Độ cong và độ xoắn trên đại số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN HỮU NAM
ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN
TRÊN ĐẠI SỐ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGHỆ AN - 2014

2
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN HỮU NAM
ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN
TRÊN ĐẠI SỐ
CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC -TÔPÔ
MÃ SỐ: 60.46.01.05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. NGUYỄN HỮU QUANG
NGHỆ AN - 2014

4
MỤC LỤC
Trang
LỜI NÓI ĐẦU 1
Chương I. ĐẠI SỐ 3
1.1. Đại số 4
1.2. Đại số Lie 5
1.3. Đồng cấu đại số 8
1.4. Ánh xạ ad 12
Chương II. ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN TRÊN ĐẠI SỐ 17

2.1. Đạo hàm trên đại số 17
2.2. Liên thông tuyến tính trên đại số 22
2.3. Độ cong và độ xoắn trên đại số 27
KẾT LUẬN 34
TÀI LIỆU THAM KHẢO 35
LỜI NÓI ĐẦU
Hình học Riemann ra đời vào những năm giữa thế kỷ XIX, từ các công
trình chủ yếu của Riemann là kết quả chính trong luận án tiến sĩ (1851) và
bài giảng bảo vệ chức danh giáo sư (1859). Mối quan tâm của Riemann là
các độ cong của không gian, mà chủ yếu là độ cong hằng tại một điểm của
không gian.
Độ cong và độ xoắn trên đại số là một trong những khái niệm cơ bản
của hình học hiện đại, nó có nhiều ứng dụng trong toán học, vật lý và các
ngành khoa học kỹ thuật khác, Chính vì vậy, độ cong và độ xoắn trên đại
số được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm, như :
W.Klingenberg, B.O.Neill, A.Ya.Sultanov, Đỗ Ngọc Diệp,
Trong luận văn này, bằng việc sử dụng công cụ liên thông tuyến tính
∇

trên đại số G, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản về độ
cong và độ xoắn trên đại số G.
Luận văn được mang tên: Độ cong và độ xoắn trên đại số.
Luận văn được trình bày trong hai chương:
Chương I . Đại số
Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm và chứng minh chi
tiết một số tính chất quan trọng của Đại số, đại số Lie, đồng cấu đại số. Đây là
những kiến thức cơ sở chuẩn bị cho việc trình bày của chương sau. Chương I
được chia làm bốn phần:
1.1. Đại số,
1.2. Đại số Lie,

1.3. Đồng cấu trên đại số,
1.4. Ánh xạ ad.

6
Chương II. Độ cong và độ xoắn trên đại số
Đây là chương thể hiện nội dung chính của luận văn.Trong chương
này, chúng tôi trình bày một số khái niệm, tính chất cơ bản của đạo hàm trên
đại số, liên thông tuyến tính trên đại số và độ cong, độ xoắn trên đại số.
Chương II được chia làm 3 phần:
2.1 Đạo hàm trên đại số,
2.2 Liên thông tuyến tính trên đại số,
2.3 Độ cong và độ xoắn của đại số.
Luận văn được hoàn thành vào tháng 10 năm 2014, tại trường Đại học
Vinh với sự hướng dẫn của PGS - TS Nguyễn Hữu Quang. Tác giả xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người đã hướng dẫn tận tình tác giả trong suốt
quá trình học tập và nghiên cứu.
Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô
giáo trong chuyên ngành Hình học – Tôpô; các thầy cô giáo trong khoa Toán,
khoa đào tạo Sau đại học của trường Đại học Vinh, đã tận tâm giảng dạy, góp
ý và tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Tác giả cũng tỏ lòng biết ơn các bạn trong lớp cao học 20, các đồng nghiệp
trường THPT Nam Đàn I, bạn bè và gia đình đã động viên, giúp đỡ trong suốt
quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Vinh, tháng 10 năm 2014
Tác giả

7
Chương I
ĐẠI SỐ
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ

bản của đại số, đại số Lie và đồng cấu đại số. Cũng trong chương này, ta luôn
giả thiết K là một vành giao hoán có đơn vị e = 1
≠
0.
Một mô đun G trên K, đó là một nhóm cộng Aben cùng với phép nhân:
; ( , ) .K G G a x a x× → a
, thỏa mãn các tiên đề :
T
1
)
( ) ax ; , ,a x y ay a K x y G+ = + ∀ ∈ ∈
,
T
2
)
( ) ; , ,a b x ax bx a b K x G+ = + ∀ ∈ ∈
,
T
3
)

( ) ( ) ; , ,ab x a bx a b K x G= ∀ ∈ ∈

,
T
4
)
1. ;x x x G= ∀ ∈
.
+) Ta chú ý rằng, trong trường hợp K là một trường thì G được gọi là

không gian véc tơ trên K.
+) Ta thường viết ab thay cho a.b với
,a b G∀ ∈
.
+) Giả sử M là một đa tạp khả vi thực, n chiều.
Ta ký hiệu : T (M) =
{f : M R f →
khả vi trên M}
B (M) =
{ X X
trường véc tơ khả vi trên M }
Khi đó : T (M) là một vành giao hoán có đơn vị e
; 1,M R p p M→ ∀ ∈a
và B(M) là mô đun trên T (M) với hai phép toán:
• X + Y :
; , ,
p p p
p
p
p X Y p M X Y T M+ ∀ ∈ ∈
uur ur uur ur
a
.
• f X :
( ). ; ,
p
p f p X p M f∀ ∈ ∈
uur
a
T (M),

p
p
X T M∈
uur
.
Chú ý: * Mỗi phần tử của môđun G được gọi là một véc tơ .
* Giả sử G
’
là một tập con của G và cùng với phép toán như trên G,
mà G
’
lập thành một mô đun trên K, thì ta nói G
’
là môđun con của G.

8
* Giao của một họ các môđun con của G cũng là một mô đun con của G.
* Giả sử {G
i
}
i I∈
là một họ các mô đun con của G, thỏa mãn:
, ,i j I∀ ∈
tồn tại k, sao cho:
,
i j k
G G G⊂
. Khi đó
i
i I

G
∈
∪
là một môđun con của G
1.1 . ĐẠI SỐ
1.1.1. Định nghĩa
Giả sử G là một mô đun trên K, G được gọi là một đại số trên K , nếu
G được trang bị một phép toán mới ( phép tích trong) :
1 2 1 2
; ( , ) .G G G g g g g× → a
, thỏa mãn các tiên đề :
T
1
) g
1
(g
2
+ g
3
) = g
1
g
2
+ g
1
g
3
;
1 2 3
, ,g g g G∀ ∈

.
T
2
)
1 2 3 1 3 2 3
( )g g g g g g g+ = +
;
1 2 3
, ,g g g G∀ ∈
.
T3)
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ; , ,g g g g g g K g g G
λ λ λ λ
= = ∀ ∈ ∈
.
Như vậy: Mỗi đại số G có 3 phép toán : phép cộng các phần tử của G;
phép nhân G với K; phép tích trong.
1.1.2. Ví dụ
Ta ký hiệu M
n
= { A A là ma trận vuông thực cấp n}.
ij ij
( ), ( )
n
A a B b M∀ = = ∈
,các phép toán trên ma trận được xác định như sau:
* A + B = ( a
ij
+ b

ij
) , (1).
*
ij
( );A a R
λ λ λ
= ∈
, (2).
* A.B = (
1
.
n
ik kj
k
a b
=
∑
) . (3)
Khi đó M
n
là đại số.
Thật vậy: M
n
cùng với 2 phép toán (1) và (2) là một không gian véctơ
thực.
Ở đây ta kiểm tra các tiên đề của phép tích trong :

9
T
1

) Giả sử A( B + C) = D, trong đó C =
ij
( )c
, D =
ij
( )
n
d M∈
là ma trận
vuông cấp n.

ij
1 1 1 1
( ) ( )
n n n n
ik kj kj ik kj ik kj ik kj ik ki
k k k k
d a b c a b a c a b a c
= = = =
= + = + = +
∑ ∑ ∑ ∑


D AB AC⇒ = +
hay A( B + C) = AB +AC .
T
2
) ( A +B)C = D, trong đó:
D =
ij

( )d
:
ij
d
=
1 1 1
( )
n n n
ik ik kj ik kj ik kj
k k k
a b c a c b c
= = =
+ = +
∑ ∑ ∑

⇒
D = AC + BC .
T
3
) A(
λ
B) = E , trong đó E là ma trận vuông cấp n, E = (e
ij
) :
e
ij
=
1 1 1 1
( ) ( ) ( )
n n n n

ik jk ik jk ik jk ik jk
k k k k
a b a b a b a b
λ λ λ λ
= = = =
= = =
∑ ∑ ∑ ∑

⇒
E =
λ
(AB), hay A(
λ
B) =
λ
(AB) =(
λ
A)B .
1.1.3. Chú ý.
* Giả sử G là đại số thỏa mãn : g
1
.g
2
= g
2
.g
1
,
1 2
,g g G∀ ∈

, khi đó G
được gọi là đại số giao hoán.
Đại số G có tính chất : (g
1
g
2
)g
3
= g
1
(g
2
g
3
);
1 2 3
,g g g G∀ ∈
, khi đó G
được gọi là đại số kết hợp.
* M
n
là đại số kết hợp nhưng không là đại số giao hoán.
* Trong suốt luận văn này, ta luôn giả thiết G là một đại số kết hợp
trên K.
*
,M G M⊂
được gọi là đại số con của đại số G nếu nó khép kín với
các phép toán trên G.
1.2. ĐẠI SỐ LIE.
1.2.1. Định nghĩa .

Một đại số G trên K được gọi là đại số Lie nếu phép toán tích trong
(phép tích trong được kí hiệu : [,] ( móc Lie),
[ ]
, :G G G× →


10

( , ) [ , ]a b a ba
, thỏa mãn thêm hai tiên đề sau :
a) [a, b] = - [b, a] ;
,a b G∀ ∈
( tính chất phản xứng của móc Lie),
b)
[ ] [ ] [ ]
, , , , , , 0 ; , ,a b c b c a c a b a b c G
     
+ + = ∀ ∈
     
(hệ thức Jacobi của móc
Lie) .
Chú ý: * Mọi đại số tầm thường G( [a, b] = 0;
,a b G∀ ∈
) đều là đại số Lie .
* Số chiều của đại số Lie là số chiều của môđun G .
* Với G là không gian véc tơ hữu hạn chiều trên trường R và dim G= n,
cấu trúc của đại số Lie G được xác định bởi tích Lie của từng cặp véc tơ thuộc
cơ sở { e
1
, e

2
, … , e
n
} đã chọn trước trên G, như sau :
ij ij
1
, ;1 ,
n
k k
i j k
k
e e c e i j n c R
=
 
= ≤ < ≤ ∈
 
∑
.
Các hệ số {
ij
k
c
} được gọi là hằng số cấu trúc của đại số Lie G đối với
cơ sở { e
1
,e
2
,…,e
n
} .

1.2.2. Ví dụ.
1) Cho G là đại số trên K , với tích Lie được cho bởi :
[ ]
, ; ,a b ab ba a b G= − ∀ ∈
. Khi đó, G là một đại số Lie.
Thật vậy: Ta đã biết G cùng 3 phép toán : phép cộng trên K; phép nhân
G với K; phép tích trong là một đại số .
Ở đây, để chứng tỏ G là đại số Lie, ta chỉ việc kiểm tra 2 tính chất:
phản xứng và Jacobi của tích Lie :
+
,a b G∀ ∈
, ta có: [a, b] = ab – ba = - ( ba – ab) = – [b,a] .
+
, ,a b c G∀ ∈
, ta có :
[ ]
[ , ],a b c
=
[ , ]. .[ , ]a b c c a b−

= (ab – ba)c – c(ab – ba)
= abc – bac – cab + cba . (1)
Tương tự ta cũng có :
[ ]
[ , ],b c a
= bca – cba – abc + acb . (2)

[ ]
[ , ],c a b
= cab – acb – bca + bac . (3)

11
Từ (1), (2), (3) ta có :
[ ]
[ , ],a b c
+
[ ]
[ , ],b c a
+
[ ]
[ , ],c a b
= 0 .
2) Với G là không gian véc tơ Ơclit thông thường 3 chiều R
3
, với
[a,b] = a
∧
b (
∧
là tích có hướng trong R
3
). Khi đó, G là đại số Lie trên R.
Thật vậy :
* G = R
3
là môđun với 2 phép toán cộng và nhân thông thường .
* Phép toán [a,b] = a
∧
b là một ánh xạ song tuyến tính trong R
3

,
với
3
, ,a b c R∀ ∈
: a(a
1,
a
2,
a
3
), b(b
1
, b
2
, b
3
), c(c
1
, c
2
, c
3
) dễ dàng kiểm tra được :
+ a
∧
(b + c) = a
∧
b + a
∧
c ; (a + b)

∧
c = a
∧
c + b
∧
c
+ a
∧
(
λ
b) =
λ
.(a
∧
b) ; (
λ
a)
∧
b =
λ
.(a
∧
b)
Suy ra G = R
3

là một đại số.
* Tính phản xứng vì
3
, , ( )a b R a b b a∀ ∈ ∧ = − ∧

.
* Bằng các phép tính toán trực tiếp theo tọa độ, ta có hệ thức Jacôbi :

[ ] [ ] [ ]
, , , , , , ( ) ( ) ( ) 0a b c b c a c a b a b c b c a c a b
     
+ + = ∧ ∧ + ∧ ∧ + ∧ ∧ =
     
.
Vậy R
3
là đại số Lie
W
.
3) Cho M
n
(R) = {A A là ma trận vuông cấp n trên R}, với tích Lie
được cho bởi : [A, B] = A.B – B.A là một đại số Lie .
Thật vậy, với phép cộng và phép nhân thông thường các ma trận và tích
Lie được định nghĩa ở trên thì M
n
(R) là một đại số.
Bây giờ ta kiểm tra 2 tính chất của tích Lie:
* Tính phản xứng :
[ ]
, ( ) : , . . ( . . ) [ , ]
n
A B M R A B A B B A B A A B B A∀ ∈ = − = − − = −
.
* Hệ thức Jacôbi:

, , ( )
n
A B C M R∀ ∈


[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
, , , , , ,
. . , . . , . . ,
( . . ). .( . . ) ( . . ).
.( . . ) ( . . ). .( . . )
0 .
A B C B C A C A B
A B B A C B C C B A C A AC B
A B B A C C A B B A B C C B A
A B C C B C A AC B B C A AC
ABC BAC CAB CBA BCA CBA ABC
ACB CAB ACB BCA BAC
     
+ +
     
= − + − + −
= − − − + − −
− + − − −
= − − + + − − +
+ − − + = W

12
1.2.3. Nhận xét . Cho G là đại số Lie, khi đó
, ,x y z G∀ ∈

, thì :
[ ] [ ] [ ]
[ , ], [ , ], ,[ , ]x y z z y x y z x= +
.
Thậy vậy :
, ,x y z G∀ ∈
, theo hệ thức Jacobi :
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ , ], [ , ], [ , ], 0 [ , ], [y,z], [ , ],x y z y z x z x y x y z x z x y+ + = ⇒ = − −

=
[ ] [ ]
[ , ], ,[ , ]z y x y z x+

W
.
1.3.ĐỒNG CẤU ĐẠI SỐ
1.3.1. Định nghĩa
Giả sử G, G
’
là hai đại số trên K, ánh xạ,
'
:f G G→
, f được gọi là
đồng cấu đại số nếu : * f( g
1
+ g
2
) = f(g
1

)+f(g
2
) ;
1 2
,g g G∀ ∈
,
* f(
λ
g
1
) =
λ
f(g
1
) ;
1
, ,g G K
λ
∀ ∈ ∈
,
* f(g
1
.g
2
) = f(g
1
).f(g
2
) ;
1 2

,g g G∀ ∈
.
Như vậy :
- Một đồng cấu đại số là một ánh xạ bảo tồn các phép toán trên đại số.
- Một đồng cấu đại số f vừa là song ánh thì f được gọi là đẳng cấu đại số.
- Nếu có một đẳng cấu từ G đến G’, khi đó ta nói G đẳng cấu với G’ và
viết G ~ G’ .
1.3.2. Nhận xét . Giả sử f là một đồng cấu đại số : G
→
G’, khi đó :
a)
{ }
ker ( ) 0f g G f g= ∈ =
là iđêan của G.
Thật vậy: Với g
1
, g
2

∈
ker f , g
3
∈
G ta có:
+ f( g
1
- g
2
) = f(g
1

) - f(g
2
) = 0
⇒
g
1
- g
2

∈
kerf ,
+ Với
K
α
∈
, f(
α
g
1
) =
α
f(g
1
) = 0
⇒

α
g
1
∈

kerf ,
+ f(g
1
.g
3
) = f(g
1
).f(g
3
) = 0
⇒
g
1
g
3
∈
kerf .

13
b)
{ }
' ' '
Im ( ),f g G g f g g G= ∈ = ∀ ∈
là các đại số con của G
’
.
Thật vậy: Với
' ' ' '
1 2 1 1 2 2
, Im : ( ), ( )g g f g f g g f g∈ = =

, ta có :
+
' ' ' '
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ) Imfg g f g f g f g g g g+ = + = + ⇒ + ∈
,
+
' '
1 1 1 1
( ) ( ) Imfg f g f g g
α α α α
= = ⇒ ∈
;
K
α
∀ ∈
,
+
' ' ' '
1 2 1 2 1 2 1 2
( ). ( ) ( ) Imfg g f g f g f g g g g= = ⇒ ∈
.
Vậy Imf là đại số con của G
’

W
.
1.3.3. Mệnh đề
Giả sử f là đẳng cấu
'

:f G G→
. Khi đó f
- 1
là đẳng cấu.
Thật vậy : do f là ánh xạ đẳng cấu, nên f là song ánh, do đó f
-1
là song
ánh. Ở đây, ta kiểm tra tính đẳng cấu đại số của
1
f
−
: G
’

→
G
Với
' ' '
1 2
, , ;g g G K
λ
∀ ∈ ∈
f(g
1
) = g
1
’
, f(g
2
) =

g
2
’
, ta có:
+
1 ' ' 1
1 2 1 2
( ) ( ( ) ( ))f g g f f g f g
− −
+ = +

=
1
1 2
( ( ))f f g g
−
+

=
1 2
g g+

=
1 1
1 2
( ') ( ')f g f g
− −
+
,

+
1 ' 1
1 1
( ) ( ( ))f g f f g
λ λ
− −
=
=
1
1
( ( ))f f g
λ
−

=
1
g
λ





Kerf
G
Imf
G’

f
14

=
1
1
( ')f g
λ
−
,
+
1 ' ' 1
1 2 1 2
( . ) ( ( ). ( ))f g g f f g f g
− −
=
=
1
1 2
( ( ))f f g g
−

= g
1
g
2

=
1 1
1 2
( ') ( ')f g f g
− −
.

Vậy f
- 1
là đẳng cấu .
W
1.3.4. Mệnh đề
Quan hệ đẳng cấu “ ~ ”giữa các đại số là quan hệ tương đương :
Thật vậy:
+) Tính phản xạ : G
:
G : vì có
d
i
:
G G→
là một ánh xạ đẳng cấu ,

g ga
+ Tính đối xứng : Giả sử G
:
G
’
nên tồn tại f :
'
G G→
, f đẳng cấu,
khi đó có đẳng cấu
1 '
:f G G
−
→

, do đó G
’

:
G ,
+ Tính bắc cầu : G
:
G
’
, G
’

:
G
’’
.
Giả sử
'
:f G G→
, f đẳng cấu

' ' '
:g G G→
, g là đẳng cấu .
Ta xét h= g
o
f :
''G G→
, ta có h là song ánh. Ta cần chứng minh
h :

''
G G→
là một đồng cấu . Ta kiểm tra 3 tiên đề sau :
1 2
, ,g g G K
α
∀ ∈ ∈
, ta có :
T
1
)
1 2
( )h g g+
= g
°
f (g
1
+g
2
)
= g ( f(g
1
) + f(g
2
)) ( vì f đồng cấu)
=
( ) ( )
1 2
( ) ( )g f g g f g+

= g
°
f (g
1
) + g
°
f (g
2
)
= h(g
1
) + h(g
2
) .
T
2
)
1
( )h g
α
=
1
( )g f g
α
°

=
1
( ( ))g f g
α

15
=
1
( ( ))g f g
α
°

=
1
( )h g
α
.
T
3
)
1 2
( )h g g
= g
°
f (g
1
g
2
)
= g(f(g
1
).f(g
2

))
= ( g
°
f (g
1
)).(g
°
f (g
2
))
= h(g
1
).h(g
2
) .
Mặt khác h là song ánh, từ đó chứng tỏ h là đẳng cấu đại số từ G
→
G’’.
Vậy G
’’

:
G
W
.
1.3.5. Đồng cấu Lie
Giả sử N và H là hai tập con của G, ta ký hiệu [N, H] một mô đun con
sinh bởi [n, h];
,n N h H∀ ∈ ∈
. Như ta đã biết :

- N được gọi là đại số Lie con của G nếu [N, N]
⊂
N .
- N được gọi là Iđêan của G nếu [G, N]
⊂
N .
- Một Iđêan N cực đại của G thỏa mãn [G, N] = 0, thì N được gọi là
tâm của G và được kí hiệu T(G) .
Ta nhận thấy rằng : Mỗi Iđêan của G là một đại số Lie con của G .
Đặc biệt T(G) là một đại số Lie con giao hoán của G.
Giả sử G và G
’
là hai đại số Lie trên trường K. Khi đó, đồng cấu đại số
'
:G G
ϕ
→
được gọi là đồng cấu Lie .
- Nếu
ϕ
là đồng cấu Lie vừa song ánh thì
ϕ
được gọi là một đẳng cấu Lie.
- Các đại số Lie G, G
’
được gọi là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại một
đẳng cấu
'
:G G
ϕ

→
.
1.3.6.Mệnh đề
Giả sử V là không gian véc tơ trên trường số thực R. Khi đó
End V =
{ :f V V→
f là đồng cấu tuyến tính } là một đại số Lie với
tích Lie [f,g] = f
°
g – g
°
f .
Thật vậy :

16
* Rõ ràng EndV là một không gian véc tơ trên R.
* EndV là một đại số:
+ Với
1 2
, , ,f f g EndV∀ ∈
ta có : [f
1
+ f
2
, g] = (f
1
+ f
2
)
o

g – g
o
(f
1
+ f
2
)
= f
1
o
g – g
o
f
1
+ f
2
o
g – g
o
f
2

= [f
1
,g] + [f
2
,g] ,
+ Với
, ,f g EndV K
λ

∀ ∈ ∀ ∈
ta có: [
λ
f, g] = (
λ
f)
o
g – g
o
(
λ
f)
=
λ
(f
o
g) -
λ
(g
o
f)
=
λ
(f
o
g – g
o
f)
=
λ

[f, g] ,
+ Tương tự ta cũng có: [f,g
1
+ g
2
] = [f, g
1
] + [f, g
2
] ,
[f,
λ
g] =
λ
[f ,g] .
* EndV là đại số Lie:
+ Tính phản xứng của móc Lie : [ f, g] =
f g g f
° °
−

=
( )g f f g
° °
− −

=
[ , ] ; ,g f f g EndV− ∀ ∈
.
+ Hệ thức Jacôbi của móc Lie :

, ,f g h EndV∀ ∈
, ta có
[ ]
[ , ], [( ), ]f g h f g g f h
° °
= −
=
( ) ( )f g g f h h f g g f
° ° ° ° ° °
− − −

=
f g h g f h h f g h g f
° ° ° ° ° ° ° °
− − +
(1)
[ ]
[ , ],g h f =

[( ), ]g h h g f
° °
−
=
g h f h g f f g h f h g
° ° ° ° ° ° ° °
− − +
(2)
[ ]
[ , ],h f g
=

[( ), ]h f f h g
° °
−
=
h f g f h g g h f g f h
° ° ° ° ° ° ° °
− − +
(3)
Cộng (1), (2), (3) ta được
[ ] [ ]
[ , ], [ , ], [ , ], 0f g h g h f h f g
 
+ + =
 
;
, ,f g h EndV∀ ∈
. Vậy EndV là một đại số Lie trên R
W
.
1.4.ÁNH XẠ ad.
1.4.1. Định nghĩa.
Giả sử G là một đại số Lie trên K, với mỗi
x
∈
G, ánh xạ được xác
định bởi:

17
x
ad

: G
→
G
y
a

x
ad
(y) = [
x
, y] , được gọi là ánh xạ ad theo
x
.
1.4.2. Nhận xét. Ta có :
a) ad
x y+
= ad
x
+ ad
y
;
,x y G∀ ∈
.
b) ad
x
λ

=
λ
.ad

x
;
,K x G
λ
∀ ∈ ∀ ∈
.
c)
[ , ]x y x y y x
ad ad ad ad ad
° °
= −
;
,x y G∀ ∈
.
Thật vậy :
,x y G∀ ∈
,
K
λ
∀ ∈
a) ad
x y+
(z) = [
x
+ y, z]
= [
x
, z ] + [y, z ]
= ad
x

(z) + ad
y
(z)
= (ad
x
+ ad
y
) (z) ;
z G∀ ∈
.

⇒
ad
x y+

= ad
x
+ ad
y
.
b) ad
x
λ
(z) = [
x
λ
, z ]
=
λ
[

x
, z ]
=
λ
.ad
x
(z)
= (
λ
.ad
x
)(z) ;
z G∀ ∈
.

⇒
ad
x
λ
=
λ
.ad
x

.
c) ad
[ ]
,x y
(z) = [ [
x

, y], z]
= - [ [ y, z],
x
] – [ [z,
x
],y]
= [
x
, [ y, z] ] – [ y, [
x
, z] ]
= ad
x
(ad
y
(z) – ad
y
(ad
x
(z) )
=
( )( ) ;
x y y x
ad ad ad ad z z G
° °
− ∀ ∈
.

⇒
ad

[ ]
,x y

=
x y y x
ad ad ad ad
° °
−

W
.

18
1.4.3. Mệnh đề
Giả sử
ϕ
là đẳng cấu Lie :
'G G→

( )x x
ϕ
a
Khi đó :
1
( )x x
ad ad
ϕ
ϕ ϕ
−
° °

=
.
Chứng minh : Giả sử
ϕ
(y) = y’ ,
y G∈
. Ta có :

( )
( ')
x
ad y
ϕ
=
[ ]
( ), 'x y
ϕ
=
[ ]
( ), ( )x y
ϕ ϕ
=
[ ]
,x y
ϕ
=
( )
x
ad y
ϕ

°
=
1
( ') ; '
x
ad y y G
ϕ ϕ
−
°
∀ ∈
.
Vậy
( )x
ad
ϕ
=
1
x
ad
ϕ ϕ
−
° °

W
.
1.4.4. Mệnh đề
{ }
a x
G ad x G= ∈
là một đại số Lie .

Thật vậy : G
a
là một đại số với phép toán ad
x
+ ad
y
,
λ
.ad
x
,
,
x y
ad ad
 
 
;
, ,x y G K
λ
∀ ∈ ∀ ∈
.
Bây giờ, ta kiểm tra tính phản xứng và hệ thức Jacôbi của tích Lie :
+ [ ad
x
, ad
y
] = ad
[ ]
,x y
( theo nhận xét 1.4.2.c)

= ad

[ ]
,y x−
= - ad
[ ]
,y x

= - [ ad
y
, ad
x
] ,
+
[ , ],
x y z
ad ad ad
 
 
= [ad

[ ]
,x y
, ad
z
]
=
[ ]
[ , ],x y z

ad
. (1)

19
Tương tự :
[ , ],
y z x
ad ad ad
 
 
=
[ ]
[ , ],y z x
ad
. (2)

[ , ],
z x y
ad ad ad
 
 
=
[ ]
[ , ],z x y
ad
. (3)
Từ (1), (2), (3) :
[ , ],
x y z
ad ad ad

 
 
+
[ , ],
y z x
ad ad ad
 
 
+
[ , ],
z x y
ad ad ad
 
 
=
[ ]
[ , ],x y z
ad
+
[ ]
[ , ],y z x
ad
+
[ ]
[ , ],z x y
ad
=
[ ] [ ] [ ]
[ , ], [ , ], [ , ],x y z y z x z x y
ad

+ +
= ad
0
= 0
W
.
1.4.5.Mệnh đề
Cho G là đại số Lie,
ϕ
: G
→
G
a


x

a
ad
x
.
Khi đó,
ϕ
là đồng cấu Lie và Ker(
ϕ
) = T(G) .
Thật vậy : *
ϕ
là đồng cấu đại số: Với
,x y G∀ ∈

,
K
λ
∀ ∈
ta có:
+)
ϕ
(
x
+y)(z) = ad
x y+
(z)
= [
x
+ y, z ]
= [
x
,z] + [ y, z]
= ad
x
(z) + ad
y
(z)
= (ad
x
+ ad
y
)(z)
= (
ϕ

(
x
) +
ϕ
(y))(z) ;
z
∀ ∈
G

⇒

ϕ
(
x
+y) =
ϕ
(
x
) +
ϕ
(y) ,
+) (
ϕ
(
λ
x
))(z) =
[ , ]x z
λ

=
[ , ]x z
λ

=
. ( )
x
ad z
λ

=
( )x
λϕ
(z);
z
∀
∈
G

( )x
ϕ λ
⇒
=
( ) ;x K
λϕ λ
∀ ∈
,
+)
ϕ
([

x
,y])(z) = ad
[ ]
( )
,x y
(z)
= [
[ ]
,x y
,z ]
= - [ [y,z],
x
] – [ [z.
x
], y]
= [
x
,[y,z]] + [y, [z,
x
]]

20
= [
x
, [y,z]] – [ y,[
x
, z]]
= [ad
x
, ad

y
](z)
= [
ϕ
(
x
),
ϕ
(y)](z) ;
z
∀
∈
G

ϕ
⇒
(
[ ]
,x y
) = [
( )x
ϕ
,
ϕ
(y)] .
* Ker(
ϕ
) = T(G) :
{ }
er( ) ( ) 0k x x

ϕ ϕ
= =

=
{ }
0
x
x ad =

=
{ }
( ) 0,
x
x ad y y G= ∀ ∈


{ }
[ , ] 0;x x y y G= = ∀ ∈
=
{ }
[ , ] [ , ];x x y y x y G= ∀ ∈
= T(G)
W
.

21
Chương 2
ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN TRÊN ĐẠI SỐ
2.1. ĐẠO HÀM TRÊN ĐẠI SỐ
2.1.1. Định nghĩa.

Cho G là một đại số trên K, một phép đạo hàm trên G là ánh xạ
X:
G G→

a
a
X(a), thỏa mãn các tính chất :
a) X là ánh xạ K- tuyến tính , nghĩa là : . X(a + b) = X(a) + X(b) ;
,a b G∀ ∈
.
. X(
λ
a) =
λ
X(a) ;
K
λ
∈
.
b) X có tính chất đạo hàm : X(a. b) = X(a).b + a. X(b) ;
,a b G∀ ∈
.
2.1.2. Ví dụ
1) Cho G = { f f :
R R→
khả vi } = T(R) , với
, ;f g G K
λ
∈ ∈
thỏa

mãn : (f + g) (
x
) = f(x) +g(
x
) ; f(
x
λ
) =
λ
f(
x
) ; (f .g) (
x
) =f (
x
).g(
x
).
Rõ ràng G là đại số trên R và D : T(R)
→
T(R)

'f fa
. Khi đó D là phép đạo
hàm trên T (R) .
Thật vậy : * Ta đã chứng minh ở phần trước G là đại số .
* Ta chứng tỏ D là đạo hàm :
, ;f g G K
λ
∀ ∈ ∈

, ta có :
+) D(f +g) = (f + g)
’
= f
’
+ g
’
= D(f) + D(g) ,
+) D(
λ
f) = (
λ
f)
’
=
λ
f
’
=
λ
D(f) ,
+) D(f.g) = (f.g)
’
= f
’
.g + f.g
’
=

D(f).g + f.D(g)

W
.
2) Cho G = R
3
, với
x
cố định trong R
3
, ta đặt
3 3
:
x
D R R→
.

y x y∧a
Khi đó D
x
là đạo hàm của R
3
.
Thật vậy :

22
* D
x
là ánh xạ tuyến tính vì :
3
, ,x y z R∀ ∈
;

K
λ
∈

D
x
( y + z) =
( )x y z∧ +
=
x y x z∧ + ∧

=
( ) ( )
x x
D y D z+
,
D
x
(
λ
y) =
x ∧
(
λ
y)
=
λ
(
x y∧
)

=
λ
D
x
(y) .
* D
x
(y
∧
z) =
( )x y z∧ ∧
= -
( )
y z x∧ ∧
;
3
,y z R∀ ∈
.
Từ hệ thức Jacobi :
( ) ( ) ( ) 0x y z y z x z x y∧ ∧ + ∧ ∧ + ∧ ∧ =
;
3
, ,x y z R∀ ∈

Ta suy ra : D
x
(y
∧
z) =
( ) ( )x y z z x y∧ ∧ + ∧ ∧

= D
x
(y)
∧
z + ( - D
x
(z)
∧
y)
= D
x
(y)
∧
z + y
∧
D
x
(z).
Vậy D
x
là đạo hàm trên R
3
.
Chú ý: Từ ví dụ này, ta nhận thấy rằng phép đạo hàm trên
3
R
không
duy nhất.
2.1.3. Mệnh đề
Giả sử X

1
, X
2
là các đạo hàm trên G thì
a)
1 2
; ,X X K
α β α β
+ ∀ ∈
cũng là đạo hàm trên G .
b)
1 2 2 1
X X X X
° °
−
cũng là đạo hàm trên G .
Thật vậy : Với
,a b G∈
;
, K
α β
∀ ∈
a) +) f =
1 2
X X
α β
+
, là ánh xạ tuyến tính vì
1 2
,X X

α β
là các ánh xạ
tuyến tính,
+)
1 2 1 2
( )( . ) ( . ) ( . )X X a b X a b X a b
α β α β
+ = +

=
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 2
{ ( ). . ( ) } { ( ). . ( ) }X a b a X b X a b a X b
α β
+ + +


23
=
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 2
( ). . ( ) ( ). . ( )X a b a X b X a b a X b
α α β β
+ + +

=
( ) ( )
1 2 1 2
( )( ). .( )( )X X a b a X X b
α β α β

+ + +
.
Vậy f =
1 2
X X
α β
+
là đạo hàm trên G.
b) +) Dễ thấy X =
1 2 2 1
X X X X
° °
−
là ánh xạ tuyến tính từ
G G→
,
+) X(a.b) = (
1 2 2 1
X X X X
° °
−
)(a.b)
=
( ) ( )
1 2 2 1
( . ) ( . )X X a b X X a b−

=
( ) ( )
{ }

( ) ( )
{ }
1 2 2 2 1 1
( ). . ( ) ( ). . ( )X X a b a X b X X a b a X b+ − +

=
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 2 1 2 1
( ). . ( ) ( ). . ( )X X a b X a X b X X a b X a X b+ − −

=
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 2 1 1 2 1 2
( ). ( ). ( ) ( ). ( ) . ( )X X a b X a X b X a X b a X X b
° °
+ + +

=
( ) ( )
1 2 2 1 1 2 2 1
( )( ). .( )( ) ; ,X X X X a b a X X X X b a b G
° ° ° °
− + − ∀ ∈
.
Vậy X =
1 2 2 1
X X X X
° °
−
là một đạo hàm trên G

W
.
2.1.4. Định lý
Giả sử G là đại số trên K, ta ký hiệu F ={ ánh xạ X X là đạo hàm trên
G}. Khi đó : F là một đại số Lie trên trường K với tích Lie
[ ]
1 2 1 2 2 1
,X X X X X X
° °
= −
;
1 2
,X X F∀ ∈
.
Chứng minh:
* Ta thấy rằng F là một môđun trên K. Do đó để chứng minh F là một
đại số, ta cần kiểm tra các tiên đề :
+ Với
1 2 3
, ,X X X F∀ ∈
, ta có :
[X
1
+ X
2
, X
3
] = (X
1
+ X

2
)
°
X
3
– X
3
°
( X
1
+ X
2
)
= ( X
1
°
X
3
– X
3
°
X
1
) + ( X
2
°
X
3
– X
3

°
X
2
)
= [X
1
, X
3
] + [X
2
, X
3
] .
+ Tương tự :
1 2 3
, ,X X X F∀ ∈
, ta cũng có :
[X
1
, X
2
+ X
3
] =
( )
1 2 3 2 3 1
( )X X X X X X
°
°
+ − +

24
=
1 2 2 1 1 3 3 1
( ) ( )X X X X X X X X
° ° ° °
− + −
= [X
1
, X
2
] + [X
1
, X
3
] .
+ Với
1 2
, ;X X F K
λ
∀ ∈ ∀ ∈
, ta có :

1 2
[ , ]X X
λ
=
1 2 2 1
( ) ( )X X X X
λ λ

° °
−

=
1 2 2 1
( ) ( )X X X X
λ λ
° °
−

=
1 2 2 1
( )X X X X
λ
° °
−

=
1 2
[ , ]X X
λ

Tương tự ta cũng có :
1 2
[ , ]X X
λ
=
1 2
[ , ]X X
λ

.
* F là đại số Lie :
+ Tính phản xứng :
1 2
,X X F∀ ∈
, ta có :
[X
1
, X
2
] = X
1
°
X
2
– X
2
°
X
1
= - ( X
2
°
X
1
– X
1
°
X
2

)
= - [ X
2
, X
1
] ,
+ Hệ thức Jacôbi :
1 2 3
, ,X X X F∀ ∈
, ta có :

[ ]
1 2 3
[X , ],X X
=
[ ]
1 2 2 1 3
,X X X X X
° °
−

=
1 2 2 1 3 3 1 2 2 1
( ) ( )X X X X X X X X X X
° ° ° ° ° °
− − −
=
1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1
X X X X X X X X X X X X
° ° ° ° ° ° ° °

− − +
. (1)
Tương tự ta cũng có :

[ ]
2 3 1
[X , ],X X
=
2 3 1 3 2 1 1 2 3 1 3 2
X X X X X X X X X X X X
° ° ° ° ° ° ° °
− − +
. (2)

[ ]
3 1 2
[X , ],X X
=
3 1 2 1 3 2 2 3 1 2 1 3
X X X X X X X X X X X X
° ° ° ° ° ° ° °
− − +
. (3)
Cộng từng vế của (1), (2), (3) :

[ ]
1 2 3
[X , ],X X
+
[ ]

2 3 1
[X , ],X X
+
[ ]
3 1 2
[X , ],X X
= 0
W
.
2.1.5. Định lý
Giả sử G là đại số Lie, khi đó: ánh xạ ad
x
:
G G→

25