Hình học của nhóm các phép dời trong mặt phẳng, trong không gian và ứng dụng của nó vào dảng dạy phép dời hình ở phổ thông

1

LỜI CẢM
ƠN


Với việc hoàn thành bản Luận văn này, tôi xin được bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc của mình tới Phó Giáo sư – Tiến sĩ
Nguyễn Huỳnh Phán
– người
đã nhiệt tình từng bước hướng dẫn tôi thực hiện việc nghiên cứu đề tài, từ
việc gợi ý, cung cấp các
tài
liệu nghiên cứu, hướng dẫn các phương pháp
thực hiện và truyền đạt nhiều kiến thức quý báu trong suốt quá trình
thực

hiện luận văn đến việc chỉnh sửa và hoàn chỉnh nội dung của bài
luận.

Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy trong tổ Bộ môn Hình Học,
khoa Toán của Trường Đại
học

Vinh
đã giúp tôi hoàn thành tất cả các học
phần của Khóa học, nâng cao
được
trình độ kiến thức chuyên môn và các
phương pháp học tập hữu ích; giúp tôi hoàn thành các học trình, đặc biệt là

luận
văn tốt
nghiệp.

Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm của lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào
tạo Hà Tĩnh, Ban Giám Hiệu trường THPT Lê Hữu Trác, huyện Huyện
Hương Sơn, tỉnh Hà Tĩnh cùng toàn thể quý đồng nghiệp, các bạn cùng khóa
học, gia đình đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn
thành luận văn tốt nghiệp.
Chân thành cảm
ơn!
Hà Tĩnh, ngày 20 tháng 08 năm 2013

Tác giả



Nguyễn Văn Hùng




2

MỤC LỤC

LỜI CẢM
ƠN
1
MỞ ĐẦU 3

1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 3
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 3
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 3
4. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 4
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 4
NỘI DUNG 5
CHƯƠNG 1. CHƯƠNG I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5
1.1. ĐA TẠP KHẢ VI 5
1.2. ÁNH XẠ KHẢ VI GIỮA HAI ĐA TẠP 11
1.3. NHÓM LIE 13
1.4. TẬP ĐẠI SỐ ZARISKY VÀ TÔ PÔ ZARISKY 15

CHƯƠNG II. NHÓM CÁC PHÉP DỜI TRONG MẶT PHẲNG, TRONG KHÔNG
GIAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ TRONG GIẢNG DẠY TOÁN PHỔ
THÔNG 26
2.1. PHẦN I: MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC VÀ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ
CỦA NHÓM CÁC PHÉP DỜI TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG
GIAN 27
2.2. PHẦN II: ỨNG DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA NHÓM CÁC PHÉP DỜI
TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG GIAN VÀO GIẢNG DẠY PHÉP
DỜI HÌNH Ở PHỔ THÔNG 34

KẾT LUẬN 41
DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

3


I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Qua học tập và nghiên cứu chuyên nghành hình học và tô pô, chúng tôi càng
hiểu sâu hơn rằng Hình học afin nghiên cứu tính chất bất biến trong không
gian afin; Hình học Ơclit nghiên cứu tính chất bất biến của các phép dời trong
không gian Ơclit; Hình học xạ ảnh nghiên cứu tính chất bất biến trong không
gian xạ ảnh; Hình học đại số nghiên cứu những tính chất bất biến của tập đại
số qua các phép đồng phôi topo Zariski,….
Như vậy hình học nói chung đều nghiên cứu tính chất bất biến trong không
gian nào đó. Từ nhiều năm giảng dạy ở trường THPT, chúng tôi nhận thấy
hình học hình học Ơ clit chiếm phần lớn nội dung chương trình hình học phổ
thông; Nó không chỉ gần gủi với thực tiễn mà còn góp phần quan trọng hình
thành tri thức toán phổ thông cho học sinh. Bộ môn hình học này, như trình
bày ở trên, chủ yếu là nghiên cứu các tính chất bất biến qua nhóm các phép
dời. Do vậy, để hiểu sâu sắc hơn toán học phổ thông nói chung, hình học phổ
thông nói riêng, tôi chọn đề tài luận văn tốt nghiệp là HÌNH HỌC CỦA
NHÓM CÁC PHÉP DỜI TRONG MẶT PHẴNG, TRONG KHÔNG
GIAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ VÀO GIẢNG DẠY PHÉP DỜI HÌNH
Ở PHỔ THÔNG.

2. Mục đích nghiên cứu
Qua đề tài, chúng tôi muốn nghiên cứu hình học của nhóm các phép biến
đổi trực giao chiều thấp và liên hệ nó với các phép dời hình ở bậc THPT
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tập hợp lại một số kiến thức cơ bản về đa tạp khả vi; nhóm Lie; tập đại số
Zariski và tô pô Zariski. Nêu các phép dời và ứng dụng của nó trong dảng dạy

4

toán phổ thông. Trình bày một số kết quả riêng mà chúng tôi tích lũy được
trong quá trình giảng dạy.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của chúng tôi bao gồm:
- Các kiến thức cơ bản về Đa tạp khả vi
- Nhóm Lie
- Tập đại số và tô pô Zariski
- Nhóm Lie các phép dời trong không gian Ơclit
5. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc hiểu một số tài liệu liên quan đến các khái niệm của đa tạp khả vi; một số
ví dụ của đa tạp khả vi, một số tính chất cơ bản của đa tạp khả vi và ánh xạ
khả vi.
- Đọc hiểu một số tài liệu về khái niệm nhóm Lie, ví dụ về nhóm Lie,
điều kiện xác định nhóm Lie
- Đọc hiểu một số tài liệu về tập đại số Zariski và tô pô Zariski
- Đọc hiểu về nhóm Lie các phép dời trong mặt phẵng và trong không
gian.
- Đọc hiểu về các phép biến đổi ma trận.
- Đọc hiểu về phép dời hình trong chương trình phổ thông
II/ Nội dung nghiên cứu
- Tập hợp lại các kiến thức có liên quan về đa tạp khả vi; về nhóm Lie, tập đại
số; tôp Zariski
- Sử dụng các kết quả tổng quát về ma trận vuông và các khái niệm ở trên
- Tìm mối liên hệ giữa phép dời hình, các phép biến đổi trực giao qua nhóm Lie
và tập đại số Zariski
- Tìm kiếm các ứng dụng những kiến thức vừa nêu vào toan phổ thông

5

NỘI DUNG
CHƯƠNG I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 ĐA TẠP KHẢ VI

Trong mục này trình bày lý thuyết về đa tạp khả vi như là định nghĩa, ví
dụ minh họa, một số tính chất của đa tạp khả vi và có chứng minh chi tiết.
1.1.1 Định nghĩa 1
i/ Giả sử
M
là
2
T
không gian. Nếu
U
mở trong
M
và
*
U
là tập mở
trong
n
R
và
*
:
U U


đồng phôi thì
( , )
U

được gọi là một bản đồ của

M
.
ii/ Với
p U

thì
( )
n
p R


, nên


1 2
( ) , , ,
n
p x x x

 . Khi đó


1 2
, , ,
n
x x x
được gọi là tọa độ của p đối với
( , )
U


và
( , )
U

được gọi là hệ tọa
độ địa phương
iii/ Giả sử
1 1
( , )
U

và
2 2
( , )
U

là 2 bản đồ của
M
sao cho
1 2
W U U
   
. Khi đó
1 1
( , )
U

và
2 2
( , )

U

được gọi là phù hợp nếu ánh xạ
1
2 1
 


:
1 1 2 2 1 2
( ) ( )
U U U U
 
   là vi phôi ( song ánh và khả vi hai chiều)
Chú ý: Ta thấy
1 2
U U
  
và
1
2 1 1 1 2 2
: W (W) W (W)
   

  
,
1 1 1
2 1 1 2
( )
   

  

 
và
1
2 1
 


được gọi là công thức đổi tọa độ từ
1 1
( , )
U

sang
2 2
( , )
U

đối với các điểm
W
p

. Ta quy ước là nếu
1 2
U U
  
thì
1 1
( , )

U

và
2 2
( , )
U

là phù hợp.
Ví dụ 1: Trong
2
R
ta lấy




1 2 2
; / 1
M S x y x y
   

Đặt
 
 


 


 

1 2 *
1
; S / x 0 1 ; 1;1 , U 1;1
U x y y y y        


6

Và
*
1 1
:
U U


;


2
1 ;
y y y
 

Khi đó
1 1
( , )
U

là một bản đồ của
1

S

Chứng minh:
*
1

là song ánh
Giả sử


2
1 ;
A a a
 và


2
1
1 ;b
B b U
 
sao cho
1 1
( ) ( )
A B
 

. Khi đó
a b


và
do đó
A B

. Vậy
1

là đơn ánh.
Với bất kỳ


1;1
y  
, lấy


2
1 ;
X y y
 thì
1
X U

và


1
X y



. Vậy
1

là toàn
ánh
*
1

là liên tục: điều này hiển nhiên vì
1

là phép chiếu.
*
1
1


là liên tục
Ta có
1 *
1 1
:
U U








2
1 ;
x x x


Vì các hàm tọa độ
1 2
1 2 1
1 1
: 1 , :
x x x x
 
 

 
liên tục nên
1
1


liên tục
Do đó
1

là đồng phôi
Vậy
1 1
( , )
U


là một bản đồ của
1
S
.
Ví dụ 2: Trong
2

ta lấy




1 2 2
; / 1
M S x y x y
   


7

Đặt
 
 


 


 
1 2 *

2 2
; / 0 ; 1 / 1;1 , 1;1
U x y S y x x x U        

và
*
2 2 2
:
U U






2
; 1
x x x



Khi đó


2 2
;
U

là một bản đồ của
1

M S

và


1 1
;
U

với


2 2
;
U

là phù hợp
Chứng minh:
+ Chứng minh tương tự ví dụ 1 thì ta có


2 2
;
U

là bản đồ của
1
S

+ Ta chứng minh



1 1
;
U

và


2 2
;
U

là phù hợp.
Thật vậy




1
1 2
W ; / 0, 0
U U x y S x y
     




1 1
W (W) 0;1


 
,


2 2
W (W) 0;1

 

Do đó




1
2 1
: : 0;1 0;1
f
 




2
1
t t
 

Khi đó: f là song ánh

f là hàm số khả vi vì
 
'
2
( ) , 0;1
1
t
f t t
t

 



1
f

là hàm số khả vi vì


1
: (0;1) 0;1
f




2
1
x x





8

Vậy


1 1
;
U

và


2 2
;
U

là phù hợp
1.1.2 Định nghĩa 2
i/ Giả sử Giả sử
M
là
2
T
không gian.

A


{


;
i i
i I
U


là họ các bản đồ trên
M
} nếu
A
thỏa mãn:
a/
i
i I
U M

 

b/


;
i i
U

và



;
j j
U

là phù hợp, với mọi
i j

thì ta nói
A
là một
atlat của
M

ii/ Hai atlat
 






; , ;
i i j j
i I
j J
A U B V
 



 
được gọi là phù hợp
nếu


;
i i
U

và


;
j j
V

phù hợp với
,
i j


Nhận xét: Nếu
A
và
B
là hai atlat phù hợp thì
A B

cũng là một atlat

1.1.3 Định nghĩa
i/ Nếu
A
là một atlat cực đại trên
M
( tức là
A
không nằm trong bất
kỳ atlat nào) thì
A
được gọi là một cấu trúc khả vi trên
M

ii/ Một
2
T
- không gian
M
có cấu trúc khả vi được gọi là đa tạp khả vi
n- chiều.
Nhận xét:
a. Atlat cực đại
A
gọi là cấu trúc khả vi thì
1
i j
 


là vi phôi với mọi i, j

b. Khi nói M là đa tạp khả vi thì ta chỉ cần chỉ ra một atlat với số bản đồ ít
nhất có thể để tính toán các phép tính khả vi trên nó.

9

Ví dụ 1: Lấy




1 2 2
; / 1
M S x y x y
   
. Ta đã chứng minh được


1 1
;
U


và


2 2
;
U

là hai bản đồ của M.

Đặt
 
 


 


 
1 2 *
3 3
; / x 0 1 ; y / y 1;1 , 1;1
U x y S y U         

và
*
3 3 3
:
U U






2
1 ; y
y y
 


 
 


 


 
1 2 *
4 4
; / 0 ; 1 / 1;1 , 1;1
U x y S y x x x U         

và
*
4 4 4
:
U U






2
; 1
x x x
 



Tương tự, ta cũng chứng minh được


3 3
;
U

và


4 4
;
U

là hai bản đồ của M
Do đó
 


4
1
;
i i
i
U


là một Atlat của M

Vậy
1
M S

là một đa tạp khả vi 1 – chiều
Nhận xét: Cho M là đa tạp n – chiều . Ta thấy nếu N là tập mở trong M thì N
cũng là một đa tạp n – chiều
Chứng minh:
Thật vậy, ta thường lấy atlat của N là thu hẹp của Atlat của M trên N.

10

Bây giờ giả sử M là đa tạp m – chiều với tập bản đồ bảo hòa là




;
i i
i I
A U



và N là đa tạp n – chiều với tập bản đồ bảo hòa là




;

j j
j J
B V



.
Ký hiệu




mn
jjiijiij
RVUVUf



:




1 1
( ; ) ; ; ; ; ;
m n
a b a a b b


Khi đó



,
i j i j
i j
U V f
là một atlat của tập tích Đềcác M

N
Vậy M

N là một đa tạp (m + n ) – chiều.
Ví dụ 2 : Ký hiệu GL(n, R) ={các tự đẳng cấu tuyến tính của
n
R
}. Khi đó
GL(n, R) là đa tạp khả vi
2
n
- chiều.
Chứng minh: Ta đồng nhất tập
Mat(n n, R)

tất cả các ma trận vuông cấp n với
2
n
R
;
2
n

Mat(n n, R) R
 
.
Xét ánh xạ
det : Mat(n n, R) R
 







n
n
S
niii
sign
ij
xxxAxA


)1(det
21
21


Ở đây phần tử (hay là biến)
ti
t

x
, t = 1, 2, …, n là phần tử nằm ở hàng t, cột i
t

của ma trận A. Do đó, rõ ràng det A là một đa thức bậc n, thuần nhất của n
2

biến từ biến x
11
, x
12
,…., x
1n
, …. cho tới các biến x
n1
, x
n2
,… , x
nn
. S
n
là nhóm
tất cả các song ánh (còn gọi là phép thế) trên tập n số 1, 2, …, n (có n! song
ánh như vậy), sgn

là dấu của phép thế

.
Cho nên khi đó:

11

i/
det
là ánh xạ (chính xác là hàm số) khả vi ,
ii/
1 1
det ( ,0) det (0, ) GL(n,R)
 
   
,
suy ra
GL(n,R)
là mở trong
2
n
R
.
Do đó
GL(n,R)
, đa tạp khả vi n
2
- chiều.

1.2 ÁNH XẠ KHẢ VI GIỮA HAI ĐA TẠP
1.2.1 Định nghĩa 1: Giả sử M, N là các đa tạp. Ánh xạ
:
f M N

được gọi là

khả vi, nếu
i)
f
liên tục.
ii) Với mọi bản đồ


,
U

của M và


,
V

của N sao cho:


1
WU f V


  
đều có
1
o
fo
 


khả vi.
(
1
o
fo
 

:


1 2
W W W ( (W))
f
 
   ).
1.2.2 Định lí: Tích các ánh xạ khả vi là ánh xạ khả vi.
1.2.3 Định nghĩa 2: Đa tạp M được gọi là định hướng nếu và chỉ nếu Jacôbi
của
1
 
 


có định thức

0, với mọi
,
I
 


1.2.4 Các ví dụ
Ví dụ 4: Chứng minh răng f : S
1


S
2


 
1
, , ,
2 2 2
x y
x y
 
 
 

khả vi

Giải:

12

Trước hết ta chứng minh f liên tục. Vì S
1
, S
2

là các tập con trong R
2
, R
3

nên ta chứng minh f liên tục dãy. Với bất kỳ dãy




,
n n
x y

S
1
mà




0 0
, ,
n n
x y x y
 
S
1
khi n
 

. Ta có
2 2
1
n n
x y
 
và
2 2
0 0
1
x y
 
. Lúc đó
2 2 2
0 0
1
1
2 2 2
x y
     
  
     
     
. Nên
f
 
0 0
1 1
, , , , ,
2 2 2 2 2 2

n n
n n
x y
x y
x y
   
  
   
   
S
2
, khi n
 

do đó f liên tục.
Theo bài 3 ta có: S
1
với họ bản đồ




, 1,2,3,4
i i
U i

 là đa tạp khả vi,
và theo bài 1 ta có: S
2
với họ bản đồ





, 1,2,3, 4,5,6
j j
V i

 là đa tạp khả vi.
Bây giờ ta chứng minh với mọi bản đồ


,
i i
U

của S
1
và


,
j j
V

của S
2

sao cho



1
j i
U f V


 
thì
1
j i
f
 

 
khả vi. Chẳng hạn ta chứng minh đối
với


1 1
,
U

và


1 1
,
V

.

Theo đề ra ta có


1
1 1 1
U f V U

 

mặt khác
 


2
1 2
1 1 1 1
1
1 1
1 , , , ,
2 2 2 2 2
y
y y
f y f y y
   

 

 
 
   

 
 
 
 
  

1
1 1
f
 

 
khả vi vì nó có các hàm toạ độ khả vi.
Vậy f là ánh xạ khả vi.
Ví dụ 5: Chứng minh rằng tích các ánh xạ khả vi là ánh xạ khả vi.
Chứng minh:

13

Giả sử M, N, P là các đa tạp với các họ bản đồ tương ứng là




,
U

,





,
V

và




W,

; Giả sử
,
f g
là các ánh xạ khả vi thoả mãn
f g
M N P
 
.
Ta cần chứng minh
: :
h g f M P
 

là ánh xạ khả vi.
Theo giả thiết
,
f g
là các ánh xạ khả vi nên

,
f g
là các ánh xạ liên tục,
do đó
g f

là ánh xạ liên tục.
Với bất kỳ bản đồ


,
U

của M và


W,

của P sao cho


1
: WA U h


  
, ta xét








1 1
: W
h g f A h U
     
 
      
. Do f là ánh xạ khả vi nên
với mọi bản đồ


,
V

của N sao cho


1
U f V


 
, ta đều có
1
f
 


 

khả vi. Tương tự từ tính khả vi của g với mọi bản đồ


,
V

của N sao cho


1
WV g


 
, ta đều có
1
g
 

  khả vi. Do đó với mọi bản đồ


,
U


của M và



W,

của P sao cho


1
: WA U h


  
, lúc đó
1 1
h g f
   
 
 
    




1 1
g f
   
 
    
khả vi theo nghĩa giải
tích vì tích của hai ánh xạ khả vi là khả vi. Vậy
1

g f
 

  
khả vi theo nghĩa
giải tích nên
h g f


khả vi.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
1.3 NHÓM LIE
Trong mục này trình bày về định nghĩa nhóm Lie, Ví dụ về nhóm Lie, điều
kiện xác định nhóm Lie
1.3.1 Định nghĩa và ví dụ
1.3.1.1 Định nghĩa nhóm Lie

14

Tập
G
được gọi là một nhóm Lie nếu và chỉ nếu
G
thoả mãn các điều
kiện sau:
i)
G
là một đa tạp khả vi
ii)
G

là một nhóm (phép toán nhóm ta thường gọi là phép nhân và viết
.
a b
;
,
a b G
 
).
iii) Phép nhân (
:
f G G G
 
;


, .
a b ab
 ) và phép nghịch đảo trên
G
(
:
G G


;
1
a a


) là các ánh xạ khả vi.

1.3.1.2 Ví dụ
a) Không gian véctơ
2
R
với cấu trúc khả vi tự nhiên và với phép cộng
véctơ thông thường thì
2
R
là một nhóm Lie.
Thật vậy, xét


RbabaxR  ,:),(
2
ta có:
+
2
R
là một đa tạp khả vi với
2
RU 
,
22
: RRi
d



.
+

2
R
là nhóm với phép cộng véctơ thông thường:

2
),( Rbax 
,
2
),( Rdcy 
,
2
),( Rdbcayx 

+ Phép nhân trên
2
R
:
222
: RRRf 
;
s




, ,
x y x y a c b d
   

và phép nghịch đảo trên

2
R
:
22
: RR 

.








, ,
x a b x a b
    


là các ánh xạ khả vi theo nghĩa thông thường.
Vậy
2
R
là nhóm Lie.

Nhóm ),( RnGl của các ma trận vuông, thực không suy biến là một nhóm Lie
với phép nhân ma trận thông thường.

15

b) Nhóm trực giao O(n, R) là nhóm Lie được biểu diễn bằng các ma
trận trực giao.
c) Nhóm M(n, R) của các ma trận vuông, thực là một nhóm Lie với
cấu trúc khả vi tự nhiên về phép cộng các ma trận.

1.4 TẬP ĐẠI SỐ ZARISKY VÀ TÔ PÔ ZARISKY
Trong mục này trình bày về định nghĩa tập đại số Zarisky, tô pô Zarisky và
một số ví dụ của nó
1.4.1. VÀNH ÐA THỨC
1.4.1.1 Định nghĩa. Cho A là một vành giao hoán có đơn vị và n là một số
nguyên
không âm. Vành đa thức A[ x

1
, x

2
, , x

n
] của n biến x

1
, x

2
, , x

n

trên A
được định nghĩa theo quy nạp như sau:
A[ x

1
, x

2
, , x

n
]
:

A[ x

1
, x

2
, , x

n-1
][x

n
]
Tức là A[ x

1

, x

2
, , x

n
] là vành đa thức của biến x

n
trên vành

A[ x

1
, x

2
, , x

n-1
].
Ký hiệu: A[X] = A[ x

1
, x

2
, , x

n

].
Khi đó A[X] là vành giao hoán có đơn vị với phép cộng và phép nhân đa
thức thông thường. Các phần tử của A[X] được gọi là các đa thức, mọi đa
thức

16

f  A[X] có dạng: f = 

r

1
+r

2
+ +r

n
d


r

1
,r

2
, r

n

x

1
r

1

x

2
r

2

x

n
r

n

. Với d là một
số tự nhiên nào đó và 

r

1
,r

2

, r

n
 A, các phần tử 

r

1
,r

2
, r

n
≠ 0 được gọi là
các hệ tử của đa thức và các biểu thức x

1
r

1

x

2
r

2

x

n
r

n

kèm theo gọi là các
đơn thức của f.
1.4.1.2. Bậc của đa thức.
Với f  A[X], đặt degf :

max{r

1
+ r

2
+ + r

n
| 

r

1
,r

2
, r

n
≠ 0} nếu f ≠
0 và đặt degf

- nếu f

0. Khi đó degf được gọi là bậc của f.
Nếu degf = 1, ta nói f là đa thức bậc nhất, nó luôn có dạng
f = a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ … + a
n
x
n
+ a
n+1
,
trong đó ít nhất phải có một hệ số gắn biến khác không.
Người ta thường viết một đa thức nhiều biến theo thức tự các biến và
theo giá trị giảm dần của bậc các đơn thức, nghĩa là, coi
1 2 1 2
>
1 2 1 2

r s
r r s s
n n
n n
x x x x x x

nếu r
1
+ r
2
+… + r
n
> s
1
+ s
2
+… + s
n

hoặc r
1
+ r
2
+… + r
n
= s
1
+ s
2
+… + s

n
và tọa độ khác không đầu tiên
của véctơ (r
1
– s
1
, r
2
– s
2
,… , r
n
- s
n
) là dương.
1.4.1.3. Ví dụ. Với 2 biến x
1
, x
2
, ta có

17

1 2 2
> >
1 1 2 1 2 2 1 2
>
m m m m
x x x x x x x
x

 
 
 
.
1.4.1.4. Mệnh đề. Nếu A là miền nguyên thì degfg = degf + degg với mọi
đa thức f, g

A[X].
Chứng minh. Mọi đơn thức của fg đều có dạng uv với u là đơn thức của f
và v là đơn thức của g. Gọi u

max
, v

max
lần lượt là các đơn thức bậc lớn nhất
của f, g theo thứ tự nêu trên. Với mọi u ≠ u

max
và v ≠ v

max
ta có
uv < u

max
v

max
, do đó

uv ≠ u

max
v

max
. Gọi c, d  A là các hệ tử tương ứng của u

max
, v

max
. Vì c, d ≠
0 nên cd ≠ 0. Khi đó cdu

max
v

max
là hạng tử của fg.
Do đó: deguv

degu

max
v

max
= degu

max
+ degv

max
= degf + degg
Vậy degfg = degf + degg.
1.4.1.5. Mệnh đề. Nếu A là miền nguyên thì A[X] là miền nguyên và các
phần tử khả nghịch của A[X] là các phần tử khả nghịch của A.
Chứng minh. Giả sử f, g là các đa thức khác 0 trong A[X]. Khi đó degf,
degg

0 nên degfg

0 và do đó fg ≠ 0. Vì vậy A[X] là miền nguyên.
Tiếp theo, nếu fg = 1 thì degfg = degf +degg = 0, suy ra degf = degg = 0;
do đó f, g là những phần tử khác 0 của A. Vì vậy f, g là những phần tử khả
nghịch của A.
1.4.1.5. Nhận xét. Nếu K là một trường thì
1/ Với mọi f, g  K[X] ta luôn có

18

deg(fg) = degf + degg.
2/ K[X] là miền nguyên vì fg ≠ 0 nếu f, g ≠ 0.
3/ K là tập các phần tử khả nghịch của K[X] vì fg ≠ 1 nếu f  K hoặc
g  K.
1.4.1.6. Nghiệm của một đa thức.
Cho A là vành giáo hoán có đơn vị và
f = 

r

1
+r

2
+ +r

n
d


r

1
,r

2
, r

n
x

1
r

1

x

2
r

2

x

n
r

n

với d  N. Với a = (a

1
, a

2
,
a

n
)  A
n

ta có giá trị: f(a) = 

r

1

+r

2
+ +r

n
d


r

1
,r

2
, r

n
a

1
r

1

a

2
r

2

a

n
r

n

. Khi đó
điểm a được gọi là nghiệm của f nếu f(a) = 0 và ta cũng nói f triệt tiêu tại
a.
Chú ý rằng, mỗi đa thức f xác định một ánh xạ f : K
n


K; a

f(a),
gọi là ánh xạ đa thức.
1.4.1.7. Bổ đề. Giả sử K là một trường có vô hạn phần tử. Nếu f(a) = 0 với

a

K
n

thì f = 0.
Chứng minh.
+) Nếu n = 1 thì f là đa thức một biến nên nếu f là đa thức bậc d ≥ 1 thì f

chỉ có hữu hạn nghiệm điều này mẫu thuẫn với f(a) = 0, a  K
n

.
+) Nếu n > 1, giả sử f chứa biến x

n
khi đó ta viết f dưới dạng

19

f = f

0
+ f

1
x

n
+ f

2
x

n
+ + f

d
x

n
d

; trong đó f

0
, f

1
, , f

d
 K[ x

1
, x

2
, , x

n-1
] và
f

d
≠ 0. Suy ra tồn tại bộ số (a

1
, a

2
, , a

n-1
) sao cho f(a

1
, a

2
, , a

n-1
) ≠ 0.
Do đó f

0
(a

1
, a

2
, , a

n-1
) + f

1

(a

1
, a

2
, , a

n-1
) x

n
+ + f

d
(a

1
, a

2
, , a

n-1
)x

n
d

là

đa thức một biến của x

n
có bậc d nên có hữu hạn nghiệm, mà đa thức này
triệt tiêu với mọi a thuộc K với K vô hạn phần tử (vô lí). Vậy f = 0. Từ đó
suy ra điều phải chứng minh.
1.4.1.8. Nhận xét. Bổ đề không còn đúng nếu K là một trường hữu hạn.
Chẳng hạn K = {

1
,

2
, ,

n
} thì đa thức f = (x-

1
)(x-

2
) (x-

n
) là một
đa thức khác 0 nhưng triệt tiêu trên toàn bộ K.
1.4.1.9. Hệ quả. Giả sử K là một trường có vô hạn phần tử. Cho f và g là
hai đa thức trong K[X]. Nếu f(a) = g(a) với mọi a


K
n

thì f = g.
Trong luận văn này, từ đây trở đi, ta luôn giả thiết trường K là vô hạn.
1.4.2. TẬP ĐẠI SỐ.
1.4.2.1. Định nghĩa. Cho K là trường, tập con V

K
n
gọi là tập đại số nếu
nó là nghiệm của một họ các đa thức n biến trong K[X].
1.4.2.2. Ví dụ.
1/ Tập rỗng  là tập đại số vì phương trình 1 = 0 vô nghiệm.
2/ Mọi điểm a = (a

1
, a

2
, , a

n
) đều là tập đại số vì a là nghiệm duy nhất
của hệ phương trình:

20

1 1
2 2

0
0

0
n n
x a
x a
x a
 


 




 


3/ Không gian K
n

là tập đại số vì phương trình 0 = 0 đúng với mọi điểm
của K
n

.
4/ Các m – phẳng trong không gian afin A
n
là các tập đại số vì đó là

nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính có dạng:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2




n n
n n
p p pn n p
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
   


   




   


Trong đó hạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính trên bằng n - m và
n - m ≤ p ≤ n.
1.4.3. Siêu mặt.
1.4.3.1. Định nghĩa. Cho f  K[X]. Ký hiệu Z(f) = {a  K
n

: f(a) = 0}, tức
là Z(f) là tập nghiệm của đa thức f. Khi đó:
1/ Z(f) =  nếu f là đa thức hằng khác 0 (degf = 0).
2/ Z(f) = K
n

nếu f = 0 (degf
 
)
3/ Z(f) được gọi là siêu mặt của không gian K
n

nếu degf > 0.
Đăc biệt degf = 1 thì Z(f) gọi là một siêu phẳng.

21

1.4.3.2. Ví dụ. Trong K[x, y], cho f = x
2
– y, thì Z(f) = { (a, a
2
) ; a

K }.
Nó là một parabol.
Thật vậy, đặt V = { (a, a
2
) ; a


K }. Ta có V

Z(f).
Ngược lại, giả sử (a
1
, a
2
)

Z(f). Nếu a
1
= 0 thì a
2
= 0 nên (a
1
, a
2
) = (0, 0
2
)

V. Khi a
1


0, ta có

2
1 2 2
1

1 1 1
2
2 2
2
2 2 2
2
2
2 1 1
a = = = : = a
a = = = : = a
a a a
a a a
a a a
a a a

 

 

 

 

 

 


Do đó ta có (a

1
, a

2
)  V. Từ đó suy ra Z(f)  V. Vậy ta có V = Z(f).
1.4.3.3. Tổng quát.
Cho S là một tập con của K[X], kí hiệu Z(S) = {a  K
n

: f(a) = 0, f 
S}; Vậy
Z(S) = 

fS
Z(f) thế thì Z(f) là một tập đại số và vì vậy mọi tập đại số đều là
giao của các tập dạng Z(f), khi này ta cũng nói Z(S) là tập đại số của tập
các đa thức S.
1.4.3.4. Nhận xét.
1/ Khi n

1 thì mọi đa thức bậc dương chỉ có hữu hạn nghiệm nên tập đại
số trong K là tập hữu hạn. Ngược lại mọi tập hữu hạn trong K đều là tập
nghiệm của đa thức một biến. Vì vậy Z(f) =  hoặc Z(f) là tập hữu hạn
hoặc Z(f) = K. Từ đó suy ra khi n

1 các tập đại số trong K là các tập
rỗng, tập hữu hạn hay K.

22

2/ Giả sử S

1
và S

2
là hai tập đa thức trong K[X]. Nếu S

1
 S

2
thì Z(S

1
) 
Z(S

2
).
3/ Tập nghiệm của họ các đa thức bậc nhất (n ẩn) được gọi đa tạp tuyến
tính.
1.4.3.5. Bổ đề. Cho S

1
và S

2
là hai tập các đa thức trong K[X].
Đặt S = {fg │f


S

1
, g

S

2
}. Ta có: Z(S

1
)

Z(S

2
) = Z(S).
Chứng minh.
+) Z(S

1
)  Z(S

2
)  Z(S)
Thật vậy: Lấy phần tử tùy ý a  Z(S

1
)  Z(S

2
) thì a  Z(S

1
) hoặc a 
Z(S

2
).
- Nếu a  Z(S

1
) thì f(a) = 0 với f  S

1
, suy ra (fg)(a) = f(a)g(a) = 0 với
f  S

1
và g  S

2
. Do đó a  Z(S).
- Nếu a  Z(S

2
) thì g(a) = 0 với g  S

2

, suy ra (fg)(a) = f(a)g(a) = 0 với
f  S

1
và g  S

2
. Do đó a  Z(S).
Vậy Z(S

1
)  Z(S

2
)  Z(S) (1) .
+) Z(S

1
)  Z(S

2
)  Z(S)
Lấy phần tử tùy ý a  Z(S). Khi đó (fg)(a) = f(a)g(a) = 0 với f  S

1
và
g  S

2
suy ra f(a) = 0 hoặc g(a) = 0, do K là trường vì thế a  Z(S

1
) hoặc

23

a  Z(S

2
) nên a  Z(S

1
)  Z(S

2
).
Vậy Z(S

1
)  Z(S

2
)  Z(S) (2).
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
1.4.3.6. Bổ đề. Cho {S

i
}

i


I
là một họ các tập đa thức trong K[X]. Khi đó:


iI
Z(S

i
) = Z( 

iI
S

i
)
Chứng minh.
Lấy phần tử tùy ý a  

iI
Z(S

i
) khi đó:
a  Z(S

i
) với i  I  f(a) = 0 với f  S

i

, i  I
 f(a) = 0 với f  

iI
S

i
 a  Z( 

iI
S

i
).
Vậy 

iI
Z(S

i
) = Z( 

iI
S

i
).
1.4.3.7. Bổ đề. Cho S

K[X] và T


K[Y] là hai hệ đa thức tùy ý. Nếu ta
coi S

T như một tập đa thức trong K[X, Y] thì: Z(S) x Z(T) = Z(S

T).
Chứng minh.
Giả sử a  K
n

và b  K
m

. Khi đó (a, b) là nghiệm của S  T khi và chi
khi a là nghiệm của S và b là nghiệm của T. Điều này chứng tỏ
Z(S) x Z(T) = Z(S  T).

24

1.4.3.8. Nhận xét. Từ các kết quả trên ta tóm tắt lại như sau:
1/  là tập đại số.
2/ K
n

là tập đại số.
3/ Hợp của hai tập đại số là một tập đại số.
4/ Giao của một họ bất kỳ các tập đại số cũng là một tập đại số.
5/ Tích của hai tập đại số là một tập đại số.
6/ Tương ứng Z: P(K[X]) P( K

n

), cho bởi S

Z(S) là một ánh xạ từ
họ tất cả các tập con của vành đa thức K[X] đến họ tất cả các tập con của
không gian afin K
n
.
7/ Nếu S
1


S
2
thì Z(S
1
)

Z(S
2
) ;
8/ Z(0) = K
n
;
9/ Z(f) =

với 0

f


K.
Từ nhận xét trên ta có kết quả sau.
1.4.3.9. Định lí. Họ tất cả các tập đại số trong không gian afin K
n

lập nên
một tôpô (theo ngôn ngữ tập đóng). Tôpô này gọi là tôpô Zarisi.
1.4.4. Tô pô Zariski theo ngôn ngữ tập mở.
1.4.4.1. Mệnh đề. Họ T

Z
= {U | U = K
n

\V, V là tập đại số} lập thành một
tôpô trên không gian afin K
n

và cũng gọi là tôpô Zariski.

25

Chứng minh
1/ T

Z
là tô pô.
2/ Các tập mở dạng D(f) = K
n

\ Z(f) gọi là tập mở Zariski và chúng lập
thành một cơ sở cho tô pô Zariski. Thật vậy, mọi tập mở U bất kỳ trong K
n


đều là phần bù của một tập đại số Z(S). Do Z(S) = 

fS
Z(f) nên
U = K
n

\ 

fS
Z(f) = 

fS
(K
n

\ Z(f)), suy ra U = 

fS
D(f) (đpcm).
Mệnh đề:
1/ Khi K=
R
(trường số thực, trường số phức), các tập đại số trong

nn
RR ,
với tôpô thông thường trên
,
n n
 
là các tập đóng vì Z(S) = 

fS
f
-1

(0)
trong đó f
-1

là ngược ảnh của {0} của ánh xạ đa thức f (liên tục) và {0} là
tập đóng trong K.
2/ Hai tập mở (với tôpô Zariski trong K
n

) không rỗng của K
n

luôn giao
nhau;
Thật vậy, Với mọi f, g ≠ 0 thì ta luôn có Z(f)  Z(g) = Z(fg) ≠ K
n

. Do đó

D(f)  D(g) = (K
n

\ Z(f))  (K
n

\ Z(g)) = K
n

\ (Z(f)  Z(g)) ≠ .
3/ Mọi tập mở Zariski không rỗng đều là tập trù mật (đối với tôpo Zariski);
4/ Không gian afin K
n

với tôpô Zariski không phải là không gian Hausdorff.