BÀI tập TOÁN NÂNG CAO lớp 8



Chuyªn ®Ò 1:
phÐp nh©n vµ phÐp chia ®a thøc
D¹ng tæng qu¸t:
PhÐp nh©n ®¬n thøc víi ®a thøc,®a thøc víi da thøc:
A(B+C) = A.B +A.C
( A + B)( C+ D ) = A . C + A . D + B . C + B . D
Các bài toán vận dụng:
Bài toán 1:
Cho biểu thức:
M =










+
-



a) Bằng cách đặt
=

,
=


, hãy rút gọn biểu thức M theo

và

b) Tính giá trị của biểu thức M.
Giải:
a) M =
==
b) M =




==
Bài toán 2:
Tính giá trị của biểu thức:
A=


++
với x= 4

Giải:
Cách 1. Thay
=
, ta có

A = 4

-5.4

+5.4

-5.4

+5.4-1
= 4

-(4+1).4

+(4+1).4

-(4+1)4

+ (4+1).4-1
= 4-1
= 3
Cách 2: Thay 5 bởi
+
, ta có:
A =


++++++
=
++

+


+
=



= 3.
Nhận xét: Khi tính giá trị của biểu thức, ta thờng thay chữ
bằng số.Nhng ở ví dụ 1 và ở cách 2 của ví dụ 2, ta lại thay số bằng chữ.
Bài toán 3:
Chứng minh hằng đẳng thức

++=++
biết rằng
++=
Giải:
Biến đổi vế trái ta đợc:


+++++=+++++
Thay
++
bởi

đợc vế trái bằng
+++

, bằng vế phải.
bài tập:
Bài tập 1: Rút gọn bểu thức
[ ]
}{
+
Với

+=++=
.
Bài tập 2:
a)Chứng minh rằng

++
chia hết cho 7
b) Viết 7.32 thành tổng của ba luỹ thừa cơ số 2 với các số mũ
là ba số tự nhiên liên tiếp
Bài tập 3:
Tính

+


Bài tập 4:
Chứng minh hằng đẳng thức:
(


++=++++
Bài tập 5:
Rút gọn biểu thức
+++
biểu rằng
==++=++
Chuyên đề 2:
các hằng đẳng thức đáng nhớ
Ngoài bảy hằng đẳng thức quen thộc,h/s cần biết đến các hằng đẳng
thức mở rộng.
từ đẳng thức (1) ta suy ra:


+++++=++
Mở rộng:

+++++++=++
Tổng quát:





+=+=+


Các ví dụ :
Ví dụ 1:
Cho x+y=9 ; xy=14. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) x-y ; b) x

+y

; c)x

+y

.

Giải
a)(x-y)

=x

-2xy+y

=x

+2xy+y

-4xy=(x+y)

-4xy=9

-
4.14=25=5

suy ra x-y =

5
b) (x+y)

=x

+y

+2xy
suy ra x

+y

=(x+y)

-2xy = 9

-2.14 = 53
c) (x+y)

= x

+y

+3x

y+3xy

= x

+y

+3xy(x+y)
suy ra x

+y

=(x+y)

-3xy(x+y) =9

-3.14.9 = 351
Nhận xét:
1. Hai số có bình phơng bằng nhau thì chúng đối nhau hoặc bằng
nhau.Ngợc lại , hai số đối nhau hoặc bằng nhau có bình phơng
bằng nhau.
( A B)

= ( B A )

2. Để tiện sử dụng ta còn viết:
( A + B)

= A

+ B

+ 3AB(A+B)
( A B)

= A

- B

- 3AB(A-B )
Ví dụ 3:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A = (x + 3y 5)

- 6xy + 26
Giải :

A = x

+ 9y

+ 25 + 6xy 10x -30y 6xy + 26
= ( x

- 10x + 25) + ( 9y

- 30y + 25 ) + 1
= ( x -5)

+ ( 3y-5)

+ 1
Vì (x-5)


0 (dấu = xảy ra

x=5 ); (3y-5)



0 (dấu = xảy ra

y=


) nên A

1.Do đó GTNN của a =1 (khi và chỉ khi x=5 ; y


=
).
Ta viết min A = 1.
Nhận xét :
1. Các hằng đẳng thức đợc vận dụng theo hai chiều ngợc nhau.
Chẳng hạn:
(A B )

= A

- 2AB + B

hoặc ngợc lại
2. Bình phơng của mọi số đều không âm :
( A B )


0 (dấu = xảy ra

A = B).
Ví dụ 4:
Cho đa thức 2x

- 5x +3.Viết đa thức trên dới dạng một
đa thức của biến y trong đó y =x+ 1.
Giải: thay x bởi y-1, ta đợc :

1x

- 5x +3 = 2( y 1)

- 5( y-1 ) + 3
= 2 ( y

- 2y + 1) 5y + 3 + 5
= 2y

- 9y + 10
Ví dụ 5:
Số nào lớn hơn trong hai số A và B ?
A = (2+1)(2

+1)(2

+1)(2

+1)(2

+1)
B = 2

.
Giải:
Nhân hai vế của A với 2-1, ta đợc :
A = (2-1)(2+1)(2

+1)(2

+1)(2

+1)(2

+1).
áp dụng hằng đẳng thức (a+b)(a-b) = a

- b

nhiều lần, ta đợc:
A = 2

-1. Vậy A < B.
Ví dụ 6:
Rút gọn biểu thức :
A = (a + b + c)

+ (a - b c)

-6a(b + c)

.
Giải :
A = [a + (b + c)]

+ [a (b + c)]

- 6a(b + c )

= a

+ 3a

(b + c) + 3a(b + c)

+ (b + c) + a

-3a

(b +
c) + + a

- 3a

(b + c) + 3a(b + c)

- (b + c)

- 6a(b + c)

= 2a

Bài tập vận dụng:
A Các hằng đẳng thức (1),(2),(3),(4)
Bài 6:
Tính nhamh kết quả các biểu thức sau:
a) 127

+146.127 + 73

;
b) 9

.2

- (18

- 1)(18

+ 1) ;
c) 100

- 99

+ 98

- + 2

- 1

d) (20

+18

+ +4

+2

) (19

+17

+ +3

+1

) ;
e)




++

Bài 7 :
Tính giá trị của biểu thức bằng cách hợp lí :
a) A =






; b) B = 263

+ 74.263 + 37

; C = 136

-92.136 +
46

;
c) D = (50

+ 48

+ +2

) (49

+47

+ +3

+ 1

)
Bài 8 :
Cho a

+ b

+ c

= ab + bc + ca . Chng minh rằng a = b = c .
Bài 9 :
Tìm x và tìm n

N biết
x

+ 2x + 4

- 2
+
+2 = 0.
B Các hằng đẳng thức (5), (6), (7) :
Bài 10 :
Rút gọn các biểu thức :
a) x(x-1)(x+1) (x+1)(x
2
-x+1) ;
b) 3x
2
(x+1)(x-1) (x
2
-1)(x
4
+x
2
+1)+(x
2
-1)
3
;
c) (a+b+c)
3

+((a-b-c)
3
+(b-c-a)
3
+(c-a-b)
3
;
Bài 11 :
Tìm x biết :
6(x+1)
2
-2(x+1)
3
+2(x-1)(x
2
+x+1) = 0
Bài 12 :
Chứng minh các hằng đẳng thức :
(a+b+c)
3
= a
3
+b
3
+c
3
+3(a+b)(b+c)(c+a).
Bài 13 :
Cho a+b+c+d = 0 . Chứng minh rằng :
a

3
+b
3
+c
3
+d
3
= 3(ab cd)(c +d) .
Bài 14 :
Cho a+b = 1 .Tính giá trị của M = 2(a
3
+b
3
) 3(a
2
+b
2
) .
Tiết 9-10-11-12
Chuyên đề 3: Tứ Giác hình Thang Hình thang cân
*) Khái niệm chung về tứ giác:
+) Định nghĩa :
D
C
B
A
M
C
A
B

a) Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó
bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đờng
thẳng.
A, B, C, D là các đỉnh ; AB, BC, CD, DA là các cạnh.
Ta chỉ xét tứ giác đơn trong đó các cạnh chỉ có thể cắt nhau tại các
đỉnh.
Trong tứ giác đơn ABCD, ta phân biệt : hai đỉnh kề nhau (cùng nằm trên
một cạnh ) với hai đỉnh đối nhau(không kề nhau(xuất phat từ một đỉnh)
với hai cạnh đối (không kề nhau).
Đờng chéo của tứ giác là đoạn thẳng nối hai đỉnh đối nhau.
Trong tập hợp , các điểm của mặt phẳng chứa một tứ giác đơn, ta
phân biệt điểm thuộc tứ giác, điẻm trong tứ giác, điểm ngoài tứ giác.
b) ABCD là tứ giác lồi

ABCD luôn thuộc nửa mặt phẳng với bờ là đờng
thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của nó.
Tứ giác (đơn) không lồi là tứ giác lõm.
Trong hình, ABCD là tứ giác lồi
3. Định lí:
Tổng các gọc trong tứ giác bằng 360
0
.
*) Tìm hiểu sâu về tứ giác giác lồi:
Định lí : Trong một tứ giác lồi , hai đờng chéo cắt nhau.
Đảo lại, nếu một tứ giác có hai đờng chéo cắt nhau thì đó là một tứ
giác lồi.
ABCD lồi

ABCD có hai đờng chéo cắt nhau.
Để chứng minh định lí, cần nhớ lại mấy định lí sau đây:

(I) Tia Oz nằm trong gọc xOy

tia Oz cắt đoạn thẳng MN, với
M

Oz, N

Oy
(II) Néu tia Oz nằm trong xOy thì Oz và Oy nằm trong nửa mặt
phẳng bờ chứa Oy; Oz và O x nằm trong nửa mặt phẳng bờ
chứa Oy.
(III)
Cho tam giác ABC
a) Các trung tuyến xuất phát từ các điểm A và C cắt nhau tại điểm M.
Tứ giác ABCM là lồi hay không lồi? Vì sao?
b) M là một điểm tuỳ ý thuộc miền trong của tam giác ABC( không
thẳng hàng với hai đỉnh nào của tam giác). Với vị trí nào của điểm
M thì ABCM là tứ giác lồi?
c) M và N là hai điểm tuỳ ý thuộc miền trong của tam giác ABC( và
không thẳng hàng với đỉnh nào của tam giác). Chứng minh rằng
trong năm điểm A, B, M, N, C bao giờ cũng chọn ra đợc bốn điểm
là đỉnh của một tứ giác lồi.
Giải
a) ABCM không lồi (lõm), vì B và C nằm ở hai nửa
mặt phẳng đối nhau có bờ chứa AM (h .2a)
b) Kết quả ở câu a/ cũng đúng khi M là
điểm bất kì thuộc miền trong của tam giác
ABC.
Nếu M thuộc miền ngoài của ABC
thì có hai trờng hợp :

- M ở trong góc đối đỉnh của một góc
của tam giác. trong h .2b, M ở trong góc đối đỉnh của góc B . Dễ thấy
rằng lúc đó đỉng B lại là điểm thuộc miền trong của tam giác MAC, do đó
AMCB không lồi(lõm).
j
M'
M
B
C
A
M
N
C
A
B
o
C
D
A
B
- M ở trong một góc của tam giác. trong hình 2b, M nằm trong góc
A. Do đó AM là tia trong của góc A, mà A và M nằm ở hai phía của cạnh
BC, cho nên đoạn Am cắt đoạn thẳng BC và ABMC là tứ giác lồi.
Tóm lại, trong h .2b, các miền đợc gạch chéo là tập hợp các điểm M mà
MABC là tứ giác lõm.
Các miền khác (để trắng ) là tập hợp các điểm M mà M, A, B, C là
các đỉnh của tứ giác lồi.
c) Đờng thẳng đi qua hai điểm M và N bao
giờ cũng không cắt một cạnh của tam giác ABC. Trong h .2c, đờng thẳng
MN không cắt AC. Tứ giác MNCA là tứ giác lồi(điểm N thuộc miền

ngoài của tam giác MAC và nằm trong góc MAC).
H .2a
các ví dụ :
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng trong một tứ giác lồi tổng độ dài các
cạnh(chu vi) lớn hơn tổng độ dài các đờng chéo và nhỏ hơn hai lần tổng
độ dài các đờng chéo.
*) Nhận xét :
Đây là bài toán về chứng minh bất đẳng thức về các độ dài. nên kẻ
thêm các đờng phụ, xét các tam giác để áp dụng mệnh đề : Trong một
tam giác, toỏng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh thứ ba.
Giải
Cho tứ giác ABCD(h. 7). Ta phải chứng minh :
AC + BD < AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD)
1) Chứng minh AC + BD < AB + BC + CD +
DA
Ta có :
AC < AB +BC (bất đẳng thức trong

ABC)
AC < AD + DC (bất đẳng thức trong

ADC)
BD < BC + CD (bất đẳng thức trong

BCD)
BD < BA + AD (bất đẳng thức trong

BAD)
Từ đó :

2( AC + BD) < 2(AB +BC + CD + DA)
AC + BD < AB + BC + CD + DA
2) Chứng minh
AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD).
O
C
D
A
B
Q
F
P
D
C
B
A
Trong tam giác ABO và CDO, ta có :
AB < BO + OA (1)
CD < CO + OD (2)
Cộng (1) và (2) ta có :
AB + CD < BO + OD + CO + OA
AB + CD < BD + AC (3)
Tơng tự, trong tam giác BCO và ADO, ta có :
AD + BC < BD + AC (4)
Từ (3) và (4) ta đợc :
AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD). (đpcm)
*) Nhận xét:
1) Từ mỗi bất đẳng thức (3) và (4) ta thấy vế trái là tổng của hai
cạnh của tứ giác, còn vế phải là tổng của hai đờng chéo. Vậy có thể phát
biểu mệnh đề :

Trong một tứ giác giác lồi, tổng của hai cạnh đối nhỏ hơn tổng của hai
đờng chéo.
2) Nếu tứ giác ABCD không lồi, thì hai bất đẳng thức trong bài 7 có
còn đúng không ? vì sao?
Ví dụ 2:
Cho một tứ giác lồi ABCD, Tronh đó AB + BD không lớn hơn AC +
CD.
Chứng minh rằng : AB < AC.
Giải
Gọi giao điểm của AC và BD là O
Trong tam giác AOB, ta có :
AB < AO + OB (1)
Trong tam giác COD, ta có :
CD < CO + OD (2)
Từ (1) và (2) ta có :
AB + CD < BO + OD + CO + OA
AB + CD < AC + BD (3)
Theo giả thiết :
AB + BD

AC + CD (4)
Từ (3) và (4) suy ra AB < AC.
(đpcm)
Ví dụ 3 :
Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi P và Q là trung điểm của hai cạnh AD
và BC. Chứng minh rằng :
PQ


+

Gợi ý :
ở đây có bất đẳng thức giữa độ dài các đoạn thẳng , nên kẻ đờng
phụ để có các hình tam giác, lại có trung điểm của các cạnh, nên nhgĩ
đến việc áp dụng định lí về đờng trung bình trong tam giác.
Giải
GT Tứ giác ABCD
PA = PD, QB = QC
KL PQ


+
Cm:
Ta kẻ thêm đờng chéo AC và lấy trung
điểm F của AC.
Trong tam giác ACD, PF là đờng trung
bình, do đó :
PF =


Trong tam giác ACD, PF là đờng trung bình. do đó :
QF =


Nếu P,Q và F không thẳng hàng thì trong tam giác PQF ta có:
PQ < PF + QF =

+
Nếu P, Q, và F thẳng hàng thì F là điểm nằm giữa của hai đoạn thẳng
PQ và ta có :
PQ = PF + QF =

+
Nh vậy trong mọi trờng hợp, ta có :
PQ


+
.
( đpcm)
Nhận xét :
Có thể thấy ngay rằng :
P, Q, F thẳng hàng

AB//CD.
Do đó ta chứng minh đợc rằng :
PQ


+
.
Trong đó dấu = xảy ra khi và chỉ khi AB//CD.
Nh vậy, qua việc giải bài toán trên, ta chứng minh cùng một lúc hai
định lí:
(1) Nếu ABCD là hình thang (AB//CD) thì PQ =

+
(2) Nếu ABCD không là hình thang (AB//CD) thì PQ


+

và PQ <

+
Các bài tập :
Bài tập 1:
Cho A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ giác lồi,E là một điểm
thuộc miền trong của ttam giác OCD, với O là giao điểm của hai đoạn
thẳng AC và BD. Chỉ ra tứ giác lồi nhận bốn trong năm điểm A, B, C, D,
E.
Bài tập 2:
Chứng minh rằng từ năm điểm bất kì trong mặt phẳng(không
có ba điểm nào thẳng hàng) Bao giờ cũng chọn đợc bốn điểm là các đỉnh
của một tứ giác lồi.
Bài tập 3:
Chứng minh rằng trong một tứ giác lồi có các góc không bằng
nhau thì có ít nhất một góc tù.
Bài tập 4:
Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD và BC kéo dài gặp nhau
tại E, hai cạnh AB và CD kéo dài gặp nhau tại M. Kẻ hai phân giác của
D
C
B
A
D
C
B
A
D
C
B

A
D
E
O
K
L
B
C
A
hai góc CED và BMC cắt nhau tại K. tính góc EKM theo các góc trong
của tứ giác ABCD.
*) hình thang hình thang cân:
Hình thang:
-) Định nghĩa:
Hình thang là tứ giác có hai cạnh song song.
AB//CD
ABCD là hình thang

hoặc (AB//CD,AD//BC)
AD//BC
Trong hình thang, hai cạnh song song là
hai cạnh đáy; hai cạnh kia là hai cạnh bên, đoạn thẳng nối
trung điểm của hai cạnh bên gọi là đờng trung bình
2. Định lí (về đờng trung bình)
AB//CD

PQ//AB và PQ =

+
hình thang cân

1. Định nghĩa:
Hình thang cân là hình thang có hai gọc ở đáy bằng nhau.
2. Tính chất:
Định lí 1: Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.
Hình thang ABCD (AB//CD) :

BC= AD
Định lí 2 : Trong hình thang cân hai đờng chéo bằng nhau.
Hình thang ABCD(AB//CD) :

AC = BD
Định lí 3 :(đảo của định lí 2)
Nếu hình thang có hai đờng chéo bằng nhau thì nó là hình thang
cân.
3. Dấu hiệu nhận biết hình thang cân:
Để chứng minh hình thang là cân, ta có thể chứng minh hình
thang đó có một trong các tính chất sau :
1) Hai gọc ở đáy bằng nhau(định nghĩa).
2) Hai đờng chéo bằng nhau.
Ví dụ 4 :
Cho tam giác ABC cân, đỉnh A. Lấy các điểm E, K lần lợt trên các
tia AB và AC sao cho :
AE + AK = AB + AC
Chứng minh rằng : BC < EK.
Giải :
Lấy trên AB một điểm L sao cho
AL = AK
Lấy trên AC một điểm D sao cho
AD = AE
Rõ ràng các tam giác ALK và AED là những tam giác cân có chung

góc ở đỉnh A nên các góc đáy của chúng bằng nhau. Suy ra LK// ED, do
đó DELK là hình thang cân, có các đờng chéo bằng nhau.
O
E
D
H
C
B
A
2
1
2
1
A
D
H
C
B
K
DL = EK (1)
Gọi O là giao điểm của hai đờng chéo DL và EK, ta xét tổng :
EK + DL = (EO + OK) + (DO + OL)
= (EO + OD) + (OK + OL)
Từ (1) và đẳng thức cuối cùng này, ta có :
2 EK = (EO + OD) + (OK + OL) (2)
Nhng trong tam giác OKL, ta có :
OK + OL > LK (3)
Trong

DEO : EO + OD > ED (4)

Từ (2), (3) và (4) : 2EK > LK + ED (5)
Từ giả thiết AE + AK = AB + AC
Suy ra BE = CK
Mặt khác dễ thấy BCDE là hình thang cân nên
BE = CK
Vậy DC = CK.
Tơng tự, ta cũng chứng minh đợc B là trung điểm của EL.
Từ đó, BC ;là đờng trung bình của hình thang DELK, suy ra :
LK + ED = 2BC (6)
Từ (5) và (6), ta có :
EK > BC
( đ p c m).
Ví dụ 5 :
Cho hình thang ABCD (AB//CD) có hai đờng chéo vuông góc.
Biết đờng cao AH = h, Tính tổng hai đáy.
Giải :
Vẽ AE// BD (E

CD). Vì AC

BD (gt) nên AC

AE (quan hệ giữa tính
song song và vuông góc).
Ta có AE = BD ; AB = DE (tính chất đoạn chắn)
AC = BD (tính chất đờng chéo hình thang
cân)Suy ra AC = AE ;
V
AEC vuông cân tại A
; đờng cao AH cũng là trung tuyến, do đó

AH =



= +
hay
AB + CD =2h.
Nhận xét:
Khi giải toán về hình thang, đặc biệt là hình thang cân, nếu cần vẽ
đờng phụ ta có thể :
- Từ một đỉng vẽ đờng thẳng song song với một đờng chéo (nh ví
dụ trên).
- Từ một đỉnh vẽ một đờng thẳng song song với một cạnh bên.
- Từ một đỉnh vẽ thêm một đờng cao.
Ví dụ 6 :
Cho tứ giác ABCD có AD = AB = BC và
à
à

+ =
. Chứng minh
rằng a) Tia DB là tia phân giác của góc D.
b) Tứ giác ABCD là hình thang cân.
Giải :
a) Vẽ BH

CD, BK

AD. Ta có
ả

à

=
(cùng bù với
ả


) do đó

BHC =

BKA(cạnh huyền,
góc nhọn), suy ra BH = BK.
Vậy DB là tia phân giác của góc D.
b) Góc


là góc ngoài tại đỉnh A của tam giác cân ADB nên
ả
ả
ả
ã

= =
(vì có cặp góc đồng vị bằng nhau).
Vậy tứ giác ABCD là hình thang. Hình thang này có
ã
à

=

(vì cùng
bằng
ả


) nên là hình thang cân.
Nhận xét :
Để chứng minh tứ giác là hình thang cân, trớc tiên phải chứng minh tứ
giác đó là hình thang, sau đó chứng minh hai góc kề một đáy bằng
nhau(theo định nghĩa) hoặc hai đờng chéo bằng nhau.
Trong ví dụ trên, sau khi chứng minh đợc AB//CD cần tránh sai lầm cho
rằng vì AD = BC (gt) nên ABCD là hình thang cân, sai lầm ở chỗ hình
thang có hai cạnh bằng nhau cha chắc đã là hình thang cân.
Các bài tập vận dụnG
Bài tập 5:
Cho tứ giác lồi ABCD trong đó AD = DC và đờng chéo AC là
phân giác của góc DAB. Chứng minh rằng ABCD là hình thang.
Bài tập 6 :
Chứng minh rằng trong một hình thang đờng thẳng đi qua
trung điểm của một cạnh bên song song với hai đáy thì đi qua trung điểm
của cạnh bên kia.
Bài tập 7:
Cho tứ giác ABCD trong đó CD> AB . Gọi E, F lần lợt là trung
điểm của BD và AC . Chứng minh rằng
nếu E F =


thì tứ giác ABCD là hình thang.
Bài tập 8:
Cho tam giác ABC trong đó AB > AC. Gọi H là chân đờng cao

kẻ từ đỉnh A và M, N, P lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC.
Chứng minh rằng tứ giác MNHP là hình thang cân.
Bài tập 9:
Cho tam giác ABC cân, đỉnh A. Lấy các điểm E, K lần lợt trên
các tia AB và AC sao cho :
AE + AK = AB +AC
Chứng minh rằng : BC < EK .
Tiết 13 =>18
Chuyên đề 5 (6tiết):
Đờng trung bình của tam giác, của hình thang
*) Kiến thức cơ bản :
F
E
D
C
B
A
E
F
C
D
A
N
M
D
C
B
A
O
N

M
D
C
B
A
1. a) Đờng thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và
song song với cạnh thứ hai thì nó đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.
b) Đờng thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình
thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ
hai.
2. a) Đờng trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm
hai cạnh của tam giác. (h.8)
b) Đờng trung bình của hình thang là đoạn nối trung điểm hai
cạnh bên của hình thang.(h.9)
h.8 h.9
3.a) Đờng trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng
nửa cạnh đấy.
b) Đờng trung bình của hình thang thì song song với hai đáy
và bằng nửa tổng hai đáy.
Bổ sung :
Trong hình thang có hai cạnh bên không song song, đoạn
thẳng nối trung điểm hai đờng chéo thì song song với hai đáy và bằng
nửa hiệu hai đáy.
Trong h.10 :
MN // AB // CD
CD AB
MN
2

=

.
Các ví dụ minh họa
*) Ví dụ 1:
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lợt là trung điểm của AD và BC.
Chứng minh rằng nếu
AB CD
MN
2
+
=
thì tứ giác ABCD là hình thang.
Giải :
Gọi O là trung điểm của BD. Các đoạn thẳng OM, ON lần lợt là đ-
ờng trung bình của
ABD
và
BCD
nên
AB
OM
2
=
và OM // AB ; (1)
ON =
CD
2
và ON // CD ; (2)
Suy ra O nằm giữa M và N. Vậy ba điểm
M, O, N thẳng hàng (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra AB // CD do đó tứ giác

ABCD là hình thang.
+) Nhận xét :
Trong giả thiết của bài toán có trung điểm hai cạnh đối của tứ giác,
nối hai điểm này ta cha đợc đờng trung bình của tam giác nào cả. Vì thế
ta đã vẽ thêm trung điểm của đờng chéo BD ( hoặc AC ) và vận dụng đ-
ợc định lí đờng trung bình của tam giác để chứng minh.
P
Q
N
M
D
C
B
A
F
O
D
M
B
H
N
I
G
P
K
C
E
A
Việc vẽ thêm trung điểm của một đoạn thẳng để vận dụng đờng
trung bình của tam giác là việc vẽ đờng phụ thờng gặp khi giải bài toán

hình học.
*) Ví dụ 2 :
Cho hình thang ABCD ( đáy AB nhỏ hơn đáy CD ). Tìm điều kiện
của hình thang này để hai đờng chéo của nó chia đờng trung bình thành
ba phần bằng nhau.
Giải :
Gọi M, N lần lợt là trung điểm của AD và BC ;
MN cắt BD tại P, cắt AC tại Q ; MN là đờng trung
bình của hình thang nên MN // AB // CD.
Xét
ABD
có MA = MD ; MP // AB nên PB = PD
Xét
ADC

có MA = MD ; MQ // CD nên QA = QC.
MP và NQ lần lợt là đờng trung bình của
ABD
và
ABC
nên
AB
MP NQ
2
= =
.
PQ là đoạn nối trung điểm hai đờng chéo của hình thang ABCD nên
CD AB
PQ
2

=
.
Ta có : MP = +Q = QN
AB2 CD AB
2 2

=

AB CD AB
CD 2.AB
=
=
+) Nhận xét :
Nếu không có điều kiện đáy AB nhỏ hơn đáy CD thì khi AB =
2.CD , chứng minh tơng tự nh trên ta vẫn có hai đờng chéo chia đờng
trung bình thành ba phần bằng nhau.
Tóm lại, nếu hình thang có một đáy gấp đôi đáy kia thì hai đờng chéo
của nó chia đờng trung bình làm ba phần bằng nhau.
*) Ví dụ 3 :
Từ ba đỉnh của một tam giác, hạ các đờng vuông góc xuống một đ-
ờng thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác đó. Chứng minh rằng tổng
độ dài ba đờng vuông góc đó gấp ba lần độ dài đoạn thẳng vuông góc
hạ từ trọng tâm tam giác xuống đờng thẳng d.
Giải :
Giả sử
ABC

có ba đờng trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại O;
các đoạn thẳng AG, BH, OI, CK đều vuông góc với đờng thẳng d. Ta

phải chứng minh: AG + BH + CK = 3OI
Từ trung điểm M của BO và từ E, ta hạ MN và
EP vuông góc với d. Ta có BH // MN // OI //
AG // EP //CK ( chúng cùng vuông góc với
d). Vì O là tọng tâm
của tam giác ABC nên BM = MO = OE. Ta
lại có HN = IN = IP (đờng thẳng song song cách đều). Nh vậy ta đợc ba
hình thang vuông BOIH, MEPN, ACKG lần lợt có MN, OI, EP là các đờng
trung bình. Từ đó suy ra
F
E
H
C
A
N
B
B'
M
A'
MN + EP = 2.OI hay 2MN + 2EP = 4.OI (1)
Nhng 2MN = BH + OI, 2EP = AG + CK, thay vào (1) ta đợc
BH + OI + AG + CK = 4.OI suy ra AG + BH + CK = 3.OI.
Ví dụ 4 :
Cho một điểm C ở ngoài một đoạn thẳng AB. Dựng các tam giác
vuông cân ACA, BCB ra ngoài tam giác ABC (
ã
ã
A'AC = CBB' = 1v
).
Chứng minh rằng vị trí của điểm M ( trung điểm của AB) không phụ

thuộc vào vị trí chọn điểm C.
Giải :
Hạ AH, C E và BF cùng vuông góc với đờng thẳng AB. Ta dễ
dàng chứng minh đợc các cặp tam giác vuông sau đây bằng nhau :
A'HA = AEC (1)
B'FB = BEC (2)


Suy ra AH = BF = CE. Gọi N là
trung điểm của HF thì N cũng là
trung điểm của AB. MN cũng là
đờng trung bình của hình
thang
vuông AHFB nên
A'H + B'F
MN AB và MN =
2

.
Nhng từ (1) và (2) ta có AH = AE ; BF = BE
nên
AE + BE AB
MN =
2 2
=
.
Vậy MN vuông góc với AB tại trung điểm N của AB và
AB
MN =
2

,
nghĩa là vị trí điểm M đợc hoàn toàn xác định không phụ thuộc vào việc
chọn điểm C ( C là điểm bất kì, C và M cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ
là đờng thẳng AB).
các bài tập vận dụng
Bài 1:
Cho tam giác ABC có
à
A =

. Trên cạnh CA lấy điểm D sao cho CD =
AB. Kẻ đờng thẳng xy qua trung điểm của AD và BC. tính góc do đờng
thẳng xy tạo với AB.
Bài 2 :
Trên hai cạnh của góc nhọn xOy, ta đặt các đoạn thẳng AB và CD
bằng nhau ( A nằm giữa O và B, C nằm giữa O và D). Các điẻm I và E
lần lợt là trung điểm của AC và BD. Chứng minh rằng đờng thẳng IE
song song với tia phân giác của góc xOy.
Cho tam giác ABC. Dựng tam giác vuông cân ABD( vuông ở A, D
và C cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB), dựng tam giác vuông cân AEC
( vuông ở A, E và B cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AC). Gọi K, I, M lần lợt
là trung điểm của EC, BD và BC. Chứng minh rằng tam giác KMI vuông
cân.
Bài 4:
Cho hai điểm A và B ở ngoài đờng thẳng xy. tìm hệ thức giữa khoảng
cách từ trung điểm O của đoạn thẳng AB đến xy và các khoảng cách từ A
và B đến xy.
Bài5 :
Cho tam giác ABC. Đờng thẳng xy đi qua đỉnh A. Gọi B và C là
chân đờng vuông góc kẻ từ B và C xuống xy. Hãy xác định vị trí của đờng

thẳng xy để tổng BB + CC đặt giá trị lớn nhất.
Tiết 19 => 24
Chuyên đề 4: ( 6tiết)
phân tích đa thức thành nhân tử
*) Kiến thức cơ bản:
1. Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một
tích của những đa thức .
2. Các phơng pháp thông thờng :
+) Phơng pháp đặt nhân tử chung
AB + AC AD = A(B+C-D).
+) Phơng pháp dùng hằng đẳng thức :
A
2

2AB + B
2
= (A

B)
2
A
3


3A
2
B + 3AB
2

B
3
= (A

B)
3
A
2
B
2
= (A-B)(A+B)
A
3
- B
3
= (A-B)( A
2
+ AB + B
2
)
A
3
+ B
3
= (A+ B)( A
2
AB + B
2
)
+) Phơng pháp nhóm các hạng tử :

AC AD + BC BD = (C D )(A + B)
*) Nâng cao :
1. Dạng tổng quát của các hằng đẳng thức hiệu hai bình phơng,
hiệu hai lập phơng là :
A
n
B
n
= (A B)(A
n-1
+ A
n-2
B + + AB
n-2
+ B
n-1
).
2. Dạng tổng quát của hằng đẳng thức tổng hai lập phơng là :
A
n
+ B
n
= (A + B)(A
n-1
A
n-2
B +A
n-3
B
2

- AB
2
+ B
n-1
).
3. áp dụng vào tính chất chia hết :
A
n
B
n


A B với n

N và A

B ;
A
n
+ B
n


A + B với n lẻ và A

-B :
A
2k
B
2k

A
2
B
2
với k

N và A

B .
các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử :
a) x
2
6x + 8 ;
b) 9x
2
+ 6x -8 ;
Giải : Ba hạng tử của đa thức không có nhân tử chung , cũng không lập
thành bình phơng của một nhị thức. Do đó ta nghĩ đến việc tách một
hạng tử thành hai hạng tử để tạo thành đa thức có bốn hoặc năm hạng
tử.
a) Cách 1. x
2
-6x + 8 = x
2
2x 4x + 8 = x(x 2) 4(x 2) = (x 2)
(x- 4)
Cách 2. x

2
6x + 8 = x
2
6x + 9 1 = (x -3)
2
- 1 = (x 2)(x 4)
Cách 3. x
2
6x +8 = x
2
- 4 - 6x+12 = (x+ 2)(x 2)6(x-2) =(x- 2)(x-
4)
Cách 4. x
2
6x+8 = x
2
- 16 6x+24 = (x+4)(x 4) -6 (x- 4) = (x 4)(x
2)
b) Có nhiều cách tách một hạng tử thành hai hạng tử khác, trong đó
hai cách sau là thông dụng nhất :
Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phơng pháp
nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mới.
9x
2
+6x 8 = 9x
2
-6x + 12x 8 = 3x(3x 2) + 4(3x 2) = (3x -2)(3x
+ 4)
Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đa đa thức về dạng
hiệu của hai bình phơng.

9x
2
+ 6x 8 = 9x
2
+6x+1-9 = (3x + 1)
2
- 3
2
= (3x +4)(3x -2).
*) Chú ý : Cách tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử dựa vào
hằng đẳng thức :
mpx
2
+ (mp +nq)x +nq = (mx +n)(px + q).
Nh vậy trong tam thức bậc hai : ã
2
=bx + c, hệ số b đợc tách thành
b
1
+ b
2
sao cho b
1
b
2
=ac .
Trong thực hành ta làm nh sau :
1. Tìm tích ac .
2. Phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng
mọi cách.

3. Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.
Trong đa thức 9x
2
+ 6x -8 thì a=9, b=6, c = -8.
Bớc 1 : Tích ac = 9 (- 8) = -72.
Bớc 2 : Phân tích -72 ra tích hai thừa số trái dấu, trong đó thừa số dơng
có giá trị tuyệt đối lớn hơn ( để tổng hai thừa số đó bằng 6).
-72 = (-1).72 = (-2).36 =(-3).24 =(-4) .18 = (-6).12 =(-8).9
Bớc 3 : Chọn hai thừa số mà tổng bằng 6. Đó là -6 và 12.
Trong trờng hợp tam thức

x
2
+ bx +c có b là số lẻ, hoặc a không là
bình phơng của một số nguyên thì giải theo cách 1 gọn hơn cách 2.
Ví dụ 2 : Phân tích thành nhân tử :(x
2
+x)
2
+4x
2
+4x -12.
Giải : Ta nhận thấy nếu đặt x
2
+x =y thì đa thức có dạng y
2
+ 4y -12
là tam thức bậc hai đối với y. Ta có :
y
2

+4y -12 = y
2
+6y -2y -12 = y(y +6) 2(y +6) =(y + 6)(y -2)= (x
2
+x
+6)(x
2
+x 2)= (x
2
+ x +6)(x+2)(x 1)
Cách làm nh trên gọi là đổi biến.
Chú ý : Tam thức bậc hai

x
2
+bx +c sẽ không phân tích tiếp đợc nhân tử
trong phạm vi số hữu tỉ nếu :
Theo cách 1, khi phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng
mọi cách, không có hai thừa số nào có tổng bằng b, hoặc
Theo cách 2, sau khi đa tam thức về dạng

x
2
k thì k không là bình
phơng của số hữu tỉ.
Tam thức x
2
+x +6 không phân tích thành nhân tử đợc nữa(trong
phạm vi số hữu tỉ) vì :
Theo cách 1, tích ac =6 =1.6= 2.3, không có hai thừa số nào có

tổng bằng 1.
Còn theo cách 2, x
2
+ x+6 = x
2
+ 2x.


+


+


= (x +


)
2
+


.
Ta thấy


không là bình phơng của một số hữu tỉ.
Ví dụ 3: Phân tích thành nhân tử : x
3
+ 3x

2
4.
Giải : Ta tách các hạng tử của đa thức trên bằng phơng pháp tìm nghiệm
của đa thức. Ta nhắc lại

là nghiệm của đa thức f
(x)
nếu f
(a)
= 0. Nh vậy
nếu đa thức f
(x)
chứa nhân tử x-a thì a phải là nghiệm của đa thức. Ta lại
chú ý rằng, nếu đa thức trên có một nhân tử là x-a thì nhân tử còn lại là x
2
+ bx + c, suy ra ac = -4, tức là a phải là ớc của -4. Tổng quát, trong đa
thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên nếu có phải là ớc của hạng tử
không đổi. Ước của -4 là

1,

2,

4. Kiểm tra ta thấy -1 là nghiệm của
đa thức. Nh vậy đa thức chứa nhân tử x-1, do đó ta tách các hạng tử của
đa thức làm xuất hiện nhân tử chung x-1.
Cách 1. x
3
+3x
2

4
= x
3
-x
2
+ 4x
2
-4
= x
2
(x -1)+ 4(x-1)(x
2
+4x+4)
=(x-1)(x+2)
2
.
Cách 2 . x
3
+3x
2
4= x
3
-1 + 3x
2
-3
= (x-1)(x
2
+x+1) + 3(x-1)(x+4)
= (x-1)(x
2

+x+1+3x+3)
= (x-1)(x+2)
2
.
Ta cũng chú ý rằng nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa
thức chứa nhân tử x-1, nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc
chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử x+1
Ví dụ 4 : Phân tích thành nhân tử : 2x
3
-5x
2
+ 8x -3.
Giải : Các số

1,

3 không là nghiệm của đa thức, vậy đa thức
không có nghiệm nguyên. Nhng đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ. Trong
đa thức với hệ số nguyên , nghiệm hữu tỉ nếu có phải có dạng


trong
đó p là ớc của hệ số tự do,q là ớc dơng của hệ số cao nhất. Nh vậy
nghiệm hữu tỉ nếu có của đa thức trên chỉ có thể là

1,



,

3, hoặc



. Sau khi kiểm tra ta thấy x=


là một nghiệm nên đa thức chứa nhân
tử x-


hay 2x-1. Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất
hiện nhân tử chung 2x-1.
2x
3
-5x
2
+8x -3
= 2x
3
x
2
-4x
2
+2x +6x -3
= x
2
(2x-1)-2x(2x-1) + 3(2x-1)
= (2x-1)(x

2
2x +3).
Có thể giải bài tập trên bằng phơng pháp hệ số bất định : nếu đa thức
trên phân tích đợc thành nhân tử thì phải có dạng :
(

x +b)(cx
2
+dx +m).
Phép nhân này cho kết quả :

cx
3
+(ad +bc)x
2
+(am +bd)x +bm.
Đồng nhất đa thức này với 2x
3
-5x
2
+8x -3, ta đợc
ac =2, ad +bc =-5, am +bd =8, bm =-3
Có thể giả thiết rằng a > 0 (vì nếu a < 0 thì ta đổi dấu cả hai nhân
tử), do đó a=1 hoặc a=2.
Xét a=2 thì c=1, ta có 2d +b =-5, 2m +bd =8, bm = -3 ;b có thể
bằng

1,

3.

Xét b =-1 thì m=3, d=-2 thoả mãn điều kiện trên.
Vậy a=2, c=1, b=-1, m=3, d=-2.
Ta có :
2x
3
-5x
2
+8x -3= (2x-1)(x
2
2x +3).
Ví dụ 5:
Cho x và y là hai số khác nhau, thoả mãn điều kiện :
9x(x-y) 10(y x)
2
= 0.
Chứng minh rằng: x = 10y.
Giải:
9x(x y) 10(y-x)
2
= 9x(x-y) -10(x-y)
2
=(x-y)[9x -10(x-
y)]=(x-y)(10y x).
Theo đề bài ta có (x-y)(-x +10y) = 0.
Vì x

y nên x +10y = 0 hay x = 10y.
C- các bài tập vận dụng
Bài tập 1:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) 5x(x -2y) + 2(2y x)
2
; b) 7x(y -4)
2
(4 y)
3
;
c) (x
2
+4y
2
-5)
2
16(x
2
y
2
+2xy +1).
d) x
4
-25x
2
+20x -4; e) (a+b+c)
2
+(a-b+c)
2
- 4b
2
.
f) a

5
+ b
5
(a+b)
5
Bài tập 2: Chứng minh rằng:
a) 43
2
+ 43. 17

60
b) 21
10
- 1

200
c) 2005
2007
+ 2007
2005


2006
d) 49
5
49

100.
Bài tập 3: Cho x
2

y-y
2
x + x
2
z z
2
x+ y
2
z+z
2
y = 2xyz
Chứng minh rằng trong ba số x,y,z ít nhất cũng có hai số bằng
nhau hoặc đối nhau.
Bài tập 4 :
Phân tích thành nhân tử :
a) x
5
+x + 1
b) x
7
+ x
2
+ 1.
Bài tập 5 :
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) A = (a-b)
3
+ (b-c)
3
+ (c-a)

3
b) B = (a+ b -2c)
3
+ (b + c -2a)
3
+ (c + a 2b)
3
.
Bài tập 6 :
Phân tích đa thức A thành tích của một nhị thức bậc nhất với một đa
thức bậc ba với hệ số nguyên sao cho hệ số cao nhất của đa thức bậc ba
là 1:
A = 3x
4
+ 11x
3
7x
2
2x + 1.
Bài tập 7 :
Phân tích đa thức B thành tích của hai tam thức bậc hai với hệ số nguyên
:
B = x
4

6x
3
+ 11x
2
6x + 1.

Tiết 25-26-27-28
Chuyên đề 6 :
phơng pháp giải toán về chia hết trong tạp hợp z các số nguyên.
I. Nhắc lại một số kiến thức cơ bản ở lớp 6 và 7 về lí thuyết trong Z.
1. Tính chia hết :
a) Định nghĩa :
Cho a, b

Z ( b

0)
Nếu có q Z sao cho a = bq
Thì ta nói:
a là bội của b hoặc b là ớc của a
a chia hết cho b hoặc b chia hết a
Kí hiệu: a b
a b a = bq


M
M
b) Tính chất cơ bản của quan hệ chia hết trong Z
Với mọi a, b, c, m

Z :
1. a/ 0 (a

0)
2. 1/ a
3. a/ a (a

0)
4. a/b và b/a

a =
b (a, b 0)
5. a/ b và b/ c
a/c (a, b 0)
(Tính chất bắc cầu)
6. c/a và c/b
c/ (am + bn) (c 0)
2. Phép chia có d :
a) Định lí :
Cho hai số nguyên a, b (b> 0), bao giờ cũng có duy nhất cặp số
nguyên q, r sao cho :
a = bq + r với 0
r b <
.
r là số d trong phép chia a cho b.
(r = 0 : thì a chia hết cho b)
Khi r
0

, có thể lấy số d là số âm r = r- b.
b) Chia a cho b>0 thì số d r là một trong b số :
+) b chắn
b
r= 0, 1, 2, 3, +
2

(hoặc
b
r= 0, 1, 2, 3,
2

)
+) b lẻ
b-1
r= 0, 1, 2, 3,
2

.
3. Thuật toán Euclide để tìm ƯCLN của hai số :
Ước chung lớn nhất của hai số dơng a và b đợc kí hiệu là
ƯCLN(a, b) hoặc (a, b).
Thuật toán Euclide giúp ta tìm ƯCLN một cách khác. Thuật toán dựa trên
điịnh lí sau đây :
+) Nếu a là bội của b thì ƯCLN(a, b) = b
a = bq
(a, b) = b
+) Nếu a chia cho b, d r
0
, thì ƯCLN(a, b) bằng ƯCLN(b, r)
do đó, ta có thể thực hiện các phép chia liên tiếp để tìm ƯCLN(a,
b).
Ví dụ :
Tìm ƯCLN(300, 105).
- Chia 300 cho 105, ta đợc d 90
- chia 105 cho 90, ta đợc d 15
- Chia 90 cho 15, ta đợc d 0

Vậy : ƯCLN(300, 105) = 15.
Có thể thấy rõ điều đó nh sau :
300 = 105. 2 + 90

(300; 105) = (105; 90)
105 = 90 . 1 + 15

(105; 90 ) = (105; 15)
90 = 15 . 6

( 90; 15 ) = 15
Vậy : (300; 15) = 15
Trong thực hành, ta đặt phép tính nh sau :
300 105
105 90 2
90 15 1
0 6
4. Một số định lí quan trọng :
*) Định lí 1 :
Một số d là ớc chung của a và b khi và chỉ khi d là ớc của ƯCLN(a,
b). d/a và d / b

d / (a, b)
*) Định lí 2 :
Một số m là bội chung của a và b khi và chỉ khi m là bội của
BCNN(a, b)
m a và m b m [ a, b] M M M
*) Định lí 3 :
(a,b). [a, b] = ab
*) Định lí 4 :

Nếu a, b nguyên tố cùng nhau và tích a.c chia hết cho b thì c chia
hết cho b.
ac b và (a, b) = 1 c bM M
*) Định lí 5 :
Nếu c chia hết a và cho b mà a, b nguyên tố cùng nhau thì c cia
hết cho tích a.b.
c a, c b và (a, b) = 1 c a.bM M M
II Phơng pháp giải một số bài toán về chia hết :
*) ph ơng pháp 1 :
Để chng minh A(n) chia hết cho b, có thể xét mọi trờng hợp về số
d khi chia n cho p.
Bài toán 1:
Chứng minh rằng với mọi
n Z
:
A(n) = n(n
2
+ 1)(n
2
+ 4)
5M
Giải :
Xét mọi trờng hợp khi chia n
Z
cho 5, ta có số d là : r =
0, 1, 2.
a) r = 0
c) r =
2

A(n) là tích của ba thừa số, trong mọi tr-
ờng hợp đều có một thừa số chia hết cho 5. Vậy A(n)
5M
, với mọi
n Z
.
Ví dụ 2 :
Chứng minh rằng :
a) Tổng của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3 ;
b) Tổng của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5 ;
c) Tổng của 2k + 1 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2k + 1.
Gợi ý :
a) (n 1) + n + (n + 1) = 3n
b) (n 2) + (n 1) + n + (n + 1) + (n + 2) = 5n
c) (n k ) + (n k + 1) + + n + (n + 1) + + (n + k 1) + ( n + k)
= (2k + 1) n.
Ví dụ 3 :
Chứng minh rằng :
2 2
2
n 5
b) r = 1 n = 5k 1
n 25 k 10k +1
(n 4) 5


=
+
M

M
2 2
2
n = 5k 2
n = 25k 20k 4
( n 1) 5

+
+
M
a) Trong 2 số nguyên liên tiếp, có một và chỉ một số chia hết cho 2
(chẵn) ;
b) Trong 3 số nguyên liên tiếp, có một và chỉ một số chia hết cho 3 ;
c) Trong k số nguyên liên tiếp, có một và chỉ một số chia hết cho k ;
*) Ph ơng pháp 2 :
Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m, nói chung nên phân
tích m ra thừa số : m = p.q
1) Nếu p, q nguyên tố cùng nhau : ta tìm cách chứng minh :
A(n)
p và A(n) qM M
(Suy ra A(n)
p.q, M
theo định lí 5 về chia hết )
Ví dụ 4 :
a) Chứng minh rằng tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6.
b) Tích của 4 số nguyên liên tiếp chia hết cho bao nhiêu.
Giải :
a) Gọi ba số nguyên liên tiếp là n, n +1, n + 2
Tích của chúng là :
A(n) = n(n + 1)(n + 2)

Ta có 6 = 2.3 ( 2 và 3 là số nguyên tố).
Trong 2 số nguyên liên tiếp n và n + 1, bao giờ cũng có một số chẵn, do
đó A(n)
2M
Trong 3 số nguyên liên tiếp n, n + 1, n + 2 bao giờ cũng có một số chia
hết cho 3, nên tích của chúng luôn chia hết cho 3 : A(n)
3M
.
A(n) 2 và A(n) 3, mà (2, 3) = 1 nên
A(n) 2.3 = 6
M M
M
Chú ý rằng : ba số nguyên liên tiếp có thể là n 1, n và n + 1.
b) A(n) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
Trớc hết, ta thấy rằng trong bốn số nguyên liên tiếp : n, n + 1, n +
2, n+3, bao giờ cũng có một số cia hết cho 2 và một số khác
chia hết cho 4.
Thật vậy :
Nếu n = 2k thì n + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1)
Do đó :
- Khi k chẵn thì n
4 còn (n + 2) 2M M
- Khi k lẻ thì (n + 2)
2 còn n 2M M
Tơng tự nh vậy, nếu xét n + 1 và n + 3 có một số chia hết cho 4, số
kia chia hết cho 2.
Do đó A(n) = n(n + 1)(n + 2)(n +3)
4.2 = 8M
Theo a) thì n(n + 1)(n + 2)(n +3)
M

3
mà (3, 8) = 1 nên A(n)
M
3.8 = 24.
2) Nếu p, q không nguyên tố cùng nhau : Phân tích A(n) ra thừa số :
A(n) = B(n). C(n)
và tìm cách chứng minh
B(n) p và C(n) qM M
suy ra B(n).C(n)
M
p. q
Bài tập :
Chứng minh rằng tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8.
Trong trờng hợp 3 số chẵn liên tiếp thì tích chia hết cho bao nhiêu.
*) Ph ơng pháp 3 :
Để chứng minh A(n) chia hết cho m, ta có thể biến đổi A(n) thành tổng
của nhiều hạng tử và chứng minh mỗi hạnh tử đó chia hết cho m.
Ví dụ 5 :
Chứng minh rằng lập phơng của một số nguyên bất kì (n > 1) trừ đi
13 lần số nguyên đó thì luôn chia hết cho 6.
Giải :
Ta phải chứng mhinh :
A(n) = n
3
13n
M
6
Chú ý rằng : 13n = 12n + n, mà 12n
M
6, ta biến đổi A(n) thành

A(n) = (n
3
n) 12n.
Ta có : n
3
n = n(n
2
1) = (n 1)n(n + 1).
Đây là tích của ba số nguyên liên tiếp, tích này luôn chia hết cho 6.
A(n) là hiệu của hai hạng tử : n
3
n và 12n, mỗi hạng tử đều chia
hết cho 6, nên :
A(n)
M
6.
Ví dụ 6 :
Chứng minh rằng tổng lập phơng của ba số nguyên liên tiếp chia
hết cho 9.
Gải :
Ba số nguyên liên tiếp là n, n +1, n+ 2, ta phải chứng minh :
A = n
3
+ (n + 1)
3
+ (n + 2)
3
chia hết cho 9.
Ta có :
A = n

3
+ (n + 1)
3
+ (n + 2)
3
= 3n
3
+ 9n
2
+ 15n + 9
= 3n
3
-3n + 18n + 9n
2
+ 9
= 3n(n 1)(n + 1) + 18n + 9 + 9n
2
n, n 1, n + 1 là ba số nguyên liên tiếp, trong đó một số chia hết
cho 3, vậy :
B = 3n(n 1)(n + 1)
M
9
C = 18n + 9n
2
+9
M
9
A = B +C mà B
M
9, C

M
9 nên A
M
9.
Để chứng minh một tổng không chia hết cho m, ta chứng minh một
hạng tử nào đó không chia hết cho m, còn tất cả các hạng tử đều chia
hết cho m.
Ví dụ 7 :
Chứng minh rằng :
n
2
+ 4n + 5 không chia hết cho 8 với mọi số n lẻ .
Giải :
Đặt n = 2k + 1, ta có :
n
2
+ 4n + 5 = (2k + 1)
2
+ 4(2k + 1) + 5
= (4k
2
+ 4k + 1) + (8k + 4) +5
= (4k
2
+ 4k) + (8k + 8) + 2
= 4k(k + 1) + 8(k + 1) +2
Đây là tổng của ba hạng tử, hạng tử đầu 4k(k + 1) chia hết cho 8,
hạng tử thứ hai 8 (k + 1) cũng chia hết cho 8, riêng hạnh tử hứ ba là 2
không chia hết cho 8. Vậy tổng đã cho không chia hết cho 8.
Bài tập :

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n :
a) n
3
n + 4 không chia hết cho 3 ;
b) n
2
+ 11n + 39 không chia hết cho 49 ;
c) n
2
+ 3n + 5 không chia hết cho 121.
*) Ph ơng pháp 4 :
Để chứng minh rằng A(n) chia hết cho m, ta có thể phân tích A(n)
thành nhân tử, trong đó có một nhân tử bằng m :
A(n) = m . B(n)
Thờng phải sử dụng các hằng đẳng thức. Nói riên, từ các hằng
đẳng thức (9), (10) và (11) ta có :
a
n
b
n
chia hết cho a b (a

b) với n bất kì
a
n
b
n
chia hết cho a + b (a

- b) với n chẵn ( n = 2k)

a
n
+ b
n
chia hết cho a + b (a

- b) với n lẻ ( n = 2k + 1).
Ví dụ 8 :
Chứng minh rằng :
2
5
+ 3
5
+ 5
5

M
5 .
Gợi ý :
Vì 5 là số lẻ, nên 2
5
+ 3
5

M
(2 + 3) .
Ví dụ 9 :
Chứng minh rằng : 2
4n
1 chia hết cho 15.

Giải :
2
4n
1 = (2
4
)
n
1
n
= (2
4
1)[(2
4
)
n

1
+ + 1] = 15 . M
Vậy : (2
4n
1)
M
15
Bài tập :
a)Chứng minh rằng :
A = 7
1
+ 7
2
+ + 7

4k
(trong đó k là số tự nhiên) chia hết cho
400.
b) Chứng minh biểu thức :
A = 75(4
1975
+ 4
1974
+ + 4
2
+ 5) + 25
chia hết cho 4
1976
.
*) Ph ơng pháp 5 :
Dùng nguyên tắc Dirichlet
Nếu nhốt 9 chú thỏ vào 4 cái chuồng thì phải có một cái chuồng
nhốt ít nhất là 3 chú thỏ.




!"#$%&!'&()*$!+$*,-!.$%
!"#$%
&
'()*%(+,-
.$&
/*0 !*1"!,*0$2%*+)*
%,! !1"!3.4#1"+56&
/012 !!"!#$%!&$'()

$

*

$*

+$

*,$*$**+$
-./+./.,./../,./.
-
0
+-
0+
,-
0
-

+,-
0
-+-

-+
3!"#$%&!'&14$%!5$%(6$%*!7-
7$89$:4(&
;5<0,*=,>1?89&
/0123 !!"!#$%!&$'()
-

,-

,--+
$

*

,

$*



,$*

+$*

+$

*


-

-

.+.

,-

.

8!"#$%&!'&$!9:$!;<.!=$%*,
@0A$%(AB&