Giải Tích Toán Học Tập 1 Chương 6 Tích Phân Xác Định

1
1



Giải tích toán học. Tập 1. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007.


Từ khoá: Giải tích toán học, giải tích, Tích phân xác định, tích phân, Tổng Darbox
Điều kiện khả tích, Hàm khả tích, Diện tích, thể tích, Tích phân suy rộng.


Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục
vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả.

Mục lục
Chương 6 Tích phân xác định 3
6.1 Định nghĩa tích phân xác định 3
6.1.1 Bài toán diện tích hình thang cong 3
6.1.2 Bài toán tính khối lượng 4
6.1.3 Định nghĩa tích phân xác định 4
6.1.4 Ý nghĩa hình học của tích phân xác định 6
6.2 Điều kiện khả tích 6
6.2.1 Điều kiện cần để hàm khả tích 6
6.2.2 Các tổng Darboux 7
6.2.3 Các tính chất của tổng tích phân Darboux 7
6.2.4 Dấu hiệu tồn tại của tích phân xác định 9
6.3 Các lớp hàm khả tích 10

6.4 Các tính chất cơ bản của tích phân 12
6.4.1 Các tính chất của tích phân xác định 12
Chương 6. Tích phân xác định


Lê Văn Trực


2
6.4.2 Các định lí giá trị trung bình 16
6.5 Nguyên hàm và tích phân xác định 17
6.5.1 Các định nghĩa 18
6.5.2 Tích phân xác định như hàm của cận trên 18
6.6 Tính tích phân xác định 20
6.6.1 Phép đổi biến trong tích phân xác định 20
6.6.2 Phép lấy tích phân từng phần 22
6.6.3 Tính gần đúng tích phân xác định 26
6.7 Một số ứng dụng hình học, vật lý của tích phân xác định 30
6.7.1 Tính diện tích hình phẳng 30
6.7.2 Tính độ dài đường cong phẳng 35
6.7.3 Tính thể tích vật thể 38
6.7.4 Diện tích mặt tròn xoay 41
6.8 Tích phân suy rộng 44
6.8.1 Tích phân suy rộng loại 1 44
6.8.2 Tích phân suy rộng loại 2 53
6.8.3 Thay biến số trong tích phân suy rộng 57
Bài tập chương 6 58

3
3

Chương 6
Tích phân xác định
6.1 Định nghĩa tích phân xác định
6.1.1 Bài toán diện tích hình thang cong
Cho hàm số y = ()fx xác định, liên tục, không âm trên đoạn [a,b]. Xét hình thang cong
AabB (hình 6.1.1) là hình giới hạn bởi đồ thị của hàm số
()fx (trên [a,b]), các đường thẳng x
= a, x = b và trục hoành.

Hình 6.1.1
Với quan điểm của giải tích, ta hãy định nghĩa diện tích S của hình thang cong AabB.
Chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia
0

x
,
1
x
,
2
x
,
1n
x
−
,
n
x
được chọn tùy ý
sao cho
0
x
≡ a <
1
x
<
2
x
<
1i
x
−
<
i

x
< <
1n
x
−
<
n
x
≡ b. Đặt
i
x
Δ
=
i
x
–
1i
x
−
(i = 1,2, ,n).
Từ các điểm chia
i
x
(i = 1,2, ,n) ta dựng các đường thẳng x =
i
x
, như thế ta đã chia hình
thang cong AabB thành n hình thang cong nhỏ
1i
P

−
1i
x
−
i
x
i
P (i=1, 2, ,n) . Chọn các điểm
i
ξ
∈[
1i
x
−
,
i
x
]. Thay mỗi hình cong nhỏ
1i
P
−
1i
x
−
i
x
i
P bằng một hình chữ nhật có cùng đáy và
chiều cao là ( )
ξ

i
f . Diện tích các hình chữ nhật là:
1
()
ξ
f
Δ
1
x
,
2
()
ξ
f
Δ
2
x
, , ( )
ξ
n
f
Δ
n
x
.
Hiển nhiên tổng các diện tích của n hình chữ nhật biểu diễn gần đúng diện tích cần tìm S
của hình thang cong AabB đã cho. Nói một cách khác, ta có thể viết: S~
1
()
n

ii
i
f
x
ξ
=
Δ
∑
.
Ta nhận thấy nếu số đoạn chia càng nhiều sao cho độ lớn của các đọan chia càng nhỏ thì
tổng
1
()
n
ii
i
f
x
ξ
=
Δ
∑
càng gần giá trị đúng S.

4
Từ đó ta có thể nói rằng khi chuyển giới hạn n→
∞
sao cho
i
x

Δ
→ 0 (i =
1, n
) thì giá trị
giới hạn của tổng
1
()
n
ii
i
f
x
ξ
=
Δ
∑
chính là diện tích cần tìm S của hình thang cong đã cho:
S
=
0
1
lim ( )
ξ
Δ→
=
Δ
∑
i
n
ii

max x
i
f
x
. (6.1.1)
6.1.2 Bài toán tính khối lượng
Cho một đoạn thẳng vật chất [0,S] và giả thiết là ta biết tỉ khối
δ
ở tại mỗi điểm của đoạn
ấy. Hãy tính khối lượng của cả đoạn thẳng. Nếu tỉ khối
δ
không đổi trong cả đoạn thẳng, thì
khối lượng m sẽ bằng tích của tỉ khối với độ dài đoạn thẳng, tức là m =
δ
.S. Trong trường
hợp tổng quát
δ
là một hàm liên tục của độ dài s:
δ
= ()s
δ
, với s
∈
[0,S].
Việc tìm khối lượng của đoạn sẽ tiến hành như sau:
Ta hãy chia đoạn thẳng ra làm n phần bởi các điểm chia:
0
s =0,
1
s ,

2
s , ,
1i
s
−
,
i
s , ,
1n
s
−
,
n
s = S.
và giả thiết rằng trên một đoạn nhỏ [
1i
s
−
,
i
s ] vật chất được phân phối đều, tức là tỉ khối không
đổi trên mỗi đoạn nhỏ và bằng tỉ khối tại mút trái
δ
=
1
()
δ
−
i
s . Khi đó, khối lượng tương ứng

của cả đoạn [0,S] sẽ bằng:
01 0 12 1 1 1
( )( ) ( )( ) ( )( )
niii
mssssss sssδδ δ
−−
= − + − ++ − ++

11
()( ),
nnn
sssδ
−−
+ −
hay
n
m =
1
0
()
n
ii
i
ss
δ
−
=
Δ
∑
, trong đó:

i
s
Δ
=
1i
s
+
-
i
s (i=
1, n
).
Khi n tăng vô hạn sao cho max 0
i
s
Δ
→ , thì độ dài của các đoạn chia dẫn đến không và
khối lượng phân phối “đều từng khúc” sẽ dẫn đến khối lượng phải tìm:
m
=
1
1
()0
0
lim ( )
δ
+
−
−→
=

Δ
∑
ii
n
ii
max S S
i
ss. (6.1.2)
Như vậy từ việc tính diện tích, khối lượng ta đi đến một cách tự nhiên việc khảo sát giới
hạn của các tổng có dạng (6.1.1) hay (6.1.2).
6.1.3 Định nghĩa tích phân xác định
Cho hàm y = ( )
f
x xác định trên [a,b]. Trước hết chia đoạn [a,b] thành n phần bởi các
điểm chia: a
=
0
x
<
1
x
<
2
x
< <
1n
x
−
<
n

x
= b. Đặt
k
x
Δ
=
k
x
−
1k
x
−
và d = max Δ
k
k
x
, với
k=
1, n




5
5
Ta gọi bộ các điểm chia T = {
k
x
} là một phân hoạch của đoạn [a,b] và đại lượng d gọi là
đường kính phân hoạch. Trên mỗi đoạn chia [

1k
x
−
,
k
x
] chọn điểm tùy ý
k
ξ
, tính giá trị ()
k
f
ξ
và
lập tổng:
1
()
n
nkk
k
f
x
σξ
=
=Δ
∑
. (6.1.3)
Ta thấy tổng (6.1.3) phụ thuộc vào phân hoạch T = {
k
x

} và vào cách chọn các điểm
k
ξ

và được gọi là tổng tích phân Riman của hàm
()fx
theo phân hoạch {
k
x
} của đoạn [a,b].
Bây giờ hãy thay đổi phân hoạch {
k
x
} và tìm giới hạn của tổng tích phân (6.1.3) khi d →
0.
Định nghĩa
Nếu tổng tích phân Riman (6.1.3) có giới hạn I khi d→ 0 không phụ thuộc vào phân
hoạch {
k
x
} của đoạn [a,b] và cách chọn các điểm
1
ξ
,
2
ξ
, ,
n
ξ
tức là 0

ε
∀>, 0
δ
∃> sao
cho:
| I−
n
σ
|<
ε
(6.1.4)
với bất kì phân hoạch {
k
x
} của đoạn [a,b] sao cho đường kính d<
δ
và với mọi cách chọn
các điểm
k
ξ
∈[
1k
x
−
,
k
x
] ,( k=1, n ), thì giới hạn I được gọi là tích phân xác định ( theo định
nghĩa Riman) của hàm
()fx trên [a,b] và được kí hiệu là:

()
b
a
f
xdx
∫
. Như vậy , theo định
nghĩa ta có:
()
b
a
f
xdx
∫
=
0
1
lim ( )
ξ
→
=
Δ
∑
n
kk
d
k
f
x . (6.1.5)
Trong trường hợp này hàm f được gọi là khả tích theo Riman trên [a,b]. Số a và b được

gọi là cận dưới và cận trên của tích phân, hàm f - hàm dưới dấu tích phân và biểu thức
()
f
xdx - biểu thức dưới dấu tích phân.
Trong định nghĩa trên thực chất ta đã giả thiết rằng a <b. Chúng ta hãy mở rộng khái
niệm tích phân xác định trong trường hợp a = b và a > b.
Khi a > b, theo định nghĩa, ta có:

() ()
ba
ab
f
xdx f xdx=−
∫∫
.
(6.1.6)
Khi a = b, theo định nghĩa, ta có:

()
a
a
f
xdx
∫
= 0. (6.1.7)

6
Đẳng thức (6.1.7) nghĩa là tích phân xác định với các cận bằng nhau bằng 0. Bởi vì tổng
tích phân (6.1.3) không phụ thuộc vào chữ cái dùng để kí hiệu đối số của hàm đã cho, nên
giới hạn của nó, tức là tích phân xác định không phụ thuộc vào kí hiệu biến số tích phân:

()
b
a
f
xdx
∫
=
()
b
a
f
tdt
∫
=
()
b
a
f
zdz
∫
,v.v
(6.1.8)
Ví dụ 1: Cho ( )
f
x = 1,
x
∀∈
[a,b].
Với mọi phân điểm T = {

k
x
} của đoạn [a,b] và với mọi cách chọn
k
ξ
, ta có:
1
()
σξ
=
=Δ
∑
n
nkk
k
f
x =
1
1.
=
Δ
∑
n
k
k
x
= b−a
Suy ra:
0
lim

n
d
σ
→
= b − a.
Do đó:
b
a
dx
∫
= b
−
a.
6.1.4 Ý nghĩa hình học của tích phân xác định
Theo định nghĩa tích phân xác định vừa nói trên, diện tích hình thang cong được tính theo
công thức:
S =
()
b
a
f
xdx
∫
. (6.1.9)
Bây giờ ta hãy đưa ra điều kiện cần và đủ để hàm khả tích.
6.2 Điều kiện khả tích
6.2.1 Điều kiện cần để hàm khả tích
Định lí 6.2.11 Nếu hàm f khả tích trên đoạn [a,b] thì nó bị chặn trên đoạn này.
Chứng minh: Ta giả sử ngược lại rằng hàm f không bị chặn trên [a,b]. Bởi vì hàm f
không bị chặn trên [a,b] nên với phân điểm T bất kì của đoạn [a,b], hàm f không bị chặn ít

nhất trên một đoạn con nào đó. Để đơn giản cho việc chứng minh, ta giả sử
nó không bị chặn
trên [
0
x
,
1
x
]. Khi đó trong các đoạn còn lại [
1
x
,
2
x
], [
2
x
,
3
x
], …, [
1n
x
−
,
n
x
] ta hãy chọn các
điểm tùy ý
1

ξ
,
2
ξ
, …,
2
ξ
và kí hiệu:
22 33
' ( ) ( ) ( )
nn
f
xf x f x
σ
ξξ ξ
=Δ+Δ++Δ. (6.2.1)
Do f không bị chặn trên đoạn [
0
x
,
1
x
], nên với mọi M>0, ta chọn được
1
ξ
∈[
0
x
,
1

x
] sao
cho:
|
1
()f
ξ
|≥
1
|'|
||
M
x
σ
+
Δ
. (6.2.2)



7
7
Khi đó,|
1
()f
ξ
|.
1
||
x

Δ
≥ |'|
M
σ
+ và tổng tích phân tương ứng
11
|||() '|
n
fx
σ
ξσ
=Δ+ ≥
11
|| ( ) || | | '||fx
ξ
σ
Δ
− ≥ M (6.2.3)
Do đó, tổng tích phân
n
σ
không thể có giới hạn hữu hạn, điều này nghĩa là tích phân xác
định của hàm f không tồn tại.
Nhận xét: Định lí trên chỉ là điều kiện cần mà không phải điều kiện đủ để hàm số là khả
tích, nghĩa là tồn tại hàm số bị chặn mà không khả tích. Ví dụ, ta hãy xét hàm Dirichlet
D:
 →  được cho dưới dạng:
1 nÕu h÷u t
Ø
()

0 nÕu v« tØ
x
Dx
x
⎧
=
⎨
⎩

Với a
≠ b, hàm D không khả tích trên [a,b], bởi vì với phân điểm T =
{
}
k
x
tùy ý:
1
1
112
1
11
1
()( )
(),nÕu , , , h÷u tØ

0.( ) 0,nÕu v« tØ.
n
nkkk
k
n

kk n
k
n
kk n
k
Dxx
xx ba
xx
σξ
ξξ ξ
ξξ
−
=
−
=
−
=
=−=
⎧
−=−
⎪
⎪
=
⎨
⎪
−=
⎪
⎩
∑
∑

∑

Do đó tổng tích phân
n
σ
không thể tiến đến giới hạn hữu hạn.
6.2.2 Các tổng Darboux
Giả sử hàm f xác định và bị chặn trên [a,b]. Khi đó tồn tại các hằng số m và M sao cho:
m
≤
()
f
x
≤
M,
x
∀
∈
[a,b] .
Ta xét phân điểm T
=
{
}
k
x
của đoạn [a,b]. Kí hiệu:
k
m =
1
[,]

inf ( )
kk
x
xx
f
x
−
∈
,
k
M
=
1
[,]
sup ( )
kk
xx x
f
x
−
∈
,
k
ω
=
k
M
−
k
m . Đại lượng

k
ω
gọi là dao động của f trên
1
[,]
kk
x
x
−
. Tổng
n
S
=
k=1
n
kk
mx
Δ
∑
,
n
S =
k=1
n
kk
M
x
Δ
∑
(6.2.4)

lần lượt gọi là tổng tích phân Darboux dưới và tổng tích phân Darboux trên của hàm
()fx
trên đoạn [a,b] tương ứng với phân điểm T của đoạn [a,b].
Nếu
{
}
k
x
là một phân điểm của đoạn [a,b], ta có bất đẳng thức sau:

n
S
≤
n
σ
≤
n
S . (6.2.5)
6.2.3 Các tính chất của tổng tích phân Darboux

8
Tính chất 1: Tổng tích phân Darboux trên (dưới) tương ứng với phân điểm
{
}
k
x
của đoạn
[a,b] là cận trên (dưới) đúng của các tổng tích phân Riman tương ứng với cách chọn các điểm
khác nhau
k

ξ
∈
[
]
1
,
kk
x
x
−
, k = 1, n , tức là:
n
S =
12
( , , , )
sup
n
n
ξ
ξξ
σ
,
n
S
=
12
( , , , )
inf
n
n

ξ
ξξ
σ
. (6.2.6)
Do bất đẳng thức (6.2.5) ta chỉ cần chứng minh rằng có thể tìm được:
*
1
ξ
,
*
2
ξ
, ,
*
n
ξ
sao
cho:
*
1
()
n
kk
k
f
x
ξ
=
Δ
∑

>
n
S −
ε
.
Thật vậy, theo định nghĩa các số
k
M
, ta có thể tìm được *
k
ξ
∈
[
]
1
,
kk
x
x
−
sao cho:
(*)
k
f
ξ
>
k
M
−
ba

ε
−
.
Khi đó:
*
1
()
n
kk
k
f
x
ξ
=
Δ
∑
>
1
n
kk
k
M
x
=
Δ
∑
−
ba
ε
−

1
n
k
k
x
=
Δ
∑
=
n
S −
ε

suy ra phần đầu của tính chất 1 được chứng minh. Phần thứ hai được chứng minh tương tự.
Tính chất 2: Khi tăng số điểm chia trong phân điểm T =
{
}
k
x
thì tổng tích phân Darboux dưới
tăng lên và tổng trên giảm đi.
Chứng minh: Giả sử
T’ nhận được từ T bởi thêm điểm chia '
i
x

[
]
1
,

ii
x
x
−
∈ . Khi đó:
n
σ
=
#
()
j
j
ji
f
x
ξ
Δ
∑
+ ( )
ii
f
x
ξ
Δ
.
Theo định nghĩa:
()
n
ST =
#

j
j
ji
mx
Δ
∑
+
1
()
ii i
mx x
−
−
,
trong đó:
[]
1
,
inf
ii
i
x
x
mf
−
= .
()
n
ST
′

=
#
j
j
ji
mx
Δ
∑
+
1
*( ' ) **( ')
iii ii i
mxx m xx
−
−
+−
trong đó:
[]
1
,'
*inf
ii
i
x
x
mf
−
= ,
[]
',

** inf=
ii
x
x
mf.
Do *
i
m ≥
i
m ,**
i
m ≥
i
m nên:
(')
n
ST ≥
#
j
j
ji
mx
Δ
∑
+
1
(' ) ( ')
ii i ii i
mx x mx x
−

−
+− = ()
n
ST.
Tương tự, ta chứng minh:
(') ()
nn
ST ST≤ .





9
9
Tính chất 3: Gọi
1
1
,SS
là tổng dưới, tổng trên ứng với phân điểm
1
T và
2
2
,SS
là tổng dưới,
tổng trên ứng với phân điểm
2
T . Khi đó:
2

1
SS
≤
.
Chứng minh:
Gọi T phân điểm thứ ba có được bằng cách hợp tập các điểm chia của phân điểm
1
T và
của phân điểm
2
T . Gọi S ,
S
lần lượt là tổng trên tổng dưới của phân điểm T. Khi đó:
2
1
SSSS
≤
≤≤ .
Suy ra:
2
1
SS
≤
.
Từ tính chất 2 và tính chất 3 suy ra rằng tập hợp các tổng tích phân dưới
{
}
n
S ứng với các
phân điểm T khác nhau của đoạn [a,b] là một tập hợp bị chặn trên, (ví dụ bởi tổng tích phân

trên bất kì) nên có cận trên đúng hữu hạn:

{
}
**
sup ,
nn
I
SIS
=
≥ . (6.2.7)
Tương tự tập hợp các tổng trên
{
}
n
S bị chặn dưới, nên nó có cận dưới đúng:

{
}
***
*
inf ,
nn
I
SIS II
=
≤≥ vµ (6.2.8)
Hiển nhiên ta có bất đẳng thức:

*

*
n
n
SIIS
≤
≤≤. (6.2.9)
6.2.4 Dấu hiệu tồn tại của tích phân xác định
Định lý 6.2.4 Để hàm bị chặn ()fx khả tích trên đoạn [a,b] điều kiện cần và đủ là:
max
k
k
dx
=
Δ ,
(
)
0
lim 0
n
n
d
SS
→
−
=
. (6.2.10)
Điều kiện (6.2.10) nghĩa là:
0, ( ) 0
ε
δδε

∀> ∃= >, sao cho nếu
δ
<
d thì:
ε
−
<
n
n
SS . (6.2.11)
không phụ thuộc vào cách chọn các điểm
1,
ξ
−
⎡
⎤
∈
⎣
⎦
kkk
x
x .
Chứng minh:
Điều kiện cần: Giả sử
()fx khả tích trên [a,b], khi đó tồn tại giới hạn:
0
lim
σ
→
=

n
d
I

{
}
∀=
k
Tx,
1,kkk
x
x
ξ
−
⎡
⎤
∀∈
⎣
⎦
, 1,kn=
tức là
2
ε
∀
, 0
δ
∃> sao cho nếu d
δ
<
thì

10
22
n
II
ε
ε
σ
−
<<+ T
∀
(6.2.12)
12
, ,
ξ
ξξ
∀
n
.
Từ tính chất 1 và tính chất 2
1
1,
n
[,]
inf sup
22
ξ
ξ
ε
ε

σσ
−
−
∈
⎡⎤
∈
⎣⎦
−≤ ≤ ≤+
kkk
kkk
n
xx
xx
II (6.2.13)
22
ε
ε
−
≤≤≤+
nn
ISSI. (6.2.14)
Từ (6.2.13) và (6.2.14)
0
ε
≤−<
n
n
SS ∀T sao cho
δ
<

d suy ra
(
)
0
lim 0
n
n
d
SS
→
−
=
.
Điều kiện đủ: Giả sử:
()
0
lim 0
n
n
d
SS
→
−=
. (6.2.15)
Khi đó tồn tại giới hạn:
00
lim lim
n
n
dd

SS
→→
= (6.2.16)
Từ đây với (6.2.9) suy ra:
*
*
I
I=

Đặt:
I =
*
*
I
I=
Ta nhận được:
n
n
SIS≤≤ (6.2.17)
Mặt khác:
n
n
n
SS
σ
≤≤
∀
[
]
1

,
kkk
x
x
ξ
−
∈ (6.2.18)
Suy ra:
(
)
nn
nn
n
SS ISS
σ
− − ≤−≤−
{
}
k
Tx∀=
,
[
]
1
,
kkk
x
x
ξ
−

∀∈

Theo (6.2.16) ta thu được
0
lim
σ
→
=
n
d
I
, tức là tích phân xác định tồn tại.
6.3 Các lớp hàm khả tích
Trong phần này chúng ta xét một vài lớp hàm khả tích, tức là các hàm mà tích phân xác
định của nó tồn tại. Trước hết ta hãy viết điều kiện (6.2.10) dưới dạng khác.
Ký hiệu
kkk
M
m
ω
=−, ta có
()
11
nn
n
n
kkk kk
kk
SS Mmx x
ω

−−
−= − Δ= Δ
∑∑
.
Từ đây ta suy ra điều kiện (6.2.10) có dạng:

1
0
lim 0
n
kkk
d
x
ω
=
→
∑
Δ=
. (6.3.1)



11
11
Định lí 6.3.1 Nếu ()
f
x liên tục trên [a,b] thì ()
f
x khả tích trên [a,b].
Chứng minh: Do

()
f
x liên tục trên [a,b] nên liên tục đều trên [a,b], tức là: 0
ε
∀>, 0
δ
∃>
,[a,b]
xx
′
′′
∀∈ sao cho
xx
δ
′′′
−
<
thì
() ()fx fx
ε
′′′
−
<
.
Vì thế,
0
ε
∀>
, có thể tìm được
0

δ
>
sao cho nếu chia đoạn [a,b] thành những đọan nhỏ
có độ dài
k
x
Δ <
δ
(1,)kn=
, thì tất cả:
k
ba
ε
ω
<
−
(1,)kn= .
Từ đây đối với phân điểm bất kì
{
}
k
x
với đường kính d<
δ
ta có:
1
n
kk
k
x

ω
=
Δ
∑
<
ba
ε
−
1
n
k
k
x
=
Δ
∑
=
ba
ε
−
(ba
−
) =
ε
.
Theo định lí 2 6.2.2 hàm
()fx khả tích trên [a.b].
Điều kiện của định lí 1 là quá khắt khe đối với hàm dưới dấu tích phân. Chúng ta hãy
phát biểu( không chứng minh) các định lí yêu cầu những điều kiện tồn tại yếu hơn của tích
phân xác định.

Định lí 6.3.2 Hàm bị chặn và có cùng lắm một số hữu hạn điểm gián đoạn loại một trên [a,b]
thì khả tích trên [
a,b].
Ví dụ 1: Xét hàm số
1 khi 0
0 khi 0
1 khi 0
⎧
⎪
=
⎨
⎪
−
⎩
x
>
y
x=
x
<

trên đoạn [–1,1] (Hình 6.3.1)
Hàm số
y chỉ có một điểm gián đoạn loại một x = 0. Theo định lí trên nó khả tích. Về
phương diện hình học rõ ràng rằng:
I=
1
21
1
0ydx S S

−
=
−=
∫
.

Hình 6.3.1

12
Từ ví dụ trên, ta thấy rằng tính liên tục của hàm số dưới dấu tích phân không phải là điều
kiện cần để hàm số khả tích.
Định lí 6.3.3 Hàm ()fx đơn điệu, bị chặn trên [a,b] thì khả tích trên đoạn này .
Ví dụ 2: Tính tích phân I =
b
x
a
edx
∫
(0 < a < b).
Giải: Bởi vì hàm
f =
x
e liên tục trên [a,b], nên theo định lí 6.3.1 tích phân trên tồn tại. Để
tính tích phân ta hãy chia đoạn [
a,b] thành n phần bằng nhau.
i
ba
x
x
n

−
Δ
==Δ.
Khi đó max 0
i
xΔ→ khi
n →∞
, ta chọn
1
ax
ξ
=
+Δ ,
2
2ax
ξ
=+Δ, ,
i
aix
ξ
=
+Δ ,…,
()
1
1
n
an x
ξ
−
=+ −Δ,

n
anx
ξ
=
+Δ
và lập tổng tích phân:
11
00
()
nn
aix
nii
ii
f
xex
σξ
−−
+Δ
==
=
Δ= Δ
∑∑


()
()
1
2

an x

aaxax
xe e e e
+−Δ
+Δ + Δ
=Δ + + + +
n
σ
=
()
()
1
1
nx
ax
ex e e
−Δ
Δ
Δ+++ =
1
1
ba
a
x
e
ex
e
−
Δ
−
Δ

−

do
ba
x
n
−
Δ=

n
σ
=
1
1
ba
a
x
e
ex
e
−
Δ
−
Δ
−
=
1
ab
x
ee

x
e
Δ
−
Δ
−
.
Theo định nghĩa:
() ()
()
0
lim 1
1
b
xab ab
x
x
a
x
edx e e e e
e
Δ
Δ→
Δ
=− =−−
−
∫

hay
b

x
a
edx
∫
=
()
ba
ee− .
6.4 Các tính chất cơ bản của tích phân
6.4.1 Các tính chất của tích phân xác định




13
13
Định lí 6.4.1 (Tính chất tuyến tính): Nếu f, g là hai hàm khả tích trên [a,b] thì
f
g
α
β
+ , trong
đó
,
α
β
= const, cũng khả tích trên [a,b] và:
()
() () () ()
αβ α β

+= +
∫∫∫
bbb
aaa
f
xgxdx fxdx gxdx. ( 6.4.1)
Chứng minh: Với phân điểm T bất kì và với cách chọn tùy ý (
[
]
1
,
kkk
x
x
ξ
−
∈ ) ta có
[]
()
0
1
() () lim ( )
αβ αξβξ
→
=
+= +Δ⎡⎤
⎣⎦
∑
∫
b

n
kkk
d
k
a
f
xgxdx f g x

00
11
lim ( ) lim ( )
nn
kk kk
dd
kk
f
xfx
αξβξ
→→
==
=
Δ+ Δ
∑∑

Do
f, g khả tích trên [a,b] nên:
[]
() ()
b
a

f
xgxdx
αβ
+
∫
=() ()
bb
aa
f
xdx g xdx
αβ
+
∫∫
, đpcm.
Định lí 6.4.2 Nếu f. g là hai hàm khả tích trên [a,b] thì tích của hai hàm g. f cũng khả tích trên
[
a,b].
Định lí 6.4.3 (Tính chất cộng của tích phân): Cho ba đoạn [a,b], [a,c] và [c,b]. Nếu ()fx khả
tích trên đoạn có độ dài lớn nhất thì nó cũng khả tích trên hai đoạn còn lại và
() () ()
bcb
aac
f
xdx f xdx f xdx=+
∫∫∫
. (6.4.2)
Chứng minh: a) Trước hết giả sử
a < c < b và
()fx
khả tích trên [a,b]. Xét phân điểm T

trong đó
c được chọn làm điểm chia. Khi đó:
bcb
kk kk kk
aac
x
xx
ωωω
Δ
=Δ+Δ
∑∑∑
. (6.4.3)
Vì 0, 0
kkk k
Mm x
ω
=−>Δ> nên vế trái của (6.4.3) tiến tới không kéo theo hai tổng ở vế
phải cũng dẫn tới không. Do đó
f khả tích trên [a,c] và [c,b] .
Mặt khác:
() () ()
bcb
kk kk kk
aac
f
xfxfx
ξξξ
Δ
=Δ+Δ
∑∑∑

Trong cả hai vế của đẳng thức trên cho
0d → ta được
() () ()
bcb
aac
f
xdx f xdx f xdx=+
∫∫∫
.
b) Giả sử
b< a < c và ()fx khả tích trên [b,c]. Khi đó theo chứng minh trên ()fx khả tích
trên [
b,a], và [a,c], ta có

14
() () ()
cac
bba
f
xdx f xdx f xdx=+
∫∫∫
.
Chuyển vế ta được.
() () ()
acc
bba
f
xdx f xdx f xdx−=−+
∫∫∫

hay ( ) ( ) ( )
bcb
aac
f
xdx f xdx f xdx=+
∫∫∫
, (đpcm).
Định lí 6.4.4: Tính khả tích và giá trị của tích phân không thay đổi nếu ta thay đổi giá trị của
nó tại một số hữu hạn điểm.
Định lí 6.4.5: Giả sử ()fx khả tích trên [a,b]
a) Nếu
()
f
x
0≥
x
∀
∈[a,b], a<b , thì
() 0
b
a
fxdx≥
∫
6.4.4)
b) Nếu ( )
f
x >0
x
∀∈[a,b], a<b , thì ( )

b
a
f
xdx
∫
>0. (6.4.5)
Chứng minh: Ta hãy chứng minh tính chất a)
Xét tổng tích phân bất kì của hàm ( )
f
x trên [a,b].
1
()
n
nkk
k
f
x
σξ
=
=
Δ
∑

Bởi vì ( ) 0
k
f
ξ
≥ ,
1
0

kkk
xxx
−
Δ
=− >, k=1,2,…,n
nên
0
lim 0
n
d
σ
→
≥ và ta có ( ) 0
b
a
fxdx≥
∫
.
Định lí 6.4.6 (Tính đơn điệu):
Nếu
[
]
() (), ,
f
xgxxab≤∀∈ thì
() ()
bb
aa
f
xdx g xdx≤

∫∫
. (6.4.6)
Chứng minh: Theo giả thiết ( )
gx
−
()
f
x ≥0
x
∀
∈[a,b] ta có
[]
() () 0
b
a
gx f x dx−≥
∫
.
Mặt khác theo tính chất tuyến tính
[]
() ()
b
a
gx f x dx−
∫
=
()
b
a
gxdx

∫
−
()
b
a
f
xdx
∫
≥ 0.
Từ đây suy ra điều phải chứng minh.



15
15
Định lí 6.4.7 Nếu ()fx khả tích trên [a,b], thỡ
()
f
x
khả tích trên [a,b] và

() ()
bb
aa
f
xdx f x dx≤
∫∫
. (6.4.7)
Chứng minh: Trước hết ta hãy chứng minh
()

f
x khả tích. Do
() () () ()
f
xfy fxfy−≤−

,[a,b]xy∀∈
, nên
()
[]
[]
()
1
1
k
,
k
,
,() sup () ()
sup ( ) ( ) ,
ω
ω
−
−
≤−
≤−=
kk
kk
xx
xx

Tfx fx fx
f
xfy Tf

suy ra:
() ()
() ()
kk
11
,, ,,
nn
kk
kk
Tf Tf x Tf x Tf
ωω ω ω
==
=Δ≤Δ=
∑∑

Từ đây ta thấy:
()
()
0 lim , lim , 0Tf Tf
ωω
≤≤=, nên
(
)
lim ,Tf
ω
=0.

Vậy
f
khả tích trên [a,b]
Hơn nữa
() () ()
f
xfxfx−≤≤
Theo định lí 6.4.6. Ta nhận được
() () ()
bbb
aaa
f
xdx fxdx fxdx−≤≤
∫∫∫

⇒
() ()
bb
aa
f
xdx f x dx≤
∫∫
(đpcm).
Định lí 6.4.8 (Đánh giá tích phân xác định): Nếu m và M tương ứng là giá trị nhỏ nhất và lớn
nhất của hàm
()
f
x trên [a,b], a < b, thì:
m(b–a)
≤

()
b
a
f
xdx
∫
≤
M(b–a). (6.4.8)
Chứng minh: Theo giả thiết
()mfx M≤≤

[
]
,
x
ab∀∈
Suy ra:
m
b
a
dx
∫
≤ ()
b
a
f
xdx
∫
≤ M
b

a
dx
∫

Hay
m(b–a)≤ ()
b
a
f
xdx
∫
≤
M(b – a).

16
Ví dụ: Chứng minh
2
1
0
1
1
x
edx
e
−
≤
≤
∫
.
Giải: Do

f
=
2
x
e
−
đơn điệu giảm trên [0,1] nên
2
10x
ee e
−−
≤
≤
hay
2
1
1
x
e
e
−
≤≤.
Từ bất đẳng thức (6.4.8) ta nhận được.
() ()
2
1
0
1
10 110
x

edx
e
−
−
≤≤−
∫
.
6.4.2 Các định lí giá trị trung bình
Định lí giá trị trung bình thứ nhất: Giả sử
()fx
là khả tích trên [a,b], (a<b) và
[]
a,b
infmf= ,
[]
,
sup .=
ab
M
f Khi đó
μ
∃ ,
mM
μ
≤≤
sao cho

()
()
b

a
f
xdx b a
μ
=
−
∫
. (6.4.9)
Chứng minh: Theo giả thiết ( ) 0
−≥Mfx và ( ) 0
−
≥fx m
x
∀
[a,b]
∈
ta có
()
() 0−≥
∫
b
a
Mfxdx và
()
() 0
−
≥
∫
b
a

fx mdx
Suy ra
() ()
()
b
a
mb a f xdx M b a−≤ ≤ −
∫

Hay
1
()
b
a
mfxdxM
ba
≤≤
−
∫
.
Đặt
1
()
b
a
f
xdx
ba
μ
=

−
∫
. (6.4.10)
Từ đây ta thấy
mM
μ
≤
≤ và
()
()
b
a
f
xdx b a
μ
=
−
∫
. Số
μ
được xác định bởi công thức
(6.4.10) được gọi là giá trị trung bình của hàm
()fx
trên [a,b].
Hệ quả: Nếu
()
f
x
liên tục trên [a,b] thì c
∃

∈[a,b] sao cho
()( )
()
b
a
f
xdx f c b a
=
−
∫
. (6.4.11)



17
17
Từ công thức (6.4.11) suy ra rằng giá trị trung bình của hàm
()
f
x liên tục trên [a,b]
bằng giá trị
()
f
c
của hàm dưới dấu tích phân, trong đó c là điểm nào đó, c thuộc đoạn [a,b].
Định lí giá trị trung bình thứ hai: Giả sử
a) ( )
f
x và tích ( )
f

x ()gx khả tích trên [a,b], a<b
b) ( )
mfx M≤≤ [,],
x
ab
∀
∈
c) ( )
gx không đổi dấu trên [a,b] .
Khi đó với
mM
μ
≤≤
()() ()
bb
aa
f
x g xdx g xdx
μ
=
∫∫
(6.4.11)
Đặc biệt nếu ( )
f
x liên tục trên [a,b] thì với c
∈
[a,b]

()()
b

a
f
xgxdx
∫
=
()
f
c
()
b
a
gxdx
∫
. (6.4.12)
Chứng minh:
Giả sử
()gx ≥ 0 với a< b.
Khi đó
() ()() ()mg x f x g x Mg x≤≤,
Suy ra:
m ()
b
a
gxdx
∫
≤
()()
b
a
f

xgxdx
∫
≤
M ()
b
a
gxdx
∫
. (6.4.13)
Ngoài ra do ( )
gx ≥ 0 nên ( )
b
a
gxdx
∫
≥ 0.
a) Nếu
()
b
a
gxdx
∫
=0, công thức (6.4.11) hiển nhiên đúng
b) Nếu ( )
b
a
gxdx
∫
>0, chia cả hai vế (6.413) cho ( )
b

a
gxdx
∫
ta được
1
()()
()
b
b
a
a
mfxgxdxM
gxdx
≤≤
∫
∫
.
Đặt
()()
()
b
a
b
a
f
xgxdx
gxdx
μ
=
∫

∫
, ta có mM
μ
≤
≤ suy ra điều phải chứng minh
6.5 Nguyên hàm và tích phân xác định

18
Trong ví dụ 1 của mục 6.1 và và ví dụ 2 của mục 6.3 ta thấy rằng nếu chỉ dùng định nghĩa
để tính tích phân xác định thì khối lượng tính toán rất cồng kềnh. Trong mục này ta sẽ đưa ra
cách tính tích phân thuận tiện hơn.
6.5.1 Các định nghĩa
Định nghĩa 1 Cho hàm f: [a,b] → 
Hàm số khả vi
F: [a,b] →  gọi là nguyên hàm của ()fx trên [a,b] nếu
() ()Fx fx
′
=

x
∀
∈ [a,b] (6.5.1)
Tập hợp tất cả các nguyên hàm của
()fx, kí hiệu là
()
f
xdx
∫
(6.5.2)
gọi là tích phân không xác định của

()fx.
Định nghĩa 2 Cho ()fx khả tích trên [a,b], khi đó
x
∀
∈
[a,b] hàm ()fx khả tích trên [a,x]
(hình 6.5.1). Ta có thể xét hàm số
φ
:[a,b]
→
 cho bởi
() ()
x
a
x
ftdt
φ
=
∫
. (6.5.3)
Hàm ( )
x
φ
gọi là tích phân xác định như hàm của cận trên.

Hình 6.5.1
6.5.2 Tích phân xác định như hàm của cận trên
Định lí 6.5.1 Nếu f(x) liên tục trên [a,b] thì
φ
là một nguyên hàm của f, tức là

()
x
φ
′
=
()
f
x
x
∀
∈ [a,b]. (6.5.4)
Chứng minh: Cho
x∈ [a,b], với h đủ bé theo định lý trung bình thứ nhất ta có
( ) ( ) () ()
φφ
+
+− = −
∫∫
xh x
aa
x
h x ftdt ftdt ()
+
=
∫
xh
x
f
tdt
[

]
( ) () ().
φφ
+− =
x
hxfchh (6.5.5)



19
19
trong đó
[]
() ,ch xx h∈+

Suy ra
()
()
00
()
() lim lim
hh
xh x
xfch
h
φφ
φ
→→
+−
′

===
⎡
⎤
⎣
⎦
()
f
x
(khi
()
0,hchx→→)
Vậy ( )
x
φ
là nguyên hàm của ( )
f
x .
Định lí 6.5.2 Nếu ( )
f
x khả tích trên [a,b] thì ( )
x
φ
liên tục trên [a,b]
Chứng minh: Lấy
x tùy ý, x∈[a,b] . Cho x một số gia tùy ý
x
h
Δ
=
sao cho x + h∈[a,b]. Khi

đó theo định nghĩa ta có:
()
x
h
φ
+
()
xh
a
f
tdt
+
=
∫
=()
x
a
f
tdt
∫
+()
xh
x
f
tdt
+
=
∫

()

x
φ
+
()
xh
x
f
tdt
+
∫

Theo định lí giá trị trung bình:
()
x
h
φ
+
−
()
x
φ
()
+
=
∫
xh
x
f
tdt
= h

μ
(6.5.6)
trong đó
mM
μ
′′
≤≤
với
[]
in
′
=
x,x+h
mf,
[]
sup
′
=
x,x+h
M
f
Gọi
[]
[]
,
,
in , sup==
ab
ab
mfM f

. Hiển nhiên mM
μ
≤
≤ . Bây giờ cho 0h → , hiển nhiên có:
()
x
h
φ
+ ()
φ
−
x
0→ , hay là ( )
x
h
φ
+
→ ()
x
φ
, điều này chứng tỏ tính liên tục của ( )
x
φ
.
Định lí 6.5.3 Giả sử ()fx liên tục trên [a,b], còn ( )Fx là một nguyên hàm của ()fx. Khi đó:
()
b
a
f
xdx

∫
= () () ()−=
b
a
Fb Fa Fx (6.5.7)
Chứng minh: Ta thấy ( )
x
φ
= ()
x
a
f
tdt
∫
là một nguyên hàm của f. Do đó:
∃
∈C sao cho
()
x
a
ftdt
∫
()Fx
=
+C. (6.5.8)

Thay x = a vào (6.5.8) ta được C =− ()Fa. Do đó
()
x
a

ftdt
∫
() ()Fx Fa
=
− . (6.5.9)
Thay
x = b vào (6.5.9) ta có
()
b
a
fxdx
∫
= () ()Fb Fa
−

Công thức (6.5.7) gọi là công thức Newton – Leibnitz.
Ví dụ 1:

20
1
1
2
2
0
0
1121
1
ln ln( ) ln
dx
xx

x
=++=+−
+
∫
12ln( )=+.
Ví dụ 2: Tìm giá trị trung bình của hàm y = sinx trên đoạn
[
]
0,
π
, ta có
()
0
0
11 2
() sin os
fc xdx c
π
π
π
ππ
==−=
∫
x .
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của tích phân sau
a)
2
sin
x
a

d
tdt
dx
∫
b)
2
1
b
a
d
tdt
da
+
∫
c)
2
sin
b
a
d
x
dx
dx
∫
.
Giải: a)
2
sin
x
a

d
tdt
dx
∫
=
2
sin
x
.
b)
2
1
b
d
tdt
da
a
+
∫
=
22
11
a
b
d
tdt a
da
⎛⎞
−+ =−+
⎜⎟

⎝⎠
∫
.
c)
2
sin
b
a
d
x
dx
dx
∫
= 0.
6.6 Tính tích phân xác định
6.6.1 Phép đổi biến trong tích phân xác định
Giả sử để tính tích phân ( )
b
a
f
xdx
∫
, trong đó ( )
f
x liên tục trên [a,b] ta cần đưa vào biến số
mới
()
x
t
ϕ

=
,
[
]
,t
α
β
∀∈ (6.6.1)
trong đó ( )
t
ϕ
là hàm khả vi liên tục trên
[
]
,
αβ
và ( ) a
ϕ
α
=
, ( ) b
ϕ
β
=
.
Giả sử
()Fx là nguyên hàm của ()
f
x , tức là ( )
f

xdx
∫
()Fx
=
+C.
Sử dụng phép đổi biến (6.6.1) ta được
dx = ()tdt
ϕ
′
và
[
]
[
]
() () ()
f
ttdtFtC
ϕϕ ϕ
′
=
+
∫
.
Sử dụng công thức Newton – Leibnitz ta được
()
b
a
f
xdx
∫

= ()
b
a
Fx = ( ) ( )Fb Fa
−
(6.6.2)
và
[] []
() () ()
f
ttdtFt
β
β
α
α
ϕϕ ϕ
′
=
∫




21
21
=
[
]
[
]

() ()FF
ϕβ ϕ
α
−
= ( ) ( )Fb Fa
−
(6.6.3)
Từ (6.6.2) và (6.6.3) suy ra công thức
()
b
a
f
xdx
∫
=
[]
() ()
β
α
ϕϕ
′
∫
f
ttdt
. (6.6.4)
Ví dụ 1: a) Tính tích phân
22 2
1
0
a

I
xa xdx=−
∫

Đặt: .sin , . ostdt
xa tdxac==
()
44
222
422 2
000
I=a sin os sin 2 1 os4t
48
aa
tc tdt tdt c dt
πππ
=
=− =
∫∫∫

=
44
2
0
sin 4
84 16
π
π
⎛⎞
−=

⎜⎟
⎝⎠
ata
t
.
b)
2
2
2
0
sinx.cos
I
xdx
π
=
∫
.
Ta thấy
1
01
3
2
22
2
010
0
1
os dcos
33
π

=− =−===
∫∫∫
u
Icxxuduudu .
c) Tính
()
2
3
3
2
4
1tg
1tg
π
π
+
=
+
∫
x
I
dx
x

đặt
2
1
tg arctgu, d =
1+u
=⇒=uxx x du

() ()
3
33
2
3
22
2
1
11
11
11
11
udu du
I
uu
uu
+
===−
++
++
∫∫

1123
22
31
−
⎡⎤
=− − =
⎢⎥
+

⎣⎦
.
d) Tính
2
4
0
2os+3
π
=
∫
dx
I
cx
. Đặt tg
2
=
x
t 2arctg ,⇒=
x
t
2
2
d=
1
+
x
t

11
2

4
2
2
00
2
2
2
1
1
5
23
1
t
I
dt dt
t
t
t
+
==
−
+
+
+
∫∫


22
1
0

221
arctg arctg
5555
t
==

e) Tính
2
5
22 22
0
sin os
dx
I
axbcx
π
=
+
∫
(a,b>0)
5
I
()
2
222 2
0
cos tg
π
=
+

∫
dx
x
axb
22
2
22 2 2
2
00
2
tg 1 tg
b
tg +b
tg +
ππ
==
∫∫
dx dx
ax a
x
a

2
2
0
11 tg 1
. .arctg 0
22
π
π

π
⎛⎞
⎜⎟
⎛⎞
==−=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎜⎟
⎝⎠
x
bb
aabab
aa
.
6.6.2 Phép lấy tích phân từng phần
Giả sử
()
ux
và v()
x
là hai hàm khả vi liên tục trên [a,b]. Ta có
()
vvv
′
′′
=+
uuu
Từ đây
v(v) v

′
′′
=−uuu.
Lấy tích phân hai vế của công thức này từ a đến b ta nhận được
()
vvv
′
′
′
=−
∫∫ ∫
bb b
aa a
udx u dx udx.
hay
vv v=−
∫
∫
bb
b
a
aa
ud u du
. (6.6.5)
Công thức (6.6.5) được gọi là công thức tích phân từng phần.
Ví dụ 2: a) Tính
4
1
3
0

sin
cos
π
=
∫
x
x
I
dx
x

Đặt
-3
33 2
sin sin 1
,coscos=
os cos 2cos
== ⇒= =−
∫∫
xx
u x dv dx v dx xd x
cx x x

4
4
4
1
22
0
0

0
11 1 1
tg
2cos 2 cos 4 2 4 2
π
π
π
ππ
=− =−=−
∫
x
Idxx
xx
.
b) Tính
1
2
0
()
I
xf x dx
′′
=
∫




23
23

11
11
2
00
00
() () () () ()
′′ ′ ′
==−=−
∫∫
I
xd f x xf x f x dx f x f x

(1) (1) (0)
f
ff
′
=−+
.
c) Tính
1
4
3
0
arcsin
I
xdx=
∫

Đặt arcsin sin , ostdttxxtdxc=⇒==
22

44
3
00
ost dsin
I
tc dt t t
ππ
==
∫∫
2
43
2
0
0
sin 4 sintt ttdt
π
π
=−
∫

4
2
3
4cos
16
0
π
π
=+
∫

td t
44
22
32 2
2
3
0
00
4 ost 3 ost 12 sin
16 16
|
ππ
π
ππ
⎡⎤
⎢⎥
=+ − =−
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
∫∫
Itctcdt tdt
44
22
22
0
00
12 sin 2 sin 3 24 os
16 16
ππ

π
ππ
π
⎡⎤
⎢⎥
=− − =− −
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
∫∫
tt ttdt tdct
44
22
22
2
0
00
3 24. cos ost 3 24 ost
16 16
ππ
π
ππ
ππ
⎡⎤
⎢⎥
=− − − =− +
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
∫∫

tt cdt cdt

4
2
3
324
16
π
π
=− +I
Ví dụ 3: Tính tích phân
()
22
a
n
a
I
xadx
−
=−
∫
với n nguyên dương
Giải:
()() ()()
1
1
1
+
−−
=− + = − +

+
∫∫
aa
nn n n
aa
Ixaxadx xadxa
n


()() ()()
111
1
1
++−
−
−
⎡⎤
=−+−+−
⎢⎥
+
⎣⎦
∫
a
a
nn n n
a
a
x
axa nxa xadx
n

()( )
()()
12
12
−+
−
−
=−+
++
∫
a
nn
a
n
Ixadxa
nn

()( )
()() ()( )( )
12 22
1
12
−+ +−
−
−
⎡⎤
−
=−+−−+−
⎢⎥

++
⎣⎦
∫
a
a
nn nn
a
a
n
x
axa n xa xadx
nn


24
………………………………………………………………….
()
()
()( )( )
21
1!
1 2 2 1
+
−
+
=−
++ +
a
n
n

a
xa
n
nn n

()
()
()( )( )
()()()
()
21
221
21!2
1!
12 21 21!
+
+
−
=− =
++ + +
n
nn
n
ana
In
nn n n
.
Ví dụ 4: Xây dựng công thức truy hồi cho các tích phân
2
0

sin
n
n
I
xdx
π
=
∫
và
2
0
os
n
n
Jcxdx
π
=
∫
.
Giải: Trong tích phân
n
J ta sử dụng phép đổi biến

2
x
tdxdt
π
=−⇒ =−
, ta có
0

2
0
2
os sin
2
nn
nn
Jc tdt tdtI
π
π
π
⎛⎞
=−==
⎜⎟
⎝⎠
∫∫

Vì lí do đó ta chỉ xây dựng công thức truy hồi cho tích phân
n
I

22
11
00
sin sin sin cos
nn
n
I
xxdx xd x
ππ

−−
==−
∫∫

()
2
12
2
0
0
sin cos 1 cos sin cos
nn
n
I
xx n x xxdx
π
π
−−
⎡⎤
⎢⎥
=− − −
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
∫


()
()
2

22
0
1 sin 1 sin
π
−
=− −
∫
n
nxxdx
Suy ra:
() ()
2
11
nn n
I
nI nI
−
=− −− hay
2
1
nn
n
I
I
n
−
−
=
Từ đây ta nhận được công thức:
22

2
00
1
sin sin
nn
n
x
dx xdx
n
ππ
−
−
=
∫∫
với n>1. (6.6.6)
Áp dụng liên tiếp công thức (6.6.6) đối với tích phân ở vế phải ta được



25
25
22
2
00
212331
sin . .
22242
m
mm
x

dx dx
mm
ππ
−−
=
−
∫∫

22
21
00
22242
sin . . sin
212153
m
mm
x
dx xdx
mm
ππ
+
−
=
+−
∫∫

2
2
0
212331

sin .
222422
π
π
−−
=
−
∫
m
mm
xdx
mm
(6.6.7)
Và
2
21
0
22242
sin . .
212153
m
mm
xdx
mm
π
+
−
=
+−
∫

. (6.6.8)
Ví dụ 5: Xây dựng công thức truy hồi cho tích phân:
2
a
0
sin
π
=
∫
xn
n
I
exdx.
Giải: Ta thấy
2
a
0
1
sin
π
=
∫
nx
n
I
xde
a

2
aa1

2
0
0
1
sin sin os
π
π
−
⎡⎤
⎢⎥
=−
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
∫
nx xn
x
ene xcxdx
a

2
a
1a
2
2
0
1
sin os
π
π

−
=−
∫
nx
n
excxde
aa

a
2
1
=
π
I
e
a
()
2
a1 a 22 1
2
2
0
0
sin os 1 sin cos sin sin
π
π
−−−
⎧⎫
⎪⎪
⎡

⎤
−−−−
⎨⎬
⎣
⎦
⎪⎪
⎩⎭
∫
xn x n n
n
excxen xx xxdx
a

=
()
22
a
a22 a
2
22
00
1
1sin os sin
ππ
π
−
+− −
∫∫
xn xn
nn

enexcxdxexdx
aa a

()
()
2
a
a2 2
2
2
0
1
1
sin 1 sin
π
π
−
−
=+ −
∫
xn
n
nn
I
eexxdx
aa
2
a
2
0

sin
π
−
∫
xn
n
exdx
a

()
2
a
a2
2
2
0
1
1
sin
π
π
−
−
=+ −
∫
xn
n
nn
I
eexdx

aa

()
22
aa
22
00
1
sin sin
−
−
∫∫
ππ
xn xn
nn
n
exdx exdx
aa