Bài tập về dãy số có lời giải

CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ
Phương pháp chứng minh qui nạp

1.Chứng minh rằng :
a) 1 + 2 + 3 + … + n =
n(n + 1)
2

b) 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ …+ n
2
=
n(n + 1)(2n + 1)
6

c) 1 + 3 + 5 + …+ (2n – 1) = n
2

d) 1
2
+ 3
2
+ 5
2
+ …+ (2n – 1)
2

=
n(2n – 1)(2n + 1)
3

e) 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ …+ n
3
=
n
2
(n + 1)
2
4

f)
1
1.2
+
1
2.3
+
1
3.4
+ +
1

n(n + 1)
=
n
n + 1

g) 1 +
1
2
+
1
2
2
+ +
1
2
n
= 1 –
1
2
n

h) (1 –
1
4
)(1 –
1
9
)…(1 –
1
n

2
) =
n + 1
2n

h) 1.2 + 2.3 + 3.4 + …+ n(n + 1) =
n(n + 1)(n + 2)
3

i) 1.2 + 2.5 + 3.8 + …+ n(3n – 1) = n
2
(n + 1) n  N
i)
1
1.3
+
1
3.5
+
1
5.7
+ +
1
(2n – 1)(2n + 1)
=
n
2n + 1

j) 1.2 + 2.5 + 3.7 + …+ n(3n – 1) = n
2

(n + 1)
k) 1.4 + 2.7 + 3.10 + …+ n(3n + 1) = n(n + 1)
2

l) 1 + 4 + 7 + …+ (3n + 1) =
3n
2
+ 5n + 2
2

l) 2 + 5 + 8 + …+ (3n – 1) =
n(3n + 1)
2

m)
1
3
+
1
3
2
+
1
3
3
+ +
1
3
n
=

3
n
– 1
2.3
n

n)
1
3
+
2
3
2
+
3
3
3
+ +
n
3
n
=
3
4
–
2n + 3
4.3
n

p) 1 + 3 + 6 + 10 + +

n(n + 1)
2
=
n(n + 1)(n + 2)
6

q)
1
1.2.3
+
1
2.3.4
+
1
3.4.5
+ +
1
n(n + 1)(n + 2)
=
n(n + 3)
4(n + 1)(n + 2)

2.Chứng minh rằng :
a)n
3
– n chia hết cho 6  n > 1 b) n
3
+ 11n chia hết cho 6  n
c) 4
2n +2

– 1 chia hết cho 15  n d) 2
n+2
> 2n + 5
d) n
3
+ 3n
2
+ 5n chia hết cho 3 e) 4
n
+ 15n – 1 chia hết cho 9
e) 3
n – 1
> n  n > 1 f) 3
n
> 3n + 1 g) 2
n
– n >
3
2

f)11
n +1
+ 12
2n – 1
chia hết cho 133 g) 5.2
3n – 2
+ 3
3n – 1
chia hết cho 19
g) 2n

3
– 3n
2
+ n chia hết cho 6 g) 3
n
> n
2
+ 4n + 5
f)
1
n + 1
+
1
n + 2
+
1
n + 3
+ …+
1
2n
>
13
24
 n >1
g)
1
n + 1
+
1
n + 2

+
1
n + 3
+ …+
1
3n + 1
> 1  n ≥ 1
h)
1
2

.
3
4

.
5
6

…
2n + 1
2n + 2
<
1
3n + 4
i) 1 +
1
2
+
1

3
+ …+
1
n
> n n ≥ 2
j) 1 +
1
2
+
1
3
+ …+
1
n
< 2 n n ≥ 2
k) 1 +
1
2
+
1
3
+ …+
1
2
n
– 1
< n
3. Chứng minh rằng 2 + 2 + …+ 2 = 2cos

2

n + 1
( n dấu căn)
4. Chứng minh rằng (1 + a)
n
≥ 1 + na với a > – 1
5. Chứng minh rằng
a) sinx + sin2x + sin3x + …+ sinnx =
sin
nx
2
.sin
(n +1)x
2
sin
x
2

b) 1 + cosx + cos2x + cos3x + …+ cosnx =
cos
nx
2
.sin
(n +1)x
2
sin
x
2

c) cos
2

x + cos
2
2x + cos
2
3x + …+ cos
2
nx =
n
2
+
sinnx.cos(n + 1)x
2sinx

6.Cho n số thực dương x
1
,x
2
,…,x
n
thỏa mãn điều kiện x
1.
x
2.
…x
n
= 1
Chứng minh rằng: x
1
+

x
2
+ …+ x
n
≥ n
7.Cho n số thực x
1
,x
2
,…,x
n
 (0;1) n ≥ 2 . Chứng minh rằng:
(1 – x
1
)(1–

x
2
)…(1 – x
n
) > 1 – x
1
– x
2
– …– x
n

CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ
Dãy số

1.Viết 5 số hạng đầu tiên của các dãy số sau :
a) u
n
=
1
2n – 1
b) u
n
=
3n + 1
n
2
+ 1
c) u
n
=
1 + (– 2)
n
n + 1
d) u
n
=
1
n + 1 – n

e) u
n

=
n
2
n
b) u
n
=
2
n
– 1
2
n
+ 1
c) u
n
= (1 +
1
n
)
n
d) u
n
=
n + 1
n
2
+ 1

2.Cho dãy số u
n

=
3n – 1
2n + 1

a) Xác định 5 số hạng đầu tiên
b) số
17
15
là số hạng thứ mấy của dãy số
c) số
32
7
là số hạng thứ mấy của dãy số
2.Cho dãy số (u
n
) với u
n
= 5.4
n – 1
+ 3
Chứng minh rằng: u
n + 1
= 4u
n
– 9  n ≥ 1
3.Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau:
a) u
1
= 3 ; u
n +1

= u
n
+ 4 b) u
1
= 4 ; u
n +1
= 3u
n
+ 2
c) u
1
= 2 ; u
n +1
=
1
2
u
n
d) u
1
= 2 ; u
n +1
= 2 + u
n

e) u
1
=
3
3

; u
n +1
=
u
n
+ 1
1 – u
n
f) u
1
= 3 ; u
n +1
=
u
n
+ 1
1 – u
n

g) u
1
= 1 ; u
n +1
=
1
3
u
n
+ 1 g)

u
1
= 1 ; u
n +1
= u
n
+ (
1
2
)
n

4.Cho dãy số (u
n
) xác định bởi : u
1
= 0 ; u
2
= 1 ; u
n + 2
=
u
n+1
+ u
n
2

a)Chứng minh rằng: u
n + 1
= –

1
2
u
n
+ 1
b)Xác định công thức tính u
n
.Từ đó tính limu
n
4.Cho dãy số (u
n
) xác định bởi : u
1
= 2 ; u
2
= 1 ; u
n
=
u
n–1
+ u
n– 2
2

a)Chứng minh rằng: 2u
n
+ u
n–1
= 4 và u
n

– u
n– 1
= 3(–
1
2
)
n– 2
b) Tính limu
n
4.Tìm số hạng thứ 2005 của dãy số:
a) u
1
= 1 ; u
2
= – 2 ; u
n
= 3u
n – 1
– 2u
n – 2

b) u
1
= 1 ; u
2
= 2 ; u
n
= 4u
n – 1
– 3u

n – 2
5.Cho dãy số (u
n
) xác định bởi u
1
= 1 và u
n + 1
= u
n
+ 7  n ≥ 1
a)Tính u
2
, u
4
và u
6

b)Chứng minh rằng: u
n
= 7n – 6 n ≥ 1
6.Cho dãy số (u
n
) xác định bởi u
1
= 1 và u
n + 1
= –
3
2
u

n
2
+
5
2
u
n
+ 1  n ≥ 1
a)Tính u
2
, u
3
và u
4

b)Chứng minh rằng: u
n
= u
n + 3
n ≥ 1
7.Cho dãy số (u
n
) xác định bởi u
1
= 2 và u
n + 1
= 5u
n
 n ≥ 1
a)Tính u

2
, u
4
và u
6

b)Chứng minh rằng: u
n
= 2.5
n – 1
n ≥ 1
8.Cho dãy số (u
n
) xác định bởi u
1
= 2 và u
n + 1
= 3u
n
+ 2n – 1  n ≥ 1
Chứng minh rằng: u
n
= 3
n
– n n ≥ 1
9.Cho dãy số (u
n
) xác định bởi u
1
= 2 và u

n + 1
=
u
n
2
+ 4
4
 n ≥ 1
Chứng minh rằng: (u
n
) là một dãy không đổi
9. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi u
1
=
1
3
và u
n + 1
= 4u
n
+ 7  n ≥ 1
a)Tính u
2
, u
3
và u
4

b)Chứng minh rằng: u
n
=
2
2n + 1
– 7
3
n ≥ 1
10.Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
a) u
n
=
3n
2
– 2n +1
n +1
b) u
n
=
n
2
+ n +1
2n
2
+1

c) u
n
= n – n
2

– 1 d) u
n
=
n +1 – 1
n

3. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
a) u
n
=
n + 1
n
b) u
n
= n
2
– 5 c) u
n
=
n – 1
2n
d) u
n
= (– 1)
n
.n e) u
n
= 2
n

f) u
n
=
3
n
4
n
g) u
n
=
(– 1)
n
.n
n + 1
h) u
n
=
2 – n
n
i) u
n
= n + cos
2
n
h) u
n
= 1 – n + 1
4. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau :
a) u
n

=
n
2
+ 1
n
2
b) u
n
=
n
3 c) u
n
=
n
4
n
d) u
n
= n + 1 – n
e) u
n
= 2 + 2 + 2 + …+ 2 n dấu căn f) u
n
= 2n + cos
1
n

CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ
f) u
n

=
1
n
– 2 g) u
n
=
n – 1
n + 1
h) u
n
= (– 1)
n
(2
n
+ 1) k) u
n
=
2n + 1
5n + 2

l) u
n
= 2n +
1
5
n
m) u
n
=
2

n
. n
3
n

5.Cho dãy số (u
n
) xác định bởi u
n
=
an
2
+ 1
2n
2
+ 3
a là một số thực.Hãy xác định a
để: a) (u
n
) là dãy số giảm b) (u
n
) là dãy số tăng
5.Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) u
n
=
n + 1
n
b) u
n

=
2n – 1
3n + 1
c) u
n
=
n – 1
n
2
+ 1

d) u
n
=
n
2
n
2
+ 1
e) u
n
=
2n
2
n
2
+ 1
f) u
n
=

2n
2
+ 2n + 1
n
2
+ n + 4

g) u
n
= 6 + 6 + … + 6 n dấu căn
6. Chứng minh rằng dãy số sau tăng và bị chặn trên:
u
n
=
1
1.2
+
1
2.3
+ …+
1
n(n +1)

6. Chứng minh rằng dãy số sau giảm và bị chặn : u
n
=
n + 3
n + 1

6.Cho dãy số (u

n
) xác định bởi công thức
u
1
= 0 và u
n +1
=
1
2
u
n
+ 4
a)Chứng minh rằng u
n
< 8  n
b)Chứng minh rằng dãy (u
n
) tăng và bị chặn
7.Cho dãy số (u
n
) xác định bởi công thức
u
1
= 1 và u
n +1
=
u
n
+ 2
u

n
+ 1

a) Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy số
b)Chứng minh rằng (u
n
) bị chặn dưới bởi số 1 và
bị chặn trên bởi số 3/2
8.Cho dãy số (u
n
) xác định bởi công thức u
1
= 6 và u
n +1
= 6 + u
n

Chứng minh rằng u
n
< 3  n
9.Cho dãy số (u
n
) xác định bởi u
n
=
n + (– 1)
n
2n + 1

a)Tìm 5 số hạng đầu tiên

b)Chứng minh rằng (u
n
) bị chặn
10. Chứng minh rằng dãy số xác định bởi : u
1
=
1
2
; u
n +1
=
u
n
2
+ 1
2

tăng và bị chặn trên
10. Chứng minh rằng:các dãy số sau
a) u
n
=
1
n + 1
+
1
n + 2
+ … +
1
n + n

(u
n
) là dãy tăng và bị chặn trên bởi 1
b) u
n
= 1 +
1
2
2
+
1
3
2
+ …+
1
n
2
tăng và bị chặn trên bởi 2
c) u
1
= 2 ;u
n + 1
= 2 + u
n
tăng và bị chặn trên bởi 2
d) u
1
= 1;u
n + 1
=

u
n

+ 2
u
n
+ 1
tăng và bị chặn trên bởi
3
2

11.Tìm số hạng lớn nhất của dãy số (u
n
) với u
n
=
n – 1
n
2
– n + 7


Cấp số cộng

1.Cho cấp số cộng thoả mãn a
10
= 15 ; a
5
= 5 .Tính a
7

2.Cho cấp số cộng thoả mãn





8aa
10aaa
62
473
Tính a
5
;S
9
3.Cho cấp số cộng thoả mãn





75a.a
8aa
72
37
Tính a
10
;S
100
4. Tìm cấp số cộng biết
a)






26aa
10aaa
64
352
b)





1170aa
60aa
2
12
2
4
157

5.Một cấp số cộng có số hạng thứ nhất là 5, số hạng cuối là 45 và tổng tất cả
các số hạng là 400.Hỏi cấp số cộng có mấy số hạng,xác định cấp số cộng đó
5. Cho 3 số a,b,c tạo thành 1 cấp số cộng . Chứng minh rằng :
a) a
2
+ 2bc = c
2

+ 2ab
b) 3 số a
2
+ ab + b
2
; a
2
+ ac + c
2
; b
2
+ bc + c
2
cũng tạo
thành 1 cấp số cộng
c) a
2
+ 8bc = (2b + c)
2
d) 3(a
2
+ b
2
+ c
2
) = 6(a – b)
2
+ (a + b + c)
2

6. Bốn số a,b,c,d tạo thành 1 cấp số cộng có tổng = 10,
tích = – 56.Tìm 4 số đó
7. Năm số a,b,c,d,e tạo thành 1 cấp số cộng có tổng = 10,
tích = 320.Tìm 5 số đó
8. Ba số a ,b ,c lập thành một cấp số cộng có tổng = 27 và tổng bình phương
của chúng là 293.Tìm 3 số đó
CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ
8. Ba số a ,b ,c lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu là 5 và tích của
chúng là 1140.Tìm 3 số đó
8. Ba số a,b,c tạo thành 1 cấp số cộng có tổng = 12,
tổng nghịch đảo của chúng =
39
28
.Tìm 3 số đó
9.Tìm các nghiệm của phương trình x
3
– 15x
2
+ 71x – 105 = 0 biết rằng chúng
tạo thành một cấp số cộng
9.Bốn số a,b,c,d tạo thành 1 cấp số cộng có tổng = 8,
tổng nghịch đảo của chúng =
8
15
.Tìm 3 số đó
10.Giữa các số 7 và 35 hãy thêm vào 6 số nữa để được 1 cấp
số cộng
11.Cho các số a,b,c > 0. Chứng minh rằng :
a)các số a
2

, b
2
, c
2
lập thành 1 cấp số cộng
 các số
1
b + c

,

1
c + a

,
1
a + b
lập thành 1 cấp số cộng
b)các số a,b,c lập thành 1 cấp số cộng  các số

1
b + c

,

1
c + a

,

1
a + b
lập thành 1 cấp số cộng
12.Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng 3 cạnh a,b,c lập
thành 1 cấp số cộng  tg
A
2

.
tg
C
2
=
1
3

13. Chứng minh rằng nếu cotg
A
2
, cotg
B
2
, cotg
C
2
tạo thành
1 cấp số cộng thì 3 cạnh a,b,c cũng tạo thành 1 cấp số cộng
theo thứ tự đó
14.Môt đa giác có chu vi là 158cm,độ dài các cạnh lập thành
1 cấp số cộng với công sai d = 3.Biết cạnh lớn nhất là 44cm

Tính số cạnh của đa giác
14.Một đa giác lồi có 9 cạnh và các góc lập thành một cấp số cộng có công
sai d = 3
o
. Tính các góc của đa giác đó
15.Tìm 4 số nguyên khác nhau,biết rằng chúng lập thành 1
cấp số cộng và số hạng đầu bằng tổng các bình phương
của 3 số còn lại
16.Cho cấp số cộng (u
n
). Chứng minh rằng :
a)
1
u
1
u
2
+
1
u
2
u
3
+…+
1
u
n–1
u
n
=

n – 1
u
1
u
n
u
n
 0  n
b)
1
u
1
+ u
2
+
1
u
2
+ u
3
+ …+
1
u
n–1
+ u
n
=
n – 1
u
1

+ u
n

17.Tìm m để phương trình x
4
– (3m + 5)x
2
+ (m+1)
2
= 0 có 4 nghiệm phân
biệt lập thành 1 cấp số cộng
18.Cho 2 cấp số cộng (u
n
) : 4,7,10,13,16,
(v
n
) : 1,6,11,16,21,
Hỏi trong 100 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số cộng đó có bao nhiêu số hạng
chung
19.Một xe máy xuất phát từ A với vận tốc 24km/giờ.Sau hai giờ một xe máy
khác đuổi theo với vận tốc trong giờ đầu là 30km/giờ và cứ mỗi giờ sau tăng
vận tốc lên 4 km so với giờ trước.Hỏi sau mấy giờ thì hai người gặp nhau và
khi đó cách A bao nhiêu km
20.Cho dãy số (u
n
) mà tổng của n số hạng đầu tiên của nó,kí hiệu là S
n
được
xác định theo công thức sau: S
n

=
n.(7 – 3n)
2

a)Hãy tính u
1
,u
2
,u
3

b)Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (u
n
)
c)Chứng minh rằng: (u
n
) là một cấp số cộng ,xác định công sai
21.Cho dãy số (u
n
) xác định bởi u
1
= 1 và u
n + 1
= u
n
2
+ 2 n ≥ 1
a)Chứng minh rằng: dãy số (v
n
) mà v

n
= u
n
2
n ≥ 1 là một cấp số cộng , hãy
xác định cấp số cộng đó
b)Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (u
n
)
c)Tính tổng S = u
1
2
+ u
2
2
+ u
3
2
+ …+ u
100
2

22.Cho dãy số (u
n
) xác định bởi: u
1
= 1 và u
n +1

= u

n
+ n n ≥ 1
Xét dãy số (v
n
) mà v
n
= u
n + 1
– u
n
 n ≥ 1
a)Chứng minh rằng: với mọi số nguyên dương k,tổng của k số hạng đầu tiên
của dãy số (v
n
) bằng u
k + 1
– u
1

b)Chứng minh rằng: dãy số (v
n
) là là một cấp số cộng ,hãy xác định cấp số
cộng đó
23.Cho dãy số (u
n
) xác định bởi: u
1
= 1 và u
n +1

= u
n
+ 2n – 1 n ≥ 1
Xét dãy số (v
n
) mà v
n
= u
n + 1
– u
n
 n ≥ 1
a)Chứng minh rằng: dãy số (v
n
) là là một cấp số cộng ,hãy xác định cấp số
cộng đó
b)Cho số nguyên dương k,hãy tính tổng của k số hạng đầu tiên của dãy số (v
n
)
theo k.Từ đó suy ra số hạng tổng quát của (u
n
)
24.Cho dãy số (u
n
) xác định bởi: u
1
= – 2 và u
n +1

=

u
n
1 – u
n
n ≥ 1
a)Chứng minh rằng: u
n
< 0 n  N
CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ
b) Đặt v
n
=
1 + u
n
u
n
. Chứng minh rằng: (v
n
) là một cấp số cộng .Từ đó suy ra
biểu thức của u
n
và v
n

24.Cho hai cấp số cộng (u
n
) và (v
n
) lần lượt có tổng của n số hạng đầu tiên là
S

n
= 7n + 1 và S
n
’ = 4n + 27. Tính tỉ số
u
11
v
11

25. Xác định cấp số cộng biết rằng tổng của n số hạng đầu tiên được tính bởi
công thức S
n
= 4n
2
+ 5n , n  N
26.Cho cấp số cộng (u
n
) biết S
p
= q và S
q
= p. Hãy tính S
p + q

27.Cho cấp số cộng (u
n
) biết u
p
= q và u
q

= p. Hãy tính u
n

28.Cho cấp số cộng (u
n
) biết S
n
= 2n + 3n
2
Tìm u
q

28.Cho cấp số cộng (u
n
) biết S
n
= n
2
và S
m
= m
2
. Chứng minh rằng:
u
m

= 2m – 1 và u
n

= 2n – 1

29.Cho cấp số cộng (u
n
) biết S
n
= n(5n – 3). Tìm số hạng u
p



Cấp số nhân

1.Cho cấp số nhân có u
2
= – 8; u
5
= 64.Tính u
4
; S
5
2.Cho cấp số nhân thoả:
a)





180aa
60aa
35
24

tìm a
6
; S
4
b)





91aaa
728aa
531
17
tìm a
4
; S
5

c)





20aa
1460aa
31
17
tìm a

2
; S
5

d)





65aaa
325aa
531
17

3.Cho cấp số nhân (u
n
) có 3 3 .u
2
+ u
5
= 0 và u
3
2
+ u
6
2
= 63.Tính tổng
S = |u
1

| + |u
2
| + |u
3
| + ….+|u
15
|
4.Cho dãy số (u
n
) xác định bởi u
1
= 2 và u
n + 1
= 3.u
n
2
– 10 n ≥ 1
Chứng minh rằng: (u
n
) vừa là cấp số cộng ,vừa là cấp số nhân
3.Cho tứ giác ABCD có 4 góc tạo thành 1 cấp số nhân có
công bội bằng 2 . Tìm 4 góc ấy
4.Một cấp số nhân có số hạng đầu là 9 số hạng cuối là 2187, công bội q = 3
Hỏi cấp số nhân ấy có mấy số hạng
4. Xác định cấp số nhân có công bội q = 3, số hạng cuối là 486 và tổng các số
hạng là 728
5.Tìm cấp số nhân có 6 số hạng, biết rằng tổng của 5 số hạng đầu bằng
31 và tổng của 5 số hạng sau bằng 62
6.Tìm cấp số nhân có 4 số hạng, biết rằng tổng của số hạng đầu và số
hạng cuối bằng 27 và tích của hai số hạng còn lại bằng 72

5. Trong 1 hồ sen số lá sen ngày sau bằng 3 lần số lá sen
ngày trước.Biết rằng nếu ngày đầu tiên có 1 lá sen thì
tới ngày thứ 10 thì hồ đầy lá sen
a)Khi đầy hồ có mấy lá sen
b)Nếu ngày đầu tiên có 9 lá sen thì tới ngày thứ mấy đầy hồ
6.Cho 3 số a,b,c tạo thành 1 cấp số nhân .Chứng minh rằng
a) (a + b + c)(a – b + c) = a
2
+ b
2
+ c
2

a) (bc + ca + ab)
3
= abc(a + b + c)
3
b) (a
2
+ b
2
)(b
2
+ c
2
) = (ab + bc)
2

c) 3 số
2

b – a
;
1
b
;
2
b – c
tạo thành 1 cấp số cộng
d) 3 số
1
3
(a + b + c);
1
3
(ab + bc + ca) ;
3
abc cũng lập thành một cấp
số nhân vứi a ,b ,c > 0

7.Tìm x để 3 số x + 1 ; x + 4 ; 5x + 2 tạo thành 1 cấp số nhân
8.Cho 3 số tạo thành 1 cấp số nhân .Nếu thêm 4 vào số hạng
thứ hai tađược 1 cấp số cộng .Nếu thêm 32 vào số hạng
thứ 3 ta được 1 cấp số nhân .Tìm 3 số hạng đó
9.Tìm cấp số nhân a,b,c biết
a)






64c.b.a
14cba
b)





3375c.b.a
65cba

10.Biết rằng 3 số a,b,c lập thành 1 cấp số nhân và 3 số a,2b,3c lập thành 1
cấp số cộng .Tìm công bội của cấp số nhân
11. Tìm cấp số nhân a,b,c biết rằng tổng a + b + c = 26,đồng
thời chúng lần lượt là số hạng thứ nhất,thứ ba và thứ chín
của một cấp số cộng khác
12.Tìm cấp số nhân a,b,c biết rằng tổng a + b + c = 21,
đồng thời chúng lần lượt là số hạng thứ nhất,thứ hai và thứ
tư của 1 cấp số cộng khác
13.Tính các góc của 1 tam giác vuông có độ dài 3 cạnh
lập thành 1 cấp số nhân
CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ
14.Cho 2 số a,b > 0.Giữa các số
a
b
2
và
b
a
2

hãy thêm vào 5
số nữa để được 1 cấp số nhân
15.Hãy xác định 1 cấp số nhân có 6 số hạng,biết rằng tổng
3 số hạmg đầu bằng 168, tổng 3 số hạng sau bằng 21
16.Khoảng cách giữa 1 người đi xe máy và 1 người đi bộlà 1km .Vận tốc
của xe máy = 10 lần vận tốc người đi bộ.Hỏi xe máy
cần vượt 1 quãng đường dài bao nhiêu để đuổi kịp người đi bộ
17.Tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng 4.Trung điểm của
các cạnh tam giác ABC lập thành tam giác A
1
B
1
C
1
,trung điểm
các cạnh của A
1
B
1
C
1
lập thành tam giác A
2
B
2
C
2
trung điểm
các cạnh của A
2

B
2
C
2
lập thành tam giác A
3
B
3
C
3
Tính tổng
chu vi của tất cả các tam giác ABC,

A
1
B
1
C
1
,

A
2
B
2
C
2

18.Các cạnh của tam giác ABC lập thành 1 cấp số nhân .
Chứng minh rằng tam giác ấy không thể có 2 góc lớn hơn 60

0

19.Cho tam giác ABC có 3 góc A,B,C lập thành 1 cấp số
nhân có công bội q = 2. Chứng minh rằng :
a)
1
b
+
1
c
=
1
a

b) cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C =
5
4

20.Hãy xác định a,b sao cho 1,a,b lập thành 1 cấp số cộng và
1, a
2
,b
2
lập thành 1 cấp số nhân

21.Ba số dương lập thành 1 cấp số cộng có tổng = 15.Nếu thêm 1 vào số
thứ nhất và số thứ hai,thêm 4 vào số thứ ba thì được 3 số mới lập thành 1 cấp
số nhân .Tìm các số đó
21

Ba số lập thành 1 cấp số cộng có tổng = 15.Nếu thêm 1 vào số thứ nhất,
thêm 4 vào số thứ hai,thêm 19 vào số thứ ba thì được 3 số mới lập thành 1 cấp
số nhân .Tìm các số đó
22.Bốn số lập thành 1 cấp số cộng .Lần lượt trừ mỗi số ấy cho 2,6,7,2 ta
được 1 cấp số nhân .Tìm 4 số đó
23.Ba số khác nhau tạo thành 1 cấp số nhân ,có tổng = 15 đồng thời chúng
là số hạng thứ nhất,thứ tư,thứ hai mươi lăm của 1 cấp số cộng khác.Tìm các số
đó
24.Cho cấp số nhân a,b,c,d. Chứng minh rằng :
a) a
2
b
2
c
2






1
a
3
+

1
b
3
+
1
c
3
= a
3
+ b
3
+ c
3

b) (ab + bc + cd)
2
= (a
2
+ b
2
+ c
2
)(b
2
+ c
2
+ d
2
)
c) (d – b)

2
+ (b – c)
2
+ (c – a)
2
= (d – a)
2
25.Một cấp số cộng và một cấp số nhân cùng có số hạnh thứ nhất bằng 5,số
hạng thứ hai của cấp số cộng lớn hơn số hạng thứ hai của cấp số nhân là
10,còn các số hạng thứ ba thì bằng nhau.
Tìm các cấp số đó
26.Ba số x ,y ,z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q 
1;đồng thời các số x ,2y ,3z theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng với công
sai d  0.Hãy tìm q
27.Ba số x + 6y ,5x + 2y ,8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng ;
đồng thời các số x – 1 , y + 2 , x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số
nhân.Hãy tìm x và y
27.Ba số x + 6y ,5x + 2y ,8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng ;
đồng thời các số x +
5
3
, y – 1 , 2x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số
nhân.Hãy tìm x và y
28.Ba số x ,y ,z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân;đồng thời các số x ,
y – 4 , z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân; và ba số x , y – 4 ,
z – 9 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng .Hãy tìm x ,y ,z
29.Các số x + 5y ,5x + 2y ,8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng
;đồng thời các số (y – 1)
2
,xy – 1, (x + 2)

2
theo thứ tự đó lập thành một cấp số
nhân . Hãy tìm x và y
30.Tính các tổng
a) S = 1 +
4
5
+
7
5
2
+
10
5
3
+ …+
3n – 2
5
n – 1

b) S = (
4
7
–
5
7
2
) + (
4
7

3
–
5
7
4
) + (
4
7
5
–
5
7
6
) + …+ (
4
7
2n – 1
–
5
7
2n
)
c) S = 1 +
3
2
+
5
4
+
7

8
+ …+
2n – 1
2
n – 1

31.Cho dãy số (u
n
) xác định bởi u
1
= 1 ;u
n + 1
=
u
n
+ 8
5
và dãy số (v
n
) xác định
bởi v
n
= u
n
– 2 . Chứng minh rằng: (v
n
) là một cấp số nhân .Từ đó suy ra biểu
thức của u
n
và v

n