : I1 ( 1;1) , R1 = 1. ( C2 ) : I 2 ( −2;0 ) , R2 = 3
- Đường tròn
, suy ra :
2
2
2
2
( C1 ) : ( x − 1) + ( y − 1) = 1, ( C2 ) : ( x + 2 ) + y = 9
t = 0 → M

2ab

2b 2 
⇒ ( a + b ) t − 2bt = 0 ⇔ 
⇒ A 1 + 2
; 2
2
2 ÷
t = 2 2b 2
 a +b a +b 
 a +b
2

( C1 )
- Nếu d cắt

tại A :

( C2 )
- Nếu d cắt

tại B :

2

2

t = 0 → M

6a 2
6ab 
⇒ ( a 2 + b 2 ) t 2 + 6at = 0 ⇔ 

⇔ B 1 − 2
;− 2
6a
÷
2
t = − 2
a + b2 
 a +b
2
a +b

⇔ MA2 = 4MB 2 ( *)

- Theo giả thiết : MA=2MB

Sưu tầm & biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ

Page 13


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
Tập các bài Tốn về Đường thẳng trong các đề thi
2
2
2
 6a 2 2  6ab 2 
 2ab   2b 
 2 2 ÷ +  2 2 ÷ = 4  2 2 ÷ +  2 2 ÷ 
 a +b   a +b 
 a + b   a + b  




- Ta có :
 b = −6 a → d : 6 x + y − 6 = 0
4b 2
36a 2
⇔ 2
= 4. 2 2 ⇔ b 2 = 36a 2 ⇔ 
a + b2
a +b
b = 6a → d : 6 x − y − 6 = 0
* Cách 2.
−

1
2

- Sử dụng phép vị tự tâm I tỉ số vị tự k=
. ( Học sinh tự làm )
Bài 30 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm
H (1;0)
K (0; 2)
M (3;1)
, chân đường cao hạ từ đỉnh B là
, trung điểm cạnh AB là
.
Hướng dẫn: - Theo tính chất đường cao : HK vng
A
góc vớiu r cho nên (AC) qua K(0;2) có véc tơ pháp

uAC
u
K(0;2)
KH = ( 1; −2 ) ⇒ ( AC ) : x − 2 ( y − 2 ) = 0 ⇔ x − 2 y + 4 = 0
tuyến
. M(3;1)
H(1;0)
-u unằm trên (BH) qua H(1;0) và có véc tơ chỉ phương
Br
u
KH = ( 1; −2 ) ⇒ B ( 1 + t; −2t )
B
.
- M(3;1) là trung điểm của AB cho nên A(5-t;2+2t).
- Mặt khác A thuộc (AC) cho nên : 5-t-2(2+2t)+4=0 ,
suy ra t=1 . Do đó A(4;4),B(2;-2)
- u u C thuộc (AC) suy u C(2t;2+t) ,
Vì
ur
ur
ura
BC = ( 2t − 2; 4 + t ) , HA = ( 3; 4 )
. Theo tính chất đường cao kẻ từ A :
uu uu
ur ur
⇒ HA.BC = 0 ⇒ 3 ( 2t − 2 ) + 4 ( 4 + t ) = 0 → t = −1
. Vậy : C(-2;1).
uu
u
r

r
x−4 y−4
BA = ( 2;6 ) // u = ( 1;3 ) ⇒ ( AB ) :
=
1
3
- (AB) qua A(4;4) có véc tơ chỉ phương
⇔ 3x − y − 8 = 0

C

uu
ur
HA = ( 3; 4 ) ⇒ ( BC ) : 3 ( x − 2 ) + 4 ( y + 2 ) = 0
- (BC) qua B(2;-2) có véc tơ pháp tuyến
⇔ 3x + 4 y + 2 = 0
.

( C1 ) : x 2 + y 2 − 4 y − 5 = 0
Bài 31 Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường trịn có phương trình

và

( C2 ) : x 2 + y 2 − 6 x + 8 y + 16 = 0.

( C1 )
Lập phương trình tiếp tuyến chung của

Hướng dẫn: : - Ta có :
2

( C1 ) : x 2 + ( y − 2 ) = 9 ⇒ I1 ( 0; 2 ) , R1 = 3,

( C2 ) : ( x − 3 )

Sưu tầm & biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ

2

( C2 ) .
và

+ ( y + 4 ) = 9 ⇒ I 2 ( 3; −4 ) , R2 = 3
2

Page 14


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
Tập các bài Tốn về Đường thẳng trong các đề thi

( C2 )

I1I 2 = 9 + 4 = 13 < 3 + 3 = 6 ⇒ ( C1 )

- Nhận xét :

không cắt
a 2 + b2 ≠ 0

d ( I1 , d ) = R1 , d ( I 2 , d ) = R2

- Gọi d : ax+by+c =0 (
) là tiếp tuyến chung , thế thì :
 2b + c
= 3 ( 1)
 2
2b + c
3a − 4b + c
3a − 4b + c = 2b + c
 a + b2
⇔
⇒
=
⇔ 2b + c = 3a − 4b + c ⇔ 
a 2 + b2
a2 + b2
3a − 4b + c = −2b − c
 3a − 4b + c = 3 2
( )
 a 2 + b2

 a = 2b
⇔
3a − 2b + 2c = 0

( 2b + c )

= 9 ( a2 + b2 ) ⇔

2

. Mặt khác từ (1) :
- Trường hợp : a=2b thay vào (1) :

( 2b + c )

2

= 9 ( 4b 2 + b 2 )


2b − 3 5c
b =
4
⇔ 41b 2 − 4bc − c 2 = 0.∆ 'b = 4c 2 + 41c 2 = 45c 2 ⇔ 

2+3 5 c
b =


4

(

)

- Do đó ta có hai đường thẳng cần tìm :

d1 :

d1 :

( 2 − 3 5) x + ( 2 − 3 5) y +1 = 0 ⇔ 2 2 − 3 5 x + 2 − 3 5 y + 4 = 0
(
) (
)
2
4
( 2 + 3 5 ) x + ( 2 + 3 5 ) y +1 = 0 ⇔ 2 2 + 3 5 x + 2 + 3 5 y + 4 = 0
(
) (
)
2
4
c=

- Trường hợp :
⇔ ( 2b − a )

2

2b − 3a
2

2b +

2b − 3a
2

a +b

2

, thay vào (1) :

2

= 3 ⇔ 2b − a = a 2 + b 2

a

b = 0, a = −2c
b = 0 → c = − 2
2
2
2
= a + b ⇔ 3b − 4ab = 0 ⇔ 
⇔
b = 4a , a = −6c
4a
a
b =
→c=−
3


3
6


d3 : 2 x − 1 = 0 d 4 : 6 x + 8 y − 1 = 0

- Vậy có 2 đường thẳng :
,
Bài 32 Trong hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình hyperbol (H) dạng chính tắc biết rằng (H) tiếp xúc với
d :x− y−2=0
đường thẳng
tại điểm A có hồnh độ bằng 4.
Hướng dẫn: - Do A thuộc d : A(4;2)
x2 y 2
16 4
− 2 = 1( *) ⇒ A ∈ ( H ) ⇔ 2 − 2 = 1( 1)
2
a
b
a b
- Giả sử (H) :
- Mặt khác do d tiếp xúc với (H) thì hệ sau có 12 nghiệm bằng nhau :
Sưu tầm & biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ

Page 15


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
Tập các bài Tốn về Đường thẳng trong các đề thi

2
2
2
2
2
2 2

2
2 2
 2
 2 2
b 2 x 2 − a 2 y 2 = a 2b 2
b x − a ( x − 2 ) = a b
( b − a ) x + 4 a x − 4 a − a b = 0
⇔
⇔
⇔
y = x − 2
y = x − 2
y = x − 2



⇒ ∆ 'a = 4 a 4 + ( b 2 − a 2 ) ( 4 a 2 + a 2 b 2 ) = 4 a 2 b 2 + a 2 b 4 − a 4 b 2 ⇔ a 2 b 2 ( 4 + b 2 − a 2 ) = 0 ⇒ a 2 = b 2 + 4
16b 2 − 4a 2 = a 2b 2
b 4 − 8b 2 + 16 = 0
b 2 = 4
x2 y2



⇔ 2
⇔ 2
⇔( H) : −
=1
 2
2

2
8
4
a = b + 4
a = b + 4
a = 8




- Kết hợp với (1) :
Bài 33 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y +
1 = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC đi qua M(2; 1). Tìm toạ độ các đỉnh
của hình chữ nhật
Hướng dẫn: - Dễ nhận thấy B là giao của BD với AB cho nên tọa dộ B là nghiệm của hệ :
x − 2 y +1 = 0
 21 13 
⇒ B ; ÷

 5 5
 x − 7 y + 14 = 0
- Đường thẳng (BC) qua B(7;3) và vng góc với (AB) cho nên có véc tơ chỉ phương:
21

r
x = 5 + t

u = ( 1; −2 ) ⇒ ( BC ) : 
 y = 13 − 2t


5

R ( AC , BD ) = R BIC = 2R ABD = 2ϕ = 2R ( AB, BD )
- Ta có :
u
r
n1 = ( 1; −2 )

- (AB) có

u u
u u
r r
u
u
r
n1.n2
1 + 14
15
3
n2 = ( 1; −7 ) ⇒ cosϕ = u u =
=
=
r u
r
5 50 5 10
10
n1 n2

, (BD) có

r
n = ( a, b ) ⇒ cos ( AC,BD ) = cos2ϕ =

- Gọi (AC) có

a-7b

4
 9
= 2 cos 2 ϕ − 1 = 2  ÷− 1 =
5
 10 
50 a 2 + b 2

⇒ 5 a − 7b = 4 50 a 2 + b 2 ⇔ ( a − 7b ) = 32 ( a 2 + b 2 ) ⇔ 31a 2 + 14ab − 17b 2 = 0
2

- Do đó :

- Suy ra :

17
17

 a = − 31 b ⇒ ( AC ) : − 31 ( x − 2 ) + ( y − 1) = 0 ⇔ 17 x − 31y − 3 = 0

 a = b ⇒ ( AC ) : x − 2 + y − 1 = 0 ⇔ x + y − 3 = 0


- (AC) cắt (BC) tại C

21

x = 5 + t

13
7

 14 5 
⇒  y = − 2t ⇔ t = ⇒ C  ; ÷
5
15
 3 3

x − y − 3 = 0



Sưu tầm & biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ

Page 16


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
Tập các bài Tốn về Đường thẳng trong các đề thi

- (AC) cắt (AB) tại A :

x − 2 y +1 = 0
x = 7

⇔
⇔
⇔ A ( 7; 4 )
x − y − 3 = 0
y = 4
x = 7 + t

 y = 4 − 2t

- (AD) vuông góc với (AB) đồng thời qua A(7;4) suy ra (AD) :
x = 7 + t
7

 98 46 
⇒ t = ⇒ D ; ÷
 y = 4 − 2t
15
 15 15 
 x − 7 y + 14 = 0

- (AD) cắt (BD) tại D :
- Trường hợp (AC) : 17x-31y-3=0 …..làm tương tự .
Bài 34 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0). Hai đỉnh B và
C lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1: x + y + 5 = 0 và d2: x + 2y – 7 = 0. Viết phương trình đường trịn
có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BG
x = t

A(2;3)
 y = −5 − t
Hướng dẫn: : - B thuộc d suy ra B :

,C
thuộc d'
x+2y-7=0
 x = 7 − 2m

G(2;0)
y = m
cho nên C:
.
C
M
B
- Theo tính chất trọng tâm :
( t − 2m + 9 ) = 2, y = m − t − 2 = 0
x+y+5=0
⇒ xG =
G
3
3

- Ta có hệ :

m − t = 2
m = 1
⇔

t − 2m = −3 t = −1
r
u = ( 3; 4 )

- Vậy : B(-1;-4) và C(5;1) . Đường thẳng (BG) qua G(2;0) có véc tơ chỉ phương
20 − 15 − 8 13
x−2 y
= ⇔ 4 x − 3 y − 8 = 0 ⇒ d ( C ; BG ) =
= =R
3
4
5
5

, cho nên (BG):

13
169
2
2
⇒ ( C ) : ( x − 5 ) + ( y − 1) =
5
25

- Vậy đường trịn có tâm C(5;1) và có bán kính R=
Bài 35Tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng : 2x – 5y + 1 = 0, cạnh bên AB nằm trên
đường thẳng : 12x – y – 23 = 0 . Viết phương trình đường thẳng AC biết rằng nó đi qua điểm (3;1
2 x − 5 y + 1 = 0
A

12x-y-23=0
12 x − y − 23 = 0
Hướng dẫn: - Đường (AB) cắt (BC) tại B
M(3;1)

Suy ra : B(2;-1). . (AB) có hệ số góc k=12, đường thẳng
2
H
5
B
C
(BC) có hệ số góc k'= , do đó ta có :
2x-5y+1=0

Sưu tầm & biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ

Page 17


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
Tập các bài Tốn về Đường thẳng trong các đề thi

2
5 =2
tan B =
2
1 + 12.
5
12 −

. Gọi (AC) có hệ số góc là m thì ta
2
−m
2 − 5m
tan C = 5

=
2m
5 + 2m
1+
5
có :

. Vì tam giác ABC cân tại A cho nên tanB=tanC, hay ta có :
8

 2 − 5m = 4m + 10
2 − 5m
m = − 9
= 2 ⇔ 2 − 5m = 2 2m + 5 ⇔ 
⇔

5 + 2m
 2 − 5m = −4m − 10
 m = 12
9
9
m = − ⇒ ( AC ) : y = − ( x − 3) + 1 ⇔ 9 x + 8 y − 35 = 0
8
8

- Trường hợp :
- Trường hợp : m=12 suy ra (AC): y=12(x-3)+1 hay (AC): 12x-y-25=0 ( loại vì nó //AB ).
- Vậy (AC) : 9x+8y-35=0 .
Bài 36 Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường trịn :
(C1) : (x - 5)2 + (y + 12)2 = 225 và (C2) : (x – 1)2 + ( y – 2)2 = 25

Hướng dẫn: - Ta có (C) với tâm I(5;-12) ,R=15. (C') có J(1;2) và R'=5. Gọi d là tiếp tuyến chung có
a 2 + b2 ≠ 0
phương trình : ax+by+c=0 (
).
5a − 12b + c
a + 2b + c
h( I,d ) =
= 15 ( 1) , h ( J , d ) =
= 5 ( 2)
a2 + b2
a 2 + b2
- Khi đó ta có :
5a − 12b + c = 3a + 6b + 3c
5a − 12b + c = 3 a + 2b + c ⇔ 
5a − 12b + c = −3a − 6b − 3c
- Từ (1) và (2) suy ra :
 a − 9b = c
⇔
 −2 a + 3 b = c
a + 2b + c = 5 a 2 + b 2

2
. Thay vào (1) :
ta có hai trường hợp :
2
2
( 2a − 7b ) = 25 a + b 2 ⇔ 21a 2 + 28ab − 24b 2 = 0

(

)

- Trường hợp : c=a-9b thay vào (1) :

 14 − 10 7 
14 − 10 7
175 + 10 7
→ d :
=0
a =
÷x + y −

÷
21
21
21




 a = 14 + 10 7 → d :  14 + 10 7  x + y − 175 − 10 7 = 0

÷

÷

21
21
21




Suy ra :

Sưu tầm & biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ

Page 18


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
Tập các bài Tốn về Đường thẳng trong các đề thi

- Trường hợp :
( Phù hợp vì :

3
2
c = −2a + b ⇒ ( 1) : ( 7b − 2a ) = 100 ( a 2 + b 2 ) ⇔ 96a 2 + 28ab + 51b 2 = 0
2

IJ = 16 + 196 = 212 < R + R ' = 5 + 15 = 20 = 400

. Vơ nghiệm .

. Hai đường trịn cắt nhau ) .

x 2 + y 2 + 2x − 8y − 8 = 0
Bài 37. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường trịn (C) :
. Viết phương
trình đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x+y-2=0 và cắt đường trịn theo một dây cung có độ dài

bằng 6.
Hướng dẫn: Đường thẳng d' song song với d : 3x+y+m=0
A
−3 + 4 + m
m +1
IH =
=
K
5
5
- IH là khoảng cách từ I đến d' :
x+2y-5=0
 AB 2 
IH 2 = IB 2 − 
÷ = 25 − 9 = 16
 4 
C
B(2;-1)
H
- Xét tam giác vuông IHB :
2
3x-4y+27=0
( m + 1) = 16 ⇔ m + 1 = 20 ⇒  m = 19 → d ' : 3x + y + 19 = 0
⇔
 m = −21 → d ' : 3x + y − 21 = 0
25

Bài 38. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2; -1), đường cao và đường phân giác trong
qua đỉnh A, C lần lượt là : (d1) : 3x – 4y + 27 = 0 và (d2) : x + 2y– 5=0
 x = 2 + 3t


 y = −1 − 4t
Hướng dẫn: - Đường thẳng (BC) qua B(2;-1) và vuông góc với (AH) suy ra (BC):
, hay :
r
x − 2 y +1
⇔
=
⇔ 4 x + 3 y − 7 = 0 ⊥ n = ( 4;3 )
3
−4

- (BC) cắt (CK) tại C :

 x = 2 + 3t

⇒  y = −1 − 4t → t = −1 ⇔ C ( −1;3)
x + 2 y − 5 = 0

r
n = ( a; b )

- (AC) qua C(-1;3) có véc tơ pháp tuyến

ϕ = R KCB = R KCA ⇒ cosϕ =

4+6
10
2
=

=
5 16 + 9 5 5
5

Suy ra (AC): a(x+1)+b(y-3)=0 (*). Gọi
a+2b
a+2b
2
2
cosϕ =
⇒
=
⇔ ( a + 2b ) = 4 ( a 2 + b 2 )
5
5 a 2 + b2
5 a 2 + b2
- Tương tự :
 a = 0 ⇒ b ( y − 3) = 0 ↔ y − 3 = 0
2
⇔ 3a − 4ab = 0 ⇔ 
 a = 4b ⇒ 4 ( x + 1) + ( y − 3) = 0 ↔ 4 x + 3 y − 5 = 0

3
3


Sưu tầm & biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ

Page 19

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
Tập các bài Tốn về Đường thẳng trong các đề thi

 y = 3

 y − 3 = 0
  x = −5

 31 582 
 3 x − 4 y + 27 = 0 ⇔  
31
  x = − ⇔ A1 ( −5;3) , A2 =  − 25 ; 25 ÷
 4 x + 3 y − 5 = 0


25




582
 3 x − 4 y + 27 = 0

 y =
25


- (AC) cắt (AH) tại A :
- Lập (AB) qua B(2;-1) và 2 điểm A tìm được ở trên . ( học sinh tự lập ).

Bài 39. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vng góc Oxy , xét tam giác ABC vng tại A, phương
3
3
trình đường thẳng BC là :
x–y= 0, các đỉnh A và B thuộc trục hồnh và bán kính đường trịn nội
tiếptam giác ABC bằng 2 . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC .
Hướng dẫn: - Đường thẳng (BC) cắt Ox tại B : Cho y=0 suy ra x=1 , B(1;0) . Gọi A(a;0) thuộc Ox là
a; 3 ( a − 1)

(

)

đỉnh của góc vng ( a khác 1 ).. Đường thẳng x=a cắt (BC) tại C :
.
2
2
2
AB = a − 1 , AC = 3 a − 1 ⇒ BC = AB + AC ⇒ BC = 2 a − 1
- Độ dài các cạnh :

(

)

a −1 + 3 a −1 + 2 a −1 = 3 + 3 a −1 ⇔ p =
- Chu vi tam giác : 2p=

- Ta có : S=pr suy ra p=
1

3
2

(

)

3 + 1 a −1 =

- Trọng tâm G :

S
r

.(*) Nhưng S=

2

1
1
3
2
AB. AC = a − 1 3 a − 1 =
( a − 1)
2
2
2

3
2

( a − 1) ⇒ a − 1 = 2
4

(

( 3 + 3 ) a −1

(

. Cho nên (*) trở thành :

a = 3 + 2 3
3 +1 ⇔ 
 a = −1 − 2 3


)

)


2 3 + 2 3 +1 7 + 4 3
2a + 1

 xG =
xG =
=

7+4 3 2 3+6
3



3
3
⇔
⇒
⇔ G1 
;
÷

3
3 ÷
3 2+2 3


 y = 3 ( a − 1)

2 3+6
=
 G
 yG =
3

3
3


(

(

)

)


2 −1 − 2 3 + 1
2a + 1

1+ 4 3
 xG =
xG =
=−

 1+ 4 3 2 3 + 6 
3


3
3
⇔
⇔
⇒ G2  −
;−
÷

3
3 ÷
3 ( a − 1)
3 −2 − 2 3



y =

2 3+6
=−
 G
 yG =
3

3
3


(

)

x2 + y 2 − 4x − 2 y −1 = 0

Bài 40. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho đường tròn (C) :
x + y +1 = 0

và đường thẳng d :
Hướng dẫn:

. Tìm những điểm M thuộc đường thẳng d sao cho từ điểm M kẻ được đến

Sưu tầm & biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ

Page 20


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
Tập các bài Tốn về Đường thẳng trong các đề thi

- M thuộc d suy ra M(t;-1-t). . Nếu 2 tiếp tuyến vng góc với
nhau thì MAIB là hình vng ( A,B là 2 tiếp điểm ). Do đó
6 2 =2 3
2
2
IA
=R
=
.
MI =

( 2−t)

2

AB=MI=
A

+ ( 2 + t ) = 2t + 8 = 2 3
2

I(2;1)

2

- Ta có :

(

)

t = − 2 → M 1 − 2; 2 − 1
2
2
2t + 8 = 12 ⇔ t = 2 ⇔ 
t = 2 → M
2; − 2 − 1
2



(

)

M
B
x+y+1=0

- Do đó :
.
* Chú ý : Ta cịn cách khác
- Gọi d' là đường thẳng qua M có hệ số góc k suy ra d' có phương trình : y=k(x-t)-t-1, hay : kx-y-kt-t-1=0
(1) .

2k − kt − t − 2
⇒
= 6
1+ k 2
- Nếu d' là tiếp tuyến của (C) kẻ từ M thì d(I;d')=R

⇔ ( 2 − t ) k − t − 2  = 6 ( 1 + k 2 ) ⇔ ( t 2 − 4t − 2 ) k 2 + 2 ( t + 2 ) ( 2 − t ) k + ( t 2 + 4t − 2 ) = 0


2


t 2 − 4t − 2 ≠ 0


⇔  ∆ ' = ( 4 − t 2 ) − ( t 2 − 2 − 4t ) ( t 2 − 2 + 4t ) > 0
 2
 t + 4t − 2 = −1
 t 2 − 4t − 2


- Từ giả thiết ta có điều kiện :
t ≠ 2 ± 6
1



 k1 + k2 = ±
2
2

⇔ ∆ ' = t ( 19 − t ) > 0 ⇒ t = ± 2 ⇒ 
2 ⇒ k1; k 2 ⇔ M
2
 k k = −1
 1 2
t = 2

-

x2 + 4 y 2 − 4 = 0

Bài 41. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho elip (E) :

.Tìm những điểm N trên elip

ˆ
F1 NF2 = 600

(E) sao cho :

( F1 , F2 là hai tiêu điểm của elip (E) )
2

Hướng dẫn:

- Gọi

: - (E) :

x

+ y 2 = 1 ⇒ a 2 = 4, b 2 = 1 ↔ c 2 = 3 → c = 3
4

2
2
 x0 + 4 y0 = 4

3
3

N ( x0 ; y0 ) ∈ ( E ) ⇒  MF1 = 2 +
x0 ; MF2 = 2 −
x0
2
2

 F1 F2 = 2 3


( F1F2 )

2

F1MF2
. Xét tam giác

theo hệ thức hàm số

= MF + MF − 2 MF1MF2 cos60 ⇔
2

1

2
2

0

cos :
Sưu tầm & biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ

Page 21


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
Tập các bài Tốn về Đường thẳng trong các đề thi

(

⇔ 2 3

)

2

2

2


3  

3  
3 
3 
= 2+
x0 ÷ +  2 −
x0 ÷ −  2 +
x0 ÷ 2 −
x0 ÷

÷ 
÷ 
÷
÷
2
2
2
2

 
 




4 2
1

 x0 = −
 y0 = − 3
3 2 

3 2
9 2
32
1
3
2
2
⇔ 12 = 8 + x0 −  4 − x0 ÷ ⇔ x0 = 8 ⇔ x0 =
⇔
⇒ y0 = ⇔ 
2
4 
4
9
9


4 2
y = 1
 x0 =
 0 3

3


- Như vậy ta tìm được 4 điểm :

 −4 2 1 
 −4 2 1 
 4 2 1

 4 2 1
N1 
; − ÷, N 2 
; ÷, N 3 
; − ÷, N 4 
 3
 3
 3
 3 ;3÷
÷
3÷
3÷
3÷









∆
Bài 42. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(1;1) và đường thẳng : 2x + 3y + 4 =0
∆
∆
Tìm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng sao cho đường thẳng AB và r hợp với nhau góc 450.
n = ( a; b )
Hướng dẫn: - Gọi d là đường thẳng qua A(1;1) có véc tơ pháp tuyến
thì d có phương trình

ur
u
n∆ = ( 2;3)
dạng : a(x-1)+b(y-1)=0 (*). Ta có
.
2a + 3b
1
2
cos ( d,∆ ) =
= cos450 =
⇒ 2 ( 2a + 3b ) = 13 ( a 2 + b2 )
2
13 a 2 + b 2
- Theo giả thiết :
1
1

a = − b → d : − ( x − 1) + ( y − 1) = 0 ↔ x − 5 y + 4 = 0
2
2
5
5
⇔ 5a − 24ab − 5b = 0 ⇔ 

 a = 5b → d : 5 ( x − 1) + ( y − 1) = 0 ↔ 5 x + y − 6 = 0

∆
- Vậy B là giao của d với cho nên :
x − 5 y + 4 = 0
5 x + y − 6 = 0

 32 4 
 22 32 
⇒ B1 
⇔ B1  − ; ÷, B2 : 
⇒ B2  ; − ÷
 13 13 
 13 13 
2 x + 3 y + 4 = 0
2 x + 3 y + 4 = 0

d1 : 2 x − y + 5 = 0

Bài 43. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng
.
d2: 3x +6y
– 7 = 0. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2; -1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng
d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2.
Hướng dẫn: : - Trước hết lập phương trình 2 đường phân giác tạo bởi 2 đường thẳng cắt nhau :
2x − y + 5
 3x + 6 y − 7
=−
 3 5
9 x + 3 y + 8 = 0
5
⇔
⇔
 3x + 6 y − 7 2 x − y + 5
3 x − 9 y + 22 = 0
=
 3 5

5


∆1
- Lập đường thẳng
qua P(2;-1) và vuông góc với tiếp tuyến : 9x+3y+8=0 .
x − 2 y +1
⇒ ∆1 :
=
⇔ x − 3y − 5 = 0
9
3
Sưu tầm & biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ

Page 22


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
Tập các bài Tốn về Đường thẳng trong các đề thi

⇔ ∆2 :

∆2
- Lập

qua P(2;-1) và vng góc với : 3x-9y+22=0

x − 2 y +1
=
⇔ 3x + y − 5 = 0

3
−9
x2 y2
−
=1
16 9

Bài 44. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho Hypebol (H) có phương trình:
. Viết
phương trình chính tắc của elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ
sở của (H).
a 2 = 16, b 2 = 9 ⇒ c 2 = 25 ↔ c = 5 ↔ F1 ( 5;0 ) , F2 ( 5;0 )
Hướng dẫn: : - (H) có
. Và hình chữ nhật cơ sở
( 4; −3) , ( 4;3) , ( −4; −3) , ( −4;3)
của (H) có các đỉnh :
.
2
2
x
y
+ 2 =1
2
a
b
- Giả sử (E) có :
. Nếu (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) thì ta có phương trình :
2
2
2

c = a − b = 25 ( 1)
y2 = 9 ⇒

x = 16
2

- (E) đi qua các điểm có hồnh độ

- Từ (1) và (2) suy ra :

và tung độ
x2 y2
2
2
a = 40, b = 15 ⇒ ( E ) :
+
=1
40 15

16 9
+ = 1 ( 2)
a2 b2

x2 + y 2 + 4 3x − 4 = 0

Bài 45. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường trịn (C) có phương trình:
Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường trịn (C’), bán kính R’ = 2 và tiếp xúc ngồi với (C) tại A
−2 3; 0
Hướng dẫn: - (C) có I(
), R= 4 . Gọi J là tâm đường trịn cần tìm :

2
2
⇒ ( C ') : ( x − a ) + ( y − b ) = 4
y
J(a;b)
A(0;2)
-Do (C) và (') tiếp xúc ngoài với nhau cho nên khoảng cách IJ
=R+R'

⇒

( a + 2 3)

2

+ b 2 = 4 + 2 = 6 ⇔ a 2 + 4 3a + b 2 = 28

( 0 − a)

2

2

+ ( 2 − b) = 4 ( 2)
2

- Vì A(0;2) là tiếp điểm cho nên :
 a + 2 3 2 + b 2 = 36
2
 2


 a + 4 3a + b = 24
⇔ 2

2
a − 4b + b = 0
a 2 + ( 2 − b ) 2 = 4


- Do đó ta có hệ :

(

)

(

3 ⇒ ( C ') : x − 3

)

2

+ ( y − 3) = 4
2

- Giải hệ tìm được : b=3 và a=
.
* Chú ý : Ta có cách giải khác .
- Gọi H là hình chiếu vng góc của J trên Ox suy ra OH bằng a và JH bằng b

Sưu tầm & biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ

Page 23

x


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
Tập các bài Tốn về Đường thẳng trong các đề thi

IA IO OA
4
2 3
2
=
=
⇔ =
=
IJ IH HJ
6 a+2 3 b

- Xét các tam giác đồng dạng : IOA và IHJ suy ra :
3
- Từ tỷ số trên ta tìm được : b=3 và a=
.
Bài 46. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x -2y -1 =0, đường
chéo BD: x- 7y +14 = 0 và đường chéo AC đi qua điểm M(2;1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật
Hướng dẫn: - Hình vẽ : ( Như bài 12 ).
 x − 2 y −1 = 0

⇒ B ( 7;3)

 x − 7 y + 14 = 0
- Tìm tọa độ B là nghiệm của hệ :
.
uu
ur
x = 7 + t
⊥ ( AB ) ⇒ u BC = ( 1; −2 ) ⇔ ( BC ) : 
 y = 3 − 2t
- Đường thẳng (BC) qua B(7;3) và
1 1
−
1
1
1
k BD = , k AB = ⇒ tan ϕ = 7 2 =
11 3
1
7
2
1+
⇔ 2 x + y − 17 = 0 → k BC = −
72
2
. Mặt khác :
1
2
k−
7k − 1

2 tan ϕ
3
7 =
⇒ tan 2ϕ =
=
= 3 =
2
k
7 + k 1 − tan ϕ 1 − 1 4
1+
7
9
- Gọi (AC) có hệ số góc là k
17

 28k − 4 = −3k − 21  k = −
4 7k − 1 = 3 k + 7 ⇔ 
⇔
31

 28k − 4 = 3k + 21
k = 1
- Do đó :
- Trường hợp : k=1 suy ra (AC) : y=(x-2)+1 , hay : x-y-1=0 .
x = 7 + t

⇔  y = 3 − 2t → t = −1, C ( 6;5 )
x − y −1 = 0

- C là giao của (BC) với (AC) :

x = 7 + t

⇔  y = 3 − 2t
→ t = 0, A ( 1;0 )
x − 2 y −1 = 0

- A là giao của (AC) với (AB) :
- (AD) //(BC) suy ra (AD) có dạng : 2x+y+m=0 (*) , do qua A(1;0) : m= -2 . Cho nên (AD) có phương
trình : 2x+y-2=0 .
2 x + y − 2 = 0
⇒ D ( 0; 2 )

 x − 7 y + 14 = 0
- D là giao của (AD) với (BD) :
17
31
- Trường hợp : k=cách giải tương tự ( Học sinh tự làm ).
Sưu tầm & biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ

Page 24


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
Tập các bài Tốn về Đường thẳng trong các đề thi

Bài 47. Trong mp (Oxy) cho đường thẳng (∆) có phương trình: x – 2y – 2 = 0 và hai điểm A (-1;2);
∈
B (3;4). Tìm điểm M (∆) sao cho 2MA 2 + MB 2 có giá trị nhỏ nhất
∆
Hướng dẫn: - M thuộc suy ra M(2t+2;t )

2
2
MA2 = ( 2t + 3 ) + ( t − 2 ) = 5t 2 + 8t + 13 ⇒ 2 MA2 = 10t 2 + 16t + 26
- Ta có :
2
2
MB 2 = ( 2t − 1) + ( t − 4 ) = 5t 2 − 12t + 17
Tương tự :
2
641
15t 2 + 4t + 43 ⇒ f ' ( t ) = 30t + 4 = 0 → t = −
15
15
- Do dó : f(t)=
. Lập bảng biến thiên suy ra min f(t) =
2
2
 26
t = − ⇒ M  ;− ÷
15
 15 15 
đạt được tại
Bài 48. Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0 và điểm M (2;4)
Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường trịn tại 2 điểm A và B, sao cho M là trung điểm của
AB
2
2
( x − 1) + ( y − 3) = 4 ⇒ I ( 1;3) , R = 2, PM /(C ) = 1 + 1 − 4 = −2 < 0 ⇒ M
Hướng dẫn: - Đường tròn (C) :
nằm trong hình trịn (C) .

r
 x = 2 + at
u = ( a; b ) ⇒ d : 
 y = 4 + bt
- Gọi d là đường thẳng qua M(2;4) có véc tơ chỉ phương
2
2
( at + 1) + ( bt + 1) = 4 ⇔ a 2 + b2 t 2 + 2 ( a + b ) t − 2 = 0 ( 1)

(

)

- Nếu d cắt (C) tại A,B thì :
2
∆ ' = ( a + b ) + 2 a 2 + b 2 = 3a 2 + 2ab + 3b 2 > 0 ( *)

(

)

( có 2 nghiệm t ) .

Vì vậy điều kiện :
A ( 2 + at1 ; 4 + bt1 ) , B ( 2 + at2 ; 4 + bt2 ) ⇒
- Gọi
M là trung điểm AB thì ta có hệ :


 4 + a ( t1 + t2 ) = 4

a ( t1 + t2 ) = 0
⇔
⇔
⇔ t1 + t2 = 0
8 + b ( t1 + t 2 ) = 8
b ( t1 + t2 ) = 0


. Thay vào (1) khi áp dụng vi ét ta được :
2 ( a + b)
x−2 y−4
⇔ t1 + t2 = − 2
= 0 ⇔ a + b = 0 ⇔ a = −b ⇒ d :
=
⇔ d : x+ y−6 = 0
2
a +b
−1
1

Bài 49. Viết phương trình các tiếp tuyến của e líp (E):

x2 y 2
+
=1
16 9

, biết tiếp tuyến đi qua điểmA(4;3)
r
n = ( a; b )

Hướng dẫn: - Giả sử đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến
qua A(4;3) thì d có phương trình
là :a(x-4)+b(y-3)=0 (*) , hay : ax+by-4a-3b (1) .
2
a 2 .16 + b 2 .9 = ( 4a + 3b )
- Để d là tiếp tuyến của (E) thì điều kiện cần và đủ là :
Sưu tầm & biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ

Page 25