Dãy farey và ứng dụng trong bài toán xấp xỉ tốt số vô tỷ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TR ƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN THỊ HẠNH
DÃY FAREY VÀ ỨNG DỤNG
TRONG BÀI TOÁN XẤP XỈ TỐT SỐ VÔ TỶ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGHỆ AN – 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TR ƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN THỊ HẠNH
DÃY FAREY VÀ ỨNG DỤNG TRONG
BÀI TOÁN XẤP XỈ TỐT SỐ VÔ TỶ
CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60 46 01 04
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. NGUYỄN THÀNH QUANG
NGHỆ AN - 2014
MỤC LỤC
TRANG
MỞ ĐẦU 1
CHƯƠNG 1
SỐ VÔ TỶ
4
1.1 Một vài ý nghĩa hình học của số vô tỷ 4
1.2 Số
π
9
1.3 Số e 13
1.4 Số vô tỷ đại số và số vô tỷ siêu việt 20
CHƯƠNG 2

DÃY FAREY VÀ ỨNG DỤNG
TRONG XẤP XỈ TỐT SỐ VÔ TỶ
28
2.1 Dãy Farey 28
2.2 Định lý Pick 39
2.3 Ứng dụng của dãy Farey trong xấp xỉ tốt số vô tỉ 41
2.4 Mô tả hình học của phép xấp xỉ vô tỷ dựa vào liên phân số
và dãy Farey
55
KẾT LUẬN 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO 58
1
MỞ ĐẦU
Trong toán học, số vô tỉ là số thực không phải là số hữu tỷ, nghĩa là nó
không thể biểu diễn được dưới dạng phân số
a
b
với
,a b
là các số nguyên,
0b ≠
.
Tập hợp số vô tỉ kí hiệu bởi
, , , 0 .
a
I x x a b b
b
 
= ∈ ≠ ∈ ≠
 

 
¡ ¢
Người ta đã chứng minh được rằng, tập hợp các số vô tỉ có lực lượng lớn
hơn tập hợp các số hữu tỉ. Nói khác đi, tập hợp các số vô tỷ có lực lượng quá đếm
được. Chúng ta thường quan tâm tới các số
( )
2
, , , 2
e
e
e e
π
π
. và cho rằng những
số này là số vô tỷ. Tuy nhiên những điều này cần phải được chứng minh. Lý thuyết
số liên quan tới những vấn đề như vậy. Trừ ra một ít trường hợp đơn giản, các vấn
đề nói trên thường cực khó và chúng thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học
nổi tiếng (Euler, Liouville, Cantor, Catalan, Napier… ).
Vì vậy, việc tìm hiểu những ý nghĩa và kết quả liên quan đến số vô tỷ và tìm
tòi các xấp xỉ của số vô tỉ trong Toán học là điều cần thiết và có ý nghĩa trong
giảng dạy và nghiên cứu toán học. Một trong những công cụ để tìm các xấp xỉ tốt
của số vô tỷ là dãy Farey và liên phân số. Tập các phân số dương tối giản, nhỏ hơn
1, có mẫu số không vượt quá n, sắp xếp theo thứ tự tăng dần được gọi là dãy Farey
thứ n. Dãy Farey là một đối tượng nghiên cứu của Số học có nhiều ứng dụng sâu
sắc trong các nghiên cứu về xấp xỉ của số vô tỷ.
Nếu như trước đây, Số học được xem là một trong những ngành lý thuyết xa
rời thực tiễn nhất, thì ngày nay, nhiều thành tựu mới nhất của số học có ứng dụng
trực tiếp vào các vấn đề của đời sống, như thông tin, mật mã, kỹ thuật máy tính.
2
Trong số học có những con số đặc biệt mà người ta thường gọi là những con số

vàng của toán học. Ngoài những tính chất đẹp đẽ diệu kỳ của nó, những con số này
còn có những ứng dụng bất ngờ và sâu sắc trong toán học và các lĩnh vực khác.
Việc tìm hiểu những con số vàng của toán học (chẳng hạn số e và số
π
) hết
sức cần thiết và có ý nghĩa. Chúng ta thử hình dung rằng, nếu trong toán học thiếu
vắng các số e và
π
thì tình hình toán học sẽ phát triển như thế nào?
Với lý do trên, trên cơ sở tham khảo các tài liệu số học có liên quan đã công
bố trong thời gian gần đây, luận văn “Dãy Farey và ứng dụng trong bài toán xấp
xỉ tốt số vô tỷ” nhằm tìm hiểu sâu hơn các ý nghĩa và kết quả sâu sắc của số vô tỷ
cũng như các ứng dụng của dãy Farey trong xấp xỉ số vô tỷ. Bố cục luận văn gồm
2 chương, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo. Nội dung chính của
luận văn:
1. Giới thiệu khái niệm và trình bày chứng minh chi tiết về
a) Một vài tính chất hình học của số vô tỷ.
b) Dãy Farey; Định lý Pick.
c) Xấp xỉ số vô tỷ.
2. Giải một số bài tập về số vô tỷ và dãy Farey .
Phương pháp nghiên cứu của luận văn:
- Sử dụng lý thuyết chia hết trên vành số nguyên và tính chất của số hữu tỉ.
- Sử dụng công cụ giới hạn của dãy số và hàm số thực.
- Sử dụng các tính chất của đa thức và dãy Farey trong xấp xỉ tốt số vô tỉ.
3
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn
Thành Quang. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc
đến Thầy về sự hướng dẫn tận tình và dạy bảo ân cần, chu đáo.
Tác giả xin cảm ơn các thầy cô giáo trong chuyên ngành Đại số và Lý
thuyết số, Khoa Sư phạm Toán học, Phòng Đào tạo Sau đại học của Trường Đại

học Vinh đã giảng dạy và tổ chức hướng dẫn cho chúng tôi trong học tập và
nghiên cứu.
Xin gửi lời cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Cửa Lò 2 – Sở Giáo dục
và Đào tạo Nghệ An, gia đình, anh chị em đồng nghiệp của tôi đã quan tâm tạo
điều kiện giúp đỡ trong suốt thời gian học tập vừa qua.
Tuy đã cố gắng trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết luận văn, song
chắc chắn vẫn còn có nhiều thiếu sót, tác giả rất mong được sự góp ý, chỉ bảo của
các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp.
TÁC GIẢ
4
CHƯƠNG 1
SỐ VÔ TỶ
1.1. Một vài ý nghĩa hình học của số vô tỷ
1.1.1. Số vô tỷ. Trong toán học, số vô tỉ là số thực không phải là số hữu tỷ, nghĩa là
không thể biểu diễn được dưới dạng phân số
, , , 0
a
a b b
b
∈ ≠
¢
. Nói cách khác, số
vô tỉ là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
Tập hợp tất cả các số vô tỉ được kí hiệu bởi
, , , 0 .
a
x x a b b
b
 
= ∈ ≠ ∈ ≠

 
 
I ¡ ¢
Ví dụ về số vô tỷ:
1. Số thập phân vô hạn có chu kỳ thay đổi:
0,1010010001000010000010000001
2. Số
2
= 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 7
3. Số
π

= 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 693…
4. Số lôgarit tự nhiên e = 2,71828 18284 59045 23536
Chúng ta xuất phát bằng một định lý rất đơn giản về số vô tỉ, mà gần như ai
cũng biết, bởi định lý này có một nghĩa ý nghĩa lịch sử to lớn, gắn liền với tên tuổi
của nhà toán học Hy-lạp nổi tiếng: Pithagoras, người đầu tiên phát hiện ra
2
là số
vô tỉ. Sự kiện này được đánh giá như là một trong những phát minh vĩ đại nhất của
nhân loại, tương đương với tầm cỡ như phát minh ra Hình học phi Euclid. Nhờ
phát minh này mà phát hiện được rằng độ dài đường chéo bằng
2
của một hình
vuông có cạnh đơn vị, là không thể đo được bằng phân số, hay là một số vô tỷ
(xem [10]).
1.1.2. Định lý Pithagoras.
2
là số vô tỉ.
5

Chứng minh. Giả sử
2
a
b
=
với a, b là các số nguyên nào đó, sao cho

( , ) 1a b
=
(1)
Từ đó suy ra
2 2
2a b
=
. (2)
Từ (2) suy ra
2
a
chẵn. Vì vậy, a chẵn, bởi nếu a lẻ thì
2
a
lẻ. Khi đó cho phép
chúng ta đặt
1
2a a
=
với
1
a
là số nguyên nào đó. Từ đó, chúng ta thu được từ (2):

2 2
1
4 2a b=
hay
2 2
1
2b a
=
.
Như vậy cả hai a và b đều là số chẵn. Điều này mâu thuẫn với giả thiết (1),
suy ra
2
không biểu thị được dưới dạng
a
b
. Định lý được chứng minh.■
1.1.3. Định lý. Nếu số nguyên m không phải là luỹ thừa bậc n của một số nguyên
nào đó, thì
n
m
là số vô tỉ.
Chứng minh. Giả sử phát biểu trên là sai, khi đó có các số nguyên a và b sao cho
, ( , ) 1.
n
a
m a b
b
= =
(3)
Do đó

n n
a mb
=
(4)
Nếu
1b =
thì
n
a m
=
nào đó, mâu thuẫn với giả thiết của định lý, cho nên
2b
≥
.
Do đó, tồn tại một nguyên tố p nào đó là ước của b. Do đó, từ (4) suy ra p là ước
của
n
a
hay p là ước của a. Như vậy p là ước chung của a và b, nhưng điều này là
không thể được vì a và b nguyên tố cùng nhau. Bởi vậy, định lý trên được chứng
minh. ■
1.1.4. Định lý. Giả sử
1
1
( )
n n
n
f x x a x a
−
= + + +L

là đa thức đơn hệ với hệ số
nguyên. Khi đó, mỗi nghiệm của phương trình
( ) 0f x =
hoặc là số nguyên hoặc là
số vô tỉ.
6
Chứng minh. Giả sử phát biểu trên không đúng. Khi đó, tồn tại một phân số hữu tỉ
tối giản
, 1
a
b
b
>
là nghiệm của phương trình
( ) 0f x
=
. Ta có:
1
1
0
n n
n
a a
a a
b b
−
   
+ + + =
 ÷  ÷
   

L
hay
1
1
0
n n n
n
a a a b a b
−
+ + + =
L
.
Do đó
( )
1
1
n n n
n
a a a b a b
−
= − + +L
.
Như vậy, b là ước của
n
a
. Vậy có một số nguyên tố p (ước nguyên tố của b)
là ước của
n
a
. Do đó, p là một ước nguyên tố chung của a và b. Điều này trái với

giả thiết
a
b
là phân số tối giản. Bởi vậy, định lý trên được chứng minh. ■
1.1.5. Hệ quả. Cho
,m n
là những số nguyên dương. Nếu
n
m
không phải là số
nguyên thì nó là số vô tỉ
Chứng minh. Số
n
m
là nghiệm của phương trình
0
n
x m
− =
. Như vậy, theo định
lý trên
n
m
sẽ hoặc là số nguyên hoặc là số vô tỉ. Nhưng chúng ta đã giả thiết rằng
nó không phải là số nguyên. Vậy từ đó ta có
n
m
là số vô tỉ. ■
Ví dụ.
3

3 3
2, 3, 5, 2, 3, 5,
là những số vô tỷ.
1.1.6. Dựng đoạn thẳng có độ dài vô tỉ. Cho trước một đoạn thẳng có độ dài 1
đơn vị. Hãy dùng thước và compa dựng các đoạn thẳng với độ dài theo dãy sau:
1, 2, 3, , n
.
Đầu tiên chúng ta dựng 1 tam giác vuông cân, cạnh góc vuông có độ dài 1
đơn vị, từ đó dựng được cạnh huyền có độ dài bằng
2
. Từ đoạn
2
đã có, ta
tiếp tục dựng đoạn vuông góc với đoạn
2
tại một trong 2 đầu mút, suy ra độ dài
cạnh huyền của tam giác vuông nhận 2 cạnh đó làm 2 cạnh góc vuông bằng
3
.
7
Cứ thế tiếp tục ta dựng được đoạn thẳng có độ dài căn n (thực ra sau khi dựng
được một vài đoạn nhỏ, ta có thể tổ hợp các đoạn nhỏ đó, để dựng một đoạn bất kỳ
lớn hơn, mà không cần phải tuần tự). Hình vẽ minh họa ở dưới đây:
1.1.7. Tỷ lệ vàng. Cùng với phát minh Định lý Pithagoras, Tỷ lệ vàng là một trong
hai phát minh vĩ đại nhất của loài người trong Hình học.
Hai đại lượng được gọi là có tỷ lệ vàng nếu tỷ số giữa tổng hai đại lượng đó
với đại lượng lớn hơn bằng tỷ số giữa đại lượng lớn hơn và đại lượng nhỏ hơn.
8
Tỷ lệ vàng được nhà toán học người Mỹ là Mark Barr ký hiệu là
φ

để tưởng
nhớ đến Phidias – nhà điều khắc đền Parthenon (Hy Lạp) – Một trong những công
trình cổ đại chịu ảnh hưởng của tỷ lệ vàng.
Định nghĩa tỷ lệ vàng được minh họa như sau:
a b a
a b
φ
+
= =
.
Phương trình này có nghiệm đại số xác định là một số vô tỷ
1 5
1,6180339887
2
φ
+
= ≈
Đến thời phục hưng, các nghệ sĩ và kiến trúc sư bắt đầu tính toán và xây
dựng tác phẩm của họ sao cho các tỷ số trong thiết kế xấp xỉ tỷ số vàng, đặc biệt là
hình chữ nhật vàng – tỷ số cạnh dài và cạnh ngắn bằng
φ
. Cờ Tổ quốc của các
quốc gia trên thế giới (trong đó có Việt Nam) đều được may theo hình chữ nhật với
tỷ lệ này.
1.1.8. Điểm vàng. Nhà toán học Euclid cũng đã từng nói đến tỷ lệ vàng trong các
tác phẩm bất hủ của ông mang tên “Những nguyên tắc cơ bản”. Theo ông, điểm I
nằm trên đoạn thẳng AB được gọi là điểm vàng nếu nó chia đoạn AB theo tỷ lệ
vàng, nghĩa là:
AB IA
IA IB

φ
= =
1.1.9. Các tính chất của số vô tỷ
φ
i)
1
φ φ φ
× = +

ii)
1
1
φ
φ
= −

Các tính chất này dễ dàng suy ra từ định nghĩa.
•
•
•
A
BI
9
1.2. Số
π
1.2.1. Giới thiệu. Số
π
(đọc là pi) là một hằng số toán học có giá trị bằng tỷ số
giữa chu vi của một đường tròn với độ dài đường kính của đường tròn đó. Hằng số
này có giá trị xấp xỉ bằng 3,14159. Nó được biểu diễn bằng chữ cái Hy Lạp

π

từ
giữa thế kỉ 18. Số
π
là một số vô tỉ. Hơn nữa,
π
còn là một số siêu việt - tức là nó
không phải là nghiệm của bất kì đa thức hệ số hữu tỉ khác không nào. Tính siêu
việt của
π
kéo theo sự vô nghiệm của bài toán cầu phương. Các con số trong biểu
diễn thập phân của
π
dường như xuất hiện theo một thứ tự ngẫu nhiên, mặc dù
người ta chưa tìm được bằng chứng nào cho tính ngẫu nhiên này.
Trong hàng ngàn năm, các nhà toán học đã nỗ lực mở rộng hiểu biết của con
người về số
π
, bằng việc tính ra giá trị của nó với độ chính xác ngày càng cao.
Trước thế kỉ XV, các nhà toán học như Archimedes và Lưu Huy đã sử dụng các kĩ
thuật hình học, dựa trên đa giác, để ước lượng giá trị của
π
. Bắt đầu từ thế kỉ XV,
những thuật toán mới dựa trên chuỗi vô hạn đã cách mạng hóa việc tính toán số
π
,
và được những nhà toán học như Madhava, Newton, Euler, Gauss và Ramanujan
sử dụng.
Trong thế kỷ XXI, các nhà toán học và các nhà khoa học máy tính đã khám

phá ra những cách tiếp cận mới - kết hợp với sức mạnh tính toán ngày càng cao -
để mở rộng khả năng biểu diễn thập phân của số
π
tới 10 nghìn tỉ (10
13
) chữ số.
Các ứng dụng khoa học thông thường yêu cầu không quá 40 chữ số của
π
, do đó
động lực của những tính toán này chủ yếu là tham vọng của con người muốn đạt
tới những kỉ lục mới, nhưng những tính toán đó cũng được sử dụng để kiểm tra các
siêu máy tính và thuật toán tính nhân với độ chính xác cao.
Do định nghĩa của
π
liên hệ với đường tròn, ta có thể tìm thấy nó trong
nhiều công thức lượng giác và hình học, đặc biệt là những công thức liên quan tới
đường tròn, đường elip, hoặc hình cầu. Nó cũng xuất hiện trong các công thức của
các ngành khoa học khác, như vũ trụ học, lý thuyết số, thống kê, phân dạng, nhiệt
10
động lực học, cơ học và điện từ học. Sự có mặt rộng khắp của số
π
khiến nó trở
thành một trong những hằng số toán học được biết đến nhiều nhất, cả bên trong lẫn
bên ngoài giới khoa học: một số sách viết riêng về số
π
đã được xuất bản; có cả
Ngày số pi; và báo chí thường đặt những tin về kỉ lục tính toán chữ số mới của
π
trên trang nhất. Một số người còn cố gắng ghi nhớ giá trị của
π

với độ chính xác
ngày càng tăng.
Sau đây chúng tôi giới thiệu phép chứng minh tính vô tỷ của các số:
2
,
π π
.
1.2.2. Định lý. Nếu
α
là số dương thì
0
!
n
n
α
→
khi
n
→ ∞
.
Chứng minh: Nếu m là số nguyên dương lớn hơn
α
thì

! 1 2 3 1
n
n m m n
α α α α α α α
= × × × × × × ×
+

! 1 2 ! 1
n m
m m
m m m n m m
α α α α α α
−
 
= × × × × < ×
 ÷
+ + +
 
Ở đây
0 1
1m
α
< <
+
. Do đó
0
1
n m
m
α
−
 
→
 ÷
+

 
khi
n
→∞
.
Vì vậy, chúng ta suy ra
0
!
n
n
α
→
khi
n
→ ∞
. ■
1.2.3. Định lý. Số
2
π

là một số vô tỷ.
Chứng minh. Ngược lại, chúng ta giả sử rằng
2
π
là số hữu tỉ, suy ra
2
a
b
π
=

với a, b
là số nguyên dương. Xét tích phân xác định
1
2 1
0
sin . ( ) ,
n n
I b x f x dx
π π
+
=
∫

11
với
( )
1
( ) .
!
n
n
x x
f x
n
−
=
Lấy tích phân từng phần chúng ta thu được
2 1 ' '' 2
2 3 2 1
1

cos x sin cos x cos x
. ( ) . ( ) . ( ) . ( )
0
n n n
n
x
I b f x f x f x f x
π π π π
π
π π π π
+
+
 
= − + + − ±
 ÷
 
L
Mọi số hạng trong biểu diễn này chứa
sin x
π
là bằng 0 bởi vì
( )
1
sin 0.
0
x
π
=
Mỗi số
hạng chứa

cos x
π
là một số nguyên có dạng:
2 1 2
2 1
1
cos x
. ( ) ,0
0
n n r
r
b f x r n
π
π
π
+
+
≤ ≤
( )
( )
2 2 2 2
2 2
cos . (1) (0)
(1) (0)
n n r r r
r n r r r
b f f
b a f f
π π
−

−
= −
= − −
Do đó, I là số nguyên với mọi n.
Mặt khác, nếu 0 < x < 1 thì
1
0 ( )
!
f x
n
< <
. Do đó:
2 1
2 1
.
0 sin . ( )
!
n n
n n
b
b x f x
n
π
π π
+
+
< <
(vì 0 <
sin x
π

<1).

1 1
2 1
2 1
0 0
.
0 sin . ( )
!
n n
n n
b
b x f x dx dx
n
π
π π
+
+
⇒ < <
∫ ∫

0
!
n
a
I
n
π
⇒ < <
vì

2
a
b
π
=
.
Mà
0
!
n
a
n
→
khi
n
→ ∞
. Do đó I < 1 với mọi giá trị đủ lớn của n và điều này là mâu
thuẫn với I là số nguyên với mọi n như đã khẳng định ở trên.
Vì vậy, ta suy ra
2
π

là số vô tỉ. ■
12
1.2.4. Hệ quả.
π
là số vô tỉ siêu việt.
Chứng minh. Nếu
π
là số hữu tỉ, khi đó hiển nhiên

2
π
cũng là số hữu tỉ. Điều đó
mâu thuẫn với Định lý 1.2.3 ở trên. Do đó,
π
là số vô tỉ. ■
1.2.5. Bài toán cầu phương hình tròn. Dùng thước kẻ và compa dựng một hình
vuông có diện tích bằng diện tích một hình tròn đã cho.
Giả sử độ dài cạnh hình vuông là x và lấy bán kính R của hình tròn làm đơn
vị dài thì bài toán đưa đến giải phương trình:
2
0.x
π
− =
Vì
π
là số vô tỷ siêu việt
trên
¤
nên
π
cũng vô tỷ siêu việt trên
¤
. Do đó, trường nghiệm
( )
π
¤
của
phương trình
2

0x
π
− =
không có bậc hữu hạn trên
¤
, hay phương trình
2
0x
π
− =
không giải được bằng căn thức bậc hai trên
¤
. Vì vậy, bài toán cầu phương hình
tròn không thể thực hiện được.■
13
1.3. Số e
1.3.1. Giới thiệu về số e
Hằng số toán học e là cơ số của lôgarit tự nhiên. Thỉnh thoảng nó được gọi
là số Euler, đặt theo tên nhà toán học Thụy Sĩ Leonhard Euler, hoặc hằng số
Napier để ghi công nhà toán học Scotland John Napier người đã phát minh ra
lôgarit. Số e là một trong những số quan trọng nhất trong toán học. Nó có một số
định nghĩa tương đương, một số trong chúng sẽ được đưa ra dưới đây.
Chỉ dẫn tham khảo đầu tiên tới hằng số này được xuất bản vào 1618 trong
bảng phụ lục của một công trình về lôgarit của John Napier. Thế nhưng, công trình
này không chứa hằng số e, mà đơn giản chỉ là một danh sách các lôgarit tự nhiên
được tính toán từ hằng số e. Bảng này được soạn bởi William Oughtred. Chỉ dẫn
đầu tiên cho biết về hằng số e được phát hiện bởi Jacob Bernoulli, trong khi tìm giá
trị của biểu thức:
1
lim 1

n
n
n
→∞
 
+
 ÷
 
Việc sử dụng đầu tiên ta từng biết của hằng số, biểu diễn bởi chữ cái b, là
trong liên lạc thư từ giữa Gottfried Leibniz và Christiaan Huygens giữa 1690 và
1691. Leonhard Euler bắt đầu sử dụng chữ cái e cho hằng số vào 1727, và việc sử
dụng e lần đầu tiên trong một ấn bản là cuốn Mechanica của Euler (1736).
Lí do chính xác cho việc sử dụng chữ cái e vẫn chưa được biết, nhưng có thể
đó là chữ cái đầu tiên của từ exponential (tiếng Anh: nghĩa thông thường là tăng
nhanh chóng, nghĩa trong toán học là hàm mũ). Một khả năng khác đó là Euler sử
dụng nó bởi vì nó là nguyên âm đầu tiên sau a (xem [10]).
1.3.2. Một số định nghĩa khác tương đương của số e
1. Số e là số thực dương duy nhất mà đạo hàm của hàm số mũ cơ số e chính là hàm
số đó
14
t t
d
e e
dt
=
.
2. Số e là số thực dương duy nhất sao cho
1
log
e

d
t
dt t
=
.
3. Số e là giới hạn
1
lim 1
n
n
e
n
→∞
 
= +
 ÷
 
4. Số e là tổng của chuỗi vô hạn
0
1 1 1 1 1 1
! 0! 1! 2! 3! 4!
n
e
n
∞
=
= = + + + + +
∑
L
trong đó n! là giai thừa của n.

5. Số e là số thực dương duy nhất thỏa mãn
1
1
1
e
dt
t
=
∫
(nghĩa là, số e là số mà diện tích dưới hyperbol f(t) = 1/t từ 1 tới e là bằng 1).
6. Biểu diễn số e dưới dạng phân số liên tục (hay liên phân số)
[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1, ,1,2 ,1, ]e n=

1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
1
4
e = +
+
+
+
+

+
O

15
1.3.3. Số chữ số thập phân đã biết của số e
Số chữ số thập phân đã biết của số e
Thời gian Số chữ số thập phân Tính bởi
1748 18 Leonhard Euler
1853 137 William Shanks
1871 205 William Shanks
1884 346 J. Marcus Boorman
1946 808 ?
1949 2.010 John von Neumann (trên ENIAC)
1961 100.265 Daniel Shanks & John Wrench
1981 116.000 Stephen Gary Wozniak (trên Apple II)
1994 10.000.000 Robert Nemiroff & Jerry Bonnell
5/1997 18.199.978 Patrick Demichel
8/1997 20.000.000 Birger Seifert
9/1997 50.000.817 Patrick Demichel
2/1999 200.000.579 Sebastian Wedeniwski
10/1999 869.894.101 Sebastian Wedeniwski
21/11/1999 1.250.000.000 Xavier Gourdon
10/7/2000 2.147.483.648 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
16/7/2000 3.221.225.472 Colin Martin & Xavier Gourdon
2/8/2000 6.442.450.944 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
16
16/8/2000 12.884.901.000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
21/8/2003 25.100.000.000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
18/9/2003 50.100.000.000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
27/4/2007 100.000.000.000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo

6/5/2009 200.000.000.000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
Dưới đây chúng tôi giới thiệu phép chứng minh tính vô tỷ của các số:
e
,
k
e
.
1.3.4. Định lý. Số
1 1 1
1
1! 2! 3!
e
= + + +
L
là số vô tỉ.
Chứng minh. Giả sử mệnh đề trên không đúng. Khi đó,
, ,
a
e a b
b
∗
= ∈
¥
. Do đó
( ) ( )
1 1 1 1 1 1
1
1! 2! 3! ! 1 ! 2 !
a
b b b b

= + + + + + + + +
+ +
Vì vậy:
( ) ( )
1 1 1 1 ! !
. ! 1 !
1! 2! 3! ! 1 ! 2 !
a b b
b b
b b b b
 
= + + + + + + + +
 ÷
+ +
 
L L
( )
( ) ( )
1 1
. 1 !
1 1 2
a b I
b b b
⇒ − = + + +
+ + +
L

với
1 1 1 1
1 !

1! 2! 3! !
I b
b
 
= + + + + +
 ÷
 
L
là một số nguyên. Do đó,
( 1)!a b −
là tổng của
một số nguyên với tổng
( ) ( )
1 1
1 1 2b b b
+ +
+ + +
L
Ta có:
17
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 3
1 1 1 1 1 1 1
1.
1 1 2 1 2 3 1
1 1
b b b b b b b b
b b
+ + + < + + + = <

+ + + + + + +
+ +
Vậy
( 1)!a b −
là tổng của một số nguyên dương với một số thực dương bé
hơn 1. Nhưng điều này không thể được, bởi a(b - 1)! là một số nguyên. Mâu thuẫn
này kết thúc chứng minh định lý của chúng ta. ■
1.3.5. Định lý. Cho
(1 )
( )
!
n n
x x
f x
n
−
=
. Khi đó
i)
1
0 ( ) , 0 1
!
f x x
n
< < < <
ii) Các giá trị của f(x) và các đạo hàm liên tục tại x = 0 và tại x = 1 là các số
nguyên.
iii)
( )
( )

2
0, 0.
n k
f x k
+
= ∀ >
Chứng minh. i) Ta có
0 1x
< <
. Như vậy
0 1 1x
< − <
. Do đó
( )
0 1 1x x
< − <
.
Khi đó
( )
1
1
0
! !
n
n
x x
n n
−
< <
1

0 ( )
!
f x
n
< <
.
ii) Chúng ta viết f(x) dưới dạng khai triển
( )
( )
1 2 2
2
1
( ) 1
! 2
n
n n n n
n n
f x x nx x x
n
+ +
 − 
= − + + + −
 ÷
 
L
.
Bởi vậy
18
( )
( ) ( )

1
'
(0) 0, 0 0, , (0) 0, (0) 1;
n n
f f f f
−
= = = =
( )
( )
( )
1
1 !
0 ( );
!
n
n
f n
n
+
+
= −
( )
( )
( ) ( )
2
2 ! 1
0 ;
! 2
n
n n n

f
n
+
+ −
=
( )
( )
( )
2
2 !
( 1) ,
!
n
n
n
f x x
n
= − ∀
( )
( )
2
0, 0
n k
f x k
+
= ∀ >
.
Từ trên suy ra được rằng giá trị của f(x) và các đạo hàm liên tục tại x = 0 là
số nguyên. Ta có
(1 ) (1 1 )

(1 ) ( )
!
n
x x
f x f x
n
− − +
− = =
.
Do đó các đạo hàm của f(x) và f(1 - x) là bằng nhau với giá trị như nhau của x.
Chọn x = 0 có
( ) ( )
(0) (1)
r r
f f
=
với mọi
0r
≥
. Điều này dẫn đến
( )
(1)
r
f
là số nguyên
với mọi r.
iii) Từ ii) ở trên, chúng ta đó thu được kết quả iii). ■
1.3.6. Định lý. Nếu k là một số nguyên dương. Khi đó,
k
e

là số vô tỉ.
Chứng minh. Giả sử mệnh đề trên sai. Khi đó,
k
a
e
b
=
với a, b là số nguyên
dương.
Lúc này, ta xét tích phân xác định:
1
2 1
0
( ) ,
n kx
I bk e f x dx
+
=
∫
19
trong đó
( )
1
( ) .
!
n
n
x x
f x
n

−
=
Lấy tích phân từng phần, chúng ta thu được:
( )
2
2 1 ' ''
2 3 2 1
1
( ) ( ) ( ) ( )
0
kx kx kx kx
n
n
n
e e e e
I bk f x f x f x f x
k k k k
+
+
 
= − + − +
 ÷
 
.
Từ đó
( )
( )
2
0
n k

f x
+
=
với k > 0. Số hạng tổng quát của vế phải của đẳng thức ở trên
là số nguyên có dạng:
( )
2 1
1
1
( )
0
kx
r
n
r
e
bk f x
k
+
+
 
 ÷
 
(với
0 2r n
≤ ≤
)

( ) ( )
2 1

1 1
1 1
. (1) (0)
r r
n
r r
a
bk f f
b k k
+
+ +
 
= −
 ÷
 
(do
k
a
e
b
=
)

( ) ( )
( )
2 1
1
. (1) . (0)
n
r r

r
k
a f b f
k
+
+
= −
,
bởi
1 2 1r n+ < +
và
( )
(1),
r
f

( )
(0)
r
f
là số nguyên. Do đó I là số nguyên với mọi n.
Mặt khác
1
0 ( ) ,0 1.
!
f x x
n
< < < <
Bởi vậy, ta có
0 ( ) .

!
kx
kx
e
e f x
n
< <

1 1
2 1
2 1
0 0
0 ( )
!
n
n kx kx
bk
bk e f x dx e dx
n
+
+
⇒ < <
∫ ∫

2 1
1
0 .
!
n k
bk e

I
n k
+
−
⇒ < <

( )
2
0 .
!
n
k
k
I be
n
⇒ < <
Nhưng theo Định lý 1.2.2 ta có
( )
2
0
!
n
k
n
→
khi
.n
→ ∞
.
20

Do đó I < 1 với giá trị đủ lớn của n và điều này trái với I là số nguyên như đã
khẳng định ở trên. Vì vậy, ta suy ra
k
e
là số vô tỉ. ■
1.3.7. Định lý. Cho hai số nguyên a, b sao cho một trong hai số đó có một thừa số
nguyên tố không phải là ước của số kia. Khi đó,
log
a
b
và
log
b
a
là các số vô tỷ.
Chứng minh. Giả sử ngược lại phát biểu trên không đúng. Khi đó:
log
a
s
b
t
=
.
Với s và t là các số nguyên dương. Từ đó suy ra:
s
t
a b
=

hay

t s
a b
=

Nhưng điều này không thể xảy ra vì một trong các số a, b chứa một thừa số
không phải là ước của số kia. Vì vậy,
log
a
b
là số vô tỷ. Chứng minh tương tự đối
với
log .
b
a
■
1.4. Số vô tỷ đại số và số vô tỷ siêu việt
1.4.1. Định nghĩa. Một số phức
α
được gọi là số đại số nếu
α
là nghiệm của một
đa thức khác không nào đó với hệ số hữu tỷ. Nói cách khác, số đại số là một số
phức
α
đại số trên trường
¤
các số hữu tỉ. Một số phức không phải là số đại số
được gọi là số siêu việt.
Cho số đại số
α

, ta gọi đa thức đơn hệ
( )x
ϕ
có bậc nhỏ nhất, với hệ số hữu
tỉ, nhận
α
làm nghiệm là đa thức cực tiểu của
α
. Ta cũng gọi bậc của đa thức
( )x
ϕ
là bậc của số đại số
α
và ký hiệu là deg
α
. Như vậy, deg
α
= deg
( )x
ϕ
.
Ví dụ. Đa thức x
2
+ 4 là đa thức cực tiểu của số đại số 2i, và deg 2i = 2.
Các số đại số
α
và
β
được gọi là liên hợp với nhau nếu chúng có cùng đa
thức cực tiểu.

1.4.2. Định lí. Tập hợp A tất cả các số đại số lập thành một trường con của
trường các số phức
£
.
21
Chứng minh. Giả sử
α
,
β
là các số đại số, deg
α
= n, deg
β
= m,
1 2
, , ,
n
α α α α
= K
là
tất cả các số liên hợp của
α
;
1 2
, , ,
m
β β β β
= K
là tất cả các số liên hợp của
β

.
a) Để kiểm tra A khép kín đối với phép cộng, chúng ta xét đa thức
( )
( )
1, ,
1, ,
( )
i j
i n
j m
f x x
α β
=
=
= − +
∏
K
K
.
Đây là một đa thức trên trường số phức, các hệ số của nó là những đa thức đối
xứng của
1
, ,
n
α α
K
và
1
, ,
m

β β
K
với hệ số hữu tỉ nguyên, cho nên các hệ số này là
những số hữu tỉ, nghĩa là ta có
( )
[ ]
f x x
∈
¤
.
Vì số
1 1
α β α β
+ = +
là một nghiệm của
( )
f x
, cho nên
α β
+
là số đại số.
b) Để kiểm tra tập hợp A khép kín đối với phép nhân, ta xét đa thức
( )
,
( )
i j
i j
g x x
α β
= −

∏
và với cách lập luận như trên, ta thu được số
αβ
là số đại số.
c) Giả sử
α
là nghiệm của đa thức:
( )
[ ]
1
1
n n
n
x x a x a x
ϕ
−
= + + + ∈
L ¤
.
Xét đa thức:
( ) ( ) ( )
[ ]
1
1
1
1 1
n n
n n
n
x x a x a x

ψ
−
−
= − + − + + ∈
L ¤
.
Ta có
( ) ( )
0
==−
αϕαψ
, nghĩa là
α
−
là nghiệm của đa thức
( )
x
ψ
, vậy
α
−
là một số
đại số.
d) Giả sử
0
α
≠
và
α
là nghiệm của đa thức

( )
x
ϕ
nói trên. Xét đa thức
( )
[ ]
2
1 2
1
n
n
x a x a x a x x
φ
= + + + + ∈
L ¤
.
Ta có
( )
( )
0
1
==
−−
αϕααφ
n
, nghĩa là
1
−
α
cũng là nghiệm của đa thức

( )
x
φ
.
Vậy
1−
α
là một số đại số.
Các kết quả trên chứng tỏ rằng A là trường con của trường số phức
£
. ■
1.4.3. Hệ quả. Tập hợp các số đại số thực
( )
∩
¡ ¡A = A
lập thành một trường con
của trường các số thực
¡
. Ta gọi
( )
¡A
là trường các số đại số thực.