Không gian mêtric nón và sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH





CAO THỊ TỪ TÂM




KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN VÀ
SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA
CÁC ÁNH XẠ TƯƠNG THÍCH YẾU






LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
CAO THỊ TỪ TÂM
KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN VÀ
SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ
TƯƠNG THÍCH YẾU
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Cán bộ hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. ĐINH HUY HOÀNG
NGHỆ AN - 2014
MỤC LỤC
Lời nói đầu 2
1 Không gian mêtric nón 4
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Nón trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Không gian mêtric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu
trong không gian mêtric nón 19
2.1 Một số kết quả đã có về sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh
xạ tương thích yếu trong không gian mêtric nón . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Vài mở rộng của một số kết quả trong các tài liệu [4], [5] . . . . . . . 27
Kết luận 37
Tài liệu tham khảo 38
+++
1

LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết điểm bất động là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của
giải tích, nó được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm. Nguyên lý
ánh xạ co Banach (1922) trong không gian mêtric đầy đủ là kết quả quan trọng đầu
tiên trong lý thuyết điểm bất động. Sau đó, người ta đã mở rộng nguyên lý này cho
nhiều loại ánh xạ và nhiều loại không gian.
Vào năm 2007, Huang Long - Zhang Xian [5] đã thay tập số thực trong định
nghĩa mêtric bởi một nón định hướng trong không gian Banach và đã thu được khái
niệm mới tổng quát hơn đó là khái niệm không gian mêtric nón. Từ đó, nguyên lý
điểm bất động của ánh xạ co trong không gian mêtric nón đầy đủ đã được chứng
minh. Vấn đề về sự tồn tại điểm bất động và bất động chung của các ánh xạ co
trong không gian mêtric nón được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và thu
được nhiều kết quả [3, 4, 5, 6].
Để tập dượt nghiên cứu khoa học, chúng tôi tiếp cận hướng nghiên cứu này. Tìm
hiểu, nghiên cứu các tính chất của không gian mêtric nón, các kết quả về sự tồn tại
điểm bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu trong không gian mêtric nón.
Với mục đích đó, luận văn được chia làm hai chương
Chương 1. Không gian mêtric nón
Trong chương này, trình bày một số khái niệm và kết quả về không gian tôpô,
không gian mêtric, không gian Banach, ánh xạ liên tục ; các định nghĩa, ví dụ
và một số tính chất của nón và không gian mêtric nón mà chúng được dùng trong
chương hai.
Chương 2. Sự tồn tại điểm bất động chung của ánh xạ tương thích
yếu trong không gian mêtric nón
Đây là nội dung chính của luận văn. Trong mục 2.1 chúng tôi trình bày một số
kết quả về sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu trong
không gian mêtric nón. Các kết quả này đã có trong các tài liệu tham khảo nhưng
2
với giả thiết mêtric nón nhận giá trị trong nón chuẩn tắc. Chúng tôi chứng minh
các kết quả này vẫn đúng trong không gian mêtric nón mà không cần giả thiết nón

chuẩn tắc, đó là các Định lý 2.1.1, 2.1.3, 2.1.4, 2.1.5. Trong mục thứ 2, chúng tôi
đưa ra một số kết quả mới về sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ tương
thích yếu đó là Định lý 2.2.1, 2.2.3, các Hệ quả 2.2.4, 2.2.5, 2.2.6, 2.2.8 và 2.2.9.
Các kết quả này là mở rộng của một số kết quả trong các tài liệu tham khảo [4,
5, 6]. Cuối cùng chúng tôi đưa ra Ví dụ 2.2.10 chứng tỏ kết quả của chúng tôi thực
sự tổng quát hơn một số kết quả trong [4]
Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình
và nghiêm khắc của PGS.TS. Đinh Huy Hoàng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc của mình đến Thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm Khoa Sau đại học, Ban Chủ
nhiệm Khoa Toán - Trường Đại học Vinh.
Tác giả xin được cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo Tổ Giải tích trong Khoa Toán
- Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời
gian học tập.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè trong lớp Cao học 20 -
Chuyên ngành Giải Tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá
trình học tập và nghiên cứu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn có thể không tránh khỏi những
thiếu sót. Kính mong quý Thầy Cô và bạn bè đóng góp ý kiến để luận văn được
hoàn thiện hơn.
Thành phố Vinh, tháng 6 năm 2014
Tác giả
3
CHƯƠNG 1
KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN
1.1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Mục này trình bày một số khái niệm và các kết quả cơ bản về không gian mêtric,
quan hệ thứ tự bộ phận, điểm bất động, cặp ánh xạ tương thích yếu, . cần dùng
trong luận văn.
1.1.1 Định nghĩa. ([3]) Cho tập hợp X. Họ T các tập con của X gọi là tôpô trên

X nếu thỏa mãn các điều kiện
(T
1
) ∅ và X ∈ T ;
(T
2
) Nếu G
i
∈ T , i ∈ I thì

i∈I
G
i
∈ T ;
(T
3
) Nếu G
1
, G
2
∈ T thì G
1
∩ G
2
∈ T .
Tập hợp X cùng với tôpô T trên nó được gọi là không gian tôpô và ký hiệu là
(X, T ) hoặc X.
Các phần tử của X được gọi là điểm của không gian tôpô.
Các phần tử thuộc T được gọi là tập mở.
Giả sử A ⊂ X. Tập A được gọi là đóng nếu X\A là mở.

1.1.2 Định nghĩa. ([3]) Cho không gian tôpô X, tập con A của X được gọi là lân
cận của điểm x ∈ X nếu tồn tại tập mở V ⊂ X sao cho x ∈ V ⊆ A.
Cho không gian tôpô X, x ∈ X và U(x) là họ tất cả các lân cận của x. Họ
B(x) ⊂ U(x) được gọi là cơ sở lân cận tại x nếu với mọi U ∈ U(x) tồn tại V ∈ B(x)
sao cho V ⊂ U.
4
1.1.3 Định nghĩa. ([3]) Dãy {x
n
} trong không gian tôpô X được gọi là hội tụ tới
x ∈ X nếu với mỗi lân cận U của x tồn tại n
0
∈ N sao cho
x
n
∈ U với mọi n ≥ n
0
.
Khi đó, ta viết x
n
→ x hoặc lim
n→ ∞
x
n
= x.
1.1.4 Định nghĩa. ([3]) Không gian tôpô X được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được
thứ nhất nếu tại mỗi điểm x ∈ X có một cơ sở lân cận B(x) có lực lượng đếm được.
Không gian tôpô X được gọi là T
1
- không gian nếu với mọi x, y ∈ X, x = y tồn
tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho y /∈ U và x /∈ V.

Không gian tôpô X được gọi là T
2
- không gian hay không gian Hausdorff nếu
hai điểm bất kỳ x, y ∈ X, x = y tồn tại các lân cận tương ứng U
x
, U
y
của x và y sao
cho U
x
∩ U
y
= ∅.
Nếu X là không gian Hausdorff thì mỗi dãy trong X mà hội tụ thì hội tụ tới
một điểm duy nhất.
1.1.5 Định nghĩa. ([3]) Giả sử X, Y là hai không gian tôpô và ánh xạ f : X → Y .
Ánh xạ f được gọi là liên tục tại điểm x ∈ X nếu với mỗi lân cận V của f(x), tồn
tại lân cận U của x sao cho f (U) ⊂ V . Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X (nói
gọn là liên tục) nếu nó liên tục tại mọi điểm của X.
1.1.6 Định lý. ([3]) Giả sử X và Y là các không gian tôpô, ánh xạ f : X → Y. Khi
đó các điều kiện sau đây tương đương
1) f liên tục trên X;
2) Nếu E là tập mở trong Y thì f
−1
(E) mở trong X;
3) Nếu E là tập đóng trong Y thì f
−1
(E) đóng trong X.
1.1.7 Định nghĩa. ([3]) Giả sử X là tập khác rỗng và ánh xạ d : X × X → R. Ánh
xạ d được gọi là mêtric trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;
(ii) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X;
5
(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X.
Tập hợp X cùng với một mêtric trên nó được gọi là không gian mêtric và ký hiệu
là (X, d) hay X.
1.1.8 Định nghĩa. ([3]) Cho X là không gian mêtric. Một dãy {x
n
} trong X được
gọi là dãy Cauchy nếu với mọi  > 0, tồn tại n
0
∈ N sao cho với mọi n và m ≥ n
0
thì d(x
n
, x
m
) < .
Mọi dãy hội tụ là dãy Cauchy.
Không gian mêtric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội
tụ.
Tập con A ⊂ X được gọi là tập đầy đủ nếu nó đầy đủ với mêtric cảm sinh, nói
cách khác mọi dãy Cauchy trong A đều hội tụ tới điểm thuộc A.
Mọi tập con đầy đủ trong không gian mêtric là tập đóng, mọi tập con đóng của
một không gian mêtric đầy đủ là tập đầy đủ.
1.1.9 Định nghĩa. ([3]) Giả sử E là không gian vectơ trên trường K = R hoặc
K = C. Hàm p : E → R được gọi là chuẩn trên E nếu thỏa mãn các điều kiện sau
(i) p(x) ≥ 0, ∀x ∈ E và p(x) = 0 ⇔ x = 0;
(ii) p(λx) = |λ| p(x), ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K;
(iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) ∀x, y ∈ E.

Số p(x) được gọi là chuẩn của vectơ x ∈ E. Ta thường kí hiệu chuẩn của x là
||x||. Không gian vectơ E cùng với một chuẩn xác định trên nó được gọi là không
gian định chuẩn.
1.1.10 Mệnh đề. Nếu E là không gian định chuẩn thì công thức
d(x, y) = ||x − y||, ∀x, y ∈ E,
xác định một mêtric trên E.
Ta gọi mêtric này là mêtric sinh bởi chuẩn hay mêtric chuẩn.
Một không gian định chuẩn và là không gian mêtric đầy đủ theo mêtric sinh bởi
chuẩn được gọi là không gian Banach.
6
1.1.11 Định lý. ([2]) Nếu E là không gian định chuẩn thì ánh xạ chuẩn
x → ||x|| , ∀x ∈ E,
phép cộng
(x, y) → x + y, ∀(x, y) ∈ E × E,
và phép nhân với vô hướng
(λ, x) → λx, với mọi (λ, x) ∈ K × E
là các ánh xạ liên tục.
1.1.12 Định lý. ([2]) Giả sử E là không gian định chuẩn. Khi đó, với mỗi a ∈ E
và mỗi λ ∈ K, λ = 0 các ánh xạ
x → x + a, x → λx, ∀x ∈ E
là các phép đồng phôi E lên E.
1.1.13 Định nghĩa. Cho X là một tập khác rỗng. Quan hệ hai ngôi ≤ được gọi là
thứ tự bộ phận trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau
(i) x ≤ x với mọi x ∈ X;
(ii) Từ x ≤ y và y ≤ x suy ra x = y với mọi x, y ∈ X;
(iii) x ≤ y; y ≤ z suy ra x ≤ z với mọi x, y, z ∈ X.
Tập hợp X cùng với một thứ tự bộ phận trên nó được gọi là tập sắp thứ tự bộ
phận và ký hiệu (X, ≤) hoặc X.
1.1.14 Định nghĩa. Giả sử "≤" là một quan hệ hai ngôi trên X và A ⊆ X.
Phần tử x ∈ X được gọi là cận trên (tương ứng cận dưới) của A nếu a ≤ x

(tương ứng x ≤ a) với mọi phần tử a ∈ A.
Phần tử x ∈ X được gọi là cận trên đúng (tương ứng cận dưới đúng) của A nếu
x là một cận trên (tương ứng cận dưới) của A và nếu y cũng là một cận trên (tương
ứng cận dưới) của A thì x ≤ y (tương ứng y ≤ x). Khi đó, ta kí hiệu x = sup A
(tương ứng x = inf A).
7
1.1.15 Định nghĩa. ([5]) Giả sử X là một tập khác rỗng và các ánh xạ f, g : X → X.
Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của ánh xạ f nếu fx = x.
Điểm x ∈ X được gọi là điểm chung của các ánh xạ f và g nếu fx = gx. Khi
đó, w = fx = gx được gọi là giá trị chung của các ánh xạ f và g.
Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động chung của các ánh xạ f, g nếu fx = gx =
x.
Hai ánh xạ f và g được gọi là cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên nếu tồn
tại điểm chung x ∈ X sao cho f và g giao hoán tại x, nghĩa là tồn tại x ∈ X sao
cho fx = gx và fgx = gfx. Nếu f, g giao hoán tại mọi điểm chung thì chúng được
được gọi là cặp ánh xạ tương thích yếu.
1.1.16 Mệnh đề. ([5]) Giả sử X là một tập hợp khác rỗng và f, g : X → X là cặp
ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên của X. Nếu f, g có duy nhất một giá trị chung
w = fx = gx thì w cũng là điểm bất động chung duy nhất của f và g.
1.2. NÓN TRONG KHÔNG GIAN BANACH
Mục này trình bày định nghĩa, ví dụ và các tính chất cơ bản của nón trong không
gian Banach.
1.2.1 Định nghĩa. ([6]) Giả sử E là không gian Banach trên trường số thực R.
Một tập con P của E được gọi là nón trong E nếu:
(i) P là đóng trong E, P = ∅, P = {0};
(ii) Với a, b ∈ R, a, b ≥ 0 và x, y ∈ P thì ax + by ∈ P ;
(iii) Nếu x ∈ P và −x ∈ P thì x = 0.
Giả sử P là một nón trong không gian Banach E. Ta xác định quan hệ thứ tự
bộ phận "≤" trên E tương ứng với P bởi x ≤ y nếu và chỉ nếu y − x ∈ P. Ta viết
x < y nếu x ≤ y và x = y và viết x  y nếu y − x ∈ intP, trong đó intP là phần

trong của P.
1.2.2 Ví dụ. 1) Trong không gian Banach các số thực R với chuẩn thông thường,
tập P = {x ∈ R : x ≥ 0} là một nón.
8
2) Giả sử E = R
2
, P = {(x, y) ∈ E : x, y ≥ 0} ⊂ R
2
. Khi đó, P thỏa mãn ba điều
kiện
(i) P là đóng trong E, P = ∅, P = {0};
(ii) Với mọi (x, y), (u, v) ∈ P và mọi a, b ∈ R, a, b ≥ 0 ta có
a(x, y) + b(u, v) ∈ P ;
(iii) Với (x, y) ∈ P và (−x, −y) ∈ P ta có (x, y) = (0, 0).
Vậy P là một nón trên E.
3) Giả sử C
[a,b]
là tập tất cả các hàm số nhận giá trị thực liên tục trên [a, b]. Ta
đã biết C
[a,b]
là không gian Banach với chuẩn
f = sup
x∈[a,b]
|f(x)| ∀f ∈ C
[a,b]
.
Trên C
[a,b]
có quan hệ thứ tự bộ phận thông thường ≤ được xác định bởi f, g ∈ C
[a,b]

,
f ≤ g ⇔ f(x) ≤ g(x) ∀x ∈ [a, b].
Đặt
P = {f ∈ C
[a;b]
: 0 ≤ f}.
Khi đó, P thỏa mãn 3 điều kiện
(i) P là tập đóng, P = ∅, P = {0};
(ii) Với mọi a, b ∈ R, a, b ≥ 0 và mọi f, g ∈ P ta có
0 ≤ af(x) + bg(x) ∀x ∈ [a, b].
Do đó af + bg ∈ P ;
(iii) Với f ∈ P và −f ∈ P ta có f = 0.
Vậy P là một nón trên E.
9
1.2.3 Định nghĩa. ([6]) Cho P là một nón trong không gian Banach E.
Nón P được gọi là nón chuẩn tắc nếu tồn tại số thực k > 0 sao cho với mọi
x, y ∈ E và 0 ≤ x ≤ y ta có ||x|| ≤ k ||y|| . Số thực dương k nhỏ nhất thỏa mãn điều
kiện này được gọi là hằng số chuẩn tắc của P.
1.2.4 Bổ đề. ([6]) Giả sử P là nón trong không gian Banach E; a, b, c ∈ E;
{x
n
} , {y
n
} là các dãy trong E và α là số thực dương. Khi đó,
1) Nếu a  b và b  c thì a  c;
2) Nếu a ≤ b và b  c thì a  c;
3) Nếu a  b, c  d thì a + c  b + d;
4) αintP ⊂ intP ;
5) Với mỗi δ > 0 và x ∈ intP tồn tại 0 < γ < 1 sao cho ||γx|| < δ;
6) Với mỗi c

1
∈ intP và c
2
∈ P tồn tại d ∈ intP sao cho c
1
 d và c
2
 d;
7) Với mỗi c
1
, c
2
∈ intP tồn tại e ∈ intP sao cho e  c
1
và e  c
2
;
8) Nếu a ∈ P và a ≤ x với mọi x ∈ intP thì a = 0;
9) Nếu a ≤ λa với a ∈ P, 0 < λ < 1 thì a = 0;
10) Nếu 0 ≤ x
n
≤ y
n
với mỗi n ∈ N và lim
n→∞
x
n
= x, lim
n→∞
y

n
= y thì 0 ≤ x ≤ y.
Chứng minh. 1) Do phép cộng liên tục trong E và P + P = P nên ta có intP +
intP ⊂ intP . Từ giả thiết a  b và b  c ta có b − a ∈ intP và c − b ∈ intP. Suy
ra (b − a) + (c − b) ∈ intP + intP ⊂ intP hay c − a ∈ intP. Vậy a  c.
2) Theo giả thiết a ≤ b và b  c ta có b − a ∈ P và c − b ∈ intP . Suy ra
(b − a) + (c − b) ∈ P + intP hay c − a =

x∈P
(x + intP ), mà (x + intP ) mở nên

x∈P
(x + intP ) mở. Mặt khác, do x ∈ P và intP ⊂ P nên x + intP ⊂ P , suy ra

x∈P
(x + intP ) ⊂ intP . Do đó c − a ∈ intP. Vậy a  c.
10
3) Ta có a  b và c  d nên b−a ∈ intP và d−c ∈ intP suy ra (b−a)+(d−c) ∈
intP hay (b + d) − (a + c) ∈ intP. Vậy a + c  b + d.
4) Vì phép nhân vô hướng liên tục và αP = P nên αintP ⊂ intP với mọi α > 0.
5) Với mỗi δ > 0 và x ∈ intP , ta chọn số γ =
δ
||x|| + δ
. Do x ∈ intP nên x = 0
suy ra ||x|| > 0 nên 0 < γ < 1. Khi đó,
||γx|| =









δ
||x|| + δ
.x








=
||x||
||x|| + δ
.δ < 1.δ = δ.
6) Do c
1
∈ intP nên mc
1
∈ m.intP ⊂ intP với m > 1. Do đó mc
1
∈ intP
với m > 1. Đặt d = mc
1
+ c
2

suy ra d ∈ intP + P =

x∈P
(x + intP ) ⊂ intP .
Do đó d ∈ intP. Rõ ràng d − c
2
= mc
1
∈ intP hay c
2
 d. Mặt khác, d − c
1
=
(m − 1)c
1
+ c
2
∈ intP + P ⊂ intP hay c
1
 d.
7) Vì c
1
∈ intP nên tồn tại r > 0 sao cho c
1
+ B(0, r) ⊂ intP, trong đó B(0, r) =
{x ∈ E : ||x|| < r}. Do B(0, r) là tập hút nên tồn tại m > 1 sao cho c
2
∈ mB(0, r)
hay
1

m
c
2
∈ B(0, r) và do B(0, r) là tập cân nên −
1
m
c
2
∈ B(0, r) suy ra c
1
−
1
m
c
2
∈
c
1
+ B(0, r) ⊂ intP. Do đó, c
1
−
1
m
c
2
∈ intP. Đặt e =
1
m
c
2

thì e ∈ intP. Rõ ràng
c
1
− e ∈ intP hay e  c
1
. Mặt khác, c
2
− e = (1 −
1
m
)c
2
∈
m − 1
m
intP ⊂ intP. Do
đó c
2
− e ∈ intP hay e  c
2
.
8) Ta sẽ chứng minh −a ∈ P. Thật vậy, với mọi x ∈ intP , ta có
1
n
x ∈
1
n
intP ⊂
intP với mọi n = 1, 2, . . . Từ giả thiết a ≤ x với mọi x ∈ intP , suy ra a ≤
1

n
x
với mọi x ∈ intP , với mọi n = 1, 2, . . . hay
x
n
− a ∈ P với mọi n = 1, 2, . . . Suy ra

x
n
− a

⊂ P và P đóng trong E. Mặt khác, vì






x
n






=
||x||
n
→ 0 nên

x
n
− a → −a
khi n → ∞. Do đó −a ∈ P. Như vậy, a ∈ P và −a ∈ P. Vì P là nón nên a = 0.
9) Với mỗi n = 1, 2, . . . đặt λ =
1
n + 1
ta có 0 < λ < 1. Với a ∈ P, ta sẽ chứng
minh −a ∈ P. Thật vậy, do 0 <
1
n + 1
< 1 với mọi n = 1, 2, . . . theo giả thiết ta có
a ≤
1
n + 1
a với mọi n = 1, 2, . . . hay
1
n + 1
a − a ∈ P với mọi n = 1, 2, . . . Suy ra

1
n + 1
a − a

⊂ P và P đóng trong E. Mặt khác, vì
1
n + 1
a − a → −a khi n → ∞
nên −a ∈ P. Như vậy, a ∈ P và −a ∈ P. Vì P là nón nên a = 0.
11

10) Ta có x
n
≤ y
n
suy ra y
n
− x
n
∈ P. Do P đóng nên lim
n→∞
(y
n
− x
n
) ∈ P. Mặt
khác, lim
n→∞
x
n
= x, lim
n→∞
y
n
= y nên lim
n→∞
(y
n
− x
n
) = y − x. Từ đó suy ra y − x ∈ P

do đó x ≤ y.
Hoàn toàn tương tự như trên, ta chứng minh được từ 0 ≤ x
n
suy ra 0 ≤ x. Vậy
0 ≤ x ≤ y.
1.2.5 Bổ đề. ([6]) Giả sử P là nón trong không gian Banach E và {x
n
} là dãy
trong P. Khi đó, nếu x
n
→ 0 thì với mỗi c ∈ intP tồn tại n
0
∈ N sao cho x
n
 c
với mọi n ≥ n
0
.
Chứng minh. Giả sử {x
n
} là dãy trong P và x
n
→ 0. Với mọi c ∈ intP, vì intP là
tập mở nên tồn tại δ > 0 sao cho c + B
E
(0, δ) ⊂ intP, trong đó B
E
(0, δ) là hình cầu
mở tâm 0, bán kính δ trong E. Do đó, nếu x ∈ E mà x < δ thì c − x ∈ intP. Với
δ > 0 xác định như trên tồn tại n

0
∈ N sao cho
x
n
 < δ, ∀n > n
0
.
Suy ra c − x
n
∈ intP với mọi n > n
0
. Do đó x
n
 c với mọi n ≥ n
0
.
1.3. KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN
Mục này trình bày định nghĩa, ví dụ và các tính chất cơ bản của không gian
mêtric nón.
Ta luôn giả sử P là nón trong không gian Banach thực E sao cho intP = 0 và
≤ là quan hệ thứ tự bộ phận trên E tương ứng với P.
1.3.1 Định nghĩa. ([4]) Cho X là tập khác rỗng, và d : X × X → E. Hàm d được
gọi là mêtric nón trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) 0 ≤ d(x, y), ∀x; y ∈ X và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;
(ii) d(x, y) = d(y, x), với mọi x; y ∈ X;
(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), với mọi x, y, z ∈ X.
12
Tập hợp X cùng với một mêtric nón d trên X được gọi là không gian mêtric nón
và ký hiệu (X, d) hoặc X.
Từ định nghĩa trên ta nhận thấy, khái niệm không gian mêtric nón tổng quát

hơn khái niệm không gian mêtric, bởi vì mỗi một không gian mêtric là một không
gian mêtric nón trong trường hợp E = R, và P = {x ∈ R : x ≥ 0} .
1.3.2 Ví dụ. 1) Cho E = R
2
và P =

(x, y) ∈ R
2
: x, y ≥ 0

. Xét X = R và
ánh xạ d : X × X → E xác định bởi
d(x, y) = (α |x − y| , β |x − y|), ∀x, y ∈ X,
trong đó α, β là các hằng số không âm cho trước.
Khi đó, ta dễ dàng kiểm tra được d là một mêtric nón, do đó (X, d) là một không
gian mêtric nón.
2) Giả sử E = C
[a,b]
và P là nón trong ví dụ 1.2.2.3). Ta xác định hàm d: E ×E →
E bởi
d(f, g) = |f − g| ∀f, g ∈ E,
trong đó |f − g| (x) = |f(x) − g(x)| với mọi x ∈ [a, b]. Khi đó, d thỏa mãn ba điều
kiện
(i) 0 ≤ d(f, g) với mọi f, g ∈ E và d(f, g) = 0 khi và chỉ khi f (x) = g(x) với mọi
x ∈ [a, b] nghĩa là f = g;
(ii) Ta có d(f, g) = d(g, f) = |f − g| , với mọi f, g ∈ E;
(iii) Ta có |f − g| = |f − h + h − g| ≤ |f − h| + |h − g| với mọi f, g, h ∈ E nên
d(f, g) ≤ d(f, h) + d(h, g), ∀f, g, h ∈ E.
Vậy d là một mêtric nón trên E.
1.3.3 Định nghĩa. ([4]) Cho (X, d) là không gian mêtric nón, a ∈ X, c ∈ intP. Đặt

B(a, c) = {x ∈ X : d(x, a)  c}
và gọi B(a, c) là hình cầu mở tâm a, bán kính c. Đặt
 = {G ⊂ X : ∀x ∈ G, c ∈ intP : B(x, c) ⊂ G} .
13
1.3.4 Mệnh đề. ([5]) Cho (X, d) là không gian mêtric nón và  xác định ở Định
nghĩa 1.3.3 Khi đó,
1)  là một tôpô trên X;
2) B(x, c) ∈  với mọi x ∈ X, c ∈ intP;
3) (X, ) là T
2
− không gian;
4) (X, ) thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất.
Chứng minh.  = {U ⊂ X : ∀x ∈ U, c ∈ intP : B(x, c) ⊂ U} .
1) Ta có ∅ ∈ , X ∈ . Giả sử U
i
∈  với mọi i ∈ I, ta sẽ chứng minh

i∈I
U
i
∈ .
Thật vậy, với mọi x ∈

i∈I
U
i
thì tồn tại i = i
0
∈ I sao cho x ∈ U
i

0
⊂  suy ra tồn
tại c ∈ intP sao cho B(x, c) ⊂ U
i
0
nên B(x, c) ⊂

i∈I
U
i
, hay

i∈I
U
i
∈ .
Với U, V ∈ , ta sẽ chứng minh U ∩ V ∈ . Thật vậy, với mọi x ∈ U ∩ V suy ra
x ∈ U và x ∈ V do đó tồn tại c
1
, c
2
∈ intP sao cho B(x, c
1
) ⊂ U và B(x, c
2
) ⊂ V,
theo Bổ đề 1.2.4.7) c
1
∈ intP, c
2

∈ intP suy ra tồn tại c ∈ intP sao cho c  c
1
và
c  c
2
. Do đó ta được B(x, c) ⊂ U ∩ V. Từ đó ta có U ∩ V ∈ .
Vậy ta có  thỏa mãn 3 điều kiện trong định nghĩa tôpô nên  là một tôpô trên
X hay (X, ) là một không gian tôpô.
2) Giả sử y ∈ B(x, c). Khi đó, vì d(y, x)  c nên c − d(y, x) ∈ intP. Đặt c

=
c − d(y, x), ta sẽ chứng minh B(y, c

) ⊂ B(x, c). Thật vậy, với mọi z ∈ B(y, c

)
ta có d(z, y)  c

nên d(z, y)  c − d(y, x). Do đó theo Bổ đề 1.2.4.3) ta có
d(z, y) + d(y, x)  c. Theo Định nghĩa 1.3.1 ta suy ra d(z, x)  c hay z ∈ B(x, c).
Vậy B(y, c

) ⊂ B(x, c) hay B(x, c) ∈ .
3) Giả sử x, y ∈ X mà x = y. Từ 2) suy ra rằng, để chứng minh (X, ) là T
2
−
Không gian chỉ cần chứng tỏ tồn tại c
1
, c
2

∈ intP sao cho B(x, c
1
)∩B(y, c
2
) = ∅. Giả
sử điều này không đúng, tức là với mọi c
1
, c
2
∈ intP ta có B(x, c
1
) ∩ B(y, c
2
) = ∅.
Khi đó, với mỗi c ∈ intP ta có
B(x,
c
2n
) ∩ B(y,
c
2n
) = ∅, n = 1, 2, . . .
14
Từ đó suy ra tồn tại dãy {z
n
} ⊂ X sao cho
z
n
∈ B(x,
c

2n
) ∩ B(y,
c
2n
), n = 1, 2, . . .
Do đó ta có
d(x, y) ≤ d(x, z
n
) + d(z
n
, y) 
c
n
, n = 1, 2, . . .
Vì
c
n
≤ c với mọi n = 1, 2, . . . nên d(x, y)  c. Do c là phần tử bất kì trong intP
nên theo Bổ đề 1.2.4.8) ta có d(x, y) = 0, tức là x = y. Điều này mâu thuẫn với giả
thiết x = y. Vậy (X, ) là T
2
− không gian.
4) Giả sử x ∈ X. Ta cần chứng minh tại x có một cơ sở lân cận đếm được. Lấy
c ∈ intP và đặt
U =

B(x,
c
n
) : n = 1, 2, . . .


Hiển nhiên U ⊂ . Giả sử V là một lân cận bất kỳ của x. Khi đó, tồn tại y ∈ intP
sao cho B(x, y) ⊂ V. Vì y ∈ intP nên tồn tại ε > 0 sao cho B
E
(y, ε) ⊂ P, ở đây
B
E
(y, ε) là hình cầu mở trong E với tâm y bán kính ε. Lấy n ∈ N sao cho n >
c
ε
.
Ta có



y − (y −
c
n
)



=
c
n
< ε,
tức là y −
c
n
∈ B

E
(y, ε) ⊂ P. Vì B
E
(y, ε) là tập mở trong E nên y −
c
n
∈ intP. Do
đó
c
n
 y. Từ đó suy ra
B(x,
c
n
) ⊂ B(x, y) ⊂ V.
Như vậy, U là cơ sở lân cận tại x (đối với tôpô ). Hiển nhiên U đếm được. Vậy
(X, ) là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất.
Từ đây về sau, nếu không giải thích gì thêm thì tôpô trên không gian mêtric nón
được hiểu là tôpô . Như vậy, các hình cầu B(x, c) là các tập mở trong không gian
mêtric nón (X, d).
Từ Mệnh đề 1.3.4.3) ta có hệ quả sau
1.3.5 Hệ quả. Cho (X, d) là một không gian mêtric nón. Nếu dãy {x
n
} ⊂ X hội
tụ tới x và y thì x = y.
1.3.6 Định nghĩa. ([6]) Cho không gian mêtric nón (X, d). Khi đó
15
1) Dãy {x
n
} được gọi là dãy hội tụ tới x, nếu và chỉ nếu với mỗi c  0, tồn tại

n
c
∈ N sao cho d (x
n
, x)  c, với mọi n ≥ n
c
2) Dãy {x
n
} được gọi là dãy Cauchy, nếu và chỉ nếu với mỗi c  0, tồn tại n
0
∈ N
sao cho d (x
n
, x
m
)  c, với mọi n, m ≥ n
0
1.3.7 Định lý. Cho (X, d) là không gian mêtric nón, dãy {x
n
} ⊂ X. Khi đó,
x
n
→ x ∈ X khi và chỉ khi với mỗi c ∈ intP tồn tại số tự nhiên n
c
sao cho
d(x, x
n
)  c với mọi n ≥ n
c
.

Chứng minh. Giả sử x
n
→ x ∈ X. Khi đó, với mọi c ∈ intP, vì B(x, c) là lân cận
của x, theo Mệnh đề 1.3.4 nên tồn tại số tự nhiên n
c
sao cho x
n
∈ B(x, c) với mọi
n ≥ n
c
, tức là d(x, x
n
)  c với mọi n ≥ n
c
.
Ngược lại, giả sử với mỗi c ∈ intP tồn tại số tự nhiên n
c
sao cho d(x, x
n
)  c
với mọi n ≥ n
c
. Giả sử U là một lân cận của x. Khi đó, tồn tại c
0
∈ intP sao cho
B(x, c
0
) ⊂ U. Từ đó suy ra tồn tại n
c
0

∈ N sao cho
x
n
∈ B(x, c
0
) ⊂ U ∀n ≥ n
c
0
.
Như vậy x
n
→ x.
1.3.8 Định nghĩa. ([6])Cho (X, d) là không gian mêtric nón. Dãy {x
n
} ⊂ X được
gọi là dãy Cauchy nếu với mọi c ∈ intP, tồn tại số tự nhiên N sao cho d(x
m
, x
n
)  c
với mọi m, n > N.
1.3.9 Mệnh đề. ([6]) Cho (X,d) là không gian mêtric nón. Khi đó, nếu {x
n
} là
dãy hội tụ trong (X, d) thì nó là dãy Cauchy.
Chứng minh. Giả sử {x
n
} là dãy trong X và x
n
→ x ∈ X. Khi đó, với mọi 0  c ∈ E

tồn tại N sao cho d(x
n
, x) 
c
2
với mọi n > N. Từ đó, với mọi m, n > N ta có
d(x
m
, x
n
) ≤ d(x
n
, x) + d(x, x
m
) 
c
2
+
c
2
= c.
Suy ra {x
n
} là dãy Cauchy.
1.3.10 Mệnh đề. Giả sử {x
n
} là dãy Cauchy trong không gian mêtric nón X. Khi
đó, nếu {x
n
} có dãy con {x

n
k
} hội tụ tới x ∈ X thì {x
n
} hội tụ tới x.
16
Chứng minh. Giả sử c ∈ intP. Khi đó, từ {x
n
} là dãy Cauchy và {x
n
k
} hội tụ tới x
suy ra tồn tại số tự nhiên n
0
sao cho
d(x
n
, x
m
) 
c
2
∀n, m ≥ n
0
và
d(x
n
k
, x) 
c

2
∀n
k
≥ n
0
.
Do đó ta có
d(x
n
, x) ≤ d(x
n
, x
n
k
) + d(x
n
k
, x)  c ∀n, n
k
≥ n
0
.
Từ đó suy ra x
n
→ x.
1.3.11 Định nghĩa. Không gian mêtric nón (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy
Cauchy trong X đều hội tụ.
1.3.12 Định lý. Giả sử (X,d), (Y,d) là hai không gian mêtric nón và f : X → Y .
Khi đó, f liên tục tại a ∈ X khi và chỉ khi từ {x
n

} là dãy trong X, x
n
→ a kéo theo
f(x
n
) → f(a).
Chứng minh. Giả sử f liên tục tại a và {x
n
} là dãy trong X sao cho x
n
→ a. Ta cần
chứng tỏ f(x
n
) → f(a). Giả sử V là lân cận của f(a) trong Y. Khi đó, vì f liên tục
tại a nên theo Định nghĩa 1.1.5, tồn tại lân cận U của a trong X sao cho f(U) ⊂ V.
Vì x
n
→ a nên theo Định nghĩa 1.1.3, tồn tại số tự nhiên n
0
sao cho x
n
∈ U với mọi
n ≥ n
0
. Từ đó suy ra
f(x
n
) ∈ f(U) ⊂ V ∀n ≥ n
0
.

Do đó f(x
n
) → f(a).
Ngược lại, giả sử từ {x
n
} là dãy trong X, x
n
→ a kéo theo f(x
n
) → f(a). Ta
cần chứng tỏ f liên tục tại a.
Giả sử f không liên tục tại a. Khi đó, từ Mệnh đề 1.3.4 và Định nghĩa 1.1.5 suy
ra tồn tại y
0
∈ intP sao cho với mọi c ∈ intP đều có
f(B(a, c)) ⊂ B(f(a), y
0
).
17
Từ đó suy ra rằng với mỗi n = 1, 2, . . . tồn tại x
n
∈ B(a,
c
n
) sao cho f(x
n
) /∈
B(f(a), y
0
). Từ x

n
∈ B(a,
c
n
) với mọi n = 1, 2, . . . và
c
n
→ 0 khi n → ∞, sử
dụng Bổ đề 1.2.5 và Định lý 1.3.7 suy ra x
n
→ a. Theo giả thiết của điều kiện đủ
f(x
n
) → f(a). Điều này mâu thuẫn với f(x
n
) /∈ B(f(a), y
0
) với mọi n = 1, 2, . . .
Vậy f liên tục tại a.
18
CHƯƠNG 2
SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA
CÁC ÁNH XẠ TƯƠNG THÍCH YẾU TRONG
KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN
2.1. MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐÃ CÓ VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ TƯƠNG THÍCH YẾU TRONG KHÔNG
GIAN MÊTRIC NÓN
Mục này trình bày lại một số kết quả đã có về sự tồn tại điểm bất động chung
của cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên trong không gian mêtric nón. Giả sử
φ: R

+
→ R
+
là hàm thỏa mãn điều kiện φ(t) < t với mỗi t > 0.
2.1.1 Định lý. ([5]) Cho (X,d) là không gian mêtric nón và P là một nón chuẩn
tắc. Giả sử f,g là các ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên từ X vào X và thỏa mãn
điều kiện sau
d(fx, fy)  φ (sup {d(gx, gy), d(gx, f y), d(gy, fx), d(gy, fy)}) (2.1)
với mọi x, y ∈ X thì f và g có điểm bất động chung duy nhất.
Chứng minh. Vì f, g là các ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên nên tồn tại điểm
u ∈ X sao cho f u = gu và fgu = gfu. Ta sẽ chứng minh fu là điểm bất động
chung duy nhất của f và g tức là sẽ chỉ ra ffu = fu và gfu = fu. Thật vậy, giả sử
ffu = fu. Khi đó, từ (2.1) ta có
d(fu, ffu)  φ (sup {d(gu, gfu), d(gu, ffu), d(gfu, fu), d(gfu, ffu)})
= φ (sup {d(fu, ffu), d(ff u, fu), 0}) = φ (d(fu, ffu)) < d(fu, f fu).
Đây là điều mâu thuẫn. Do đó ffu = fu. Suy ra gf u = fgu = ffu = fu, tức
gfu = fu. Vậy fu là điểm bất động chung của f và g.
19
Giả sử u, v ∈ X sao cho fu = gu = u và fv = gv = v và u = v. Theo (2.1) ta có
d(u, v) = d(fu, fv)
 φ (sup {d(gu, gv), d(gu, fv), d(gv, fu), d(gv, fv)})
= φ (sup {d(u, v), d(v, u), 0}) = φ (d(u, v)) < d(u, v).
Đây là điều mâu thuẫn. Do đó u = v. Vì thế, điểm bất động chung của f, g là duy
nhất.
2.1.2 Ví dụ. ([5]) Cho E = R
2
, P = {(x, y) ∈ E : x, y  0}
và d: R × R → E cho bởi
d(x, y) = (|x − y| , α |x − y|), ∀x, y ∈ R,
trong đó α là các hằng số dương cho trước.

Xác định f, g : R → R với f(x) =
1 + 2x
3
và g(x) =
1 + 4x
5
, ∀x ∈ R. Rõ ràng
(R, d) là không gian mêtric nón. f và g là các ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên
và f, g thỏa mãn điều kiện (2.1). Ngoài ra, 1 là điểm bất động chung duy nhất của
f và g.
2.1.3 Định lý. ([5])Cho (X, d) là không gian mêtric nón và P là một nón chuẩn
tắc. Giả sử f, g là cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên từ X vào X và thỏa mãn
các điều kiện sau
f(X) ⊂ g(X), (2.2)
d(fx, fy)  ad(gx, gy) + b sup{d(fx, gx), d(fy, gy)}
+ c sup{d(gx, gy), d(gx, fx), d(gy, fy)} (2.3)
với mọi x, y ∈ X, trong đó a, b, c > 0, a + b + c = 1.
Khi đó f, g có điểm bất động chung duy nhất.
Chứng minh. Từ giả thiết f, g là cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên nên tồn tại
điểm x ∈ X sao cho fx = gx và gfx = fgx. Ta sẽ chứng minh fx là giá trị chung
duy nhất của f và g. Giả sử có điểm y ∈ X, y = x mà fy = gy. Khi đó, theo (2.3)
20
ta có
d(fx, fy)  ad(fx, fy) + b sup{0, 0} + c sup{d(fx, fy), 0, 0},
= (a + c)d(fx, fy).
Do a + c < 1, nên từ bất đẳng thức trên và Bổ đề 1.2.4.9) ta có d(fx, fy) = 0 hay
fx = fy. Do đó, fx là giá trị chung duy nhất của f và g. Theo Mệnh đề 1.1.16 ta
có f và g có duy nhất điểm bất động chung.
2.1.4 Định lý. ([5])Cho (X,d) là không gian mêtric nón và P là một nón chuẩn tắc.
Giả sử f, g, S, T là các ánh xạ từ X vào X sao cho {f,S} và {g,T} là các cặp tương

thích yếu ngẫu nhiên. Khi đó, nếu
d(fx, gy) < sup{d(Sx, T y), d(Sx, fx), d(T y, gy),
d(Sx, gy), d(T y, fx)},
(2.4)
với mỗi x, y ∈ X, mà fx = gy thì f, g, S và T có điểm bất động chung duy nhất.
Chứng minh. Từ giả thiết mỗi cặp ánh xạ {f, S} và {g, T } là tương thích yếu ngẫu
nhiên nên tồn tại các điểm x, y ∈ X sao cho fx = Sx và gy = T y. Ta cần chỉ ra
fx = gy. Giả sử fx = gy. Khi đó, theo (2.4) ta có
d(fx, gy) < sup{d(Sx, T y), d(Sx, fx), d(T y, gy), d(Sx, gy), d(T y, fx)}
= sup{d(fx, gy), 0, d(gy, fx)} = d(fx, gy)
Đây là điều mâu thuẫn. Do đó fx = gy hay fx = Sx = gy = T y.
Ta sẽ chứng minh w := fx = Sx là giá trị chung duy nhất của f và S. Giả sử tồn
tại điểm z ∈ X, z = x sao cho fz = Sz. Ta cần chỉ ra fz = gy. Giả sử fz = gy. Áp
dụng (2.4) cho fz = gy dẫn đến mâu thuẫn d(fz, gy) < d(fz, gy). Do đó fz = gy,
suy ra fz = Sz = gy = Ty. Từ đó fx = fz. Do đó, w = fx = Sx là giá trị chung
duy nhất của f và S. Theo Mệnh đề 1.1.16, ta có w là điểm bất động chung duy
nhất của f và S hay w = fw = Sw.
Tương tự, ta chứng minh được g và T có duy nhất điểm bất động chung là v,
tức v = gv = T v.
21
Bây giờ ta sẽ chứng minh v = w. Giả sử w = v. Khi đó, áp dụng (2.4) ta có
d(w, v) = d(fw, gv) < sup {d(w, v), 0, d(v, w)} = d(w, v).
Điều này mâu thuẫn. Do đó w = v hay w là điểm bất động chung duy nhất của
f, g, S và T.
Cho φ: R
+
→ R
+
là hàm liên tục, không giảm, φ(2t) < 2φ(t) với mọi t ∈ R
+

và
φ(t) = 0 khi và chỉ khi t = 0. Cho ψ : R
+
→ R
+
là một hàm sao cho ψ(t) < t với
mỗi t > 0.
2.1.5 Định lý. ([5])Cho (X, d) là không gian mêtric nón và P là nón chuẩn tắc.
Giả sử f, g, S, T là các ánh xạ từ X vào X sao cho {f, S} và {f, T } là các cặp ánh
xạ tương thích yếu ngẫu nhiên. Khi đó, nếu
φ(d(fx, gy))  ψ(M
φ
(x, y)), (2.5)
trong đó,
M
φ
(x, y):= sup{φ(d(Sx, T y)), φ(d(Sx, fx)), φ(d(gy, T y)),
[φ(d(fx, T y)) + φ(d(Sx, gy))]/2}
với mọi x, y ∈ X thì f, g, S và T có điểm bất động chung duy nhất.
Chứng minh. Từ giả thiết các cặp {f, S} và {g, T } là tương thích yếu ngẫu nhiên
nên tồn tại x, y ∈ X sao cho fx = Sx và gy = T y. Ta cần chứng minh fx = gy.
Giả sử fx = gy, từ (2.5) ta có
0 < φ(d(fx, gy))  ψ(M
φ
(x, y))
= ψ(sup{φ(d(fx, gy)), 0, 0, φ(d(fx, gy))})
= ψ(φ(d(fx, gy))) < φ(d(fx, gy)).
Điều này mâu thuẫn. Do đó,fx = gy.
Tương tự như phần chứng minh Định lý 2.1.3 và áp dụng (2.5) ta chỉ ra được
f, g, S và T có điểm bất động duy nhất.

22
2.1.6 Nhận xét. Trong các Định lý 2.1.1, 2.1.3, 2.1.4 và 2.1.5 thừa giả thiết "P là
nón chuẩn tắc". Trong Định lý 2.1.3, thừa giả thiết f(X) ⊂ g(X).
2.1.7 Định lý. ([4]) Cho (X, d) là không gian mêtric nón, P là nón chuẩn tắc với
hằng số chuẩn tắc k. Giả sử các ánh xạ S, T, f : X → X thỏa mãn
d(Sx, T y)  αd(fx, T y) + βd(fy, Sx) + γd(fx, fy), (2.6)
với mọi x, y ∈ X, ở đó α, β, γ là các số thực không âm với α + β + γ < 1. Khi đó,
nếu S(X) ∪ T(X) ⊆ f(X) và f (X) là một không gian con đầy đủ của X thì S, T
và f có điểm chung duy nhất. Hơn nữa, nếu (S, f) và (T, f) là tương thích yếu thì
S, T và f có điểm bất động chung duy nhất.
Chứng minh. Cho x
0
∈ X. Do S(X) ⊆ f(X) nên ta có thể chọn điểm x
1
∈ X
sao cho fx
1
= Sx
0
. Tương tự, do T (X) ⊆ f(X) nên chọn được x
2
∈ X sao cho
fx
2
= T x
1
. Tiếp tục quá trình này ta xây dựng được dãy {x
k
} trong X sao cho
fx

2k+1
= Sx
2k
fx
2k+2
= T x
2k+1
, với mỗi k = 0, 1, 2, . . . .
Trước hết, ta giả sử rằng f x
n
= fx
n+1
với mọi n ∈ N. Khi đó, x
n
= x
n+1
với mọi n.
Do đó theo (2.6) ta có
d(fx
2k+1
, fx
2k+2
) = d(Sx
2k
, T x
2k+1
)
 αd(fx
2k
, T x

2k+1
) + βd(fx
2k+1
, Sx
2k
) + γd(fx
2k
, fx
2k+1
)
 αd(fx
2k
, fx
2k+2
) + γd(fx
2k
, fx
2k+1
)
 [α + γ] d(fx
2k
, fx
2k+1
) + αd(fx
2k+1
, fx
2k+2
).
Do đó
d(fx

2k+1
, fx
2k+2
) 

α + γ
1 − α

d(fx
2k
, fx
2k+1
).
23