30 ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8

Đề số 1

Bài 1: (2 điểm)
1) Chứng minh rằng nếu P và 2P + 1 là các số nguyên tố lớn hơn
3 thì 4P + 1 là hợp số.
2) HÃy tìm BSCNN của ba số tự nhiên liên tiếp.
Bài 2: (2 điểm)
HÃy thay các chữ số vào các chữ cái x, y trong N = 20 x0 y04 ®Ĩ N
chia hết cho 13.
Bài 3: (2 điểm)
Vòi nớc I chảy vào đầy bể trong 6 giờ 30 phút. Vòi nớc II
chảy vào đầy bể trong 11 giờ 40 phút. Nếu vòi nớc I chảy vào
trong 3 giờ; vòi nớc II chảy vào trong 5 giờ 25 phút thì lợng nớc
chảy vào bể ở vòi nào nhiều hơn. Khi đó lợng nớc trong bể đợc
bao nhiêu phần trăm của bể.
Bài 4: (2 điểm)
Bạn Huệ nghĩ ra một số có ba chữ số mà khi viết ngợc lại
cũng đợc một số có ba chữ số nhỏ hơn số ban đầu. Nếu lấy hiệu
giữa số lớn và số bé của hai số đó thì đợc 396. Bạn Dung cũng
nghĩ ra một số thoả mÃn ®iỊu kiƯn trªn.
Hái cã bao nhiªu sè cã tÝnh chÊt trên, hÃy tìm các số ấy.
Bài 5: (2 điểm)
Chứng minh rằng: một số có chẵn chữ số chia hết cho 11 thì
hiệu giữa tổng các chữ số đứng ở vị trí chẵn và tổng các chữ
số đứng ở vị trí lẻ, kể từ trái qua phải chia hết cho 11.
(BiÕt 10 − 1 vµ 10 + 1 chia hÕt cho 11)
2n

2 n 1

Tài liệu bồi dỡng HSG Toán

1


Đề số 2

Câu 1: (4 điểm)

a) Tìm phân số tối giản lớn nhất mà khi chia các phân số
385
156

;

231
130

154
;
195

cho phân số ấy ta đợc kết quả là các số tự nhiên.

b) Cho a là một số nguyên có dạng: a = 3b + 7. Hỏi a có thể
nhận những giá trị nào trong các giá trị sau ? tại sao ? a = 11; a
= 2002; a = 11570 ; a = 22789; a = 29563; a = 299537.
C©u 2: (6 ®iĨm)
1) Cho A = 1 − 2 + 3 − 4 + ... + 99 − 100.
a) TÝnh A.
b) A cã chia hÕt cho 2, cho 3, cho 5 không ?

c) A có bao nhiêu ớc tự nhiên. Bao nhiªu íc nguyªn ?
2) Cho A = 1 + 2 + 2 + 2 + ... + 2
vµ B = 2
So sánh A và B.
3) Tìm số nguyên tố P ®Ó P + 6; P + 8; P + 12; P +14 đều là các
số nguyên tố.
Câu 3: (4 điểm)
Có 3 bình, nếu đổ đầy nớc vào bình thứ nhất rồi rót hết lợng
nớc đó vào hai bình còn lại, ta thấy: Nếu bình thứ hai đầy thì
bình thứ ba chỉ đợc 1/3 dung tích. Nếu bình thứ ba đầy thì bình
thứ hai chỉ đợc 1/2 dung tích. Tính dung tích mỗi bình, biết rằng
tổng dung tích ba bình là 180 lít.
Câu 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC có BC = 5,5 cm. Điểm M thuộc tia đối của
tia CB sao cho CM = 3cm.
2

3

Tài liệu bồi dỡng HSG Toán

2002

2003

2


a) Tính độ dài BM.
b) Biết BAM = 800, BAC = 600 . Tính CAM.

c) Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK = 1cm.
Câu 5: (2 điểm) Cho a = 1 + 2 + 3 + ... + n vµ b = 2n + 1 ( Víi n ∈ N,
n ≥ 2 ).
Chøng minh: a vµ b lµ hai số nguyên tố cùng nhau.

Đề số 3

Câu 1: (4 điểm) HÃy xác định câu nào đúng, câu nào sai trong
các câu sau:
a) Nếu p và q là các số nguyên tố lớn hơn 2 thì p.q là số lẻ.
b) Tổng hai số nguyên tố là hợp số.
c) Nếu a < 0 thì a2 > a.
d) Từ đẳng thức 8. 3 =12. 2 ta lập đợc cặp phân số bằng nhau
là:

3 8
=
2 12

g) Nếu n là số nguyên tố thì n/35 là phân số tối giản.
h) Hai tia CA và CB là hai tia đối nhau nếu A, B, C thẳng hàng.
k) Nếu góc xoy nhỏ hơn góc xoz thì tia ox nằm giữa hai tia oy
và oz.
Câu 2: (6 ®iÓm)
1. Cho A = 1 − 7 + 13 − 19 + 25 − 31 + ...
a) BiÕt A = 181. Hỏi A có bao nhiêu số hạng ?
b) Biết A có n số hạng. Tính giá trị của A theo n ?
2. Cho

A=

1
1
1
1
+
+
+ .... +
1.2 2.3 3.4
99.100

. So s¸nh A với 1 ?

3. Tìm số nguyên tố p để p, p + 2 và p + 4 đều là các số nguyên
tố.
Câu 3: (5 điểm)

Tài liệu bồi dỡng HSG To¸n

3


1. Mét líp häc cã cha ®Õn 50 häc sinh. Cuối năm xếp loại học
lực gồm 3 loại: Giỏi, Khá, Trung bình, trong đó 1/16 số học sinh
của lớp xếp loại trung bình, 5/6 số học sinh của lớp xếp loại
giỏi, còn lại xếp loại khá. Tính số học sinh kh¸ cđa líp.
2. Cã thĨ rót gän

5n + 6
8n + 7

(n Z) cho những số nguyên nào ?

Câu 4: (3 điểm) Trên tia Ax lấy hai điểm B, C sao cho AB =
5cm; BC = 2 cm.
a) TÝnh AC.
b) Điểm C nằm ngoài đờng thẳng AB biết góc AOB bằng 550 và
góc BOC bằng 250. Tính góc AOC ?
Câu 5: (2 điểm) Tìm số tự nhiên n biết:
1 1 1
2
2003
+ + + ... +
=
3 6 10
n(n + 1) 2004

§Ị số 4

Câu 1: (2 điểm)
7 . 9 + 14 . 27 + 21.36
1) Rót gän A = 21.27 + 42.81 + 63.108
2) Cho

S=

3
3
3
3

+
+
++
n ∈N *
1.4 4.7 7.10
n(n + 3)

Chøng minh: S < 1
3) So sánh:

2003.2004 1
2003.2004

và

2004 .2005 1
2004.2005

Câu 2: (2 điểm)
1) Tìm số nguyên tố P sao cho số nguyên tố P + 2 và P +10 là số
nguyên tố
2) Tìm giá trị nguyên dơng nhỏ hơn 10 cđa x vµ y sao cho 3x 4y = - 21
3)Cho ph©n sè:
A=

n −5
n+1

(n ∈ Z ; n ≠ − 1)

Tài liệu bồi dỡng HSG Toán

4


a) Tìm n để A nguyên.
b) Tìm n để A tối giản .
Câu 3: (2 điểm)
Xếp loại văn hoá của lớp 6A có 2 loại giỏi và khá cuối học kì
I tỉ số giữa học sinh giỏi và khá là 3 cuối học kì II có thêm 1
2
học sinh khá trở thành loại giỏi. Nên tỉ số giữa học sinh giỏi và
khá là 5 . Tính số học sinh của lớp ?
3
Câu 4: (3 điểm)
Cho góc AOB và tia phân giác Ox của nó. Trên nửa mặt
phẳng có chứa tia OB. Với bờ là đờng thẳng OA ta vẽ tia Oy sao
cho : AOy > AOB
Chøng tá r»ng :
a) Tia OB n»m gi÷a 2 tia Ox, Oy
b) xOy = (AOy + BOy ) : 2
Câu 5: (1điểm)
Cho n z chøng minh r»ng: 5n -1 chia hÕt cho 4

Bµi 1: (2 điểm)
a) Tính

Đề số 5

5.415.99 4.320.89

5.29.619 7.2 29.27 6

b) T×m x biÕt:
1 3
1 −
1  1
1
1  1
1

1 :  24 − 24  − 2 4 =  − 1  :  8 − 8 
30  6
5  4 x − 1  15  5
3
2

Bài 2: (2 điểm)
So sánh:

A=

2
2
2
2
+
+ ... +
+
60.63 63.66
117.120 2003

Tài liƯu båi dìng HSG To¸n

5


và

B=

5
5
5
5
+
+ ... +
+
40.44 44.48
76.80 2003

Bài 3: (2 điểm) Chứng minh r»ng sè:
222 222 00 333...333
  ... 
  
2001 c / s 2

2003 c / s 3

là hợp số.

Bài 4: (2 điểm)
Ba bạn Hồng, Lan, Huệ chia nhau mét sè kĐo ®ùng trong 6
gãi. Gãi thø nhÊt cã 31 chiÕc, gãi thø hai cã 20 chiÕc, gãi thø ba
cã 19 chiÕc, gãi thø t cã 18 chiÕc, gãi thứ năm có 16 chiếc, gói
thứ 6 có 15 chiếc. Hồng và Lan đà nhận đợc 5 gói và số kẹo của
Hồng gấp đôi số kẹo của Lan. Tính số kẹo nhận đợc của mỗi
bạn.
Bài 5: (2 điểm)
Cho điểm O trên đờng thẳng xy, trên một nửa mặt phẳng
có bờ lµ xy, vÏ tia Oz sao cho gãc xOz nhá hơn 900.
a) Vẽ các tia Om, On lần lợt là tia phân giác của các góc xOz và
góc zOy. Tính góc MON ?
b) Tính số đo các góc nhọn trong hình nếu số đo góc mOz bằng
350.

Đề số 6

Câu 1: (6 điểm)
Tính một cách hợp lí giá trị của các biÓu thøc sau:
A = 3 + 6 + 9 + 12 + ... + 2007

B = 2.53.12 + 4.6.87 − 3.8.40
2006 2006 2006
2006
+
+
+ ... +
3
4
2007

C= 2
2006 2005 2004
1
+
+
+ ... +
1
2
3
2006

Tµi liƯu båi dìng HSG To¸n

6


Câu 2: (5 điểm)
1) Tìm các giá trị của a ®Ó sè 123a5
a) Chia hÕt cho 15
b) Chia hÕt cho 45
2) Ba xe ô tô bắt đầu cùng khởi hành lúc 6 giờ sáng, từ cùng
một bến. Thời gian cả ®i vµ vỊ cđa xe thø nhÊt lµ 42 phót, cđa xe
thø hai lµ 48 phót, cđa xe thø ba là 36 phút. Mỗi chuyến khi trở
về bến, xe thứ nhÊt nghØ 8 phót råi ®i tiÕp, xe thø hai nghØ 12
phót råi ®i tiÕp, xe thø ba nghØ 4 phút rồi đi tiếp. Hỏi 3 xe lại
cùng khởi hành từ bến lần thứ hai lúc mấy giờ ?
Câu 3: (3 điểm)
Cho P là số nguyên tố lớn hơn 3 và 5p +1 cũng là số nguyên
tố. Chứng minh rằng 7p +1 là hợp số.
Câu 4: (3 điểm)

Tia OC là phân giác của góc AOB, vẽ tia OM sao cho gãc
BMO = 200. BiÕt gãc AOB = 1440.
a) TÝnh gãc MOC.
b) Gọi OB là tia đối của tia OB, ON là phân giác của góc AOC.
Chứng minh OA là phân giác của góc NOB.
Câu 5: (2 điểm)
Thay các chữ số thích hợp (các chữ khác nhau thay bằng các
chữ số khác nhau)
abc cba = 6b3

Đề số 7

Câu 1: (2 điểm) Chọn những kết quả đúng trong các câu sau:
1) Sè 32450 cã sè íc lµ:
A. 18 ; B. 24
; C. 75
; D. 42
2) Biết ƯCLN(a, b) = 7 và BCNN(a, b) = 210 thì tích a.b là:
A. 1470
; B. 217
; C. 2107
;
D. 30

Tài liệu bồi dỡng HSG Toán

7


3) Cho abc không chia hết cho 3. Hỏi phải viết số ngày liên tiếp

nhau ít nhất bao nhiêu lần để tạo thành một số chia hết cho 3 ?
A. 2 lÇn
; B. 3 lÇn
;
C. 4 lÇn
4) Cho N = 1494 x 1495 x 1496 th× N chia hÕt cho:
A. 140
; B. 195
; C. 180
Câu 2: (2 điểm)
a) Cho đẳng thức: 152 - 53 = 102
Đẳng thức trên đúng hay sai ? Nếu sai hÃy chuyển vị trí một chữ
số để đợc đẳng thức đúng ?
b) Tìm một số tự nhiên, biết rằng số đó chia cho 26 thì ta sẽ đợc
số d bằng hai lần bình phơng của số thơng.
Câu 3: (2 điểm)
6
a) Một ngời nói với bạn: Nếu tôi sống đến 100 tuổi thì 7 của
7
10

2
số tuổi của tôi sẽ lớn hơn 5 của 7 thời gian tôi còn phải sống
8
là 3. Hỏi ngời ấy bây giờ bao nhiªu ti ?
b) Mét sè tù nhiªn chia cho 4 thì d 3, chia cho 17 thì d 9 còn
chia cho 19 d 13. Hái sè ®ã chia cho 1292 thì d bao nhiêu ?
Câu 4: (2 điểm) Ngời ta viÕt d·y sè tù nhiªn liªn tiÕp: 4; 11; 18;
25….Hái:
a) Số 2007 có thuộc dÃy số trên không ? Vì sao ?

b) số thứ 659 là số nào ?
Câu 5: (2 điểm)
Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N
thứ tự là trung điểm cña OA, OB.
a) Chøng tá OA < OB.
b) Trong 3 điểm M, O, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại.
c) Chứng tỏ rằng độ dài của đoạn thẳng MN không phụ thuộc
vào vị trí của
điểm O.

Đề số 8

Câu 1: (6 ®iĨm)
TÝnh nhanh
a) 2 x 3 x 4 x 5 x 7 x 8 x 25 x 125
Tµi liƯu båi dìng HSG To¸n

8


b)

2004. 2004 + 3006
2005. 2005 − 1003

c) 19001570 (20052005. 2004 20042004. 2005)
Câu 2: (3 điểm)
Tìm giá trị của x trong d·y tÝnh sau:
( x + 2) + ( x + 7) + ( x + 12) + ... + ( x + 42) + ( x + 47) = 655

Câu 3: (3 điểm)
Hai bạn Trang và Giang đi mua 18 gói bánh và 12 gói kẹo để
đến lớp liên hoan. Giang đa cho cô bán hàng 2 tờ 100000 đồng
và đợc trả lại 72000 đồng. Trang nói Cô tính sai rồi. Bạn hÃy
cho biết Trang nói đúng hay sai ? Giải thích tại sao ?
Câu 4: ( 5 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AB lấy hai điểm M, N
sao cho
AM = MN = NB vµ P lµ điểm chia cạnh CD thành
hai phần bằng nhau. ND cắt MP tại O, nối PN. Biết diện tích
tam giác DOP lớn hơn diện tích tam giác MON là 3,5 cm 2. HÃy
tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
Câu 5: (3 điểm)
Tìm tất cả các chữ số a và b để số a459b chia cho 2; 5 và 9 đều
d 1.

Đề số 9
Tài liệu bồi dỡng HSG Toán

9


Câu 1: (2 điểm)
a) Tính

A=

1
1
1

1
1
1
+
+
+
+
+
10 40 88 154 238 340

b) So sánh: 2004 + 2004 và 2005
Câu 2: (2 điểm)
a) Tìm các số nguyên x sao cho 4x-3 chia hết cho x-2.
10

9

10

b) Tìm các số tự nhiên a và b để thoả mÃn

5a + 7b 29
=
6a + 5b 28

và (a, b) = 1

Câu 3: (2 điểm)
Số học sinh của một trờng học xếp hàng, nếu xếp mỗi hàng
20 ngời hoặc 25 ngời hoặc 30 ngời đều thừa 15 ngời. Nếu xếp

mỗi hàng 41 ngời thì vừa đủ. Tính số học sinh cđa trêng ®ã biÕt
r»ng sè häc sinh cđa trêng ®ã cha ®Õn 1000.
C©u 4: (3 ®iĨm)
Cho hai gãc xOy và xOz, Om là tia phân giác của góc yOz .
Tính góc xOm trong các trờng hợp sau:
a) Góc xOy b»ng 1000; gãc xOz b»ng 600.
b) Gãc xOy b»ng α ; gãc xOz b»ng β (α > β ).
Bµi 5: (1 điểm)
Chứng minh rằng:
nhiên).

Tài liệu bồi dỡng HSG Toán

A = 10 n + 18n − 1

10

chia hÕt cho 27 (n lµ sè tù


Đề số 10
Câu 1: (2 điểm)
a) Tính tổng:

S=

b) Chứng minh:

1
1

1
+
+ ... +
1.2.3 2.3.4
98.99.100
11 1
1
1  57
A=  +
+
+ ... +
>
2 6 24 60
9240 462

Câu 2: (2 điểm) Cho A = n + 3n + 2n
a) Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 3 víi mäi sè nguyªn n.
b) Tìm giá trị nguyên dơng của n với n < 10 để A chia hết cho
15.
Câu 3: (2 điểm)
a) Có hay không một số K nguyên dơng sao cho khi chia cho
1993 có các chữ số tận cùng là 0001.
b) Vòi nớc thứ nhất chảy một mình đầy bể trong 4 giờ 30 phút
và vòi thứ hai chảy một mình ®Çy bĨ trong 6 giê 45 phót. Lóc
®Çu ngêi ta mở vòi thứ nhất cho chảy trong một thời gian bằng
thời gian cần thiết để hai vòi cùng chảy đầy bể, rồi sau đó mở
vòi thứ hai. Hỏi bao nhiêu phút sau khi mở vòi thứ nhất thì bể
đầy nớc.
Câu 4: (3 điểm)
Cho đoạn thẳng AB = a. Gọi M 1 là trung điểm của đoạn thẳng

AB và M2 là trung điểm của M1B.
a) Chứng tỏ rằng M1 nằm giữa hai điểm A, M2. Tính độ dài đoạn
thẳng AM2 .
3

Tài liƯu båi dìng HSG To¸n

2

11


b) Gäi M1, M2 , M3 , M4 ,… lÇn lợt là trung điểm của các đoạn
AB, M1B, M2B, M3B, Tính độ dài của đoạn thẳng AM8 .
Câu 5: (1 điểm)
Tìm các bộ ba số tự nhiên a, b, c khác 0 thoả mÃn:
1 1 1 4
+ + =
a b c 5

Đề số 11
Câu 1: (2 điểm)
a) Tính tổng: S = 9.11 + 99.101 + 999.1001 + 9999.10001 + 99999.100001
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số trong đó có đúng hai
chữ số 3.
Câu 2: (2 ®iĨm)
a) T×m x, y, z sao cho:

x 20041.......... 13 yz 
120

   ...
2004 c / sè 1

b) T×m hai số nguyên tố a và b sao cho:

3a 13 = b(a 3)

Câu 3: (2 điểm)
a) Cho 25 số tự nhiên đợc lập nên từ bốn chữ số: 6, 7, 8, 9.
Chứng minh rằng: trong các số này ta tìm đợc hai số bằng nhau.
b) Trong đợt thi học sinh giỏi cấp tỉnh có không quá 130 em
tham gia. Sau khi chấm bài thấy số em đạt điểm giỏi chiếm
đạt điểm khá chiếm 1 , đạt điểm yếu chiếm
3

1
14

1
,
9

tổng số thí sinh

dự thi, còn lại là đạt điểm trung bình. Tính số học sinh mỗi loại.
Tài liệu bồi dỡng HSG To¸n

12

Câu 4: (3 điểm)
Cho góc xOy bằng 1000 , góc yOz bằng 1300.
a) Vẽ tia phân giác Ot của góc xOy, Oz cđa gãc yOz.
b) TÝnh gãc tOv.
C©u 5: (1 ®iÓm)
Chøng minh r»ng: A = 10 + 18n − 1 chia hết cho 81 (n là số tự
nhiên).
n

Đề số 12

Câu 1: (2 ®iĨm)
a) TÝnh

10  1
3 5
− 6 − 5  :
3  7
7 7 5 1
+ .1
8 + 0,375 : 0,5625 8 5
1

1

1

2

2003

b) T×m x biÕt 1 + 3 + 6 + 10 + ... + x( x + 1) = 1 2005

Câu 2: (3 điểm)
1. Cho A = 3 + 3 + 3 + .... + 3
a) TÝnh tæng A.
b) Chøng minh r»ng A 130 .
c) A cã phải là số chính phơng không ? Vì sao ?
2

2) Tìm n Z để

3

2004

n 2 + 13n 13 n + 3

Câu 3: (2 điểm )
QuÃng đờng AB gồm một đoạn lên dốc, một đoạn xuống
dốc. Một ô tô ®i tõ A ®Õn B hÕt 2,5 giê vµ ®i từ B đến A hết 4
giờ. Khi lên dốc (cả lúc đi và lúc về) vận tốc của ô tô là 20
Tài liệu bồi dỡng HSG Toán

13


km/h. Khi xuống dốc (cả lúc đi lẫn về), vận tốc của ô tô là 30
km/h. Tính quÃng đờng AB.
Câu 4: (2 điểm)

Cho hai tia Oz và Ot là hai tia nằm giữa hai cạnh của góc xOy
sao cho xOz = yOt = 400.
a) So sánh góc xOt và yOz.
b) Cho gãc zOt = 200 . TÝnh gãc xOy.
C©u 5: (2 điểm)
Cho 14 số tự nhiên có 3 chữ số. Chứng minh rằng trong 14 số đó
tồn tại 2 số mà khi viết liên tiếp nhau thì tạo thành số có 6 chữ
số chia hết cho 13.

Đề số 13

Bài 1: (2 ®iĨm)
a) Cho A = 3 + 3 + 3 + ... + 3
Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n
b) Cho số 123456789. HÃy đặt một số dấu + và - vào giữa
các chữ số để kết quả của phép tính bằng 100.
Bài 2: (2,5 điểm)
a) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p 2 + 14 là số nguyên
tố.
2

3

100

b) Cho n ∈ N vµ n > 3. Chøng minh r»ng nÕu 2 = 10a + b (0< b
<10) th× a. b chia hết cho 6.
Bài 3: (1,5 điểm)
a) Tìm hai số tự nhiên có ƯCLN bằng 12, ƯCLN của chúng,
BCNN của chúng là bốn số khác nhau và đều có hai chữ số.

n

Tài liệu bồi dỡng HSG Toán

14


b) Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 50
chữ số 2.
Chứng minh rằng A - B là một số chính phơng.
Bài 4: (3 điểm)
Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox vÏ c¸c tia
Oy, Oz, Ot sao cho
xOy < xOz < xOt . Chøng tá r»ng:
a) yOz < yOt
b) Các tia Oz, Ot thuộc cùng một nửa mặt phẳng cã bê chøa tia
Oy.
c) Tia Oz n»m gi÷a hai tia Oy và Ot.
Bài 5: (1 điểm)
Chứng minh rằng có vô số tự nhiên n để n + 15 và n + 72 là
hai số nguyên tố cùng nhau.

Đề số 14
Câu 1: (2 ®iĨm)
a) Rót gän:

2
2
2
4

4
4
+
−
4−
+ −
19 43 2004 :
29 41 2005
A=
3
3
3
5
5
1
3− +
−
5−
+ −
19 43 2005
29 41 401

b) TÝnh x biÕt:

2−

2 1
+ : x = 1
3 3

Câu 2: (2,5 điểm)
Cho A = 1 − 7 + 13 − 19 + 25 − 31 + ....
a) BiÕt A cã 40 sè h¹ng. Tính giá trị của A.
Tài liệu bồi dỡng HSG Toán

15


b) Tìm số hạng thứ 2004 của A.
Câu 3: (2, 5 điểm)
Hai xe ô tô đi từ hai địa điểm A vµ B vỊ phÝa nhau, xe thø nhÊt
khëi hµnh tõ A lóc 7 giê, xe thø hai khëi hµnh tư B lóc 7 giê 10
phót. BiÕt r»ng ®Ĩ ®i cả quÃng đờng AB xe thứ nhất cần 2 giờ, xe
thứ hai cần 3 giờ. Hỏi hai xe gặp nhau lúc mấy giờ.
Câu 4: (2 điểm)
Cho 3 tia chung gốc OA, OB, OC. TÝnh BOC biÕt r»ng:
a) AOB = 130 ; AOC = 300
b) AOB = 1300 ; AOC = 800
Câu 5: (1 điểm)
Viết thời gian trong một ngày(tính bằng giây) bằng cách dùng
chữ số La MÃ.

Đề số 15

Bài 1: (2 điểm)
a) Tìm chữ số tận cùng của số A =
b) So s¸nh:

A=

2004 2003 + 1
2004 2004 + 1

;

B=

2 2005 + 3 2005

2004 2004 + 1
2004 2005 + 1

Bµi 2: (2 điểm)
a) Một số A nếu chia cho 64 thì d 38, nếu chia cho 67 thì d 14.
Cả hai lần chia đều có cùng một thơng số. Tìm thơng và số A đó.
Tài liệu bồi dỡng HSG Toán

16


b) Tìm số nguyên tố có hai chữ số khác nhau dạng ab sao cho ba
cũng là số nguyên tố và hiệu ab ba là số chính phơng.
Bài 3: (2 điểm)
Một ngời đi xe đạp từ A đến B gồm một đoạn lên dốc, một đoạn
xuống dốc (theo chiều (AB). Khi lên dốc ngời đó đi với vận tốc
10 km/h vµ xng dèc víi vËn tèc 15 km/h. Lóc ®i hÕt 3h 30’ ,
lóc vỊ hÕt 4 h. Hái quÃng đờng AB dài bao nhiêu ?
Bài 4: (3 điểm) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đờng
thẳng AM. Từ một điểm O thuộc AM. Vẽ các tia OB, OC, OD
sao cho; MOC = 1150 ; BOC = 700 ; AOD = 450 (D nằm trong

nửa mặt phẳng ®èi víi B, C qua bê lµ AM).
a) Tia OB nằm giữa hai tia OM, OC không? Vì sao ?
b) TÝnh gãc MOB, AOC.
c) ChØ râ r»ng 3 ®iĨm D, O, B thẳng hàng.
Bài 5: (1 điểm)
Cho

P = 1+

1 1 1
1
+ + + ... + 100
.
2 3 4
2 −1

Chøng tá rằng P > 50

Đề số 16
Bài 1: (2 điểm)
a) Tính:

M =

1 1 1
1
2
+ + + + .... +
3 6 10 15
2004.2005

b) Có tồn tại a, b hay không để 55a + 30 b = 3658.

Tài liệu bồi dỡng HSG Toán

17


Bài 2: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng: Nếu P và 2P +1 là các số nguyên tố lớn
hơn 3 thì 4P + 1 là số hợp số.
b) Tìm một số tự nhiên chia hết cho 5 và chia hết cho 27 mà chỉ
có 10 ớc.
Bài 3: (2 điểm)
Ba vòi nớc cùng chảy vào một bể. Nếu vòi I và vòi II cùng chảy
thì

7

1
5

2
giờ đầy bể; nếu vòi II và vòi III cùng chảy thì sau 10 7 giờ

thì đầy bể, còn vòi I và vòi III cùng chảy thì sau 8 giờ đầy bể.
Hỏi mỗi vòi chảy một mình sau bao lâu đầy bể.
Bài 4: (3 điểm)
Cho góc xoy có sè ®o b»ng 1200 . VÏ tia oz sao cho yoz = 300.
a) TÝnh sè ®o gãc xoz.

b) Mét ®êng thẳng a cắt ox, oy, oz lần lợt tại các ®iÓm A, B, C .
BiÕt AB = 8cm; BC = 5 cm. Tính AC ?
Bài 5: (1 điểm)
So sánh:

A = 1+

1 1
1
1
+ 2 + 3 + ... + 100
2 2
2
2

vµ B = 2.

Đề số 17
Bài 1: (2 điểm)

Tài liệu bồi dìng HSG To¸n

18


a) TÝnh nhanh:

5 5 5
5
+ − +

1003.2005 − 1002
11 7 17 2004
A=
.
13 13 13
1003 + 2005.1002 13
− + − + 13
2004 17 7 11
5

b) So sánh: 2002 và 303
; 31 và 17 .
Bài 2: (2 điểm)
a) Cho A = 1 − 3 + 3 − 3 + ... − 3 + 3
Chøng minh r»ng: 4A -1 lµ l thõa cđa 3.
b) Tìm x, y nguyên tố biết: 59 x + 46 y = 2004
Bài 3: (2 điểm)
Trong một hội nghị học sinh giỏi, số học sinh nữ chiếm 2/5,
trong đó 3/8 số nữ là học sinh lớp 6. Trong số học sinh nam dự
hội nghị 2/9 là số học sinh lớp 6. Biết số học sinh dự hội nghị
khoảng từ 100 ®Õn 150. TÝnh sè häc sinh nam, sè häc sinh nữ
lớp 6.
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của AB, N là điểm nằm
giữa M vµ B.
a) BiÕt ABC = 850 , ACM = 500 , BCN = 200 . TÝnh BCM vµ
MCN.
b) BiÕt AN = a, BN = b. Tính MN.
Bài 5: (1 điểm)
Tính S = 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100

303

2

2

2

202

3

2

Tài liệu bồi dỡng HSG Toán

11

2003

2

2004

2

19

14

Đề số 18
Câu 1: (2 điểm) Tính:
a)

2.4 + 2.4.8 + 4.8.16 + 8.16.32
3.4 + 2.6.8 + 4.12.16 + 8.24.32

b)

4
4
4
+
+ ... +
5.7 7.9
59.61

Câu 2: (2 điểm)
a) Viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số nào để đợc số chia
hết cho 5, 7, 9.
b) Mét sè chia cho 4 d 3; chia cho 17 d 9; chia cho 19 d 13. Hỏi
số đó chia cho 1292 d bao nhiêu ?
Câu 3: (2 điểm) Đờng từ A đến b gồm một đoạn lên dốc và một
đoạn xuống dốc. Một ngời đi xe đạp lên dốc với vận tốc 10
km/h và xuống dèc víi vËn tèc 15 km/h. BiÕt r»ng ngêi Êy ®i tõ
A ®Õn B råi l¹i tõ B vỊ A thì hết tất cả 3 giờ. Tính quÃng đờng
AB.
Câu 4: (3 ®iĨm)
Cho hai gãc kỊ nhau xoy, xoz sao cho xoy = 1000 , xoz = 1200

a) Tia ox cã nằm giữa hai tia oy ; oz không ?
b) Tính yoz
c) Tính xoy + yoz + zox
Câu 5: (1 điểm)
Số 5100 viết trong hệ thập phân tạo thành một số. Hỏi số đó có
bao nhiêu chữ số.

Tài liệu bồi dỡng HSG To¸n

20


Đề số 19
Câu 1: (2 điểm)
a) Tính

1

6 8  : 0,05
2

M = 
3
 1

 7 − 5,65 .6 + 1
5
 20


b) Chøng minh r»ng A lµ mét l thõa cđa 2 víi
A = 4 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + ... + 2 2003 + 2 2004

Câu 2: (2 điểm)
a) Tìm số nguyên tè P sao cho P + 6 , P + 12, P + 34, P + 38 là
các số nguyên tố.
b) Tìm các số tự nhiên a, b, c, d nhá nhÊt sao cho:
a 3
=
b 5

;

b 12
=
c 21

;

c 6
=
d 11

C©u 3: (2 điểm)
Tuổi anh hiện nay gấp ba lần tuổi em, lóc ti anh b»ng ti
hiƯn nay cđa ngêi em. §Õn khi ti em b»ng ti hiƯn nay cđa
ngêi anh thì tổng số tuổi của hai anh em là 35. Tính tuổi anh,
tuổi em hiện nay.
Câu 4: (3 điểm) Cho hai tia Ox, Oy đối nhau. Trên cùng một
nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox, vẽ các tia Oz, Ot sao cho xOz

= 300 ; yOt = 750
a) TÝnh zOt
b) Chứng tỏ tia Ot là tia phân giác của zOy.

Tài liệu bồi dỡng HSG Toán

21


c) TÝnh zOt nÕu xOz = α , yOt =

( + 180 0 )

Câu 5: (1 điểm)
Chứng minh rằng:
1
1
1
1
1
+ 2 + 2 + ... +
<
2
2
2
2
4
6
4010

Đề số 20
Bài 1: (2 ®iĨm)
3

a) TÝnh:

2

2 2 5
+ 3  −  
3 3 6
A=
7  35
35
105
35 
:
+
+
+

60  31.37 37.43 43.61 61.67

b) Tìm chữ số x để

(12 + 2 x3) 3

Bài 2: (2 điểm) Tổng

1+

1 1
1
1
+ + ... + +
2 3
17 18

bằng

a
b

với

a
b

là phân

số tối giản.
Chứng minh rằng: b 2431 .
Bài 3: (2 điểm)
Hai địa điểm A và B cách nhau 72 km. Một ô tô đi từ A
về B và một xe đạp đi từ B về A gặp nhau sau 1 giê 12 phót (hai
xe cïng khëi hµnh). Sau đó ô tô tiếp tục đi về B rồi lại quay về A
ngay với vận tốc cũ, ô tô gặp xe đạp sau 48 phút kể từ lúc gặp
nhau lần trớc. Tính vận tốc ô tô và xe đạp.
Bài 4: (3 điểm)
Cho điểm O trên đờng thẳng xy, trên một nửa mặt phẳng

có bờ là xy, vẽ tia Oz sao cho gãc xOz < 900.

Tµi liƯu båi dìng HSG To¸n

22


a) Vẽ các tia Om, On lần lợt là các tia phân giác của các góc
xOz và zOy. Tính góc On.
b) Tính số đo các góc nhọn trong hình nếu sè ®o gãc mOZ = 350
c) VÏ (O; 2 cm) cắt các tia Ox, Om, Oz, On, Oy lần lợt tại các
điểm A, B, C, D, E với các điểm O, A, B, C, D, E kẻ đợc bao
nhiêu đờng thẳng phân biệt đi qua các cặp điểm ? Kể tên những
đờng thẳng đó.
Câu 5: (1 điểm)
Cho a, b, c là các số nguyên dơng tuỳ ý. Tổng sau có thể là số
nguyên dơng không ?
a
b
c
+
+
a+b b+c c+a

Đề số 21

Câu 1: (2 ®iĨm) TÝnh
a)

A=

101 + 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1
101 − 100 + 99 − 98 + ... + 3 − 2 + 1

b)

B=

423134.846267 423133
423133.846267 + 423134

Câu 2: (2 điểm)
a) Chứng minh r»ng: 10 + 8 chia hÕt cho 72.
b) Cho A = 3 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2
và B = 2
So sánh A và B.
c) Tìm số nguyên tố p để p + 6, p + 8, p + 12 , p + 14 đều là các
số nguyên tố.
Câu 3: (2 điểm)
Ngời ta chia số học sinh lớp 6A thành các tổ, nếu mỗi tổ 9 em
thì thừa 1 em, còn nếu mỗi tổ 10 em thì thiếu 3 em. Hỏi có bao
nhiêu tổ, bao nhiêu học sinh ?
28

2

3

Tài liệu bồi dỡng HSG To¸n

4

2001

2002

23

2003


Câu 4: (3 điểm) Cho ABC có BC = 5,5 cm. Điểm M thuộc tia
đối của tia CB sao cho CM = 3cm.
a) Tính độ dài BM.
b) Biết BAM = 800 ; BAC = 600 . TÝnh CAM
c) TÝnh ®é dài BK thuộc đoạn BM biết CK = 1cm.
Câu 5: (1 ®iĨm)
Chøng minh r»ng:

1
1
1
1
+ 2 + 2 + ... +
<1
2
2
3
4
100 2

Đề số 22
Câu 1: (2 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau bằng phơng pháp
hợp lí:
a)

4
4
4
+
+ ... +
5.7 7.9
59.61

b)

3 3
3
3
− +
−
24.47 − 23
7 11 1001 13
.
9
9 9 9
24 + 47.23
+ +9
1001 13 7 11
3+

Câu 2: (2 điểm)
Cho A = 2 + 2 + 2 + ... + 2
Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 3, 7 vµ 15.
Câu 3: (2 điểm)
2

3

Tài liệu bồi dỡng HSG Toán

60

24


Hai lớp 6A và 6B trồng cây. Số cây lớp 6A trồng bằng

4
5

số

cây lớp 6B trồng. Nếu mỗi lớp đều trồng thêm đợc 15 cây nữa
thì số cấy lớp 6B trồng bằng

1

2
9

số cây lớp 6A. Hỏi mỗi lớp

trồng đợc bao nhiêu cây ?
Câu 4: (3 điểm)
Cho đờng thẳng xx và một điểm O thuộc đờng thẳng ấy. Hai
điểm A, B nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ xx và một
điểm C nằm trong nửa mặt phẳng đối của nửa mặt phẳng bờ xx
và có chứa điểm A. Biết xOB =1150 ; AOB = 750 ; x’OC = 400
a) TÝnh các góc xOA, xOB.
b) Chứng tỏ ba điểm A, O, C thẳng hàng.
Câu 5: (1 điểm)
Tìm các số nguyên x, y sao cho: ( x − 2) .( y − 3) = 4
2

Đề số 23
Bài 1: (2 điểm)
a) Tính hợp lÝ

1 1 1
+ −
2 3 4
A=
1 1 1 1 1 1
 + − − . .
 2 3 4 2 3 4

b) Tìm phân số nhỏ nhất khác 0 mà khi chia phân số này cho
các phân số

42
63
; 110
275

ta đợc kết quả là một số tự nhiên.

Bài 2: (2 điểm)
Tài liƯu båi dìng HSG To¸n

25