Đặc trưng của đường cong nằm trên mawth giả cầu và mặt giả hyperbolic trong không gian lorentz - minkowski 3 chiều

Mục lục
Mở đầu 2
1 Kiến thức chuẩn bị 4
1.1 Không gian Lorentz - Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Đường cong trong không gian Lorentz – Minkowski. . . . . 7
2 Đặc trưng của đường cong nằm trên mặt giả cầu
và mặt giả hyperbolic trong E
3
1
17
2.1 Đường cong trên mặt giả cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Đường cong trên mặt giả hyperbolic . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Chỉ đồ giả cầu và chỉ đồ giả hyperbolic của các đường cong 40
Kết luận 47
Tài liệu tham khảo 48
Mở đầu
Không gian Minkowski có ứng dụng rộng rãi trong vật lý học hiện đại,
đặc biệt là lý thuyết tương đối. Trong lý thuyết của các đường cong trong
không gian Euclide và Minkowski, một trong những vấn đề thú vị nhất là
vấn đề đặc trưng của một đường cong chính tắc. Để giải quyết vấn đề này,
các hàm độ cong và độ xoắn của một đường cong là một công cụ rất hiệu
quả. Nó giúp ta xác định hình dạng và kích thước của một đường cong
cho trước.
Đường cong nằm trên mặt cầu trong không gian Euclide là một vấn đề
quan trọng và thường được dùng làm công cụ nghiên cứu các đường cong
khác. Đối với không gian Lorentz Minkowski cũng vậy. Tuy nhiên, vấn đề
nghiên cứu đặc trưng của đường cong nằm trên mặt giả cầu và mặt giả
hyperbolic trong không gian Lorentz - Minkowski vẫn còn mới mẻ và chưa
được nhiều tác giả nghiên cứu.
Do đó, chúng tôi chọn đề tài:
"Đặc trưng của đường cong nằm trên mặt giả cầu và mặt giả

hyperbolic trong không gian Lorentz - Minkowski 3 chiều".
Ngoài phần mở đầu, kết luận, và tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai
chương:
Chương 1: - Kiến thức chuẩn bị
Để thuận tiện cho việc trình bày ở các mục sau, trong chương này chúng
tôi trình bày một số khái niệm và cũng như các tính chất của không gian
Lorentz - Minkowski mà không trình bày chứng minh chi tiết.
Chương 2: - Đặc trưng của đường cong nằm trên mặt giả cầu và mặt
giả hyperbolic trong không gian Lorentz - Minkowski 3 chiều
Đây là nội dung chính của luận văn. Trong chương này, chúng tôi trình
bày chi tiết các đặc trưng của đường cong mặt giả cầu, mặt giả hyperbolic
đvà nghiên cứu các tính chất của chỉ đồ cầu của một đường cong.
3
Luận văn được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình
của thầy giáo - tiến sĩ Nguyễn Duy Bình. Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời
cảm ơn chân thành đến thầy. Cuối cùng, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn
đến Ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo trong khoa cùng các bạn
bè đã tạo điều kiện giúp đỡ, đóng góp ý kiến trong suốt quá trình tác giả
thực hiện luận văn này.
Nghệ An, tháng 10 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Duy Diện
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian Lorentz - Minkowski
Cho R
3
là không gian vectơ thực với cấu trúc thông thường.
Gọi B = {E
1

, E
2
, E
3
} là cơ sở thông thường, với E
1
= (1, 0, 0), E
2
=
(0, 1, 0), E
3
= (0, 0, 1).
1.1.1 Định nghĩa. Cho E là một không gian vectơ sinh bởi tích vô hướng:
u, v = u
1
v
1
+ u
2
v
2
− u
3
v
3
,
với u = (u
1
, u
2

, u
3
), v = (v
1
, v
2
, v
3
). Khi đó E được gọi là không gian
Lorentz - Minkowski. Ký hiệu E
3
1
.
Tích vô hướng ,  được gọi là tích vô hướng Lorentz – Minkowski.
Người ta thường gọi không gian Lorentz – Minkowski là không gian
Minkowski và tích vô hướng ,  cũng được gọi là tích vô hướng Minkowski.
1.1.2 Định nghĩa. Cho vectơ v ∈ E
3
1
.
(i) v được gọi là vectơ kiểu không gian nếu v, v > 0 hoặc v=0
(ii) v được gọi là vectơ kiểu thời gian nếu v, v < 0
(iii) v được gọi là vectơ kiểu ánh sáng nếu v, v = 0 và v = 0.
Nhận xét: vectơ v = 0 có v, v = 0 nhưng vẫn được xét là vectơ kiểu
không gian.
1.1.3 Ví dụ. Vectơ E
1
và E
2
là các vectơ kiểu không gian.

Thật vậy, E
1
, E
1
 = 1 > 0 và E
2
, E
2
 > 0. Vectơ E
3
là vectơ kiểu thời
gian vì E
3
, E
3
 = 1 > 0.
Vectơ E
1
+ E
2
là vectơ kiểu ánh sáng vì E
1
+ E
2
, E
1
+ E
2
 = 0
1.1.4 Định nghĩa. Cho vectơ u ∈ E

3
1
. Khi đó số

|u, u| được gọi là
mô đun hay chuẩn của vectơ u. Ký hiệu |u|. Nếu |u| = 1 thì u được gọi là
vectơ đơn vị.
4
5
1.1.5 Định nghĩa. Cho u = (u
1
, u
2
, u
3
), v = (v
1
, v
2
, v
3
) ∈ E
3
1
. Khi đó,
tích Lorentz của hai vectơ u và v là vectơ duy nhất được ký hiệu u × v
thoả mãn:
u × v, w = det(u, v, w), ∀w = (w
1
, w

2
, w
3
) ∈ E
3
1
.
Toạ độ của tích Lorentz được tính như sau:
u × v =





E
1
E
2
−E
3
u
1
u
2
u
3
v
1
v
2

v
3





=





u
2
u
3
v
2
v
3




,





u
3
u
1
v
3
v
1




, −




u
1
u
2
v
1
v
2






.
1.1.6 Định nghĩa. Cho u, v ∈ E
3
1
. Hai vectơ u và v được gọi là vuông góc
với nhau khi và chỉ khi u, v = 0.
1.1.7 Định nghĩa. Cho v ∈ E
3
1
. Ta ký hiệu
< v >
⊥
=

u ∈ E
3
1
: u, v = 0

.
Khi đó, < v >
⊥
được gọi là không gian con bù vuông góc của v.
1.1.8 Định nghĩa. Cho U ⊂ E
3
1
. Ta ký hiệu
U
⊥
=


u ∈ E
3
1
: u, v = 0, ∀v ∈ U

.
Khi đó, U
⊥
được gọi là không gian con bù vuông góc của U.
1.1.9 Định lí (Xem [1]). Ta có các mệnh đề sau:
1. Cho v ∈ E
3
1
. Khi đó, v là vectơ kiểu thời gian khi và chỉ khi < v >
⊥
là không gian con kiểu không gian và E
3
1
=< v > ⊕ < v >
⊥
. Đối với
các vectơ kiểu không gian, ta cũng có: v là vectơ kiểu không gian khi
và chỉ khi < v >
⊥
là không gian con kiểu thời gian.
2. U là không gian con của E. Khi đó, nếu U là kiểu không gian khi và
chỉ khi U
⊥
là kiểu thời gian, U là kiểu ánh sáng khi và chỉ khi U

⊥
cũng kiểu ánh sáng.
1.1.10 Định lí (Xem [1]). Ta có các mệnh đề sau:
1. Cho u và v là hai vectơ kiểu ánh sáng. Khi đó, v và v là phụ thuộc
tuyến tính khi và chỉ khi u, v = 0.
2. Nếu u và v là các vectơ khác kiểu không gian sao cho u, v = 0 thì
chúng là các vectơ kiểu ánh sáng.
6
3. Nếu U là một không gian con kiểu ánh sáng, thì dim(U ∩ U
⊥
) = 1.
1.1.11 Định lí (Xem [1]). Cho U là một không gian con hai chiều của
E
3
1
. Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương:
(i) U là không gian con kiểu thời gian.
(ii) U chứa hai vectơ kiểu ánh sáng độc lập tuyến tính.
(iii) U chứa một vectơ kiểu thời gian.
1.1.12 Định lí (Xem [1]). Cho U là một không gian con hai chiều của
E
3
1
. Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương:
(i) U là không gian con kiểu ánh sáng.
(ii) U chứa một vectơ kiểu ánh sáng nhưng không chứa một vectơ kiểu thời
gian nào.
Sử dụng biểu thức toạ độ của tích Lorentz, ta có thể chứng minh được
các tính chất sau:
1.1.13 Mệnh đề (Xem [1]). Cho u và v là hai vectơ bất kỳ trong E

3
1
. Khi
đó, ta có
1. u × v = v × u
2. u × v vuông góc với u, v.
3. u × v = 0 khi và chỉ khi u, v tỉ lệ.
Trong không gian E
3
, ta có công thức mối liên hệ giữa tích có hướng và
tích vô hướng như sau:
(u × v)(x × y) =




ux uy
vx vy




.
Câu hỏi đặt ra là liệu trong không gian Minkowski, mối liên hệ giữa tích
Lorentz và tích vô hướng có còn như vậy hay không? Chúng ta cùng xây
dựng công thức biểu thị mối liên hệ ấy.
Giả sử u(u
1
, u
2

, u
3
), v(v
1
, v
2
, v
3
), x(x
1
, x
2
, x
3
), y(y
1
, y
2
, y
3
) ∈ E
3
1
. Ta có
u × v =






u
2
u
3
v
2
v
3




,




u
3
u
1
v
3
v
1




, −





u
1
u
2
v
1
v
2





,
x × y =





x
2
x
3
y
2

y
3




,




x
3
x
1
y
3
y
1




, −




x
1

x
2
y
1
y
2





.
7
Từ đó suy ra:
u × v, x × y = (u
2
, v
3
 − u
3
, v
2
)(x
2
, y
3
 − x
3
, y
2

)
+(u
3
, v
1
 − u
1
, v
3
)(x
3
, y
1
 − x
1
, y
3
)
+(u
1
, v
2
 − u
2
, v
1
)(x
1
, y
2

 − x
2
, y
1
) (1.1)
Mặt khác




u, x u, y
v, x v, y




=




u
1
, x
1
 + u
2
, x
2
 − u

3
, x
3
u
1
, y
1
 + u
2
, y
2
 − u
3
, y
3

v
1
, x
1
 + v
2
, x
2
 − v
3
, x
3
v
1

, y
1
 + v
2
, y
2
 − v
3
, y
3





= (u
1
, x
1
 + u
2
, x
2
 − u
3
, x
3
) (v
1
, y

1
 + v
2
, y
2
 − v
3
, y
3
)
− (u
1
, y
1
 + u
2
, y
2
 − u
3
, y
3
) (v
1
, x
1
 + v
2
, x
2

 − v
3
, x
3
) (1.2)
Từ (1.1) và (1.2) ta có: u × v, x × y = −




u, x u, y
v, x v, y




Ta có thể phát biểu kết quả trên thành mệnh đề như sau:
1.1.14 Mệnh đề. Cho u,v, x, y ∈ E
3
1
. Khi đó, mối liên hệ giữa tích
Lorentz và tích vô hướng Lorentz - Minkowski được thể hiện qua công thức
sau:
u × v, x × y = −




u, x u, y
v, x v, y





.
1.1.15 Định nghĩa. Ta gọi phép biển đổi đẳng cự bảo toàn tích vô hướng
Lorentz - Minkowski là phép biển đổi Lorentz.
1.2 Đường cong trong không gian Lorentz – Minkowski.
Chúng ta nhắc lại khái niệm: Một đường cong là một ánh xạ khả vi
α : I → R
3
,
với I là một khoảng mở trong R. Trong chương này ta xét I là khoảng mở
chứa 0.
1.2.1 Định nghĩa. Cho α là một đường cong trong E
3
1
. Ta nói rằng α
là một đường cong kiểu không gian (tương ứng: kiểu thời gian, ánh sáng)
tại t nếu vectơ α

(t) là vectơ kiểu không gian (tương ứng: kiểu thời gian,
ánh sáng). Đường cong α được gọi là đường cong kiểu không gian nếu nó
là đường cong kiểu không gian tại mọi điểm.
8
Nhận xét: Một đường cong bất kỳ α trong E
3
1
thì với mỗi t ∈ I, α


(t)
có thể là kiểu không gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng, nhưng tính chất
này sẽ không đúng trên toàn khoảng I.
1.2.2 Ví dụ. Xét đường cong α cho bởi tham số hoá: α(t) = (cosh(t), t
2
, sinh(t)).
Khi đó, α

(t), α

(t) = 4t
2
− 1.
Do đó, đường cong này là kiểu không gian trong khoảng (−∞, −
1
2
), kiểu
thời gian trong khoảng (−
1
2
,
1
2
) và kiểu ánh sáng tại −
1
2
và
1
2
.

1.2.3 Định nghĩa. Cho α là đường cong trong E
3
1
xác định trên khoảng
I. Khi đó α được gọi là chính quy tại t
o
∈ I nếu α

(t) = 0. Nếu α chính
quy tại mọi điểm t ∈ I thì α được gọi là chính quy.
1.2.4 Mệnh đề (Xem [1]). Mọi đường cong kiểu thời gian và kiểu ánh
sáng đều chính quy.
Chứng minh. Giả sử rằng đường cong α là kiểu thời gian. Ta viết α(t) =
(x(t), y(t), z(t)), trong đó các hàm x, y và z là các hàm khả vi theo t. Ta
có α

(t), α

(t) = x

(t)
2
+ y

(t)
2
− z

(t)
2

< 0, suy ra z

(t) = 0 vì nếu
z

(t) = 0 thì α không phải là kiểu thời gian. Từ đó suy ra α là chính quy.
Trong trường hợp α là kiểu ánh sáng, giả sử z

(t) = 0, suy ra x

(t) =
y

(t) = 0 và α

(t) = 0. Khi đó α là kiểu không gian. Mâu thuẫn, vậy
z

(t) = 0. Từ đó suy ra α là chính quy.
Kể từ giờ, ta giả thiết các đường cong là chính quy.
1.2.5 Mệnh đề (Xem [1]). Cho α là một đường cong kiểu không gian hoặc
thời gian. Khi đó, tồn tại các tham số hoá β của α sao cho |β

(t)| = 1. Ta
gọi tham số hoá này là tham số hoá độ dài cung.
Chứng minh. Ta chứng minh trong trường hợp đường cong kiểu thời gian.
Giả sử α(t) là một tham số hoá của α. Đặt
λ(t) = −

t

a

α

(u), α

(u)du.
Khi đó, λ ≥ 0. Hơn nữa, λ là hàm đơn điệu tăng, vì
λ

(t) =

α

(t), α

(t) > 0, ∀t,
cho nên λ là một vi phôi. Đặt β(s) = α ◦λ
−1
(s). Ta chứng minh β là tham
số hoá độ dài cung của β. Thật vậy,
|β

(s)| = |(α ◦ λ
−1
(s))

| = |α

λ

−1
◦ (λ
−1
)

s
| = |α

t
.
1
λ

1
| = |α

(t)|.
1
λ

t
= 1, ∀s.
9
1.2.6 Mệnh đề (Xem [1]). Cho α là một đường cong kiểu ánh sáng trong
E
3
1
. Khi đó, tồn tại một tham số hoá của α cho bởi β(s) = α(φ(s)) sao
cho |β


(s)| = 1. Ta gọi tham số hoá này là tham số hoá giả độ dài cung.
Chứng minh. Ta viết: β(s) = α(φ(s)). Đạo hàm hai lần, ta có:
β

(s) = α

(t)φ

(s)
2
+ α

(t)φ

(s).
Ta có
β

(s), β

(s) = φ

(s)
4
α

(t), α

(t) + φ


(s)
2
α

(t), α

(t)
+2.φ

(s)
2
.φ

(s)α

(t), α

(t)
= φ

(s)
4
α

(t), α

(t)
( Do α là đường cong kiểu ánh sáng nên α

(t), α


(t) = 0 và dẫn đến
α

(t), α

(t) = 0).
Mặt khác, theo giả thiết ta có: |β

(s)| = 1 suy ra φ

(s)
4
α

(t), α

(t) = 1.
Từ đó, hàm φ là nghiệm của phương trình vi phân:
φ

(s) =
1

|α

(φ(s))|
, với φ(0) = t
o
. (1.1)

Giải phương trình vi phân trên ta được một nghiệm là:
S = λ(t) = −

t
a

|α

(u)|du
Khi đó, λ ≥ 0. Hơn nữa, λ là hàm đơn điệu tăng, vì

|α

(u)| > 0, ∀t, cho
nên λ là một vi phôi. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Cho trước một đường cong chính quy. Vậy làm thế nào để mô tả các tính
chất hình học của đường cong? Chúng ta sẽ gán tại mỗi điểm của đường
cong một cơ sở trực chuẩn. Khi đó, sự biến đổi của cơ sở này dọc đường
cong sẽ cho ta thông tin về sự biến dạng của đường cong trong không gian.
Ta sẽ xét lần lượt các trường hợp.
Trường hợp đường cong có tham số hoá độ dài cung hoặc
tham số hoá giả độ dài cung. (Xem [1])
Hệ cơ sở trực chuẩn ta dùng ở đây là trường mục tiêu Frenet. Trong
không gian Minkowski, trường mục tiêu Frenet cũng được xây dựng tương
tự như trong không gian Euclide. Tuy nhiên, trong không gian Minkowski,
10
có nhiều loại đường cong khác nhau. Do vậy, chúng ta sẽ xây dựng các
trường mục tiêu Frenet khác nhau cho từng loại đường cong khác nhau.
Nhờ các trường mục tiêu này, chúng ta cũng có được hai thông số cơ bản
là độ cong và độ xoắn.

Ta xét một đường cong α được tham số hoá bởi tham số hoá độ dài cung
hoặc tham số hoá giả độ dài cung. Gọi T(s) = α

(t) là vectơ tiếp tuyến của
α tại s. Ta có T(s), T(s) = 1, đạo hàm hai vế cho ta: T(s), T

(s) = 0.
Ta giả thiết T

(s) = 0 và vectơ T

(s) không vuông góc với T(s) tại mọi
điểm s.
Ta xét các trường hợp:
1. Trường hợp đường cong kiểu thời gian.
Giả sử α là đường cong kiểu thời gian. Khi đó T

(s) = 0 là một vectơ
kiểu không gian. Ta định nghĩa độ cong của α tại s là hàm κ(s) = |T

(s)|.
vectơ pháp tuyến N(s) được định nghĩa bởi:
N(s) =
T

(s)
κ(s)
=
α


(s)
|α

(s)|
.
Hơn nữa, κ(s) = T

(s), N(s). Ta gọi vectơ trùng pháp tuyến B(s) là
vectơ
B(s) = T(s) × N(s)
Khi đó, vectơ B(s) là vectơ đơn vị kiểu không gian với mọi s, { T,N, B}
là một cơ sở trực chuẩn của E
3
1
, và được gọi là trường mục tiêu Frenet của
α.
Ta định nghĩa độ xoắn của α là hàm:
τ(s) = N

(s), B(s)
Ta có: |N| = 1 ⇒ N(s), N(s) = 1 ⇒ N(s), N

(s) = 0 ⇒ N ⊥ N

⇒ N

= αT + βB.
Nhân hai vế của biểu thức trên với T ta có: N

, T = −α (vì T là

vectơ kiểu thời gian nên T, T = −1. Ta lại có: T

= κN ⇒ T

, N =
κN, N = κ.
Mặt khác:
T, N = 0 ⇒ T, N

 + T

, N = 0 ⇒ α = κ.
11
Tương tự, ta tính được β = τ. Từ đó ta suy ra: N

= κT + τB.
Bằng các phép tính toán tương tự, ta suy ra: B

= −τN. Từ đó chúng ta
có được phương trình Frenet như sau:

T

N

B


=


0 κ 0
κ 0 τ
0 −τ 0

T
N
B

(1.2)
2. Trường hợp đường cong kiểu không gian.
Cho α là đường cong kiểu không gian. Khi đó, có 3 trường hợp xảy ra
như sau
a) Trường hợp vectơ T

(s) là kiểu không gian.
Ta định nghĩa hàm độ cong của α là: κ = | T’(s) |. Khi đó, tương tự
trường hợp trên, ta định nghĩa:
N(s) =
T

(s)
κ(s)
và B(s) = T(s) × N(s).
Ta cũng định nghĩa hàm độ xoắn:
τ(s) = −N

(s), B(s).
Chứng minh tương tự trường hợp α là đường cong kiểu thời gian, ta có
phương trình Frenet:


T

N

B


=

0 κ 0
−κ 0 τ
0 τ 0

T
N
B

. (1.3)
b) Trường hợp vectơ T

(s) là kiểu thời gian.
Ta định nghĩa hàm độ cong của α là:
κ = |T

(s)| =

−T

(s), T


(s).
Khi đó, tương tự trường hợp trên, ta định nghĩa:
N(s) =
T

(s)
κ(s)
và B(s) = T(s) × N(s).
Ta định nghĩa hàm độ xoắn:
τ(s) = N

(s), B(s).
12
Vectơ trùng pháp tuyến cũng được định nghĩa tương tự mục trên:
B(s) = T(s) × N(s).
Dễ thấy vectơ này là vectơ kiểu không gian.
Từ đó ta lập được phương trình Frenet:

T

N

B


=

0 κ 0
κ 0 τ
0 τ 0


T
N
B

. (1.4)
c) Trường hợp vectơ T

(s) là kiểu ánh sáng với mọi s.
Ta định nghĩa vectơ pháp tuyến N(s) = T

(s), độc lập tuyến tính với
T(s). Khi đó, với mọi điểm s cho trước, tồn tại duy nhất một vectơ kiểu
ánh sáng B(s) sao cho: T(s), B(s) = 1 và vuông góc với N(s). Vectơ
B(s) được gọi là vectơ trùng pháp tuyến của α tại s. Phương trình Frenet:

T

N

B


=

0 1 0
0 τ 0
−1 0 −τ

T

N
B

. (1.5)
trong đó, τ được gọi là độ xoắn của α. Ở đây ta không định nghĩa độ cong
của α.
3. Trường hợp đường cong kiểu ánh sáng.
Cho α là đường cong kiểu ánh sáng được tham số hoá bởi tham số
hoá giả độ dài cung, nghĩa là vectơ α

(s) là vectơ đơn vị. Ta xét vectơ
T(s) = α

(s) và định nghĩa vectơ pháp tuyến là N(s) = T

(s). Khi đó,
tồn tại duy nhất một vectơ kiểu ánh sáng vuông góc với N(s) sao cho
T(s), B(s) = 1.
Thật vậy, giả sử T = (a
1
, a
2
, a
3
). Do phép biến đổi Lorentz bảo toàn
tính chất của vectơ cho nên không mất tính tổng quát, giả sử N = (1, 0, 0).
Giả sử toạ độ vectơ B = (x, y, z). Theo giả thiết ta có:
T, T = 0
T, N = 0 Do T, T


 = 0
B, B = 0
N, B = 0
T, B = 1.
Giải hệ trên, ta được: B = (0, −
1
2a
2
, −
1
2a
3
).
13
Mặt khác, hệ {T, N, B} là độc lập tuyến tính. Thật vậy, xét định thức:





T, T T, N T, B
N, T N, N N, B
B, T B, N B, B





=






0 0 1
0 1 0
1 0 0





= 1.
Do đó, hệ {T, N, B} có thể lập thành một mục tiêu.
Khi đó, bằng các phép vi phân, ta xây dựng được phương trình Frenet
như sau:

T

N

B


=

0 1 0
τ 0 −1
0 −τ 0


T
N
B

. (1.6)
trong đó, τ được gọi là độ xoắn của α. Ở đây ta cũng không định nghĩa
độ cong của α.
Trường hợp đường cong có tham số hoá bất kỳ.
Ở mục trên chúng ta đã định nghĩa độ cong và độ xoắn của một đường
cong có vận tốc đơn vị. Tuy nhiên, không phải lúc nào cũng dễ dàng tìm
được một tham số hoá để đường cong đó có vận tốc đơn vị. Do đó, chúng
ta cần có công thức tính độ cong và độ xoắn cho đường cong có tham số
hoá bất kỳ.
1.2.7 Mệnh đề. Cho α : I → E
3
1
là đường cong kiểu thời gian hoặc kiểu
không gian trong không gian Minkowski E
3
1
có tham số hoá α(t) bất kỳ.
Khi đó, độ cong và độ xoắn của α lần lượt là:
κ
α
(t) =
|α

(t) × α

(t)|

|α

(t)|
3
(1.7)
τ
α
(t) =
det(α

(t), α

(t), α

(t))
|α

(t) × α

(t)|
2
. (1.8)
Chứng minh. Giả sử r : s −→ r(s) là tham số hoá tự nhiên của α. Ta có:
α(t) = r.λ(t) (với λ(t) = s),
α

(t) = r

λ
.λ


t
= λ

(t).T,
α

(t) = λ

(t).T+λ

(t).T

t
= λ

(t).T+λ

(t).λ

(t).T

= λ

(t).T+κ.λ

(t)
2
.N.
Ta có:

α

× α

= (λ

.T) × (λ

T + κλ
2
.N) = κ.λ
3
.T × N = κ.λ
3
.B.
14
Từ đó suy ra:|α

× α

| = κ|α
3
| ⇒ κ =
|α

× α

|
|λ
3

|
=
|α

(t) × α

(t)|
|α(t)
3
|
.
Công thức (1.8) chứng minh tương tự.
15
Trong không gian Euclide, một đường xoắn ốc là một đường cong trong
đó tiếp tuyến tại mọi điểm tạo một góc không đổi với một phương cố định.
Phương này được gọi là trục của đường xoắn ốc. Năm 1802, nhà toán học
Lancret đã chỉ ra rằng: Một đường cong là đường xoắn ốc khi và chỉ khi tỉ
số τ/κ là một hàm hằng. Chẳng hạn các đường cong phẳng là các đường
xoắn ốc. Một đường xoắn ốc có độ cong và độ xoắn không đổi được gọi là
đường xoắn ốc trụ.
Chúng ta sẽ mở rộng khái niệm này cho không gian Minkowski. Tuy
nhiên trong không gian Minkowski không định nghĩa góc giữa các vectơ,
thay vào đó ta xét hàm số T, v, với v là một phương cố định. Ta có định
nghĩa:
1.2.8 Định nghĩa. Cho α là một đường cong chính quy và v = 0 là một
vectơ có phương không đổi trong E
3
1
. Gọi T(s) là vectơ tiếp tuyến của α
tại s. Nếu T(s), v là hàm hằng thì α được gọi là đường xoắn ốc. Mọi

đường thẳng có phương song song với phương của v đều được gọi là trục
của đường xoắn ốc.
Ta giả thiết các đường cong không phẳng.
1.2.9 Định lí (Xem [1]). Cho α là một đường cong kiểu không gian hoặc
kiểu thời gian trong E
3
1
. Khi đó:
1. Nếu α là đường xoắn ốc thì hàm τ /κ là một hàm hằng.
2. Nếu α có vectơ pháp tuyến là kiểu không gian hoặc kiểu ánh sáng và
hàm τ/κ là một hàm hằng thì α là đường xoắn ốc.
Chứng minh. 1. Xét các trường hợp:
• Trường hợp α là đường cong kiểu không gian. Khi đó, có ba khả năng
của vectơ T

.
- T

là vectơ kiểu không gian. Đạo hàm hai vế của biểu thức T, v =
c, ta có: T

, v = 0, ta có: κT, v = 0. Suy ra κT, v = 0. Khi
đó, tồn tại các hàm hằng a, b sao cho v = aT + bB. Đạo hàm hai
vế theo tham số s ta có: a.T

+b.B

= 0. Mặt khác, theo công thức
(1.3) ta có: T


= κN và B

= τN. Do đó ta suy ra: aκ + bτ = 0.
Ta có điều phải chứng minh.
- T

là vectơ kiểu thời gian. Chứng minh hoàn toàn tương tự.
- T

là vectơ kiểu ánh sáng. Đạo hàm hai vế của biểu thức T, v = c,
ta có: T

, v = 0, ta có: κT, v = 0. Suy ra κT, v = 0. Khi
16
đó, tồn tại các hàm số a, b sao cho v = aT + bB. Đạo hàm hai
vế theo tham số s ta có: a.T

+ b.B

= 0. Mặt khác, theo công
thức (1.5) ta có: T

= N và B

= −T − τB. Do đó ta suy ra:
(a

− b)T + aN + (b

− τb)B = 0. Điều này kéo theo a = b = 0, và

từ đó ta có v = 0. (mâu thuẫn)
• Trường hợp α là đường cong kiểu thời gian hoàn toàn tương tự với khả
năng thứ nhất của trường hợp trên (cả α và T

là kiểu không gian).
2. Giả sử rằng τ = cκ, c ∈ R. Ta xét trường hợp đường cong là kiểu thời
gian. (Trường hợp kiểu không gian làm tương tự).
Ta định nghĩa hàm vectơ cho bởi công thức:
v(s) = cT(s) + B(s).
Đạo hàm hai vế theo s ta có:
v

(s) = cT

(s) + B

(s) = cκN(s) − τN(s) = 0.
Nghĩa là v là hàm hằng. Mặt khác: T, v = c, theo định nghĩa ta có α là
đường xoắn ốc.
Chương 2
Đặc trưng của đường cong nằm
trên mặt giả cầu
và mặt giả hyperbolic trong E
3
1
2.1 Đường cong trên mặt giả cầu
2.1.1 Định nghĩa. Ký hiệu
S
2
1

:= S
2
1
(1) = {p ∈ R
3
1
: p, p = 1}.
Khi đó, S
2
1
được gọi là giả cầu Lorentz 2 chiều bán kính 1 (gọi tắt là giả
cầu hoặc cầu Lorentz ).
Tổng quát,
S
2
1
(m, r) :=

p ∈ E
3
1
: p − m, p − m = r
2
, r ∈ R
+

gọi là giả cầu (cầu Lorentz) tâm m, bán kính r.
2.1.2 Định nghĩa. Ta định nghĩa không gian giả hyperbolic bán kính 1
trong E
3

1
là:
H
2
0
:= H
2
0
(1) = {p ∈ E
3
1
: p, p = −1}
và gọi là không gian giả hyperbolic 2 chiều. Ta thường gọi tắt là giả hyper-
bolic.
Tổng quát,
H
2
0
(m, r) := {p ∈ E
3
1
: p − m, p − m = −r
2
, r ∈ R
+
}
gọi là giả hyperbolic tâm m, bán kính r.
17
18
Ta xét một số tính chất của đường cong trên giả cầu Lorentz theo các

trường hợp:
- Đường cong kiểu thời gian
2.1.3 Định lí (Xem [3]). Cho α là một đường cong kiểu thời gian có vận
tốc đơn vị với độ cong κ = κ(s). Khi đó, α nằm trên một mặt cầu Lorentz
tâm m bán kính r ∈ R
+
trong E
3
1
khi và chỉ khi κ = const = 0 và
α(s) − m =
1
κ
N ±

r
2
−

1
κ

2
B.
Chứng minh. Giả sử α nằm trên một mặt cầu Lorentz tâm m bán kính
r ∈ R
+
. Khi đó α − m, α − m = r
2
, với mọi s ∈ I ⊂ R. Đạo hàm theo

s, ta có:
T, α − m = 0 (2.1)
Ngoài ra, đạo hàm (2.1) theo s, ta có
T

, α − m + T, T = 0.
Mà T

= κN nên:
κN, α − m = 1.
Điều này kéo theo κ = 0 với mọi s ∈ I ⊂ R và
N, α − m =
1
κ
(2.2)
Sau đó, phân tích vectơ α − m thành:
α − m = aT + bN + cB, (2.3)
trong đó a = a(s), b = b(s) và c = c(s) là các hàm số khả vi nào đó. Khi
đó từ (2.1) và (2.2) ta thu được:
T, α − m = −a = 0, N, α − m = b =
1
κ
, B, α − m = c.
Mặt khác, đạo hàm của (2.3) theo s ta có:
N

, α − m + N, α

 =


1
κ


.
Theo giả thiết, α là một đường cong phẳng, do đó τ = 0 và sử dụng
công thức Frenet ta có:
κT, α − m =

1
κ


.
19
Khi đó

1
κ


= 0 suy ra
1
κ
= const ∈ R, có nghĩa là κ = const ∈ R.
Do κ = 0, suy ra κ = const = 0.
Mặt khác, thay a, b, c vào (2.3) ta có:
α − m =

1

κ

N + cB.
Dễ thấy α − m, α − m =

1
κ

2
+ c
2
= r
2
, do đó kéo theo
c = ±

r
2
−

1
κ

2
.
Vì vậy:
α − m =

1
κ


N ±

r
2
−

1
κ

2
B.
Ngược lại, nếu κ = const = 0 và
α − m =

1
κ

N ±

r
2
−

1
κ

2
B,
m ∈ E

3
1
là một vectơ bất kì và r ∈ R
+
, ta sẽ chứng minh rằng m = const.
Do:
m = α −

1
κ

N ±

r
2
−

1
κ

2
B,
đạo hàm theo s và sử dụng công thức Frenet ta có m

= 0.
Suy ra m = const và a − m, a − m = r
2
.
Do đó, α nằm trên một cầu Lorentz tâm m bán kính r.
2.1.4 Định lí (Xem [3]). Cho α(s) là một đường cong kiểu thời gian có

vận tốc đơn vị trong E
3
1
với độ cong k(s) = 0 và độ xoắn τ(s) = 0 với mọi
s ∈ I ⊂ R.
Khi đó α nằm trên một cầu Lorentz bán kính r ∈ R
+
khi và chỉ khi

1
k

2
+

1
τ

1
κ



2
= r
2
.
20
Chứng minh. Giả sử rằng α nằm trên cầu Lorentz tâm m bán kính r. Khi
đó α − m, α − m = r

2
. Đạo hàm 3 lần theo s và sử dụng công thức
Frenet ta có:
B, α − m =

1
τ

1
κ


.
Sau đó phân tích vectơ α − m thành
α − m = aT + bN + cB (2.4)
trong đó a = a(s), b = b(s) và c = c(s) là các hàm số khả vi nào đó. Khi
đó
T, α−m = −a = 0, N, α−m = b =
1
κ
, B, α−m = c =

1
τ

1
κ


.

Thay a, b và c trong (2.4) ta có:
α − m =

1
κ

N +

1
τ

1
κ


B.
Do đó
α − m, α − m = r
2
=

1
κ

2
+

1
τ


1
κ

2
.
Ngược lại, nếu

1
κ

2
+

1
τ

1
κ

2
= r
2
. (2.5)
trong đó r ∈ R
+
, ta có thể xét vectơ m ∈ E
3
1
của biểu thức
m = a −


1
κ

N −

1
τ

1
κ


B. (2.6)
Ta sẽ chứng minh rằng m = const. Đạo hàm theo s ta có.
m

= T −

1
κ


N −

1
κ

(kT + τB)
−


1
τ

1
κ




B +

1
τ

1
κ


(τN)
=

−
τ
κ
−

1
τ


1
κ





B. (2.7)
21
Đạo hàm theo s của giả thiết (2.5), ta có:
(
2
κ
)(
1
κ
)

+ (
2
τ
)(
1
κ
)


1
τ


1
κ




= 0.
và do đó
(
τ
κ
) +

1
τ

1
κ




= 0. (2.8)
thay vào (2.7), ta có m

= 0 với mọi s ∈ I ⊂ R và do đó m = const. Công
thức (2.6) kéo theo
α − m, α − m =

1

κ

2
+

1
τ

1
κ



2
= r
2
.
Do đó α nằm trên một cầu Lorentz tâm m và bán kính r.
2.1.5 Định lí (Xem [3]). Cho α là một đường cong kiểu thời gian có vận
tốc đơn vị với độ cong κ = κ(s) và độ xoắn τ(s) = 0 với mọi s ∈ I ⊂ R.
Khi đó, α nằm trên một mặt cầu Lorentz trong E
3
1
khi và chỉ khi

τ
κ

= −


1
τ

1
κ




.
Chứng minh. Giả sử rằng α là một đường cong nằm trên cầu Lorentz bán
kính r ∈ R
+
. Khi đó, theo định lý 2.1.4, phương trình 2.5 thoả mãn, do đó
đạo hàm theo s của (2.5) ta suy ra (2.8). Ngược lại, giả sử rằng công thức
(2.8) thoả mãn với mọi s ∈ I ⊂ R. Do (2.8) là đạo hàm của công thức

1
κ

2
+

1
τ

1
κ




2
= c = const > 0.
Chúng ta có thể đặt c = r
2
, r ∈ R
+
. Cuối cùng, theo định lý 2.1.4, ta có
ảnh của đường cong α nằm trên một cầu Lorentz bán kính r.
2.1.6 Định lí (Xem [3]). Cho α là một đường cong kiểu thời gian có
vận tốc đơn vị với độ cong κ = κ(s) = 0 và độ xoắn τ(s) = 0 với mọi
s ∈ I ⊂ R.
Khi đó, α nằm trên một mặt cầu Lorentz trong E
3
1
khi và chỉ khi κ > 0
và tồn tại một hàm khả vi f(s) sao cho
fτ =

1
κ


22
và
f

+
τ
κ

= 0.
Chứng minh. Giả sử rằng α là một đường cong nằm trên cầu Lorentz bán
kính r ∈ R
+
. Khi đó, theo định lý 2.1.5 ta có
τ
κ
= −

1
τ

1
κ




.
Ta định nghĩa hàm khả vi f = f(s) bởi:
f =

1
τ

1
κ


.

Do đó, f

= −
τ
κ
. Do κ(s) = ||T

|| ≥ 0 và κ = 0 với mọi s ∈ I ⊂ R. Suy
ra κ(s) > 0.
Ngược lại, giả sử rằng α là đường cong có κ > 0 với mọi s ∈ I ⊂ R, và
tồn tại một hàm khả vi f(s) sao cho fτ =

1
κ


và f

= −
τ
κ
.
Mặt khác, do f =

1
τ

1
κ



, nên:

1
τ

1
κ


= −
τ
κ
.
Theo định lý 2.1.5, ta có α nằm trên một cầu Lorentz.
2.1.7 Định lí (Xem [3]). Cho α là một đường cong kiểu thời gian có
vận tốc đơn vị với độ cong κ = κ(s) = 0 và độ xoắn τ(s) = 0 với mọi
s ∈ I ⊂ R. Khi đó, α nằm trên một mặt cầu Lorentz trong E
3
1
khi và chỉ
khi tồn tại các hằng số P, Q ∈ R thoả mãn:
κ


P cos(
s

0
τ(s)ds) + Q sin(

s

0
τ(s)ds)


= 1.
Chứng minh. Giả sử rằng α(s) là một đường cong nằm trên một cầu
Lorentz. Khi đó theo định lý 2.1.6 tồn tại một hàm khả vi f(s) sao cho
fτ =
1
k

và f

=
−τ
k
. Định nghĩa hàm θ(s) và hàm g(s) và h(s) bởi
θ(s) =

s
0
τ(s)ds,
g(s) =

1
κ

cos θ − f(s) sin θ, h(s) =


1
κ

sin θ + f(s) cos θ (2.9)
23
Đạo hàm theo s của hàm θ, g và h ta được θ

(s) = τ (s), g

(s) = h

(s) = 0
và do đó g(s) = P, h(s) = Q.
Áp dụng (2.9) ta có:
1
s
cos θ − f(s) sin θ = P, (
1
k
) sin θ + f(s) cos θ = Q.
Nhân phương trình đầu với cos θ và phương trình thứ hai với sin θ ta có
1
k
= P cos θ + Q sin θ. Do đó phương trình
κ


P cos(
s


0
τ(s)ds) + Q sin(
s

0
τ(s)ds)


= 1 thoả mãn .
Ngược lại, cho P và Q là các hằng số thực, sao cho phương trình
κ


P cos(
s

0
τ(s)ds) + Q sin(
s

0
τ(s)ds)


= 1 (2.10)
thoả mãn với mọi s ∈ I ⊂ R. Khi đó k(s) = 0 và do đó k(s) = T

≥ 0
với mọi s. Đạo hàm theo s của (2.10) ta có:

τ

−P sin(

s
0
τ(s)ds) + Q cos(

s
0
τ(s)ds)

=

1
k


(2.11)
Ta định nghĩa hàm khả vi f(s) bởi
f(s) = −P sin(

s
0
τ(s)ds) + Q cos(

(s)ds) (2.12)
Mối quan hệ (2.11) và (2.12) cho ta

1

k


= τf. Nghĩa là f =
1
τ

1
k


.
Đạo hàm theo s của (2.12) và sử dụng (2.10), ta có:
f

= −τ

A cos(

s
0
τ(s)ds) + B sin(

s
0
τ(s)ds)

= −
τ
κ

.
Do đó, theo định lý 2.1.6, α(s) nằm trên một cầu Lorentz.
- Đường cong kiểu không gian
2.1.8 Định lí (Xem [5]). Cho α(s) là một đường cong kiểu không gian
có vận tốc đơn vị, với κ = 0 và τ = 0. Nếu α có ảnh nằm trên một cầu
Lorentz có bán kính r và tâm m thì
α − m = −

1
κ

N +

1
κ



1
τ

B.
24
Chứng minh. Ta có:
α − m, α(s) − m = r
2
.
do đó:
0 = α − m, α(s) − m


= 2α − m, T (2.13)
Khi đó:
0 = α − m, T

= T, T + α − m, T

= 1 + α − m, κN, (2.14)
κα − m, N = −1 = 0 (2.15)
Do đó: κ = 0.
Giả sử τ = 0, α − m = aT + bN + cB trong đó a, b, c có trong (2.13)
và (2.15). Khi đó:
α − m, T = a = 0,
α − m, N = b = −
1
κ
= −

1
κ

,
α − m, B = −c.
Do α − m, N = −

1
κ

Suy ra

1

κ


= α − m, N

= α − m, −κT + τB = τα − m, B.
nên −c = α − m, B = −

1
κ



1
τ

.
Do đó: α − m = −

1
κ

N +

1
κ



1

τ

B
r
2
= α − m, α − m =

1
κ

2
−

1
κ



1
τ

2
.
2.1.9 Định lí (Xem [5]). Cho α(s) là một đường cong kiểu không gian có
vận tốc đơn vị với κ = 0 và τ = 0. Khi đó, nếu

1
κ

2

−

1
κ



1
τ

2
= r
2
= const.
thì ảnh của α nằm trên một cầu Lorentz có tâm m và bán kính r.
25
Chứng minh. Chúng ta sẽ chỉ ra nếu công thức dưới đây là hằng số,
m = α +

1
κ

N −

1
κ



1

τ

B.
thì m sẽ là tâm cầu Lorentz.
Ta có:
m

= T +

1
κ


N +

1
κ

N

−

1
κ



1
τ



B −

1
κ



1
τ

B

,
Sử dụng công thức Frenet, ta có:
m

=
τ
κ
−

1
κ


−

1
κ




1
τ


B.
Do

1
κ

2
−

1
κ



1
τ

2
= r
2
, nên:

1

κ

1
κ


−

1
κ



1
τ

(

1
κ



1
τ

+

1
κ




1
τ


= 0.
Do đó:
τ
κ
−

1
κ



1
τ

=

1
κ



1
τ



.
Khi đó m

= 0
Cho m = c khi đó ta có:
α − c = −

1
κ

N +

1
κ



1
τ

B.
Điều này ta chỉ ra α nằm trên cầu Lorentz tâm c bán kính r.
2.1.10 Định lí (Xem [5]). Nếu α(s) là một đường cong kiểu không gian có
vận tốc đơn vị với κ = 0, τ = 0 thì α(s) có ảnh nằm trên một cầu Lorentz
khi và chỉ khi
τ
κ
=


1
τ

1
κ




.
Chứng minh. Cho α(s) là một đường cong cầu Lorentz có vận tốc đơn vị.
Theo định lý 2.1.8, ta có:
r
2
=

1
κ

2
− (

1
κ



1
τ


)
2
.