Mô hình thú mồi ngẫu nhiên và tính Egodic

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
Vũ Tiến Đức
MÔ HÌNH THÚ MỒI NGẪU NHIÊN
VÀ TÍNH ERGODIC
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC
Mã số: 60460106
Người hướng dẫn khoa học
GS.TS. NGUYỄN HỮU DƯ
HÀ NỘI- Năm 2014
1
Mục lục
Lời cảm ơn 3
Lời nói đầu 4
1 Một số khái niệm mở đầu 6
1.1 Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Quá trình thích nghi với một bộ lọc . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Quá trình Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Tích phân ngẫu nhiên Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Tích phân Itô của hàm bậc thang . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Tích phân Itô của hàm ngẫu nhiên bị chặn . . . . . . . . . 11
1.3 Vi phân ngẫu nhiên. Công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Công thức Itô tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Tích phân Itô nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1 Quá trình Wiener n- chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2 Tích phân Itô nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.3 Công thức Itô nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 17
2.1 Khái niệm về phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . 17
2.2 Định lý sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Điều kiện cho tính chính quy của nghiệm phương trình vi phân
ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Tính chất Ergodic của nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên . 21
2
2.4.1 Quá trình hồi quy đối với một miền . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.2 Hồi quy và không hồi quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.3 Hồi quy dương và hồi quy không . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.4 Sự tồn tại phân phối dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Mô hình thú mồi ngẫu nhiên và tính ergodic 26
3.1 Cạnh tranh loài, tính ergodic và các elip . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 So sánh với các kết quả khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Kết luận 46
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học tự nhiên- Đại học quốc
gia Hà Nội, dưới sự hướng dẫn tận tình và chu đáo của thầy giáo GS.TS Nguyễn
Hữu Dư. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến người thầy, người đã
chỉ dạy những kiến thức và kinh nghiệm trong học tập cũng như trong nghiên
cứu khoa học.
Nhân dịp này, tác giả bảy tỏ lởi cảm ơn chân thành thành tới Ban chủ nhiệm
khoa Toán- Cơ-Tin học, phòng Sau đại học trường Đại học Khoa học tự nhiên-
Đại học Quốc gia Hà Nội.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy, cô giáo trong bộ môn Lý
thuyết xác suất và thống kê toán học, khoa Toán - Cơ - Tin học đã nhiệt tình
giảng dạy trong suốt quá trình học tập. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình,

các bạn trong lớp Cao học toán khóa học 2011-2013, đã thường xuyên quan tâm,
tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn.
Mặc dù có nhiều cố gắng, song vì năng lực còn hạn chế nên chắc chắn luận văn
vẫn còn nhiều thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những lời chỉ bảo quý báu
của các thầy giáo, cô giáo, các góp ý của bạn đọc để luận văn ngày càng hoàn
thiện hơn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2014
Tác giả
4
Lời nói đầu
Giải tích ngẫu nhiên, hay giải tích trong môi trường ngẫu nhiên, là một hướng
nghiên cứu rất quan trọng trong lý thuyết xác suất, đồng thời cũng được ứng
dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác bên ngoài toán học như Vật lý (lý
thuyết chuyển động hỗn loạn, lý thuyết trường bảo giác ), Sinh học (động lực
học quần thể ), Công nghệ ( lý thuyết lọc, ổn định và điều khiển hệ động lực
ngẫu nhiên ) và đặc biệt trong kinh tế và tài chính (định giá quyền lựa chọn
trong thị trường chứng khoán ).
Ngày nay, phép tích tích phân ngẫu nhiên, phương trình vi phân ngẫu nhiên đã
trở thành công cụ toán học có hiệu lực cho nhiều vấn đề của vật lý, cơ học, sinh
học và kinh tế (kể cả thị trường chứng khoán).
Trong luận văn này, chúng tôi xin trình bày tính ergodic của nghiệm của phương
trình thú mồi ngẫu nhiên chịu nhiễu ồn trắng Gauss.
Luận văn được chia làm 3 chương:
Chương 1. Trong chương này, ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản của giải tích
ngẫu nhiên bao gồm quá trình ngẫu nhiên, quá trình đo được và các tính chất
của quá trình ngẫu nhiên quan trọng- quá trình Wiener, đồng thời ta cũng tìm
hiểu khái niệm, sự tồn tại của tích phân ngâu nhiên Itô đối với hàm ngẫu nhiên
bị chặn và khái niệm vi phân ngẫu nhiên Itô (xem xét đồng thời trường hợp một
chiều và nhiều chiều).
Chương 2. Ở chương này ta nhắc lại khái niệm phương trình vi phân ngẫu

nhiên và điều kiện sự tồn tại duy nhất nghiệm. Trong chương này ta cũng đi tìm
hiểu một số khái niệm gắn liền với quá trình ngẫu nhiên (tính chính quy, hồi
5
quy, hồi quy dương) và đặc biệt ta đi nghiên cứu tính chất ergodic của nghiệm
của phương trình vi phân ngẫu nhiên.
Chương 3. Chúng ta đi xét mô hình cạnh tranh loài ngẫu nhiên với tốc độ tăng
trưởng chịu nhiễu tiếng ồn trắng Gauss. Ta sẽ chứng tỏ rằng nếu cường độ tiếng
ồn không qua lớn, khi đó nghiệm của phương trình ngẫu nhiên có tính ergodic.
Một mối liên hệ hiển giữa cường độ tiếng ồn và các tham số của các loài cạnh
tranh ban đầu cho ta điều kiện đủ cho tính chất ergodic. Bên cạnh đó ta cũng đi
thảo luận và so sánh điều kiện đủ cho tính ergodic mà chúng ta nhận được với
những kết quả thu được trong bài báo của Rudnicki[20], đồng thời cũng đề cập
đến tính ergodic của nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên Stratonovich.
6
Chương 1
Một số khái niệm mở đầu
Cho (Ω, F, P) là một không gian xác suất, tức là một bộ ba gồm
• Ω là một tập hợp cơ sở bất kỳ nào đó mà mỗi phần tử ω ∈ Ω đại diện cho một
yếu tố ngẫu nhiên. Mỗi tập con của Ω gồm một số yếu tố ngẫu nhiên nào đó.
• F là một họ nào đó các tập con của Ω, chứa Ω và đóng đối với phép hợp đếm
được và phép lấy phần bù; nói cách khác F là một σ- trường các tập con của Ω.
Mỗi tập A ∈ F sẽ được gọi là một biến cố ngẫu nhiên.
• P là một độ đo xác suất xác định trên không gian đo (Ω, F).
1.1 Quá trình ngẫu nhiên
1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên
Định nghĩa 1.1. a) Cho (Ω, F, P) là không gian xác suất và T là một tập nào
đó. Một ánh xạ X : T × Ω → R sao cho với mỗi t ∈ T , ánh xạ ω → X(t, ω) là đo
được, được gọi là một hàm ngẫu nhiên trên T và ta viết X = {X(t), t ∈ T }.
Như vậy, một hàm ngẫu nhiên trên T chẳng qua là một họ các biến ngẫu nhiên
X = {X(t), t ∈ T } được chỉ số hóa bởi tập tham số T.

• Nếu T = N là tập các số tự nhiên thì ta gọi X = {X(n), n ∈ N} là dãy các biến
ngẫu nhiên.
• Nếu T là một khoảng của đường thẳng thực thì ta gọi X = {X(t), t ∈ T } là
một quá trình ngẫu nhiên. Trong trường hợp này tham số t đóng vai trò biến
thời gian .
7
• Nếu T là một tập con của R
d
thì ta gọi X = {X(t), t ∈ T} là một trường ngẫu
nhiên.
Nếu quá trình ngẫu nhiên X = {X(t), t ∈ T } lấy giá trị trong R
n
thì ta có một
quá trình ngẫu nhiên n− chiều.
Giả sử X = {X(t), t ∈ T } là quá trình ngẫu nhiên, ký hiệu
L
2
(Ω) =

X(t) : E


Ω
|X(t)|
2
dP (ω)

< ∞

.

1.1.2 Quá trình thích nghi với một bộ lọc
Định nghĩa 1.2. a) Một họ các σ- trường con {F
t
}
t≥0
của F, F
t
⊂ F được gọi
là một bộ lọc thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu:
i) Đó là một họ tăng, tức F
s
⊂ F
t
nếu s < t.
ii) Đó là một họ liên tục phải, tức F
t
=

ε>0
F
t+ε
.
iii) Mọi tập P- bỏ qua được A ∈ F đều được chứa trong F
0
, tức là
A ∈ F và P(A) = 0 thì A ∈ F
0
.
b) Cho một quá trình ngẫu nhiên X = {X(t), t ≥ 0}. Ta xét họ các σ- trường
{F

X
t
}
t≥0
sinh bởi tất cả các biến ngẫu nhiên X(s) với s ≤ t, tức F
X
t
= σ(X
s
, 0 ≤
s ≤ t). σ- trường này chứa đựng mọi thông tin về diễn biến quá khứ của quá
trình X cho đến thời điểm t. Người ta gọi đó là bộ lọc tự nhiên của quá trình
X, hay là lịch sử của X, hay cũng còn gọi là trường thông tin về X.
c) Một không gian xác suất (Ω, F, P) trên đó ta gắn thêm một bộ lọc {F
t
}
t≥0
,
được gọi là một không gian xác suất lọc và ký hiệu là (Ω, F, (F
t
), P).
c) Cho một bộ lọc bất kì, {F
t
}
t≥0
. Quá trình X = {X(t), t ≥ 0} được gọi là thích
nghi với bộ lọc {F
t
}
t≥0

, nếu với mỗi t ≥ 0 thì X
t
là F
t
- đo được.
1.1.3 Quá trình Wiener
Định nghĩa 1.3. Cho σ > 0. Quá trình ngẫu nhiên W = {W(t), t ≥ 0} được gọi
là quá trình Wiener (hay chuyển động Brown) với tham số σ
2
nếu nó thỏa mãn
8
các điều kiện sau
i) W (0) = 0 hầu chắc chắn.
ii) W có gia số độc lập, tức là với 0 < t
1
< t
2
< < t
n
thì các biến ngẫu
nhiên
W (t
1
), W (t
2
) − W (t
1
), , W (t
n
) − W (t

n−1
),
là độc lập.
iii) Với 0 ≤ s < t thì W (t) −W(s) là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
W (t) − W(s) ∼ N(0; σ
2
(t − s)).
Trong trường hợp σ
2
= 1 thì quá trình được gọi là quá trình Wiener tiêu chuẩn.
Một số tính chất của quá trình Wiener
Cho quá trình ngẫu nhiên Wiener W = {W (t), t ≥ 0}.
a) W (t) là martingale đối với bộ lọc tự nhiên {F
W
t
}
t≥0
của quá trình Wiener W ,
tức là
E(W
t
|F
W
s
) = W
s
, ∀s < t.
b) P{ω : quĩ đạo t → W (t, ω) là khả vi } = 0.
c) P{ω : quĩ đạo t → W (t, ω) có biến phân bị chặn trên một khoảng hữu hạn bất kỳ } =
0.

d) W tuân theo luật lôgarit- lặp như sau:
P

ω : lim sup
t→∞
W (t)
√
2t ln ln t
= 1

= 1.
1.2 Tích phân ngẫu nhiên Itô
Định nghĩa 1.4. Cho quá trình ngẫu nhiên Wiener W = {W (t), t ≥ 0} trên
không gian xác suất (Ω, F, P).
a) Với mỗi t ≥ 0, ký hiệu H
t
= F
W
t
là σ- trường sinh bởi họ {W(s), 0 ≤ s ≤ t}.
Khi đó H
t
được gọi là σ- trường đại số chứa các thông tin về lịch sử của hàm
ngẫu nhiên W cho tới thời điểm t.
9
b) Ký hiệu H
+
t
là σ- trường sinh bởi họ {W (u) − W (t), u ≥ t}. Khi đó H
+

t
được
gọi là σ- trường đại số chứa các thông tin về tương lai của hàm ngẫu nhiên W
sau thời điểm t.
c) Một họ {F
t
}
t≥0
các σ- trường con của F được gọi là họ lọc đối với quá trình
Wiener W nếu
• F
s
⊂ F
t
nếu s < t.
• H
t
⊂ F
t
với mọi t ≥ 0.
• F
t
độc lập với H
+
t
với mọi t ≥ 0.
Định nghĩa 1.5. Giả sử f(t, ω), t ≥ 0 là một quá trình ngẫu nhiên nào đó.
a) Ta nói rằng f(t, ω) là phù hợp đối với họ lọc {F
t
}

t≥0
nếu với mỗi t ≥ 0, ánh xạ
ω → f(t, ω) là F
t
- đo được. Điều này có nghĩa là tại mỗi thời điểm t, biến ngẫu
nhiên f(t, ω) chỉ phụ thuộc vào các thông tin trong σ- trường F
t
.
b) Ta nói rằng f (t, ω) là đo được lũy tiến đối với lọc {F
t
}
t≥0
nếu với mỗi t ≥ 0,
hàm (t, ω) → f(t, ω) xác định trên [0, t] × Ω là B
t
× F
t
đo được, ở đây B
t
là σ-
trường Borel của [0, t].
Rõ ràng nếu f (t, ω) là đo được lũy tiến đối với lọc {F
t
}
t≥0
thì nó phù hợp với
lọc {F
t
}
t≥0

.
c) Ký hiệu N
2
(0, T ) là tập hợp các hàm ngẫu nhiên f(t, ω) đo được lũy tiến và
E

T

0
f
2
(t, ω)dt

< ∞.
Ta có N
2
(0, T ) là không gian Banach với chuẩn
||f|| =





E

T

0
f
2

(t, ω)dt

.
d) Ký hiệu N
1
(0, T ) là tập hợp các hàm ngẫu nhiên f(t, ω) đo được lũy tiến và
E

T

0
|f(t, ω)|dt

< ∞.
10
Ta có N
1
(0, T ) là không gian Banach với chuẩn
||f|| = E

T

0
|f(t, ω)|dt

.
1.2.1 Tích phân Itô của hàm bậc thang
Cho {F
t
}

t≥0
là họ lọc tự nhiên đối với quá trình ngẫu nhiên Wiener W =
{W (t), t ≥ 0}, f (t, ω) là quá trình ngẫu nhiên thuộc N
2
(0, T ).
Định nghĩa 1.6. Quá trình ngẫu nhiên (hàm ngẫu nhiên) f(t, ω) ∈ N
2
(0, T )
được gọi là hàm bậc thang nếu tồn tại một phép phân hoạch của đoạn [0, T ] :
0 ≡ t
0
< t
1
< < t
n
≡ T,
sao cho f(t, ω) =
n−1

k=0
c
k
(ω)1
A
k
, ở đây A
k
= [t
k
, t

k+1
) và c
k
(ω) là F(t
k
)− đo được.
Với hàm ngẫu nhiên bậc thang f(t, ω) ở trên, ta định nghĩa tích phân Itô của
hàm f(t, ω) trên đoạn [0, T ] bằng công thức
I(f) =
T

0
f(t, ω)dW (t) =
n−1

k=0
c
k
(ω)[W (t
k+1
) − W (t
k
)].
• Với 0 ≤ t ≤ T ta định nghĩa
t

0
f(s, ω)dW (s) =
m


k=0
c
k
(ω)(W (t
k+1
) − W (t
k
)) + c
m+1
(ω)(W (t) − W (t
m+1
)),
với t
m+1
< t là số gần t nhất.
• Với 0 ≤ s ≤ t ≤ T ta định nghĩa
t

s
f(u, ω)dW (u) =
t

0
f(u, ω)dW (u) −
s

0
f(u, ω)dW (u).
Một số tính chất của tích phân Itô của hàm bậc thang
Giả sử f, g ∈ N

2
(0, T ) là các hàm bậc thang, khi đó ta có
a)
T

0
[af + bg]dW (t) = a
T

0
fdW (t) + b
T

0
gdW (t) ∀a, b ∈ R.
11
b) E(I(f)) = E

T

0
f(t, ω)dW (t)

= 0.
c) E(I(f))
2
= E

T


0
f
2
(t, ωdt

.
d) Với 0 ≤ t ≤ T ta có M(t) =
t

0
f(u, ω)dW (u) là martingale đối với σ− đại số
F
t
, tức là
E(M(t)|F
s
) = M(s), với mọi 0 ≤ s < t ≤ T .
1.2.2 Tích phân Itô của hàm ngẫu nhiên bị chặn
Bổ đề 1.1. Giả sử f ∈ N
2
(0, T ). Khi đó tồn tại một dãy hàm ngẫu nhiên bậc
thang bị chặn φ
n
∈ N
2
(0, T ) sao cho
lim
n→∞
E


T

0
|φ
n
− f|
2
dt

= 0.
Chứng minh.
Bước 1. Tồn tại dãy h
n
∈ N
2
(0, T ) sao cho h
n
bị chặn với mỗi n và
lim
n→∞
E

T

0
|h
n
− f|
2
dt


= 0.
Bước 2. Giả sử h ∈ N
2
(0, T ) bị chặn, khi đó tồn tại dãy ngẫu nhiên liên tục bị
chặn u
n
∈ N
2
(0, T ) sao cho
lim
n→∞
E

T

0
|h − u
n
|
2
dt

= 0.
Bước 3. Nếu u ∈ N
2
(0, T ) là hàm ngẫu nhiên liên tục bị chặn. Khi đó tồn tại
dãy hàm ngẫu nhiên bậc thang bị chặn φ
n
∈ N

2
(0, T ) sao cho
lim
n→∞
E

T

0
|u(t, ω) − φ
n
(t, ω)|
2
dt

= 0.
12
Nhờ các kết quả trên ta suy ra với mỗi hàm f ∈ N
2
(0, T ), tồn tại một dãy hàm
ngẫu nhiên bậc thang bị chặn φ
n
∈ N
2
(0, T ) sao cho
lim
n→∞
E

T


0
|φ
n
− f|
2
dt

= 0.
Ta có {φ
n
} là dãy Cauchy trong N
2
(0, T ), từ đó suy ra {I(φ
n
)} là dãy Cauchy
trong L
2
(Ω), do đó tồn tại giới hạn
l.i.m
n→∞
I(φ
n
).
vì L
2
(Ω) là không gian Hilbert.
Ta định nghĩa tích phân Itô của hàm f trên [0, T ] là
I(f) =
T


0
f(t)dW (t) = l.i.m
n→∞
I(φ
n
) = l.i.m
n→∞
T

0
φ
n
(t, ω)dW (t).
Định lý sau đây cho ta một số tính chất cơ bản của tích phân Itô.
Định lý 1.1. Với mọi quá trình ngẫu nhiên f, g ∈ N
2
(0, T ) ta có
a) Ánh xạ I : N
2
(0, T ) → L
2
(Ω); f → I(f) là tuyến tính.
b) E

T

0
f(t, ω)dW (t)


= 0.
c) E

T

0
f(t, ω)dW (t)
T

0
g(t, ω)dW (t)

= E

T

0
f(t, ω)g(t, ω)dt

.
Nói riêng, ta có
E

T

0
f(t, ω)dW (t)

2
= E


T

0
f
2
(t, ω)dt

.
d) Với 0 ≤ t ≤ T ta có M(t) =
t

0
f(u, ω)dW (u) là martingale đối với σ− trường
F
t
, tức là
E(M(t)|F
s
) = M(s), với mọi 0 ≤ s < t ≤ T.
13
e) Với 0 ≤ s < t ≤ T ta có
T

s
f(u, ω)dW (u) =
t

s
f(u, ω)dW (u) +

T

t
f(u, ω)dW (u).
1.3 Vi phân ngẫu nhiên. Công thức Itô
1.3.1 Vi phân ngẫu nhiên
Định nghĩa 1.7. Giả sử X = {X(t), t ≥ 0} là một quá trình ngẫu nhiên sao cho:
a) Hầu hết quỹ đạo t → X(t, ω) là liên tục.
b) Hầu chắc chắn X(t) có biểu diễn
X(t) = X(r) +
t

0
h(s, ω)ds +
t

0
g(s, ω)dW (s),
ở đó h ∈ N
1
(0, T ), g ∈ N
2
(0, T ).
Khi đó ta nói X có vi phân ngẫu nhiên Itô và viết
dX(t) = h(t, ω)dt + g(t, ω)dW (t),
hay viết gọn là
dX = hdt + gdW.
Quy tắc vi phân Itô
Định lý 1.2. Cho quá trình ngẫu nhiên X = {X(t), t ≥ 0} có vi phân ngẫu nhiên
dX(t) = h(t)dt + g(t)dW (t).

Giả sử
u : R
+
× R → R
(t, x) → u(t, x),
là hàm hai biến khả vi liên tục theo biến thứ nhất t, hai lần khả vi liên tục theo
biến thứ hai x.
Khi đó quá trình ngẫu nhiên Y (t) = u(t, X(t)), 0 ≤ t ≤ T có vi phân ngẫu nhiên
được tính bởi công thức
dY (t) =

∂u
∂t
(t, X(t))+
∂u
∂x
(t, X(t))h(t)+
1
2
∂
2
u
∂x
2
(t, X(t))g
2
(t)

dt+
∂u

∂x
(t, X(t))g(t)dW (t).
14
1.3.2 Công thức Itô tổng quát
Giả sử X
1
(t), X
2
(t), , X
n
(t) là các quá trình ngẫu nhiên có các vi phân ngẫu
nhiên là
dX
k
(t) = h
k
(t, ω)dt + g
k
(t, ω)dW (t); k = 1, 2, , n,
ở đó h
k
∈ N
1
(0, T ); g
k
∈ N
2
(0, T ).
Định lý 1.3. Cho
u : R

+
× R
n
→ R
(t, x
1
, x
2
, , x
n
) → u(t, x
1
, x
2
, , x
n
),
là hàm hai biến khả vi liên tục theo biến thứ nhất t, hai lần khả vi liên tục theo
các biến x
1
, x
2
, , x
n
.
Đặt X(t) = (X
1
(t), X
2
(t), , X

n
(t)). Khi đó quá trình ngẫu nhiên Y (t) = u(t, X(t))
có vi phân ngẫu nhiên được tính bởi công thức
dY (t) =

∂u
∂t
(t, X(t))+
n

k=1
∂u
∂x
k
(t, X(t))h
k
(t)+
1
2
n

j=1
n

k=1
∂
2
u
∂x
j

∂x
k
(t, X(t))g
j
(t)g
k
(t)

dt+
+

n

k=1
∂u
∂x
k
(t, X(t))g
k
(t)

dW (t).
Công thức trên được viết gọn dưới dạng
dY (t) =
∂u
∂t
(t, X(t))dt+
n

k=1

∂u
∂x
k
(t, X(t))dX
k
(t)+
1
2
n

j=1
n

k=1
∂
2
u
∂x
j
∂x
k
(t, X(t))g
j
(t)g
k
(t)dt.
Ví dụ. Xét hàm u(t, x, y) = xy. Nếu
dX
1
(t) = f

1
(t, ω)dt + g
1
(t, ω)dW (t),
dX
2
(t) = f
2
(t, ω)dt + g
2
(t, ω)dW (t),
thì từ công thức Itô suy rộng cho ta
d[X
1
X
2
(t)] = X
1
(t)dX
2
(t) + X
2
(t)dX
1
(t) + g
1
(t)g
2
(t)dt
1.4 Tích phân Itô nhiều chiều

1.4.1 Quá trình Wiener n- chiều
Định nghĩa 1.8. Véc tơ ngẫu nhiên
W (t) = (W
1
(t), W
2
(t), , W
n
(t)),
15
được gọi là quá trình ngẫu nhiên Wiener n- chiều nếu
i) Mỗi thành phần W
r
(t); r = 1, 2, , n là quá trình Wiener.
ii) Các thành phần W
r
(t); r = 1, 2, , n là những quá trình ngẫu nhiên độc lập
từng đôi.
Nếu mỗi thành phần W
r
(t); r = 1, 2, , n là quá trình Wiener tiêu chuẩn thì ta
có W (t) = (W
1
(t), W
2
(t), , W
n
(t)) là quá trình tiêu Wiener chuẩn n- chiều.
1.4.2 Tích phân Itô nhiều chiều
Giả sử f = [f

ij
(t, ω)] là ma trận cỡ m ×n sao cho mỗi f
ij
(t, ω) thuộc N
2
(0, T ).
Khi đó ta định nghĩa
X(t) =
t

0
fdW (s),
là ma trận cỡ m × 1 mà thành phần thứ j của nó là
X
j
=
n

r=1
t

0
f
jr
(s, ω)dW
r
(s); j = 1, 2, , m.
1.4.3 Công thức Itô nhiều chiều
Cho quá trình ngẫu nhiên m- chiều X(t) = (X
1

(t), X
2
(t), , X
m
(t)) và quá trình
Wiener n- chiều W (t) = (W
1
(t), W
2
(t), , W
n
(t)). Giả sử X
j
(t) có vi phân ngẫu
nhiên
dX
j
= h
j
(t, ω)dt +
n

r=1
f
jr
(t, ω)W
r
(t),
ở đây h
j

∈ N
1
(0, T ), f
jr
∈ N
2
(0, T ) ∀r = 1, 2, , n; j = 1, 2, , m, thì ta nói quá
trình ngẫu nhiên X(t) có vi phân ngẫu nhiên m- chiều, ký hiệu là
dX(t) = h(t, ω)dt + f(t)dW (t, ω) hay dX(t) = h(t, ω)dt +
n

r=1
f
r
(t, ω)dW
r
(t),
trong đó
f = (f
1
, f
2
, , f
r
); h =








h
1
h
2
.
.
.
h
m







; f
r
=







f
1r

f
2r
.
.
.
f
mr







; dW =







dW
1
dW
2
.
.
.
dW

n







,
16
Định lý 1.4. Cho vi phân ngẫu nhiên m- chiều
dX = h(t)dt +
n

r=1
f
r
(t)dW
r
(t).
Giả sử g(t, x) là ánh xạ từ R
+
× R
m
→ R, trong đó các đạo hàm riêng
∂g(t, x)
∂t
,
∂g(t, x)
∂x

i
,
∂
2
g(t, x)
∂x
i
∂x
j
,
liên tục với mọi i, j = 1, 2, , m.
Khi đó g(t, X(t)) có vi phân ngẫu nhiên là
dg(t, X(t)) =

∂g(t, X(t))
∂t
+
m

i=1
h
i
∂g(t, X(t))
∂x
i
+
1
2
m


i=1
m

j=1
a
ij
∂
2
g(t, X(t))
∂x
i
∂x
j

dt
+
m

i=1
n

r=1
f
ri
∂g(t, X(t))
∂x
i
dW
r
(t),

ở đây a
ij
là các phần tử của ma trận vuông cấp m, A = f.f
∗
, với f
∗
là ma trận
liên hợp của f.
17
Chương 2
Phương trình vi phân ngẫu nhiên
2.1 Khái niệm về phương trình vi phân ngẫu nhiên
Cho W (t) = (W
1
(t), W
2
(t), , W
n
(t)), t ∈ [0, T ] là quá trình Wiener tiêu chuẩn
n- chiều với các thành phần độc lập xác định trên không gian xác suất (Ω, F, P).
Ký hiệu (F
t
)
t∈[0,T ]
là một bộ lọc tự nhiên của W (t).
Định nghĩa 2.1. Phương trình vi phân ngẫu nhiên m- chiều là phương trình
có dạng
dX(t) = h(t, X(t))dt + f(t, X(t))dW(t), (2.1)
trong đó h(t, x) : [0, T ] ×R
m

→ R
m
; f(t, x) : [0, T] × R
m
→ R
m×n
.
Giả sử ξ là biến ngẫu nhiên m- chiều, độc lập với quá trình W(t) sao cho E|ξ|
2
<
∞. Ta nói quá trình X(t), t ∈ [0, T] là nghiệm của phương trình (2.1) với điều
kiện ban đầu ξ nếu
i) Mỗi thành phần của X(t) thích nghi với bộ lọc (F
t
)
t∈[0,T ]
, đo được đối với σ−
trường tích B
[0,T ]
× F
t
và
E

T

0
X
2
i

(t, ω)dt

< ∞ ∀i = 1, 2, , m.
ii) với xác suất 1 ta có
E

T

0
|h(s, X(s))|ds

< ∞ và E

T

0
|f(s, X(s)|
2
ds

< ∞.
iii) P(X(0) = ξ) = 1.
18
iv) với xác suất 1 ta có
X(t) = ξ +
t

0
h(s, X(s))ds +
t


0
f(s, X(s))dW(s) ∀t ∈ [0, T ].
Giả sử X = (X(t), t ∈ [0, T ]) là lời giải của phương trình (2.1). Ta nói rằng lời
giải đó là duy nhất nếu điều sau đây được thực hiện:
Giả sử Y = (Y (t), t ∈ [0, T]) cũng là một lời giải của phương trình trên thì khi đó
P{ sup
0≤t≤T
|X(t) −Y (t)| = 0} = 1.
Chú ý. Phương trình (2.1) còn được viết dưới dạng
dX(t) = h(t, X(t))dt +
n

r=1
f
r
(t, X(t))dW
r
(t). (2.2)
Dưới đây là định lý cho sự tồn tại, duy nhất nghiệm của phương trình (2.2).
2.2 Định lý sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên m- chiều (2.2).
Định lý 2.1 (Xem Định lý 3.4 [18]). Cho các véc tơ h(s, x), f
1
(s, x), , f
n
(s, x) (s ∈
[t
0
, T ], x ∈ R

m
) là các hàm liên tục của (s, x), sao cho với hằng số B nào đó thỏa
mãn các điều kiện trong toàn bộ miền xác định
|h(s, x) − h(s, y)| +
n

r=1
|f
r
(s, x) − f
r
(s, y)| ≤ B|x −y|,
|h(s, x)| +
n

r=1
|f
r
(s, x)| ≤ B(1 + |x|).
(2.3)
a) Với mỗi biến ngẫu nhiên ξ độc lập với quá trình W
r
(t) − W
r
(t
0
) sao cho
E|ξ|
2
< ∞, tồn tại duy nhất quá trình X(t) liên tục hầu chắc chắn là nghiệm của

phương trình (2.2) với giá trị ban đầu ξ.
b) Nghiệm của phương trình (2.2) là quá trình Markov với hàm chuyển xác suất
được xác định bởi
P (s, x, t, A) = P{X
s,x
(t) ∈ A},
19
ở đây X
s,x
(t) là nghiệm của phương trình
X
s,x
(t) = x +
t

s
h(u, X
s,x
(u))du +
n

r=1
t

s
f
r
(u, X
s,x
(u))dW

r
(u),
với điều kiện ban đầu x lấy tại thời điểm s < t, tức X(s) = x.
c) Nếu hệ số của phương trình độc lập với s, khi đó hàm chuyển xác suất của
quá trình Markov tương ứng là thuần nhất theo thời gian.
Chú ý a) Từ nay về sau trong luận văn, ta sẽ thay ký hiệu P{X
s,x
(t, ω) ∈ A}
bởi ký hiệu P
s,x
{X(t, ω) ∈ A}.
b) Nếu các hàm b(s, x) và f
1
(s, x), f
2
(s, x), , f
n
(s, x) độc lập với s thì ta chỉ cần
quan tâm đến quá trình X
0,x
(t) (ta sẽ ký hiệu là X
x
(t)). Như vậy, chỉ số x cho
các biến ngẫu nhiên trong quá trình X
x
(t) đôi lúc sẽ được đính kèm thêm vào
ký hiệu E và P, chính vì thế ta sẽ viết E
x
và P
x

.
2.3 Điều kiện cho tính chính quy của nghiệm phương trình vi
phân ngẫu nhiên
Từ Định lý 2.1 ở trên ta thấy rằng nếu điều kiện (2.3) thỏa mãn với mọi
t > t
0
, khi đó nghiệm của phương trình (2.2) xác định và liên tục với mọi t > t
0
.
Điều kiện đó khá hạn chế. Ví dụ, bằng trực giác ta thấy rõ ràng rằng bài toán
(trong trường hợp 1 chiều) dX(t) = −X
3
(t)dt + dW(t), X(0) = x
0
có nghiệm duy
nhất với mọi t > 0, nhưng điều kiện (2.3) chỉ thỏa mãn đối với miền compact
trong không gian R. Do đó chúng ta rất cần tìm điều kiện rộng hơn cho sự tồn
tại và duy nhất nghiệm của phương trình (2.2).
Nếu điều kiện (2.3) đúng với mỗi tập trụ I × U
R
, trong đó I = [0, +∞) và
U
R
= {x ∈ R
m
: |x| < R}, ta có thể xây dựng dãy các hàm h
n
(t, x) và f
(n)
r

(t, x)
sao cho với |x| < n
h
n
(t, x) = h(t, x) và f
(n)
r
(t, x) = f
r
(t, x),
và với mỗi h
n
, f
(n)
r
thỏa mãn điều kiện (2.3) ở khắp nơi trong R
m
. Bởi định lý
2.1, tồn tại dãy quá trình Markov X
n
(t) tương ứng với các hàm h
n
, f
(n)
r
. Để đơn
giản hóa các vấn đề, ta chỉ xét trường hợp mà ở đó phân phối của X
0
(t) có giá
20

compact trong R
m
. Gọi
τ
n
= inf{t : X
k
(t) /∈ U
n
},
là thời điểm đầu tiên quá trình X
k
(t) thoát khỏi tập {x : |x| < n}. Khi đó bằng
trực giác rõ ràng ta thấy τ
n
= τ
n

∀k ≥ n. Ta có
P

sup
t
0
≤t≤τ
n
|X
k
(t) − X
n

(t)| > 0

= 0 ; n > k.
Dễ thấy rằng {τ
n
}
∞
n=1
là dãy đơn điệu tăng, gọi τ = lim
n→∞
τ
n
( hữu hạn hoặc vô
hạn). Ta gọi biến ngẫu nhiên τ là thời điểm thoát của khỏi quỹ đạo từ mỗi tập bị
chặn, hoặc ngắn gọn là thời điểm bùng nổ. Định nghĩa này là tự nhiên, vì dễ chỉ
ra rằng, các giá trị của τ không bị thay đổi nếu ta thay miền U
n
= {x : |x| < n}
bởi bất kì mở rộng dãy của các miền bị chặn sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ
đến biên dần tới vô cùng.
Ta định nghĩa quá trình ngẫu nhiên mới

X(t) = X
n
(t), t < τ
n
. Khi đó ta có thể
chứng tỏ được rằng đây là quá trình Markov với mỗi t < τ.
Định nghĩa 2.2. Chúng ta nói rằng quá trình X(t) xác định bởi phương trình
(2.2) là chính quy nếu với mỗi t > 0 và x ∈ R

m
ta có
P
s,x
{τ = ∞} = 1. (2.4)
Nếu điều kiện (2.4) được thỏa mãn, quá trình X(t) xác định hầu chắc chắn với
mọi t ≥ s. Với quá trình thỏa mãn các giả thiết của Định lý 2.1, tính chính quy
theo sau tính liên tục. Định lý sau đây cho ta điều kiện đủ tổng quát hơn cho
tính chính quy.
Với mỗi hàm V (t, x) ∈ C
2
, ở đây C
2
là lớp các hàm
V : I ×R
m
→ R; (t, x) → V (t, x),
khả vi liên tục đối với biến t, khả vi liên tục hai lần đối với các biến x
1
, x
2
, , x
m
,
ta ký hiệu L là toán tử được xác định bởi
LV (t, x) =
∂V (t, x)
∂s
+
m


i=1
h
i
(t, x)
∂V (t, x)
∂x
i
+
1
2
m

i,j=1
a
ij
(t, x)
∂
2
V (t, x)
∂x
i
∂x
j
.
Định lý 2.2 (Xem Định lý 3.5 [18]). Giả sử rằng điều kiện (2.3) được thỏa mãn
với mỗi tập trụ I ×U
R
, và hơn thế nữa giả sử tồn tại hàm không âm V (t, x) ∈ C
2

trên R
m
với t > 0 sao cho với hằng số c > 0 nào đó
21
LV ≤ cV và V
R
= inf
|x|>R
V (t, x) → ∞ khi R → ∞.
Khi đó các phần a), b) ,c) của định lý 2.1 được thỏa mãn.
Ví dụ. Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên 2 chiều

dX
1
(t) = X
2
dt
dX
2
(t) = [−X
1
+ ε(1 − X
2
1
)X
2
]dt + σdW
2
(t)
Ta có

h =

h
1
h
2

; h
1
= x
1
, h
2
= −x
1
+ ε(1 − x
2
1
)x
2
và f =

0 0
0 σ

Suy ra
A = f.f
∗
=


0 0
0 σ
2

Xét hàm
V (t, x) =
1
2

x
2
+ ε

x
3
1
3
− x
1

2
+
x
2
1
2
+
σ
2
4ε

thỏa mãn các điều kiện của định lý 2.2.
Thật vậy, ta có
∂V
∂x
1
= ε(x
2
1
− 1)

x
2
+ ε

x
3
1
3
− x
1

+ x
1
,
∂V
∂x
2
= x
2
+ ε


x
3
1
3
− x
1

∂
2
V
∂x
2
1
= 2εx
1

x
2
+ ε

x
3
1
3
− x
1

+ε
2

(x
2
1
− 1)
2
;
∂
2
V
∂x
1
∂x
2
= ε(x
2
1
− 1);
∂
2
V
∂x
2
2
= 1
Vậy
LV = x
2
∂V
∂x
1

+ [ε(1 − x
2
1
)x
2
− x
1
]
∂V
∂x
2
+
σ
2
2
∂
2
V
∂x
2
2
= −ε
x
4
1
3
+ εx
2
1
+

σ
2
2
≤ 2εV
Do đó nghiệm của phương trình là quá trình ngẫu nhiên chính quy.
2.4 Tính chất Ergodic của nghiệm phương trình vi phân ngẫu
nhiên
2.4.1 Quá trình hồi quy đối với một miền
Định nghĩa 2.3. Cho U
1
là miền nào đó (bị chặn hoặc không bị chặn) của R
m
và ký hiệu U là phần bù U
c
1
của U
1
trong R
m
. Một quá trình ngẫu nhiên m- chiều
X(t) được gọi là hồi quy đối với miền U
1
nếu nó chính quy và với mọi x ∈ U và
s ∈ [0, ∞), ta có
P
s,x
{τ
U
< ∞} = 1.
22

ở đây τ
U
= inf{t ≥ s : X(t, ω) /∈ U}.
Hồi quy là một khái niệm vô cùng quan trọng trong việc nghiên cứu các tính
chất của quỹ đạo đối với các giá trị thời gian lớn. Một điều kiện đơn giản cho
tính hồi quy được cho bởi
Định lý 2.3 (Xem định lý 3.9 [18]). Quá trình X(t) hồi quy đối với miền U
1
nếu nó là chính quy và tồn tại hàm không âm V (t, x) trong U, liên tục khả vi
cấp 2 đối với biến x và liên tục khả vi đối với biến t sao cho
LV (t, x) ≤ −α(t),
ở đây α(t) là hàm không âm và
β(t) =
t

0
α(s)ds → ∞ khi t → ∞.
Định lý 2.4 (Xem định lý 3.10 [18]). Cho U
1
là miền bị chặn và có biên Γ chính
quy đối với U = U
c
1
và giả sử rằng các hệ số h, f
r
độc lập với t và thỏa mãn điều
kiện (2.3) đối với mỗi tập compact. Giả sử điều kiện
,m

i,j=1

a
ij
(s, x)λ
i
λ
j
> m(s, x)
m

i=1
λ
2
i
,
được thỏa mãn với mọi bộ số thực λ
1
, , λ
n
và m(s, x) là hàm dương, liên tục trên
R
m
. Khi đó quá trình Markov xác định bởi phương trình (2.1) là chính quy.
Và quá trình X(t) là hồi quy đối với miền U
1
nếu và chỉ nếu bài toán Dirichlet
Lu =
m

i=1
h

i
(x)
∂u
∂x
+
1
2
m

i,j=1
a
ij
(x)
∂
2
u
∂x
i
∂x
j
= 0,
u|
Γ
= f(s),
có nghiệm bị chặn duy nhất trong U.
2.4.2 Hồi quy và không hồi quy
Ở phần trước, chúng ta đã nghiên cứu các điều kiện cho tính chính quy của
nghiệm của các phương trình ngẫu nhiên đối với một miền U. Sau đây ta thấy
rằng, đối với quá trình Markov thuần nhất theo thời gian với ma trận khuếch
tán không suy biến, tính chất hồi quy không phụ thuộc vào việc lựa chọn miền

mở bị chặn U trong R
m
.
23
Xét X(t) là quá trình Markov thuần nhất, chính quy trong R
m
được xác định
bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên
dX(t) = b(X)dt +
m

r=1
f
r
(X)dW
r
(t). (2.5)
Ở đây ma trận khuếch tán A của quá trình X(t) là không suy biến
A(x) = (a
ij
)
m×m
; a
ij
(x) =
n

r=1
f
ir

(x)f
jr
(x).
Bổ đề 2.1 (Xem Bổ đề 4.1 [18]). Nếu quá trình X(t) xác định bởi phương trình
(2.5) là hồi quy đối với miền U mở, bị chặn nào đó thì nó hồi quy đối với bất kì
miền mở khác rỗng trong R
m
.
Theo quan điểm của bổ đề này, các định nghĩa sau rất tự nhiên. Một quá
trình chính quy X(t) được mô tả bởi phương trình (2.5) với ma trận khuếch tán
không suy biến, được gọi là hồi quy nếu tồn tại miền bị chặn U sao cho với mọi
x ∈ U
c
, ta có P
x
{τ
U
c
< ∞} = 1.
Nếu tồn tại miền mở khác rỗng U và một điểm x ∈ U
c
sao cho P
x
{τ
U
c
< ∞} < 1,
quá trình được gọi là không hồi quy.
2.4.3 Hồi quy dương và hồi quy không
Giả sử các điều kiện ban đầu đưa ra ở 2.4.2 được thỏa mãn, và cho X(t) là

quá trình hồi quy xác định bởi phương trình (2.5). Như trong trường hợp của
quá trình với vô số trạng thái đếm được, dáng điệu tiệm cận của hàm chuyển
xác suất phụ thuộc vào thời gian hồi quy trung bình đối với một miền bị chặn
là hữu hạn hoặc vô hạn.
Định nghĩa 2.4. Quá trình X(t) được gọi là hồi quy dương đối với miền mở,
bị chặn U nếu nó hồi quy và E
x
τ
U
c
< ∞ với x ∈ U
c
. Ngược lại thì nó được gọi là
hồi quy không.
Bổ đề 2.2 (Xem Bổ đề 4.5 [18]). Giả sử rằng E
x
0
τ
U
c
< ∞ đối với miền mở bị
chặn U nào đó và x
0
∈ U
c
. Khi đó E
x
τ
U
c

0
< ∞ với mọi miền mở U
0
khác rỗng và
với mọi x ∈ U
c
0
.
24
Định nghĩa 2.5. Quá trình Markov thuần nhất X(t) được gọi là có tính ergodic
nếu nó là hồi quy dương. Khi đó tồn tại độ đo hữu hạn bất biến duy nhất của
quá trình X(t).
2.4.4 Sự tồn tại phân phối dừng
Ở phần này, ta nghiên cứu tính chất ergodic của quá trình Markov hồi quy
dương, mà cụ thể chúng ta đi nghiên cứu sự tồn tại của phân phối dừng đối với
các quá trình như vậy. Điều này cho phép chúng ta áp dụng các định lý ergodic
vào các quá trình dừng và do đó chúng ta nghiên cứu luật mạnh các số lớn đối
với các hàm của quá trình khuếch tán- dạng quá trình Markov.
Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên m- chiều (2.5).
Giả thiết H
1
. Giả sử tồn tại miền mở, bị chặn U ⊂ R
m
với biên chính quy, có
tính chất sau
i) Trong miền U và lân cận của nó, giá trị riêng nhỏ nhất của ma trận khuếch
tán A(x) bị chặn và khác 0.
ii) với x ∈ R
m
\U, ta có

E
x
[τ
U
c
] < ∞và sup
x∈K
E
x
τ
K
< ∞,
với mỗi tập compact K ⊂ R
m
.
Định lý 2.5 (Xem Định lý 4.1 [18]). Nếu giả thiết H
1
được thỏa mãn, khi đó
quá trình Markov X(t) có phân phối dừng µ(A)
Định lý 2.6 (Xem Định lý 4.2 [18]). Nếu giả thiết H
1
được thỏa mãn và µ là
phân phối dừng của quá trình X(t), được xây dựng trong Định lý 2.5. Cho f(x)
là hàm khả tích đối với độ đo µ. Khi đó
P
x

lim
T →∞
1

T
T

0
f(X(t))dt =

R
m
f(y)µ(dy)

= 1
Hệ quả 2.1. Nếu f(x) là hàm bị chặn, khi đó
lim
T →∞
1
T
T

0
E
x
f(X(t))dt =

R
m
f(x)µ(dx).