Các biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh thông qua dạy học nội dung phương trình lượng giác ở trường THPT

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Hiện nay ở Việt Nam cũng như nhiều quốc gia trên thế giới, giáo
dục luôn được coi là “quốc sách hàng đầu”, là động lực để phát triển kinh tế xã hội. Mỗi con người đều là sản phẩm của một nền giáo dục, đất nước nào
có nền giáo dục hiện đại, tiên tiến thì nước đó sẽ có nền kinh tế - xã hội phát
triển mạnh. Chính vì vậy, để Việt Nam có thể “sánh vai với các cường quốc
năm châu”, chúng ta phải tạo ra một nền giáo dục hiện đại. Nghị quyết hội
nghị lần thứ tư của BCH Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam khóa VII nêu
rõ quan điểm chỉ đạo đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo là: “Phát triển
giáo dục nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, đào
tạo những con người có kiến thức văn hóa, khoa học có kĩ năng nghề nghiệp,
lao động tự chủ, sáng tạo và có tính kỉ luật, giàu lịng nhân ái, u nước, yêu
chủ nghĩa xã hội, sống lành mạnh, đáp ứng nhu cầu phát triển đất nước và
chuẩn bị cho tương lai”.Quan điểm này vẫn cịn có giá trị cho đến ngày nay.
Để hồn thành trách nhiệm của mình trước cộng đồng và nâng cao cuộc
sống cá nhân, con người cần có một số năng lực nhất định. Năng lực cá nhân
chỉ có thể hình thành và phát triển thơng qua hoạt động, trong đó hoạt động
học tập có ý nghĩa quan trọng hàng đầu.Yêu cầu then chốt đó đã được phản
ánh trong mục tiêu giáo dục. Do vậy mục tiêu giáo dục trước hết phải là năng
lực suy nghĩ, năng lực hành động của người học. Năng lực này được phát
triển trên nền tảng của một hệ thống kiến thức cơ bản, vững chắc. Mặt khác
năng lực cá nhân không tự phát triển mà nền giáo dục có trách nhiệm phát
hiện và góp phần phát triển năng lực đó. Luận điểm cơ bản của giáo dục học
cho rằng: “Con người phát triển trong hoạt động và học tập diễn ra trong
hoạt động”. Phương pháp dạy học cần hướng vào việc tổ chức cho người học
học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng


tạo để chiếm lĩnh và ứng dụng được tri thức, thơng qua đó phát triển năng lực
cá nhân. Theo A.A Stoliar,dạy Toán là dạy hoạt động Toán học. Đối với học
sinh có thể xem giải Tốn là hình thức chủ yếu của hoạt động Tốn học. Dạy

học giải Tốn có vai trị đặc biệt trong dạy học Tốn ở trường phổ thơng.
1.2. Việc phát triển năng lực Tốn học ở HS là một nhiệm vụ đặc biệt
quan trọng của người thầy giáo vì các lí do sau: Thứ nhất, Tốn học có một
vai trị to lớn trong sự phát triển của các nghành khoa học, kĩ thuật, sự nghiệp
cách mạng cần thiết có một đội ngũ những người có năng lực toán học. Thứ
hai, theo nghị quyết Đại hội Đảng cộng sản Việt Nam lần thứ IV đã ghi rõ:
“Trên cơ sở những đòi hỏi tất yếu của cộng đồng, của quyền làm chủ tập thể
phải bảo đảm sự phát triển phong phú của nhân cách, bồi dưỡng và phát
huy sở trường và năng khiếu của cá nhân”.
Hoạt động giải bài tập toán nhằm bồi dưỡng năng lực Toán học nói riêng
và năng lực giải quyết vấn đề nói chung, nó là điều kiện để thực hiện tốt các mục
đích dạy học tốn ở trường phổ thơng. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giải
bài tập tốn học có vai trị quyết định đối với chất lượng dạy học toán. Bài tập
toán mang nhiều chức năng: Chức năng giáo dục, chức năng giáo dưỡng,
chức năng phát triển tư duy và chức năng kiểm tra đánh giá. Khối lượng bài
tập tốn ở trường phổ thơng là hết sức phong phú, đa dạng. Có những lớp bài
tốn có thuật giải, nhưng phần lớn là những bài tốn chưa có hoặc khơng có
thuật giải. Đứng trước những bài tốn đó, GV gợi ý và hướng dẫn học sinh
như thế nào để giúp họ tìm ra phương pháp giải là một vấn đề hết sức quan
trọng. Tuy nhiên đây cũng là vấn đề rất khó khăn bởi vì đề ra được những gợi ý
hợp lí, đúng lúc, đúng chỗ cịn là nghệ thuật sư phạm của chính người giáo viên.
1.3. Đối với HS trung học phổ thơng, kĩ năng giải tốn thường thể hiện
ở khả năng định hướng cho mỗi bài Toán: lựa chọn phương pháp, cơng cụ
thích hợp cho mỗi bài tốn. Việc lựa chọn một cách giải hợp lí nhất, ngắn gọn
và rõ ràng, trong sáng, không chỉ dựa vào việc nắm vững các kiến thức đã


học, nắm vững thuật giải mà còn phải biết vận dụng một cách có sáng tạo các
kiến thức đó trong từng bài tốn.
1.4. Bồi dưỡng năng lực giải tốn có vai trò quan trọng trong việc phát

triển khả năng tư duy của học sinh, vì để giải bài tốn học sinh phải suy luận,
phải tư duy, phải liên hệ với các bài tốn khác để tìm ra lời giải; phải biết huy
động kiến thức, biết chuyển đổi ngôn ngữ, biến đổi đối tượng. Mối liên hệ,
dấu hiệu trong bài toán chỉ có thể được phát hiện thơng qua q trình phân
tích, tổng hợp, khái qt hố, so sánh... Nguồn gốc sức mạnh của Tốn học là
ở tính chất trừu tượng cao độ của nó. Nhờ trừu tượng hố mà Tốn học đi sâu
vào bản chất của nhiều sự vật, hiện tượng và có ứng dụng rộng rãi. Nhờ có
khái quát hoá, xét tương tự mà khả năng suy đoán và tưởng tượng của học
sinh được phát triển, và có những suy đốn có thể rất táo bạo, có căn cứ dựa
trên những quy tắc, kinh nghiệm qua việc rèn luyện các thao tác tư duy. Cũng
qua thao tác khái quát hoá và trừu tượng hoá mà tư duy độc lập, tư duy sáng
tạo, tư duy phê phán của học sinh cũng được hình thành và phát triển. Bởi qua
các thao tác tư duy đó học sinh tự mình phát hiện vấn đề, tự mình xác định
được phương hướng, tìm ra cách giải quyết và cũng tự mình kiểm tra, hồn
thiện kết quả đạt được của bản thân cũng như những ý nghĩ và tư tưởng của
người khác. Đồng thời các em cũng phát hiện ra được những vấn đề mới, tìm
ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới.
1.5. Trong chương trình Đại số và giải tích lớp 11, phương trình lượng
giác là một nội dung có vai trị quan trọng trong chương trình tốn phổ thơng.
Những năm gần đây trong các đề thi đại học và cao đẳng luôn có loại bài
Tốn này. Hơn nữa đứng trước loại bài Tốn này học sinh thường rất lúng
túng khơng biết nên làm như thế nào, nên biến đổi ra làm sao…Vì những lý
do trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là: "Các biện pháp bồi
dưỡng năng lực giải tốn cho học sinh thơng qua dạy học nội dung
Phương trình lượng giác ở trường Trung học phổ thơng".


2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn về các biện pháp bồi dưỡng năng
lực giải tốn cho học sinh trong dạy học Phương trình lượng giác, góp phần

nâng cao chất lượng dạy học Tốn ở trường PT.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
3.1. Làm sáng tỏ khái niệm năng lực và năng lực giải toán của học sinh.
3.2. Nghiên cứu các biện pháp nâng cao năng lực giải toán của học sinh
THPT.
3.3. Nghiên cứu hệ thống bài tập phương trình lượng giác.
3.4. Xây dựng một số biện pháp sư phạm nhằm bồi dưỡng năng lực giải
toán cho học sinh THPT.
4. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng được các biện pháp sư phạm và sử dụng các biện pháp
đó trong q trình dạy Phương trình lượng giác thì sẽ góp phần bồi dưỡng
năng lực giải Phương trình lượng giác nói riêng và năng lực giải Tốn nói
chung, nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn.
5. Phương pháp nghiên cứu
5.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu các tài liệu về tâm lý học, triết học, giáo dục học, các văn
kiện của đảng và nhà nước, các sách phương pháp dạy học, các tạp chí, các
cơng trình khoa học giáo dục .. liên quan đến đề tài.
- Phân tích chương trình SGK, SBT,SGV…
5.2. Nghiên cứu thực tiễn
Tìm hiểu thực tiễn về dạy học và biện pháp để bồi dưỡng năng lực giải
tốn phương trình lượng giác cho học sinh.
5.3. Thực nghiệm sư phạm
Nhằm kiểm định tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đề xuất
trong đề tài luận văn.


6. Đóng góp của luận văn
- Góp phần làm sáng tỏ cơ sở lý luận và biện pháp bồi dưỡng năng lực
giải toán cho học sinh trong dạy học toán.

- Kết quả nghiên cứu của đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên,
học sinh.
7. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung luận văn
gồm 3 chương:
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. Năng lực và năng lực Toán học
1.1.1. Năng lực .
1.1.2. Năng lực toán học.
1.1.3. Các quan điểm về cấu trúc năng lực toán học
1.1.3.1. Quan điểm của V.A. Krutexki
1.1.3.2. Quan điểm của A. N. Kôlmôgônôp
1.1.3.3. Quan điểm của A.I. Marcusevich
1.1.3.4. Quan điểm của X.I.Vacxbuôc
1.1.3.5. Quan điểm của B.V.Gơnhedencô
1.1.3.6. Quan điểm của Unescô
1.1.3.7. Quan điểm của một số tác giả khác
1.2. Năng lực giải Toán
1.2.1. Khái niệm.
1.2.2. Bản chất, các thành phần đặc trưng của năng lực giải tốn.
1.2.3. Các điều kiện để hình thành năng lực giải toán cho học sinh.
1.3. Một số thành tố của năng lực giải toán
1.3.1. Năng lực dự đoán vấn đề
1.3.2. Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ
1.3.3. Năng lực quy lạ về quen nhờ biến đổi về dạng tương tự


1.3.4. Năng lực nhìn nhận bài tốn dưới nhiều góc độ khác nhau
1.3.5. Năng lực phân chia trường hợp
1.3.6. Năng lực suy luận logic

1.3.7. Năng lực khái quát hóa
1.4. Dạy học giải bài tập toán
1.4.1. Bài Toán.
1.4.2. Dạy học giải bài tập toán trường PT.
1.5. Một số tồn tại trong việc bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh.
Kết luận chương 1.
Chương 2: Các biện pháp bồi dưỡng năng lực giải tốn cho học
sinh thơng qua dạy học nội dung Phương trình lượng giác lớp 11
2.1. Nguồn gốc của lượng giác
2.2. Thực trạng dạy và học phương trình lượng giác ở trường THPT
2.2.1. Thực trạng học phương trình lượng giác ở trường THPT
2.2.2. Thực trạng dạy phương trình lượng giác ở trường THPT
2.3. Nội dung chương trình lượng giác ở trường trung học phổ thơng
2.4. Các phương trình lượng giác thường gặp và cách giải
2.4.1. Phương trình lượng giác cơ bản
2.4.2. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
2.4.3. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
2.4.4. Phương trình bậc ba đối với một hàm số lượng giác
2.4.5. Phương trình đẳng cấp bậc nhất đối với sinx và cosx
2.4.6. Phương trình đẳng cấp bậc hai, bậc ba đối với sinx và cosx
2.4.7. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng đối với sinx và cosx
2.5. Định hướng xây dựng các biện pháp
2.6. Các biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh thơng
qua dạy học nội dung phương trình lượng giác lớp 11.


2.6.1. Rèn luyện cho học sinh kỹ năng thực hiện lược đồ G.polia trong
giải toán.
2.6.2. Hướng dẫn học sinh vận dụng một cách linh hoạt các công thức
lượng giác.

2.6.3. Tổ chức các hoạt động nhằm rèn luyện năng lực liên tưởng và huy động
kiến thức.
2.6.4. Sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản để giải một số dạng
phương trình lượng giác.
2.6.5. Rèn luyện năng lực phát hiện, phân tích và sửa chữa các sai lầm
trong quá trình giải phương trình lượng giác.
2.6.6. Khuyến khích các học sinh tìm nhiều lời giải cho một bài toán.
2.6.7. Sáng tạo bài toán mới.
Kết luận chương 2
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm
3.1. Mục đích của thực nghiệm sư phạm.
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm sư phạm.
3.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm.
3.5. Kết luận chương 3.
Kết luận chung.


CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Năng lực và năng lực toán học
1.1.1. Năng lực
Kết quả nghiên cứu của các cơng trình tâm lý học và giáo dục học cho
thấy, từ nền tảng là các khả năng ban đầu, trẻ em bước vào hoạt động. Qua
quá trình hoạt động mà dần hình thành cho mình những tri thức, kỹ năng, kỹ
xảo cần thiết và ngày càng phong phú, rồi từ đó nảy sinh những khả năng mới
với mức độ mới cao hơn. Đến một lúc nào đó, trẻ em đủ khả năng bên trong
để giải quyết những hoạt động ở những yêu cầu khác xuất hiện trong học tập
và cuộc sống thì lúc đó học sinh sẽ có được một năng lực nhất định. Dưới đây
là một số cách hiểu về năng lực:

+ Định nghĩa 1: Theo từ điển Tiếng Việt, năng lực là khả năng làm
việc tốt, nhờ có phẩm chất đạo đức và trình độ chun môn [29].
+) Định nghĩa 2: Năng lực là một tổ hợp những đặc điểm tâm lý của
con người, đáp ứng được yêu cầu của một hoạt động nhất định và là điều kiện
cần thiết để hồn thành có kết quả một số hoạt động nào đó [1].
+) Định nghĩa 3: Năng lực là những đặc điểm cá nhân của con người
đáp ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để
hoàn thành xuất sắc một số loại hoạt động nào đó [ 2].
+) Định nghĩa 4: Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo ra cho con người
khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao [25].
Như vậy, cả bốn định nghĩa đó đều có điểm chung là: năng lực chỉ nảy
sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyết vấn đề hay trước những yêu
cầu mới mẻ, và do đó nó gắn liền với tính sáng tạo, hiệu quả tuy nó có khác
nhau về mức độ (định nghĩa 3 gắn với mức độ hoàn thành xuất sắc).


Mọi năng lực của con người được biểu lộ ở những tiêu chí cơ bản như
tính dễ dàng, nhẹ nhàng, linh hoạt, thơng minh, tính nhanh nhẹn, hợp lý, sáng
tạo và độc đáo trong giải quyết nhiệm vụ, ...
Phần lớn các cơng trình nghiên cứu tâm lý học và giáo dục học đều
thừa nhận rằng con người có những năng lực khác nhau vì có những tố chất
riêng, tức là thừa nhận sự tồn tại của những tố chất tự nhiên của cá nhân
thuận lợi cho sự hình thành và phát triển của những năng lực khác nhau.

1.1.2. Năng lực toán học
Theo V. A. Krutecxki năng lực Toán học được hiểu theo hai ý nghĩa,
hai mức độ:
Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với
việc học Toán, đối với việc nắm giáo trình Tốn học ở trường phổ thơng, nắm
một cách nhanh và tốt các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng.

Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực hoạt
động sáng tạo Toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan có giá trị lớn
đối với xã hội loài người [9].
Giữa hai mức độ hoạt động tốn học đó khơng có một sự ngăn cách
tuyệt đối. Nói đến năng lực học tập Tốn không phải là không đề cập tới năng
lực sáng tạo. Có nhiều em học sinh có năng lực, đã nắm giáo trình Tốn học
một cách độc lập và sáng tạo, đã tự đặt và giải các bài tốn khơng phức tạp
lắm; đã tự tìm ra các con đường, các phương pháp sáng tạo để chứng minh
các định lý, độc lập suy ra các cơng thức, tự tìm ra các phương pháp giải độc
đáo những bài tốn khơng mẫu mực. Với mức độ học sinh trung bình và khá,
luận văn chỉ chủ yếu tiếp cận năng lực tốn học theo góc độ thứ nhất (năng
lực học toán). Sau đây là một số định nghĩa về năng lực toán học:
Định nghĩa 1: Năng lực Toán học là các đặc điểm tâm lý cá nhân
(trước hết là các đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động Toán


học và giúp cho việc nắm giáo trình tốn một cách sáng tạo, giúp cho việc
nắm một cách tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng và kỹ
xảo toán học [8, tr. 14].
Định nghĩa 2: Năng lực Toán học được hiểu là những đặc điểm tâm lý
cá nhân (trước hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng u cầu của
hoạt động tốn học, và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì là
nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo toán
học với tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng
và sâu sắc kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực tốn học.
Nói đến HS có năng lực Tốn học là nói đến HS có trí thơng minh
trong việc học tốn. Tất cả mọi HS đều có khả năng và phải nắm được
chương trình trung học, nhưng các khả năng đó khác nhau từ HS này qua HS
khác. Các khả năng này không phải cố định mà luôn thay đổi: Các năng lực
này không phải nhất thành bất biến mà hình thành và phát triển trong quá

trình học tập, luyện tập để nắm được hoạt động tương ứng; vì vậy, cần nghiên
cứu để nắm được bản chất của năng lực và các con đường hình thành, phát
triển, hồn thiện năng lực.
Tuy nhiên, ở mỗi người cũng có khác nhau về mức độ năng lực Toán
học. Do vậy, trong dạy học toán, vấn đề quan trọng là chọn lựa nội dung và
phương pháp thích hợp để sao cho mọi đối tượng HS đều được nâng cao dần
về mặt năng lực tốn học. Về vấn đề này nhà tốn học Xơ viết nổi tiếng, Viện
sĩ A. N. Kolmogorov cho rằng: “Năng lực bình thường của HS trung học đủ
để cho các em đó tiếp thu, nắm được Tốn học trong trường trung học với sự
hướng dẫn tốt của thầy giáo hay với sách tốt”.


1.1.3. Các quan điểm về cấu trúc năng lực toán học
1.1.3.1. Quan điểm của V. A. Krutecxki
V. A. Krutecxki – nguyên Phó Viện trưởng Viện nghiên cứu Tâm lý
học thuộc Viện Hàn lâm khoa học giáo dục Liên Xô trước đây, đã nghiên cứu
tâm lý năng lực toán học với cơng trình đồ sộ “Tâm lý năng lực tốn học” –
Luận án Tiến sĩ của ông được Hội đồng bác học Liên Xơ đánh giá rất cao.
Cơng trình là kết quả của việc nghiên cứu lý luận và thực tiễn, có tiến hành
thực nghiệm hết sức cơng phu, được tiến hành từ năm 1955 đến 1968. Ông đã
nghiên cứu sâu sắc về mặt lý luận, tham khảo hơn 747 tài liệu trong và ngồi
nước. Về mặt thực tiễn, Ơng đã quan sát tự nhiên; theo dõi sự phát triển của
HS có năng khiếu về tốn; thực nghiệm trên 157 học sinh giỏi, trung bình và
kém; nghiên cứu tình trạng học tập (qua tài liệu) về các bộ môn của khoảng
1000 học sinh từ lớp VII đến lớp X; tiến hành tọa đàm với 62 giáo viên dạy
toán; phỏng vấn bằng giấy đối với 56 giáo viên toán; phỏng vấn bằng giấy đối
với 21 nhà Toán học; nghiên cứu và phân tích tiểu sử của 84 nhà tốn học và
vật lý học nổi tiếng trong và ngồi nước .... Chính vì độ tin cậy trên về những
kết luận khoa học của V. A. Krutecxki nên Luận văn sẽ kế thừa kết quả và là
điểm tựa quan trọng về cơ sở khoa học của đề tài.

Kết quả chủ yếu và quan trọng nhất là Ơng đã chỉ ra cấu trúc năng lực
tốn học của học sinh bao gồm những thành phần sau (dựa theo quan điểm
của Lý thuyết thông tin):
* Về mặt thu nhận thơng tin tốn học
Đó là năng lực tri giác hình thức hố tài liệu tốn học, năng lực nắm
cấu trúc hình thức của bài tốn.
* Về mặt chế biến thơng tin tốn học
1) Năng lực tư duy lơgic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và không
gian, hệ thống ký hiệu số và dấu. Năng lực tư duy bằng các ký hiệu toán học;


2) Năng lực khái quát hóa nhanh và rộng các đối tượng, quan hệ toán
học và các phép toán;
3) Năng lực rút gọn q trình suy luận tốn học và hệ thống các phép
toán tương ứng. Năng lực tư duy bằng các cấu trúc rút gọn;
4) Tính linh hoạt của q trình tư duy trong hoạt động tốn học;
5) Khuynh hướng vươn tới tính rõ ràng, đơn giản, tiết kiệm, hợp lý của
lời giải;
6) Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phương hướng của quá
trình tư duy, năng lực chuyển từ tiến trình tư duy thuận sang tiến trình tư duy
đảo (trong suy luận tốn học).
* Về mặt lưu trữ thơng tin tốn học
Trí nhớ tốn học (trí nhớ khái quát về các: quan hệ toán học; đặc điểm
về loại; sơ đồ suy luận và chứng minh; phương pháp giải toán; nguyên tắc,
đường lối giải toán).
* Về thành phần tổng hợp khái qt
Khuynh hướng tốn học của trí tuệ.
Các thành phần nêu ở trên có quan hệ mật thiết lẫn nhau, ảnh hưởng lẫn
nhau và hợp thành hệ thống định nghĩa một cấu trúc toàn vẹn của năng lực
toán học.

Sơ đồ triển khai của cấu trúc năng lực tốn học có thể được biểu thị
bằng một cơng thức khác, cơ đọng hơn: Năng lực tốn học được đặc trưng bởi
tư duy khái quát, gọn, tắt và linh hoạt trong lĩnh vực các quan hệ toán học, hệ
thống ký hiệu số và dấu, và bởi khuynh hướng toán học của trí tuệ [8, tr. 170].
Cùng với cấu trúc nói trên, V. A. Krutecxki cũng đưa ra những gợi ý về
phương pháp bồi dưỡng năng lực toán học cho HS.


Nghiên cứu quan điểm của V. A. Krutecxki về năng lực tốn học, có
thể thấy một số vấn đề quan trọng sau:
+) Về mặt lý luận
1) Theo V. A. Krutecxki thì nói đến HS có năng lực tốn học là nói
đến HS có trí thơng minh trong việc học tốn;
2) Vấn đề năng lực chính là vấn đề khác biệt cá nhân. Khi nói về năng
lực tức là giả định rằng có sự khác biệt về những mặt nào đó giữa các cá
nhân, chẳng hạn về năng lực toán học . Điều quan trọng năng lực không chỉ là
bẩm sinh mà còn được phát sinh và phát triển trong hoạt động, trong đời sống
của mỗi cá nhân;
3) Khi nói đến năng lực tức là nói đến năng lực trong một loại hoạt
động nhất định của con người. Năng lực toán học cũng vậy, nó chỉ tồn tại
trong hoạt động tốn học và chỉ trên cơ sở phân tích hoạt động toán học mới
thấy được biểu hiện của năng lực toán học;
4) Hiệu quả hoạt động trong một lĩnh vực nào đó của con người thường
phụ thuộc vào một tổ hợp năng lực. Kết quả học tập Tốn cũng khơng nằm
ngồi quy luật đó, ngồi ra cịn phụ thuộc vào một số yếu tố khác, chẳng hạn
niềm say mê, thái độ chăm chỉ trong học tập, sự khuyến khích hỗ trợ của giáo
viên, của gia đình và xã hội.
* Về mặt thực tiễn
1) Trong lĩnh vực đào tạo con người phải nghiên cứu năng lực của mỗi
người trong lĩnh vực đào tạo, phải biết những phương pháp tốt nhất để bồi

dưỡng năng lực đó;
2) Năng lực tốn học là năng lực tạo thành các mối liên tưởng khái
quát, tắt, linh hoạt, ngược và hệ thống của chúng dựa trên tài liệu toán học.
Các năng lực đã nêu biểu hiện với các mức độ khác nhau ở các em học sinh
giỏi, trung bình, kém. Ở các em năng khiếu và giỏi thì các mối liên tưởng đó


được tạo thành ngay tức khắc sau một số ít bài tập, ở các em trung bình thì
muốn hình thành các mối liên tưởng phải cần cả một hệ thống bài tập và phải
có sự rèn luyện.
1.1.3.2. Quan điểm của A. N. Kôlmôgôrôv
Trong cuốn sách Về nghề nghiệp của nhà tốn học, A. N. Kơlmơgơrơv
đã chỉ ra rằng, năng lực ghi nhớ máy móc một số lượng lớn các sự kiện, công
thức, cộng và nhân nhẩm hàng dãy dài các số có nhiều chữ số khơng quan hệ
đến năng lực toán học. Trong thành phần các năng lực toán học, ông nêu ra:
1) Năng lực biến đổi thành thạo các biểu thức chữ phức tạp, năng lực
tìm kiếm các cách hay để giải các phương trình khơng phù hợp với qui tắc
giải thơng thường, hoặc như các nhà tốn học gọi là năng lực tính tốn hay
năng lực “angơrit”;
2) Trí tưởng tượng hình học hoặc “trực giác hình học”;
3) Nghệ thuật suy luận lôgic, được phân nhỏ hợp lý, tuần tự. Có thể nói
rằng tiêu chuẩn của sự trưởng thành lơgic cần thiết cho nhà tốn học là hiểu
ngun nhân quy nạp tốn học và có kỹ năng vận dụng nó một cách đúng đắn.
Ơng cịn nhấn mạnh rằng: các khía cạnh khác nhau của năng lực tốn
học thường được gặp trong các tổ hợp khác nhau và các năng lực này thường
bộc lộ rất sớm và đòi hỏi phải luyện tập liên tục.
1.1.3.3. Quan điểm của A. I. Marcusêvich
Viện sĩ A. I. Marcusêvich đã chỉ ra 6 phẩm chất sau đây của trí tuệ và
tính cách cần được giáo dục cùng với việc dạy Tốn:
1) Có kỹ năng biết tách ra cái bản chất của vấn đề và loại bỏ các chi

tiết không cơ bản (kỹ năng trừu tượng hoá);
2) Kỹ năng xây dựng được sơ đồ của hiện tượng sao cho trong đó chỉ
giữ lại những gì cần thiết cho việc giải thích vấn đề về mặt tốn học, đó chính


là các quan hệ thuộc, thứ tự, số lượng và độ đo, phân bố khơng gian (kỹ năng
sơ đồ hố);
3) Kỹ năng rút ra các hệ quả lôgic từ các tiên đề đã cho (tư duy suy diễn);
4) Kỹ năng phân tích vấn đề đã cho thành các trường hợp riêng, kỹ
năng phân biệt được khi nào chúng bao quát được mọi khả năng, khi nào
chúng chỉ là các ví dụ chứ không bao quát hết mọi khả năng;
5) Kỹ năng vận dụng các kết quả rút ra được từ các suy luận lý thuyết
cho các vấn đề cụ thể và đối chiếu các kết quả đó với các kết quả dự kiến, kỹ
năng đánh giá ảnh hưởng của việc thay đổi các điều kiện đến độ tin cậy của
các kết quả;
6) Khái quát hoá các kết quả nhận được và đặt ra những vấn đề mới ở
dạng khái quát.
1.1.3.4. Quan điểm của X. I. Svacxbuốc
X. I. Svacxbuốc sau khi khái quát hoá ý kiến của các nhà toán học, đã
nghiên cứu các yếu tố sau đây trong sự phát triển tốn học:
1) Các biểu tượng khơng gian;
2) Tư duy trừu tượng;
3) Chuyển thành sơ đồ toán học;
4) Tư duy suy diễn;
5) Phân tích, xem xét các trường hợp riêng;
6) Áp dụng các kết luận;
7) Tính phê phán;
8) Ngơn ngữ tốn học;
9) Kiên trì khi giải tốn.

1.1.3.5. Quan điểm của B. V. Gơnhedencô
Viện sĩ B. V. Gơnhedencơ trong một loạt bài báo đăng trên Tạp chí
“Tốn học trong nhà trường” trong các năm từ 1962 đến 1965 đã đưa ra các
tính chất sau đây của tư duy tốn học:
1) Năng lực nhìn thấy được tính khơng rõ ràng của suy luận, thấy được
sự thiếu vắng các mắt xích cần thiết của chứng minh;
2) Có thói quen lý giải lôgic một cách đầy đủ;
3) Chia nhỏ một cách rõ ràng tiến trình suy luận;
4) Sự cơ đọng;
5) Sự chính xác của kí hiệu.
1.1.3.6. Quan điểm của UNESCO
Theo quan điểm của Tổ chức UNESCO thì 10 yếu tố cơ bản của năng
lực tốn học đó là:
1) Năng lực phát biểu và tái hiện định nghĩa, kí hiệu, các phép tốn và
các khái niệm;
2) Năng lực tính nhanh, cẩn thận, và sử dụng các kí hiệu;
3) Năng lực dịch chuyển dữ kiện kí hiệu;
4) Năng lực biểu diễn dữ kiện bằng các kí hiệu;
5) Năng lực theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh;
6) Năng lực xây dựng một chứng minh;
7) Năng lực áp dụng quan niệm cho bài toán toán học;
8) Năng lực áp dụng cho bài tốn khơng tốn học;
9) Năng lực phân tích bài tốn và xác định các phép tốn có thể áp dụng;
10) Năng lực tìm cách khái qt hố tốn học.


1.1.3.7. Quan điểm của một số tác giả khác
* Quan điểm của E. L. Thorndike
So với các tác giả đề cập ở trên, khi nghiên cứu về năng lực toán học

của học sinh, E.L. Thorndike đã đi sâu vào lĩnh vực Đại số. Theo E. L.
Thorndike, những thành tố của năng lực Đại số gồm:
1) Năng lực hiểu và thiết lập công thức;
2) Năng lực biểu diễn các tương quan số lượng thành công thức;
3) Năng lực biến đổi công thức;
4) Năng lực thiết lập các phương trình biểu diễn các quan hệ số lượng
đã cho;
5) Năng lực giải phương trình;
6) Năng lực thực hiện các phép biến đổi đại số đồng nhất;
7) Năng lực biểu diễn bằng đồ thị phụ thuộc hàm của hai đại lượng.
* Quan điểm của G. Tơmac
G. Tơmac đưa ra cấu trúc năng lực tốn học bao gồm các thành tố sau:
1) Năng lực trừu tượng hóa;
2) Năng lực suy luận lơgic;
3) Tri giác đặc thù;
4) Có kỹ năng sử dụng các cơng thức;
5) Năng lực trực giác;
6) Trí tưởng tượng tốn học.
* Quan điểm của Pellery
1) Nhìn thấy những quan hệ, những điều cần phải phân biệt (chẳng
hạn giả thiết và kết luận);
2) Lưu trữ và dịch chuyển (qua lời, đồ thị và kí hiệu);


3) Năng lực theo dõi một số hướng suy luận;
4) Năng lực hiểu bài toán;
5) Năng lực theo dõi những con đường giải toán;
6) Khái quát hoá, mở rộng bằng tương tự. Tìm một mơ hình thích hợp
(trong các mơ hình đã biết);
7) Xây dựng một mơ hình tốn học có thể giải bài tốn;

8) Xây dựng một thuật tốn để giải toán.
1.2. Năng lực giải toán
1.2.1. Khái niệm
Theo Tâm lý năng lực Toán học của V.A.Kruchetxki: “Những năng
lực Toán học được hiểu là những đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết là
những đặc điểm của hoạt động trí tuệ) đáp ứng những yêu cầu của hoạt động
học tập toán, và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì là ngun
nhân của sự thành cơng trong việc nắm vững một cách sáng tạo toán học với
tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng, sâu
sắc những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực Toán học” [8].
Năng lực giải toán là một thành phần của năng lực Tốn học, được hình
thành, rèn luyện và phát triển chủ yếu thông qua hoạt động giải tốn. Do đó,
năng lực giải tốn có thể hiểu là những đặc điểm tâm lý cá nhân, đáp ứng cao
yêu cầu lĩnh hội tri thức, có khả năng độc lập huy động tri thức, kỹ năng, kinh
nghiệm trong hoạt động giải tốn, hướng đến việc góp phần hình thành, bồi
dưỡng và phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh.
1.2.2. Bản chất, các thành phần đặc trưng của năng lực giải toán
Nội dung của luận văn này chúng tơi chủ yếu nghiên cứu các bài tốn
có tính chất là một vấn đề, mà ở đó khâu khám phá giải quyết vấn đề là then
chốt. Với quan niệm: Ngay cả việc giải quyết một số bài toán đơn giản cũng


hàm chứa yếu tố sáng tạo, thể hiện được vai trị "khám phá" của học sinh, nó
phán ánh cho ta thấy khả năng hay năng lực giải toán của học sinh. Xin đưa ra
một số nét cơ bản về năng lực giải toán.
a) Bản chất của năng lực giải toán
Năng lực giải tốn gồm có các thành tố :
- Hiểu rõ và giới hạn phạm vi của bài toán. Đối với các bài tốn là vấn
đề thì xác định rõ vấn đề trong các tình huống cần phải giải quyết, ln nhìn
bài tốn ở nhiều góc độ và tìm tịi các hướng giải mới lạ.

- Xác định các mối liên hệ giữa các thành phần chính trong bài tốn, xử
lý sự liên kết, phối hợp các tình huống bằng cách thức gắn bó các vấn đề cần
giải quyết. Đề ra chiến lược giải và hoàn tất việc giải quyết bài tốn một cách
thích hợp đi đến kết quả của tiến trình giải tốn. Phân tích, nghiên cứu, đánh
giá kết quả của tiến trình giải tốn.
- Có khả năng dự đốn các tình huống bài tốn sẽ nảy sinh cùng với các
chiến lược giải và lựa chọn phương pháp giải thích hợp, đây là q trình thu
nhận hợp thức hố bài tốn.
Các mơn học ở trường THPT đều huy động đến năng lực giải tốn trong
q trình tiếp thu kiến thức mới. Dạy học giải toán với tư cách là một nghệ
thuật, dù ở môn học này hay môn học khác đều phải địi hỏi học sinh và giáo
viên có sự linh hoạt, mềm dẻo trong tư duy dựa trên sự hiểu biết xuyên suốt về
bản chất của năng lực giải toán.
b) Các thành phần của năng lực giải toán
Các thành phần của năng lực giải toán gồm cả 3 lĩnh vực: Lĩnh vực
nhận thức, lĩnh vực cảm xúc và lĩnh vực trí tuệ. Ba lĩnh vực kết cấu này được
cụ thể hóa thành các thành tố và các mối liên hệ giữa chúng, tạo nên một cấu
trúc của năng lực giải toán gồm:


- Lĩnh vực cảm xúc: Có khát vọng giải được bài tốn thể hiện ở sự kiên
trì về mặt ý chí và hứng thú, say mê trong giải tốn nói riêng và học tốn nói
chung.
- Lĩnh vực nhận thức:
+ Có năng lực nhận thức và tổ chức hoạt động nhận thức trong giải
toán: Hiểu bài toán (thu nhận, chế biến, lưu trữ thơng tin... ), lĩnh hội nhanh
chóng tiến trình giải một bài toán và các tri thức trong tiến trình giải tốn.
+ Có năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, phân tích bài tốn, có khả
năng xây dựng mơ hình Tốn học, xây dựng kế hoạch giải và tiến hành chiến
thuật giải một bài tốn.

+ Có năng lực khái quát hóa, phát hiện các vấn đề mới trong các vấn đề
quen thuộc. Từ đó đề xuất và sáng tạo các bài tốn mới, thu nhận hợp thức
hóa bài toán thành tri thức của người dạy toán.
- Lĩnh vực trí tuệ:
+ Có năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài tốn, tri giác hệ thống
hóa kiến thức về giải toán, năng lực tư duy bằng các cấu trúc rút gọn có thiên
hướng về thao tác với các số liệu về giải toán: Ký hiệu dấu, số, dữ liệu điều
kiện, giả thiết, kết luận...
+ Biểu lộ sự phát triển mạnh, linh hoạt của tư duy lôgic, tư duy sáng tạo.
Có tốc độ tư duy nhanh biểu hiện rõ nét của tư duy độc lập, mềm dẻo trong giải
toán.
Tập hợp các thành phần của năng lực giải toán là một thể thống nhất.
Các thành phần trên có liên quan chặt chẽ và ảnh hưởng lẫn nhau, tạo thành
một hệ thống, một cấu trúc của năng lực giải toán; việc phân tách thành 3 lĩnh
vực cụ thể cũng chỉ nhằm để hiểu rõ sâu sắc hơn chứ không xem xét chúng
một cách tách biệt nhau. Trong các thành phần nêu trên thì năng lực phát hiện
và giải quyết vấn đề là năng lực đặc thù, là một bộ phận quan trọng của năng


lực giải tốn. Nắm được điểm then chốt này có tác dụng quyết định trong việc
rèn luyện năng lực giải tốn cho học sinh trong q trình lĩnh hội tri thức .
c) Đặc trưng của năng lực giải toán
Là tập hợp tất cả những nét riêng biệt và tiêu biểu được xem là dấu hiệu
để phân biệt với các năng lực khác, gồm:
- Năng lực giải toán là một dạng năng lực hoạt động của cá nhân được
nảy sinh, xuất hiện trước những tình huống có vấn đề, có nhu cầu hay mâu
thuẫn cần giải quyết; được hiểu là một biểu hiện của năng lực khám phá trong
quá trình giải một bài toán cụ thể.
- Năng lực giải toán được đặc trưng bởi hoạt động tư duy tích cực, độc
lập, sáng tạo của học sinh; tận lực huy động tri thức và kinh nghiệm trong tiến

trình giải tốn để đi đến lời giải; để tìm được hướng giải quyết bài toán đã cho
và xác định hướng giải các bài toán mới có từ bài tốn ban đầu.
- Năng lực giải tốn của chủ thể (học sinh) ln thể hiện ở "Trạng thái
động" bởi tính linh hoạt, mềm dẻo thích ứng của tư duy và thay đổi các
phương thức khác nhau để khám phá cách giải bài toán.
- Năng lực giải tốn được đặc trưng bởi tính hướng đích và tính kết quả
cao: Phát hiện, tiếp cận vấn đề, huy động mọi kiến thức để đi đến kết quả bài toán.
Tiến trình giải một bài tốn cụ thể có 3 mức độ của năng lực giải toán :
+ Mức độ 1: Tập trung vào sự đáp ứng những yêu cầu mà bài tốn đặt ra
(đối với học sinh trung bình với biểu hiện chưa rõ nét của năng lực giải toán).
+ Mức độ 2: Tập trung vào sự lựa chọn những tri thức và phương pháp
giải tốn thích hợp; việc sử dụng có hiệu quả những tri thức và phương pháp
đó để hồn tất tiến trình giải tốn (đối với học sinh khá nắm được bản chất
của năng lực giải toán, vận dụng cụ thể, sáng tạo các thành phần của năng lực
giải toán).


+ Mức độ 3: Tập trung vào việc tiên liệu những điều kiện đã làm nảy
sinh các vấn đề khó khăn hay mâu thuẫn cần giải quyết trong bài toán và việc
"phán xét", cách tiếp cận, giải quyết các vấn đề trong tiến trình giải tốn (điều
này thể hiện năng lực giải toán ở học sinh khá giỏi). Năng lực giải tốn cịn thể
hiện ở khả năng khái qt hóa từ bài toán cụ thể đến bài toán tổng quát, từ bài
tốn có một số yếu tố tổng qt đến bài tốn có nhiều yếu tố tổng qt, nhờ
các thao tác trí tuệ: phân tích, so sánh, tổng hợp, tương tự, trừu tượng, hệ
thống hóa, đặc biệt hóa.
1.2.3. Các điều kiện để hình thành năng lực giải tốn cho học sinh
Trong dạy học giải tốn, giải bài tập cịn được hiểu là hoạt động sáng
tạo, hoạt động "tìm kiếm", "khám phá" và "phát minh" được quy định bởi các
điều kiện sau:
- Điều kiện chung: Trong tiến trình giải tốn thì hoạt động giải tốn

của học sinh được tích cực hóa trước một tình huống có vấn đề, dưới ảnh
hưởng của các câu hỏi có vấn đề, các tình huống nảy sinh vấn đề; các bài tốn
có tình huống, trên cơ sở đó học sinh tiến hành giải quyết vấn đề theo 5 bước
của tiến trình giải tốn theo ngun tắc "Thầy chủ đạo - Trò chủ động".
- Điều kiện bên ngoài: Nhấn mạnh các tác động khách quan (giáo viên,
phương tiện, mơi trường) có ảnh hưởng tích cực đến q trình giải tốn của
học sinh. Xuất phát từ đặc điểm hoạt động sáng tạo, khám phá của học sinh
thì "Hoạt động của học sinh mang tính tích cực cao trong một mơi trường có
dụng ý sư phạm dưới tác động chủ đạo của giáo viên" [13]. Người giáo viên
với cấu trúc nhân cách và năng lực sư phạm của mình, trong quá trình dạy học
định hướng cho học sinh chiếm lĩnh tri thức bằng hoạt động giải toán.
- Điều kiện bên trong: Phản ánh nội lực của quá trình hình thành, phát
triển năng lực giải toán, tự giác chủ động khám phá và giải quyết vấn đề, có ý
thức ứng dụng các kiến thức và kỹ năng thu nhận được vào các tình huống đặt


ra, trở thành vị trí chủ thể của q trình nhận thức, từ người "tiêu thụ" kiến
thức thành người "sản sinh" ra kiến thức.
Như vậy các điều kiện trên cho phép khẳng định:
Một là hoạt động giải toán của học sinh trên cơ sở tự lực giải quyết các
vấn đề, theo nghĩa : "Vấn đề nhận thức đặc trưng ở chỗ nó đưa học sinh ra
ngồi giới hạn của những kiến thức vốn có, bao hàm một cái gì chưa biết, địi
hỏi phải có sự tìm tịi sáng tạo" [15].
Hai là tính tích cực của học sinh theo chu trình: Học sinh khám phá, tự
nghiên cứu (giáo viên hướng dẫn, cung cấp thông tin ); Học sinh tự trả lời, tự
thể hiện (giáo viên làm trọng tài); Học sinh hành động, tự kiểm tra, tự điều
chỉnh (giáo viên hướng dẫn); Chu trình này dựa trên nguyên tắc : "Giáo viên
xác định từ trước một cách chính xác bước đi sao cho sự nỗ lực tìm tịi của
các em được đúng hướng và tập trung giải quyết vấn đề cơ bản" [21]. Bàn về
năng lực, cũng có nhiều ý kiến cho rằng: năng lực là do thượng đế ban cho.

Song nhiều ý kiến cho rằng đó chỉ là một phần nhỏ, cịn phần nhiều là do sự
tích lũy, sự bồi đắp, sự học hỏi, rèn luyện mà có. Q trình học tập học sinh
sẽ được bổ sung các kiến thức, được trang bị các phương pháp, từ đó năng lực
giải tốn được nâng lên. Một phần do học sinh tự tích lũy thêm năng lực của
mình, một phần do các thầy cô giáo hướng dẫn, rèn luyện, bồi dưỡng.
1.3. Một số thành tố của năng lực giải toán
1.3.1. Năng lực dự đốn vấn đề
Khi kiểm tra một tình huống hoặc tiến hành theo dõi liên tục trong một
quãng thời gian, sau đó đưa ra ý kiến nhận xét về những gì có khả năng xảy ra
thì ta đã làm cơng việc dự đốn. Để có dự đốn mang tính chuẩn xác cao, cần
phải xem xét các bằng chứng một cách cẩn thận trước khi đưa ra điều dự đốn
của mình.


Theo Đào Văn Trung mơ tả: “Dự đốn là một phương pháp tư tưởng
được ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu khoa học. Đó là căn cứ vào các
nguyên lý và sự thật đã biết để nêu lên những hiện tượng và quy luật chưa
biết. Hay, dự đoán là sự nhảy vọt từ giả thuyết sang kết luận” [26].
Dự đoán có vai trị quan trọng trong khoa học, trong cuộc sống, vậy
liệu có cách nào học được dự đốn hay khơng? Theo G.Polia thì “...trừ những
người được trời phú cho năng khiếu tự nhiên, còn lại chúng ta cần phải học
tập để có được năng khiếu dự đốn đó. Q trình dự đốn có kết quả khi phán
đốn mà chúng ta đưa ra gần với chân lý nhất, cần nghiên cứu dự đốn của
mình, so sánh chúng với các sự kiện, đổi dạng chúng đi nếu cần, và như vậy
sẽ có kinh nghiệm phong phú (và sâu sắc) về các dự đoán sai và các dự đoán
đúng. Những dự đoán có thể rất táo bạo nhưng phải có căn cứ dựa trên những
qui tắc, kinh nghiệm nhất định chứ không phải là đốn mị, càng khơng phải
là nghĩ liều” [9].
Để có năng lực dự đốn, phát hiện vấn đề thì điều kiện tiên quyết là HS
phải giải thật nhiều dạng tốn, phải biết tích luỹ kinh nghiệm. Họ cần phải

được rèn luyện các năng lực thành tố như: Năng lực xem xét các đối tượng
Toán học, năng lực tư duy biện chứng; năng lực so sánh, phân tích, tổng hợp,
đặc biệt hoá, tổng quát hoá; năng lực liên tưởng các đối tượng, quan hệ đã
biết với các đối tượng tương tự, quan hệ tương tự.
1.3.2. Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ
Đứng trước một vấn đề, học sinh có thể gặp khó khăn khi tìm cách giải
quyết hoặc là muốn có nhiều cách giải quyết khác nhau. Một trong những
phương án có thể đáp ứng được nhu cầu đó là năng lực chuyển đổi ngơn ngữ
của bài tốn.


Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ là một trong những năng lực quan trọng
để huy động kiến thức đối với việc giải tốn. Nó được thể hiện qua các hoạt
động như:
- Hoạt động chuyển đổi ngơn ngữ nhìn nhận một nội dung tốn học
theo mối liên hệ liên mơn: đại số hố, hình học hố, lượng giác hố,...
- Hoạt động chuyển đổi ngơn ngữ trong nội tại tốn học: từ ngôn ngữ
đại số sang ngôn ngữ lượng giác và ngược lại, hoặc từ ngơn ngữ đại số sang
ngơn ngữ hình học và ngược lại…Trong hình học có sự chuyển đổi từ ngôn
ngữ tổng hợp sang ngôn ngữ véc tơ, ngôn ngữ tọa độ, ngơn ngữ biến hình và
ngược lại.
Việc chuyển đổi ngơn ngữ có thực hiện được hay khơng cịn phụ thuộc
vào kỹ năng phân tích bài tốn tức là bài tốn đó có thể chuyển sang được
ngơn ngữ nào. Tuy nhiên khơng phải bài tốn nào cũng chuyển đổi được ngôn
ngữ. Nếu sự “phiên dịch”khả thi sẽ giúp học sinh rèn luyện được tư duy linh
hoạt và sáng tạo; ngồi ra năng lực chuyển đổi ngơn ngữ cịn giúp học sinh có
thêm những định hướng, những đường lối cho việc tìm tịi nhiều phương
pháp, nhiều cách giải khác nhau, giúp bồi dưỡng năng lực giải tốn nói riêng
và năng lực tốn học nói chung.
1.3.3. Năng lực quy lạ về quen nhờ biến đổi về dạng tương tự

Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó, trong tốn học hai bài toán
được gọi là tương tự nhau nếu hoặc chúng có cùng phương pháp giải; hoặc
cùng giả thiết, hoặc cùng kết luận; hoặc được đề cập đến những vấn đề giống
nhau, những đối tượng có tính chất giống nhau. Khai thác chức năng của bài
tập tương tự là một trong những việc làm quan trọng trong dạy học bởi nó có
vai trị khắc sâu kiến thức đã học, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo.
Biến đổi về dạng tương tự là một hoạt động biến đổi đối tượng, hoạt
động này thể hiện trong tiến trình người giải tốn phải làm bộc lộ đối tượng