Tập đại số bất khả qui trên đường thẳng, trên mặt phẳng, trong không gian và iđêan của chúng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHAN THỊ HUYỀN

TẬP ĐẠI SỐ BẤT KHẢ QUI TRÊN ĐƯỜNG
THẲNG,
TRÊN MẶT PHẲNG, TRONG KHÔNG GIAN
VÀ IĐÊAN CỦA CHÚNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2014
2
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
PHAN THỊ HUYỀN
TẬP ĐẠI SỐ BẤT KHẢ QUI TRÊN ĐƯỜNG
THẲNG,
TRÊN MẶT PHẲNG, TRONG KHÔNG GIAN
VÀ IĐÊAN CỦA CHÚNG
Chuyên ngành: Hình học - Tôpô
Mã số: 62.46.01.05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. NGUYỄN HUỲNH PHÁN
NGHỆ AN - 2014
LỜI CẢM ƠN
Với việc hoàn thành bản Luận văn này, tôi xin được bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc của mình tới Phó Giáo sư - Tiến sĩ
Nguyễn Huỳnh Phán
, người

đã nhiệt tình từng bước hướng dẫn tôi thực hiện việc nghiên cứu đề tài: từ
việc gợi ý, cung cấp các
tài
liệu nghiên cứu, hướng dẫn các phương pháp
thực hiện và truyền đạt nhiều kiến thức quý báu trong suốt quá trình học
tập và
thực
hiện nghiên cứu để viết luận văn đến việc chỉnh sửa và hoàn
chỉnh nội dung của bài
luận.
Tác giả cũng xin được chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán -
Trường Đại học Vinh, nơi tác giả học tập đã nhiệt tình đóng góp các ý kiến
quý báu. Bên cạnh đó tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới bạn bè, đồng nghiệp
đã tạo điều kiện giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn.
Mặc dù đã cố gắng nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả
rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn.
Xin chân thành cảm ơn !
Vinh, tháng 10 năm 2014
Tác giả

Phan Thị Huyền
MỤC LỤC
Trang
LỜI MỞ ĐẦU 7
1. Lý do chọn đề tài
2. Đối tượng nghiên cứu
3. Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu
4. Phương pháp nghiên cứu
5. Dự kiến đóng góp
6. Kết cấu luận văn

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 9
PHẦN I. TẬP ĐẠI SỐ 9
1.1. Khái niệm tập đại số
1.2. Một số tính chất cơ bản của tập đại số
PHẦN II. IĐEAN 13
2.1. Định nghĩa
2.2. Ví dụ
2.3. Tính chất
PHẦN III. ÁNH XẠ ZARISKI 16
3.1. Ánh xạ Zariski
3.2. Một ví dụ về ánh xạ Zariski
PHẦN IV. TÍNH CHẤT CỦA IĐÊAN TRONG TẬP ĐẠI SỐ.19
4.1. Nhận xét
4.3. Định lí
4.4. Ví dụ
PHẦN V. MỐI QUAN HỆ GIỮA IĐÊAN NGUYÊN TỐ VÀ
TẬP ĐẠI SỐ BẤT KHẢ QUY 23
5.8. Ví dụ
5.10. Ví dụ
5.17. Hệ quả
Chương 2 CÁC TẬP ĐẠI SỐ BẤT KHẢ QUI TRÊN ĐƯỜNG
THẲNG, TRONG MẶT PHẲNG, TRONG KHÔNG GIAN VÀ
IĐÊAN CỦA CHÚNG 27
2.1. Tập đại số trên đường thẳng và iđêan của chúng
2.2. Tập đại số trên mặt phẳng và iđêan của chúng
2.3. Tập đại số trong không gian và iđêan của chúng
2.4. Thêm một số tập đại số khác trong chương trình toán phổ thông

KẾT LUẬN 43
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 44

6
LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hình học đại số là bộ môn nghiên cứu các hình là tập nghiệm của các đa
thức. Để làm được điều này người ta đã dùng các phương trình đa thức để mô
tả các hình hình học và quy các vấn đề hình học về việc nghiên cứu tập
nghiệm của một hệ phương trình đa thức.
Hình học đại số có vai trò hết sức quan trọng trong toán học hiện đại và
nó kết nối nhiều ngành toán học như Giải tích, Đại số, Hình học, Tôpô,… lại
với nhau. Chẳng hạn, có thể thấy hầu hết các hình hình học trong hình học
phổ thông, Hình học afin, Hình học xạ ảnh và nhiều hình thường xét trong các
ngành toán học khác… đều là các tập đại số.
Hình học afin, Hình học Ơclit, Hình học xạ ảnh đã dùng công cụ đại số
là Đại số tuyến tính để nghiên cứu, còn Hình học đại số dùng Đại số giao
hoán để làm công cụ nghiên cứu. Công cụ chính của hình học đại số là đại số
giao hoán nên đòi hỏi người học cũng phải nắm vững không chỉ kiến thức về
hình học mà cả kiến thức cơ bản về đại số giao hoán như nhóm, vành, trường,
mô đun, iđêan,…
Iđêan là một khái niệm cơ bản và quan trọng của Đại số và có rất nhiều
tính chất quan trọng trong Hình học đại số. Qua quá trình học Chuyên đề
Nhập môn Hình học đại số tôi thấy rằng tính chất của iđêan thể hiện trong
hình học đại số rất nhiều và rất quan trọng.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về hình học đại số thông qua việc nghiên
cứu, phân tích một số yếu tố của nó trong R
1
, R
2
, R
3
và Iđêan của chúng, tác giả đã

chọn đề tài : “Tập đại số bất khả qui trên đường thẳng, trên mặt phẳng,
trong không gian và iđêan của chúng”.
7
Sau khi tìm hiểu, lựa chọn lĩnh vực Hình học đại số, tôi nhận thấy tập
đại số bất khả qui trên đường thẳng, trên mặt phẳng , trong không gian có ứng
dụng giải toán phổ thông, cùng với sự động viên, khích lệ của Thầy Nguyễn
Huỳnh Phán là phương châm để tôi thực hiện đề tài này.
2. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là các tập đại số bất khả qui trong chương trình
toán phổ thông hiên nay.
3. Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu
Tác giả nghiên cứu các tập đại số bất khả qui trên đường thẳng, trên mặt
phẳng, trong không gian và iđêan của chúng.
4. Phương pháp nghiên cứu
Chủ yếu là phương pháp nghiên cứu lý thuyết và minh họa qua các ví
dụ. Cụ thể luận văn dùng phương pháp so sánh, phân tích, tương tự hóa, khái
quát hóa, tổng hợp…đánh giá các tập đại số bất khả qui của các hàm số trong
toán phổ thông.
5. Dự kiến đóng góp
Hệ thống các tập đại số bất khả qui trên đường thẳng ,trên mặt phẳng,
trong không gian và iđêan của chúng.
6. Kết cấu luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn
được kết cấu thành hai chương :
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2:Các tập đại số bất khả qui trên đường thẳng, trên mặt phẳng,
trong không gian và iđêan của chúng
8
Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

PHẦN I. TẬP ĐẠI SỐ
1.1. Khái niệm tập đại số
1.1.1. Định nghĩa
Cho A là vành giao hoán có đơn vị 1≠ 0 . Vành đa thức n biến
, , ,
1 2
x x x
n
trên A là tập A[X] : = A[
, , ,
1 2
x x x
n
]. Mỗi phần tử f của A[X] được gọi là đa thức,
nó có dạng
1 2
1 2
1 2
=
, , ,
1 2

n
n
n
r
r r
f x x x
r r r n
r r r d

λ
∑
+ + + ≤
với d là một số tự nhiên nào đó và
21
, , ,
n
r r r
λ

∈
A gọi là các hệ tử. Khi A là
trường ta gọi chúng là các hệ số. Các biểu thức
21

1 2
n
r r
r
x x x
n
được gọi là các
đơn thức. Bậc của đơn thức
21

1 2
n
r r
r
x x x

n
là tổng các số mũ r
1
+ r
2
+… + r
n
.
Bậc của f
≠
0 là bậc lớn nhất của các đơn thức trong f và ký hiệu là degf . Nếu f
= 0, ta quy định degf =
−∞
. Nếu 0
≠
f
∈
A, ta nói degf = 0. Khi degf = 1, ta
nói f là đa thức bậc nhất, nó luôn có dạng f =
1

1 1 2 2
n
a x a x a x a
n n
+
+ + + +
,
trong đó ít nhất phải có một hệ tử gắn biến khác không.
1.1.2. Định nghĩa tập đại số

Cho K là trường, tập con V
⊆
K
n
được gọi là tập đại số nếu nó là
nghiệm của một họ các đa thức n biến trong
[ ]
XK
.
Ta ký hiệu tập nghiệm của đa thức f là Z(f).
Thế thì
( )
( )
{ }
0
n
Z f a K f a
= ∈ =
Ví dụ (về tập đại số):
1. Tập rỗng
φ
là tập đại số vì phương trình f = 0 với f
∈
K mà f
≠
0 là
vô nghiệm.
9
2. Tập 1 điểm a = (a
1

, a
2
,…., a
n
) là tập đại số vì đó là nghiệm của hệ n
phương trình tuyến tính
- a = 0
= 1, 2, , n
x
i i
i





3. Các m – phẳng trong không gian afin K
n
là các tập đại số vì đó là
nghiệm của các đa thức bậc nhất có phương trình dạng:
Trong đó n-m ≤ p≤ n và ma trận hệ số có hạng bằng n-m.
Nói riêng, đường thẳng ,mặt phẳng đều là tập đại số
4. K
n
là tập đại số vì nó là nghiệm của phương trình 0 = 0.
Chú ý. Khái niệm “Tập đại số” không phụ thuộc và việc chọn tọa độ,
nghĩa là nếu V là nghiệm của một hệ các đa thức f(x
1
, x
2

,…., x
n
)
∈
S, thì với
tọa độ mới (y
1
, y
2
,…., y
n
), ta có
= c + c + c + + c
0 1 1 2 2
= 1, 2, , n
x y y y
n
i in
i i i
i





Thì các điểm trong V với tọa độ mới là nghiệm của hệ phương trình
f(c
10
+ c
11

y
1
+….+ c
1n
y
n
,… , c
n0
+ c
n1
y
1
+….+ c
nn
y
n
) = 0, f
∈
S.
Như vậy ta có: Nếu deg f = 0 thì
, f = 0
Z(f)
, f 0
n
K
φ





=
≠

Nếu deg f > 0 thì Z(f) gọi là siêu mặt. Nói riêng, nếu deg f = 1 (nghĩa
là f là đa thức bậc nhất) thì Z(f) là một siêu phẳng.
Cho S là tập con bất kỳ của K[X]. Ký hiệu Z(S) là tập nghiệm của tất cả
các đa thức trong S (thường gọi vắn tắt là tập nghiệm của S), nghĩa là Z(S) là
một tập đại số. Ta có Z(S) =
( )
f S
Z f
∈
I
.
Chú ý: Tương ứng S
a
Z(S) cho một ánh xạ từ họ tất cả các tập con
của vành đa thức K[X] đến họ tất cả các tập con của không gian afin K
n
.
10
( )
( )
Z
I

[ ]
n
K X K
→

¬ 
℘ ℘
Ví dụ.
1/ Nếu f là đa thức 1 biến, thì các tập đại số Z(f) chỉ có thể là : tập rỗng ;
là tập hữu hạn hoặc toàn bộ K. vì các đa thức một biến trên trường K có thể
vô nghiệm, hữu hạn nghiệm hoặc tập nghiệm là K
2/ f = x
2
– y, thì Z(f) =
( )
{ }
2
, ;a a a K∈
là một parabol.
Thật vậy, đặt V: =
( )
{ }
2
, ;a a a K∈
. Ta có V
⊆
Z(f).
Ngược lại, giả sử (
1 2
,a a
)
∈
Z(f). Nếu
1
a

= 0 thì
2
a
= 0
nên (
1 2
,a a
) = (0, 0
2
)
∈
V. Khi
1
a
≠
0, ta có

2
1 2 2
1
1 1 1
2
2 2
2
2 2 2
2
2
2 1 1
:
:

a a a
a a
a a a
a a a
a a
a a a

 
= = = =

 ÷
 


 

= = = =
 ÷

 


Do đó ta có (
1 2
,a a
) ∈ V. Từ đó suy ra Z(f) ⊆ V. Vậy ta có V = Z(f).
3/ f = x
3
– y
2

thí Z(f) =
( )
{ }
2 3
, ;a a a K∈

Thật vậy, đặt V :=
( )
{ }
2 3
, ;a a a K∈
Chứng minh tương tự như trên,
ta có V
⊆
Z(f).
Ngược lại, giả sử (
1 2
,a a
)
∈
Z(f). Nếu
1
a
= 0 thí
2
a
= 0
nên (
1 2
,a a

) = (0
2
, 0
3
)
∈
V. Khi
1
a
≠
0, ta có
2
3 2
2
1 2 2
1
2
1 1 1
3
3 3
3
2 2 2
2
3
2 1 1
:
:
a a a
a a
a a a

a a a
a a
a a a

 
= = = =

 ÷

 

 

= = = =
 ÷

 

Do đó ta có (
1 2
,a a
) ∈ V. Từ đó suy ra Z(f) ⊆ V. Vậy ta có V = Z(f).
11
1.2. Một số tính chất cơ bản của tập đại số
1.2.1. Mệnh đề (về một số tính chất đơn giản của ánh xạ Z)
1) Nếu S
1

⊇
S

2
thí Z(S
1
)
⊆
Z(S
2
) ;
2) Z(0) = K
n
;
3) Z(c) =
φ
với 0
≠
c
∈
K;
4) Z(S
1
)
U
Z(S
2
) = Z(S) với S = { fg; f
∈
S
1
và g
∈

S
2
};
5)
I
Z(S
i
) = Z(
U
S
i
).
Chứng minh:Xem tài liệu [6]
1.2.2. Bổ đề: Nếu A là miền nguyên thì deg fg = deg f + deg g.
Chứng minh:Xem tài liệu [6]
1.2.3. Bổ đề
Nếu A là miền nguyền thì vành đa thức A[X] cũng là miền nguyên và
các phần tử khả nghịch của A[X] là phần tử khả nghịch của A.
Chứng minh: Xem tài liệu [6]
1.2.4. Bổ đề: Nếu trường K vô hạn thì f(a) = 0 với
0
n
a K f∀ ∈ ⇔ =
Chứng minh: Xem tài liệu [6].
Hệ quả.
Nếu trường K vô hạn và f (a) = g(a) với mọi a = (a
1
, a
2
,., a

n
)
∈

K
n
thì f = g.
Chú ý. Nếu K là trường hữu hạn thì các tính chất trên không còn đúng.
Ví dụ. Nếu K = { a
1
, a
2
,…., a
s
} và f (x) = (x

- a
1
) (x

- a
2
)… (x

- a
s
) thì f
triệt tiêu trên K nhưng f
≠
0.

Từ đây trở đi, ta luôn giả thiết trường K là vô hạn.
1.2.5. Hệ quả
Họ tất cả các tập đại số trong K
n
lập thành một tôpô, gọi là tôpô Zariski.
Mỗi phần tử của tôpô này (tức là mỗi tập Z(S)) gọi là một tập đóng Zariski.
Chú ý. Mỗi tập mở trong tôpô Zariski là tập dạng
12
D(S) = K
n
\ Z(S) = K
n
\
( )
f S
Z f
∈
I
=
( )
\ Z(f)
n
f S
K
∈
U
.
PHẦN II. IĐEAN
2.1. Định nghĩa
Tập con I của vành A được gọi là iđêan nếu nó là vành con của A và có

tính chất hf
∈
I với mọi h
∈
I và f
∈
A.
2.2. Ví dụ
1/ Tập {0} và A là iđêan. Chúng gọi là các iđêan tầm thường của A.
Những iđêan còn lại gọi là iđêan thực sự.
2/ Với mọi f
∈
A, tập (f) : = {gf ; g
∈
A} là một iđêan, gọi là iđêan
chính sinh bởi f.
3/ Cho S
⊆
A là tập con bất kỳ.
Thế thì tập (S) : = { h
1
f
1
+ h
2
f
2
+……+ h
r
f

r
; h
1
, h
2
,…, h
r

∈
S; f
1
, f
2
,…., f
r

∈
A } là một iđêan bé nhất chứa S, gọi là iđêan sinh bởi S.
2.3. Tính chất
2.3.1. Bổ đề
Cho I, J là hai iđêan. Ta có
1/ I
I
J là iđêan;
2/ Tập I + J : = { f + g ; f
∈
I và g
∈
J} là iđêan;
3/ Tập IJ : = { h

1
f
1
+ h
2
f
2
+……+ h
r
f
r
; h
1
, h
2
,…,h
r

∈
I và f
1
, f
2
,…., f
r

∈
J }
là iđêan;
4/ IJ

I J⊂ I
và nói chung hai iđêan IJ và I∩J này khác nhau;
5/ M(I + J) = MI + MJ vói mọi iđêan I, J, M.
Chứng minh. Xem tài liệu [6]
Chú ý rằng, IJ chính là iđêan sinh bới các phần từ fg với f
∈
I và g
∈
J.
2.3.2. Ví dụ
13
1/Cho I = (x, y
2
) và J = (y) là hai iđêan trong vành đa thức hai ẩn K[x, y],
ta có :
a/ I + J = (x, y) ;
b/ IJ = (xy, y
3
) ;
c/ I
I
J = (xy, y
2
).
Cho iđêan I, ta định nghĩa iđêan mũ là iđêan I
d
: = I.I… I (d lần) và quy
ước I
0
: = A (cả vành A). Nếu S là tập con bất kỳ của vành A, tập

I : S : = { f
∈
A; sao cho fg
∈
I với mọi g
∈
S } là một iđêan. Nếu S chỉ có
1 phần tử g, ta ký hiệu iđêan này là I : g.
2/ 1/ (x, y)
d
= (x
d
, x
d-1
y, x
d-2
y
2
,……, xy
d-1
, y
d
).
2/ Cho I = (xy, y
3
), thì I : x = (y) và I : y = (x, y
2
).
Kết qủa sau cho ta thấy mọi tập đại số đều là nghiệm của một iđêan. Do
đó ta có thể thay hệ phương trình đa thức xác định tập đại số bằng iđêan và áp

dụng các tính chất đại số liên quan đến iđêan để nghiên cứu tính chất hình học
của các tập đại số.
2.3.3. Mệnh đề
Cho S
⊆
K[X] và I = (S). Ta có Z(S) = Z(I).
Kết quả sau cho ta thêm tính chất của ánh xạ Z.
2.3.4. Mệnh đề
Cho I, J là các iđêan, ta có
1/ Z(I
I
J) = Z(I)
U
Z(J) = Z(IJ) ;
2/ Z(I + J) = Z(I)
I
Z(J).
Bây giờ ta xét một một khái niệm như là ánh xạ “ngược” của Z. Cụ thể,
cho V là tập bất kỳ tromg K
n
. Ký hiệu
I
V
: = { f
∈
K[X]; f(a) = 0 với mọi a
∈
V}.
Thế thì I
V

là

iđêan lớn nhất có tập nghiệm chứa V. Ta gọi nó là iđêan
của tập V. Khi V chỉ có 1 điểm, ta viết I
a
thay cho I
{ a }
.
2.3.5. Ví dụ
14
1/ I
φ
= K[X];
2/
n
K
I
= 0 ;
3/ I
a
= (x
1
– a
1
, x
2
– a
2
,… , x

n
– a
n
) với a = ( a
1
, a
2
, … , a
n
);
4/ Nếu V
⊆
K
2
là tập vô hạn điểm trên parabol y = x
2
thì I
V
= (x
2
– y) ;
5/ Nếu V
⊆
K
2
là tập vô hạn điểm trên đường cong x
3
– y
2
= 0 thì I

V
= (x
3
– y
2
) ;
6/ Nếu V là d- phẳng trong K
n
mà ta có thể giả sử nó là tập hợp có dạng
V = {( x
1
, x
2
,…., x
d
, 0, …0)
∈
K
n
} thì
I
V

= (x
d+1
, x
d+2
,…., x
n
).

2.3.6. Mệnh đề: (về tính chất của ánh xạ I)
1/ Nếu V
⊆
W thì I
V

⊇
I
W
;
2/ I
V

I
I
W
= I
I
U
W
;
3/ I
V
+ I
W

⊆
I
I
I

W
và nói chung I
V
+ I
W

≠
I
I
I
W
.
Ví dụ. Cho V = Z(x
2
– y) và W = Z(y), ta có
1/ I
V

= (x
2
– y) và I
W

= (y) ;
2/ I
V
+ I
W
= (x
2

- y, y) = (x
2
, y) và I
I
I
W
= (x, y) vì V
I
W = (0, 0).
Cho nên I
W

≠
I
I
I
W
.
*) Cho I là iđêan của vành A. Ký hiệu

{ }
r
I : = f A ; f I voi r nào dó∈ ∈
.
2.3.7. Bổ đề. Cho I là iđêan, thế thì
I
cũng là iđêan và I
⊆

I

=
I
.
Nếu I =
I
thì I gọi là iđêan căn.
Chứng minh: xem tài liệu [6]
15
PHẦN III. ÁNH XẠ ZARISKI
Trong phần này trình bày một số tính chất của iđêan thể hiện trong tập
đại số Zariski, đưa ra và chứng minh một số bổ đề và định lý về sự biểu hiện
của iđêan trong tập đại số.
3.1. Ánh xạ Zariski
Cho K là trường. Nhắc lại rằng, tập con V
⊆
K
n
được gọi là tập đại số
nếu nó là nghiệm của một họ các đa thức n biến trong K[X].
Ví dụ: Cho S: =
{ }
, , , ,f K[x x ,x ],i I K[x x ,x ]
n n
1 2 1 2
i
∈ ∈ ⊂
và kí
hiệu
{ }
n

(S) a K / f(a) 0 f SΖ = ∈ = ∀ ∈
thế thì Z(S) chính là một tập đại số.
Phần bù K
n
\ Z(S) gọi là tập mở Zariski.
Nhắc lại rằng kí hiệu
( [ ])
1
x x
n
Ρ Κ
là họ tất cả các tập con
[ ]
1
x x
n
Κ
và
( )
K
n
Ρ
là họ tất cả các tập con của
K
n
, thì cách xác định tập đại số Zariski
cho ta ánh xạ:
(
)
( )

K: ,
1
( )
n
x x
n
S Z S
 
 
Ζ Ρ → Ρ
a
Ta gọi Z là ánh xạ Zariski.
Mệnh đề: (thêm một số tính chất đơn giản của ánh xạ Z)
Z :
Ρ
(
[ ]
( )
k x
→
( )
n
kΡ
Một số tính chất của ánh xạ Zariski
(
)
( )
: ,
1
n

x x k
n
 
 
Ζ Ρ → Ρ
1)
( )
1 2
S S
Ζ ∪ =
( ) ( )
1 2
S S
Ζ ∩
2)
( ) ( ) { }
(
)
( )
{ }
. / , , . / ,
1 2 2 1 2
S S f g f S g S S S f g f S g S
i
Ζ ∪ Ζ = Ζ ∈ ∈ = Ζ = ∈ ∈
3)
( ) ( )
1 2 1 2
S S S S
⊂ ⇒ Ζ ⊃ Ζ

4)
( ) ( ) ( )Z S Z T Z S T
× = ∪
, ở đây Z(S)
∈
K
n
và Z (T)
∈
K
m
.
16
Chứng minh
1)
( )
1 2
S S
Ζ ∪ =
( ) ( )
1 2
S Z S
Ζ ∩
a
∈
Z(S
1
)
∩
Z(S

2
) =>
a
∈
( ) ( ) 0,
1 1 1 1
( ) ( ) 0,
2 2 2 2
Z S f a f S
Z S f a f S





⇒ = ∀ ∈
⇒ = ∀ ∈
=>
a
∈
Z(S
1
∪
S
2
)
Do đó :
( ) ( )
( )
1 2 1 2

S S Z S S
Ζ ∩ Ζ ⊆ ∪
(1)
Ngược lại:
( )
1 2
a Z S S∈ ∪ ⇒
( ) 0 ( )
1 2
f a f S S= ∀ ∈ ∪
( ) ( )
1 2
a S Z S
⇒ ∈Ζ ∩
Do đó :
( ) ( )
( )
1 2 1 2
S S Z S S
Ζ ∩ Ζ ⊇ ∪
(2)
Từ (1) (2)
( )
1 2
S S
⇒ Ζ ∪ =
( ) ( )
1 2
S Z S
Ζ ∩

2) Z(S
1
)
∪
Z(S
2
) = Z({f.g /f
∈
S
1
,g
∈
S
2
}) = Z(S),
S = {f.g / f
∈
S
1
,g
∈
S
2
}
a
∈
Z(S
1
)
∪

Z(S
2
) =>
a
∈
( ) ( ) 0, ( )
1 1 1 1
( ) ( ) 0, ( )
2 2 2 2
Z S f a f S a Z S
Z S f a f S a Z S




⇒ = ∀ ∈ ⇒ ∈
⇒ = ∀ ∈ ⇒ ∈
Do đó :
( ) ( )
1 2
( )S S Z S
Ζ ∪ Ζ ⊆
(1)
Ngược lại:
a
∈
Z(S
1
)
∪

Z(S
2
) => fg(
a
) = f(
a
).g(
a
) = 0 =>
a
∈
( ) 0 ( )
1
( ) 0 ( )
2
f a a Z S
g a a Z S




= ⇒ ∈
= ⇒ ∈
do đó :
( ) ( )
( )
1 2
S S Z S
Ζ ∪ Ζ ⊇
(2)

Từ (1) (2)
( ) ( )
( )
1 2
S S Z S
⇒ Ζ ∪ Ζ =
3)
( ) ( ) ( )Z S Z T Z S T
× = ∪
( , )
n m
a b K K∈ ×
là nghiệm của đa thức trong
S T
∪
⇔
a
là nghiệm của
đa thức trong S và b là nghiệm của đa thức trong T.
)
⇐
hiển nhiên
17
)
⇒
theo định nghĩa
3.2. Một ví dụ về ánh xạ Zariski
Lấy n = 1, K = R và xét Z : P(R[x])
→
R đặt mỗi họ các đa thức 1 ẩn

với tập nghiệm của chúng. Tập này luôn là một tập hữu hạn trong R hoặc là
tập R hoặc là tập
φ
Thế thì Z là một ánh xạ Zariski.
18
PHẦN IV. TÍNH CHẤT CỦA IĐÊAN TRONG TẬP ĐẠI SỐ
Trong phần này, chúng tôi trình bày tính chất (có chứng minh chi tiết),
các phép toán về iđêan và các tính chất của tập đại số liên quan đến chúng.
4.1. Nhận xét
1) Phép cộng và phép nhân các iđêan thỏa mãn tính chất kết hợp, giao
hoán và phân phối;
2) Phần tử 0 ∈ I vì 0 = 0.x với ∀x ∈ V;
3) Phần tử đơn vị 1 ∈ I khi và chỉ khi I = V;
4) I
≠
V thì I được gọi là iđêan thực sự của V;
5) Cho S ⊂ V. Kí hiệu:
( )
{ | , , 1,2, , }
1 1 2 2
S a f a f a f a V f S i n
n n
i i
= + + + ∈ ∈ =
.
Lúc đó (S) là iđêan và là iđêan nhỏ nhất chứa S, người ta gọi là iđêan
sinh bởi S.
Đặc biệt khi S có hữu hạn phần tử thì
( )
( )

, , ,
1 2
S f f f
n
=
, nếu S có một
phần tử thì
( ) ( )
{ | }S f fh h V= = ∈
được gọi là iđêan chính.
4.2. Ví dụ. Cho I = (x, y
2
) và J = (y) là hai iđêan trong vành đa thức hai
ẩn K[x, y], ta có
1) I + J =
( )
,x y
vì I = {xf + yg | f, g ∈ K[x, y], J = {yh | h ∈ K[x, y]} nên
I + J = {xf + yg + yh | f, g, h ∈ K[x, y]} = {xf + ey | f, e ∈ K[x, y]}.
2) IJ =
(
)
3
,xy y
do IJ = {(xf + yg)yh | f, g, h ∈ K[x, y]}
= {xyu + yv | u, v ∈ K[x, y]} =
(
)
3
,xy y

.
3)I
I
J =
(
)
2
,xy y
.
Chứng minh.
Giả sử S là một tập các đa thức trong K[X] và
I S=
là iđêan sinh bởi S.
19
Ta sẽ chứng minh Z(S) = Z(I), nghĩa là khi đó tập đại số của tập S chính
là tập đại số của iđêan I. Thật vậy:
Ta có: S ⊂ I nên Z(S) ⊃ Z(I) (1).
Ta chứng minh Z(S) ⊂ Z(I): Lấy phần tử bất kỳ a ∈ Z(S) thì f(a) = 0, ∀f ∈ S.
Suy ra g(a) = 0 với ∀g ∈ I vì
; [ ], , 1,2, ,
1 1 2 2
g h f h f h f h K X f S i n
n n
i i
= + + + ∈ ∈ ∀ =
và f(a) = 0 với mọi i = 1, 2, , n.
Do đó a ∈ S(I). (2).
Vậy từ (1) và (2) suy ra Z(S) = Z(I) (đpcm).
4.3. Định lí
Cho V là tập con của K. Khi đó tập I

:=
{f
∈
K[X] | f(a) = 0 với
mọi a
∈
V} là iđêan của K[X] và là iđêan lớn nhất có tập nghiệm chứa V; I
gọi là iđêan của tập điểm V trong K[X]; V
⊂
Z(I). Khi V = {a} thì ta viết I = I.
Chứng minh. Để chứng minh I là iđêan ta kiểm tra hai điều kiện sau:
i) Với mọi f, g ∈ I thì f + g ∈ I:
Thật vậy: Do f, g ∈ I nên f(
a
) = 0 và g(
a
) = 0 với ∀v
a
∈ V, suy ra
(f + g)(
a
) = f(
a
) + g(
a
) = 0 với ∀
a
∈ V. Do đó f + g ∈ I (đpcm).
ii) Với mọi f ∈ I và h ∈ K[X] thì fh ∈ I:
Vì f ∈ I nên f(

a
) = 0 với ∀
a
∈ V. Do đó (fh)(
a
) = f(
a
)h(
a
) = 0 với ∀
a
∈
V.
Vậy fh ∈ I.
Kết luận: I là iđêan trong K[X].
Như vậy, cách xác định tập Z(S) và tập I
V
cảm sinh hai ánh xạ Z và I
được cho trong sơ đồ sau
( )
( )
Z
I

[ ]
n
K X K
→
¬ 
℘ ℘

; trong đó Z : S
a
Z(S)
và I : V
a
I
V
; P(X) là ký hiệu họ tất cả các tập con của X.
20
Về sau ta sẽ thấy, nếu thu hẹp trên các tập con nào đó, Z và I là các
song ánh ngược nhau.
4.4. Ví dụ
1) I
φ
= K[X];
2)
n
K
I
= {0};
3) I
a
= (x
1
– a
1
, x
2
– a
2

,… , x
n
– a
n
) với a = ( a
1
, a
2
, … , a
n
);
4) Nếu V
⊆
K
2
là tập vô hạn điểm trên parabol y = x
2
thì I
V
= (x
2
– y) ;
5) Nếu V là d- phẳng trong K
n
mà ta có thể giả sử nó là tập hợp có dạng
V = {( x
1
, x
2
,…., x

d
, 0, …0)
∈
K
n
} thì I
V

= (x
d+1
, x
d+2
,…., x
n
).
Chứng minh.
1) Vì tập rỗng thuộc tập nghiệm của mọi đa thức;
2) Vì chỉ có phương trình 0 = 0 có tập nghiệm là K
n
.
3) Để cho tiện, ta giả sử điểm a là gốc tọa độ, a = (0, 0, …., 0). Mọi đa
thức f
∈
K[X] đều viết được dưới dạng f = h
1
x
1
+ h
2
x

2
+……+ h
n
x
n
+ b với
b
∈
K. Nhưng f(0, 0,…,0) = 0 khi và chỉ khi b = 0, tức là khi và chỉ khi f có dạng
f = h
1
x
1
+ h
2
x
2
+……+ h
n
x
n
, nghĩa là khi và chỉ khi f
∈
(x
1
, x
2
,…., x
n
). Vậy

I
0
= (x
1
, x
2
,…., x
n
).
4) Ta chỉ cần chứng minh I
V

⊆
(x
2
– y). Coi mọi đa thức f
∈
K[x, y]
là đa thức của ẩn y với hệ số trong K[x]. Tương tự như thuật toán Euclide ta có
thể viết f = h(x
2
– y) + g với g
∈
K[x].
Do V
⊆
Z(x
2
– y) = { (a, a
2

) ; a
∈
K } nên với f
∈
I
V
thì f(a, a
2
) =
g(a) = 0 với mọi a thuộc tập vô hạn trong K nên g là đa thức 0, nên f = h(x
2
–
y), nghĩa là f
∈
(x
2
– y).
5)Ta có thể viết mọi đa thức trong K[X] dưới dạng
f = h
d+1
x
d+1
+ h
d+2
x
d+2
+……+ h
n
x
n

+ g
trong đó g
∈
K[x
1
, x
2
,…., x
d
]. Thế thì f
∈
I
V
khi và chỉ khi
f(a
1
, a
2
,…., a
d
, 0, 0,….,0) = g(a
1
, a
2
,…., a
d
) = 0
21
với mọi a
1

, a
2
,…., a
d

∈
K. Điều này có nghĩa là g = 0, nên khi đó
f = h
d+1
x
d+1
+ h
d+2
x
d+2
+……+ h
n
x
n

∈
(x
d+1
, x
d+2
,… , x
n
).(đpcm).
Cho I là iđêan của vành A. Ký hiệu
{ }

r *
I : = f A ; f I, r N∈ ∈ ∈
.
22
PHẦN V. MỐI QUAN HỆ GIỮA IĐÊAN NGUYÊN TỐ
VÀ TẬP ĐẠI SỐ BẤT KHẢ QUY
5.1. Định nghĩa. iđêan thực sự I của vành A gọi là iđêan nguyên tố nếu
fg
∈
I thì hoặc f
∈
I hoặc g
∈
I.
5.2. Ví dụ. Cho A là vành. Phần tử 0
≠
x
∈
A gọi là ước của không,
nếu tồn tại 0
≠
y
∈
A sao cho xy = 0. Vành A giao hoán gọi là miền
nguyên nếu nó không có ước của không, nghĩa là nếu có xy = 0 thì hoặc x = 0
hoặc y = 0.
1/ Iđêan 0 là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi A là miền nguyên ;
2/ Iđêan 0 của vành đa thức K[X] trên trường K là nguyên tố ;
3/ Mọi iđêan nguyên tố đều là iđêan căn. Thật vậy, ta chỉ cần chứng
minh

I

⊆
I. Nhưng điều này là hiển nhiên vì I nguyên tố. Dưới đây ta có
một tiêu chuẩn để iđêan căn là nguyên tố.
5.3. Bổ đề. Iđêan căn I
≠
A là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi I không là
giao của 2 iđêan lớn hơn thực sự.
5.4. Định nghĩa. Iđêan thực sự I của A gọi là iđêan cực đại nếu I không
bị chứa trong một iđêan thực sự nào khác của A.
5.5. Ví dụ.
1/ I cực đại khi và chỉ khi (I, f) = A với mọi f
∉
I;
2/ I
a
= (x
1
– a
1
, x
2
– a
2
,…., x
n
– a
n
) là iđêan cực đại trong K[X].

Thật vậy, giả sử 0 = (0, 0, …, 0). Khi đó I
a
= (x
1
, x
2
,…., x
n
). Với một đa
thức f
∈
K[X] ta viết được f = h
1
x
1
+ h
2
x
2
+……+ h
n
x
n
+ c.
Nếu f
∈
I thì c
∈
K là hằng số khác không. Vì vậy c
∈

(I
a
, f) và do đó
(I
a
, f) = K[X].
5.6. Nhận xét.
1/ Nếu I
≠
A thì
I

≠
A và do I
⊆
I
nên nếu I là iđêan cực đại thi
I =
I
, nghĩa là mọi iđêan cực đại là iđêan căn. Mặt khác, mỗi iđêan cực đại
23
chỉ có một một iđêan căn lớn hơn là cả vành A nên nó không thể là giao của 2
iđêan căn lớn hơn. Vậy mọi iđêan cực đại phải là iđêan nguyên tố.
2/ Nếu I
1

⊆
I
2

⊆
…
⊆
I
j

⊆
…… là một dãy tăng các iđêan thực sự thì
hợp
j
I
j
U
cũng là một iđêan thực sự. Vì vậy, áp dụng Bổ đề Zorn ta nhận
được: Mọi iđêan thực sự đều nằm trong một iđêan cực đại. Do đó mọi iđêan
cực đại đều nằm trong một iđêan nguyên tố.
5.7. Định nghĩa (tập bất khả quy). Tập đại số gọi là bất khả quy nếu nó
không phân tích được thành hợp của hai tập đại số nhỏ hơn thực sự.
5.8. Ví dụ.
1/ Tập 1 điểm là tập đại số bất khả quy vì nó chỉ có 1 tập đại số nhỏ
hơn là tập rỗng.
2/ K
n
là tập bất quy vì nếu nó là hợp của hai tập đại số nhỏ hơn thì giao
của 2 tập mở là phần bù tương ứng phải là tập rỗng, nhưng điều này là không
thể vì 2 tập mở thực sự Zariski luôn giao nhau.
Ta sẽ thấy khái niệm đại số tương ứng với khái niêm tập bất khả quy là
iđêan nguyên tố qua kết quả sau.
5.9. Định lý. Tập đại số V là bất khả quy khi và chỉ khi I
V

là iđêan
nguyên tố.
Chứng minh. Nếu V bất khả quy mà I
V
không nguyên tố thì I
V
= I
1
I
I
2
với I
1
và I
2
là 2 iđêan thực sự lớn hơn I.
Khi đó V = Z(I
V
) = Z(I
1
I
I
2
) = Z(I
1
)
U
Z(I
2
). Vì vậy

Z(I )
1
V =
Z(I )
2




, suy ra
I = I

V
1

I = I
V
2




, mâu thuẫn.
Đảo lại, giả sử V không bất khả quy thì V = V
1
U
V
2
với V
1

, V
2
là 2 tập đại
số thực sự bé hơn V. Khi đó, ta có I
V1
và I
V2
là 2 iđêan thực sự lớn hơn I
V
nên tồn
tại f
∈
I
V1
\ I
V
và g
∈
I
V2
\ I
V
. Khi đó fg
∈
I
V1
I
I
V2
= I

V
nên I
V
không thể là iđêan
nguyên tố.
24
5.10. Ví dụ
1/ I
a
là iđêan cực đại và do đó nguyên tố, nên tập 1 điểm a là bất khả quy;
2/ K
n
bất khả quy vì
I = 0
n
K
là iđêan nguyên tố.
5.11. Chú ý. Không phải iđêan nguyên tố nào trong K[X] cũng là iđêan
của một tập đại số bất khả quy, chẳng hạn khi iđêan nguyên tố mà vô nghiệm,
thì nó không là iđêan của 1 tập đại số nào.
5.12. Ví dụ. Mọi iđêan nguyên tố chứa x
2
+ 1 trong R[x] đều vô
nghiệm trong R
n
.
5.13. Đinh nghĩa. Phần tử x của vành A giao hoán, có đơn vị là 1, gọi là
khả nghịch nếu tồn tại y
∈
A sao cho xy = 1. Khi đó x còn gọi là ước của đơn

vị. Tập tất cả các ước của đơn vị trong A lập nên một nhóm.
Nếu a = bc trong A thì ta nói b là ước của a; hay b chia hết a; hay a chia
hết cho b; hay a là bội của b.
Phần tử không khả nghịch f của miền nguyên A gọi là bất khả quy nếu
có phân tích f = gh thì hoặc g hay h là phần tử khả nghịch.
5.14. Bổ đề. Cho K là trường, thế thì mọi iđêan I
≠
0 của K[x] đều là
iđêan chính và I = (g) với g là đa thức có bậc nhỏ nhất trong I.
5.15. Nhận xét. Mọi đa thức f
∈
K[X] đều phân tích được thành tích
các đa thức bất khả quy: f = g
1
g
2
… g
r
.
Khi đó Z(f) = Z(g
1
)
U
Z(g
2
)
U
…
U
Z(g

r
).
Kết quả sau cho một tiêu chuẩn để nhận biết tập đại số bất khả quy.
5.16. Mệnh đề. Cho f là đa thức bất khả quy trong K[X]. Nếu I
Z(f)
= (f)
thì Z(f) là tập bất khả quy
Chứng minh.
Vì f bất khả quy nên (f) là iđêan nguyên tố. Do vậy Z(I
Z(f)
) = Z((f)) là tập
bất khả quy.
25