PTLG phương pháp hạ bậc, góc nhân đôi, ba
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (167.94 KB, 13 trang )
Bài 7. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba
245
BÀI 3. SỬ DỤNG CÔNG THỨC HẠ BẬC, GÓC NHÂN ĐÔI
I. SỬ DỤNG CÔNG THỨC HẠ BẬC
2
1 cos 2
sin ;
2
x
x
−
=
2
1 cos 2
cos
2
x
x
+
=
;
1
sin cos sin 2
2
x x x
=
;
2
1 cos 2
tan ;
1 cos 2
x
x
x
−
=
+
3
sin 3 3sin
sin
4
x x
x
− +
=
;
3
cos 3 3cos
cos
4
x x
x
+
=
;
3
sin 3 3sin
tan ;
cos 3 3cos
x x
x
x x
− +
=
+
CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA
Bài 1.
Giải phương trình:
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6
x x x x
− = −
(1)
Giải
( )
1 cos 6 1 cos 8 1 cos10 1 cos12
1
2 2 2 2
x x x x
− + − +
⇔ − = −
cos 6 cos8 cos10 cos12 2 cos 7 cos 2cos11 cos
x x x x x x x x
⇔ + = + ⇔ =
( )
cos 0
cos cos11 cos 7 0
cos11 cos 7
x
x x x
x x
=
⇔ − = ⇔
=
( )
2 9
k k
x x k
π π
⇔ = ∨ = ∈
»
Bài 2. a.
Giải phương trình:
2 2 2 2
cos cos 2 cos 3 cos 4 2
x x x x
+ + + =
(1)
b.
Giải phương trình:
2 2 2 2
3
cos cos 2 cos 3 cos 4
2
x x x x
+ + + =
(2)
Giải
a.
( )
1 cos 2 1 cos 4 1 cos 6 1 cos8
1 2
2 2 2 2
x x x x+ + + +
⇔ + + + =
(
)
(
)
cos 2 cos8 cos 4 cos 6 0 2 cos 5 cos 3 2 cos 5 cos 0
x x x x x x x x
⇔ + + + = ⇔ + =
(
)
2 cos 5 cos 3 cos 0 4 cos 5 cos 2 cos 0
x x x x x x
⇔ + = ⇔ =
{
}
( )
cos 0 cos 2 0 cos 5 0 ;
4 2 10 5
k k
x x x x k
π π π π
⇔ = ∨ = ∨ = ⇔ ∈ + + ∈
»
b.
( )
2
1 cos 2 1 cos 4 1 cos 6 3
2 cos 4
2 2 2 2
x x x
x
+ + +
⇔ + + + =
(
)
2 2
cos 2 cos 6 cos 4
cos 4 0 2 cos 4 cos 2 cos 4 2 cos 4 0
2
x x x
x x x x x
+ +
⇔ + = ⇔ + + =
( )
(
)
2
cos 4 2 cos 4 2 cos 2 1 0 cos 4 4 cos 2 2 cos 2 1 0
x x x x x x
⇔ + + = ⇔ + − =
( )
cos 4 cos
cos 4 0
8 4
2
1 5
2
cos 2 cos 2 cos
4 5 5
4 2
1 5
cos 2 cos
cos 2
5 5
4
k
x
x
x
x x x k k
x x k
x
π π
π
= +
=
=
− +
π π
⇔ = ⇔ = ⇔ = ± + π ∈
π π
− −
= = ± + π
=
»
Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương
246
Bài 3. a.
Giải phương trình:
2
4
cos cos
3
x
x =
(1)
b.
Giải phương trình:
2
3 4
1 2 cos 3cos
5 5
x x
+ =
(2)
Giải
a.
( )
1 cos 2 4 4
1 cos 1 cos 2 2cos
2 3 3
x x x
x
+
⇔ = ⇔ + =
. Đặt
2
3
x
t =
Khi đó:
(
)
3 2
1 cos 3 2cos 2 1 4 cos 3cos 2 2 cos 1
t t t t t
+ = ⇔ + − = −
( )
(
)
3 2 2
4 cos 4 cos 3cos 3 0 cos 1 4 cos 3 0
t t t t t
⇔ − − + = ⇔ − − =
2
cos 1
cos 1
3
1
cos 2
cos
2
4
t t
t
t
= =
⇔ ⇔
=
=
( )
2
2
3
3
3
4
2 2
4 2
3 3
x
t k
x k
k
k
xx
t k
= = π
= π
⇔ ⇔ ∈
π π
= ± +π
= = ± + π
»
b.
( )
(
)
6 4
2 1 1 cos 3cos
5 5
x x
⇔ + + =
. Đặt
2
5
x
t =
Khi đó:
(
)
3 2
2 cos 3 3cos 2 2 cos 3cos 3 2cos 1
t t t t t
+ = ⇔ + − = −
( )
(
)
3 2 2
4 cos 6 cos 3cos 5 0 cos 1 4 cos 2 cos 5 0
t t t t t t
⇔ − − + = ⇔ − − − =
( )
2
cos 1 cos 0
2
5
5
5
1 21
52
cos cos
2
2
4
5
x
t
t k
x k
k
x kx
t
t k
= =
= = π
= π
⇔ ⇔ ⇔ ∈
α
−
= ± + π
= = α
= = ±α + π
»
Bài 4.
Giải phương trình:
(
)
(
)
( )
4 4
4
sin 2 cos 2
cos 4 1
tan tan
4 4
x x
x
x x
+
=
π π
− +
Giải
Điều kiện:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
2sin cos sin 2 cos 2 0
4 4 2
2
4 2
2sin cos sin 2 cos 2 0
4 4 2
x x x x
k
x
x x x x
π π π
− − = − = ≠
π π
⇔ ≠ +
π π π
+ + = + = ≠
Để ý rằng:
(
)
(
)
(
)
(
)
tan tan tan cot 1
4 4 4 4
x x x x
π π π π
− + = − − =
Do đó với điều kiện (2) thì
( )
4 4 4
1 sin 2 sin 2 cos 4
x x x
⇔ + =
(
)
(
)
( ) ( )
2 2
2 2
4 4
1 cos 4 1 cos 4
cos 4 1 cos 4 1 cos 4 4 cos 4
2 2
x x
x x x x
− +
⇔ + = ⇔ − + + =
4 2 2
2 cos 4 cos 4 1 0 cos 4 1 sin 4 0
2
k
x x x x x
π
⇔ − − = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
Bài 7. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba
247
Bài 5.
Giải phương trình:
(
)
(
)
( )
4 4
7
sin cos cot cot 1
8 3 6
x x x
π π
+ = + −
Giải
Điều kiện:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2sin sin 2 sin cos sin 2 0
3 6 3 3 3
x x x x x
π π π π π
+ − = + + = + ≠
Để ý rằng:
(
)
(
)
(
)
(
)
cot cot cot tan 1
3 6 3 3
x x x x
π π π π
+ − = + ⋅ + =
nên
( )
(
)
(
)
2
4 4
7 1 cos 2 1 cos 2 7
1 sin cos
8 2 2 8
x x
x x
− +
⇔ + = ⇔ + =
( ) ( )
( )
2 2
2
7 7
1 cos 2 1 cos 2 2 1 cos 2
2 2
x x x
⇔ − + + = ⇔ + =
( )
1 cos 4 7
1
1 cos 4
2 4 2 12 2
x n
x x n
+ π π
⇔ + = ⇔ = ⇔ = ± + ∈
»
Bài 6.
Giải phương trình:
(
)
(
)
4 4 4
9
sin sin sin
4 4 8
x x x
π π
+ + + − =
Giải
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2
1 cos 2 9
1 1
1 cos 2 1 cos 2
2 2 2 2 2 8
x
x x
− π π
⇔ + − + + − − =
( ) ( ) ( )
2 2 2
9
1 cos 2 1 sin 2 1 sin 2
2
x x x
⇔ − + + + − =
2 2
9
4 cos 2 sin 2 2cos 2 4 cos 2 1 0
2
x x x x
⇔ − + = ⇔ + − =
( )
2 6
cos 2 cos 2 2
2 2
x x k x k k
− +
α
⇔ = = α ⇔ = ±α + π ⇔ = ± + π ∈
»
Bài 7.
Giải phương trình:
8 8 2
17
sin cos cos 2
16
x x x
+ =
(1)
Giải
( )
(
)
(
)
4 4
2
1 cos 2 1 cos 2 17
1 cos 2
2 2 16
x x
x
− +
⇔ + =
( ) ( )
4 4
2
cos 2 1 cos 2 1 17 cos 2
x x x
⇔ + + − =
Đặt
cos 2
t x
=
. Khi đó phương trình
( ) ( )
4 4
2
1 1 17
t t t
⇔ + + − =
(
)
(
)
4 3 2 4 3 2 2 4 2
4 6 4 1 4 6 4 1 17 2 5 2 0
t t t t t t t t t t t
+ + + + + − + − + = ⇔ − + =
( )
2 2
1 cos 4
1 1
cos 2 cos 4 0 4
2 2 2 2 8 4
x k
t x x x k x k
+ π π π
⇔ = = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + π ⇔ = + ∈
»
Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương
248
Bài 8. a.
Giải phương trình:
( )
3 3
2
cos cos 3 sin sin 3 1
4
x x x x+ =
b.
Giải phương trình:
3 3 3
cos cos 3 sin sin 3 cos 4
x x x x x
+ =
(2)
Giải
3
cos 3 3cos sin 3 3sin
cos cos 3 sin sin 3 cos 3 sin 3
4 4
x x x x
x x x x x x
+ − +
+ = ⋅ + ⋅
( )
( )
2 2
3
1
cos 3 sin 3 cos 3 cos sin 3 sin
4 4
x x x x x x
= − + +
( )
( )
3 3
3 3
1 1
cos 6 cos 3 4 cos 2 3cos 2 cos 2 cos 2
4 4 4 4
x x x x x x x
= + − = − + =
a.
( )
( )
3
3
2 2 2 2 2
1 cos 2 cos 2
4 8 2 2 8
x x x k k
π
⇔ = = = ⇔ = ⇔ = ± + π ∈
»
b.
( )
( )
3 3
4 2 2
2 cos 2 cos 4 cos 4 cos 2
3
4 2 2
x x k
k
x x x x x k
x x k
= − + π
π
⇔ = ⇔ = ⇔ ⇔ = ∈
= + π
»
Bài 9.
Giải phương trình:
3 3 3
1
cos .cos3 sin .sin 3 cos 4
4
x x x x x
− = +
Giải
3 3
cos 3 3cos sin 3 3sin
cos .cos3 sin sin 3 cos 3 sin 3
4 4
x x x x
x x x x x x
+ − +
− = ⋅ − ⋅
( )
( )
2 2
3 3
1 1
cos 3 sin 3 cos 3 cos sin 3 sin cos 4
4 4 4 4
x x x x x x x
= + + − = +
3 3
3
1 1
cos 4 cos 4 4cos 4 3cos 4 0 cos12 0
4 4 4 24 12
k
x x x x x x
π π
+ = + ⇔ − = ⇔ = ⇔ = +
Bài 10.
Giải phương trình:
( )
3 3
4sin .sin 3 4 sin .cos3 3 3 cos 4 3 1
x x x x x+ + =
Giải
VT (1)
( ) ( )
cos 3 3cos sin 3 sin 3 3sin cos 3 3 3 cos 4
x x x x x x x
= + + − + +
( )
3 sin 3 cos sin cos3 3 3 cos 4 3sin 4 3 3 cos 4
x x x x x x x
= + + = +
Khi đó
( )
3
1 1
1 sin 4 3 cos 4 1 sin 4 cos 4
2 2 2
x x x x
⇔ + = ⇔ + =
(
)
1
cos sin 4 sin cos 4 sin 4 sin
3 3 2 3 6
x x x
π π π π
⇔ + = ⇔ + =
( )
4 2
3 6 24 2
5
4 2
8 2
3 6
k
x k
x
k
k
x
x k
π π
π π
+ = + π
= − +
⇔ ⇔ ∈
π ππ π
= +
+ = + π
»
Bài 7. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba
249
II. SỬ DỤNG CÔNG THỨC GÓC NHÂN ĐÔI
1. CÔNG THỨC SỬ DỤNG
( )
( )
2 2
2
2
2 2
sin 2 2 sin cos
cos 2 cos sin
sin 2 sin cos 1 cos 2 2 cos 1
cos 2 1 2 sin
sin 2 1 sin cos
x x x
x x x
x x x x x
x x
x x x
=
= −
= + − = −
= −
= − −
2
2
2
2
2 2
2
2 tan
tan , sin
tan 2
2
1
1 tan
2 1
cot 1
tan , cos
cot 2
2 cot
1 1
x t
x
t x
x
t
x
t t
x
x x
x
x
t t
= =
=
+
−
−
−
= =
=
− +
2. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA
Bài 1.
Giải phương trình:
4 6
cos sin cos 2
x x x
+ =
(1)
Giải
( )
(
)
(
)
4 6 2 2 4 6 2 2 2 2
1 cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin
x x x x x x x x x x
⇔ + = − ⇔ + = − +
4 6 4 4 6 4
cos sin cos sin sin sin 0
x x x x x x
⇔ + = − ⇔ + =
(
)
( )
4 2
sin sin 1 0 sin 0x x x x k k⇔ + = ⇔ = ⇔ = π ∈
»
Bài 2.
Giải phương trình:
cos 2 5sin 2 0
x x
+ + =
(1)
Giải
( )
(
)
( ) ( )
2 2
1 1 2sin 5sin 2 0 2sin 5sin 3 0 2sin 1 sin 3 0
x x x x x x
⇔ − + + = ⇔ − − = ⇔ + − =
{
}
( )
5
1
2sin 1 0 sin 2 ; 2
2 6 6
x x x k k k
−π − π
−
⇔ + = ⇔ = ⇔ ∈ + π + π ∈
»
Bài 3.
Giải phương trình:
3
2sin cos 2 cos 0
x x x
− + =
(1)
Giải
( )
(
)
( ) ( )
3 2 2
1 2 sin 1 2sin cos 0 2 sin 1 sin 1 cos 0
x x x x x x
⇔ − − + = ⇔ + − − =
( ) ( )
[
]
1 cos 1 2 sin cos 2 sin cos 0
x x x x x
⇔ − + + + =
( ) ( ) ( )
2
1 cos sin cos 2 sin cos 0
x x x x x
⇔ − + + + =
(
)
(
)
(
)
1 cos sin cos sin cos 2 0
x x x x x
⇔ − + + + =
(
)
( )
1 cos 0 cos 1
2
sin cos 0 tg 1
2
4
sin cos 2
sin 2
4
x x
x k
x x x k
x k
x x
x
− = =
= π
⇔ + = ⇔ = − ⇔ ∈
−π
= + π
+ = −
π
+ = −
»
Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương
250
Bài 4.
Giải phương trình:
4 6
cos cos 2 2 sin 0
x x x
− + =
(1)
Giải
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
4 2 6 2 2 2 4
1 cos 1 2sin 2sin 0 cos 1 cos 1 2sin 1 sin 0
x x x x x x x
⇔ − − + = ⇔ − + + + =
(
)
(
)
(
)
2 4 2 2 4 2
sin 2 1 sin cos 1 0 sin 2sin sin 0
x x x x x x
⇔ + − + = ⇔ + =
(
)
( )
4 2 4
sin 2sin 1 0 sin 0 sin 0x x x x x k k⇔ + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = π ∈
»
Bài 5.
Giải phương trình:
4 cos 2 cos 2 cos 4 1
x x x
− − =
(1)
Giải
(
)
(
)
1 4 cos 2 cos 2 cos 4 1 0
x x x
⇔ − − + =
(
)
2 cos 2 2 cos 2 .cos 0
x x x
⇔ − =
( )
[ ]
cos 0
2 cos 2 cos 3 cos 0
cos 1
cos 3 1
x
x x x
x
x
=
⇔ − + = ⇔
=
=
cos 0
2
cos 1
2
x k
x
x
x
π
= + π
=
⇔ ⇔
=
= π
Bài 6.
Giải phương trình:
3 3
sin cos cos 2
x x x
+ =
(1)
Giải
(1)
( )
(
)
( ) ( )
2 2
cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin
x x x x x x x x x x
⇔ + + − = + −
( ) ( )
[
]
cos sin 1 cos sin cos sin 0
x x x x x x
⇔ + − − − =
a) Xét
( )
cos sin 0 tg 1
4
x x x x k k
−π
+ = ⇔ = − ⇔ = + π ∈
»
b) Xét
sin cos cos sin 1 0
x x x x
− − + =
(2)
Đặt
(
)
2
1
sin cos 2 sin 2, 2 sin cos
4 2
t
t x x x x x
π −
= − = − ∈ − ⇒ =
. Khi đó
(2)
(
)
2
2 1 2 0
t t
⇔ − − + =
(
)
{
}
3
1
1 sin 2 ; 2
4 2
2
t x x k k
π π
−
⇔ = − ⇔ − = ⇔ ∈ π + π
Bài 7.
Giải phương trình:
(
)
( )
2 2
1 sin sin cos sin 2 cos 1
2 2 4 2
x x x
x x
π
+ − = −
Giải
( )
(
)
2
1 1 sin sin cos sin 1 cos 1 sin
2 2 2
x x
x x x x
π
⇔ + − = + − = +
(
)
(
)
sin sin cos sin 1 0 sin sin cos 2 sin cos 1 0
2 2 2 2 2 2
x x x x x x
x x x
⇔ − − = ⇔ − − =
(
)
(
)
(
)
2 2
sin sin 2sin 1 sin 1 0 sin sin 1 2sin 2sin 1 0
2 2 2 2 2 2
x x x x x x
x x x
⇔ − − − = ⇔ − + + =
(
)
(
)
2
2
sin sin 1 sin sin 1 0
2 2 2
x x x
x
⇔ − + + =
(
)
x k k⇔ = π ∈
»
Bài 7. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba
251
Bài 8.
Giải phương trình:
(
)
sin 4 cos 4 1 4 sin cos
x x x x
− = + −
(1)
Giải
( )
( ) ( )
2
1 sin 4 1 cos 4 4 sin cos 2sin 2 cos2 2cos 2 4 cos sin
x x x x x x x x x
⇔ = + + − ⇔ = − −
(
)
( ) ( )
2 2
2 cos sin cos 2 sin 2 4 cos sin 0
x x x x x x
⇔ − − − − =
( ) ( )( )
[
]
2 cos sin cos sin cos 2 sin 2 2 0
x x x x x x
⇔ − + − − =
Xét
cos sin 0 tg 1
4
x x x x k
π
− = ⇔ = ⇔ = + π
Xét
( ) ( )
(
)
(
)
cos sin cos 2 sin 2 2 0 2 cos cos 2 2 0
4 4
x x x x x x
π π
+ − − = ⇔ − + − =
(
)
( )
cos 3 cos 2 cos 3 sin 2
2
x x x x
π
⇔ + + = ⇔ + − =
( )
2
sin 1 cos 0
sin 1
cos 3 1
cos 4 cos 3 1
x x
x
x
x x
= − ⇒ =
− =
⇔ ⇔ ⇒
=
− =
Vô lý
Kết luận:
Phương trình chỉ có nghiệm
4
x k
π
= + π
(
)
k ∈
»
Bài 9.
Giải phương trình:
2 cos 2 tan
2
x
x+ =
(1)
Giải
Sử dụng công thức
2
2
1
cos
1
t
x
t
−
=
+
với
tan
2
x
t =
, khi đó ta có
( )
(
)
(
)
(
)
2
2 2 2
2
1 tan
2
1 2 2 tan 2 1 tan 1 tan 2 tan 1 tan
2 2 2 2 2
1 tan
2
x
x x x x x
x
−
⇔ + = ⇔ + + − = +
+
(
)
(
)
3 2 2
2 tan tan 2 tan 3 0 tan 1 2 tan tan 3 0
2 2 2 2 2 2
x x x x x x
⇔ − + − = ⇔ − + + =
(
)
(
)
2
21 11
tan 1 tan tan 0 tan 1 0 tan 1 2
2 2 2 2 4 2 2 2
x x x x x
x k
π
⇔ − + + + = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = + π
Bài 10.
Giải phương trình:
(
)
(
)
1 tan 1 sin 2 1 tan
x x x
− + = +
(1)
Giải
( )
( ) ( )( ) ( )
( )
2
2
2
2tan
1 1 tan 1 1 tan 1 tan 1 tan 1 tan 1 tan
1 tan
x
x x x x x x
x
⇔ − + = + ⇔ − + = + +
+
( )
2
2 tan 1 tan 0
x x
⇔ + =
{
}
tan 0 tan 1 ;
4
x x x k k
−π
⇔ = ∨ = − ⇔ ∈ π + π
Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương
252
Bài 11.
Giải phương trình:
(
)
1 3 tan 2sin 2 1
x x+ =
Giải
( )
( )
( )
2
2
2 tan
1 1 3 tan 2 1 3 tan 1 tan 4 tan
1 tan
x
x x x x
x
⇔ + = ⋅ ⇔ + + =
+
( )
(
)
2
tan 1 3tan 2 tan 1 0
x x x
⇔ + − + =
tan 1 0 tan 1
4
x x x k
−π
⇔ + = ⇔ = − ⇔ = + π
Bài 12.
Giải phương trình:
cot tan 2 tan 2
x x x
= +
(1)
Giải
( )
( )
2
2
2 2
2 2
2 tan 1 tan 4 tan
1
1 tan 2 1 tan 4tan
tan tan
1 tan 1 tan
x x x
x x x
x x
x x
−
⇔ = + ⋅ ⇔ = ⇔ − =
− −
2
1,2
2
1,2
tan 1 2 tan
tan 2 tan 1 0
tan 2 tan 1 0
tan 1 2 tan
x
x x
x x
x
= − ± = α
+ − =
⇔ ⇔
− − =
= ± = β
( )
1,2
1,2
x k
k
x k
= α + π
⇔ ∈
= β + π
»
Bài 13.
Giải phương trình:
(
)
(
)
(
)
2 2 2
1 tan 1 tan 2 1 tan 4 8
x x x
− − − =
(1)
Giải
ĐK:
cos cos 2 cos 4 0
x x x
≠
;
( )
2 2 2
2 tan tan
1 1
1
4
1 tan 1 tan 1 tan 4
x x
x x x
⇔ =
− − −
2 2
tan
1 1
tan 2 tan8 tan 8
4 7
1 tan 2 1 tan 4
x
x x x x x k x k
x x
π
⇔ = ⇔ = ⇔ = + π ⇔ =
− −
Bài 14.
Giải phương trình:
(
)
(
)
(
)
2 2 2
cot 1 tan 1 tan 2 1 tan 4 8
x x x x
− − − =
Giải
ĐK:
sin 8 0
x
≠
khi đó biến đổi
(
)
(
)
(
)
2 2 2
cot 1 tan 1 tan 2 1 tan 4 8
x x x x
− − − =
2 2 2
tan 8
2 2 2
cot cot
tan
1 tan 1 tan 2 1 tan 4
x
x x
x
x x x
⇔ = ⇔ =
− − −
( )
tan 8 1 8
4 32 8
x x k x k k
π π π
⇔ = ⇔ = + π ⇔ = + ∈
»
Bài 15.
Giải phương trình:
(
)
(
)
(
)
2 2 2
1 tan 1 tan 2 1 tan 4 8 cot 8
x x x x
− − − =
(1)
Giải
ĐK:
sin 8 0
x
≠
.
( )
2 2 2
2 tan
2 2
1 cot 8 tan
1 tan 1 tan 2 1 tan 4
x
x x
x x x
⇔ =
− − −
( )
cot 8 tan 8 tan tan 1
4
x x x x x k k
π
⇔ = ⇔ = ⇔ = + π ∈
»
Bài 7. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba
253
III. SỬ DỤNG CÔNG THỨC GÓC NHÂN BA
1. CÔNG THỨC SỬ DỤNG
2 3
sin 3 3sin 4 sin ; cos 3 4cos 3 cosx x x x x x= − = −
2. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA
Bài 1.
Giải phương trình:
sin 3 sin 2 5sin
x x x
+ =
(1)
Giải
( )
(
)
3 2
1 3sin 4sin 2sin cos 5sin sin 3 4sin 2 cos 5 0
x x x x x x x x
⇔ − + = ⇔ − + − =
(
)
( )
2
sin 2 cos cos 3 0 sin 0 cos 1x x x x x x k k⇔ + − = ⇔ = ∨ = ⇔ = π ∈
»
Bài 2.
Giải phương trình:
sin 3 sin 2 2sin 0
x x x
+ + =
(1)
Giải
( )
(
)
3 2
1 3sin 4sin 2sin cos 2 sin 0 sin 4sin 2 cos 5 0
x x x x x x x x
⇔ − + + = ⇔ − + + =
(
)
2
sin 4cos 2 cos 1 0 sin 0
x x x x x k
⇔ + + = ⇔ = ⇔ = π
Bài 3.
Giải phương trình:
2
cos 3 cos 2 sin 2
x x x
+ + =
(1)
Giải
( )
(
)
(
)
3 2 2
1 4 cos 3cos 2 cos 1 1 cos 2
x x x x
⇔ − + − + − =
( )
(
)
2
cos 1 4cos 5cos 2 0 cos 1 2
x x x x x k
⇔ − + + = ⇔ = ⇔ = π
Bài 4.
Giải phương trình:
2
sin 3 sin 2 cos 0
x x x
+ − =
(1)
Giải
( )
(
)
(
)
3 2
1 3sin 4 sin sin 2 1 sin 0
x x x x
⇔ − + − − =
( )
(
)
3 2 2
2sin sin 2sin 1 0 sin 1 2sin sin 1 0
x x x x x x
⇔ − − + = ⇔ − + − =
{
}
( )
5
1
sin 1 sin ; 2 ; 2
2 2 6 6
x x x k k k k
π π π
⇔ = ± ∨ = ⇔ ∈ + π + π + π ∈
»
Bài 5.
Giải phương trình:
2 3
cos10 2 cos 4 6 cos 3 cos cos 8 cos cos 3
x x x x x x x
+ + = +
Giải
(
)
3
cos10 cos 8 1 cos 8 cos cos 3 6 cos 3 cos
x x x x x x x
⇔ + + = + −
(
)
3
cos10 cos 8 1 cos 2cos 4 cos 3cos 3
x x x x x x
⇔ + + = + −
(
)
2 cos 9 cos 1 cos 2 cos .cos 9 cos 1 2x x x x x x x k k⇔ + = + ⇔ = ⇔ = π ∈
»
Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương
254
Bài 6.
Giải phương trình:
6
32 cos cos 6 1
x x
− =
(1)
Giải
( )
( )
(
)
3
3
1 4 1 cos 2 4 cos 2 3cos 2 1
x x x
⇔ + − − =
( )( )
2
4 cos 2 5 cos 2 1 0 cos 2 1 4 cos 2 1 0
x x x x
⇔ + + = ⇔ + + =
( )
1
cos 2 1 cos 2 cos
4 2 2
x x x k x k k
π α
⇔ = − ∨ = − = α ⇔ = + π ∨ = ± + π ∈
»
Bài 7.
Giải phương trình:
(
)
2
2sin 3 1 4 sin 1
x x
− =
(1)
Giải
Nếu
cos 0
x
=
là nghiệm của (1) thì từ (1) suy ra
( )
2
3
cos 0 sin 1
sin 1
6 1
6 3sin 4sin 1
x x
x
x x
= ⇔ =
= ±
⇔ ⇒
± =
− − =
Vô lý
Nhân 2 vế của (1) với
cos 0
x
≠
ta có:
( )
(
)
(
)
2 3
1 2 sin 3 1 4 1 cos cos cos 2 sin 3 4 cos 3cos cos
x x x x x x x x
⇔ − − = ⇔ − =
(
)
2sin 3 .cos 3 cos sin 6 sin
2
x x x x x
π
⇔ = ⇔ = −
{
}
2 2
;
14 7 10 5
k k
x
π π π π
⇔ ∈ + +
Bài 8.
Giải phương trình:
1 1
2sin 3 2 cos3
sin cos
x x
x x
− = +
(1)
Giải
Điều kiện:
( )
sin .cos 0 sin 2 0 2
2
k
x x x x
π
≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠
( )
( )
1 1
1 2 sin 3 cos 3
sin cos
x x
x x
⇔ − = +
( ) ( )
2 3
sin cos
2 3sin 4 sin 4 cos 3cos
sin cos
x x
x x x x
x x
+
⇔ − − − =
( ) ( )
( )
2 2
sin cos
2 3 sin cos 4 sin cos sin cos sin cos
sin cos
x x
x x x x x x x x
x x
+
⇔ + − + + − =
a) Xét
sin cos 0 tg 1
4
x x x x k
π
+ = ⇔ = − ⇔ = − + π
(thỏa mãn (2))
b) Xét
( )
[
]
2sin cos 3 4 1 sin cos 1
x x x x
− − =
(
)
sin 2 2sin 2 1 1
x x
⇔ − =
2
2sin 2 sin 2 1 0
x x
⇔ − − =
{
}
7
; ;
4 12 12
x k k k
π π π
⇔ ∈ + π − + π + π
Kết luận:
{
}
; ; |
4 2 12 12
k
x k k k
π π π π
∈ + − + π + π ∈
»
Bài 7. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba
255
Bài 9.
Giải phương trình:
(
)
(
)
3 3
1
sin sin
10 2 2 10 2
x x
π π
− = +
Giải
Đặt
3 3
3
10 2 10 2
x
t t
π π π
= − ⇒ π − = +
. Khi đó phương trình
( )
3
2sin sin 3 sin 3 2sin 3sin 4sin
t t t t t t
⇔ = π − = ⇔ = −
(
)
2
sin 1 4 sin 0
t t
⇔ − =
(
)
sin 2 cos 2 1 0
t t
⇔ − =
{
}
3 14 4
2 ; 2 ; 2
5 5 5
x k k k
π π π
⇔ ∈ − π + π + π
Bài 10.
Giải phương trình:
(
)
(
)
sin 3 sin 2 .sin
4 4
x x x
π π
− = +
Giải
Đặt
4
t x
π
= +
thì phương trình
( )
(
)
sin 3 sin 2 sin
2
t t t
π
⇔ − π = −
( )
(
)
sin 3 sin 2 sin sin 3 cos 2 sint
2
t t t t t
π
⇔ − π − = − − ⇔ =
(
)
3 2
3sin 4 sin cos 2 .sin sin 3 4sin cos 2 0
t t t t t t t
⇔ − = ⇔ − − =
(
)
( )
2
sin 1 2 1 2 sin cos 2 0 sin 1 cos 2 0
t t t t t
⇔ + − − = ⇔ + =
sin 0
4 4
cos 2 1
2 2 2
2 4
t x k x k
t
t
t x k x k
π −π
= + = π = + π
=
⇔ ⇔ ⇔
= − π π
= + = π + π = + π
Bài 11.
Giải phương trình:
(
)
3
8cos cos3
3
x x
π
+ =
Giải
Đặt
3 3 cos 3 cos 3
3 3
t x x t x t x t
π π
= + ⇒ = − ⇒ = − π ⇒ = −
Khi đó phương trình
3 3
8cos cos 3 3cos 4cos
t t t t
⇔ = − = −
(
)
3 2
12 cos 3cos 0 3cos 4cos 1 0
t t t t
⇔ − = ⇔ − =
{ }
2
cos 0 cos 0
2
; ;
1 1
6 3
cos cos 2
4 2
t t
x k k k
t
= =
π − π
⇔ ⇔ ⇔ ∈ + π + π π
= = −
Bài 12.
Tìm
a
để:
2 2
cos 4 cos 3 sin
x x a x
= +
(1) có nghiệm
(
)
0,
12
x
π
∈
Giải
Biến đổi
( )
(
)
1 cos 2
1 cos 6
1 cos 4
2 2
a x
x
x
−
+
⇔ = +
Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương
256
(
)
( )
2 3
2 2 cos 2 1 1 4 cos 2 3cos 2 1 cos 2
x x x a x
⇔ − = + − + −
( ) ( )
3 2
4 cos 2 4cos 2 3 cos 2 3 0
x x a x a
⇔ − − + + + =
( ) ( )
(
)
2
cos 2 1 4 cos 2 3 0
x x a
⇔ − − + =
. Với
(
)
0,
12
x
π
∈
thì
(
)
3
cos2 1, 2 0,
2 6
x x
π
< < ∀ ∈
Do đó yêu cầu bài toán
2
2
3
3
cos 2 1 3 3 4 0 1
2 4
a
x a a
+
⇔ < = < ⇔ < + < ⇔ < <
Bài 13.
Giải phương trình:
4
cos 6 cos 4 cos 2 3 4sin
x x x x
+ + = +
(1)
Giải
( )
(
)
(
)
( )
2
3 2
1 4 cos 2 3cos 2 2cos 2 1 cos 2 3 1 cos 2
x x x x x
⇔ − + − + = + −
( )
(
)
3 2 2
4 cos 2 cos 2 5 0 cos 2 1 4 cos 2 5 cos 2 5 0
x x x x x
⇔ + − = ⇔ − + + =
2
cos 2 1 4 cos 2 5cos 2 5 0
x x x
⇔ = ∨ + + =
(vô nghiệm)
(
)
x k k⇔ = π ∈
»
Bài 14.
Giải phương trình:
4 2
cos 6 1 8 sin sin 2
x x x
= + +
(1)
Giải
( )
(
)
( )
(
)
2
3 2
1 4 cos 2 3cos 2 1 2 1 cos 2 1 cos 2
x x x x
⇔ − = + − + −
( )
(
)
3 2 2
4 cos 2 cos 2 cos 2 4 0 cos 2 1 4 cos 2 3cos 2 4 0
x x x x x x
⇔ − + − = ⇔ − + + =
2
cos 2 1 4 cos 2 3cos 2 4 0
x x x
⇔ = ∨ + + =
(vô nghiệm)
(
)
x k k⇔ = π ∈
»
.
Bài 15.
Giải phương trình:
(
)
sin 3 cos 3 2 sin cos 1
x x x x
− + + =
(1)
Giải
( )
(
)
(
)
( )
3 3
1 3sin 4sin 4cos 3cos 2 sin cos 1
x x x x x x
⇔ − − − + + =
(
)
(
)
(
)
4 sin cos 1 sin cos 5 sin cos 1
x x x x x x
⇔ − + − + + =
. Đặt
sin cos , 2
t x x t= + ≤
( )
( )
( )
{
}
2 2
2 1 1 1 2 2 1 0 1 2 ; 2
2
t t t t t t t x k k
π
⇔ + − = ⇔ − + + = ⇔ = ⇔ ∈ π + π
Bài 16.
Giải phương trình:
2 cos3 sin 2 cos 0
x x x
+ + =
(1)
Giải
( )
(
)
3 3
1 2 4cos 3cos 2sin cos cos 0 8cos 2sin cos 5cos 0
x x x x x x x x x
⇔ − + + = ⇔ + − =
(
)
(
)
2 2
cos 8cos 2 sin 5 0 cos 8sin 2sin 3 0
x x x x x x
⇔ + − = ⇔ − − =
( )( )
3
1
cos 4 sin 3 2sin 1 0 cos 0 sin sin sin
2 4
x x x x x x
⇔ − + = ⇔ = ∨ = − ∨ = = α
{
}
( )
5
; 2 ; 2 ; 2 ; 2
2 6 6
x k k k k k k
π π π
⇔ ∈ + π − + π − + π α + π π − α + π ∈
»
Bài 7. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba
257
