Các quá trình rã có sự tham gia của hạt tựa Axion

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN





MAI XUÂN DŨNG






CÁC QUÁ TRÌNH RÃ CÓ SỰ THAM GIA CỦA HẠT
TỰA AXION






LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Hà Nội - 2014
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN




MAI XUÂN DŨNG






CÁC QUÁ TRÌNH RÃ CÓ SỰ THAM GIA CỦA HẠT
TỰA AXION


Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 60.44.01.03



LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC



Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. Hà Huy Bằng

Hà Nội - 2014


Mai Xuân Dũng

Lời Cảm Ơn
Đầu tiên em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến GS.TS. Hà Huy Bằng, giảng viên
trường Đại hoc khoa học Tự Nhiên. Thầy đã hết lòng dẫn dắt, chỉ bảo cho em có được
những kiến thức, cách tiếp cận giải quyết vấn đề một cách khoa học và động viên em rất
nhiều trong suốt thời gian em hoàn thành luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong trường và các thầy ở bộ môn vật
lý lý thuyết. Các thầy đã truyền đạt cho em những kiến thức về chuyên ngành hết sức bổ
ích và cần thiết, cũng như đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ em trong quá trình học
tập. Các thầy đã cho em thấy được lòng nhiệt huyết, sự say mê trong công tác giảng dậy
cho các thế hệ sau.
Cuối cùng em xin được nói lời cảm ơn tới những thành viên trong gia đình và bạn
bè đã luôn động viên, sát cánh bên em trong suốt thời gian làm khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn !

Hà nội, ngày 04 tháng 12 năm 2014
Học viên


Mai Xuân Dũng

Mai Xuân Dũng

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
CHƯƠNG 1: TỐC ĐỘ PHÂN RÃ TRONG VẬT LÍ HẠT CƠ BẢN 5
1.1. Ma trận tán xạ S 5
1.1.1. Khái niệm: 5
1.1.2. Ý nghĩa vật lí của ma trận tán xạ S: 6
1.2.Tiết diện tán xạ 7
1.2.1.Khái niệm : 7
1.2.2.Biểu thức tiết diện tán xạ vi phân : 8
CHƯƠNG 2: CÁC HẠT TỰA AXION TRONG MÔ HÌNH 17
CHUẨN MỞ RỘNG 17
2.1. Axion trong mô hình PQWW 17
2.2. Các hạt tựa Axion 19
2.3. Một số tương tác cơ bản để tạo hạt tựa axion 21
2.4. Tương tác điện từ trong nền của hạt tựa axion lạnh 22
2.4.1. Phương trình Euler – Lagrangian: 22
2.4.2. Véc tơ phân cực và quan hệ phân tán: 24
2.5. Quá trình tương tác của hạt tựa Axion với photon trong trường điện từ 26
CHƯƠNG 3: QUÁ TRÌNH RÃ HẠT TỰA AXION THÀNH 2 PHOTON 29
3.1. Sự chuyển của photon thành hạt tựa axion trong trường từ tĩnh có dạng
a b c 
29
3.1.1. Tiết diện tán xạ vi phân: 29
3.1.2. Nhận xét chung: 31
3.2. Tương tác giữa photon và hạt tựa axion trong trường từ tĩnh có dạng

a b c 
31
3.3. Quá trình rã hạt tựa axion thành 2 photon 33
TÀI LIỆU THAM KHẢO 41
PHỤ LỤC 42



Mai Xuân Dũng 1

MỞ ĐẦU

Vật lí hạt cơ bản là một nhánh của vật lí nghiên cứu các thành phần hạ nguyên tử
cơ bản, bức xạ và các tương tác của chúng. Lĩnh vực này cũng được gọi là vật lí năng
lượng cao bởi nhiều hạt cơ bản không xuất hiện ở điều kiện thông thường. Chúng chỉ có
thể được tạo ra qua các va chạm trong máy gia tốc năng lượng cao.
Những hiểu biết của chúng ta về thế giới tự nhiên phần lớn là nhờ lý thuyết về vật
lí hat. Các hạt cơ bản là cơ sở của sự tồn tại của vũ trụ nhưng cũng còn khá nhiều bí ẩn
liên quan tới chúng. Nhờ cơ học lượng tử chúng có thể được coi là các điểm không có
cấu trúc, không kích thước hoặc là sóng. Tất cả các hạt khác là phức hợp của các hạt cơ
bản. Các nghiên cứu về vật lí hạt hiện đại đang tập trung vào các hạt hạ nguyên tử, các
thành phần cấu tạo nên nguyên tử như: điện tử, proton, neutron (proton và neutron thực
chất là các hạt phức hợp cấu thành bởi hạt quark và gluon), các hạt sinh ra từ hoạt động
phóng xạ như: photon, neutrino, muon, và các “hạt lạ” (ví dụ về một “hạt lạ” là tachyon –
một loại hạt lý thuyết di chuyển nhanh hơn ánh sáng).
Mô hình chuẩn
Con người luôn đặt cho mình nhiệm vụ tìm hiểu thế giới vật chất được hình thành
từ thứ gì, cái gì gắn kết chúng với nhau. Trong quá trình đi tìm lời giải đáp cho những
câu hỏi đó, càng ngày chúng ta càng hiểu rõ hơn về cấu trúc của vật chất từ thế giới vĩ mô
qua vật lí nguyên tử và hạt nhân cho tới vật lí hạt. Các quy luật của tự nhiên được tóm tắt

trong Mô hình chuẩn (standard model). Mô hình này đã mô tả thành công bức tranh hạt
cơ bản và các tương tác, góp phần quan trọng vào sự phát triển của vật lí hạt. Theo mô
hình chuẩn, vũ trụ cấu trúc từ 6 hạt quark và 6 hạt nhẹ (lepton) chia đều thành 3 nhóm.
Các hạt đó kết nối nhau nhờ 4 tương tác cơ bản. Thêm nữa, 4 tương tác được thực hiện
qua các boson (graviton cho hấp dẫn, photon ảo cho điện từ, 3 boson trung gian cho
tương tác yếu và 8 gluon tương tác mạnh). Tất cả các hạt cấu trúc và hạt mang tương tác
đó đã được thấy trong máy gia tốc, trừ graviton.


Mai Xuân Dũng 2

Trong hơn 30 năm qua, kể từ khi Mô hình chuẩn ra đời, chúng ta đã được chứng
kiến những thành công nổi bật của nó. Mô hình này đã đưa ra một số tiên đoán mới và có
ý nghĩa quyết định. Sự tồn tại của dòng yếu trung hòa và các véc-tơ bosson trung gian
cũng những hệ thức liên hệ về khối lượng của chúng đã được thực nghiệm xác nhận. Gần
đây, một loạt phép đo kiểm tra giá trị của các thông số điện yếu đã được tiến hành trên
các máy gia tốc Tevatron, LEP và SLC với độ chính xác rất cao, đạt tới 0,1% hoặc bé
hơn. Người ta xác nhận rằng các hệ số liên kết giữa W và Z với lepton và quark có giá trị
đúng như Mô hình chuẩn đã dự đoán. Hạt Higgs bosson, dấu vết còn lại của sự phá vỡ
đối xứng tự phát, những thông tin quan trọng được rút ra từ việc kết hợp số liệu tổng thế
có tính đến các hiệu ứng vòng của hạt Higgs đảm bảo sự tồn tại của hạt này. Số liệu thực
nghiệm cũng cho thấy rằng khối lượng của hạt Higgs phải bé hơn 260 GeV, phù hợp
hoàn toàn với dự đoán theo lý thuyết. Như vậy, có thể kết luận rằng các quan sát thực
nghiệm cho kết quả phù hợp với Mô hình chuẩn ở độ chính xác rật cao. Mô hình chuẩn
cho ta một cách thức mô tả tự nhiên kích thước vi mô cỡ 10
-16
cm cho tới các khoảng
cách vũ trụ cỡ 10
28
cm và được xem là một trong những thành tựu lớn nhất của loài người

trong việc tìm hiểu tự nhiên.
Bên cạnh đó, có đến hơn 10 lý do để Mô hình chuẩn - lý thuyết vật lí tốt nhất lịch
sử khoa học - không thể là mô hình cuối cùng của vật lí học, trong đó nổi bật là:
 Mô hình chuẩn không giải quyết được các vấn đề có liên quan đến số lượng và cấu
trúc các thế hệ fermion. Cụ thể, người ta không giải thích được tại sao trong Mô hình
chuẩn số thế hệ quark – lepton phải là 3 và mối liên hệ giữa các thế hệ như thế nào?
 Theo Mô hình chuẩn thì neutrino chỉ có phân cực trái, ngĩa là không có khối
lượng. Trong thực tế, các số liệu đo neutrino khí quyển do nhóm Super – Kamiokande
công bố năm 1998 đã cung cấp những bằng chứng về sự dao động của neutrino khẳng
định rằng các hạt neutrino có khối lượng
 Mô hình chuẩn không giải thích được các vấn đề sự lượng tử hóa điện tích, sự bất
đối xứng giữa vật chất và phản vật chất, sự bền vững của proton.


Mai Xuân Dũng 3

 Để phù hợp với các sự kiện thực nghiệm, khi xây dựng Mô hình chuẩn, người ta
phải dựa vào một số lượng lớn các tham số tự do. Ngoài ra, lực hấp dẫn với các cấu trúc
khác biệt so với các lực mạnh và điện yếu, không được đưa vào mô hình
 Mô hình chuẩn không tiên đoán được các hiện tượng vật lý ở thang năng lượng
cao cỡ TeV, mà chỉ đúng ở thang năng lượng thấp vào khoảng 200 GeV
 Mô hình chuẩn không giải thích được tại sao quark lại có khối lượng quá lớn so
với dự đoán. Về mặt lý thuyết, dựa theo Mô hình chuẩn thì khối lượng của quark t vào
khoảng 10 GeV, trong khi đó, năm 1995, tại Fermilab, người ta đo được khối lượng của
nó là 175GeV
Từ những thành công và hạn chế của Mô hình chuẩn, có thể nhận định rằng đóng
góp lớn nhất của mô hình này đối với vật lý học là nó đã định hướng cho việc thống nhất
các tương tác trong vật lí học hiện đại bằng một nguyên lý chuẩn. Theo đó, các tương tác
được mô tả một cách thống nhất bởi đối xứng chuẩn, còn khối lượng các hạt được giải
thích bằng cơ chế phá vỡ đối xứng tự phát ( cơ chế Higgs).

Mô hình chuẩn mở rộng
Để khắc phục khó khăn hạn chế của mô hình chuẩn các nhà vật lí lý thuyết đã xây
dựng khá nhiều lý thuyết mở rộng hơn như lý thuyết thống nhất (Grand unified theory -
GU) , siêu đối xứng (supersymmtry), sắc kỹ (techou - color), lý thuyết Preon, lý thuyết
Acceleron… Mỗi hướng mở rộng Mô hình chuẩn đều có ưu nhược điểm riêng. Ví dụ,
các mô hình mở rộng đối xứng chuẩn không thể trả lời vấn đề phân bậc. Các mô hình
siêu đối xứng có thể giải thích vấn đề này tuy nhiên lại dự đoán vật lí mới ở thang năng
lượng thấp ( cỡ TeV ). Ngoài siêu đối xứng, có một hướng khả quan để mở rộng Mô hình
chuẩn là lý thuyết mở rộng thêm chiều không gian (gọi là Extra Dimension). Lý thuyết
đầu tiên theo hướng này là lý thuyết Kaluza – Klein (1921) mở rộng không gian bốn
chiều thành không gian năm chiều, nhằm mục đích thống nhất tương tác hấp dẫn và
tương tác điện từ. Lý thuyết này đã gặp một số khó khăn về mặt hiện tượng luận, tuy


Mai Xuân Dũng 4

nhiên ý tưởng của nó là cơ sở cho các lý thuyết hiện đại sau này như: thống nhất Higgs –
Gauge, lý thuyết mở rộng với số chiều không gian lớn (large extra dimension), lý thuyết
dây (string theory).
Để khắc phục khó khăn hạn chế của mô hình chuẩn, đặc biệt để giải quyết vấn đề
CP mạnh (đối xứng liên hợp điện tích và tính chẵn lẻ) thì cần phải đưa ra các hạt axion
hay các hạt tựa axion đối với lý thuyết dây là lý thuyết mở rộng quan trọng của mô hình
chuẩn. Chính vì lí do đó tôi đã chọn đề tài “Các quá trình rã có sự tham gia của hạt tựa
axion”
Nội dung luận văn trình bày về quá trình rã một hạt tựa axion thành 2 photon
nhằm mục đích tính được tốc độ phân rã trong quá trình rã của hạt tựa axion. Bài luận
văn này bao gồm: phần mở đầu, ba chương, phần kết luận, phụ lục và tài liệu tham khảo.
Chương 1.Đưa ra một số kiến thức chung về tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã.
Chương 2.Trình bày về các hạt tựa axion trong các mô hình.
Chương 3.Xét quá trình rã của một hạt tựa axion thành 2 photon. Từ đó thu được

biểu thức cụ thể để tính được tốc độ phân rã.












Mai Xuân Dũng 5

CHƯƠNG 1: TỐC ĐỘ PHÂN RÃ TRONG VẬT LÍ HẠT CƠ BẢN

1.1. Ma trận tán xạ S
1.1.1. Khái niệm:
Phương trình chuyển động trong biểu diễn tương tác là:

)()(
)(
ttH
t
t
i 


(1.1)

trong đó H(t) là Hamiltonien tương tác,
)(t
là véc tơ trạng thái tương tác. Giả sử ban
đầu đã cho véc tơ trạng thái
)(
o
t

, ta cần xác định véc tơ trạng thái tại các thời điểm t >
t
o
.
Ta thấy phương trình (2.5) là tuyến tính nên nghiệm viết dưới dạng:

)(),()(
oo
tttSt

(1.2)
S(t,t
o
) là toán tử tuyến tính, ta xác định được dạng của toán tử này:
S(t,t
o
) =



0
)

)(
,(
n
o
n
ttS
(1.3)
trong đó
S
(o)
(t, t
o
) = 1
S
(1)
(t, t
o
) =


t
t
o
tHdti )(
ˆ
11

S
(1)
(t, t

o
) =
 

t
t
t
t
o
tH
o
tHdtdti )(
ˆ
1
)(
ˆ
)(
2121
2

S
(n)
(t, t
o
) =
  

t
t
n

t
t
t
t
n
n
o
tH
o
n
o
tHdtdtdti )(
ˆ
1
)(
ˆ
)(
121

Nhận xét: Toán tử S(t, t
o
) là một toán tử unita:
S’(t, t
o
)S(t, t
o
) = 1 (1.4)


Mai Xuân Dũng 6

Trong công thức của S(t, t
o
) dạng tổng quát (2.7) chứa các số hạng tích phân có
cận dưới là t
o
nhưng cận trên lại khác nhau. Điều này khá bất tiện cho việc tính toán. Vì
thế bằng cách đổi cận trên trong các số hạng chứa tích phân của S(t, t
o
), ta đưa các cận
trên về cùng một giá trị ta có:
S
(n)
(t, t
o
) =
0 0
1 1
1 2 1
( )
ˆ ˆ
( ) ( )
o n
t t
t
n
n n
t t t
i
dt dt dt P H t H t

n


 
 
  
(1.5)
trong đó:
2 1 2
1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
[ ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( )
n n
i i i i i i
P H t H t H t H t H t H t

(1.6)

n
tttt
iiii


321

Khi xét bài toán tán xạ, ta coi hệ ban đầu là hoàn toàn tự do. Các hạt không tương
tác với nhau. Sau tương tác, các hạt ở cùng trạng thái hoàn toàn tự do. Khi đó t
o
 -


, t


, và viết dưới dạng hàm mũ ta có:
S = S(

, -

) = P






















1
)(
ˆ
exp tHdti
(1.7)
S được gọi là ma trận tán xạ.
1.1.2. Ý nghĩa vật lý của ma trận tán xạ S:
Như vậy xét một hệ ban đầu ta coi hệ ở quá khứ xa xưa, t
o
= -

. Khi đó các hạt
hoàn toàn tự do và véc tơ trạng thái của hệ là:
)()( i
có dạng hoàn toàn tương
tự véc tơ trạng thái của hệ các trường tự do. Sau quá trình tán xạ tại thời điểm cuối ở
tương lai xa xăm t =

, hệ ở trạng thái mới
)(
liên hệ với trạng thái ban đầu bởi hệ
thức:
)()()( iSS 
(1.8)
Khi đó các hạt ở xa nhau vô cùng, không tương tác lên nhau, ta cũng có thể coi
)(
như là véc tơ trạng thái của hệ mới các hạt tự do. Nếu ký hiệu bộ đầy đủ các véc
tơ trạng thái của hệ là
n


thì ta có thể khai triển
)(
theo chúng:


Mai Xuân Dũng 7




n
nn
C)(


)(/ 
nn
C
(1.9)
Tại t =

, xác xuất tìm thấy hệ ở trạng thái
22
/  SCW
nnn
(1.10)
Nếu tại thời điểm ban đầu hệ ở trạng thái
i

, xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái

cuối
i

là:
22
/  SCW
nnn
(1.11)
Để tìm W
if
ta cần tính yếu tố ma trận S
if
:
ifif
SS  /
(1.12)
Hay S =
n
n o
S



(1.13)
Với
 
 
1
ˆ ˆ
/ ( ) /

n
n
i f f n i
i
S dt dt P H t H t
n
 

 

 
  
 
 
(1.14)
Khi không có tương tác :
fi
fi
S


0

Khi có tương tác thì ta có : S = 1 + i R hay S =
fi

+
fi
iR

Từ (2.18), (2.19) trong trường hợp tổng quát ta viết được :

 
 
228
2
(2
fififi
MppS 


1.2.Tiết diện tán xạ
1.2.1.Khái niệm :
Giả sử có một hạt bia ở trong một miền không gian A và một hạt đạn đi qua miền
không gian này. Xác suất tán xạ P được định nghĩa như sau:


Mai Xuân Dũng 8


 = 



(1.15)
Trong đó

là xác suất tìm tán xạ trong một đơn vị thể tích và được gọi là tiết diện tán xạ
toàn phần của quá trình tán xạ. Xác suất tán xạ P và miền không gian A đều không phụ
thuộc vào hệ quy chiếu là khối tâm hay phòng thí nghiệm. Do vậy, tiết diện tán xạ 

không phụ thuộc vào hệ quy chiếu ta chọn.
Trường hợp tán xạ có nhiều hạt tới và nhiều hạt bia, khi đó tốc độ tán xạ R được
định nghĩa như sau:

 = . . 

. 
(1.16)
Trong đó F là số hạt tới trong một đơn vị thể tích và một đơn vị thời gian:

 = 



(1.17)
Với


là mật độ hạt tới,


là vận tốc tương đối giữa hai hạt với nhau (


=


),



là số hạt bia.
Khi đó biểu thức (1.22) được viết lại như sau:
 = 





(1.18)
Trong nhiều trường hợp, ta chỉ quan tâm tới sự tán xạ trong một góc khối. Ta có
khái niệm: Tiết diện tán xạ riêng phần, hay tiết diện tán xạ vi phân

Ф
. Do góc khối dΩ
phụ thuộc vào hệ quy chiếu cho nên tiết diện tán xạ vi phân

Ω

phụ thuộc vào hệ quy
chiếu.
1.2.2.Biểu thức tiết diện tán xạ vi phân :
Xác suất cho một chuyển dời từ trạng thái i(


) đến trạng thái f(


) với
 ≠ 
là:

2 2 2
8 4 2
(2 ) ( ( ))
fi fi fi f i fi
W S R p p M
 
   

(1.19)
Ta có

4 2 4 4 4 2 4 4
( ( )) ( ) (0),( ( )) ( ) (0)
q q q q
     
 

(1.20)
Trong đó


Mai Xuân Dũng 9


4
4 4 4
4 4 4
0 0
1

(0) lim( ( )) lim
(2 ) (2 ) (2 )
iq x
q q
d x VT
q d x e


 
  
 
   
 

(1.21)
Do đó

2
2 4
W (2 ) ( ( ))
fi f i fi
p p M VT
 
 

(1.22)
Xác suất chuyển dời trong một đơn vị thời gian là:

2
4 4

W
(2 ) ( ( ))
fi
fi f i fi
rate p p M V
T
 
  

(1.23)
Biến đổi công thức trên về dạng sau

3
2
4 4 1
3
1
(2 ) ( )
(2
n
n
k
fi f i fi
k
d p
rate p p M V
 




 




(1.24)
Tổng lấy theo nhiều hạt ở trạng thái cuối. Mặt khác:

1
fi i rel t fi rel fi
rate n N
V
   
 


(1.25)
So sánh (1.10) với (1.11), ta có:

3
2
2
4 4
3
1
(2 ) ( )
(2 )
n
n
k

fi f i fi
k
rel
d p
V
p p M
  
 


 



(1.26)
ở đây :

2
1
1
2 2 2
n
n
a b k
k
V
E E E






(1.27)
Từ đó suy ra :

3
4
2
4
3
1
(2 )
( )
4 (2 ) 2
n
k
fi f i fi
k
a b rel k
d p
p p M
E E E

 
 

 



(1.28)
Trong đó


, 

là năng lượng cấc hạt tới a, b và


Mai Xuân Dũng 10


rel ab a b
V V V V  

(1.29)
Là vận tốc tương đối giữa hai hạt.
Tiết diện tán xạ vi phân

2
3
4 4
3
1
(2 ) ( )
4 (2 ) 2
n
fi
k
fi f i

k
a b rel k
M
d p
d p p
E E E
  
 

 


(1.30)
Hay
2
4
f
M
d d
F

 

(1.31)
Trong đó

a b rel
F E E



( )
i lab b
F P k m




(1.32)

( ) ( )
cm a b
F P k E E
 



3
4 4
3
1
(2 ) ( )
(2 ) 2
n
k
f i
k
k
d p

d p p
E
 


  


(1.33)
Đối với trường hợp hệ hạt đồng nhất, ta có:

2
4
f
M
d d S
F

 

(1.34)
Trong đó

1
!
i
i
S
l




(1.35)
ở đây


là số hạt đồng nhất loại I tại trạng thái cuối.


Mai Xuân Dũng 11

Xét quá trình tán xạ với hai hạt ở trạng thái đầu có xung lượng là
1 2
( , )p p
, khối
lượng
1 2
( , )m m
, cho (n-2) hạt ở trạng thái cuối có xung lượng
3 4
( , , , )
n
p p p
, khối
lượng
3 4
( , , , )
n
m m m
.

Phần thể tích không gian pha của trạng thái cuối là:
3 3
3
4 4
3
4
3 4 3 4
3( 2)
3 4
1
( , , , ) (2 ) ( )
(2 ) 2 2 2
n
f n n i
n
n
d p d p
d p
d p p p p p p p
E E E
 


    
 



(1.36)
Với

1 2
i
p p p 

Nếu quan tâm đến xác suất tán xạ theo một phương nào đó (
, 
) trong góc khối
cos
d d d
 
 
thì

2
4
f
d
M
d d
F


 


(1.37)
Trường hợp n = 4 (quá trình tán xạ hai hạt tới, hai hạt ra):
Tại góc cố định (
, 
), kết quả tích phân theo không gian pha của hai hạt sau phép lấy

tích phân đối với toàn


và toàn


là
2
3
3
3
4 4
3 3
4
3 4 3 4 1 2
6
3 4 3 4 3 4
1
( , ) (2 ) ( )
(2 ) 2 2 16 ( )
f
d d
d p
d p
d p d p
d p p p p p p
E E E E d E E
 
 
 


     

 






(1.38)
Do đó

2
3 3
2
3 4 3 4
64 ( )
p d p
M
d
d F E E d E E



 
 

(1.39)
Với

2
2 2
3 3
3
E p m
 


(1.40)

2 2 2 2
2 2 2
4 4 4
3 1 2 3
( )
E p E p p p m
     
   

(1.41)


Mai Xuân Dũng 12

Đối với các hạt không có spin, sự phụ thuộc của ma trận M vào xung lượng chỉ
thông qua bất biến Lorentz bởi các biến s,t và u được gọi là các biến Mandelstam được
định nghĩa như sau:

2 2
1 2 3 4

2 2
1 3 4 2
2 2
1 4 3 2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
s p p p p
t p p p p
u p p p p

   

   


   


(1.42)
Do đó

2 2 2 2
1 2 3 4 1 1 2 3 4
2 [(p +p )-(p +p )]
s t u m m m m p      

(1.43)
Trong hệ quy chiếu khối tâm, các xung lượng 4 chiều được định nghĩa như sau

1 1 2 2 3 3 4 4
p ( , ), ( , ), ( , ), ( , )E p p E p p E p p E p
 
     
   

(1.44)
Áp dụng các định luật bảo toàn năng, xung lượng ta được

2 2 2 2
1 2 3 4
s t u m m m m     

(1.45)
Ta có
2 2
2 2
3 4
3 4
3 4 3 4 3 4 1 2
3 3
( )
( ) ( )
d m p d m p
d E E
E E E E p E E p E E
d p d p d p
 
 
 

 

 
    
 

 
 
 
 
 
  


(1.46)
Mặt khác

1 2
( )
cm
F p E E

 


(1.47)

1 2
( )s E E
 

(1.48)
Khi đó biểu thức tiết diện tán xạ vi phân được viết lại như sau


Mai Xuân Dũng 13


2
2
1
64
cm
p
d
M
d s
p



 

 

 



(1.49)

Chú ý rằng

2
2 2
1 2
1
( , , )
4
p s m m




(1.50)

2
2 2
3 4
1
( , , )
4
p s m m
s





(1.51)
Với

2 2 2
( , , ) ( ) 4 ( ) ( )a b c a b c abc a b c a b c

   
        
   


(1.52)
Mà
2 2 2
1 3 1 3 1 3
( ) 2
t p p m m p p
    


2 2
1 3 1 3 1 3
2 2
1 3 1 3 1
2 2 os
2 2 os
m m E E p p C
m m E E p p C


   

   

 
 

(1.53)
Ta suy ra
2 os
dt p p C



 

(1.54)
Ta có góc khối :
sind d d
  
 
, trong đó
 
 
0,
0,2
 
 




2 ,0d dcos dt
p p


   
     

 

(1.55)
Do đó ở dạng khác, chúng ta có thể viết biểu thức tiết diện tán xạ vi phân theo các biến s
và t như sau:


Mai Xuân Dũng 14


2
2
64
cm
M
d
dt
s p


 

 
 


(1.56)
Khi lấy tổng theo spin của các hạt ở trạng thái cuối, và lấy trung bình theo spin của các
hạt ở trạng thái đầu, ta thay

3 4 1 2 3 4
2
2 2
, ,
1 2
1
(2 1)(2 1)
s s s s s s
M M M
s s
 
 
  

(1.57)
Có thể biết lại (1.55) dưới dạng sau

2
2 2
1 2
16 ( , , )
cm
M
d
d s m m



 

 

 

(1.58)
Bây giờ ta xét bài toán trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm:

1 1 2 2 3 3 4 4 4
( , ); ( ,0); ( , ); ( , )p E p p m p E p p E p
   

   

(1.59)
Ta dễ dàng thu được các hệ thức sau:

4 1 2 2
E E m E  


2 2 2 2
4
( ) 2 os( )
lab
p p p p p p p c

  

    


3 4
3 4 1 2
( )
( ) os( )
lab
d E E
E E p E E p c
d p



  


(1.60)
Thay (1.56) vào (1.25) ta thu được

2
2
2
1 2
1
64
( ) os( )
lab
lab
M p

d
p
d m p
E E c
p




 

 

 
 


(1.61)
Trong trường hợp:


= 

, 

= 


Mai Xuân Dũng 15


1
2
2
2
2 3 1
2 2
2 2
2
2
1 ( )
64
2
lab
M p
d q
m E m
d m p
m p



 

 
 
  
 

 
 
 
 

(1.62)
1.3. Tốc độ phân rã
Xét sự phân rã của một hạt có năng lượng E
p
và khối lượng M phân rã thành n hạt
ở trạng thái cuối với xung lượng p
1,
p
2
, …, p
n
. Thông qua lý thuyết xác suất và xem xét
đặc trưng của quá trình vật lý ta có công thức tính tốc độ tán xạ:
2
1 2
( )
2
fi
n f
P
M
d p p p p d s
E

     

(1.63)
Trong đó
f
d

và s được xác định như sau:
3
4 4
3
1
(2 ) ( )
(2 ) 2
n
k
f i
k
k
d p
d p p
E
  


 

(1.64)
Đối với trường hợp hệ hạt đồng nhất, ta có:
2
4
f

M
d d s
F
 

(1.65)
Trong đó :
1
!
i
i
S
l


(1.66)
Với
i
l
là số hạt đồng nhất loại i tại trạng thái cuối.
Một trường hợp cụ thể thường gặp là một hạt m phân rã ở trạng thái nghỉ (P=0)
thành hai hạt khác nhau có khối lượng m
1
, m
2
. Ta có:
2 2 2
1 2
1
( , , )

2
P m m m
M


(1.67)
Tốc độ phân rã vi phân
2
1 2
2 2
( ) .
32
M p
d m p p d
m

    
(1.68)
Để có biểu thức tốc độ phân rã ta lấy tích phân theo góc khối toàn phần


Mai Xuân Dũng 16

2
1 2
2 2
( )
32
p
m p p M d

m

    

(1.69)
Với s = 1 cho trường hợp hai hạt ở trạng thái cuối khác nhau và s=1/2 khi chúng
giống nhau.

Mai Xuân Dũng 17


CHƯƠNG 2: CÁC HẠT TỰA AXION TRONG MÔ HÌNH
CHUẨN MỞ RỘNG
2.1. Axion trong mô hình PQWW
Axion được xuất hiện trong nhiều mô hình vật lí khác nhau, nó có thể đóng vai trò
như là một GoldStone Boson của nhóm U(1)
PQ
và cũng có thể xuất hiện như là thành
phần của siêu trường Chiral trong lý thuyết SUSY. Trong phần này chúng tôi giới thiệu
về đặc tính của Axion trong mô hình PQWW. Để xuất hiện Axion như là một pha của
trường Higgs, người ta cần đưa vào Higgs doublet
1 2
,
 
. Thế Higgs tổng quát nhất có thể
tái chuẩn hoá được và đối xứng phản xạ
i i
 
 
là:

2 2
1 2 1 1 2 2 2 ij
ij
~ ~
~ ~

ij ij
ij i j
( , )
( . )
i i j j
i i j j i j i j
V a
b c h c
         
       
   
    

   
 

 
(2.1)
Trong đó:
1 2 ij ij
1 1
( ) , ( ) ; ,
2 2
Y Y a b
 
  
là thực,
ij
c
là hermitic và

~
*
2
i
  


Thế (2.1) có một đối xứng U(1):
1 1 2 2
;
i i
e e
 
   
 
(2.2)
Đối xứng U(1) này giống như đối xứng gauge U(1)
Y
của Standard Model (SM), vì
thế đối xứng U(1) này không có ích cho một đối xứng toàn cục, độc lập. Peccei và Quinn
đã áp đặt điều kiện c
ij
=0 và đưa vào đối xứng toàn cục U(1)
PQ
:

1 2
1 1 2 2
;
i i

e e
 
   
 
 
(2.3)
1 2
, 
là PQ charges của
1

và
2

. Tương tác Yukawa phải được viết sao cho để đối xứng
toàn cục (2.3) không bị vi phạm. Điều này được hoàn tất bởi tương tác
1

với d
R
(hoặc
u
R
), và tương tác
2

với u
R
(hoặc d
R

). Một cách đặc biệt để bảo toàn đối xứng PQ thì việc
có được khối lượng từ VEV (Vacuum Expectation Values) của
1 2
,
 
cho các Quark là:
1


đem khối lượng cho các Quark có Q
em
=-1/3,
2

đem khối lượng cho các Quark có
Q
em
=2/3.


Mai Xuân Dũng 18

Do đặc điểm của các quá trình biến đổi, nên sự thay đổi của những Higgs trung
hoà không xảy ra. Tương tác Yukawa của các Quark là:
( ) ( ) ( ) ( )
ij 2 ij 2 ij 1 ij 1
q u u d d
Y Li Ri Ri Li Lj Ri Ri Lj
L f q u f u q f q d f d q
   

   
 
    
(2.4)
Ở đó i, j được lấy trên những flavors. Tương tác (2.1) và (2.4) mong đợi có đối
xứng PQ cho những Fermion là:
U(1)
PQ
:
2
2
2
2
exp( )
2
exp( )
2
exp( )
2
exp( )
2
L L
L L
R R
R R
i
u u
i
d d
i

u u
i
d d




 
 
 
 
(2.5)
Tương tác Yukawa (2.4) đưa đến tương tác của Axion với những Quark, ở đó tồn
tại sự tự do cho những tương tác Yukawa của Lepton khác. Những tương tác này sẽ tuân
theo đối xứng PQ, ngoài ra sự mong muốn về bậc của

sẽ có một số hạng thế năng và
cũng huỷ luôn cả tính phục hồi động học của

qua cơ chế PQ. Vì vậy ta có hai mô hình
Axion PQWW của các tương tác Yukawa của các Lepton như sau:
Mẫu I:
*
1 (1) (1)
ij 1 ij 1
Y Li Ri Ri Li
L f L e f e L
 
 


  
(2.6I)
Mẫu II:
*
~
1 (1) (1)
ij 2 ij 2
Y Li Rj Rj Li
L f L e f e L
 
 
  
(2.6II)
Ở đó L
i
là left-handed Lepton doublet của họ thứ i; e
Ri
là righ-handed Lepton
singlet của họ thứ i(e
1
= e, e
2
=

, e
3
=

). Dưới phép biến đổi U(1)
PQ

:
Với mẫu I:
1
exp( )
2
L L
i
L L

 
;
1
exp( )
2
R R
i
e e

  
(2.7I)
Với mẫu II:
1
exp( )
2
L L
i
L L

  
;

1
exp( )
2
R R
i
e e

  
(2.7II)
Ta có thể biểu diễn trường Higgs dưới dạng:


Mai Xuân Dũng 19


0
1 1 1
1
1
0
2 2 2
2
2
exp
2
exp
2
v ip
v
v ip

v




 


 
 
 


 
 
(2.8)
Ở đó
0 0
1 2
1 2
;
2 2
v v
 
 
và
1 2
,
 
là những trường Higgs thực. Một tổ hợp tuyến tính

của những pha p
1
và p
2
bị hấp thụ thành Z Boson và tổ hợp khác trở thành Axion.

1 2
1 2
sin os
os sin
h p c p
a c p p
 
 
  
  
(2.9)
Suy ra:
1
2
2 2
1 2
1 2
2 1
os . sin .
sin . os .
; ; 247
p c a h
p a c h
v v

tg v v v GeV
v v
 
 
 
 
 
    
(2.10)
Những trường Higgs được khai triển như sau:

0
1 1 2
1
0
2 2 1
2

2 2

2 2
v iv
a
v
v iv
a
v






  

  
(2.11)
2.2. Các hạt tựa Axion
Đặc tính của nhiều sự mở rộng mô hình chuẩn SM bị phá vỡ là một hay vài đối
xứng toàn cục U(1)
i
, i=1, ,n
ax
. Ở mức năng lượng dưới mức phá vỡ đối xứng v
i
, trường
boson Nambu-Goldstone
,
i
a
xuất hiện dưới mức kích thích không khối lượng của thành
phần góc của các trường vô hướng phức đơn tuyến
i

có kì vọng chân không
2
i
i
v



phá vỡ đối xứng U(1)
i
:

,
( )
[ ( )]
( )
2
i
i
ia x
v
i i
i
v x e
x




(2.12)
Các tương tác của chúng với các hạt của mô hình SM, ví dụ như các gluon( được
mô tả bởi
G

), các photon (được mô tả bởi trường điện từ
F


) và các electron ( được mô


Mai Xuân Dũng 20

tả bởi spinor e) được loại bỏ bởi năng lượng vũ trụ phá vỡ đối xứng
,
i
i
a
f v v


, với
v
=246 Gev là Vev Higgs điện yếu:
ax
,
ax ax
, ,
,
,
~
, , ,
1
,
,
~
, ,
5

1 1
1
2 8
1

8 2
i
i i
b
n
b
s i
i i ig
i
a
n n
i
i
i ie
i i
a a
a
L a a C G G
f
a
a
C F F C e e
f f



 



 



 



 
 
 
   
 
 
   

   
  
   
   

 
(2.13)
Ớ đây các liên kết với các gluon
,
ig

C
và với các photon
,
i
C

xuất hiện từ việc lấy
tích phân các fermion dị thường Chiral U(1)
i
. Các ví dụ cho các boson Nambu-Goldstone
bao gồm:
* Axion A – hạt xuất hiện trong trường Nambu-Goldstone với mật độ điện tích trong
QCD là
,
~
8
b
b
s
q G G





trong phương trình (2.13)

ax
,
,

,
1
i
n
i
ig
i
A
a
a
A
C
f f



(2.14)
Trường này thay thế tham số

trong QCD bằng hệ số nhiệt động
( )
( )
A
A
A x
x
f


từ

tự nhiên cho đến 0
0
A


- giải thích lý do không quan sát được trong CP mạnh. Trên
thực tế kết quả của hệ số ảnh hưởng đến
A



2 2
2 4 2 4
2
(0)
( ) ( ) ( )
2 2 ( )
u d
A A A A A
u d
m f m m
V O O
m m
 

    
  


(2.15)

Ở đây
2
4
(0)
Q
d x



với
4
( )Q d xq x


;
m

,
f

là khối lượng và hệ số phân rã của pion;
u
m
và
d
m
là khối lượng quarks. Thêm nữa biến động của topo cho axion một khối lượng
nhỏ có thể biết được từ 1 phần trong phương trình (2.15)
10
10

0,6
u d
A
A u d A
m m
m f
GeV
m meV
f m m f
 
 

 

 

(2.16)


Mai Xuân Dũng 21

Cho axion là 1 boson Nambu – Goldstone. Kết hợp với neutral pion, axion có hệ
số cặp photon
~
;
4
gA
L AF F




 

9
12 1
10
10
A
Gev
gA Gev
f

 
 
 
 

(2.17)
Với kết quả từ rất nhiều quá trình nghiên cứu khác nhau ta nhận thấy:
* majoron – boson Nambu – Goldstone xuất hiện từ sự phá vỡ đối xứng số lepton toàn
cầu ở mức năng lượng cao f
L
= v
L
– giải thích sự nhỏ nhất về khố lượng của neutrinos
spin trái trong SM bởi sự tham gia của khối lượng điện yếu Dirac M
D
=F
v
và thành phần

khối lượng Majorana lớn M
M
=yf
L
của neutrinos spin phải
2 12 1
1 1
2
10
0,6
10
T
T T
v D M D
L L
v GeV Fy F
m M M M Fy F eV
f f

 

 
 

    
 
 
 
 
(2.18)

* Familons xuất hiện từ sự phá vỡ hệ đối xứng toàn cầu
* Axions dạng dây – mẫu Kaluza – Klein của trường tenxơ phản đối xứng – phụ thuộc
gần hơn vào phổ khối lượng của thành phần dây bosonic trong 10 chiều. Số n
ax
được xác
định bởi topo của đa dạng chiều
* Axion và tựa axion xuất hiện từ sự phá vỡ đối xứng toàn cầu U(1), nó xuất hiện ở mức
năng lượng thấp của chiều gián đoạn – bổ đề xuất hiện sau trong lý thuyết trường hay tự
xuất hiện trong lý thuyết dây.
Theo đó, các nghiên cứu về Axion A – kết hợp kết hợp cặp gần trong topo mật độ
điện tích trong QCD, phương trình (2) và mở rộng hơn là ALPS a
j
và boson Nambu-
Goldstone n
ax-1
của axion trong không gian trường - là 1 lý thuyết đang rất được khuyến
khích. Thêm nữa chúng tôi sẽ giới thiệu tiếp theo, phần còn lại của chúng cũng được đề
nghị trong nền vũ trụ và thiên văn học.
2.3. Một số tương tác cơ bản để tạo hạt tựa axion
Cũng giống như hạt axion, tương tác của hạt tựa axion với vật chất chủ yếu là
thông qua tương tác điện từ hoặc một phần của tương tác điện từ mạnh. Sau đây là một số
quá trình tương tác cơ bản để tạo hạt tựa axion:
Quá trình Primakoff:
z z
 
  