Phương trình nghiệm nguyên

Phạm huy huân -thcs cảnh thụy - phơng trình nghiệm nguyên
Ph ơng pháp1: Đa về dạng tích.
Thí dụ 1: Giải phơng trình nghiệm nguyên.
x
2
- 656xy 657y
2
=1983.(1)
Lời giải:
(1)<=>x
2
-657xy+xy-657y
2
=1983.
<=>x(x-657y)+y(x-657y)=1983.
<=>(x-657y)(x+y)=1983.
Do 1983=1.1983=3.661=(-1).(-1983)=(-3).(-661)
Vì hiệu (x+y)-(x-657y)=658y chia hết cho 658 nên 1983 phải phân tích
thành một tích hai thừa số có hiệu chia hết cho 685.Vậy ta có 4 hệ phơng trình:



=
=+
3657
661
yx
yx

=
=+
661657
3
yx
yx



=
=+
3657
661
yx
yx



=
=+
661657
3
yx
yx
Giải ra ta đợc 4 cặp nghiệm là:(x;y)=(660;1);(4;-1);(-660;-1);(-4;1).
Thí dụ 2: Tìm phơng trình nghiện nguyên:
y
3
-x
3

=91 (1)
Lời giải:
(1) <=>(y-x)(y
2
+yx+x
2
)=91(*).
Vì y
2
+yx+x
2
>0 với mọi x,y nên từ (*) suy ra y-x>0. Mặt khác,
91=1.91=7.13 và y-x; y
2
+yx+x
2
đều nguyên dơng nên ta có 4 khả năng xảy ra:



=++
=
1xyxy
91
22
xy



=++

=
91xyxy
1
22
xy



=++
=
7xyxy
13
22
xy



=++
=
13xyxy
7
22
xy
Đến đây bài toán coi nh đã đợc giải quyết xong.
Thí dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình.
2x
3
+xy=7(1)
Lời giải:
(1) x(2x

2
+y)=7




=+
=
72
1
2
yx
x
;



=+
=
12
7
2
yx
x
;



=+
=

72
1
2
yx
x
;



=+
=
12
7
2
yx
x
1
Phạm huy huân -thcs cảnh thụy - phơng trình nghiệm nguyên




=
=
5
1
y
x
;

=
=
97
7
y
x
;



=
=
9
1
y
x
;



=
=
99
7
y
x
Vậy các mghiệm nguyên của phơng trình là:
(x;y)=(1;5); (7;-97); (-1;-9); (-7;-99).

Thí dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình.
y
2
=x(x+1)(x+7)(x+8) (1)
Lời giải:
(1) y
2
=(x
2
+8x)(x
2
+8x+7). Đặt t=x
2
+8x, ta có: y
2
=t
2
+7t
4y
2
=4t
2
+28t+49-49 (2t+7)
2
-4y
2
=49 (2t+7-2y)(2t+7+2y)=49.
Đến đây bài toán coi nh giải quyết xong.
Bài tập áp dụng
1. x

2
-4xy=23.
2. x
2
-2xy-3y
2
=8.
3. x+y+xy=9.
Ph ơng pháp 2: Sắp thứ tự các ẩn.
Nếu các ẩn x, y, z, có vai trò bình đẳng, ta có thể giả sử xyzđể tìm
các nghiệm thoả mãn điều kiện này. Từ đó, dùng phép hoán vị để tìm ra các
nghiệm của phơng trình đã cho.
Thí dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
x+y+z= xyz. (1)
Lời giải:
Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phơng trình, trớc hết ta xét xyz. Vì
x, y, z nguyên dơng nên xyz>0, do đó xyz suy ra xyz=x+y+z3z suy ra xy3
suy ra xy{1;2;3}.
Nếu xy=1 suy ra x=1;y=1, thay vào(1) ta có:2+z=z (Vô lí).
Nếu xy=2, do xy nên x=1; y=2 thay vào(1) ta đợc z=3.
Nếu xy=3, do xy nên x=1; y=3 thay vào (1) ta đơc z=2.
Vậy nghiệm nguyên dơng của phơng trình là:
(x,y,z)=(1,2,3);(1,3,2);(2;1;3);(2;3;1);(3;2;1);(3;1;2).
Thí dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình.

1
1111
=+++
tzyx
.

Lời giải:
Giả sử xyzt. Thế thì số nhỏ nhất x4(Nếu không thì
)1
1111
<+++
tzyx
và
x2. Vậy ta xét 3 trờng hợp x=2; x=3; x=4.
2
Phạm huy huân -thcs cảnh thụy - phơng trình nghiệm nguyên
Nếu x=2 thì
2
1111
=++
tzy
. Ta lại thấy rằng y6 (Nếu không thì
2
1111
<++
tzy
)
và y3.
Bây giờ trong đẳng thức
2
1111
=++
tzy
ta thay lần lợt y=3;4;5;6. xét tiếp z và
t theo cách đánh giá x và y ở trên.
Ta lại xét hai trờng hợp x=3 và x=4. cuối cùng sẽ đợc 14 bộ bốn số

(x; y; z; t)=(2;3;7;42);(2;3;8;24);(2;3;9;18);(2;3;10;15);(2;3;12;12);
(2;4;5;20);(2;4;6;12);(2;4;8;8);(2;5;5;10);(2;6;6;6);(3;3;4;12);(3;3;6;6);
(3;4;4;6);(4;4;4;4).
Bài tập t ơng tự:
1.Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
.2
111
=++
zyx
.
2. Cho các số tự nhiên a<b<c<d<e (a2) sao cho
.1
11111
=++++
edcba
3. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình.
.
5
4111
=++
tzy
.
Ph ơng pháp 3: sử dụng tính chất chia hết.
Phơng pháp này sử dụng tính chất chia hết để chứng minh phơng trình vô
nghiệm hoặc tìm nghiệm nguyên của phơng trình.
Thí dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x
2
- 2y
2
=5 (1).

Lời giải:
Từ phơng trình (1) ta suy ra x phải là số lẻ. Thay x=2k+1(kZ) vào (1), ta đ-
ợc: 4k
2
+4k+1-2y
2
=5 2(k
2
+k-1)=y
2
=>y
2
chẵn => y chẵn.
Đặt y= 2t (tZ), ta có:
2(k
2
+k-1)=4t
2
k(k+1)=2t
2
+1(2).
Nhận xét: k(k+1) là số chẵn, 2t
2
+1 là số lẻ => Phơng trình (2) vô nghiệm.
Vậy phơng trình (1) không có nghiệm nguyên.
Thí dụ 2: Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y, z thoả mãn: x
3
+y
3
+z

3
=x+y+z+2000 (1).
Lời giải:
Ta có: x
3
-x=(x-1)x(x+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp(với x là số
nguyên). Do đó: x
3
-x chia hết cho 3. Tơng tự y
3
-y và z
3
-z cũng chia hết cho 3 =>
x
3
+y
3
+z
3
-x-y-z chia hết cho 3.
Vì 2000 không chia hết cho 3 nên phơng trình đã cho không có nghiệm
nguyên.
Thí dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình.
3
Phạm huy huân -thcs cảnh thụy - phơng trình nghiệm nguyên
6x
2
+5y
2
=74. (1)

(1) 6(x
2
-4) = 5(10-y
2
)
Vì (5,6)=1, nên phải có: x
2
-4

5; 10-y
2


6.
Đặt x
2
-4=5u; 10-y
2
=6v.
Nhận thấy 6.5u=5.6v => u=v.
x
2
=5u+4

0 => u

-4/5
y
2
=10-6v

0 => v

5/3
=> -4/5

u=v

5/3
Suy ra u=v=0 hoặc u=v=1.
+ u=v=0 => y
2
=10, không có y nguyên nào.
+ u=v=1 =>



=
=
4
9
2
2
y
x
Phơng trình đã cho có 4 nghiệm nguyên là:
(x;y)=(3;4); (3;-4); (-3;4); (-3; -4).
Thí dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình.
19x
2

+28y
2
=729.(1)
Lời giải:
(1) => (18x
2
+27y
2
)+(x
2
+y
2
)=729
=>x
2
+y
2
3
=> x

3; y

3. Đặt x=3u; y=3v (u,v
Z

).Thay vào phơng trình
đã cho đợc: 19u
2
+28v
2

=81.
Lập luận tơng tự, ta lại đợc u=3s; v=3t (s,t
Z

), và lại có:
19s
2
+28t
2
=9.
Dễ thấy rằng s, t không đồng thời bằng 0, do đó 19s
2
+28t
2
>19>9, hay ph-
ơng trình trên vô nghiệm. Từ đó suy ra phơng trình đã cho không có nghiệm
nguyên
Thí dụ 5: Tìm nghiệm nguyên của các phơng trình sau:
a. y=
1
32

+
x
x
;
b. xy-x-2y=3;
c.2x
2
-2xy=5x+y-19.

Lời giải:
a. y=
1
5
2
1
32

+=

+
xx
x
. Ta thấy y là số nguyên x-1 là ớc của 5.
x-1= 1; 5. Ta có bảng.
x-1 -5 -1 1 5
x -4 0 2 6
y 1 -3 7 3
4
Phạm huy huân -thcs cảnh thụy - phơng trình nghiệm nguyên
Vậy nghiệm nguyên của phơng trình là:
(x;y)=(-4;1);(0;-3);(2;7);(6;3).
b. xy+x-2y=3 y(x-2)=-x+3 y=
2
1
1
2
3

+=

+
xx
x
.
Ta thấy y là số nguyên x-2 là ớc của 1 x-2= 1 x=1 hoặc x=3. Từ
đó ta có nghiệm (x;y)=(1;-2);(3;0).
Chú ý có thể dùng phơng pháp 1 để giải quyết bài toán này, ta có thể đa về
dạng: x(y+1)-2(y+1)=1 .(y+1)(x-2)=1
c. 2x
2
-2xy=5x+y-19 2x
2
-5x+19=y(2x+1)
y=
12
1952
2
+
+
x
xx
=x-3+
12
22
+
x
.
Để y nguyên thì
12

22
+
x
phải nguyên => 2x+1 phải là ớc của 22
2x+1= 1; 2; 11; 22. Ta có bảng sau:
2x+1 -22 -11 -2 -1 1 2 11 22
x -23/2 -6 -3/2 -1 0 1/2 5 21/2
y -11 -26 19 4
Loại Loại Loại Loại
Vậy nghiệm nguyên của phơng trình đã cho là:
(x;y)=(-6;-11);(-1;-26);(0;19);(5;4).
Bài tập áp dụng:
1. Giải các phơng trình nghiệm nguyên sau:
a. y=
3
63
2
+
+
x
xx
; b. y(x-1)=x
2
+2 ;
c. 2x
2
-2xy=5x-y-19;
2. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
xy
2

+2xy-243y+x=0
HD: Ta có xy
2
+2xy-243y+x=0 x(y+1)
2
=243y(*). Từ (*) thấy rằng
(y+1,y)=1 => (y+1)
2
là của 243.
ĐS: (x,y)=(54,2); (24;8).

Ph ơng pháp 4: sử dụng bất đẳng thức.
Dùng bất đẳng thức để đánh giá một ẩn nào đó và từ sự đánh giá này suy ra
các giá trị nguyên của ẩn này.
Thí dụ1: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
x
2
-xy +y
2
=3.(1)
Lời giải:
5
Phạm huy huân -thcs cảnh thụy - phơng trình nghiệm nguyên
a. (x-
.
4
3
3)
2
2

2
yy
=
Vì (x-
0
4
3
30)
2
2
2

yy
=> -2y2.
Lần lợt thay y= 1; 2; 0 vào ph ơng trình để tính x. ta có các nghiệm
nguyên của phơng trình là:
(x;y)=(-1;-2);(1;2);(-2;-1);(2;1);(-1;1);(1;-1).
Thí dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình.
x
2
-6xy+13y
2
=100 (1)
Lời giải:
(1) (x
2
-6xy+9y
2
)=100-4y
2

(x-3y)
2
=4(25-y
2
) (2)
Từ (2) => y
2
25 và 25-y
2
là số chính phơng hoặc bằng 0.
Vậy y
2
{ }
25;16;9;0

=> y
{ }
5;4;3;0

.
Từ đó ta có 12 nghiệm nguyên nh sau: (x;y)=(10;0); (-10;0); (17;3); (1;3);(-
17;-3); (-1;-3); (6;4); (18;4); (-18;-4); (-6;-4); (15;5); (-15;-5).
Thí dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:

.3
=++
z
xy
y
xz

x
yz
Lời giải:
ĐK: x,y,z

0. Ta có: y
2
z
2
+x
2
z
2
+x
2
y
2
=3xyz => xyz>0.
áp dụng bất đẳng thức côsi với 3 số y
2
z
2
; x
2
z
2
; x
2
y
2

, ta có:
y
2
z
2
+x
2
z
2
+x
2
y
2

3
3
444
zyx
=> 3xyz

3
3
444
zyx
=> xyz

1
xyz=1(do xyz>0).
Từ đó ta có các nghiệm nguyên:
(x;y;z)=(1;1;1); (1; -1; -1); (-1;1;-1); (-1;-1;1).

Thí dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình.
1+x+x
2
+x
3
=y
3
.
Từ phơng trình trên dễ thấy:
x
3
<y
3
<(x+2)
3
=> y
3
=(x+1)
3
.
Vậy ta có: 1+x+x
2
+x
3
=(x+1)
3
2x
2
+2x=0 x=0 hoặc x=-1.
Vậy phơng trình đã cho có các nghiệm nguyên.

(x;y)=(0;1);(-1;0).
Bài tập áp dụng:
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
1. y
2
=1+x+x
2
+x
3
+x
4
.
2. y
3
-x
3
=3x.
3. y
3
=x
3
+2x+1.
Ph ơng pháp 5: Sử dụng một số nhận xét.
1.Nhận xét 1: A
2
1
+A
2
2
++A

n
2
=0 A
1
=0 V A
2
=0 VV A
n
=0.
6
Phạm huy huân -thcs cảnh thụy - phơng trình nghiệm nguyên
Thí dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình.
x
2
+2y
2
-2xy-2x+2=0(1)
Lời giải:
(1) 2x
2
+4y
2
-4xy-4x+4=0 (x
2
-4xy+4y
2
)+(x
2
-4x+4)=0
(x-2y)

2
+(x-2)
2
=0



=
=
02
02
x
yx




=
=
1
2
y
x
Vậy nghiệm nguyên của phơng trình là: (x;y)=(2;1).
Thí dụ 2: Phơng trình sau có nghiệm nguyên không? Nếu có hãy tìm
các cặp nghiệm nguyên đó.
x
2
+y
2

+z
2
-2x-4y-6z+14=0.(2)
Lời giải.
(2) (x
2
-2x+1)+(y
2
-4y+4)+(z
2
-6z+9)=0
(x-1)
2
+(y-2)
2
+(z-3)
2
=0






=
=
=
03
02
01

z
y
x






=
=
=
3
2
1
z
y
x
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm nguyên, nghiệm nguyên đó là:
(x;y;z)=(1;2;3).
Bài tập áp dụng:
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình (nếu có).
a. 2x
2
+y
2
+2z
2
+2xy+2xz+2yz-6x-2z=-10
b. 4x

2
+10y
2
-12xy-4y+4=0.
*chú ý: cũng có thể coi đây là các bài toán tìm ẩn số bình thờng có sử dụng nhận
xét trên.
* Nhận xét 2: Từ hai định lí liên quan đên phơng trình bậc hai
Định lí 1: Phơng trình bậc hai
Ax
2
+bx+c=0(*) (aZ
*
, b; cZ)
Có nghiệm hữu tỉ khi và chỉ khi
2
b
=
-4ac là số chính phơng.
Chứng minh:
+ Điều kiện cần: Nếu phơng trình (*) có các nghiệm x
1;2
=
a
b
2

là số
hữu tỉ thì khi đó

là số hu tỉ. Đặt

=
q
p
(Với p;qN, q

0 và (p,q)=1). Suy ra
q
2

=p
2
=> q
2

chia hết cho p
2
7
Phạm huy huân -thcs cảnh thụy - phơng trình nghiệm nguyên
Mặt khác, (p,q)=1 => (p
2
,q
2
)=1 =>

chia hết cho p
2
=>

p
2
=> q
2

1
=>q=1 =>

=p
2
là số chính phơng.
+ Điều kiện đủ: Đảo lại, nếu b
2
-4ac = d
2
là một số chính phơng thì phơng
trình (*) có nghiệm x
1;2
=
a
db
2

rõ ràng là số hữu tỉ.
Định lí 2: Nếu x
0
=
q
p
(p; q

Z, q

0 và (p,p)=1) là nghiệm hữu tỉ của phơng
trình bậc hai ax
2
+bx+c=0(a
);,
*
ZcbZ

thì q là ớc của a và p là ớc của c.
Chứng minh:
Thay x
0
=
q
p
vào phơng trình(*) ta có a.
0
2
2
=++ c
q
p
b
q
p
ap
2

+bpq+cq
2
=0 ap
2
=-q(bp+cq) =>ap
2
chia hết cho q =>q là ớc của a
(vì (p,q)=1).
Tơng tự cq
2
=-p(ap+bq) => p là ớc của c.
*l u ý: nghiệm nguyên là một trờng hợp đặc biệt của nghiệm hữu tỉ (Khi
a=1).
Thí dụ 1: cho a, b, c là các số nguyên lẻ. Chứng minh phơng trình bậc hai
ax
2
+ bx+c=0 không có nghiệm hữu tỉ.
Lời giải:
Cách 1:
Giả sử phơng trình đã cho có nghiệm hữu tỉ, theo định lí 1 thì
b
2
-4ac=m
2
là một số chính phơng =>b
2
-m
2
=4ac.
Vì b

2
lẻ, 4ac chẵn nên m
2
phải là số lẻ.
Ta lại biết rằng bình phơng của một số lẻ khi chia cho 8 chỉ có số d là 1 nên
b
2
-m
2
chia hết cho 8; ac lại là số lẻ nên 4ac không chia hết cho 8. Điều này mâu
thuẫn với b
2
-m
2
=4ac.
Vậy phơng trình ax
2
+bx+c với a, b, c là các số nguyên lẻ không thể có
nghiệm hữu tỉ.
Cách 2:
Giả sử phơng trình đã cho có nghiệm hữu tỉ x
0
=
q
p
( p; q

Z, q

0 và

(p,p)=1), theo định lí 2 thì q là ớc của a và p là ớc của c.
Vì a,c lẻ nên p, q cũng lẻ => ap
2
, bpq, cq
2
lẻ => ap
2
+bpq+cq
2
lẻ, khác 0.
Điều này mâu thuẫn với giả thiết x
0=
q
p

nghiệm hữu tỉ của phơng trình đã cho. Từ
đó suy ra điều cần phải chứng minh.
*L u ý: kết quả trên còn đúng với đa thức bậc bất kì với các hệ số là số
nguyên lẻ.
Thí dụ 2: Tìm tất cả các số nguyên a để phơng trình sau có nghiệm nguyên:
x
2
-(3+2a)x+40-a=0.
8
Phạm huy huân -thcs cảnh thụy - phơng trình nghiệm nguyên
Lời giải.
Theo định lí 1, trớc hết để phơng trình có nghiệm hữu tỉ thì phải có

=m
2

là một số chính phơng.
(3+2a)
2
-4(40-a)=m
2
4a
2
+16a-151=m
2
(2a+4)
2
-m
2
=167 (2a+4+m)(2a+4-m)=167

{ } { }
167;142;42
=+++
mama
hoặc
{ }
167;1

(Vì 167 là số nguyên tố).
Suy ra a=40 hoặc a=-44. Thử lại, ta thấy chúng đều thoả mãn điều kiện đề
bài.
Vậy các số a cần tìm là: 40; -44.
Thí dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta đều có n
2

-n+2 không
chia hết cho 49.
Lời giải:
Giả sử n
2
-n+2=49k (k

N), nghĩa là phơng trình n
2
-n+2-49k=0 với ẩn n
phải có nghiệm nguyên.

n

phải là số chính phơng
1-4(2-49k)=t
2
(t

Z) 196k-7=t
2
7(28k-1)=t
2
=> 28k-1 phải chia hết cho 7, điều này vô lí.
Vậy n
2
-n+2

49k, điều cần phải chứng minh.
*Tuy nhiên cũng có những bài toán không cần sử dụng hai định lí trên

Thí dụ 4: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm nguyên:
2x
2
-2mx+m
2
-1=0.
Lời giải:
Ta thấy x=t là nghiệm của phơng trình tồn tại m sao cho:
2t
2
-2mt+m
2
-1=0 phơng trình m
2
-2tm+2t
2
-1=0 có nghiệm đối với ẩn m.
m
/


0 t
2
-2t
2
+1

0 -t
2
+1

0 -1
1

t
, do đó t
Z

t

{ }
1;0;1

Ta có: + t=0 m=
1

+ t=-1 m
2
+2m+1=0 (m+1)
2
=0 m=-1
+ t=1 m
2
-2m+1 =0 (m-1)
2
=0 m=1.
Vậy phơng trình có nghiệm nguyên khi và chỉ khi m=
1

.

Bài tập áp dụng:
1. Cho a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng phơng trình sau không
có nghiệm hữu tỉ: x
2
+3ax-3(b
2
+1)=0.
2. Tìm tất cả các số nguyên a để phơng trình sau có nghiệm nguyên:
x
2
(a+5)x+5a+2=0.
3. Tìm tất cả các số nguyên a để phơng trình sau có nghiệm nguyên:
x
2
+ax+198=a.
4. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có n
2
+5n+16 không chia
hết cho 169.
9
Phạm huy huân -thcs cảnh thụy - phơng trình nghiệm nguyên
Chắc chắn còn nhiều phơng pháp để giải các phơng trình nghiệm nguyên
cũng nh còn nhiều ví dụ hay và hấp dẫn khác. Mong các bạn tìm hiểu thêm và
cùng trao đổi về vấn đề này nhiều hơn nữa.
10