Luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
—————————————–
PHAN HOÀNG THẠCH
LUẬT MẠNH SỐ LỚN ĐỐI VỚI CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ
THUỘC ÂM MỞ RỘNG
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Nghệ An - 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
—————————————–
PHAN HOÀNG THẠCH
LUẬT MẠNH SỐ LỚN ĐỐI VỚI CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ
THUỘC ÂM MỞ RỘNG
CHUYÊN NGÀNH: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
HỌC
MÃ SỐ: 60.46.01.06
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. LÊ VĂN THÀNH
Nghệ An - 2014
Mục lục
Mục lục Trang 1
Lời nói đầu Trang 2
1 Kiến thức chuẩn bị Trang 4
1.1 Biến ngẫu nhiên và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Luật số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Một số bất đẳng thức thường gặp. . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở
rộng Trang 11
2.1 Các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng . . . . . . . . . . 13

2.3 Luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở
rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Kết luận Trang 27
Tài liệu tham khảo Trang 28
1
Lời nói đầu
Các khái niệm về sự phụ thuộc âm đã được các nhà toán học nghiên cứu
rộng rãi. Khái niệm này được đề xuất bởi Ebrahimi và Ghosh [11] năm 1981 và
Block cùng các cộng sự [6] năm 1982. Nhà toán học Lehmand [16] đã xem xét
một số khái niệm phụ thuộc, trong đó sự phụ thuộc âm được xem như là một
sự mở rộng của tính độc lập của dãy các biến ngẫu nhiên. Đặc biệt Matula [18]
năm 1992 đã xây dựng luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc
âm.
Phát triển gần đây của luật mạnh số lớn đối với biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm
được tìm thấy trong đề tài của Bingham và Nilisami [5] năm 2004, Gerasimov
[12] năm 2009, Baek và cộng sự [4] năm 2009. Năm 2006, Li, Rosalsky và
Volodin [10] nghiên cứu về luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên phụ
thuộc âm đôi một.
Các khái niệm về biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng được đề xuất bởi
Liu [17] năm 2009, và tiếp tục phát triển bởi Chen và các cộng sự [7, 8] vào các
năm 2010, 2011. Các nhà toán học Kotz và cộng sự [15] năm 2000, Tang và Ver-
nic [19] năm 2007, Cosselte và cộng sự [9] năm 2008, cùng nhiều người khác đã
nghiên cứu một số ứng dụng của luật mạnh số lớn cho các biến ngẫu nhiên phụ
thuộc âm mở rộng vào tài chính, bảo hiểm. Năm 2001, Harshorva [13] thành
lập định lý giới hạn cho một chuỗi các biến ngẫu nhiên với phân phối hữu hạn
chiều FGM (viết tắt tên của ba nhà toán học Farlie-Gumbel-Morgenstern). Trên
cơ sở đọc và tìm hiểu tài liệu tham khảo [7] chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài
“Luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng”.
Mục đích chính của đề tài là thiết lập luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu
nhiên phụ thuộc âm mở rộng bằng cách sử dụng phương pháp tương tự như

trong một số tài liệu tham khảo, một số bất đẳng thức thường gặp .
Luận văn gồm hai chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản và tính chất về
2
3
các biến ngẫu nhiên, các khái niệm về luật số lớn, một số bất đẳng thức thường
gặp.
Chương 2. Luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm
mở rộng.
Chương 2 gồm ba mục. Trong mục 2.1, chúng tôi giới thiệu định nghĩa và
các tính chất của các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm. Mục 2.2 giới thiệu đầy đủ
về định nghĩa các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng. Mục 2.3 chúng tôi
thiết lập các bổ đề và luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên phụ thuộc
âm mở rộng. Kết quả của mục 2.3 về luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu
nhiên phụ thuộc âm mở rộng là kết quả chính của Yiqing Chen, Anyue Chen,
Kai W. Ng [7] năm 2010.
Luận văn được hoàn thành tại trường đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình
của TS. Lê Văn Thành. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy,
người thầy đã quan tâm và nhiệt tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình học
tập và hoàn thành luận văn. Đồng thời tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới GS.
TS. Nguyễn Văn Quảng cùng các thầy giáo, cô giáo trong tổ Lý thuyết xác suất
và thống kê toán học đã giảng dạy và chỉ bảo trong suốt thời gian học tập và
nghiên cứu. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, người thân và các đồng nghiệp tại
trường THPT Bắc Yên Thành đã động viên giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi
cho tác giả trong suốt quá tr ình học tập và hoàn thành luận văn.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng vì năng lực còn hạn chế nên luận văn chắc chắn
không thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tác giả rất mong nhận được những
lời chỉ bảo quý báu của các thầy giáo, cô giáo và những góp ý của bạn đọc để
luận văn được hoàn thiện hơn.

Vinh, tháng 10 năm 2014
Phan Hoàng Thạch
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm về các biến ngẫu nhiên và
một số kiến thức liên quan. Nội dung chính của Chương 1 được trích dẫn từ tài
liệu [1, 2, 3]. Trong suốt luận văn này, (Ω,F ,P) là không gian xác suất cố định.
Với một số thực x bất kỳ ta kí hiệu x
+
= max(x,0), x
−
= max(−x , 0).
1.1 Biến ngẫu nhiên và các tính chất cơ bản
1.1.1 Định nghĩa. Giả sử (Ω, F ,P) là không gian xác suất, B (R) là σ - đại số
các tập Borel trên R. Khi đó, ánh xạ X: Ω →R được gọi là biến ngẫu nhiên nếu
với mọi B ∈ B (R), tập X
−1
(B) =
{
ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B
}
∈ F .
1.1.2 Tính chất. Giả sử X: Ω → R là một ánh xạ. Khi đó các mệnh đề sau
tương đương
a) X là biến ngẫu nhiên,
b)
{
ω ∈ Ω : X (ω) ≤ x
}
∈ F , với mỗi x ∈ R,

c)
{
ω ∈ Ω : X (ω) < x
}
∈ F , với mỗi x ∈ R,
d)
{
ω ∈ Ω : x ≤ X (ω) < y
}
∈ F , với mỗi x,y ∈ R,x < y.
1.1.3 Định nghĩa. Hàm ϕ : (R
n
,B (R
n
)) →(R,B (R)) được gọi là hàm Borel
nếu nó là B (R
n
) - đo được, nghĩa là ϕ
−1
(B) ∈ B (R
n
) với mỗi B ∈ B (R).
Từ định nghĩa ta có nhận xét sau: Nếu ϕ : R
n
→ R là hàm liên tục thì
ϕ cũng là hàm Borel. Đặc biệt các hàm (x,y) → x + y,(x,y) → xy,(x, y) →
max(x , y),(x,y) → min(x, y) là các hàm Borel hai biến.
4
5
1.1.4 Định lí. Giả sử X

1
, ,X
n
là các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên
(Ω,F , P) và ϕ (t
1
, ,t
n
) là hàm Borel giá trị thực. Khi đó Y = ϕ (X
1
, ,X
n
)
cũng là biến ngẫu nhiên.
Chứng minh. Đặt X (ω) = (X
1
(ω), ,X
n
(ω)) là các hàm trên (Ω,F ,P) nhận
giá trị trên R
n
. Theo giả thiết với x
1
, ,x
n
∈ R bất kỳ, ta có
n

i=1
{

ω : X
i
(ω) < x
i
}
∈ F ,
hay
X
−1

n
∏
i=1
(−∞,x
i
)

∈ F .
Nhưng lớp các tập {
n
∏
i=1
(−∞,x
i
),x
1
, ,x
n
∈R}sinh ra B (R
n

), suy ra X
−1
(B) ∈
F với B ∈ B (R
n
) bất kỳ. Từ đó nếu C ∈ B (R) thì ϕ
−1
(C) ∈ B (R
n
) và
X
−1

ϕ
−1
(C)

∈ F . Do đó Y
−1
(C) = X
−1

ϕ
−1
(C)

∈ F và suy ra Y là biến
ngẫu nhiên.
1.1.5 Hệ quả. Giả sử X, Y là các biến ngẫu nhiên. Khi đó X ±Y, X ∪Y, X ∩
Y, X

+
= X ∨0, X
−
= (−X) ∨0,
|
X
|
= X
+
+ X
−
cũng là biến ngẫu nhiên.
1.1.6 Định lí. Giả sử {X
n
, n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên và sup
n
X
n
, inf
n
X
n
hữu hạn trên Ω. Khi đó, sup
n
X
n
, inf
n
X
n

, limsup
n
X
n
, liminf
n
X
n
là các biến ngẫu
nhiên. Đặc biệt nếu limX
n
= X , X hữu hạn thì X là biến ngẫu nhiên.
Chứng minh. Từ các đẳng thức
inf
n≥1
X
n
= −sup
n
(−X
n
),
lim
n→∞
infX
n
= sup
n≥1

inf

k≥n
X
k

,
lim
n→∞
supX
n
= inf
n≥1

sup
k≥n
X
k

.
Ta chỉ cần chứng minh rằng sup
n
X
n
là biến ngẫu nhiên. Thật vậy, với x ∈R bất kỳ,
ta có {
|
X
n
≤ x
|
} ∈ F , n = 1, 2, Vì vậy {





sup
n
X
n
≤ x




} =
∞

n=1
(X
n
≤ x) ∈ F .
6
1.1.7 Tính độc lập của dãy biến ngẫu nhiên.
Giả sử (Ω,F ,P) là không gian xác suất cố định. P (Ω) là họ tất cả các tập
con của Ω. Khi đó, lớp F ⊂ Ω được gọi là một σ - đại số nếu
1. Ω ∈ F ,
2. A ∈ F ⇒ A
C
= Ω \A ∈ F ,
3. A
n

∈ F , n = 1,2, ⇒
∞

n=1
A
n
∈ F .
Giả sử A ∈ P (Ω), khi đó σ - đại số bé nhất chứa A được gọi là σ - đại số
sinh bởi A.
Họ hữu hạn
{
F
i
, i ∈ I
}
các σ - đại số con của F được gọi là độc lập nếu
P


i∈I
A
i

=
∏
i∈I
P(A
i
) với A
i

∈ F
i
, i ∈ I bất kỳ.
Họ vô hạn
{
F
i
, i ∈ I
}
các σ - đại số con của F được gọi là độc lập nếu mỗi
họ con hữu hạn của nó độc lập.
Họ các biến ngẫu nhiên X
i
, i ∈ I được gọi là độc lập nếu họ các σ - đại số
sinh bởi chúng
{
F (X
i
), i ∈ I
}
là độc lập.
Họ các biến cố
{
A
i
, i ∈ I
}
⊂ F được gọi là độc lập nếu họ các biến ngẫu
nhiên
{

I
A
i
, i ∈ I
}
là độc lập.
Họ các biến ngẫu nhiên
{
X
i
, i ∈ I
}
được gọi là độc lập đôi một nếu với mọi
i, j ∈ I, i = j thì X
i
, X
j
độc lập.
1.1.8 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên.
Giả sử X: (Ω,F ,P) → (R,B (R)) là biến ngẫu nhiên. Khi đó tích phân
Lebesgue

Ω
XdP (nếu tồn tại) được gọi là kỳ vọng của X, kí hiệu là EX.
Giả sử X, Y là các biến ngẫu nhiên và C là hằng số. Khi đó ta có một số tính
chất cơ bản sau đây của kỳ vọng.
1. Nếu X ≥ 0 thì EX ≥ 0.
2. Nếu X = C thì EX = C.
3. Nếu tồn tại EX với mọi C ∈ R , ta có E (CX) = CEX.
4. Nếu tồn tại EX và EY thì E (X ±Y ) = EX ±EY.

5. Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị x
1
, ,x
n
, với xác suất
tương ứng P(X = x
i
) = p
i
thì
EX =
∑
i
x
i
p
i
.
7
6. Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ p(x) thì
EX =
∞

−∞
xp(x)dx.
7. Giả sử f : R → R là hàm đo được và Y = f (X). Khi đó
EY =
∑
i
f (x

i
)p
i
,
nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị x
1
, x
2
, , với P (X = x
i
) = p
i
.
Và
EY =
∞

−∞
f (x) p(x)dx,
nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ p(x).
1.1.9 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên.
Giả sử (Ω,F , P) là không gian xác suất, X: Ω → R là biến ngẫu nhiên. Khi
đó hàm P
X
: B (R) → R; B → P
X
(B) = P

X
−1

(B)

được gọi là phân phối xác
suất của X.
Giả sử P
X
là phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X. Khi đó ta có
1. P
X
là độ đo xác suất trên B (R).
Thật vậy, ta có
i) P
X
(B) = P

X
−1
(B)

≥ 0, với mọi B ∈ B (R).
ii) P
X
(R) = P

X
−1
(R)

= P (Ω) = 1.
iii) Giả sử (B

n
) ∈ B (R), B
i
B
j
= ∅ (i = j).
Lúc đó X
−1
(B
i
)X
−1
(B
j
) = X
−1
(B
i
B
j
) = ∅ (i = j).
Điều này kéo theo
P
X

∞

n=1
B
n


= P

X
−1

∞

n=1
B
n

= P

∞

n=1
X
−1
(B
n
)

=
∞
∑
n=1
P

X

−1
(B
n
)

=
∞
∑
n=1
P
X
(B
n
).
8
2. Nếu Q là độ đo xác suất trên B (R) thì Q là phân phối xác suất của một
biến ngẫu nhiên X nào đó.
Chứng minh. Đặt Ω = R, F = B (R), P = Q.
Xét X: Ω → R ; ω → X (ω) = ω.
Với mọi B ∈B (R) thì P
X
(B) = P

X
−1
(B)

= P (B) = Q (B), suy ra P
X
= Q

hay Q là phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X xác định như trên.
1.1.10 Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên.
Giả sử (Ω,F , P) là không gian xác suất, X: Ω → R là biến ngẫu nhiên. Khi
đó, hàm số F
X
(x) = P (X < x) = P (ω : X (ω) < x ) được gọi là hàm phân phối
của X.
Từ định nghĩa ta có F
X
(x) = P

X
−1
(−∞,x)

= P
X
((−∞,x)).
Kí hiệu F
X
(x) ≡ F (x).
Các tính chất của hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X.
1. 0 ≤ F (x) ≤ 1.
2. Nếu a < b thì F (b) −F (a) = P(a ≤ X < b), do đó F (x) là hàm không
giảm. Thật vậy, giả sử a < b, ta có
F (b) = P (X < b) = P(X < a) + P (a ≤ X < b) ≥ P (X < a) = F (a).
3. lim
n→+∞
F (x) = 1; lim
x→−∞

F (x) = 0.
Thật vậy
lim
x→+∞
F (x) = lim
x→+∞
P(X < x) = P (X < +∞) = 1;
lim
x→−∞
F (x) = lim
x→−∞
P(X < x) = P (X < −∞) = 0.
Để thuận lợi, người ta thường dùng ký hiệu
F (+∞) = lim
x→+∞
F (x); F (−∞) = lim
x→−∞
F (x).
Lúc đó Tính chất 3 có thể viết F (+∞) = 1; F (−∞) =0 .
1.2 Luật số lớn
Luật số lớn đóng vai trò rất quan trọng trong lý thuyết xác suất. Đã có rất
nhiều nhà toán học nghiên cứu về các lĩnh vực khác nhau của luật số lớn và thu
9
được nhiều kết quả to lớn. Sau đây chúng tôi xin giới thiệu một số khái niệm về
luật số lớn. Nội dung chính của mục này được trích trong tài liệu [1, 2].
Giả sử {X
n
,n ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian xác
suất (Ω,F , P), ta đặt S
n

= X
1
+ + X
n
.
1.2.1 Luật yếu số lớn. Dãy các biến ngẫu nhiên {X
n
, n ≥ 1} được gọi là tuân
theo luật yếu số lớn nếu
S
n
−ES
n
n
p
−→ 0.
1.2.2 Luật yếu số lớn tổng quát. Dãy các biến ngẫu nhiên {X
n
, n ≥ 1} được
gọi là tuân theo luật yếu số lớn tổng quát nếu tồn tại hai dãy số (a
n
), (b
n
), 0 <
b
n
 ∞ sao cho
S
n
−a

n
b
n
p
−→ 0.
1.2.3 Luật mạnh số lớn. Dãy các biến ngẫu nhiên {X
n
, n ≥ 1} được gọi là
tuân theo luật mạnh số lớn nếu
S
n
−ES
n
n
hcc
−−→ 0.
1.2.4 Luật mạnh số lớn tổng quát. Dãy các biến ngẫu nhiên {X
n
, n ≥1}được
gọi là tuân theo luật mạnh số lớn tổng quát nếu tồn tại hai dãy số (a
n
), (b
n
), 0 <
b
n
 ∞ sao cho
S
n
−a

n
b
n
hcc
−−→ 0.
1.3 Một số bất đẳng thức thường gặp.
Trong mục này, chúng tôi giới thiệu một số bất đẳng thức được sử dụng nhiều
trong quá trình chứng minh các kết quả liên quan tới xác suất và kì vọng của
biến ngẫu nhiên.
1.3.1 Bất đẳng thức Markov. Giả sử X là biến ngẫu nhiên không âm. Khi đó
nếu tồn tại EX thì với mọi ε > 0 ta có
P(X ≥ε) ≤
EX
ε
.
1.3.2 Bổ đề Kronecker. Giả sử 0 < b
n
 ∞ và chuỗi số
∞
∑
n=1
x
n
hội tụ. Khi đó
1
b
n
n
∑
k=1

b
k
.x
k
→ 0, khi n → ∞.
10
1.3.3 Bổ đề Borel - Cantelli. Giả sử
{
A
n
, n ≥ 1
}
là dãy các biến cố, với
limsupA
n
=
∞

n=1
∞

k=n
A
k
.
Khi đó
i) Nếu
∞
∑
n=1

P(A
n
) < ∞ thì P (limsupA
n
) = 0.
ii) Nếu
∞
∑
n=1
P(A
n
) = ∞ và
{
A
n
, n ≥ 1
}
độc lập thì P(limsupA
n
) = 1.
1.3.4 Bất đẳng thức Chebyshev. Giả sử X là biến ngẫu nhiên bất kỳ. Khi đó,
nếu tồn tại DX thì với mọi ε > 0 ta có
P(
|
X −EX
|
≥ ε) ≤
DX
ε
2

.
1.3.5 Bất đẳng thức Marcinkiewicz- Zygmund. Nếu
{
X
n
, n ≥ 1
}
là các biến
ngẫu nhiên độc lập và EX
n
= 0, n ≥ 1. Khi đó, với p ≥ 1 luôn tồn tại hằng số
dương A
p
, B
p
phụ thuộc vào p thỏa mãn
A
p







n
∑
j =1
X
2

j

1
2






p
≤





n
∑
j =1
X
j





p
≤ B
p








n
∑
j =1
X
2
j

1
2






p
,
với

X

p
= (E

|
X
|
p
)
1
p
.
Chương 2
Luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu
nhiên phụ thuộc âm mở rộng
Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm về các biến ngẫu nhiên phụ
thuộc âm, các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng và một số kiến thức liên
quan. Chương 2 gồm 3 mục. Mục 2.1 chúng tôi giới thiệu về các biến ngẫu
nhiên phụ thuộc âm, Mục 2.2 trình bày về khái niệm biến ngẫu nhiên phụ thuộc
âm mở rộng. Cuối cùng, Mục 2.3 trình bày về luật mạnh số lớn đối với các
biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng. Kết quả chính của chương này thuộc
về Yiqing Chen, Anyue Chen, Kai W. Ng (2010).
2.1 Các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm
Trong mục này chúng tôi giới thiệu về các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm, các
biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một. Kết quả của mục này có thể tìm thấy
trong Lehmann[16], Ebrahimi và Ghosh[11].
2.1.1 Định nghĩa. Các biến ngẫu nhiên
{
X
n
, n ≥ 1
}
được gọi là phụ thuộc âm
đôi một nếu với mọi i, j ≥ 1(i = j) và với mọi x, y ∈ R,

P(X
i
≤ x,X
j
≤ y) ≤ P (X
i
≤ x)P (X
j
≤ y) . (2.1.1)
Định nghĩa trên tương đương với định nghĩa sau đây.
2.1.2 Định nghĩa. Các biến ngẫu nhiên
{
X
n
, n ≥ 1
}
được gọi là phụ thuộc âm
đôi một nếu với mọi i, j ≥ 1 (i = j) và với mọi x, y ∈ R,
P(X
i
> x,X
j
> y) ≤ P (X
i
> x)P (X
j
> y) . (2.1.2)
11
12
Thật vậy, ta sẽ chứng minh (2.1.1) suy ra (2.1.2) như sau. Với mọi x,y ∈ R ta

có
P(X
i
> x,X
j
> y) = P(X
i
> x) −P (X
i
> x,X
j
≤ y)
= P(X
i
> x) −P (X
j
≤ y) + P(X
i
≤ x,X
j
≤ y)
≤ P(X
i
> x) −P (X
j
≤ y) + P(X
i
≤ x)P (X
j
≤ y)

= P(X
i
> x) −P (X
j
≤ y) [1 −P (X
i
≤ x)]
= P(X
i
> x) −P (X
j
≤ y) P(X
i
> x
i
)
= P(X
i
> x)[1 −P(X
j
≤ y)] = P (X
i
> x)P (X
j
> y) .
Từ đó ta suy ra P (X
i
> x,X
j
> y) ≤P(X

i
> x)P (X
j
> y) . Tương tự ta sẽ chứng
minh (2.1.2) kéo theo (2.1.1)như sau.Với mọi x,y ∈ R, ta có
P(X
i
≤ x,X
j
≤ y) = P(X
i
≤ x) −P (X
i
≤ x,X
j
> y)
= P(X
i
≤ x) −P (X
j
> y) + P(X
i
> x,X
j
> y)
≤ P(X
i
≤ x) −P (X
j
> y) [1 −P (X

i
> x)]
= P(X
i
≤ x) −P (X
j
> y) P(X
i
≤ x)
= P(X
i
≤ x)[1 −P(X
j
> y)]
= P(X
i
≤ x)P (X
j
≤ y) .
Từ đó ta kết luận (2.1.1) và (2.1.2) tương đương.
2.1.3 Định nghĩa. Các biến ngẫu nhiên X
1
, ,X
n
được gọi là phụ thuộc âm
phía trên nếu với mọi số thực x
1
, ,x
n
,

P(X
i
> x
i
, i = 1,2, ,n) ≤
n
∏
i=1
P(X
i
> x
i
). (2.1.3)
Các biến ngẫu nhiên X
1
, ,X
n
được gọi là phụ thuộc âm phía dưới nếu với
mọi số thực x
1
, ,x
n
,
P(X
i
≤ x
i
, i = 1,2, ,n) ≤
n
∏

i=1
P(X
i
≤ x
i
). (2.1.4)
Các biến ngẫu nhiên X
1
, ,X
n
được gọi là phụ thuộc âm nếu chúng vừa là
phụ thuộc âm phía trên, vừa là phụ thuộc âm phía dưới.
Dãy vô hạn các biến ngẫu nhiên {X
n
, n ≥ 1} được gọi là phụ thuộc âm nếu
mọi tập con hữu hạn của nó phụ thuộc âm.
Ta nhận thấy rằng, nếu dấu bằng xảy ra ở (2.1.3) và (2.1.4) thì khái niệm biến
ngẫu nhiên phụ thuộc âm chính là khái niệm biến ngẫu nhiên độc lập. Vậy khái
13
niệm biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm là một mở rộng của khái niệm biến ngẫu
nhiên độc lập.
Một trong các tính chất quan trọng của biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm được
giới thiệu trong bổ đề sau.
2.1.4 Bổ đề. Nếu X
1
, ,X
n
là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm và f
1
, , f

n
là
các hàm Borel cùng đơn điệu tăng (hoặc giảm) thì f
1
(X
1
), , f
n
(X
n
) cũng là
dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm.
Chứng minh. Vì các hàm f
1
, , f
n
là các hàm Borel cùng đơn điệu tăng nên với
mọi y
1
,. . . ,y
n
∈R tồn tại x
1
,. . . .,x
n
∈R sao cho f
−1
i
((−∞, y
i

]) = (−∞, x
i
) và
f
−1
i
((y
i
, ∞)) = (x
i
, ∞). Do đó
P

n

i=1
( f (X
i
) ≤ y
i
)

= P

n

i=1
( f
i
(X

i
))
−1
(−∞, y
i
]

= P

n

i=1
X
−1
i
(−∞, x
i
]

= P

n

i=1
(X
i
≤ x
i
)


≤
n
∏
i=1
P(X
i
≤ x
i
)
=
n
∏
i=1
P

X
−1
i
(−∞, x
i
]

=
n
∏
i=1
P

X
−1

i

f
−1
i
(−∞, y
i
]

=
n
∏
i=1
P( f
i
(X
i
) ≤ y
i
).
Tương tự ta có P

n

i=1
f
i
(X
i
) > y

i

≤
n
∏
i=1
P( f
i
(X
i
) > y
i
). Từ đó ta suy ra
{f
1
(X
1
), , f
n
(X
n
)}
là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm.
2.2 Các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng
Trong Mục 2.2 chúng tôi giới thiệu khái niệm các biến ngẫu nhiên phụ thuộc
âm mở rộng. Đây là khái niệm chính liên quan đến đề tài luận văn. Khái niệm
phụ thuộc này được giới thiệu bởi Liu [17], và là một sự mở rộng của khái niệm
phụ thuộc âm được trình bày ở mục trước.
14
2.2.1 Định nghĩa. Các biến ngẫu nhiên

{
X
k
, k = 1, ,n
}
được gọi là biến ngẫu
nhiên phụ thuộc âm phía dưới mở rộng nếu tồn tại M ≥ 1 sao cho với mọi số
thực x
1
, ,x
n
, ta có
P

n

k=1
(X
k
≤ x
k
)

≤ M
n
∏
k=1
P(X
k
≤ x

k
). (2.2.1)
Trong trường hợp hai biến ngẫu nhiên thì bất đẳng thức (2.2.1) tương đương
với bất đẳng thức (2.2.2) sau đây. Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát (hữu
hạn các biến ngẫu nhiên) thì điều này không đúng nữa. Do đó, ta đưa ra khái
niệm phụ thuộc âm phía trên mở rộng sau đây.
2.2.2 Định nghĩa. Các biến ngẫu nhiên
{
X
k
, k = 1, ,n
}
được gọi là biến ngẫu
nhiên phụ thuộc âm phía trên mở rộng nếu tồn tại M ≥ 1 sao cho với mọi số
thực x
1
, ,x
n
, ta có
P

n

k=1
(X
k
> x
k
)


≤ M
n
∏
k=1
P(X
k
> x
k
). (2.2.2)
2.2.3 Định nghĩa. Các biến ngẫu nhiên
{
X
k
, k = 1, ,n
}
được gọi là biến ngẫu
nhiên phụ thuộc âm mở rộng nếu chúng vừa là phụ thuộc âm phía dưới mở rộng,
vừa là phụ thuộc âm phía trên mở rộng, có nghĩa là tồn tại M ≥ 1 sao cho với
mọi số thực x
1
, ,x
n
, ta có
P

n

k=1
(X
k

≤ x
k
)

≤ M
n
∏
k=1
P(X
k
≤ x
k
),
P

n

k=1
(X
k
> x
k
)

≤ M
n
∏
k=1
P(X
k

> x
k
).
Một dãy vô hạn các biến ngẫu nhiên
{
X
k
, k = 1,2
}
được gọi là phụ thuộc
âm phía dưới mở rộng, phụ thuộc âm phía trên mở rộng, phụ thuộc âm mở rộng
nếu với mỗi số nguyên dương n, dãy các biến ngẫu nhiên
{
X
k
, k = 1, ,n
}
là
phụ thuộc âm phía dưới mở rộng, phụ thuộc âm phía trên mở rộng, phụ thuộc
âm mở rộng, tương ứng.
Khi M = 1, ta thấy các khái niệm phụ thuộc âm phía dưới mở rộng, phụ thuộc
âm phía trên mở rộng và phụ thuộc âm mở rộng trùng với các khái niệm phụ
thuộc âm phía dưới, phụ thuộc âm phía trên và phụ thuộc âm, tương ứng.
15
2.3 Luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên phụ thuộc
âm mở rộng
Trong mục này, chúng tôi sẽ giới thiệu và chứng minh các bổ đề liên quan
đến kết quả chính của luận văn. Sau đó, sử dụng các bổ đề này để chứng minh
luật mạnh số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng. Bổ đề
sau đây được phát triển từ Bổ đề 3.1 của Liu [17].

2.3.1 Bổ đề. Giả sử {X
k
, k = 1, ,n} là các biến ngẫu nhiên và {g
k
, k =
1,. . . ,n} là các hàm thực. Khi đó
(a) Nếu {X
k
, k = 1,. . . ,n} là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm phía
trên mở rộng, thì
E

n
∏
k=1
X
+
k

≤ M
n
∏
k=1
EX
+
k
. (2.3.1)
(b) Giả sử rằng dãy các biến ngẫu nhiên {X
k
, k = 1,. . . ,n} là phụ thuộc âm

phía dưới mở rộng, phụ thuộc âm phía trên mở rộng, phụ thuộc âm mở rộng.
Nếu {g
k
, k = 1, , n} đều không giảm thì {g
k
(X
k
), k = 1,. . . , n} vẫn là biến
ngẫu nhiên phụ thuộc âm phía dưới mở rộng, phụ thuộc âm phía trên mở rộng,
phụ thuộc âm mở rộng, tương ứng, trong khi nếu {g
k
, k = 1,. . . , n} đều không
tăng thì {g
k
(X
k
), k = 1,. . . , n} là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm phía trên
mở rộng, phụ thuộc âm phía dưới mở rộng, phụ thuộc âm mở rộng, tương ứng.
Chứng minh. a. Theo định lý Fubini và bất đẳng thức (2.2.2) chúng ta có
E

n
∏
k=1
X
+
k

= E





(x
1
, ,x
n
)∈[0,∞)
n



n
∏
k=1
1
(
x
k
<X
+
k
)

n
∏
k=1
dx
k




=

(x
1
, ,x
n
)∈[0,∞)
n


P

n

k=1
(X
k
> x
k
)

n
∏
k=1
dx
k
≤ M


(x
1
, ,x
n
)∈[0,∞)
n



n
∏
k=1
P(X
k
> x
k
)

n
∏
k=1
dx
k
= M
n
∏
k=1
EX
+
k

. (2.3.2)
Chú ý phép lấy đạo hàm của (2.3.2) vẫn còn hiệu lực ngay cả khi EX
+
k
= ∞ với
mỗi số k = 1,. . . ,n.
16
b. Tất cả các khẳng định đều được chứng minh theo cùng một cách.
Chúng tôi chỉ chứng minh rằng nếu {X
k
, k=1, . ,n} là dãy các biến ngẫu
nhiên phụ thuộc âm phía dưới mở rộng và {g
k
, k = 1, ,n} đều không giảm
thì {g
k
(X
k
), k = 1, ,n} là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm phía dưới
mở rộng. Với mỗi k=1, ,n và mỗi số thực y
k
thì (g
k
(X
k
) ≤ y
k
) tương đương với
hoặc ∆
k

= (X
k
≤ x
k
) hoặc ∆
k
= (X
k
< x
k
), trong đó x
k
= sup
{
x : g
k
(x) ≤ y
k
}
∈
[−∞,∞].
Đối với trường hợp sau ∆
k
= (X
k
< x
k
) có thể được xấp xỉ bởi

X

k
≤ x
∗
k

khi
x
∗
k
→ x
k
−.
Do đó liên hệ (2.2.1) và tính liên tục của độ đo xác suất, chúng ta có
P

n

k=1
(g
k
(X
k
) ≤ y
k
)

= P

n


k=1
∆
k

≤ M
n
∏
k=1
P(∆
k
) = M
n
∏
k=1
P(g
k
(X
k
) ≤ y
k
).
Điều này kết thúc chứng minh Bổ đề 2.3.1.
Bổ đề Borel- Cantelli sau này được tổng quát bởi Kochen và Stone [14], và
đã được phát triển gần đây bởi Yan [21]. Nội dung bổ đề này được phát biểu
dưới đây.
2.3.2 Bổ đề. Cho
{
A
n
, n = 1, ,n

}
là một chuỗi các biến cố sao cho
∞
∑
n=1
P(A
n
) =
∞. Khi đó
P(A
n
i.o.) ≥ lim sup
n→∞
∑
1≤i≤j≤n
P(A
i
)P (A
j
)
∑
1≤i≤j≤n
P(A
i
A
j
)
,
trong đó (A
n

i.o.) = limsupA
n
=
∞

n=1
∞

k=n
A
k
.
Ta có P (A
n
i.o.) = P (limsupA
n
) = P

∞

n=1
∞

k=n
A
k

= lim
n→∞
P


∞

i=n
A
i

. Từ đó,
để chứng minh bổ đề trên ta sẽ chứng minh
P(A
n
i.o.) ≥ lim sup
n→∞

n
∑
i=1
P(A
i
)

2
n
∑
i, j=1
P(A
i
A
j
)

= lim sup
n→∞
∑
1≤i≤j≤n
P(A
i
)P(A
j
)
∑
1≤i≤j≤n
P(A
i
A
j
)
. (2.3.3)
17
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh
P

n

i=1
A
i

≥

n

∑
i=1
P(A
i
)

2
n
∑
i, j=1
P(A
i
A
j
)
. (2.3.4)
Cho X
i
= I
A
i
, theo bất đẳng thức Schwarz, ta có

E

n
∑
i=1
X
i


2
≤ P

n
∑
i=1
X
i
> 0

.E



n
∑
i=1
X
i

2


.
Từ P

n
∑
i=1

X
i
> 0

= P

n

i=1
A
i

ta suy ra bất đẳng thức
P

n

i=1
A
i

≥

n
∑
i=1
P(A
i
)


2
n
∑
i, j=1
P(A
i
A
j
)
.
.
Đặt
a
n
=

n
∑
i=1
P(A
i
)

2
,b
n
=
n
∑
i, j=1

P(A
i
A
j
).
Từ giả thiết ta có lim
n→∞
a
n
= ∞. Từ (2.3.4) ta suy ra lim
n→∞
b
n
= ∞, và
P

∞

i=m+1
A
i

= lim
n→∞
P

n

i=m+1
A

i

≥ lim sup
n→∞

√
a
n
−
√
a
m

2
b
n
−b
m
= lim sup
n→∞
a
n
b
n
.
Khi cho m → ∞ ta có bất đẳng thức (2.3.3). Vì
∞
∑
i=1
P(A

i
) = ∞,
và

n
∑
i=1
P(A
i
)

2
≤ 2
∑
1≤i≤j≤n
P(A
i
)P(A
j
) +
n
∑
i=1
P(A
i
).
Chúng ta có lim
n→∞
n
∑

i=1
P(A
i
)
∑
1≤i≤j≤n
P(A
i
)P
(
A
j
)
= 0, do đó đẳng thức ở (2.3.3) được chứng
minh.
18
Cho F là 1 phân phối trên (−∞, ∞). Cho δ > 0 tùy ý không đổi, xác định
hàm biến phụ f
δ
, f
+
δ
, f
−
δ
sao cho
f
δ
(x) = x
−δ


|
y
|
≤x
|
y
|
1+δ
F (dy)
= x
−δ

0≤y≤x
y
1+δ
F (dy) + x
−δ

−x≤y≤0
(−y)
1+δ
F (dy)
= f
+
δ
(x) + f
−
δ
(x)(x > 0). (2.3.5)

Các hàm biến phụ có vai trò rất quan trọng trong việc chứng minh kết quả chính
của luận văn. Bổ đề sau đây trình bày một số tính chất cơ bản của các hàm biến
phụ.
2.3.3 Bổ đề. Đối với các hàm biến phụ f
δ
, f
±
δ
xác định như trong (2.3.5). Khi
x → ∞, chúng ta có các kết quả sau
a) Nếu xP (X > x ) → 0 thì f
+
δ
(x) → 0.
b) Nếu xP (X < −x) → 0 thì f
−
δ
(x) → 0.
c) Nếu xP (
|
X
|
> x) → 0 thì f
δ
(x) = f
+
δ
(x) + f
−
δ

(x) → 0.
Chứng minh. Chúng tôi chỉ chứng minh a, còn b được chứng minh tương tự và
c là hệ quả trực tiếp của a và b.
Theo định lý Fubini, ta có
f
+
δ
(x) =
1 + δ
x
δ

x
0


y
o
z
δ
dz

F (dy)
=
1 + δ
x
δ

x
0


x
z
z
δ
F (dy) dz
≤
1 + δ
x
δ

x
0
z
δ
F (z)dz.
Với mỗi ε > 0 , có 1 số z
0
> 0, sao cho F (z) < ε.z
−1
với mọi z > z
0
.
Do đó
f
+
δ
(x) ≤
1 + δ
x

δ


z
0
0
z
δ
F (z)dz + ε

x
z
0
z
δ −1
dz

≤
1 + δ
x
δ


z
0
0
z
δ
F (z)dz +
ε

δ
x
δ

.
Do ε tùy ý chúng tôi kết luận rằng f
+
δ
(x) → 0 khi x → ∞. Từ đó ta có Bổ đề
2.3.3 được chứng minh.
19
Giả sử
{
X
k
, k = 1, ,n
}
là một dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm phía
trên mở rộng có cùng phân phối F và kỳ vọng 0. Cho 0 < v < 1 tùy ý không đổi,
đặt

X
k
= −vx1
(X
k
<−vx)
+ X
k
1

(−vx≤X
k
≤vx)
+ vx1
(X
k
>vx)
, k = 1,2,. . . (2.3.6)

X
k
được gọi là biến ngẫu nhiên bị chặt cụt và theo bổ đề 2.3.1.b thì

X
k
là biến
ngẫu nhiên phụ thuộc âm phía trên mở rộng.
Ký hiệu

S
n
=
n
∑
k=1

X
k
, n=1,2, ., và µ
±

= EX
±
1
. Đặc biệt µ
+
= µ
−
khi EX
1
= 0.
Trong mục tiếp theo chúng tôi sẽ thiết lập một số bất đẳng thức cho tổng

S
n
được
xác định như trên.
2.3.4 Bổ đề. Xét các biến ngẫu nhiên chặt cụt xác định tại (2.3.6), trong đó
{X
k
, k = 1,2, } là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm phía trên mở rộng
cùng phân phối F, có kỳ vọng 0. Khi đó, với mỗi v > 0, γ > 0, 0 < δ ≤1, 0 < θ <
1 tồn tại một số x
0
= x
0
(v,γ,δ ,θ ) sao cho với mọi n = 1,2, và x > (γn)∨x
0
,
ta có
P



S
n
> x

≤ M

f
+
δ
(vx) + vxF (vx)

(1−θ)

v
, (2.3.7)
với hàm biến phụ f
+
δ
xác định tại (2.3.5).
Chứng minh. Theo Bổ đề 2.3.1.b với mỗi v > 0,h > 0, dãy các biến ngẫu nhiên
{h

X
k
, k = 1,2, } là biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm phía trên mở rộng. Đặt
h = h(x) là một hàm số dương của x, sao cho h(x) → 0 khi x → ∞. Theo bất
đẳng thức Markov và Bổ đề 2.3.1.a, chúng ta có
P



S
n
> x

≤ e
−hx
Ee
h

S
n
≤ Me
−hx

Ee
h

X
1

n
. (2.3.8)
Bây giờ chúng ta sẽ ước lượng Ee
h

X
1
. Rõ ràng,

Ee
h

X
1
=



−vx≤y≤0
+

0≤y≤vx



e
hy
−1

F (dy)
+

e
hvx
−1

F (vx)

e

−hvx
−1

F (−vx −0) + 1
≤



−vx≤y≤0
+

0≤y≤vx



e
hy
−1

F (dy) +

e
hvx
−1

F (vx) + 1
= I
1
(x) + I
2

(x) + I
3
(x) + 1. (2.3.9)
20
Chúng ta sử dụng ý tưởng của Tang và Yan [20] để tính I
1
(x). Nếu lấy giá trị
y ≤ 0 thì ta suy ra 0 ≤
e
hy
−1−hy
h
≤ y

e
hy
−1

≤ −y. Sau đó, theo định lý hội tụ
ta có
lim
x→∞
I
1
(x)
h
=
0

−∞

lim
h→0
+
e
hy
−1 −hy
h
F (dy) −µ
−
= −µ
−
.
Điều này có nghĩa
I
1
(x) = −µ
−
h + o
1
(h), (2.3.10)
với o
1
(h) là hàm số thực của h > 0 thỏa mãn
o
1
(h)

h
→ 0 khi h → 0 + . Cho
0 < δ ≤ 1 tùy ý không đổi, theo tính đơn điệu của hàm số

(
e
hy
−1−hy
)

y
1+δ
với
y > 0, ta có
I
2
(x) ≤
vx

0
e
hy
−1 −hy
y
1+δ
y
1+δ
F (dy) + µ
+
h
≤
e
hvx
−1

(vx)
1+δ
vx

0
y
1+δ
F (dy) + µ
+
h
=
e
hvx
−1
hvx
f
+
δ
(vx)h + µ
+
h. (2.3.11)
Viết lại
I
3
(x) =
e
hvx
−1
hvx


vx
F (vx)

h. (2.3.12)
Chúng ta xác định h như sau
h =
1
vx
ln

1 +
1
f
+
δ
(vx) + vxF (vx)

. (2.3.13)
Chú ý rằng h → 0+ tương đương x → ∞ . Trên thực tế h → 0+ khi x → ∞ là
tầm thường, do đó f
+
δ
(vx) và vxF (vx) bị chặn bởi x > 0.
Từ đó, với một số x
∗
> 0 sao cho F (vx
∗
) −F (0) > 0 và với mọi x ≥ x
∗
thì

h ≤
1
vx
ln

1 +
1
f
+
δ

≤
1
vx
ln





1 +
(vx)
δ
vx
∗

0
y
1+δ
F (dy)






∼
δ ln x
vx
.
21
Thay thế (2.3.10),(2.3.13) vào (2.3.9) nhận thấy rằng cả hai f
+
δ
(vx) và vxF (vx)
hội tụ về 0 khi x → ∞. Chúng ta thu được
Ee
h

X
k
≤ o
1
(h) +
e
hvx
−1
hvx

f
+

δ
(vx) + vxF (vx)

h + 1
= o
1
(h) +
h
ln

1 +
1
f
+
δ
(vx)+vxF(vx)

+ 1
= o
2
(h) + 1. (2.3.14)
Thay thế (2.3.14) vào (2.3.8) và sử dụng bất đẳng thức cơ bản 1 +t < e
t
với mọi
số thực t, chúng ta có với mọi n = 1,2, và x > γn,
P


S
n

> x

≤ M exp
{
o
2
(h)n −hx
}
≤ M exp

|
o
2
(h)
|
γh
−1

hx

.
Cho 0 < θ ≤ 1 tùy ý không đổi, có một số x
0
> 0 sao cho với mọi x ≥ x
0
,
o
2
(h)
γh

≤ θ .
Từ đó với mọi n = 1,2, và
x ≥ (γn)∨x
0
,
P


S
n
> x

≤ M exp
{
−(1 −θ)hx
}
= M

1 +
1
f
+
δ
(vx) + vxF(vx)

−(1−θ)/v
,
đây chính là kết luận cho bất đẳng thức (2.3.7).
Bằng phương pháp đối xứng hóa rất dễ dàng áp dụng Bổ đề 2.3.4 để thiết lập
một bất đẳng thức tương tự đối với xác suất đuôi của





S
n



, n = 1, 2, Kết quả
đó được trình bày trong bổ đề sau.
2.3.5 Bổ đề. Xét các biến ngẫu nhiên bị chặt cụt được xác định tại (2.3.6),
trong đó {X
k
, k = 1,2, } là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng
có cùng phân phối F, có kỳ vọng 0. Khi đó, với mỗi v > 0, γ > 0, 0 < δ ≤
22
1, 0 < θ < 1 tồn tại một số x
0
= x
0
(v,γ,δ ,θ ) > 0 sao cho với mọi n = 1,2, ,
và x > (γn) ∨x
0
,
P






S
n



> x

≤ 2M( f
δ
(vx) + vxP (
|
X
1
|
> vx))
(1−θ)

v
, (2.3.15)
với hàm biến phụ f
δ
được xác định tại (2.3.5).
Chứng minh. Nhắc lại hai hàm biến phụ f
±
δ
xác định tại (2.3.5) . Để ý rằng,
theo Bổ đề 2.3.1.b, nếu các biến ngẫu nhiên {X
k
, k=1,2,. . . } là các biến ngẫu

nhiên phụ thuộc âm phía dưới mở rộng, thì {−

X
k
, k = 1,2, } là biến ngẫu
nhiên phụ thuộc âm phía trên mở rộng.
Vì vậy, áp dụng Bổ đề 2.3.4 cho dãy các biến ngẫu nhiên {−

X
k
, k = 1,2, , }
tồn tại một số x
0
= x
0
(v,γ,δ ,θ ) > 0 sao cho, với mọi n = 1,2, và x > (γn)∨
x
0
,
P

−

S
n
> x

≤ M

f

−
δ
(vx) + vxP (−X
1
> vx)

(1−θ)

v
. (2.3.16)
Một sự kết hợp đơn giản bất đẳng thức (2.3.7) và (2.3.16), với sự sửa đổi phù
hợp hằng số x
0
= x
0
(v,γ,δ ,θ ) > 0 với mọi n = 1,2, và x > (γn) ∨x
0
, ta có
P





S
n



> x


≤ M

f
+
δ
(vx) + vxP (X
1
> vx)

(1−θ)

v
+M

f
−
δ
(vx) + vxP (X
1
< −vx)

(1−θ)

v
≤ 2M( f
δ
(vx) + vxP (
|
X

1
|
> vx))
(1−θ)

v
.
Đây là điều chứng minh cho khẳng định của Bổ đề 2.3.5.
Bổ đề 2.3.5 chứng tỏ rằng nếu lựa chọn phù hợp θ , v thì P





S
n



> x

sẽ hội
tụ về 0. Bổ đề 2.3 của Tang (2006) cho kết quả tương tự đối với biến ngẫu nhiên
phụ thuộc âm.
Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày kết quả chính của luận văn. Nội
dung trọng tâm của mục này là giới thiệu và chứng minh điều kiện cần và đủ
của định lý luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng.
Kết quả này thuộc về Yiqing Chen, Anyue Chen, Kai W. Ng [7].
2.3.6 Định lí. Cho
{

X
k
, k = 1,2
}
là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm
mở rộng cùng phân phối F. Ký hiệu S
n
là tổng riêng của n phần tử, n = 1,2,. . .
Khi đó
S
n
n
a.s
−→ µ khi n → ∞ với mỗi số thực µ nếu và chỉ nếu E
|
X
1
|
< ∞, và đối
với mỗi trường hợp µ = EX
1
.
23
Trong đó X
n
a.s
−→ X nếu P

lim
n→∞

(
|
X
n
−X
|
) = 0

= 1.
2.3.6.1 Chứng minh điều kiện cần
Giả sử
S
n
n
a.s
−→ µ khi n → ∞. Điều này có nghĩa là
X
n

n
a.s
−→ 0 khi n → ∞, do
đó cả
X
+
n

n
a.s
−→ 0,

X
−
n

n
a.s
−→ 0, khi n → ∞. Ta sẽ chứng minh E
|
X
1
|
< ∞, và
µ = EX
1
.
Đặt A
n
= (X
+
n
> n) , với n = 1,2,. . . . Chúng ta có P (A
n
i.o) = 0. Từ đó suy
ra
∞
∑
n=1
P(A
n
) < ∞,

bởi vì nếu không, theo Bổ đề 2.3.2 và các cặp biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm
phía trên mở rộng của dãy
{
X
k
, k = 1,2,
}
, chúng ta sẽ có
P(A
n
i.o) ≥ lim
n→∞
sup
∑
1≤i≤j≤n
P(A
i
)P (A
j
)
∑
1≤i≤j≤n
P(A
i
A
j
)
≥
1
M

.
Do đó EX
+
1
=
∞
∑
n=0
n+1

n
P(X
1
> x)dx ≤ 1 +
∞
∑
n=1
P(A
n
) < ∞.
Chứng minh tương tự, chúng ta có EX
−
1
< ∞. Do đó E
|
X
1
|
< ∞. Cuối cùng,
phần còn lại của điều kiện đủ Định lý 2.3.6 chúng ta chứng minh như sau, tính

hữu hạn của E
|
X
1
|
đồng nghĩa
S
n

n
a.s
−→ EX
1
khi n → ∞. Do đó µ = EX
1
.
2.3.6.2 Chứng minh điều kiện đủ.
Kí hiệu S
(±)
n
=
n
∑
k=1
X
±
k
với n= 1,2,. . . và µ
±
= EX

±
1
như trên. Rõ ràng, chứng
minh điều kiện đủ là
S
(+)
n

n
a.s
−→ µ
+
,
S
(−)
n

n
a.s
−→ µ
−
khi n → ∞, với giả thiết
E
|
X
1
|
< ∞, và µ = EX
1
.

Chúng ta chỉ cần chứng minh phần trước, phần sau được chứng minh tương
tự.
Cho v > 0 tùy ý không đổi và n = 1,2,. . . , tương tự như trong (2.3.6) chúng
ta xác định

X
+
k,n
= −vn1
(
X
+
k
−µ
+
<−vn
)
+

X
+
k
−µ
+

1
(
−vn≤X
+
k

−µ
+
≤vn
)
+ vn1
(
X
+
k
−µ
+
>vn
)
,
với k = 1,. . . ,n.
Ký hiệu

S
(+)
n
=
n
∑
k=1

X
+
k,n
.
Cho ε > 0,α > 1 tùy ý không đổi, và ký hiệu [z] là số nguyên lớn nhất không

lớn hơn z.