P tương đẳng trên nửa nhóm p chính quy

1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
PHAN ĐÌNH PHƯƠNG
- TƯƠNG ĐẲNG
TRÊN NỬA NHÓM - CHÍNH QUY
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Nghệ An – 2014
2
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
PHAN ĐÌNH PHƯƠNG
- TƯƠNG ĐẲNG
TRÊN NỬA NHÓM - CHÍNH QUY
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên nghành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60.46.01.04
Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. LÊ QUỐC HÁN
Nghệ An – 2014
MỤC LỤC
3
Trang
Mục lục ………………………………………………………… …………… 1
Mở đầu …………………………………………………………….…………….2
Chương 1. NỬA NHÓM - CHÍNH QUY ………………………… … …….4
1.1 - hệ trong nửa nhóm chính quy ……………………………………………4
1.2. Nửa nhóm - chính quy……………………………………………………10
Chương 2. - TƯƠNG ĐẲNG TRÊN NỬA NHÓM - CHÍNH QUY…… 16
2.1. - đồng cấu và nửa nhóm thương của nửa nhóm - chính quy ………….16
2.2. Định lý mô tả - tương đẳng trên nửa nhóm - chính quy ………………20

KẾT LUẬN…………………………………………………………………… 31
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………32
MỞ ĐẦU
4
Trong lý thuyết nửa nhóm, lớp các nửa nhóm ngược khá hẹp và lớp các
nửa nhóm chính quy khá rộng. Do đó nhiều tác giả đã đặt vấn đề khảo sát các
lớp nửa nhóm nằm trung gian giữa hai lớp nửa nhóm này.
Năm 1978, T. E. Nordal và H. E. Scheiblich đã đưa ra khái niệm
∗−
nửa
nhóm chính quy. Đó là nửa nhóm chính quy
S

được trang bị một phép đối hợp
∗

thỏa mãn các điều kiện
xx x x
*
=
,
* * * * *
( ) , ( ) ( , )x x xy y x x y S= = ∀ ∈
.
Năm 1982 dựa trên các kết quả về - hệ trong nửa nhóm chính quy, M.
Yamada đã mô tả được cấu trúc của các
∗−
nửa nhóm chính quy. Năm 1987, M.
Yamada và M. K. Sen đưa ra khái niệm nửa nhóm - chính quy, một lớp nửa
nhóm là mở rộng thực sự của lớp

∗−

nửa nhóm chính quy và khảo sát cấu trúc
của lớp nửa nhóm này.
Một trong những đối tượng cần nghiên cứu khi khảo sát một nửa nhóm là
xét các tương đẳng trên nửa nhóm đó. Vì vậy, khi khảo sát cấu trúc của các nửa
nhóm - chính quy, một vấn đề đặt ra hết sức tự nhiên là mô tả các tương đẳng
trên nửa nhóm này.
Dựa trên công trình - congruences on - regular semigroups của M. K. Sen,
luận văn trình bày một số vấn đề liên quan đến các nửa nhóm - chính quy, đặc
biệt tập trung vào việc tìm hiểu định lý mô tả cấu trúc - tương đẳng trên nửa
nhóm - chính quy, một mở rộng thực sự của định lý Prestơn về cấu trúc của các
tương đẳng trên nửa nhóm ngược.
5
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, Luận văn gồm hai
chương.
Chương 1. Nửa nhóm – chính quy
Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày khái niệm - hệ trong nửa
nhóm chính quy,
∗−
nửa nhóm chính quy và mối quan hệ giữa chúng. Sau đó
chúng tôi trình bày khái niệm nửa nhóm - chính quy và các tính chất của nó.
Chương 2. - tương đẳng trên nửa nhóm - chính quy
Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày các khái niệm - đồng
cấu, - tương đẳng và nửa nhóm thương của nửa nhóm - chính quy và mối liên hệ
giữa chúng. Phần cuối của chương trình bày chứng minh chi tiết kết quả: Mỗi -
tương đẳng trên một nửa chóm - chính quy hoàn toàn được xác định bởi hệ - hạt
nhân chuẩn của nó.
Luận văn được hoàn thành hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự
hướng dẫn tận tình, chu đáo của PGS. TS. Lê Quốc Hán. Tác giả xin bày tỏ lòng

bết ơn sâu sắc đến thầy. Qua đây tác giả gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy
giáo, cô giáo trong khoa Toán, Phòng Sau Đại Học Trường Đại học Vinh cùng
các học viên cao học K20- Đại số đã quan tâm giúp đỡ và hướng dẫn tác giả
trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Mặc dù đã cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót.
Kính mong quý thầy, cô và bạn đọc đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
Nghệ An, tháng 05 năm 2014
Tác giả
6
CHƯƠNG 1. NỬA NHÓM - CHÍNH QUY
1.1. - hệ trong nửa nhóm chính quy
Giả sử
S

là một nửa nhóm. Phần tử
a S
∈

được gọi là phần tử chính quy
nếu có
x S∈

sao cho
axa a
=
. Nửa nhóm
S

được gọi là nửa nhóm chính quy

nếu mỗi phần từ của
S

là phần tử chính quy.
Với mỗi
x S
∈
, ta sẽ ký hiệu:
W( ) { = }a a S axa a
= ∈
.
Như vậy,
S
là nửa nhóm chính quy nếu và chỉ nếu
W( )a ≠ ∅

với mọi
a S
∈
.
Ký hiệu E
S
là tập hợp các phần tử lũy đẳng của
S
:
2
: { }
S
E x S x x= Î =
.

Nếu
S

chính quy thì
.
S
E ¹ Æ

Nói chung
S
E

không phải là nửa nhóm con của
S
. Nửa nhóm
S
được gọi là nửa nhóm orthodox nếu
S

là nửa nhóm chính quy và
S
E

là nửa nhóm con của
S
.
7
Giả sử
a

là phần tử của nửa nhóm
S
. Khi đó phần tử
b SÎ

được gọi là
phần tử ngược của
a

nếu
; .aba a bab a= =

Nửa nhóm
S
được gọi là nửa
nhóm ngược nếu mỗi phần tử của
S
có duy nhất một phần tử ngược. Với mỗi
a SÎ
, ký hiệu:
( )
: { , }V a b S aba a bab a= Î = =
. Thế thì
S

là nửa nhóm ngược
nếu và chỉ nếu
( )
1, .V a a S= Î

Nửa nhóm ngược là nửa nhóm orthodox, và do
đó nó là nửa nhóm chính quy.
1.1.1. Định nghĩa. Nửa nhóm chính quy
S
được gọi là một
∗−
nửa nhóm chính
quy(regular
∗−
semigroup) nếu trên
S
được trang bị phép toán một ngôi
: S S∗ →

thỏa mãn ba điều kiện: (1)
*
x , ;x x x x S
= ∀ ∈
(2)
( )
*
*
, ;x x x S= ∀ ∈
(3)
* * *
( ) , ,xy y x x y S= ∀ ∈
.
Một phần tử
x SÎ
được gọi là hình chiếu nếu

S
x EÎ
và
*
x x=
.
1.1.2. Định nghĩa. Giả sử
S

là một nửa nhóm chính quy. Một tập con
S
F

của
S
E
được gọi là - hệ của
S

nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
8
( )
( )
( )
* * *
*
2
1 , ! ( ): , ;
2 , ;
3 .

S
S S
S S
a S a V a aa a a F
a S a F a F
F F
∀ ∈ ∃ ∈ ∈
∀ ∈ ⊆
⊆
1.1.3. Bổ đề. Trong một
∗−
nửa nhóm chính quy, có:
(i) Nếu
S
e FÎ

thì
*
e e;=
(ii)
( )
*
*
S: ;a a a" Î =
(iii)
( )
*
* *
, S: ;a b ab b a" Î =
(iv)

S
a E" Î
, nếu
*
a a=
thì
S.
a FÎ
Chứng minh. Trực tiếp suy ra từ định nghĩa. 
1.1.4. Nhận xét. i) Từ Bổ đề 1.1.3, trực tiếp suy ra
*
S S
{ }.F a F a a= Î =
ii) Nếu
S

là
∗−
nửa nhóm chính quy và
S
F

là tập hợp các
hình chiếu của nó. Thế thì phép toán một ngôi xác định như trong định nghĩa trên
được gọi là
∗−
toán tử được xác định bởi
S
.
Ta nhắc lại rằng nếu

S

là một nhóm thì các quan hệ sau đây được gọi là
các quan hệ Grin trên nửa nhóm
S
:
9

1 1
1 1
1 1 1 1
0 0
b b
b
b bS
; ( ).
a S a S
a aS bS
a S aS S
⇔ =
⇔ =
⇔ =
= ∩ = =
L
R b
J
H L R D L R R L
1.1.5. Mệnh đề. Một nửa nhóm chính quy
S

là một
∗−
nửa nhóm chính quy
nếu và chỉ nếu
S

có một - hệ
.
S
F

Trong trường hợp này,
S
F

là một tập hợp các
hình chiếu của
S

tương thích với
∗−
toán tử được xác định bởi
.
S
F
Chứng minh. Điều kiện đủ suy ra từ Bổ đề 1.1.3 và Nhận xét 1.1.4 (i). Ta
chứng minh điều kiện cần
Giả sử
S
là một

∗ −
nửa nhóm chính quy và
.
S
F
là tập hợp các hình chiếu
của
S
, nghĩa là
*
S S
{ }.F a E a a= Î =
Rõ ràng các điều kiện (1)-(3) của Định
nghĩa 1.1.2 được thỏa mãn. Giả thiết rằng đối với
a SÎ
, tồn tại
#
a SÎ

sao cho
# #
S
, aa a a FÎ

và
( )
#
.a V aÎ
Thế thì
# #

a a a aL
. Vì một phép chiếu chứa trong một
- lớp duy nhất nên
# *
a a a a=
. Đối ngẫu, có
# *
aa aa=

nên
#
a aH
. Vì có nhiều
nhất một phần tử ngược trong một - lớp, nên
# *
.a a=

Từ đó, điều kiện (1) của
Định nghĩa 1.1.2 được thỏa mãn. 
10
1.1.6. Chú ý. Giả sử I là một tập hợp và
S

là một băng chữ nhật được xác định
bởi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
S: I I { i, j i I, j I} và i, j s,t i,t , i, j , ,t S.s= ´ = Î Î = " Î
Nếu
: I Iy ®

là một song ánh thì
( )
F {(i, i ) i I}
y
y= Î

là một - hệ của
S
.
Đảo lại, mọi - hệ của nửa nhóm
S

đều có thể được xây dựng như vậy. Từ đó -
hệ không duy nhất trong
S
.
Giả sử
( ) ( )
P { i,i i I} v F {(i, i ) \ i I}à y= Î = Î│
, trong đó
: I Iy ®

là một
song ánh, là một - hệ của
S
. Giả sử
*
và # là các
*-
toán tử trong

S

xác định
bởi P và F tương ứng. Xét ánh xạ
( ) ( )
: S, S,#j * ®

cho bởi
( ) ( )
i, j (i, i ).j y=
Thế
thì
( ) ( ) ( ) ( )
i, j , s,t ) i,t (i, t ).j j y= =

Mặt khác,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( i, j )( s,t ) (i, j )(s, t ) (i, t ).j j y y y= =

Hơn nữa,
( ) ( )
*
i, j j,i .=

Từ đó,
( )
( )
( )
*
i, j (j, i ).j y=

Như vậy,
( )
( )
( )
*
*
i, j ( i, j ) .j j=
Do đó là một đẳng cấu từ
( )
S,*

lên
( )
S,# .

Trong trường hợp này
( )
P Fj =
. Như vậy ta chứng minh được
kết quả sau.
11
1.1.7. Mệnh đề. Giả sử
1
F

và
2
F
là các - hệ của

S
,
∗

và # là các
∗−
toán tử
trong
S

được xác định bởi
1
F

và

2
F

tương

ứng. Thế thì tồn tại một đẳng cấu
( ) ( )
: , ,#S Sj * ®
thỏa mãn
1 2
( )F F
ϕ
=
.

1.1.8. Mệnh đề. Giả sử
S

là một nửa nhóm chính quy và
, F P

là các - hệ của
S
. Thế thì
F P=
.
Chứng minh. Giả sử
∗

và # là các
∗−
toán tử tương ứng trong
S
được
xác định bởi
F
và
P
. Giả sử
: F P j ®
và
: P Fy ®
là các ánh xạ được xác
định bởi
#

( ) eee
ϕ
=

và
( )
*
f ff
ψ
=
. Thế thì
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
* * *
,, ,, ,, ,,
ee ee ee e ee e F
ψ ψ ψ ψ ψ
= = = = ∈o
. Hơn nữa,
( ) ( ) ( ) ( )
* *
’’ ’’ ’’ ’’ ’’
ve ee ee ee à ee ee e FÎR R

đối với
e FÎ
. Vì tồn tại duy nhất một
hình chiếu (tương thích với
∗−

toán tự) trong mỗi - lớp của
S
, nên
( )
*
’’ ’’
ee e e e=
. Từ đó
( ) ( )
eey j =o
. Tương tự,
( ) ( )
,f f f Pj y = " Îo
. Nghĩa
12
là
F
i
ψ ψ
=
o
(ánh xạ đồng nhất của F) và
P
i
ϕ ψ
=o
. Như vậy, và
y

là các song

ánh nên
F P=
. □
1.1.9. Định lý. Giả sử
S

là một nửa nhóm chính quy được sinh bởi các lũy đẳng
và
S
E
là tập hợp các lũy đẳng của
S
. Nếu một tập con F của
S
E

thỏa mãn các
điều kiện:
(1) Với mọi

S
e EÎ
, tồn tại phần tử
*
( )
S
e V e EÎ Ç

sao cho
* *

, ee e e FÎ
;
(2) Với mọi

S
e EÎ
, có
*
;e Fe FÍ
(3)
2
.F FÌ

Thế thì F là - hệ của
S
. Từ đó
S

trở thành một
∗−
nửa nhóm chính quy.
Chứng minh. Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng F thỏa mãn các điều kiện của
Định nghĩa 1.1.2 đối với
S
. Rõ ràng, điều kiện (3) đúng. Ta chứng minh F thỏa
mãn điều kiện (1). Giả sử
S
a EÎ
. Khi đó tồn tại
( )

#
a V aÎ

sao cho
# #
, .aa a a FÎ
Điều này có thể chứng minh như sau: Đối với mọi
SaÎ
, giả sử a
’
là phần tử tùy
ý thuộc
( )
.V a

Khi đó
’
S
aa EÎ
. Mặt khác,
( ) ( )
*
’ ’
aa aa

(trong đó
∗

là
∗−

toán tử
13
trong
S
E
được xác định bởi F). Hơn nữa,
( )
( )
*
’ ’
.a aa V aÎ

Do đó tồn tại
( )
’’
a V aÎ

sao cho
’’ aa FÎ
. Tương tự, tồn tại
( )
a V a
+
Î

sao cho
a a F
+
Î
. Xét

tích
’’
a aa
+
. Thế thì
( )
’’
a aa V a
+
Î

và
( )
’’
.a a aa F
+
Î

Từ đó tồn tại
( )
#
a V aÎ

sao
cho
# #
,aa a a FÎ
. Giả thiết rằng
( ) ( )
# ’

, a V a a V aÎ Î

sao cho
# # ’
, ; , ’ .aa a a F aa a a FÎ Î

Thế thì
* ’
aa aaR
. Từ đó,
# ’
Faa aa= Î

(vì từ (1) trong
Mệnh đề 2.1.9 suy ra rằng trong một - lớp có thể chứa nhiều nhất một phần tử
của F). Tương tự
# ’
a a a a=
. Từ đó
# ’
a aH

nên
# ’
a a=
. Như vậy, điều kiện (1)
của Định nghĩa 1.1.2. được thỏa mãn.

Giả sử
1 2 n

e , e , ,e F¼ Î
. Thế thì
( )
*
1 2 n n n 2 1
e , e , ,e e e e , e¼ = ¼
. Trước hết, rõ
ràng
*
1 1
.e e=

Ta chứng minh nhận xét trên bằng quy nạp theo n. Với
n 2=
, có
( ) ( )
1 2 2 1 1 2 1
e , e e , e e e e F= Î

(theo (2), Định lý 2.19). Tương tự,
( ) ( )
2 1 1 2
e , e e , e F∈
. Từ đó
( )
*
1 2 2 1
e , e e e=
. Giả thiết rằng mệnh đề đúng đối với
n m –1≤

. Ta xét với
n m.
=
Thế thì
1 2 m 1 m m 1 1 1 2 m
e e e e e e e e e
− −
… … … =
14
( ) ( ) ( )
1 m 1 m 1 1 1 m 1 m
e e e e e e e
− − −
… …

( ) ( ) ( )
m 1 1 1 m 1 m 1 m m.
e e e e e e e e
− −
… = …
Từ đó
( )
m m 1 1 1 2 m
e e e e e e .V
−
… ∈
Hơn nữa
( ) ( )
1 m 1 m m m 1 1
e e e .e e e

− −
… =
( )
( )
1 2 m 1 m m 1 2 1
e (e e e e e e F
− −
… … ∈

(theo Định lý 2.1.9 tương tự,
( ) ( )
1 1
, , , ,
m m
e e e e F∈
. Do đó
( )
*
1 2 m m 1
e e e e e… = …
. Hơn nữa, với mỗi
a SÎ
,
tồn tại
1 2 n S
, , , f f f E
… ∈

sao cho
1 2 n

f f f a… =
. Từ đó tồn tại
1 2 m
e ,e , ,e F¼ Î
. sao
cho
1 2 m
e e e a¼ =
(vì f
i
= và cả hai f
i
, f
i
đều thuộc F). Từ đó
( ) ( )
*
m 1 1 m
e e e e e e a a F= ¼ ¼ Î
đối với mọi
e FÎ
. Do đó, F thỏa mãn điều kiện
(2) của Định nghĩa 1.1.2 đối với F, từ đó
S

nhận
F làm một - hệ của nó.
W
1.1.10. Định nghĩa. Giả sử
S

E

là tập hợp tất cả các lũy đẳng của nửa nhóm
chính quy
S
. Nếu một tập con F của
S
E
thỏa mãn các điều kiện
( ) ( ) ( )
1 , 2 , 3
trong
Định lý 1.1.9 thì F được gọi là - hệ của
S
E
.
Từ Định lý 1.1.9 trực tiếp suy ra các kết quả sau.
15
1.1.11. Hệ quả. Giả sử
S

là nửa nhóm chính quy và tồn tại một - hệ F của
S
E
thế thì nửa nhóm con
S
E

của
S

sinh bởi tập các lũy đẳng
S
E
của
S

nhận F
là một - hệ của nó. Từ đó, trong trường hợp này
S
E

trở thành một
∗−
nửa
nhóm chính quy.
1.1.12. Hệ quả. Giả sử
S

là nửa nhóm chính quy và
S
E

là tập hợp các lũy
đẳng của nó. Nếu F là một - hệ của
S
E

thì đối với mỗi
a S∈

tồn tại một phần tử
duy nhất
( )
*
a V aÎ

sao cho
* *
, .aa a a FÎ
Hơn nữa, nếu
F
thỏa mãn điều kiện
*
a Fa FÍ

đối với mọi
a S∈
, thế thì
F
là
một - hệ của
S
. Do đó
S
trở thành một
∗−
nửa nhóm chính quy.
Đảo lại, nếu
S

là một
∗ −
nửa nhóm chính quy thì tồn tại một - hệ
F
của
S
E
thỏa mãn
*
a Fa F⊆
.
1.2. Nửa nhóm - chính quy
16
1.2.1. Định nghĩa. (i) Giả sử
S

là một nửa nhóm chính quy,
S
E

là tập hợp các
lũy đẳng của
S
và P là một tập con của
S
E
. Thế thì cặp
( )
,S P

được gọi là một
nửa nhóm - chính quy (-regular semigroups) nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(1)
2
;
S
P EÍ
(2) Đối với mỗi
, c ;q P ó qPq PÎ Í
(3) Đối với mỗi
a SÎ
, tồn tại
( )
a V a
+
Î

sao cho
1 1
v ,aP a P à a P a P
+ +
Í Í
trong đó
{ }
1
1 .P P= È

Phần tử
a
+

được gọi là - nghịch đảo của
a
.
Ký hiệu nửa nhóm
( )
,S P

bởi
( )
.S P
Với mỗi
a SÎ
, ký hiệu
{
( )
P
V a a S a
+ +
= Î
là - nghịch đảo của
}
a
.
(ii) Một tập con P của
S
E

được gọi là một tập đặc trưng trong
S

nếu nó thỏa
mãn các điều kiện (1), (2), (3). Các tập đặc trưng còn được gọi là một C- tập.
1.2.2. Chú ý. (i) Trong mục 1.1 chúng ta đã trình bày khái niệm
∗−
nửa nhóm
chính quy là một nửa nhóm
S

được trang bị một phép toán đối hợp
∗
thỏa mãn
các điều kiện: Với mọi
, , ( ) ,( ) .ó ,x y S c x x xy y x xx x x
* * * * * *
Î = = =
17
Năm 1982, M. Yamada đã đặc trưng được cấu trúc của các
∗−
nửa nhóm
chính quy và đã chỉ ra được rằng một
∗−
nửa nhóm chính quy
S

thừa nhận một
phép nâng lũy thừa đặc biệt nếu và chỉ nếu
S
có một tập
S
P EÍ

sao cho các điều
kiện sau đây thỏa mãn.
(1)

x S" Î
, tồn tại duy nhất
( ): , ;x V x xx x x P
+ + +
Î Î
(2)
;x Px P
+
Í
(3)
2
S
.P EÍ
Trong trường hợp này, phép nâng lên lũy thừa đặc biệt + được định nghĩa bởi
*
,x x x S
+
= " Î

và khi đó
*
{ }P x x x= =

được gọi là tập hợp các hình chiếu của
∗−

nửa nhóm chính quy. Tập hợp P trong trường hợp đặc biệt của C- tập được
định nghĩa trong nửa nhóm - chính quy trên.
(ii) Đối với một họ bất kỳ các C- tập trong
i
P{P |i I}∈
, chúng ta có thể xét một
nửa nhóm - chính quy được trang bị với các
C
−
tập
{ }
i
P i I∈
, được ký hiệu bởi
i
S{P|i I}
∈
. Tuy nhiên, trong luận văn này chúng tôi chỉ xét các nửa nhóm - chính
18
quy được trang bị chỉ với C- tập mà không làm hạn chế tính tổng quát của các
vấn đề được trình bày.
1.2.3. Định nghĩa. Giả sử
( )
S P
là một nửa nhóm - chính quy. Đối với mỗi
,a SÎ

nếu tồn tại
V( ) a a
+

Î

sao cho
1 1
aP a P v a P a Pà
+ +
Í Í
, thì a
+
được gọi là
một phần tử - nghịch đảo của a. Khi đó cặp
( )
,a a
+

được gọi là một cặp - chính
quy.
Giả sử
( )
{
:
P
N S a S a= ∈

có một - nghịch đảo} thế thì
( )
P
N S
là nửa nhóm -
chính quy lớn nhất nhận

P
làm một C- tập. Khi đó
( )
P
N S
được gọi là phần
trong của
[ ]S P
.
Từ đây trở đi, đối với
[ ]
a S P∈
, nếu a có ít nhất một phần tử - nghịch đảo
thì V
P
(a) là tập hợp tất cả các phần tử - nghịch đảo của a.
1.2.4. Mệnh đề. Một nửa nhóm
S

là - chính quy với C- tập
P

nào đó nếu và chỉ
nếu với mỗi
a S∈
tồn tại một tập con khác rỗng
( )
Q a
của
( )

V a
, sao cho
hai điều kiện sau được thỏa mãn:
(i)
( )
'
a Q a
∈
kéo theo đối với
a S∈
;
19
(ii)
( ) ( )
' '
, ba Q a Q a
∈ ∈

kéo theo
( )
' '
b a Q a
∈
.
Chứng minh.
(i) Giả sử
( ) ( )
’ ’ ’ ’ ’
{ , } v P { , }.P a a a Q a a S à a a a Q a a S= Î Î = Î Î
Đối với

( )
( )
’ ’ ’
, c ,a a a Q a ó a Q aÎ Î

từ đó có thể đặt
( )
#
’
a a=
, thế thì
( ) ( ) ( )
# #
’ ’ ’ ’
, a Q a a a PÎ Î
, nghĩa là
’
a a PÎ
. Như vậy
'
P PÍ
. Tương tự
'
P P⊆
.
Do đó
'
P P
=
. Suy ra

pqp P∈

với
,p q P∈
. Từ đó
,
pp p P∈
với
p P∈
.
Giả sử
( ) ( )
, , v p p , qp q P ì Q Q pÎ Î Î
nên
( )
.qp Q pqÎ
Từ đó pq.
qp.pq pq=
và do đó
( )
2
pq pq=
, nghĩa là
S
pq EÎ
. Điều này kéo theo
2
S
P EÍ
.

Hơn nữa, nếu
a SÎ

thì tồn tại
( )
’
a Q aÎ
. Khi đó đối với mọi
x PÎ
tồn tại
b SÎ
sao cho
’
bb x=
đối với
( )
’
b Q bÎ

nào đó. Thế thì
, ’ ’
axa abb .a=
. Từ đó
( )
’ ’
b’a ab , axa Q PÎ Î
. Tương tự,
’
axa P PÎ =
. Như vậy

( )
S P

là nửa nhóm -
chính quy.
(ii) Giả sử
( )
S P
là nửa nhóm - chính quy. Lấy
( )
P
V a
như
( )
Q a
với mỗi
20
a SÎ
. Thế thì,
( )
P
{ }V a a SÎ

thỏa mãn các điều kiện. (i) – (ii). □
Các kết quả sau đây được thiết lập bởi M. Yamada và M. K. Sen năm
1987 (xem [7]).
1.2.5. Bổ đề. i) Giả sử
[ ]
S P
là một nửa nhóm - chính quy. Thế thì

S
P E=

nếu
và chỉ nếu
2
.P P=
ii) Giả sử
( )
: f S P T®

là một đẳng cấu từ nửa nhóm - chính quy
S
lên nửa nhóm chính quy T và
( )
{ }
P f q q P
= ∈
. Thế thì
( )
T P

là nửa nhóm -
chính quy.
1.2.6. Định nghĩa. (i) Trong một nửa nhóm chính quy
S
, tập con
S
P EÍ

được
gọi là đầy đủ hoàn toàn nếu
S
P E=
,
(ii) Nếu
P RÇ

(hay
P LÇ
) chứa chỉ một phần tử với mỗi - lớp R (tương
ứng, - lớp L) của
S
thì
P

được gọi là tập con đầy đủ bé nhất bên phải (hay bên
trái) của
S
. Hơn nữa, P được gọi là tập con đầy đủ nhỏ nhất nếu nó vừa là tập
con đầy đủ bé nhất bên phải vửa là tập con đầy đủ bé nhất bên trái.
Các kết quả sau đây đã được thiết lập trong [4].
21
1.2.7. Bổ đề. Giả sử
( )
S P
là một nửa nhóm - chính quy và
a SÎ
. Giả sử

, e f PÎ
sao cho
e a fR L
. Thế thì tồn tại một phần tử duy nhất
( )
a V a
+
Î
sao
cho
, aa e a a f
+ +
= =
1.2.8. Hệ quả. Giả sử a,b là hai phần tử của một nửa nhóm - chính quy
( )
.S P
Thế thì
a bH

nếu và chỉ nếu tồn tại
( )

P
a V a
+
∈
và
( )

P

b V b
+
∈
sao cho
aa bb
+ +
=

và
.a a b b
+ +
=
Giả sử
( )
S P

là một nửa nhóm - chính quy;
( )
,a a
+

là một cặp - chính quy.
Ký hiệu:
( )
0
{ , }.S a a a S
+
= ∈
Ta có các kết quả sau:
1.2.9. Bổ đề: (1) S

0
là
∗−
nửa nhóm chính quy với phép toán hai ngôi
o

và
phép toán một ngôi
∗

cho bởi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
*
, , , ; , , .a a b b ab b a a a a a
+ + + + + +
= =o
(2) Tập hợp tất cả các hình chiếu của
o
S
là
( )
{ , }.
o
P p p p S= Î
Từ đó ta nhận được kết quả sau.
22
1.2.10. Mệnh đề. Đối với nửa nhóm - chính quy
( )
S P
, tồn tại một

∗−
nửa
nhóm chính quy
o
S

và một đồng cấu f từ
o
S
lên
( )
S P
sao cho
( )

o
f P P=
,
trong đó
o
P
là tập các phép chiếu của
o
S
. Do đó, mỗi - nửa nhóm chính quy là
ảnh đồng cấu của một
∗−
nửa nhóm chính quy.
Phần còn lại của tiết này trình bày về nửa nhóm con - chính quy.
Giả sử T là một

∗−
nửa nhóm chính quy và Q là tập hợp tất cả các hình chiếu
của T. Thế thì T có thể được xét như nửa nhóm - chính quy
( )
T Q
. Do đó, trong
Mệnh đề 1.2.10, f là một đồng cấu từ
( )
S P
o o
lên
( )
S P

mà nó ánh xạ C- tập
0
P
lên C- tập P. Đồng cấu f như vậy gọi là - đồng cấu mà ta sẽ xét trong 2.1.
1.2.11. Định nghĩa. Giả sử T là một nửa nhóm con chính quy của nửa nhóm -
chính quy
S
. Khi đó T được gọi là một nửa nhóm con - chính quy của
( )
S P
nếu
T
( )T P E
∩

là một nửa nhóm - chính quy.

Khi đó ta ký hiệu
T
P E∩

bởi
T
P
.
23
1.2.12. Mệnh đề. Giả sử
( )
T
T P

là một nửa nhóm con - chính quy của nửa nhóm
- chính quy của
( )
S P
. Đối với
( )
, ,
T
a b T P b∈

là một phần tử - nghịch đảo của
a trong
( )
S P

nếu và chỉ nếu b là một phần tử - nghịch đảo của a trong

( )
T
T P
Chứng minh: Giả sử b là một phần tử - nghịch đảo của a trong

( ) ( )
, b .
T
T P
T P V a∈

Giả sử
ab p=

và
ba q=
. Thế thì
,p q PÎ

vì
( )
S P

là một
nửa nhóm – chính quy và
,p q PÎ
nên theo Bổ đề 1.2.7, tồn tại
0

P

b HÎ
(- lớp
chứa) sao cho
( )
0

P
b V aÎ
. Vì
( )
0 0
, v ,
P
b b H à b b V aÎ Î
nên
0
b b=
. Nghĩa là

1 1
, .bP a aP b P⊆
Từ đó b là nghịch đảo của a trong
( )
S P
.
Đảo lại, giả sử b là phần tử nghịch đảo của a trong
( )
S P
. Vì
( )

P
b V a∈
nên
( )
b V a∈
. Đặt lại
,ab p ba q= =
, vì
( )
T
T P

là nửa nhóm - chính quy và
( )
, , ,
T
a b p q T P∈

nên tồn tại
( )
T
c T P∈

sao cho
( )
.
T
P
c V a∈
và

,ac p ca q= =
. Do
đó cb và
( )
,c b V a∈
. Từ đó
c b
=
.
Kết quả sau đây là hiển nhiên.
1.2.13. Mệnh đề. Giả sử
( )
S P

là một nửa nhóm - chính quy. Thế thì
24

( ) ( )
={( | , } { | , }.
P P
P aa a V a a S a a a V a a S
+ + + +
∈ ∈ = ∈ ∈
1.2.14. Mệnh đề. Giả sử
( )
S P

là một nửa nhóm - chính quy và
T

là một nửa
nhóm con chính quy của
S
. Đặt

T
P T P∩ =
, thế thì
( )
T
T P

là nửa nhóm - chính
quy nếu và chỉ nếu mỗi - lớp và - lớp của
T

chứa các phần tử của
P
.
Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên. Ta chứng minh điều kiện đủ.
Muốn vậy ta chỉ cần chứng tỏ rằng đối với
a T∈
tồn tại
( )
a V a
+
∈

sao cho
a T

+
∈
và
1 1
,
T T T
aP a a P a P
+ +
⊆
. Thật vậy, đối với
a T∈

tồn tại
,
T
p q P∈

sao cho
pa và aq. Từ đó theo Bổ đề 1.2.11 tồn tại
( )
a V a
+
∈

sao cho
a a p
+
=

và

aa q
+
=
. Thế thì a
+
q và a
+
p. Vì
, ,p q a T∈

nên tồn tại
( )
'
a V a T∈ ∩

sao cho
'

P q
a L R Ha
+
∈ ∩ =
(trong
S
), trong đó
p p
L , R v Haà
+

tương ứng là - lớp, - lớp

và - lớp chứa
, ,p q a
+
. Vì tồn tại duy nhất một nghịch đảo của a trong
T
H

của
S
nên của
S

nên
'
a a
+
=
. Như vậy
a T
+
∈
. Do đó
25
1 1 1
( )
T
a P T a aP a aT a P T P
+
∩ ⊆ ∩ ⊆ ∩ =
. Tương tự,

1
( )
T
a P T a P
+
∩ ⊆
. Từ đó
( )
T
T P

là nửa nhóm - chính quy. □
Chương 2
– TƯƠNG ĐẲNG TRONG NỬA NHÓM CHÍNH QUY
2.1. cấu và nửa nhóm thương của nửa nhóm - chính quy
2.1.1. Định nghĩa. Giả sử
( )
1
S P

và
( )
2
T P

là các nửa nhóm - chính quy. Ánh xạ
( ) ( )
1 2
: f S P S P→

được gọi là một - đồng cấu nếu hai điều kiện sau đây được
thỏa mãn :
(1) là một đồng cấu nửa nhóm;
(2)
( ) ( )
( )
1 1 2
f P S P P
= ∩
.
2.1.2. Mệnh đề. Nếu
( )
1 2
: ( ) f S P T P→

là một - đồng cấu thì
( )
( )
1
f S P

là một nửa
nhóm con - chính quy của
( )
2
T P
.
Chứng minh. Rõ ràng
( )
( )

1
f S P
là nửa nhóm con của
( )
2
T P
. Ta lại có

( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
1 2 1 1 1
[ )] f .
T
P P f S P E f S P E S P⊆ ∩ ⊆ ∩ ⊆

Giả sử
( ) ( )
( )
1
f a f S P∈
,
trong đó
( )
1
a S P∈

. Thế thì tồn tại
1
, p q P∈
sao cho paq trong
( )
1
S P
.