Các lớp P và NP và các bài toán NP đầy đủ

LỜI NÓI ĐẦU
Mỗi ngành khoa học đều có cơ sở lý thuyết của nó. Khoa học máy tính
(Tin học) cũng vậy: cơ sở lý thuyết của khoa học máy tính là lý thuyết
oâtoâmat.
Lý thuyết oâtoâmat nghiên cứu về các mô hình toán học cho các thiết bị
tính toán (các máy tính toán), trên cơ sở đó cho phép chúng ta xác định những
khả năng tính toán của chúng, nghĩa là xác định những gì chúng có thể tính
được và những gì chúng không thể tính được. Nói cách khác, trên cơ sở các mô
hình toán học cho các thiết bị tính toán, chúng ta có thể biết được những bài
toán nào giải được bằng máy tính và những bài toán nào không giải được. Đi
xa hơn, chúng ta có thể xác định ranh giới giữa những bài toán có thể tính
được một cách thực tế (có thể xây dựng được các chương trình máy tính để
giải) với những bài toán về nguyên tắc có thể tính được nhưng không thực tế
(các bài toán nan giải, intractable problem) vì mất quá nhiều thời gian, ngoại
trừ một số tình huống cụ thể có kích thước nhỏ. Lĩnh vực nghiên cứu lý thú
này được gọi là Lý thuyết độ phức tạp tính toán (computational complexity
theory).
Một cách trực quan, Thuật toán là một dãy hữu hạn các bước cho ta cách
giải bài toán. Ta có thể hình dung cụ thể hơn: Thuật toán là một chương trình
máy tính được viết bằng một ngôn ngữ lập trình nào đấy. Một cách toán học,
Thuật toán là một máy Turing đơn định, viết tắt là DTM (Deterministic Turing
Machine). Tập L gồm các Input được M chấp nhận (Yes) gọi là ngôn ngữ
chấp nhận bởi máy M, kí hiệu L(M).
Khi giải một bài toán cụ thể, không những ta chỉ cố gắng tìm một thuật
toán giải được bài toán đã cho, mà còn muốn tìm một thuật toán “tốt nhất”.
Trong nhiều trường hợp tốt nhất được hiểu là “nhanh nhất” , và ta đi đến khái
niệm về độ phức tạp thời gian.
Độ phức tạp của thuật toán chính là yếu tố cơ sở để phân loại các bài
toán. Các bài toán mà thuật toán giải nó có độ phức tạp thời gian cấp từ đa
thức trở xuống được gọi là thuộc lớp P. Các bài toán mà thuật toán giải nó là
thuật toán không đơn định và có độ phức tạp thời gian là đa thức được gọi là

thuộc lớp NP.
Tìm hiểu về lớp các bài toán P và NP là điều cần thiết khi nghiên cứu về
Lý thuyết oâtoâmat, trong khuôn khổ một tiểu luận chúng tôi xin được trình
bày Các lớp P và NP và các bài toán NP đầy đủ.
1
Với thời gian có hạn không sao tránh khỏi sơ xuất, kính mong quý Thầy
Cô và các anh chị học viên góp yù để tiểu luận hoàn chỉnh hơn. Xin chân
thành cám ơn.
2
I. MÁY TURING:
1. Khái qt về máy Turing:
Khi thiết kế và cài đặt một phần mềm tin học cho một vấn đề nào đó ta
cần phải đưa ra phương pháp để giải quyết mà thực chất đó là thuật tốn giải
quyết vấn đề này. Vì vậy, thuật tốn là khái niệm nền tảng của hầu hết các lĩnh
vực của tin học.
Trong những năm 30 của thế kỷ trước khi khoa học cơng nghệ phát
triển, có nhiều bài tốn vẫn khơng tìm thấy thuật tốn để giải. Năm 1936
A. Turing đã đưa ra một công cụ để mô tả thuật toán gọi là máy
Turing.
Máy Turing là một máy giả định với bộ nhớ ngồi có dung lượng được
xem như là vơ hạn. Trong bộ nhớ ngồi các giá trị được bố trí sao cho có thể
truy cập đọc và sửa đổi được. Ta có thể xem máy Turing như là máy đốn
nhậân một ngơn ngữ hình thức gọi là ngơn ngữ đếm được đệ quy. Đồng thời
nó được sử dụng để mơ tả một lớp hàm quan trọng gọi là các hàm có thể tính
được.
Cũng như mọi mơ hình tính tốn của ta, máy Turing làm việc theo thời
gian rời rạc. mỗi thời điểm, nó ở một trạng thái (nhớ) cụ thể mà số tất cả
các trạng thái có thể là hữu hạn. Một đầu đọc-viết đọc các kí tự trên một băng,
mỗi thời điểm một kí tự. Một cặp (q,a) xác định một bộ ba
(q’, a’, m) mà q là trạng thái, a là kí tự và m (dòch chuyển). Điều đó

có nghóa là sau khi đọc kí tự a ở trạng thái q, máy chuyển sang trạng
thái q’, viết a’ ở vò trí của a (có thể a’= a, nghóa là không thay đổi)
và dòch chuyển đầu đọc-viết tùy theo m.
Nếu đầu đọc-viết sắp “rơi khỏi“ băng tức là một dịch chuyển trái
(tương ứng phải) được chỉ thò khi máy đang đọc ô trái nhất (tương
ứng phải nhất) của băng thì một ô trống mới được tự động thêm
vào ở đầu mút tương ứng. Khả năng mở rộng vô hạn bộ nhớ
ngoài có thể được xem như một đặc trưng phần cứng có sẵn của
mỗi máy Turing.
Dạng vào-ra của một máy Turing được đặc tả như sau : máy bắt đầu tính
tốn bằng cách đọc kí tự trái nhất của một từ vào cho trước ở một trạng thái bắt
đầu đặc biệt. Thơng tin vào được chấp nhận nếu tính tốn đạt đến một trạng
thái kết thúc đặc biệt. Nếu máy được xem như một máy dịch chứ khơng phải
một máy chấp nhận thì từ trên băng, sau khi máy đã đạt đến trạng thái kết
3
thúc, lập thành đường ra đối với từ vào đã cho. Khi đó một số kí tự nào đó trên
băng có thể bỏ qua.
Như vậy, băng có thể được xem vừa như kênh vào-ra vừa như bộ nhớ
vơ hạn tiềm năng. Những khác nhau cơ bản giữa các máy Turing và các loại
ôtômát khác đó là, một ôtômát hữu hạn chỉ có bộ nhớ trong được xác
định bởi tập trạng thái hữu hạn của nó, băng vào khơng được dùng như bộ
nhớù bổ sung, một ôtômát hữu hạn chỉ đọc thơng tin vào bằng cách qt
từ trái sang phải. Trong một ôtômát tuyến tính giới nội, bộ nhớ ngồi bị
giới hạn trên bởi kích thước của từ vào. Do đó, rõ ràng máy Turing tổng qt
hơn các mơ hình tính tốn khác, mỗi thuật tốn có thể được thực hiện bởi một
máy Turing.
Thực chất, máy Turing là một mơ hình máy. Nó phân tồn bộ q trình
hoạt độâng ra thành các bước thao tác rất đơn giản. Bản thân máy Turing là
một mơ hình khái qt và đơn giản có thể mơ hình hố một q trình tính tốn
bất kỳ. Trong phần này ta chỉ xét đến máy Turing đa băng. Máy Turing là một

cơ cấu bao gồm:
• Đầu chỉ huy (có thể thay đổi trạng thái).
• k băng được giới hạn về phía trái và vơ hạn về phía phải (k là số tự
nhiên).
• Trên băng chia thành ô, mỗi ô được ghi vào một ký tự của bộ chữ
ngồi T nào đó (bộ chữ hữu hạn).
• Đầu chỉ huy có k đầu đọc viết tương ứng với k băng để đọc-viết. Đầu
chỉ huy đọc một ô ở k băng một ký tự của bộ chữ T. sau khi viết
xong nó có thể dịch chuyển sang phải hoặc sang trái ô nó đang
đứng. Sau đó đầu chỉ huy có thể chuyển sang trạng thái mới. Tập các
trạng thái là hữu hạn ký hiệu là Q.
Bước tính tốn: Máy Turing (đầu chỉ huy) đang ở trạng thái q nào đó và chỉ
vào các kí tự X
1
, X
2
, …., X
k
rồi thay thế chúng bằng các kí tự Y
1
, Y
2
, … , Y
k
vào đúng các ô tương ứng (Y
i
là kí tự của bộ chữ T). Sau đó các đầu đọc viết
chuyển sang vị trí trái (hoặc phải, hoặc dừng) và trạng thái của đầu chỉ huy
chuyển sang q’. Đó là một bước tính tốn.
Ta có thể mơ tả qua hình vẽ sau:

Ban đầu máy ở trạng thái :
4
X
1
X
2
X
k
q
Đầu chỉ huy
Băng 1
Băng 2
…………
Băng k
Sau một bước tính toán máy ở trạng thái:
2/ Máy Turing đơn định đa băng:
2.1. Định nghĩa 1:
∑ = {X
1
, X
2
, …., X
n
} được gọi là một bảng chữ nếu nó hữu hạn và
không rỗng. Mỗi phần tử của nó được gọi là kí tự. Một xâu trên bảng
chữ ∑ là một dãy hữu hạn các ký tự được xếp liền nhau.
Ví dụ : α = X
i1
……X
it

X
ij
∑
|α| = t là kí hiệu doä dài xâu
α
1
, α
2
là 2 xâu, ta có thể có α
3
= α
1
α
2
cũng là 1 xâu trên bảng chữ ∑ .
Ta kí hiệu 1 xâu rỗng là có tính chất | | = 0 và = =
Máy Turing là một công cụ để xử lí các xâu trên bảng chữ nào đó.
2.2. Định nghĩa 2:
Ngôn ngữ trên bảng chữ :
Giả sử có ∑ = {X
1
, X
2
, …., X
n
} là một bảng chữ.
Kí hiệu ∑’={ : là một xâu trên ∑ bao gồm cả xâu rỗng}. Khi đó L
được gọi là ngôn ngữ trên bảng chữ ∑ nếu L ⊆ ∑’, có nghĩa là L là tập con
của ∑’.
2.3. Định nghĩa 3:

5
Y
1
Y
2
Y
k
q
Đầu chỉ huy
Băng 1
Băng 2
…………
Băng k
Máy Turing đơn định đa băng là một bộ bảy M = (Q, ∑, ∆, δ, B, q
o
, q
f
)
trong đó:
• Q là tập trạng thái hữu hạn khác rỗng, q
o
, q
f
Q
• ∑ là bảng chữ ngoài
• ∆ là tập con của ∑ và gọi là bảng chữ trong
• δ là hàm chuyển, δ:
•
• với d
i

và i= 1…k. L, R, S tương ứng có nghĩa là chuyển
sang trái, sang phải, dừng. Chú yù rằng hàm chuyển có thể là hàm bộ
phận.
• , B là kí tự trắng
• q
o
là trạng thái đầu
• q
f
là trạng thái kết thúc.
Khi thiết lập máy Turing, quan trọng nhất là xây dựng hàm chuyển.
2.4. Hoạt động nhận biết xâu của máy Turing :
Đầu tiên xâu α = a
1
…a
n
thuộc bảng chữ trong được nằm bên trái băng
thứ nhất, các băng còn lại chứa ký tự trắng. Đầu chỉ huy ở trạng thái q
o
và
các đầu đọc viết đều ở mép trái. Do hàm tác động vào q
o
:
khi đó trạng thái q’ được xác lập.
- Ở băng một được thay a
1
bởi a
1
’ và d
1

để hướng hoạt động sau đó saïng
trái (L), sang phải (R), hay dừng (S).
- Ở băng 2 được thay B bởi và d
2
là hướng hoạt động.
………
- Ở băng k được thay B bởi và d
k
là hướng hoạt động.
Ta có thể minh họa bằng hình vẽ sau:
Ban đầu của máy ở trạng thái :
6
a
3
ε
q
Đầu chỉ huy
Băng 1
Băng 2
…………
Băng k
a
1
a
2
… a
k
ε
ε
ε

…
ε
ε
ε
…
Sau đó nhờ hàm chuyển máy có thể chuyển sang trạng thái sau nếu
d
1
= R, d
2
= R, d
3
=S, …., d
K
= S.
Một xâu vào (thuộc bảng chữ trong ) được gọi là nhận biết được bởi
máy Turing M nếu xuất phát từ các đầu đọc viết đều ở mép trái của băng và
máy ở trạng thái q
o
hoạt động đạt trạng thái kết thúc q
f .
Tập các xâu như vậy được gọi là ngôn ngữ nhận biết bởi máy Turing M.
2.5. Định nghĩa 4:
Quá trình tính toán của máy Turing :
Chúng ta định nghĩa hình trạng của máy Turing đơn định đa băng
M = .
• Hình trạng là một dãy xâu ,…, thuộc bảng chữ với
(i= 1,2,…,k), = x
i
qy

i
và x
i
y
i
là một xâu nằm trên băng thứ i. Hình
trạng đầu là (q
o
α, q
o
, q
o
, …, q
o
).
• Ký hiệu dãy xâu ( ,…, ) là D
1
thì một bước thực hiện của máy
Turing là quá trình chuyển từ hình trạng D
1
sang D
2
và ký hiệu
D
1
D
2

• Nếu có chỉ số t mà có D
1

D
2
…… D
t
, viết là
D
1
D
t
.
• Quá trình chuyển D
1
sang D
t
gọi là một quá trình tính toán của máy
Turing M.
7
a
3
a’
2
q
Đầu chỉ huy
Băng 1
Băng 2
…………
Băng k
a'
1
a

2
… a
k
ε
ε
ε
…
a’
k
ε
ε
…
f. Định nghĩa 5:
Xâu được nhận biết bởi máy Turing M
Giả sử M = , là một xâu trong bảng chữ
( bảng chữ trong).
Khi đó ta nói M nhận biết nếu (q
o
a
1
… a
n
, q
o
, …, q
o
) ( ) với
điều kiện thì

.

Đặt L (M) = {α: α ∈∆
*
và α nhận biết bởi M}, khi đó L(M) được gọi là
ngôn ngữ nhận biết bởi máy Turing M.
Ví dụ:
Nếu β = a
1
….a
t
, ta đặt β
-1
= a
t
a
t-1
…a
1
, α là xâu đối xứng trên bảng chữ
{0, 1} neáu α ∈ {ββ
-1
, β1β
-1
, β0β
-1
}.
Ta xây dựng máy Turing M = (Q, ∑, ∆, δ, ε, q
o
, q
f
) hai băng với:

Q = {q
o
, q
1
, q
2
, q
3
, q
4
, q
5
}, ∑ = {ε, X, 0, 1}, q
f
= q
5
, ∆ = {0, 1}
Hàm δ thực hiện theo bảng sau:
Trạng thái
cũ
Ký tự cũ Ký tự mới Trạng thái
mới
Băng 1 Băng 2 Băng 1 Băng 2
q
o
0
ε
0, S X, R q
1
1

ε
1, S X, R q
1
ε ε ε, S ε, S
q
5
q
1
0
ε
0, R 0, R q
1
1
ε
1, R 1, R q
1
ε ε ε, S ε, L
q
2
q
2
ε
0
ε, S
0, L q
2
ε
1
ε, S
1, L q

2
ε
X
ε, L
X, R q
3
q
3
0 0 0, S 0, R q
4
1 1 1, S 1, R q
4
q
4
0 0 0, L 0, S q
3
0 1 0, L 1, S q
3
1 0 1, L 0, S q
3
1 1 1, L 1, S q
3
0
ε
0, S
ε, S
q
5
1
ε

0, S
ε, S
q
5
Với xâu vào α = 01110, hình trạng ban đầu (q
o
01110, q
o
), ta có dãy các
hình trạng sau:
+ (q
1
01110, Xq
1
)
+ (0q
1
1110, X0q
1
)
+ (01q
1
110, X01q
1
)
+ (011q
1
10, X011q
1
)

8
+ (0111q
1
0, X0111q
1
)
+ (01110q
1
, X01110q
1
)
+ (01110q
2
, X0111q
2
0)
+ (01110q
2
, X011q
2
10)
+ (01110q
2
, X01q
2
110)
+ (01110q
2
, X0q
2

1110)
+ (01110q
2
, Xq
2
01110)
+ (01110q
2
, q
2
X01110)
+ (0111q
3
0, Xq
3
01110)
+ (0111q
4
0, X0q
4
1110)
+ (011q
3
10, X0q
3
1110)
+ (011q
4
10, X01q
4

110)
+ (01q
3
110, X01q
3
110)
+ (01q
4
110, X011q
4
10)
+ (0q
3
1110, X011q
3
10)
+ (0q
4
1110, X0111q
4
0)
+ (q
3
01110, X0111q
3
0)
+ (q
4
01110, X01110q
4

)
+ (q
5
01110, X01110q
5
)
Vậy máy Turing M xây dựng như trên nhận biết được xâu α. Ta có thể
chứng minh máy Turing trên nhận biết tất cả các xâu đối xứng trên bảng
chữ {0, 1}.
9
2.6. Định nghĩa 6:
Độ phức tạp tính toán thời gian của máy turing M là hàm T(n) nếu với
mọi xâu w có độ dài n thì đều tồn tại một dãy hình trạng có nhiều nhất là
T(n) bước nhận biết w (T(n) là số nguyên dương). Nếu có một xâu vào có
độ dài n mà máy M không dừng thì đối với n đó T(n) không xác định.
2.7. Định nghĩa 7:
Độ phức tạp dung lượng nhớ của máy Turing M là hàm nguyên dương
S(n) nếu mọi xâu có độ dài n và với mọi băng thì S(n) là khoảng cách lớn
nhất ( tính theo đơn vị oâ) kể từ mép trái các băng mà các đầu đọc –viết
phải di chuyển. Nếu có một xâu vào có độ dài n mà một đầu đọc-viết nào
đó không xác định được thì S(n) không xác định.
3. Máy Turing không đơn định đa băng:
3.1. Định nghĩa 8 : Máy Turing không đơn định đa băng
Máy Turing không đơn định đa băng là bộ bảy M = ,
trong đó :
• là tập trạng thái hữu hạn khác rỗng, q
o
,q
F
Q

• là bảng chữ ngoài
• là tập con của và gọi là bảng chữ trong
• , là kí tự trắng
• q
o
là trạng thái đầu, q
F
là trạng thái kết thúc
• , với là tập các tập con
của
3.2. Định nghĩa 9 : Quá trình tính toán của máy Turing không đơn
định M.
Chọn một giá trị của giả sử là (r, (y
1
,d
1
), (y
2
,d
2
),……, (y
k
,d
k
))
với d
i
= . Như vậy máy chuyển sang trạng thái mới r và x
i
được thay

bằng y
i
. Sau đó nếu d
i
= L thì đầu đọc viết sang trái, d
i
= R thì đầu đọc viết
sang phải hoặc d
i
= S thì đầu đọc viết dừng, ở đây i= 1,…,k .
Hình trạng của máy Turing không đơn định đa băng tương tự như máy
Turing đơn định đa băng.
• Ký hiệu dãy xâu ( ,…, ) là D thì một bước thực hiện của máy
Turing chính là một quá trình chuyển từ hình trạng D
1
sang D
2
và ký
hiệu .
• Nếu có D
1
D
2
… D
t
thì ta ghi D
1
D
t
, quá trình chuyển này

được gọi là một quá trình tính toán của máy Turing M ( hay còn gọi
là dẫn xuất).
3.3. Định nghĩa 10 :
10
Giả sử M là máy Turing không đơn định đa băng. T(n) là độ phức tạp
tính toán thời gian của M nếu với mỗi xâu w có độ dài n thì đều tồn tại một
dẫn xuất D
1
D
t
để nhận biết w mà có nhiều nhất là T(n) bước.
3.4. Định nghĩa 11:
Giả sử M là máy Turing không đơn định đa băng. S(n) là độ phức tạp
dung lượng nhớ của M nếu với mọi xâu w có độ dài n thì đều tồn tại một
dẫn xuất để nhận biết w mà sử dụng nhiều nhất là S(n) oâ khác nhau trên
mỗi băng.
4. Sự tương ñương của máy Turing một băng và máy Turing đa băng:
Cần nhớ lại rằng các ngôn ngữ kể được đệ quy được định nghĩa là
những ngôn ngữ được kiểm nhận bởi máy Turing một băng. Chắc chắn
rằng máy Turing đa băng đều kiểm nhãn tất cả các ngôn ngữ kể được đệ
quy vì máy một băng chính là máy đa băng. Tuy nhiên liệu có những ngôn
ngữ không phải kể được đệ quy nhưng được máy đa băng kiểm nhận hay
không? Câu trả lời là không, và chúng ta sẽ chứng minh điều này bằng
cách chỉ ra cách mô phỏng một máy Turing đa băng bằng một máy một
băng.
Định lý: Mỗi ngôn ngữ được kiểm nhận bằng một máy Turing đa băng
đều là kể được đệ quy.
Chứng minh: chứng minh này được gợi tả trong hình sau:
X
A

1
A
2
A
i
A
j
X
B
1
B
2
B
i
B
j
Giả sử ngôn ngữ L được kiểm nhận bởi một máy Turing M k-băng.
Chúng ta mô phỏng M bằng một máy Turing N một băng nhưng băng này
có thể được xem như có 2k rãnh. Nửa số rãnh giữ các băng của M và nửa
còn lại mỗi rãnh giữ một dấu ghi chỉ ra vị trí đầu đọc-ghi hiện tại trên băng
tương ứng của M. Theo hình trên, giả sử k=2, các rãnh thứ 2 và thứ 4 giữ
nội dung của các băng thứ nhất và thứ 2 của M, rãnh 1 giữ vị trí của đầu
đọc-ghi cho băng 1, rãnh 3 giữ vị trí đầu đọc ghi của băng 2 của M.
11
Để mô phỏng một bước chuyển của M, đầu đọc-ghi của N phải thăm k
dấu ghi. Vì thế để N không bò lạc, lúc nào nó cũng phải ghi nhớ có bao
nhiêu dấu ghi ở bên trái của nó; con số đếm đó được cát như một thành
phần trong bộ phận điều khiển hữu hạn của N. Sau khi thăm mỗi dấu ghi và
lưu ký hiệu được quét trong một thành phần của bộ phận điều khiển hữu
hạn, N biết được nhöõngkyù hiệu nào đang được quét bởi mỗi đầu đọc-ghi

của M. N cũng biết được trạng thái của M vì nó được lưu trong bộ phận
điều khiển của N, vì thế N biết được M sẽ thực hiện bước chuyển nào.
N bây giờ sẽ thăm lại mỗi dấu ghi trên băng của nó, thay đổi ký hiệu
trong rãnh biểu diễn cho băng tương ứng của M và di chuyển dấu ghi sang
phải hoặc sang trái nếu cần. Cuối cùng N thay đổi trạng thái của M như
được ghi trong bộ phận điều khiển của riêng nó. Đến điểm này, N đã mô
phỏng xong một bước chuyển của M.
Chúng ta chọn cho làm kiểm trạng của N tất cả những trạng thái tương
ứng với một trong những kiểm trạng của M. Vì thế mỗi khi M kiểm nhận, N
cũng kiểm nhận và N không kiểm nhận gì khác với M.
Về tính hữu hạn: Một sai lầm thường gặp là lẫn lộn một giá trị luôn hữu
hạn tại một thời điểm bất kỳ với một tập giá trị hữu hạn. Phép xây dựng
máy đa băng thành một băng có thể giúp chúng ta định rõ sự khác biệt này.
Trong phép xây dựng đó, chúng ta đã dùng các rãnh trên băng để ghi nhận
vị trí của các đầu đọc-ghi. Vì sao chúng ta không thể lưu những vì trí này
như các số nguyên trong bộ phận điều khiển hữu hạn? Người ta có thể lập
luận một cách vô yù rằng sau n bước chuyển, máy Turing có thể có các vị
trí đầu đọc-ghi ở bên trong n vị trí của các vị trí đầu đọc-ghi ban đầu, và vì
thế chỉ phải lưu các số nguyên cho đến n.
Vấn đề là mặc dù các vị trí luôn hữu hạn, toàn bộ tập vị trí luôn vô hạn.
Nếu dùng trạng thái để lưu một vị trí đầu đọc-ghi nào đó thì phải có một
thành phần dữ liệu của trạng thái lưu một số nguyên làm giá trị. Thành phần
này buộc tập trạng thái phải vô hạn, ngay cả nếu chỉ có một số hữu hạn
trong chúng có thể dược dùng tại một thời điểm bất kỳ. Định nghĩa của một
máy Turing đòi hỏi rằng tập trạng thái phải hữu hạn. Vì thế chúng ta không
được phép lưu một vị trí ñaøu đọc-ghi trong bộ phận điều khiển hữu hạn.
Sự khác biệt giữa máy Turing đa băng và máy Turing đơn băng là máy
Turing đơn băng chỉ có một băng cho phép vô hạn hai đầu, có tập trạng thái
kết thúc và không có tình trạng dừng của đầu đọc viết ( không có S). Tuy
vậy người ta cũng chỉ ra rằng những khác biệt này không làm thay đổi lớp

ngôn ngữ được nhận biết bởi máy Turing. Vì vậy khi xây dựng máy Turing,
ta có thể chọn loại nào cũng được.
12
II- CC LP P V NP:
nh ngha 1: Cho M l mt mỏy Turing. Hm T(n) c gi l phc
tp tớnh toỏn ca M nu vi mi xõu vo cú di n thỡ u tn ti mt dóy
hỡnh trng cú nhiu nht l T(n) bc oỏn nhn (T(n) l mt s nguyờn
dng). Nu cú mt xõu no ú cú di n m mỏy Turing khụng dng thỡ i
vi n ú T(n) khụng xỏc nh.
Vic tớnh chớnh xỏc cỏc hm T(n) thng rt khú v cng khụng cú yự
ngha lm vỡ tớnh hiu qu ca mt thut toỏn phi c ỏnh giỏ cho mt lp
rng rói cỏc bi toỏn vi cỏc d liu u vo (Input) ln. Vỡ vy, thay cho
vic tớnh chớnh xỏc T(n) ta ch cn tớnh cp ca nú. Thớ d, nu T(n) = 4n
2
- 7n
+ 20, ta cú cp ca T(n) l n
2
v kớ hiu T(n) = O(n
2
).
phc tp ca thut toỏn chớnh l yu t c s phõn loi cỏc bi toỏn.
Mt cỏch tng quỏt, mi bi toỏn u cú th chia lm 2 lp ln l: gii c v
khụng gii c. Lp gii c chia lm 2 lp con: lp cỏc bi toỏn tr c
v lp cỏc bi toỏn bt tr. Mt bi toỏn l tr c nu nh cho n thi im
hin ti, cú ớt nht mt thut toỏn gii nú cú phc tp tớnh toỏn a thc. Mt
bi toỏn l bt tr nu nh cho n thi im hin ti, mi thut toỏn gii nú
u cú phc tp t m tr lờn. Nhng bi toỏn ny cú phc tp khụng
phi l a thc vaứứ li gii ca nú c xem l thc t ch cho nhng s liu
u vo cú chn la cn thn v tng i nh. Chỳ yự rng mt bi toỏn hin
l bt tr, nhng rt cú th trong tng lai li tr thnh tr c, mt khi ta tỡm

c mt thut toỏn mi gii nú ch vi thi gian a thc. Cui cựng l nhng
bi toỏn thuc loi NP cha th phõn loi mt cỏch chớnh xỏc l thuc lp bi
toỏn cú phc tp a thc hay cú phc tp khụng a thc.
Gii c Khụng gii c


phc tp khụng
phi a thc
Bi toỏn NP (cha phõn loi)
1. Lp P:
13
Gii c Khụng gii c
phc taùp
ủa thc
Phn loi cỏc bi toỏn
Định nghĩa 2: Lớp P là lớp các ngôn ngữ được đoán nhận bởi máy Turing đơn
định và độ phức tạp tính toán là đa thức.
Có thể phát biểu một cách khác là: một bài toán được coi là thuộc lớp P nếu
tồn tại một thuật toán đa thức để giải nó. Các bài toán thuộc lớp này có độ
phức tạp là O(n
k
) hoặc nhỏ hơn O(n
k
), như vậy các bài toán có độ phức tạp
hằng O(1), phức tạp tuyến tính O(n) và logarith O(nlog
a
n) đều là các bài toán
thuộc lớp đa thức.
Do có sự “Bùng nổ tổ hợp” khi chuyển từ hàm đa thức sang hàm mũ, các
thuật toán có độ phức tạp tính toán cấp từ đa thức trở xuống, thì hiện tại về

nguyên tắc, các máy tính có thể “kham nổi”, vì vậy được gọi là các thuật toán
hiệu quả. Còn các thuật toán có độ phức tạp tính toán từ cấp mũ trở lên, thì
hiện tại chắc chắn là các máy tính không thể “kham nổi”, vì vậy được gọi là
các thuật toán không hiệu quaû.
Lớp P là lớp các bài toán giải được hiệu quả hay những bài toán thuộc lớp P
là dễ.
Như vậy để chứng tỏ một bài toán thuộc lớp P ta chỉ cần mô tả một thuật
toán đa thức để giải nó.
Ví dụ về các bài toán thuộc lớp P:
 Bài toán tìm đường đi ngắn nhất trên đồ thị
 Bài toán luồng lớn nhất
 Bài toán luồng chi phí nhỏ nhất
 Bài toán phân việc
 Bài toán ghép cặp trên đồ thị
 Bài toán cây bao trùm nhỏ nhất, v v…
Bài toán sau được xem “khó nhất” trong số các bài toán thuộc lớp P:
* Ghép cặp đầy đủ có trọng số nhỏ nhất. Cho một đồ thị vô hướng, mỗi
cạnh có một trọng số (dương). Tìm tập cạnh rời nhau (từng đôi một không có
đỉnh chung) của đồ thị có tổng trọng số nhỏ nhất sao cho mỗi đỉnh của đồ thị
đều liên thuộc một cạnh thuộc tập này hoặc chỉ rõ đồ thị đã cho không có ghép
cặp đầy đủ.
Ví dụ về bài toán bất trị:
* Bài toán Tháp Hà Nội. Có n đĩa có lỗ ở giữa, kích thước nhỏ dần, xếp
chồng lên nhau ở cọc A, to ở dưới, bé ở trên. Hãy tìm cách chuyển chồng đĩa
này sang cọc C với những điều kiện sau:
1. Mỗi lần chỉ được chuyển 1 đĩa
2. Không bao giờ được xếp đĩa to lên trên đĩa con, dù chỉ là tạm thời
3. Được phép dùng cọc B làm cọc trung gian
14
Đây là một bài toán được giải bằng thuật toán đệ qui có độ phức tạp tính

toán là T(n)=2
n
– 1. Với n bé khoảng 5 – 10, chương trình cho ra kết quả sau
vài phút tính toán, với n khoảng 10-15 chương trình chạy mất vài giờ, còn nếu
n tương đối lớn, ví dụ n=64 chương trình chạy khoảng 50 tyû năm!
Ta xét dưới đây các bài toán thuộc lớp sẽ được gọi là lớp NP.
2. Lớp NP:
Phần lớn lý thuyết độ phức tạp tính toán dựa trên các bài toán quyết định
(decision problem). Câu trả lời cho các bài toán này chỉ là yes (có hay đúng)
hoặc no (không hay sai). Câu trả lời cho mỗi bài toán quyết định tuỳ thuộc vào
từng dữ liệu cụ thể (instance) của bài toán đó. Bộ dữ liệu cho câu trả lời đúng
gọi là bộ dữ liệu yes (yes-instance), còn bộ dữ liệu cho câu trả lời sai gọi là bộ
dữ liệu no (no-instance).
Định nghĩa 3: Một bài toán được gọi là “nhận biết” nếu đó là bài toán mà các
kết quả chỉ có thể lập một trong hai giá trị Đúng hoặc Sai.
Ví dụ bài toán quyết định:
+ Chu trình Hamilton. Cho đồ thị vô hướng G=(N,E). Hỏi G có chứa chu
trình đi qua mọi đỉnh của đồ thị, mỗi đỉnh một lần hay không?
Nhiều bài toán tối ưu có các biến thể là một bài toán quyết định. Sau đây
là hai biến thể của bài toán qui hoạch tuyến tính và qui hoạch tuyến tính
nguyên:
+ Bất đẳng thức tuyến tính. Cho ma trận A ∈ Z
mxn
và vectô b ∈ Z
m
. Có hay
không vectô x ∈ Q
n
thoả mãn Ax ≤ b? (Z
n

(tương ứng Q
n
) là tập các vectô
nguyên (hữu tổ)).
+ Bất đẳng thức tuyến tính nguyên. Cho ma trận A ∈ Z
mxn
và vectô b ∈ Z
m
.
Có hay không vectô x ∈ Z
n
thoả mãn Ax ≤ b?
Định nghĩa 4: Cho bài toán tối ưu hoá tổ hợp (f(s)) (tương ứng (f(s))
và một số a. Người ta định nghĩa “bài toán nhận biết liên hợp” là bài toán: liệu
có tồn tại s ∈ S sao cho f(s)≤a (tương ứng f(s)≥a).
Ví dụ: Cho một tập n thành phố, các khoảng cách giữa các thành phố và một
số a. Bài toán với nội dung là xác định xem có tồn tại một vòng đi với chi phí
nhỏ hơn hoặc bằng a là bài toán nhận biết liên hợp của bài toán người du lịch.
Định lý: Nếu bài toán nhận biết liên hợp của một bài toán tối ưu hoá tổ hợp đã
cho là “khó” thì bài toán tối ưu hoá tổ hợp cũng là “khó”.
Định lý trên chỉ ra rằng bài toán tối ưu hoá tổ hợp ít nhất là “khó” như bài
toán nhận biết liên hợp. Trong thực tế người ta luôn luôn có thể chứng minh
15
rằng bài toán nhận biết (chẳng hạn bài toán người du lịch) không phải “dễ hơn”
bài toán tối ưu hoá tổ hợp mà nó liên hợp.
Đến nay ta vẫn chưa biết bài toán bất đẳng thức tuyến tính nguyên và bài
toán chu trình Hamilton có thuộc lớp P hay không, nghĩa là có thuật toán đa
thức để giải hay không? Các bài toán này được xếp vào lớp bài toán có tên là
NP. Có thể hiểu một cách không hình thức lớp bài toán này như sau:
Định nghĩa 5: Ta nói bài toán đoán nhận P thuộc lớp NP nếu với mỗi bộ dữ

liệu yes của nó phải có một chứng cứ (certificate) có thể kiểm tra trong thời
gian đa thức để kết luận được đó đúng là dữ liệu yes. (Để yù rằng trong định
nghĩa này ta không đòi hỏi phải có chứng cứ cho bõ dữ liệu no và không đòi
hỏi có thuật toán đa thức giải P).
Chẳng hạn, đối với bài toán chu trình Hamilton thì chứng cứ cho bõ dữ liệu
yes chỉ đơn giản là một chu trình Hamilton tương ứng với bộ dữ liệu đó, bởi vì
với chu trình đó ta có thể dễ dàng kiểm tra trong thời gian đa thức xem nó có
phải là hành trình đi qua mọi đỉnh của đồ thị, mỗi đỉnh một lần hay không?
Chúng ta đều biết rằng tính xác định là một trong ba đặc tính quan trọng
của thuật toán. Nghĩa là mỗi bước của thuật toán phải được xác định duy nhất
và có thể thực thi được. Nếu có sự phân chia trường hợp tại một số bước thì
thông tin tại bước đó phải đầy đủ để thuật toán có thể tự quyết định chọn lựa
trường hợp nào. Ta tạm gọi các thuật toán thoả mãn tính xác định là các thuật
toán tự quyết.
Vậy thì điều gì sẽ xảy ra nếu ta đưa ra một “thuật toán” có tính không tự
quyết? Nghĩa là tại một bước của “thuật toán”, ta đưa ra một số trường hợp
chọn lựa nhưng không cung cấp đầy đủ thông tin để “thuật toán” tự quyết
định? Thật ra, trong cuộc sống, những “thuật toán” thuộc loại này rất hay được
áp dụng. Chẳng hạn, ta có một lời chỉ dẫn khi đi du lịch: “Khi đi hết khu vườn
này, bạn hãy chọn một con đường mà bạn cảm thấy thích. Tất cả đều dẫn đến
bảo tàng lịch sử”. Nếu là khách du lịch, bạn sẽ cảm thấy bình thường. Nhưng
máy tính thì không! Nó không thể thực thi những hướng dẫn không rõ ràng
như vậy!
Đến đây, lập tức sẽ có một câu hỏi rằng “Tại sao lại đề cập đến những
thuật toán có tính không tự quyết dù máy tính không thể thực hiện một thuật
toán như vậy?”. Câu trả lời là, khi nghiên cứu về thuật toán không tự quyết, dù
không dùng để giải bài toán nào đi nữa, chúng ta sẽ có những hiểu biết về hạn
chế của những thuật toán tự quyết thông thường.
16
Đến đây, ta hãy xem sự khác biệt về độ phức tạp của một thuật toán tự

quyết và không tự quyết để giải quyết cho cùng một vấn đề qua bài toán sau:
Bài toán người bán hàng rong. Một nhân viên phân phối hàng cho một công
ty được giao nhiệm vụ phải giao hàng cho các đại lý của công ty, sau đó trở về
công ty. Vấn đề của người nhân viên là làm sao đi giao hàng cho tất cả đại lý
mà không tiêu quá số tiền đổ xăng mà công ty cấp cho mỗi ngày. Nói một cách
khác, làm sao đừng đi quá một số lượng cây số nào đó.
Một lời giải cổ điển cho bài toán này là liệt kê một cách có hệ thống
từng con đường có thể đi, so sánh chiều dài mỗi con đường tìm được với chiều
dài giới hạn cho đến lúc tìm được một con đường phù hợp hoặc đã xét hết tất
cả các con đường có thể đi. Tuy nhiên, cách giải quyết này có độ phức tạp
không phải đa thức. Bằng toán học, người ta đã chứng minh được rằng độ
phức tạp của thuật toán này là O(n!). Như vậy, với số đại lý lớn thì thuật toán
trên được xem là không thực tế. Bây giờ , chúng ta xem qua một thuật toán
không tự quyết.
1. Chọn một con đường có thể và tính chiều dài của nó
2. Nếu chiều dài này không lớn hơn giới hạn thì báo là thành công.
Ngược lại báo chọn lựa sai.
Quan điểm của ta trong cách giải quyết này là nếu chọn sai thì là do lỗi của
người chọn chứ không phải lỗi của thuật toán!
Theo thuật toán này thì chi phí để tính chiều dài của con đường được chọn
sẽ tyû lệ với số đại lý, chi phí để so sánh chiều dài quãng đường với giới hạn
cho phép thì không liên quan đến số thành phó. Như vậy, chi phí của thuật toán
này là một hàm có dạng T=an+b với n là số đại lý và a, b là các hằng số. Ta kết
luận rằng, độ phức tạp của thuật toán này là O(n) hay độ phức tạp thuộc lớp đa
thức.
Như vậy, nếu dùng thuật toán tự quyết thì bài toán người bán hàng rong sẽ
có độ phức tạp không thuộc lớp đa thức, còn nếu dùng thuật toán không tự
quyết thì bài toán sẽ có độ phức tạp đa thức.
Một bài toán khi được giải bằng một thuật toán không tự quyết mà có độ
phức tạp thuộc lớp đa thức thì được gọi là một bài toán đa thức không tự

quyết tức là bài toán NP.
Như vậy bài toán người bán hàng rong là bài toán thuộc lớp NP. Cho đến
nay người ta chưa chứng minh được rằng tồn tại hay không một thuật toán tự
quyết có độ phức tạp đa thức cho bài toán người bán hàng rong. Vì vậy, bài
toán này (là một bài toán NP) chưa thể xếp được vào lớp đa thức hay không đa
17
thức. Do đó, lớp bài toán NP chưa thể phân loại là thuộc lớp đa thức hay
không.
Rõ ràng P⊆ NP, lớp bài toán NP cũng chứa những bài toán thuộc lớp đa
thức thực sự, bởi vì nếu một bài toán được giải bằng thuật toán tự quyết có độ
phức tạp đa thức thì chắc chắn khi dùng thuật toán không tự quyết cũng sẽ có
độ phức tạp đa thức. Nhưng không rõ liệu P = NP hay không? Có thể nói đây
là bài toán trung tâm trong lý thuyết độ phức tạp tính toán mà đến nay vẫn còn
là vấn đề mở, chưa được ai chứng minh hay bác bỏ. Ví dụ cụ thể cho vấn đề
này là bài toán bất đẳng thức tuyến nguyên và bài toán chu trình Hamilton, cả
hai thuộc NP, nhưng không biết chúng có thuộc P hay không?
Tên gọi NP là do từ “Nondeterministic Polynomial” (đa thức không đơn
định). Để giải thích điều này ta cần hiểu sơ qua thế nào là thuật toán không
đơn định thông qua máy Turing không đơn định: khi đọc mỗi kí hiệu bất kỳ
ở một trạng thái bất kỳ, máy được phép có một số khả năng hành động. Còn về
các yếu tố khác, một máy Turing không đơn định được định nghĩa như một
máy đơn định. Một từ ω được đoán nhận nếu nó sinh ra một tính toán đoán
nhận được, độc lập với việc nó cũng có thể sinh ra các tính toán khác dẫn đến
thất bại. Như vậy, khi quan hệ với các máy không đơn định, ta không quan tâm
đến mọi con đường dẫn đến thất bại nếu có một con đường có thể dẫn đến
thành công.
Thời gian cần thiết để máy Turing không đơn định M đoán nhận một từ ω
∈ T(M) được định nghĩa bằng số bước trong tính toán ngắn nhất của M dùng
để đoán nhận ω.
Định nghĩa 6: Lớp NP là lớp các ngôn ngữ được đoán nhận bởi các máy

Turing không đơn định trong giới hạn đa thức.
Có thể phát biểu một cách khác, lớp NP chính là tập các bài toán có thể
giải được bằng thuật toán đa thức không đơn định.
Các bài toán trong lớp P là trị liệu được, trong khi đó các bài toán trong lớp
NP có tính chất là việc kiểm chứng xem một phỏng đoán tốt không đối với
việc giải bài toán có là đúng đắn không là trị liệu được. Một máy Turing không
đơn định có thể được hình dung như một thiết bị kiểm chứng xem một phỏng
đoán có đúng hay không: nó tiến hành một (hay một số) phỏng đoán ở từng
bước trong suốt quá trình tính toán và chung cuộc là việc đoán nhận chỉ trong
trường hợp (các) phỏng đoán này là đúng đắn. Như vậy, trong thực tế một giới
hạn thời gian đối với một máy Turing không đơn định là một giới hạn thời gian
để kiểm chứng xem một phỏng đoán đối với lời giải có là đúng đắn không.
Sau đây là một số bài toán NP khác:
18
+ Bài toán phân hoạch. Cho các số tự nhiên C
1
, …, C
n
. Có hay không tập con
S ⊆ {1, 2, …, n} sao cho ?
+ Bài toán phủ 3. Cho một họ gồm m tập hợp (có thể có phần tử chung) S
1
, S
2
,
…, S
m
, mỗi tập S
i
gồm 3 phần tử lấy từ tập hợp nền {1, 2, …, n}. Có thể trích

ra từ họ này n/3 tập hợp từng đôi một rời nhau sao cho phủ được toàn bộ tập
hợp nền (nghĩa là hợp của chúng bằng tập hợp nền) hay không?
19