Tài liệu hướng dẫn tự học hình học 11

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11
CHƯƠNG I. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
oOo
 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Vectơ:
a) Các định nghĩa:
• Độ dài vectơ
AB
kí hiệu
AB
bằng độ dài đoạn thẳng AB.
• Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song
song hoặc trùng nhau.
• Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và
cùng độ dài.
• Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và
cùng độ dài. Vectơ đối của vectơ
a

kí hiệu là -
a

; vectơ đối của
MN
là
NM
nên ta có
NMMN
=−
.
• Hai vectơ

a

và
b

cùng phương  ∃k ∈ R:
a

= k
b

.
•
0. =⇔⊥ baba




• Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình
bình hành thì:
ACADAB
=+
• Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta có:
ACBCAB
=+
CBACAB =−
• A, B, C thẳng hàng 
ACkAB
=
, k ∈ R

• I là trung điểm AB 
0

=+
IBIA
• G là trọng tâm ∆ABC 
0

=++
GCGBGA
b) Tọa độ vectơ và tọa độ điểm:
Cho hai vectơ
u

= (u
1
; u
2
),
v

= (v
1
; v
2
), ta có:
•
vu

+

= (u
1
+ v
1
; u
2
+ v
2
)
•
vu

−
= (u
1
- v
1
; u
2
- v
2
)
• k
u

= (ku
1
; ku
2
)

•
vu

.
= u
1
v
1
+ u
2
v
2
•
2
2
2
1
uuu
+=

•



=
=
⇔=
22
11
vu

vu
vu

Cho hai điểm A(x
A
; y
A
), B(x
B
;y
B
), ta có:
•
AB
= (x
B
- x
A
; y
B
- y
A
)
• AB =
AB
• Tọa độ trung điểm của AB: I(
2
;
2
BABA

yyxx
++
)
• Tọa độ trọng tâm ∆ABC: G(
3
;
3
CBACBA
yyyxxx
++++
)
2. Đường thẳng trong mặt phẳng:
• Phương trình tham số của đường thẳng ∆:



= b)(a;VTCPcoù
)y;M(xquañi
00
u
là ∆:



+=
+=
btyy
atxx
0
0

.
• Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆:



= B)(A;VTPTcoù
)y;M(xquañi
00
n
là: A(x - x
0
) + B(y - y
0
) = 0.
Phương trình Ax + By + C = 0 là phương trình đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến
);( BAn
=

.
• Nếu đường thẳng d có vectơ chỉ phương
);( bau
=

thì d có một vectơ pháp tuyến
);( abn
−=

. Nếu đường
thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến
n


= (A; B) thì ∆ có một vectơ chỉ phương là
);( ABu
−=

.
• Đường thẳng song song đường thẳng ∆: Ax + By + C = 0 có dạng: Ax + By + C
1
= 0 (C ≠ C
1
).
• Đường thẳng vuông góc đường thẳng ∆: Ax + By + C = 0 có dạng: -Bx + Ay + C
2
= 0.
Tài liệu lưu hành nội bộ
1
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11
3. Đường tròn:
• Đường tròn (C):



Rkínhbaùn
baItaâm );(
có phương trình: (x - a)
2
+ (y - b)
2
= R
2

.
• Phương trình x
2
+ y
2
- 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ khi a
2
+ b
2
- c > 0.
Khi đó (C) có tâm I(a; b) và bán kình là R =
cba
−+
22
.
 Ghi chú:

Tài liệu lưu hành nội bộ
2
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11
§1. PHÉP BIẾN HÌNH
 Trong mặt phẳng cho đường thẳng d và điểm M. Dựng hình chiếu vuông góc M' của điểm M lên đường thẳng d. Dựng được
bao nhiêu điểm M' như thế?
ĐỊNH NGHĨA:
Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M' của mặt phẳng đó
được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.
Nếu kí hiệu phép biến hình là F thì taviết F(M) = M' hay M' = F(M) và gọi điểm M' là ảnh của điểm M qua
phép biến hình F.
Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H' = F(H) là tập hợp các điểm M' = F(M), với mọi
điểm M thuộc H. Khi đó ta nói F biến hình H thành hình H', hay hình H' là ảnh của hình H qua phép biến hình
F.
Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.
 Cho trước số a dương, với mỗi điểm M trong mặt phẳng, gọi M' là điểm sao cho MM' = a. Quy tắc đặt tương ứng điểm M với
điểm M' nêu trên có phải là một phép biến hình không? vì sao?

 Ghi chú:











CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI







Tài liệu lưu hành nội bộ
3
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11
§2. PHÉP TỊNH TIẾN
I- ĐỊNH NGHĨA:
Trong mặt phẳng cho vectơ
v

. Phép biến hình biến mỗi điểm
M thành điểm M' sao cho

'MM
=
v

được gọi là phép tịnh tiến
theo vectơ
v

.
• Phép tịnh tiến theo vectơ
v

thường được kí hiệu là
v
T

,
v

được gọi là vectơ tịnh tiến.
• Vậy:
vMMMMT
v


=⇔= '')(
• Phép tịnh tiến theo vectơ - khơng chính là phép đồng nhất.
 Cho hai tam giác đều ABE và BCD bằng nhau. Tìm
phép tịnh tiến biến ba điểm A, B, E theo thứ tự thành ba
điểm B, C, D.

Phép tịnh tiến theo vectơ
v

biến hình H thành hình H'
Ví dụ: Dựng ảnh của các hình sau đây qua phép tònh theo vectơ
v

II- TÍNH CHẤT:
Tính chất 1: Nếu
')( MMT
v
=

,
')( NNT
v
=

thì
MNNM
=
''
và từ đó suy ra M'N' = MN. Hay phép tònh tiến
bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Tính chất 2: Phép tònh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn
thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn
có cùng bán kính.
III- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ
v


= (a; b), với mỗi điểm M(x; y). Gọi M'(x'; y') là ảnh của M qua
phép tònh tiến theo vectơ
v

, khi đóù:



+=
+=
byy
axx
'
'
(biểu thức tọa độ của phép tònh tiến
v
T

)
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ
v

= (1; 2). Tìm tọa độ của điểm M' là ảnh của điểm M(3; -1) qua phép tịnh tiến
v
T

.
Ví dụ1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
v


= (-2; 3) và đường thẳng d có phương trình 3x - 5y + 3 = 0. Viết
phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến
v
T

.
Giải:




Tài liệu lưu hành nội bộ
4
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11

Ví dụ2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x
2
+ y
2
- 2x + 4y - 4 = 0. Tìm ảnh
của (C) qua phép tònh tiến theo vectơ
v

= (-2; 3).
Giải:

 Ghi chú:











BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ
AD
.
Bài 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Xác điïnh ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ
AG
. Xác định điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ
AG
biến D thành A.
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
v

= (2; -1), điểm M(3; 2). Tìm tọa độ của các điểm A sao cho:
a) A =
)(MT
v


; b) M =
)(AT
v

.
Tài liệu lưu hành nội bộ
5
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ
v

= (-1; 2), hai điểm A(3; 5), B(-1; 1) và đường thẳng d có
phương trình x - 2y + 3 = 0.
a) Tìm tọa độ của các điểm A', B' theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo vectơ
v

.
b) Tìm tọa độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo
v

.
c) Tìm phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo
v

.
Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x - 1)
2
+ (y + 2)
2

= 9. Tìm ảnh của
(C) qua phép tịnh tiến theo vectơ
v

= (-2; 5).
Bài 6: Chứng minh rằng: M' =
)'()( MTMMT
vv

−
=⇔
.
Bài 7: Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến a thành b. Có bao
nhiêu phép tịnh tiến như thế.
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho
v

= (-2; 1), đường thẳng d có phương trình 2x - 3y + 3 = 0, đường thẳng d
1
có phương trình 2x - 3y - 5 = 0.
a) Viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua
v
T

.
b) Tìm tọa độ của
w

có giá vuông góc với đường thẳng d để d

1
là ảnh của d qua
w
T

.
Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x - y - 9 = 0. Tìm phép tịnh tiến theo vectơ
có phương song song với trục Ox biến d thành đường thẳng d' đi qua gốc tọa độ và viết phương trình đường
thẳng d'.
Bài 3: Cho hai điểm phân biệt B và C cố định trên đường tròn (O) tâm O, điểm A di động trên đường tròn
(O). Chứng minh rằng khi A di động trên đường tròn (O) thì trực tâm của tam giác ABC di động trên một đường
tròn.
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI





Tài liệu lưu hành nội bộ
6
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11
§3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
I- ĐỊNH NGHĨA:
Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M khơng thuộc
d thành M' sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM' được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay
phép đối xứng trục.
Đường thẳng d được gọi là trục của phép đối xứng
trục hoặc đơn giản là trục đối xứng.
Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là Đ
d

.
Nếu hình H' là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d thì ta còn nói H đối xứng với H' qua d, hay H và H'
đối xứng với nhau qua d.
* Nhận xét:
• Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M, gọi M
0
là hình chiếu vng góc của M trên đường thẳng d. Khi
đó: M' = Đ
d
(M) ⇔
MMMM
00
' −=
.
• M' = Đ
d
(M) ⇔ M = Đ
d
(M').
Ví dụ 1: Cho hình thoi ABCD. Tìm ảnh của các điểm A, B, C, D qua phép đối xứng trục AC.
Giải:

Ví dụ 2: Dựng ảnh của các hình sau đây qua phép đối xứng trục Đ
d
:
II- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ
Tài liệu lưu hành nội bộ
7
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11
1) Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng
với đường thẳng d. Với mỗi điểm M(x; y), gọi
M' = Đ
d
(M) = (x'; y') thì:



−=
=
yy
xx
'
'
Biểu thức tọa độ của phép Đ
Oy
2) Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Oy trùng
với đường thẳng d. Với mỗi điểm M(x; y), gọi
M' = Đ
d
(M) = (x'; y') thì:




=
−=
yy
xx
'
'
Biểu thức tọa độ của phép Đ
Oy
 Tìm ảnh của các điểm A(1; 2), B(5; 0) qua phép đối xứng trục Ox và Oy.
Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1; 5), đường thẳng d có phương trình x - 2y + 4 = 0 và đường tròn
(C) có phương trình x
2
+ y
2
- 2x + 4y - 4 = 0. Tìm ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng trục Ox.
Giải:

III- TÍNH CHẤT:
Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng
bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
IV- TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH:
Đònh nghóa: Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua d biến H thành
chính nó. Khi đó ta nói H là hình có trục đối xứng.
Ví dụ: Dựng trục đối xứng (nếu có) của các hình sau đây:
 Ghi chú:


Tài liệu lưu hành nội bộ
8
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11





BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; -2) và B(3; 1). Tìm ảnh của A, B và đường thẳng AB qua
phép đối xứng trục Ox.
Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x - y + 2 = 0. Viết phương trình của đường
thẳng d' là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy.
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Xác định ảnh của tam giác ABE qua

phép đối xứng qua đường thẳng CD.
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(3; -5), đường thẳng d có phương trình 3x + 2y - 6 = 0 và
đường tròn (C) có phương trình x
2
+ y
2
- 2x + 4y - 4 = 0. Tìm ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng trục Oy.
Bài 5: Trong các chữ cái sau đây, chữ nào có trục đối xứng?
V I E T N A M W T O
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1; 5), đường thẳng d có phương trình x - 2y + 4 = 0. Tìm ảnh của
M qua Đ
d
.
Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x - 5y + 7 = 0 và đường thẳng d' có phương
trình 5x - y - 13 = 0. Tìm phép đối xứng qua trục biến d thành d'.
Bài 3: Chứng minh rằng đồ thị hàm số chẵn luôn có trục đối xứng.
Bài 4: Cho hai đường tròn (C) và (C') có bán kính khác nhau và đường thẳng d. Hãy dựng hình vuông ABCD
có hai đỉnh A, C lần lượt nằm trên (C) và (C') còn hai đỉnh kia nằm trên d.
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI







Tài liệu lưu hành nội bộ
9
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11

§4. PHÉP QUAY
I- ĐỊNH NGHĨA:
Cho điểm O và góc lượng giác α. Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành
M' sao cho OM' = OM và góc lượng giác (OM; OM') bằng α được gọi là phép quay tâm O góc α.
Điểm O được gọi là tâm quay còn được gọi là góc
quay của phép quay đó.
Phép quay tâm O góc thường được kí hiệu là Q
(O, )
.
* Nhận xét:
1) Chiều dương của phép quay là chiều dương của
đường tròn lượng giác nghĩa là chiều ngược với chiều quay của
kim đồng hồ.

Chiều quay dương Chiều quay âm
2) Với k là số nguyên ta luôn có:
• Phép quay Q
(O; 2k
π
)
là phép đồng nhất.
• Phép quay Q
(O; (2k + 1)
π
)
là phép đối xứng tâm O.
 Cho hai điểm A, B bất kì và điểm O không nằm trên đường thẳng AB. Tìm ảnh của A, B qua phép quay tâm O, góc quay -90
0
.
Chứng minh AB = A'B'.

II- TÍNH CHẤT:
Tính chất 1: Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Tính chất 2: Phép quay biến đường thẳng thành
đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng
nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường
tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
* Nhận xét: Phép quay góc với 0 < <   π, biến
đường thẳng d thành đường thẳng d' sao cho góc giữa
d và d' bằng (nếu 0 <   ≤
2
π
), hoặc bằng π - 
(nếu
2
π
≤ π
Ví dụ1: Cho tam giác ABC và điểm O nằm khác phía với điểm C so với đường thẳng AB. Xác định ảnh của
tam giác ABC qua phép quay tâm O góc quay 60
0
.
Giải:
Tài liệu lưu hành nội bộ
10
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(3; 4). Hãy tìm tọa độ điểm A' là ảnh của A qua phép quay
tâm O góc 90
0
.
Giải:

 Ghi chuù:



BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Cho hình vuông ABCD tâm O.
a) Tìm ảnh của điểm C qua phép quay tâm A góc 90
0
.
b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O góc 90
0
.
Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2; 0) và đường thẳng d có phương trình x + y - 2 = 0. Tìm
ảnh của A và d qua phép quay tâm O góc 90
0
.
Bài 3: Cho hình vuông ABCD tâm O. M là trung điểm của AB, N là trung điểm của OA. Tìm ảnh của tam
giác AMN qua phép quay tâm O góc 90

0
.
Bài 4: Cho lục giác đều ABCDEF, O là tâm đối xứng của nó, I là trung điểm của AB.
a) Tìm ảnh của tam giác AIF qua phép quay tâm O góc 120
0
.
b) Tìm ảnh của tam giác AOF qua phép quay tâm E góc 60
0
.
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C, điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Dựng về một phía của đường
thẳng AC các tam giác đều ABE và BCF.
a) Chứng minh rằng AF = EC và góc giữa hai đường thẳng AF và EC bằng 60
0
.
b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm AF và EC. Chứng minh ∆BMN đều.
Bài 2: Cho hai đường thẳng a, b và điểm C không nằm trên chúng. Hãy tìm trên a và b lần lượt hai điểm A và
B sao cho ∆ABC là tam giác đều.
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI





Tài liệu lưu hành nội bộ
11
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11
§5. KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU
I- KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH:
Định nghĩa:

Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Nếu phép dời hình F biến các điểm M, N lần lượt thành các điểm M', N' thì MN = M'N'.
* Nhận xét:
1) Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là các phép dời hình.
2) Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một phép dời hình.
Ví dụ: Cho tam giác ABC. Tìm ảnh của ∆ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép
quay tâm B góc 90
0
và phép tịnh tiến theo vectơ
AB
.
 Cho hình vuông ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Tìm ảnh của các điểm A, B, O qua phép dời hình có được bằng
cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 90
0
và phép đối xứng qua đường thẳng BD.
II- TÍNH CHẤT:
Phép dời hình biến:
1) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm;
2) Đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;
3) Tam giác thành tam giác bằng nó, góc thành góc bằng nó;
4) Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
* Chú ý:
a) Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC
thành tam giác A'B'C' thì nó cũng biến trọng tâm,
trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của
tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm,
tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác
A'B'C'.
b) Phép dời hình biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, biến cạnh thành cạnh.
Ví dụ: Cho lục giác đều ABCDEF, O là tâm đường

tròn ngoại tiếp của nó. Tìm ảnh của tam giác OAB qua
phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp
phép quay tâm O, góc 60
0
và phép tịnh tiến theo vectơ
OE
.
Giải:




Tài liệu lưu hành nội bộ
12
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11




 Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, H, I theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, EF. Hãy tìm một phép dời hình
biến tam giác AEI thành tam giác FCH.
III- KHÁI NIỆM HAI HÌNH BẰNG NHAU:
Định nghĩa: Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có
một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
 Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD và BC. Chứng minh
rằng các hình thang AEIB và CFID bằng nhau.
 Ghi chú:


BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A(-3; 2), B(-4; 5) và C(-1; 3).
a) Chứng minh rằng các điểm A'(2; 3), B'(5; 4) và C'(3; 1) theo thứ tự là ảnh của A, B và C qua phép
quay tâm O góc -90
0
.
b) Gọi tam giác A
1
B
1
C
1
là ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên
tiếp phép quay tâm O góc -90
0
và phép đối xứng qua trục Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác A
1
B
1
C
1
.
Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, H, K, O, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD,
DA, KF, HC, KO. Chứng minh hai hình thang AEJK và FOIC bằng nhau.
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
v

=(3; 1) và đường thẳng d: 2x - y = 0. Tìm ảnh của d qua phép dời
hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 90
0

và phép tịnh tiến theo vectơ
v

.
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi O là tâm đối xứng của nó; E, F, G, H, I, J theo thứ tự là trung điểm của
các cạnh AB, BC, CD, DA, AH, OG. Chứng minh rằng hai hình thang AIOE và GJFC bằng nhau.
Bài 2: Cho hình vuông ABCD có tâm I. Trên tia BC lấy điểm e sao cho BE = AI. Xác định một phép dời hình
biến A thành B và I thành E, dựng ảnh của hình vuông ABCD qua phép dời hình ấy.
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI



§6. PHÉP VỊ TỰ
I- ĐỊNH NGHĨA:
Định nghĩa: Cho điểm O và số k ≠ 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho
OMkOM .'
=
được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k.
Phép vị tâm O, tỉ số k thường được kí hiệu là V
(O,k)
.
Ví dụ:
Tài liệu lưu hành nội bộ
13
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11
Phép vị tự tâm O tỉ số Phép vị tự tâm O tỉ số
* Nhận xét:
1) Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.
2) Khi k = 1, phép vị tự là phép đồng nhất.

3) Khi k = -1, phép vị tự là phép đối xứng qua tâm vị tự.
4) M' = V
(O,k)
(M) ⇔ M =
)'(
)
1
,(
MV
k
O
.
 Cho tam giác ABC. Gọi E và F tương ứng là trung điểm AB và AC. Tìm một phép vị tự biến B và C tương ứng thành E và F.
II- TÍNH CHẤT:
• Tính chất 1: Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm
M, N tùy ý theo thứ tự thành M', N' thì
MNkNM .''
=
và M'N' =
k
.MN
• Tính chất 2: Phép vị tự tỉ số k:
a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm
thẳng hàng và bảo tồn thứ tự giữa các điểm;
b) Biến đường thẳng thành đường thẳng song
song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn
thẳng thành đoạn thẳng;
c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với
nó, biến góc thành góc bằng nó;
d) Biến đường tròn bán kính R thành đường

tròn bán kính
k
R.
 Cho tam giác ABC có A', B', C' theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Tìm một phép vị tự biến tam giác ABC
thành tam giác A'B'C'.
Ví dụ 1: Cho điểm O và đường tròn (I; R). Tìm ảnh của đường tròn đó qua phép vị tự tâm O tỉ số -2.
Giải:






Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x + 2y - 6 = 0. Hãy viết phương
trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép vò tự tâm O tỉ số k = 2.
Giải:










Tài liệu lưu hành nội bộ
14
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11
 Ghi chuù:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và H là trực tâm. Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm H,
tỉ số
2
1
.
Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x - 3)
2
+ (y + 1)
2
= 9. Hãy viết
phương trình đường tròn (C') là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I(1; 2) tỉ số k = -2.
Bài 3: Chứng minh rằng khi thực hiện liên tiếp hai phép vị tự tâm O sẽ được một phép vị tự tâm O.
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Cho tam giác ABC có hai góc B, C đều nhọn. Dựng hình chữ nhật DEFG có EF = 2DE với hai đỉnh D,
E nằm trên BC và hai đỉnh F, G lần lượt nằm trên AC, AB.
Bài 2: Cho nửa đường tròn đườn kính AB. Hãy dựng hình vuông có hai đỉnh nằm trên nửa đường tròn, hai
đỉnh còn lại nằm trên đường kính AB của nửa đường tròn đó.
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

Tài liệu lưu hành nội bộ
15
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11
§7. PHÉP ĐỒNG DẠNG
I- ĐỊNH NGHĨA:
Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k
(k > 0), nếu với hai điểm M, N bất kì và ảnh M', N'
tương ứng của chúng ta luôn có M'N' = kMN.
* Nhận xét:
a) Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1.
b) Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số
k
.
c) Nếu thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k và phép đồng dạng tỉ số p ta được phép đồng dạng tỉ số
pk.
II- TÍNH CHẤT:
Phép đồng dạng tỉ số k:
a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy;
b) Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng;
c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó;
d) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính kR.
* Chú ý:
a) Nếu một phép đồng dạng biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' thì nó cũng biến trọng tâm, trực
tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các
đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác A'B'C'.
b) Phép đồng dạng biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, biến cạnh thành cạnh.
 Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép đồng dạng F có được từ việc thực hiện liên tiếp hai phép vị tự tâm I tỉ số
2
1

và phép
quay tâm I góc quay 90
0
. Nhận xét hai tam giác trên.
III- HÌNH ĐỒNG DẠNG:
Định nghĩa: Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình
kia.
Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD, AC và BD cắt nhau tại I. Gọi H, K, L và J lần lượt là trung điểm của AD,
BC, KC và IC. Chứng minh hai hình thang JLKI và IHAB đồng dạng với nhau.
Giải:






Tài liệu lưu hành nội bộ
16
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11








 Ghi chuù:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Cho tam giác ABC. Xác định ảnh của nó qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp
phép vị tự tâm B tỉ số
2
1
và phép đối xứng qua đường thẳng trung trực BC.
Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD, AC và BD cắt nhau tại I. Gọi H, K, L và J lần lượt là trung điểm AD, BC,
KC và IC. Chứng minh hai hình thang JLKI và IHDC đồng dạng với nhau.
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm I(1; 1) và đường tròn tâm I bán kính 2. Viết phương trình của
đường tròn là ảnh của đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm
O, góc 45
0
và phép vị tự tâm O, tỉ số
2
.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao kẻ từ A. Tìm một phép đồng dạng biến tam giác
HBA thành tam giác ABC.
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau và điểm C. Tìm trên a và b các điểm A và B tương ứng sao cho
tam giác ABC vuông cân ở A.
Bài 2: Cho hình thang ABCD có AB song song với CD, AD = a, DC = b còn hai đỉnh A, B cố định. Gọi I là
giao điểm của hai đường chéo.
a) Tìm tập hợp các điểm C khi D thay đổi.
b) Tìm tập hợp các điểm I khi C và D thay đổi như trong câu a).
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

Tài liệu lưu hành nội bộ
17
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11
* ÔN TẬP CHƯƠNG I *

Tài liệu lưu hành nội bộ
18
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11


BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Tìm ảnh của tam giác AOF
a) Qua phép tịnh tiến theo vectơ
AB
;
b) Qua phép quay tâm O góc 120
0
.

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1; 2) và đường thẳng d có phương trình 3x + y + 1 = 0. Tìm
ảnh của A và d
a) Qua phép tịnh tiến theo vectơ
v

= (2; 1);
b) Qua phép quay tâm O góc 90
0
.
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn tâm I(3; -2), bán kính 3.
a) Viết phương trình của đường tròn đó;
b) Viết phương trình ảnh của đường tròn (I; 3) qua phép tịnh tiến theo vectơ
v

= (-2; 1).
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn tâm I(1; -3), bán kính 2. Viết phương trình ảnh của đường
tròn (I; 2) qua phép đồng dạng có được từ việc thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số 3 và phép đối xứng qua
trục Ox.
Bài 5: Cho hai điểm A, B và đường tròn tâm O không có điểm chung với đường thẳng AB. Qua mỗi điểm M
chạy trên đường tròn (O) dựng hình bình hành MABN. Chứng minh rằng điểm N thuộc một đường tròn xác
định.
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Cho hai hình chữ nhật có tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài bằng
2
1
. Chứng minh rằng luôn có một
phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.
Bài 2: Cho tam giác ABC. Tìm một điểm M trên cạnh AB và một điểm N trên cạnh AC sao cho MN song
song với BC và AM = CN.
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

Tài liệu lưu hành nội bộ
19
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11
CHƯƠNG II. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN.
QUAN HỆ SONG SONG
oOo
 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Hình học phẳng:
a) Định lí Talet:
MN// BC ⇔
AC
AN
AB
AM
=
b) Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng a, b:
c) Một số tính chất thường sử dụng:
Tính chất bắc cầu:
• Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ
ba thì song song nhau.
• Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ
ba thì song song nhau.
2. Một số hình hình học khơng gian:
Hình chóp đều Lăng trụ đứng Hình hộp chữ nhật
 Ghi chú:

Tài liệu lưu hành nội bộ
20
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11
§1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
I- KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU:
1. Mặt phẳng:
Mặt phẳng là một đối tượng của tốn học. Mặt phẳng khơng có bề dày và khơng có giới hạn.
• Để biểu diễn tả mặt phẳng ta thường dùng hình
bình hành hay một miền góc và ghi tên của mặt
phẳng vào một góc của hình biểu diễn.
• Để kí hiệu mặt phẳng, ta thường dùng các chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hi Lạp đặt trong dấu ngoặc
"( )". Ví dụ mặt phẳng (P)  viết tắt mp(P) hay (P); mặt phẳng (α)  viết tắt mp(α) hay (α);
2. Điểm thuộc mặt phẳng:
Cho điểm A và mặt phẳng (α)
• Điểm A thuộc mặt phẳng (
α
) ta nói A nằm
trên (

α
) hay (
α
) chứa A hoặc (
α
) đi qua A.
• Kí hiệu: A ∈ (α).
• Điểm A khơng thuộc mặt phẳng (
α
) ta nói A nằm
ngồi (
α
) hay (
α
) khơng chứa A hoặc (
α
) khơng đi
qua A.
• Kí hiệu: A ∉ (α).
3. Hình biểu diễn của một hình không gian:
Để nghiên cứu hình học khơng gian người ta thường vẽ các hình khơng gian lên bảng, lên giấy. Ta gọi
hình vẽ đó là hình biểu diễn của một hình khơng gian. Hình biểu diễn được vẽ dựa vào các quy tắc:
• Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn là đoạn thẳng;
• Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt
nhau là hai đường thẳng cắt nhau;
• Hình biểu diễn phải giữ ngun quan hệ thuộc giữa các điểm và đường thẳng;
• Dùng nét vẽ liền "______" để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn "- - - -" biểu diễn cho
đường bị che khuất.
Ví dụ: Vẽ hình biểu diễn của một hình lập phương.
Giải:

II- CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN:
Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm khơng thẳng hàng.
Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng
đều thuộc mặt phẳng đó.
Tài liệu lưu hành nội bộ
21
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11
Nếu đường thẳng d có hai điểm thuộc mp(α) thì khi đó mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mp(α) ta
nói d chứa trong (nằm trong) mp(
α
) hay mp(α) chứ d và kí hiệu d
⊂
(
α
) hay (α) ⊃ d.
 Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc phần kéo dài của đoạn BC. Hãy cho biết M có thuộc mp(ABC) không? và đường thẳng
AM có nằm trong mp(ABC) không?.
Tính chất 4: Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói những điểm đó đồng phẳng, còn nếu không có
mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói rằng chúng không đồng phẳng.
Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa.

Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì
chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung
ấy.
Đường thẳng chung của hai mặt phẳng phân biệt
( và ( β) được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) và ( β) và kí hiệu là:
d = ( )  ∩ (β)
 Hình vẽ bên cạnh đúng hay sai? vì sao?.
 Trong mặt phẳng (P), cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm
S nằm ngoài mặt phẳng (P). Hãy chỉ ra một điểm chung của hai
mặt phẳng (SAC) và (SBD) khác điểm S.
Tính chất 6: Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.
III- CÁCH XÁC ĐỊNH MỘT MẶT PHẲNG:
1. Ba cách xác định mặt phẳng:
a) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba
điểm không thẳng hàng.
Mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C kí hiệu
là:
mp(ABC) hoặc (ABC)
b) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua
một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó.
Cho đường thẳng d và điểm A không nằm trên d, khi đó
ta xác định được mặt phẳng, kí hiệu là:
mp(A, d) hay (A, d)
c) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai
đường thẳng cắt nhau.
Cho hai đường thẳng cắt nhau a và b. Khi đó hai đường
thẳng a và b xác định một mặt phẳng và kí hiệu là:
mp(a, b) hay (a, b), hoặc mp(b, a) hay (b, a).
2. Một số bài toán cơ bản:

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng:
Ví dụ: Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Trên đoạn AB và AC lấy hai điểm M và N sao
cho
1
=
BM
AM
và
2
=
NC
AN
. Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (DMN) với các mặt phẳng (ABD), (ACD),
(ABC) và (BCD).
Giải:




Tài liệu lưu hành nội bộ
22
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11

Phöông phaùp:

b) Chứng minh ba điểm thẳng hàng:
Ví dụ: Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Trên ba cạnh AB, AC và AD lần lượt lấy các
điểm M, N và K sao cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại H, đường thẳng NK cắt đường thẳng CD tại I,
đường thẳng KM cắt đường thẳng BD tại J. Chứng minh ba điểm H, I, J thẳng hàng.
Giải:

Phöông phaùp:


c) Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng:
Ví dụ: Cho tam giác BCD và điểm A không thuộc mặt phẳng (BCD). Gọi K là trung điểm của đoạn
AD và G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm giao điểm của đường thẳng GK và mặt phẳng (BCD).
Giải:








Tài liệu lưu hành nội bộ
23
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11

Phöông phaùp:




IV- HÌNH CHÓP VÀ HÌNH TỨ DIỆN:
• Trong mặt phẳng (α) cho đa giác lồi
n
AAA
21
. Lấy điểm S nằm ngoài (α). Lần lượt nối S với các đỉnh
n
AAA
21
ta được n tam giác
21
ASA
,
32

ASA
,…,
1
ASA
n
. Hình gồm đa giác
n
AAA
21
và n tam giác
21
ASA
,
32
ASA
,
…,
1
ASA
n
gọi là hình chóp, kí hiệu là S.A
1
A
2
A
n
. Ta gọi S là đỉnh và đa giác
n
AAA
21

là mặt đáy. Các tam
giác
21
ASA
,
32
ASA
, …,
1
ASA
n
được gọi là các mặt bên; các đoạn
n
SASASA , ,,
21
là các cạnh bên; các cạnh của
đa giác đáy gọi là các cạnh đáy của hình chóp. Ta gọi hình chóp có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, … lần
lượt là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,…
• Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD và BCD gọi là hình
tứ diện (hay ngắn gọn là tứ diện) và được kí hiệu là ABCD. Các điểm A, B, C, D gọi là các đỉnh của tứ diện. Các
đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, CA, BD gọi là các cạnh của tứ diện. Hai cạnh không đi qua một đỉnh gọi là hai
cạnh đối diện. Các tam giác ABC, ACD, ABD, BCD gọi là các mặt của tứ diện. Đỉnh không nằm trên một mặt
gọi là đỉnh đối diện với mặt đó.
* Đặt biệt: Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều gọi là hình tứ diện đều.

 Hãy kể tên các mặt bên, cạnh bên, cạnh đáy của hình chóp S.ABCD (hình vẽ trên)?.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB,
AD, SC. Tìm giao điểm của mặt phẳng (MNP) với các cạnh của hình chóp và giao tuyến của mặt phẳng (MNP)
với các mặt của hình chóp.
Giải:
Tài liệu lưu hành nội bộ
24
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11

* Các bước giải bài toán hình học không gian:











 Ghi chú:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Tài liệu lưu hành nội bộ
25