Sáng kiến kinh nghiệm CHỨNG MINH MỘT VẬT, HỆ VẬT DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA DÀNH CHO LỚP CHUYÊN

“ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên”
- 1 -
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị: trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
Mã số:
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“CHỨNG MINH MỘT VẬT, HỆ VẬT
DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA - DÀNH CHO LỚP CHUYÊN”
Người thực hiện: Nguyễn Văn Cư
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục 
- Phương pháp dạy học bộ môn: Vật Lý

- Lĩnh vực khác: 
(Ghi rõ tên lĩnh vực)
Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN
 Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác
(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)
Năm học: 2014-2015
BM 01-Bia SKKN
“ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên”
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: Nguyễn Văn Cư
2. Ngày tháng năm sinh: 22 - 04 - 1982.
3. Nam, nữ: Nam
4. Địa chỉ: SN 7B – tổ 3 – Kp.3 – P. Tân Hiệp – TP. Biên Hòa – Tỉnh Đồng Nai
5. Điện thoại: (CQ)/ (NR); ĐTDĐ: 0984678187
6. Fax: E-mail:
7. Chức vụ: Giáo viên.

8. Nhiệm vụ được giao:
- Giảng dạy môn Vật lý lớp: 12Lý, 12 Hóa1,12Văn. Quản lý PTN Vật lý.
- Dạy bồi dưỡng đội tuyển HSG Quốc gia, đội tuyển MTCT quốc gia.
9. Đơn vị công tác: trường THPT chuyên Lương Thế Vinh.
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân.
- Năm nhận bằng: 2004
- Chuyên ngành đào tạo: Sư phạm Vật Lý.
III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy Vật Lý.
- Số năm có kinh nghiệm: 10
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:
1. “Ứng dụng CNTT trong dạy học Vật Lý ở trường THPT”.
2. “Website cá nhân: công cụ dạy học đắc lực cho giáo viên trong thời đại số”
3. “Phân loại và phương pháp giải bài tập phần mắt và các dụng cụ quang
học theo định hướng thi TNKQ”
4. Phương pháp giải nhanh các bài toán về thời gian trong dao động điều hòa
bằng cách sử dụng “sơ đồ phân bố thời gian”.
5. “Giáo trình tĩnh điện dành cho lớp chuyên” đồng tác giả: Nguyễn Thị Mỹ
Hương; Trần Nguyễn Nam Bình; Nguyễn Thị Thúy Hằng.
- 2 -
“ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên”
Tên SKKN “CHỨNG MINH MỘT VẬT, HỆ VẬT DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
- DÀNH CHO LỚP CHUYÊN”
Tài liệu viết ở dạng giáo trình cho giáo viên và học sinh các lớp chuyên sử dụng khi
dạy, học chuyên đề dao động điều hòa.
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Dao động điều hòa là chương mở đầu của chương trình Vật lý lớp 12. Ở lớp
chuyên nội dung này được dạy vào học kì 2 của lớp 11. Các bài tập về dao động điều
hòa cũng thường xuyên xuất hiện trong phần cơ học của đề thi học sinh giỏi quốc gia.

Các dạng bài tập nghiên cứu về các tính chất của một dao dộng điều hòa nói chung đã
được viết khá chi tiết và đầy đủ trong nhiều giáo trình. Tuy nhiên vấn đề chứng minh
một vật hoặc hệ vật dao động điều hòa tuy có số lượng không ít nhưng lại nằm rải rác
trong rất nhiều tài liệu khác nhau gây khó khăn cho giáo viên khi giảng dạy, còn với
học sinh do làm các bài tập rời rạc nên không thấy được hệ thống và tính logic của
vấn đề. Việc chứng minh một vật hoặc hệ vật có dao động điều hòa là một vấn đề
không đơn giản cho học sinh, kể cả học sinh các lớp chuyên. Vì để giải được các bài
toán này đòi hỏi học sinh phải nắm chắc các kiến thức tổng hợp về: động lực học chất
điểm, động lực học vật rắn, các định luật bảo toàn, các kiến thức về nhiệt học, điện
học, từ học Hiện giáo viên dạy chuyên cũng chưa có giáo trình nào giảng dạy
chuyên về các bài tập dạng này.
Xuất phát từ thực trạng trên chúng tôi đã chọn đề tài “Chứng minh một vật,
hệ vật dao động điều hòa dành cho lớp chuyên” để làm đề tài sáng kiến kinh
nghiệm của mình.
Đề tài đưa ra hai phương pháp chung để chứng minh một vật hoặc hệ vật dao
động điều hòa là: phương pháp động lực học và phương pháp năng lượng sau đó chia
các bài tập theo dạng từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp có tính hệ thống và tính
logic giúp học sinh dễ theo dõi và tiếp thu hơn.
Việc thực hiện đề tài này cũng giúp bản thân và đồng nghiệp có một tài liệu
tham khảo hữu ích khi dạy chuyên đề về dao động điều hòa. Vì sau mỗi bài tập tối
thiểu trên lớp hoặc bài tập tự giải đều có nhận xét kết quả và mục đích của bài tập
nhằm phục vụ yêu cầu sư phạm nào.
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Phương pháp chung chứng minh một vật hoặc hệ vật dao động điều hòa.
1. Phương pháp động lực học.
+ Chọn hệ quy chiếu sao cho việc giải bài toán là đơn giản nhất.
- 3 -
“ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên”
+ Xét vật ở VTCB :
1 2

0 0
hl
n
F F F F= ⇔ + + + =
ur r uur uur uur r
chiếu lên hệ trục tọa độ để thu được phương trình vô hướng:

1 2 3
0
n
F F F F± ± ± + =
(1)
+ Xét vật ở thời điểm t, có li độ là x : áp dụng định luật 2 Newton, ta có:

1 2
. .
hl n
F m a F F F m a= ⇔ + + + =
uur r uur uur uur r
chiếu lên hệ trục tọa độ để thu được phương trinh vô hướng:
(2)
Thay (1) vào (2) phương trình có dạng:
" 2
. 0x x
ω
+ =
. Phương trình này có nghiệm
dạng:
. ( . )x Acos t
ω ϕ

= +
hoặc
.sin( . )x A t
ω ϕ
= +
⇒
vật dao động điều hoà, với tần số góc là
ω
.
2. Phương pháp năng lượng.
+ Chọn mốc tính thế năng, sao cho việc giải bài toán là đơn giản nhất.
+ Cơ năng của vật dao động là : E = E
đ
+ E
t

2 2 2
1 1 1
. . . . . .
2 2 2
k A m v k x⇔ = +
(3)
+ Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian t , ta được :
' ' ' '
1 1
0 . .2. . . .2. . 0 . . . .
2 2
m v v k x x m v v k x x= + ⇔ = +
.
Mặt khác ta có : x

’
= v ; v
’
= a = x
”
, thay lên ta được : 0 = m.v.a + k.x.v
" "
0 . . . 0
k
m x k x x x
m
⇒ = + ⇔ + =
. Đặt
2
k
m
ω
=
. Vậy ta có :
" 2
. 0x x
ω
+ =
Phương trình này có nghiệm dạng:
. ( . )x Acos t
ω ϕ
= +
hoặc
.sin( . )x A t
ω ϕ

= +

⇒
Vật dao động điều hoà, với tần số góc là
ω
.
- 4 -
“ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên”
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
DẠNG 1: HỆ DAO ĐỘNG CHỈ GỒM VẬT VÀ LÒ XO.
A. Bài tập tối thiểu
Bài 1.1 Xét hệ gồm một lò xo nằm ngang có độ cứng
k. Một đầu gắn cố định, đầu còn lại gắn vào một vật
có khối lượng m có thể trượt không ma sát. Chứng tỏ
vật do động điều hòa khi được kích thích theo phương
ngang.
Giải
C1: Phương pháp động lực học.
Chọn hệ quy chiếu gắn với mặt đất. Hệ trục tọa độ như hình
vẽ.
- Các lực tác dụng lên vật: Lực đàn hồi
dh
F
ur
, trọng lực
P
ur
và phản lực của mặt sàn
N
uur

được biểu diễn như hình
vẽ.
- Phương trình định luật II Niutơn cho vật:
dh
F P N ma+ + =
uuur ur uur r

- Chiếu các lực lên trục Ox ta được:
"kx = mx−
x" +
" 0
kx
x
m
→ + =
. Đặt
2
k
m
ω
=
ta có: x" +
2
0x
ω
=
.
Phương trình này có nghiệm dạng:
. ( . )x Acos t
ω ϕ

= +

Vậy vật dao động dao động điều hoà với chu kì:
2
m
T
k
π
=
.
C2: Phương pháp năng lượng.
+ Chọn mốc tính thế năng đàn hồi tại vị trí vật khi lò xo không biến dạng
+ Cơ năng của hệ dao động khi vật có li độ x là : E = E
đ
+ E
t

2 2
1 1
2 2
E kx mv→ = +

+ Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian t , ta được :
- 5 -
m
O
x
x
“ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên”
' ' ' '

1 1
0 . .2. . . .2. . 0 . . . .
2 2
m v v k x x m v v k x x
= + ⇔ = +
.
Mặt khác ta có : x
’
= v ; v
’
= a = x
”
, thay lên ta được : 0 = m.v.a + k.x.v
" "
0 . . . 0
k
m x k x x x
m
⇒ = + ⇔ + =
. Đặt
2
k
m
ω
=
. Vậy ta có :
" 2
. 0x x
ω
+ =

Phương trình này có nghiệm dạng:
. ( . )x Acos t
ω ϕ
= +

⇒
Vật dao động điều hoà, với tần số góc là
ω
.
NHẬN XÉT
Đây là bài tập đơn giản nhất trong các bài toán chứng minh vật dao động điều hòa. Do
vậy giáo viên chỉ cần gợi ý phương pháp động lực học nói chung là học sinh có thể
làm được. Tập trung vào giải thích cho học sinh hiểu khái niệm phương trình vi phân
và nghiệm của phương trình vi phân.
MỤC ĐÍCH
1. Bước đầu làm quen với phương pháp chứng minh một vật dao động điều hòa.
2. Bước đầu làm quen với khái niệm phương trình vi phân và nghiệm của nó.
3. Phân biệt hai phương pháp giải: Phương pháp động lực học và phương pháp năng
lượng.
4. Với những bài tập đơn giản như thế này phương pháp động lực học hay phương
pháp năng lượng đều ngắn gọn như nhau. Nhưng việc trình bày cả hai phương pháp là
rất quan trọng vì nó là bài đơn giản về hiện tượng vật lí nên có thể tập trung vào
phương pháp
Bài 1.2 Xét hệ gồm một lò xo có độ cứng k. Một đầu gắn cố định lên giá đỡ,
đầu còn lại treo vào một vật có khối lượng m. Khi cân bằng thì trục của lò
xo có phương thẳng đứng. Bỏ qua mọi ma sát. Chứng tỏ vật do động điều
hòa khi được kích thích theo phương thẳng đứng.
Giải
C1: Phương pháp động lực học.
- 6 -

∆l
0

O
x
“ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên”
Chọn hệ quy chiếu gắn với mặt đất. Hệ trục tọa độ như hình vẽ.
- Các lực tác dụng lên vật: Lực đàn hồi
dh
F
ur
và trọng lực
P
ur
. được biểu diễn như
hình vẽ.
- Phương trình định luật II Niutơn cho vật:
dh
F P ma+ =
uuur ur r

- Tại vị trí cân bằng:
0
dh
F P+ =
uuur ur r
- Chiếu các lực lên trục Ox ta được:
0
0k l mg− ∆ + =
(1)

Khi vật có li độ x:
0
( )k l x mg ma− ∆ + − =
(2). Thay (1) vào (2) ta có:
"kx = mx−

" 0
kx
x
m
→ + =
. Đặt
2
k
m
ω
=
ta có: x" +
2
0x
ω
=
.
Phương trình này có nghiệm dạng:
. ( . )x Acos t
ω ϕ
= +

Vậy vật dao động dao động điều hoà với chu kì:
2

m
T
k
π
=
.
C2: Phương pháp năng lượng.
+ Chọn mốc tính thế năng đàn hồi tại tại vị trí vật khi lò xo không biến dạng và
mốc tính thế năng hấp dẫn tại vị trí cân bằng của vật.
+ Cơ năng của hệ dao động khi vật có li độ x là :
E = E
đ
+ E
t

2 2
0
1 1
(
2 2
E k l +x) mv mgx=const→ = ∆ + −

+ Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian t , ta được:
0 0
0
0 ( . ' . ' 0 ( "
( ) " 0 " 0
k l +x).x' mv v mg x k l +x) mx mg
k l mg kx mx kx mx
= ∆ + − → = ∆ + −

→ ∆ − + + = → + =
.
Đặt
2
k
m
ω
=
. Vậy ta có :
" 2
. 0x x
ω
+ =
Vậy vật dao động dao động điều hoà với chu kì:
2
m
T
k
π
=
.
- 7 -
“ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên”
NHẬN XÉT
Đây là bài tập đơn giản. Do vậy giáo viên chỉ cần gợi ý phương pháp động lực học nói
chung là học sinh có thể làm được. Tập trung vào phân tích cho học sinh sự khác biệt
giữa thế năng đàn hồi và thế năng hấp dẫn và liệu rằng mốc thế năng khác nhau có
được không.
MỤC ĐÍCH
1. Củng cố phương pháp chứng minh một vật dao động điều hòa.

2. Biết cách xử lí khi tính năng lượng mà gặp hai loại thế năng khác nhau.
Bài 1.3 Xét hệ gồm một lò xo có độ cứng k. Một đầu gắn
cố định lên giá đỡ, đầu còn lại gắn vào một vật có khối
lượng m. Hệ thống được trên mặt phẳng nghiêng như
hình vẽ. Bỏ qua mọi ma sát. Chứng tỏ vật do động điều
hòa khi được kích thích theo phương trục lò xo.
Giải
C1: Phương pháp động lực học.
Chọn hệ quy chiếu gắn với mặt đất. Hệ trục tọa độ như hình
vẽ.
- Các lực tác dụng lên vật: Lực đàn hồi
dh
F
ur
trọng lực
P
ur

và phản lực
N
uur
được biểu diễn như hình vẽ.
- Phương trình định luật II Niutơn cho vật:
dh
F P N ma+ + =
uuur ur uur r

- Tại vị trí cân bằng:
0
dh

F P+ =
uuur ur r
- Chiếu các lực lên trục Ox ta được:
0
- sin 0k l mg
α
∆ + =
(1)
Khi vật có li độ x:
0
( ) sink l x mg ma
α
− ∆ + − =
(2).
Thay (1) vào (2) ta có:
"kx = mx−
x" +
" 0
kx
x
m
→ + =
. Đặt
2
k
m
ω
=
ta có: x" +
2

0x
ω
=
.
- 8 -
α
m
O
α
x
m
“ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên”
Phương trình này có nghiệm dạng:
. ( . )x Acos t
ω ϕ
= +

Vậy vật dao động dao động điều hoà với chu kì:
2
m
T
k
π
=
.
C2: Phương pháp năng lượng.
+ Chọn mốc tính thế năng đàn hồi tại tại vị trí vật khi lò xo không biến dạng và
mốc tính thế năng hấp dẫn tại vị trí cân bằng của vật.
+ Cơ năng của hệ dao động khi vật có li độ x là :
E = E

đ
+ E
t

2 2
0
1 1
( .
2 2
E k l +x) mv mg x.sin =const
α
→ = ∆ + −

+ Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian t , ta được:
0 0
0
0 ( . ' . 'sin 0 ( " sin
( sin ) " 0 " 0
k l +x).x' mv v mg x k l +x) mx mg
k l mg kx mx kx mx
α α
α
= ∆ + − → = ∆ + −
→ ∆ − + + = → + =
.
Đặt
2
k
m
ω

=
. Vậy ta có :
" 2
. 0x x
ω
+ =
Phương trình này có nghiệm dạng:
. ( . )x Acos t
ω ϕ
= +

Vậy vật dao động dao động điều hoà với chu kì:
2
m
T
k
π
=
.
NHẬN XÉT
- Nếu góc
0
α
=
, vật nằm trên mặt phẳng ngang, bài toán trở về bài 1.1.
- Nếu góc
2
π
α
=

, vật bị treo thẳng đứng, bài toán trở về bài 1.2.
- Chu kì không phụ thuộc vào góc ngiêng
α
.
MỤC ĐÍCH
1. Củng cố phương pháp chứng minh một vật dao động điều hòa.
2. Củng cố phương pháp tính năng lượng mà gặp hai loại thế năng khác nhau.
- 9 -
“ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên”
Bài 1.4 Cho hệ gồm hai lò xo mắc song song rồi gắn vào vật đặt trên mặt phẳng
ngang không ma sát như hình vẽ. Tại vị trí cân bằng
cả hai lò xo đều bị biến dạng. Kích thích vật theo
phương ngang, dọc theo hai trục của lò xo. Chứng
minh vật dao động điều hòa. Tìm biểu thức tính chu
kì.
Chọn hệ quy chiếu gắn với mặt đất. Hệ trục tọa độ như hình vẽ.
- Các lực tác dụng lên vật: Lực đàn hồi của hai lò xo
1 2
;
dh dh
F F
ur ur
, trọng lực
P
ur
và
phản lực
N
uur
được biểu diễn như hình vẽ.

- Phương trình định luật II Niutơn cho vật:
1 2dh dh
F F P N ma+ + + =
uuur uuur ur uur r

- Tại vị trí cân bằng:
1 2
0
dh dh
F F P N+ + + =
uuur uuur ur uur r
Tại VTCB:
1 01 2 02
- - 0k l k l P N∆ ∆ + + =
uuur uuur ur uur
Khi vật có li độ x bất kì:
( ) ( )
( )
1 01 2 02
1 01 1 2
2
1 2
''
P N k l x k l x ma
P N k l k k x ma
k k
x a x x
m
+ − ∆ + − ∆ + =
⇒ + − ∆ − + =

+
⇒ = = − = −ω
ur uur uuur r uuur r r
ur uur uuur r r
Với
1 2
k k
m
+
ω =
Vậy vật dao động điều hòa với chu kì :
1 2
2
2
m
T
k k
π
= = π
ω +
NHẬN XÉT
1. Dao động của hệ có hai lò xo trên sẽ tương đương với một lò xo có độ cứng
- 10 -
k
2
k
1
k
2
k

1
2dh
F
r
1dh
F
r
P
r
N
r
O
x
x
“ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên”
2. Nếu k
1
= 0 hoặc k
2
= 0 thì bài toán trở về hệ chỉ có một lò xo như 1.1.
MỤC ĐÍCH
1. Củng cố, nâng cao dần độ khó của bài toán chứng minh một vật dao động điều hòa.
2. Quét hết các dạng toán chỉ có lò xo và vật.
Bài 1.5 Cho hệ gồm hai lò xo mắc nối tiếp rồi gắn vào vật đặt trên mặt phẳng ngang
không ma sát như hình vẽ. Kích thích vật theo
phương ngang, dọc theo hai trục của lò xo.
Chứng minh vật dao động điều hòa. Tìm biểu
thức tính chu kì.
Giải
Chọn hệ quy chiếu gắn với mặt đất. Hệ trục

tọa độ như hình vẽ.
- Các lực tác dụng lên vật: Lực đàn hồi của
hai lò xo k
2

2dh
F
ur
, trọng lực
P
ur
và phản
lực
N
uur
được biểu diễn như hình vẽ.
- Phương trình định luật II Niutơn cho vật:
2dh
F P N ma+ + =
uuur ur uur r
(1)
Tại điểm nối hai lò xo:
1 2
0
dh dh
F F+ =
uuur uuur
r
(2)
Gọi x

1
và x
2
là độ biến dạng của mỗi lò xo khi vật có li độ x thì: x = x
1
+ x
2
(3)
Chiếu (1) và (2) lên trục Ox ta có:
2 2
1 1 2 2
"(4)
0(5)
k x mx
k x k x
− =


− + =


- 11 -
k
2
k
1
m
k
1
2dh

F
r
P
r
N
r
O
x
x
“ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên”
Thay (3) vào (5) ta được
1
2
1 2
k
x x
k k
=
+
thay tiếp vào (4) ta có:
1 2
1 2
"
k k
x mx
k k
− =
+
Đặt
( )

1 2
1 2
k k
k k m
ω =
+
ta được
2
'' 0x x+ ω =
Vậy vật dao động điều hòa với chu kì :
( )
1 2
1 2
2
2
k k m
T
k k
+
π
= = π
ω
NHẬN XÉT
1. Dao động của hệ có hai lò xo trên sẽ tương đương với một lò xo có độ cứng
1 2
1 2
k k
k
k k
=

+
.
2. Nếu k
1
= 0 hoặc k
2
= 0 thì vật không dao động.
3. Nếu
1 1
k k k= ∞ → =
hoặc
2 2
k k k= ∞ → =
thì hệ giống như chỉ có 1 lò xo, lò xo
còn lại chỉ là một thanh cứng không có khối lượng.
MỤC ĐÍCH
1. Củng cố, nâng cao dần độ khó của bài toán chứng minh một vật dao động điều hòa.
2. Quét hết các dạng toán chỉ có lò xo và vật.
B. Bài tập có hướng dẫn
Bài 1.6 Xét hệ gồm một lò xo có độ cứng k đặt thẳng đứng. Đầu dưới gắn cố
định lên giá đỡ, đầu trên gắn vào một vật có khối lượng m. Khi cân bằng thì trục
của lò xo có phương thẳng đứng. Bỏ qua mọi ma sát. Chứng tỏ vật do động điều
hòa khi được kích thích theo phương thẳng đứng.
Hướng dẫn
- 12 -
∆l
0

O
x

“ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên”
C1: Phương pháp động lực học.
Chọn hệ quy chiếu gắn với mặt đất. Hệ trục tọa độ như hình vẽ.
- Các lực tác dụng lên vật: Lực đàn hồi
dh
F
ur
và trọng lực
P
ur
được biểu diễn như
hình vẽ.
- Phương trình định luật II Niutơn cho vật:
dh
F P ma+ =
uuur ur r

- Tại vị trí cân bằng:
0
dh
F P+ =
uuur ur r
- Chiếu các lực lên trục Ox ta được:
0
0k l mg− ∆ + =
(1)
Khi vật có li độ x:
0
( )k l x mg ma− ∆ + + =
(2). Thay (1) vào (2) ta có:

"kx = mx−

" 0
kx
x
m
→ + =
. Đặt
2
k
m
ω
=
ta có: x" +
2
0x
ω
=
.
Vậy vật dao động dao động điều hoà với chu kì:
2
m
T
k
π
=
.
C2: Phương pháp năng lượng.
+ Chọn mốc tính thế năng đàn hồi tại tại vị trí vật khi lò xo không biến dạng và
mốc tính thế năng hấp dẫn tại vị trí cân bằng của vật.

+ Cơ năng của hệ dao động khi vật có li độ x là :
E = E
đ
+ E
t

2 2
0
1 1
(
2 2
E k l + x) mv mgx=const→ = ∆ + −

+ Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian t , ta được:
0 0
0
0 ( . ' . ' 0 ( "
( ) " 0 " 0
k l + x).x' mv v mg x k l + x) mx mg
k l mg kx mx kx mx
= ∆ + − → = ∆ + −
→ ∆ − + + = → + =
.
Đặt
2
k
m
ω
=
. Vậy ta có :

" 2
. 0x x
ω
+ =
Vậy vật dao động dao động điều hoà với chu kì:
2
m
T
k
π
=
.
- 13 -
“ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên”
NHẬN XÉT
Đây là bài tập đơn giản. Do vậy giáo viên chỉ cần gợi ý phương pháp động lực học nói
chung là học sinh có thể làm được. Tập trung vào phân tích cho học sinh sự khác biệt
giữa thế năng đàn hồi và thế năng hấp dẫn và liệu rằng mốc thế năng khác nhau có
được không.
MỤC ĐÍCH
1. Củng cố phương pháp chứng minh một vật dao động điều hòa.
2. Biết cách xử lí khi tính năng lượng mà gặp hai loại thế năng khác nhau.
Bài 1.7 Xét hệ gồm một lò xo có độ cứng k. Một đầu gắn cố định lên giá đỡ, đầu còn
lại treo vào một vật có khối lượng m. Hệ được đặt trên mặt phẳng nghiêng như hình
vẽ. Bỏ qua mọi ma sát. Chứng tỏ vật do động điều hòa khi được kích thích theo
phương của trục lò xo.
Giải
C1: Phương pháp động lực học.
Chọn hệ quy chiếu gắn với mặt đất. Hệ trục tọa độ như
hình vẽ.

- Các lực tác dụng lên vật: Lực đàn hồi
dh
F
ur
trọng lực
P
ur
và phản lực
N
uur
được biểu diễn như hình vẽ.
- Phương trình định luật II Niutơn cho vật:
dh
F P N ma+ + =
uuur ur uur r

- Tại vị trí cân bằng:
0
dh
F P+ =
uuur ur r
- Chiếu các lực lên trục Ox ta được:
0
sin 0k l mg∆ − =
α
(1)
Khi vật có li độ x:
0
( ) sink l x mg ma∆ − − =
α

(2).
Thay (1) vào (2) ta có:
"kx = mx−
x" +
" 0
kx
x
m
→ + =
. Đặt
2
k
m
ω
=
ta có: x" +
2
0x
ω
=
.
- 14 -
O
α
x
m
“ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên”
Vậy vật dao động dao động điều hoà với chu kì:
2
m

T
k
π
=
.
C2: Phương pháp năng lượng.
+ Chọn mốc tính thế năng đàn hồi tại tại vị trí vật khi lò xo không biến dạng và
mốc tính thế năng hấp dẫn tại vị trí cân bằng của vật.
+ Cơ năng của hệ dao động khi vật có li độ x là :
E = E
đ
+ E
t

2 2
0
1 1
( .
2 2
E k l +x) mv mg x.sin =const
α
→ = ∆ + −

+ Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian t , ta được:
0 0
0
0 ( . ' . 'sin 0 ( " sin
( sin ) " 0 " 0
k l +x).x' mv v mg x k l +x) mx mg
k l mg kx mx kx mx

α α
α
= ∆ + − → = ∆ + −
→ ∆ − + + = → + =
.
Đặt
2
k
m
ω
=
. Vậy ta có :
" 2
. 0x x
ω
+ =
Vậy vật dao động dao động điều hoà với chu kì:
2
m
T
k
π
=
.
NHẬN XÉT
- Nếu góc
0
α
=
, vật nằm trên mặt phẳng ngang, bài toán trở về bài 1.1.

- Nếu góc
2
π
α
=
, lò xo bị dựng thẳng đứng, bài toán trở về bài 1.6.
- Chu kì không phụ thuộc vào góc ngiêng
α
.
MỤC ĐÍCH
1. Rèn luyện phương pháp chứng minh một vật dao động điều hòa.
2. Rèn luyện phương pháp tính năng lượng mà gặp hai loại thế năng khác nhau.
Bài 1.8 Hai lò xo có chiều dài tự nhiên L
01
và
L
02
. Hai đầu của lò xo gắn vào 2 điểm cố định A
và B. Hai đầu còn lại gắn vào 1 vật có khối
lượng m. Chứng minh m dao động điều hoà khi
được kích thích dọc theo trục lò xo.
- 15 -
A
B
k
1
m k
2

“ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên”

* Trường hợp 1. AB = L
01
+ L
02
( Tại VTCB hai lò xo không biến dạng )
Xét vật m ở thời điểm t có li độ là x:

1 2
.
dh dh
m a F F= +
r uuur uuuur
. Chiếu lên trục Ox, ta có:
1 2 1 2
. . ( )ma k x k x x k k= − − = − +

1 2
1 2
( ) 0 " . 0
k k
ma x k k x x
m
+
⇔ + + = ⇒ + =
.
Đặt
2
1 2
k k
m

ω
+
=
. Vậy ta có:
2
" . 0x x
ω
+ = ⇒
.
Vậy vật m dao động điều hoà với tần số góc là
1 2
k k
m
ω
+
=
* Trường hợp 2. AB > L
01
+ L
02
(Trong quá trình dao động hai lò xo luôn luôn bị
dãn).
Gọi
1
l∆
và
2
l∆
lần lượt là độ dãn của hai lò xo tại VTCB
+ Xét vật m ở VTCB:

0 1 0 2
0
dh dh
F F= +
uuuur uuuuur
.
Chiếu lên trục Ox, ta được
2 2 1 1
. . 0k l k l∆ − ∆ =
(1)
+ Xét vật m ở thời điểm t, có li độ x:
1 2
.
dh dh
m a F F= +
r uuur uuuur
Chiếu lên trục Ox:
2 1 2 2 1 1
" ( ) ( )
dh dh
ma F F mx k l x k l x= − ⇔ = ∆ − − ∆ +
(2)
Thay (1) vào (2) ta được:
1 2 1 2
. . ( )ma k x k x x k k= − − = − +
1 2
1 2
( ) 0 " . 0
k k
ma x k k x x

m
+
⇔ + + = ⇒ + =
.Đặt
2
1 2
k k
m
+
=
ω
. Vậy ta có:
2
" . 0x x+ =
ω
Vậy vật m dao động điều hoà với tần số góc là
1 2
k k
m
+
=
ω
* Trường hợp 3.AB < L
01
+ L
02
( trong quá trình dao động hai lò xo luôn luôn bị
nén).
Gọi
1

l∆
và
2
l∆
lần lượt là độ nén của hai lò xo tại VTCB
- 16 -
x
O
A
B
k
1
m k
2

“ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên”
+ Xét vật m ở VTCB:
0 1 0 2
0
dh dh
F F= +
uuuur uuuuur
.
Chiếu lên trục Ox, ta được
2 2 1 1
. . 0k l k l− ∆ + ∆ =
(1)
+ Xét vật m ở thời điểm t, có li độ x:
1 2
.

dh dh
m a F F= +
r uuur uuuur
Chiếu lên trục Ox:
2 1 2 2 1 1
" ( ) ( )
dh dh
ma F F mx k l x k l x= − + ⇔ = − ∆ + + ∆ −
(2)
Thay (1) vào (2) ta được:
1 2 1 2
. . ( )ma k x k x x k k= − − = − +
1 2
1 2
( ) 0 " . 0
k k
ma x k k x x
m
+
⇔ + + = ⇒ + =
. Đặt
2
1 2
k k
m
ω
+
=
. Vậy ta có:
2

" . 0x x+ =
ω
. Vậy
vật m dao động điều hoà với tần số góc là
1 2
k k
m
ω
+
=
Bài 1.9 Cho hệ gồm hai lò xo mắc nối tiếp rồi gắn
vào vật đặt trên mặt phẳng nghiêng không ma sát
như hình vẽ. Kích thích vật theo phương dọc theo
trục của hai lò xo. Chứng minh vật dao động điều
hòa. Tìm biểu thức tính chu kì.
Giải
Chọn hệ quy chiếu gắn với mặt đất. Hệ trục tọa
độ như hình vẽ.
- Các lực tác dụng lên vật: Lực đàn hồi của
hai lò xo k
2

2dh
F
ur
, trọng lực
P
ur
và phản lực
N

uur
được biểu diễn như hình vẽ.
- Phương trình định luật II Niutơn cho vật:
2dh
F P N ma+ + =
uuur ur uur r
(1)
Tại điểm nối hai lò xo:
1 2
0
dh dh
F F+ =
uuur uuur
r
(2)
Tại vị trí cân bằng chiếu (1) và (2) lên trục Ox ta có:
- 17 -
O
α
k
2
k
1
m
O
α
k
2
k
1

O
x
“ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên”
2 02
1 01 2 02
sin 0
0
k l mg
k l k l
− ∆ + α =


− ∆ + ∆ =

Gọi x
1
và x
2
là độ biến dạng của mỗi lò xo khi vật có li độ x thì: x = x
1
+ x
2
(3)
Chiếu (1) và (2) lên trục Ox ta có:
2 02 2
2 2
1 01 1 2 02 2 1 1 2 2
( ) sin "
"(4)
( ) ( ) (5)

k l x mg mx
k x mx
k l x k l x k x k x
− ∆ + + α =
− =


⇒
 
− ∆ + + ∆ + − +



Thay (3) vào (5) ta được
1
2
1 2
k
x x
k k
=
+
thay tiếp vào (4) ta có:
1 2
1 2
"
k k
x mx
k k
− =

+
Đặt
( )
1 2
1 2
k k
k k m
ω =
+
ta được
2
'' 0x x+ ω =
Vậy vật dao động điều hòa với chu kì :
( )
1 2
1 2
2
2
k k m
T
k k
+
π
= = π
ω
NHẬN XÉT
- Nếu góc
0
α
=

, vật nằm trên mặt phẳng ngang, bài toán trở về bài 1.5.
- Nếu góc
2
π
α
=
, hệ lò xo bị dựng thẳng đứng.
- Nếu góc
2
= −
π
α
, hệ lò xo bị treo thẳng đứng.
- Chu kì không phụ thuộc vào góc ngiêng
α
.
MỤC ĐÍCH
1. Củng cố, nâng cao dần độ khó của bài toán chứng minh một vật dao động điều hòa.
2. Rèn luyện bài toán 2 lò xo mắc nối tiếp đồng thời tăng them độ khó khi đặt trên mặt
phẳng nghiêng.
DẠNG 2: BÀI TOÁN VỀ LÒ XO LIÊN KẾT.
- 18 -
“ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên”
Bài 2.1 (ròng rọc cố định)
Cho cơ hệ như hình vẽ: vật nhỏ có khối lượng m,lò xo có độ cứng k,
ròng rọc và lò xo có khối lượng không đáng kể, bỏ qua ma sát.
Dây nối mảnh, nhẹ, không co giãn.
Chứng minh cơ hệ dao động điều hoà. Tìm chu kì dao động.
Giải
C1: Phương pháp động lực học.

Chọn hệ quy chiếu gắn với đất. trục toạ độ Ox, O trùng với vị trí cân bằng của m,
chiều dương hướng xuống.
Các lực tác dụng lên vật: Lực căng
T
của dây treo, trọng lực
P
.
Phương trình định luật II Niutơn cho vật:
1
P T ma+ =
ur ur r

Tại điểm nối lò xo với dây:

2
0
dh
T F+ =
uur uuur
.
Khi hệ ở vị trí cân bằng chiếu lên trục Ox ta có:
1
0P T− =
(1).
2
0
dh
F T− =
(2). Vì lò xo không dãn nên

T
1
= T
2
. Từ (1) và (2), ta có : P = F
đh

0
. .m g k l⇔ = ∆
.
1
.P T m a− =
(3).
2
0
dh
F T− =
(4).
. . ( ) .
dh
P F m a m g k x l m a⇒ − = ⇔ − + ∆ =
(**)
:
" " 2
. . . 0k x m x x x⇒ − = ⇒ + =
ω
. Đặt
2 " 2
. 0
k

x x
m
= ⇒ + =
ω ω
. Vật dao động điều hoà,
- 19 -
m
k
2
T
uur
dh
F
uuur
I
1
T
ur
P
ur
O
x
“ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên”
với chu kì
2
m
T
k
=
π

C2: Phương pháp năng lượng.
+ Chọn mốc tính thế năng đàn hồi tại tại vị trí vật khi lò xo không biến dạng và
mốc tính thế năng hấp dẫn tại vị trí cân bằng của vật.
+ Cơ năng của hệ dao động khi vật có li độ x là :
E = E
đ
+ E
t

2 2
0
1 1
(
2 2
E k l +x) mv mgx=const→ = ∆ + −

+ Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian t , ta được:
0 0
0
0 ( . ' . ' 0 ( "
( ) " 0 " 0
k l +x).x' mv v mg x k l +x) mx mg
k l mg kx mx kx mx
= ∆ + − → = ∆ + −
→ ∆ − + + = → + =
.
Đặt
2
k
m

ω
=
. Vậy ta có :
" 2
. 0x x
ω
+ =
Vậy vật dao động dao động điều hoà với chu kì:
2
m
T
k
π
=
.
NHẬN XÉT
- Chu kì dao động của vật giống như vật liên kết trực tiếp với lò xo.
- Thực ra ròng rọc chỉ có tác dụng đổi chiều của lực đàn hồi tác dụng lên vật.
MỤC ĐÍCH
1. Củng cố, nâng cao dần độ khó của bài toán chứng minh một vật dao động điều hòa.
2. Thông qua bài tập khá dễ của lò xo liên kết này cho học sinh bắt đầu tiếp cận với
bài toán lò xo liên kết với ròng rọc.
Bài 2.2 : (ròng rọc động)
Cho cơ hệ như hình vẽ: vật nhỏ có khối lượng m,lò xo có độ cứng k, ròng rọc và lò
xo có khối lượng không đáng kể, bỏ qua ma sát. Dây nối mảnh, nhẹ, không co giãn.
- 20 -
“ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên”
Chứng minh cơ hệ dao động điều hoà .Tìm chu kì dao động.
Giải
C1 : Phương pháp động lực học

Chọn hệ quy chiếu gắn với mặt đất. Hệ trục tọa độ như hình vẽ.
- Các lực tác dụng lên ròng rọc: Lực đàn hồi
F
, hai lực căng của dây treo
T
được
biểu diễn như hình vẽ.
- Các lực tác dụng lên vật: Lực căng
T
của dây treo, trọng
lực
P
.
- Phương trình định luật II Niutơn cho vật:
P T ma+ =
ur ur r

Đối với ròng rọc: 2
T
+
F
=
0
;
Khi vật ở VTCB chiếu lên Ox ta có:
0
0
2 0
2 0
P T

mg k l
T F
− =

⇒ − ∆ =

− =

(1)
Khi vật di chuyển một đoạn x thì ròng rọc động ( và lò xo) dịch thêm một đoạn
2
x
. Biểu thức của lực đàn hồi khi vật ở li độ x: F' = k(
0
l∆
+
2
x
) .
- Theo định luật II Niutơn ta có biểu thức ở li độ x:
0
2 ( ) 2
2 0
2
P T ma
x
mg k l ma
T F
− =


⇒ − ∆ + =

− =

(2)
Từ (1) và (2) ta có: x" +
0
4
kx
m
=
. Đặt
2
4
k
m
ω
=
ta có: x" +
2
0x
ω
=
. Vậy hệ dao
động dao động điều hoà với chu kì:
4
m
T
k
π

=
.
C2: Phương pháp năng lượng.
+ Chọn mốc tính thế năng đàn hồi tại tại vị trí vật khi lò xo không biến dạng và
mốc tính thế năng hấp dẫn tại vị trí cân bằng của vật.
- 21 -
x
0
m
F
P
ur
T
T
“ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên”
Khi vật di chuyển một đoạn x thì ròng rọc động ( và lò xo) dịch thêm một đoạn
2
x
do vậy cơ năng của hệ khi vật có li độ x là :
E = E
đ
+ E
t

2 2
0
1 1
(
2 2 2
x

E k l + ) mv mgx=const→ = ∆ + −

+ Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian t , ta được:
0 0
0
0 ( . ' . ' 0 "
2 2 4
1
( ) " 0 " 0
2 4 4
x x' kx
k l + ). mv v mg x k l + mx mg
kx kx
k l mg mx mx
= ∆ + − → = ∆ + −
→ ∆ − + + = → + =
.
x" +
0
4
kx
m
=
. Đặt
2
4
k
m
ω
=

ta có: x" +
2
0x
ω
=
. Vậy hệ dao động dao động điều hoà
NHẬN XÉT
1. Chu kì dao động của vật gấp đôi so với khi vật liên kết trực tiếp với lò xo.
2. Bài này có điểm khác so với các bài trước là ròng rọc động nên khi vật di
chuyển một đoạn x thì ròng rọc động (và lò xo) chỉ dịch thêm một đoạn
2
x
.
MỤC ĐÍCH
1. Củng cố, nâng cao dần độ khó của bài toán chứng minh một vật dao động điều hòa.
2. Thông qua bài tập này học sinh phân biệt được sự khác nhau giữa ròng rọc động và
ròng rọc cố định.
Bài 2.3 : (Hai lò xo liên kết qua ròng rọc động)
Cho hệ dao động ở hình bên. Các lò xo có phương thẳng đứng
và có độ cứng k
1
và k
2
. Bỏ qua khối lượng ròng rọc và các lò xo.
Bỏ qua ma sát.
Khi vật được kích thích dọc theo phương dây treo vật. Chứng minh
m thực hiện dao động điều hoà và tìm biểu thức chu kì T.
Giải
Các lực tác dụng vào các vật trong hệ được biểu diễn như
- 22 -

x
0
K
1
K
2






K
1
K
2
m
“ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên”
hình vẽ:
Phương trình định luật II Niutơn cho vật:
P T ma+ =
ur ur r

Cho ròng rọc: 2
T
+
2dh
F
ur
=

0
;
Đối với lò xo 1:
T
+
1dh
F
ur
=
0
;
Khi vật ở VTCB chiếu lên Ox ta có:
1 01
2 02
1 01 2 02
1 01
0
0
2 0
2 0
0
P T
P k l
T k l
k l k l
k l T
− =

− ∆ =



− ∆ = ⇒
 
∆ − ∆ =


∆ − =

(1)
Khi vật di chuyển một đoạn x thì lò xo k
1
giãn thêm một đoạn ∆l
1
và lò xo k
2
giãn
thêm một đoạn ∆l
2
và ta có: x

= ∆l
1
+ 2∆l
2
(2)
Khi vật ở li độ x chiếu lên Ox ta có:
1 01 1
1 1
2 02 2
1 1 2 2

1 1 2 2
1 01 1
( )
(3)
2 ( ) 0
2 (4)
2 0
( ) 0
P T ma
P k l l ma
k l ma
T k l l
k l k l
k l k l
k l l T
− =

− ∆ + ∆ =
− ∆ =



− ∆ + ∆ = ⇒ ⇒
  
∆ = ∆
∆ − ∆ =



∆ + ∆ − =


Thay (4) vào (2) được:
2
1
2 1
4
k x
l
k k
∆ =
+
(5)
Thay (5) vào (3) ta được:
1 2
2 1
''
4
k k x
mx
k k
−
=
+
. Đặt
2
1 2
2 1
( 4 )
k k
k k m

ω
=
+

ta có: x" +
2
0x
ω
=
. Vậy hệ dao động dao động điều hoà với chu kì:
2 1
1 2
( 4 )
2
k k m
T
k k
π
+
=
.
NHẬN XÉT
1. Nếu
1 2
k k k= =
thì
5
2
m
T

k
=
π

giống như vật nối trực tiếp với lò xo có độ
cứng
'
5
k
k =
.
2. Điểm khó khăn hơn của bài tập này là khi vật di chuyển một đoạn x thì mỗi
- 23 -
“ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên”
lò xo giãn các đoạn x
1
, x
2
khác nhau và phải tìm được mối quan hệ giữa x
1
,
x
2
với x.
MỤC ĐÍCH
1. Củng cố, nâng cao dần độ khó của bài toán chứng minh một vật dao động điều hòa
khi lien kết với ròng rọc.
2. Rèn luyện kĩ năng giải bài có ròng rọc động và tìm được quy tắc giải các bài này là:
phải tìm bằng được mối quan hệ giữa độ biến dạng của các lò xo theo li độ x của vật.
Bài 2.4 : Lò xo liên kết qua thanh

Cho hệ dao động có cấu tạo như hình vẽ. Vị trí cân bằng nằm ngang. Thanh OB nhẹ
có thể quay quanh trục qua O, nằm ngang không ma sát. Ở đầu thanh có gắn vật m, độ
cứng lò xo là k. Cho rằng lò xo luôn thẳng đứng. Tìm chu kì dao động nhỏ của hệ.
Giải
Xét trục quay tại O, m cân bằng: momen của
trọng lực cân bằng với momen của lực đàn hồi
1 2 1
2
0
1
mg(l l ) k l.l 0
l mg
l 1
l k
+ − ∆ =
 
⇒ ∆ = +
 ÷
 
Khi vật có li độ x (nhỏ) lò xo biến dạng x
’
, ta có:
' ' '
1
1 2
l
OAA ~ OBB x x
l l
∆ ∆ ⇒ =
+

- 24 -
A
k
B
m
O
l
2
l
1
x
O
A
k
B
O
l
2
l
1
x
O
A’
B’
“ Chứng minh một vật, hệ vật dao động điều hòa - dành cho lớp chuyên”
Momen quay quanh O:
1 2 1 1 2 1 1 1
M P(l l ) k( l x')l mg(l l ) kl l kx'l= + − ∆ + = + − ∆ −
mà
1 2 1 1

mg(l l ) kl l 0+ − ∆ =
'
1 1 2
M kx l N(l l )⇒ = − = +
Với N là phản lực của thanh tác dụng lên vật cũng là lực lò xo truyền đến vật.
mà
'
1
1 2
l
x x
l l
=
+
2
1
1 2
l
F xk
l l
 
⇒ = −
 ÷
+
 
∑
2
1
1 2
l

F ma mx'' xk
l l
 
⇒ = = = −
 ÷
+
 
∑
2
2
1 1
1 2 1 2
k l l k
x'' x x;
m l l l l m
 
−
⇒ = = −ω ω =
 ÷
+ +
 
Vậy vật dao động điều hòa, chu kì:
2
1
2 l m
T 2 1
l k
 
π
= = π +

 ÷
ω
 
NHẬN XÉT
1. Nếu biến đổi
2 2
1 1
2 1 2 2
l m m l m
T
l k k l k
 
= π + = π + π
 ÷
 
thì ta có thể coi như phần đầu
là do con lắc lò xo treo thẳng đứng gây ra, phần còn lại do liên kết với thanh tạo ra.
2. Biện luận theo l
1
, l
2
+ Nếu l
1
= l
2
lò xo gắn ở giữa thanh
4
m
T
k

= π
+ Nếu l
2
=l= AB ;l
1
=0; lò xo gắn ở đầu trong của thanh
T
= ∞
. Vật không dao
động. Vì lúc đó lò xo coi như gắn vào tường.
+ Nếu l
1
=l= AB ;l
2
=0; lò xo gắn ở đầu ngoài của thanh
2
m
T
k
= π
. Vật dao động
- 25 -