Tổng và tích trực tiếp các môđun nội xạ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
LÂM ANH TUẤN
TỔNG VÀ TÍCH TRỰC TIẾP
CÁC MÔĐUN NỘI XẠ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGHỆ AN - 2014
1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
LÂM ANH TUẤN
TỔNG VÀ TÍCH TRỰC TIẾP
CÁC MÔĐUN NỘI XẠ
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60 46 01 04
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. NGÔ SỸ TÙNG
NGHỆ AN - 2014
2
MỤC LỤC
Trang
MỤC LỤC 1
MỞ ĐẦU 2
Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
§1.1. Tổng và tích trực tiếp các môđun 4
§1.2. Môđun con cốt yếu – tính chất 11
Chương II: TỔNG VÀ TÍCH TRỰC TIẾP CÁC MÔĐUN NỘI XẠ
§2.1. Môđun nội xạ 15
§2.2. Định lí Papp and Bass về tổng trực tiếp các môđun nội xạ 19
§2.3. Tích trực tiếp các môđun nội xạ 23

KẾT LUẬN 26
TÀI LIỆU THAM KHẢO 27
1
MỞ ĐẦU
Môđun là một khái niệm cơ bản của Đại số hiện đại. Một trong những
hướng nghiên cứu môđun là phân tích thành những môđun đơn giản hơn theo
tổng hay tích trực tiếp. Một hướng khác, xây dựng những lớp môđun mới từ
những lớp môđun đã cho nhờ các phương pháp mở rộng. Những lớp môđun
có thể phân tích thành tổng hay tích trực tiếp và các lớp môđun không phân
tích được đang được nhiều tác giả nghiên cứu quan tâm.
Trong lý thuyết môđun, cùng với lớp môđun xạ ảnh thì lớp môđun nội
xạ là một trong những lớp môđun đóng vai trò quan trọng góp phần hình
thành hai trụ cột trong nghiên cứu lý thuyết này. Khái niệm môđun nội xạ đã
được giới thiệu trong [3]: Môđun
Q
được gọi là nội xạ nếu với mỗi đồng cấu
:f A Q→
và với mỗi đơn cấu
:g A B→
của những R – môđun, tồn tại một
đồng cấu
:h B Q→
sao cho
hg f=
, nghĩa là biểu đồ sau giao hoán
Như vậy, khái niệm môđun nội xạ được xây dựng từ những môđun đã
cho thông qua các đồng cấu môđun. Một cách tự nhiên, có thể đặt ra các câu
hỏi: Tổng trực tiếp (hay tích trực tiếp) của các môđun nội xạ có nội xạ hay
không? Với những điều kiện nào thì xảy ra sự phân tích thành tổng trực tiếp?
Những môđun không phân tích được có tính chất gì? Đây là những vấn đề

chính mà luận văn hướng đến.
Dựa vào tài liệu chính [3] luận văn tìm hiểu về sự phân tích thành tổng
trực tiếp và tích trực tiếp các môđun nội xạ. Ngoài phần mở đầu và kết luận,
luận văn được chia thành hai chương:
g
h∃
f
A B
Q
2
Chương I là phần kiến thức chuẩn bị, trình bày hệ thống các khái niệm
về tích trực tiếp, tổng trực tiếp các môđun, môđun con cốt yếu, trình bày
chứng minh một số tính chất cơ bản của chúng thông qua các định lí và bổ đề.
Chương II là phần nội dung chính của luận văn, trình bày khái quát về
khái niệm, tính chất cơ bản của môđun nội xạ. Tìm hiểu và chứng minh chi
tiết thêm về sự phân tích thành tổng trực tiếp và tích trực tiếp của các môđun
nội xạ.
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự gợi ý và
hướng dẫn nhiệt tình của Thầy PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng. Tác giả xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, đồng thời tác giả cũng xin trân trọng cảm ơn
Thầy PGS.TS. Lê Quốc Hán, PGS.TS. Nguyễn Thành Quang, Cô GVC.TS.
Nguyễn Thị Hồng Loan, Cô GV.TS. Đào Thị Thanh Hà cùng quý thầy cô
trong chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số khoa Toán, Phòng Sau Đại học
của Trường Đại học Vinh, Phòng QLKH&SĐH của Trường Đại học Đồng
Tháp, các bạn học viên Cao học Toán khoá 20 đã hỗ trợ, giúp đỡ và tạo điều
kiện tốt nhất để tác giả hoàn thành luận văn này.
Nghệ An, tháng 9 năm 2014
LÂM ANH TUẤN
3
Chương I

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong toàn bộ luận văn, vành luôn được hiểu là vành có đơn vị ký hiệu
là 1 và các môđun là môđun phải unita.
Chương này trình bày hệ thống các khái niệm về tích trực tiếp, tổng
trực tiếp các môđun, môđun con cốt yếu, một số tính chất cơ bản của chúng
thông qua các định lí và bổ đề. Các khái niệm, tính chất được trình bày lấy từ
tài liệu [3].
§1.1. TỔNG VÀ TÍCH TRỰC TIẾP CÁC MÔĐUN
1.1.1 Định nghĩa (Tích trực tiếp).
Cho một họ những R – môđun
( )
|
i
A i I∈
. Khi đó tích Đề các
( )
{ }
| ,
i i i i
I
A a i I a A= ∈ ∈
∏
cùng với phép cộng và phép nhân vô hướng theo
thành phần:
( ) ( ) ( )
i i i i
a b a b+ = +
( ) ( )
i i
a r a r=

là một R – môđun, gọi là tích trực tiếp của họ
( )
|
i
A i I∈
.
Trường hợp
,
i
A A i I= ∀ ∈
, ta kí hiệu:
I
i
I
A A=
∏
.
Phép chiếu
( )
: ,
j i j i j
I
A A a a
π
→
∏
a
là một R – đồng cấu,
j I∀ ∈
.

1.1.2. Định lí. ([3], Định lí 4.1.6(1))
Giả sử B là R – môđun cùng với các đồng cấu
:
j j
B A
β
→
. Khi đó tồn
tại đồng cấu duy nhất
:
i
I
B A
β
→
∏
sao cho các biểu đồ sau giao hoán
4
tức là
,
j j
j I
β π β
= ∀ ∈
.
Chứng minh. Chọn
:
i
I
B A

β
→
∏
được xác định bởi
( ) ( )
( )
,
i
x x
β β
=
, x B i I∈ ∀ ∈
. Khi đó
β
là một đồng cấu môđun.
Thật vậy,
, , x y B r R∀ ∈ ∀ ∈
. Ta có:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
i i i i i
x y x y x y x y x y
β β β β β β β β

+ = + = + = + = +
.
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
i i i
xr xr x r x r x r
β β β β β
= = = =
.
Nên
β
là đồng cấu môđun.
Mặt khác,
x B∀ ∈
, ta có:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
j j j i j
x x x x
π β π β π β β
 
= = =

 
.
Do đó
j j
β π β
=
.
Giả sử tồn tại đồng cấu
':
i
I
B A
β
→
∏
sao cho
',
j j
j I
β π β
= ∀ ∈
.
Khi đó
( ) ( ) ( )
( )
' ' , ,
j j j
x x x j I x B
β π β π β
= = ∀ ∈ ∀ ∈

.
Suy ra
( ) ( )
( )
( )
' ,
i
x x x x B
β β β
= = ∀ ∈
. Cho nên
'
β β
=
. 
1.1.3. Mệnh đề. Giả sử
( )
: |
i i i
f A B i I→ ∈
là một họ đồng cấu môđun. Khi
đó tương ứng
:
i i
I I
f A B→
∏ ∏
cho bởi
( )
( )

( )
( )
i i i
f a f a=
là một đồng cấu được kí hiệu bởi
i
I
f
∏
và được
gọi là tích trực tiếp của họ các đồng cấu
( )
|
i
f i I∈
.
j
π
j
β
β


i j
I
A A
B
∏
5
Chứng minh. Với mọi

( ) ( )
,
i i i
I
x y A∈
∏
,
r R∀ ∈
.
Ta có:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
=
= .
i i i i i i i i i i i
i i i i

i i
f x y f x y f x y f x f y
f x f y
f x f y
+ = + = + = +
+
+
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
.
i i i i i i i i i
f x r f x r f x r f x r f x r f x r= = = = =
Suy ra
i
I
f f=
∏
là một đồng cấu môđun. 
1.1.4. Định nghĩa (Tổng trực tiếp).
Cho

( )
|
i
A i I∈
là một họ những R – môđun. Môđun con của
i
I
A
∏
gồm
tất cả những phần tử
( )
i
a
mà
0
i
a =
hầu hết, trừ một số hữu hạn chỉ số
i I∈
,
được gọi là tổng trực tiếp (hay tổng trực tiếp ngoài) của họ
( )
|
i
A i I∈
và
được kí hiệu bởi
i
I

A⊕
.
Trường hợp
,
i
A A i I= ∀ ∈
, ta kí hiệu:
( )
I
i
I
A A
⊕ =
.
Với mỗi
j I∈
, tương ứng
:
j j i
I
A A
µ
→ ⊕
( )

,
0
j
j i i
a i j

a a a
i j
=

=

≠

a
là một đơn cấu.
1.1.5. Định lí. ([3], Định lí 4.1.6(2))
Giả sử B là R – môđun cùng với các đồng cấu
:
j j
A B
α
→
. Khi đó tồn
tại đồng cấu duy nhất
:
i
I
A B
α
⊕ →
sao cho các biểu đồ sau giao hoán
tức là
,
j j
j I

α αµ
= ∀ ∈
.
nếu
nếu
j
µ
α
j
α


j i
I
A A
B
⊕
6
Chứng minh. Chọn
:
i
I
A B
α
⊕ →
, xác định bởi
( )
( )
( )
i i i

a a
α α
=
∑
,
( )
,
i i
I
a A i I∈⊕ ∀ ∈
. Khi đó
α
là một đồng cấu môđun.
Thật vậy,
( ) ( )
, ,
i i i
I
a b A r R∀ ∈⊕ ∀ ∈
:
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )

( )

.
i i i i i i i i i i i
i i i i
i i
a b a b a b a b
a b
a b
α α α α α
α α
α α
+ = + = + = +
= +
= +
∑ ∑
∑ ∑
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
i i i i i i i i i
a r a r a r a r a r a r
α α α α α α
= = = = =
∑ ∑ ∑

.
Do đó,
α
là đồng cấu môđun.
Mặt khác,
j j
a A∀ ∈
ta có:
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
, .
j j j j j j j j j
a a a a a j I
αµ α µ α α α
= = = = ∀ ∈
∑
Nên
,
j j
j I
α αµ
= ∀ ∈
.
Giả sử tồn tại đồng cấu
':
i
I

A B
α
⊕ →
sao cho
' ,
j j
j I
α α µ
= ∀ ∈
. Kí
hiệu
[ ]
i
a
là phần tử thuộc
i
I
A⊕
chỉ có thành phần tứ i là
i
a
, tất cả các thành
phần khác đều bằng 0. Khi đó:
( ) ( ) ( )
( )
( )
' ' ' ,
j j j j j j j j j
a a a a a A
α α µ α µ α

 
= = = ∀ ∈
 
.
Ta lại có,
( )
i i
I
a A∀ ∈⊕
:
( )
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
( ) ( )
( )
' ' '
i i i i i i
a a a a a
α α α α α
= = = =
∑ ∑ ∑
.
Nên suy ra
( )
' ,
i i
I

a A
α α
= ∀ ∈⊕
. Vậy
α
là duy nhất. 
1.1.6. Mệnh đề. Giả sử
( )
: |
i i i
f A B i I→ ∈
là một họ đồng cấu môđun. Khi
đó tương ứng
:
i i
I I
f A B⊕ → ⊕
7
cho bởi
( )
( )
( )
( )
i i i
f a f a=
là một đồng cấu được kí hiệu bởi
i
I
f⊕
và được gọi

là tổng trực tiếp của họ các đồng cấu
( )
|
i
f i I∈
.
Chứng minh. Tương tự phần chứng minh của Mệnh đề 1.1.3. 
1.1.7. Định nghĩa (Tổng trực tiếp trong).
Môđun A
R
được gọi là tổng trực tiếp trong của một họ các môđun con
( )
|
i
A i I∈
nếu các điều kiện sau được thoả mãn:
1)
i
I
A A=
∑
2)
0,
j i
i j
A A j I
≠
∩ = ∀ ∈
∑
.

1.1.8. Bổ đề. ([3], Bổ đề 2.4.2)
Môđun A
R
là tổng trực tiếp trong của một họ các môđun con
( )
|
i
A i I∈
nếu và chỉ nếu mỗi phần tử
a A∈
biểu diễn duy nhất dưới dạng:
i
i I
a a
∈
=
∑
trong đó
i i
a A∈
, bằng 0 với hầu hết
i I∈
.
Chứng minh.
( )
⇒
. Do điều kiện 1) của Định nghĩa 1.1.7, nên có một
tập hữu hạn
'I I
⊂

sao cho phần tử
a
viết được dưới dạng
'
i
i I
a a
∈
=
∑
.
Giả sử còn có tập hữu hạn
''I I⊂
sao cho
''
j
j I
a c
∈
=
∑
. Do có thể bổ sung
thêm các hạng tử
0, 0
i j
a c= =
một cách thích hợp vào mỗi biểu diễn trên của
a
, nên ta có thể coi
' ''I I J= =

và
i j
J J
a a c= =
∑ ∑
. Khi đó với
j I∈
, ta có:
( )
,
j j i i
i j
a c a c i J
≠
− = − ∈
∑
.
Do điều kiện 2) của Định nghĩa 1.1.7, ta suy ra
0
j j
a c− =
hay
,
j j
a c=
j I∀ ∈
. Do đó,
a
có biểu diễn duy nhất.
8

( )
⇐
. Ngược lại, giả sử mỗi phần tử
a A∈
có sự biểu diễn duy nhất
dưới dạng
,
i i i
i I
a a a A
∈
= ∈
∑
, bằng 0 với hầu hết
i I∈
. Dễ thấy rằng, với
,
i i i
i I
a a a A
∈
= ∈
∑
ta suy ra được
i
I
A A=
∑
.
Mặt khác, giả sử

j i
i j
a A A
≠
∈ ∩
∑
. Khi đó
j j
a a A= ∈
và tồn tại
'I I
⊂
,
'j I∉
sao cho
'
,
j i i i
i I
a a a a A
∈
= = ∈
∑
, bằng 0 với hầu hết
'i I∈
. Ta có thể bổ
sung các phần tử
0
i
a =

vào biểu diễn của
a
một cách thích hợp và coi
'I I
=
.
Khi đó
,
j i
i j
a a i I
≠
= ∈
∑
, suy ra
0
j i
i j
a a
≠
− =
∑
.
Mà
0 A∈
và có biểu diễn duy nhất
0 0
I
=
∑

. Điều này kéo theo
0
j
a =
,
hay
0
j i
i j
A A
≠
∩ =
∑
. 
Từ Bổ đề 1.1.8, ta suy ra các hệ quả sau.
1.1.9. Hệ quả. Giả sử A là tổng của những môđun con
i
A
. Khi đó A là tổng
trực tiếp trong nếu và chỉ nếu từ
1 2
0,
n j j
i i i i i
a a a a A+ + + = ∈
suy ra
0, 1
j
i
a j n= ≤ ≤

.
1.1.10. Hệ quả. Môđun A là tổng trực tiếp trong của họ các môđun con
( )
|
i
A i I∈
nếu và chỉ nếu ánh xạ
( )
:

i
I
i i
f A A
a a
⊕ →
∑
a
là đẳng cấu.
Từ Hệ quả 1.1.10, nên ta thường dùng thuật ngữ tổng trực tiếp thay cho
cả tổng trực tiếp trong và tổng trực tiếp ngoài, cùng với kí hiệu
i
I
A⊕
. Sự phân
9
biệt tổng trực tiếp trong hay tổng trực tiếp ngoài được hiểu theo từng tình
huống cụ thể.
1.1.11. Định nghĩa (Hạng tử trực tiếp).
Môđun con B của A được gọi là hạng tử trực tiếp trong A nếu có môđun

con C của A sao cho
A B C= ⊕
.
Môđun
0A ≠
được gọi là không phân tích được nếu
0
và A là những
hạng tử trực tiếp duy nhất trong A.
Ví dụ. 1) Giả sử
K
V V=
là không gian véctơ trên trường K và
{ }
|
i
a i I∈
là
một cơ sở của nó. Khi đó hiển nhiên
i
I
V a K= ⊕
2) Trong
Z
Z
mọi môđun con đều có dạng
Z, m m N∈
. Với
0, 1m m≠ ≠
thì

Zm
không là hạng tử trực tiếp. Thật vậy, nếu
Z ZZ m n= ⊕
thì
Z nZ 0 0 Z 1mn m n m Z m∈ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =I
, trái với giả thiết. Vì vậy,
môđun
Z
Z
là không phân tích được.
1.1.12. Định nghĩa. Đơn cấu
: A B
α
→
của các R – môđun được gọi là chẻ
ra nếu
( )
Im
α
là hạng tử trực tiếp trong B. Toàn cấu
: B C
β
→
được gọi là
chẻ ra nếu
( )
erK
β
là hạng tử trực tiếp trong B.
1.1.13. Mệnh đề.

1) Đồng cấu môđun
: A B
α
→
là đơn cấu chẻ ra khi và chỉ khi tồn tại
đồng cấu
: B A
β
→
sao cho
d
A
i
βα
=
(ta nói
α
có nghịch đảo trái). Khi đó,
( ) ( )
Im erB K
α β
= ⊕
.
2) Đồng cấu môđun
: B C
β
→
là toàn cấu chẻ ra khi và chỉ khi tồn tại
đồng cấu
:C B

γ
→
sao cho
d
C
i
βγ
=
(ta nói
β
có nghịch đảo phải). Khi đó,
( ) ( )
er ImB K
β γ
= ⊕
.
Chứng minh. (Xem [1], mục 3.15). 
10
1.1.14. Định nghĩa. Dãy khớp ngắn
0 0A B C
α β
→ → → →
(*)
được gọi là chẻ ra nếu
( ) ( )
Im erK
α β
=
là hạng tử trực tiếp của B.
1.1.15. Mệnh đề. Đối với dãy khớp ngắn (*), các phát biểu sau là tương

đương:
(a) Dãy khớp ngắn (*) chẻ ra.
(b)
α
là đơn cấu chẻ ra.
(c)
β
là toàn cấu chẻ ra.
Khi đó
( ) ( )
Im ImB A C
α γ
= ⊕ ⊕;
, trong đó
:C B
γ
→
là nghịch đảo
phải của
β
.
Chứng minh. Được suy ra trực tiếp từ định nghĩa và Mệnh đề 1.1.13. 
§1.2. MÔĐUN CON CỐT YẾU – TÍNH CHẤT
Môđun con cốt yếu
1.2.1. Định nghĩa.
a) Môđun con
A
của R – môđun M gọi là cốt yếu (hay lớn) trong M
nếu với mỗi môđun con khác không B của M ta đều có
0A B ≠I

(một cách
tương đương,
0A B =I
thì
0B =
). Khi đó, ta cũng nói rằng M là mở rộng
cốt yếu của A và kí hiệu
*A M⊂
.
b) Đồng cấu
: A B
α
→
được gọi là đồng cấu cốt yếu nếu
( )
*Im B
α
⊂
.
1.2.2. Ví dụ.
1) Với mỗi môđun M, ta đều có
*M M
⊂
.
2) Vành số nguyên
Z
xem như môđun trên chính nó. Khi đó, mỗi iđêan
khác không trong
Z
tức là các môđun con khác không của

Z
- môđun
Z
đều
cốt yếu. Thật vậy, đối với hai iđêan khác không bất kỳ
aZ
và
bZ
ta đều có:
11
0 Zab aZ b≠ ∈ I
(vì
, 0a b ≠
).
1.2.3. Nhận xét. Từ định nghĩa, ta có:
0M ≠
và
*A M⊂
thì
0A ≠
.
Tính chất
Một số tính chất cơ bản của môđun con cốt yếu.
1.2.4. Bổ đề. ([3], Bổ đề 5.1.5)
(a) Nếu trong môđun M có dãy các môđun con
A B C M⊂ ⊂ ⊂
thì
*A M
⊂
kéo theo

*B C⊂
.
(b) Nếu
* , 1,2, ,
i
A M i n⊂ =
thì
1
*
n
i
i
A M
=
⊂
I
.
(c) Nếu
: M N
ϕ
→
là đồng cấu môđun và
*B N⊂
thì
( )
1
*B M
ϕ
−
⊂

.
(d) Cho
: A B
α
→
,
: B C
β
→
là các đơn cấu cốt yếu. Khi đó,
: A C
βα
→
cũng là đơn cấu cốt yếu.
Chứng minh. (a). Giả sử
0U ≠
là môđun con của C. Khi đó U cũng là
môđun con khác không của M. Ta có:
*
0A M A U⊂ ⇒ ≠I
. Mà
0A B B U⊂ ⇒ ≠I
.
Do đó
*B C⊂
.
(b). Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Với
1n =
, mệnh đề đúng theo giả thiết. Giả sử mệnh đề đúng với

1n −
,
tức là:
1
1
*
n
i
i
A A M
−
=
= ⊂
I
Giả sử
0U ≠
là môđun con của M. Do
*
n
A M⊂
, nên
0
n
A U ≠I
.
Suy ra
( ) ( )
0 0
n n
A A U A A U≠ ⇒ ≠I I I I

.
Điều này chứng tỏ
*
n
A A M⊂I
hay
1
*
n
i
i
A M
=
⊂
I
.
(c). Giả sử
U M⊂
và
( )
1
0U B
ϕ
−
=I
, suy ra
( )
0B U
ϕ
=I

. Do đó
( )
0U
ϕ
=
, vì
*B N⊂
. Từ đó ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
er 0 0U K B U B U
ϕ ϕ ϕ ϕ
− − −
⊂ = ⊂ ⇒ = =I
.
12
Điều này dẫn đến
( )
1
*B M
ϕ
−
⊂
.
(d). Giả sử
U C⊂
và
( )
Im 0U
βα

=I
. Do
β
là đơn cấu, nên ta có:
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1
0 0 Im Im ImU U U
β β βα β βα β α β
− − − − −
= = = =I I I
.
Mà
( )
*Im B
α
⊂
, nên suy ra
( )
1
0 0U U
β
−
= ⇒ =
. Do đó,
( )
*Im C

βα
⊂
.
Theo giả thiết
,
α β
là đơn cấu nên
βα
là đơn cấu cốt yếu. 
1.2.5. Bổ đề. ([3], Bổ đề 5.1.6)
Cho A là môđun con của M
R
. Khi đó ta có:
[ ]
* , 0, 0 rA M m M m r R m A⊂ ⇔ ∀ ∈ ≠ ∃ ∈ ≠ ∈
.
Chứng minh.
( )
⇒
. Giả sử
0, m m M≠ ∈
, khi đó
0mR ≠
. Do
*A M⊂
nên
0A mR ≠I
. Từ đó suy ra
r R∃ ∈
sao cho

0mr ≠
và
mr A∈
.
( )
⇐
. Ngược lại, giả sử
B
là môđun con khác không của
M
. Khi đó,
lấy
0 m B≠ ∈
và tồn tại
r R
∈
sao cho
0 mr A≠ ∈
. Vì
mr B∈
nên
0A B ≠I
.
Điều này chứng tỏ
*A M
⊂
. 
Từ Bổ đề 1.2.5, ta suy ra một số tính chất cơ bản của môđun con cốt
yếu thông qua các hệ quả sau.
1.2.6. Hệ quả. Giả sử

i
i I
M M
∈
=
∑
,
i
M M⊂
,
*
i i
A M⊂
với mọi
i I∈
và
i i
i I
i I
A A A
∈
∈
= = ⊕
∑
. Khi đó
*A M
⊂
và
i
i I

M M
∈
= ⊕
.
Chứng minh. (Xem [3], mục 5.1.7).
1.2.7. Hệ quả. Giả sử
i
i I
M M
∈
= ⊕
,
i
M M⊂
,
*
i i
A M⊂

i I∀ ∈
. Khi đó
i i
i I
i I
A A A
∈
∈
= = ⊕
∑
và

*A M⊂
Chứng minh. Do
i
i I
M M
∈
= ⊕
và
*
i i
A M⊂
, suy ra
i
i I
A A
∈
= ⊕
.
13
Khi đó, theo Hệ quả 1.2.6 thì
*A M
⊂
. 
1.2.8. Hệ quả. Giả sử
i
i I
M M
∈
= ⊕
và

B M
⊂
. Khi đó các điều kiện sau là
tương đương:
(1)
* ,
i i
B M M i I⊂ ∀ ∈I
.
(2)
( )
*
i
I
B M M⊕ ⊂I
.
(3)
*B M⊂
.
Chứng minh.
( ) ( )
1 2⇒
. Đặt
i i
B M A=I
, khi đó
* ,
i i
A M i I⊂ ∀ ∈
.

Theo Hệ quả 1.2.7, ta được
*
i
i I
A A M
∈
= ⊕ ⊂
hay
( )
*
i
I
B M M⊕ ⊂I
( ) ( )
2 3⇒
. Ta có
,
i i
B M A B i I= ⊂ ∀ ∈I
, suy ra
i
i I
A A B
∈
= ⊕ ⊂
. Khi đó
ta có dãy các môđun con như sau:
A B M M⊂ ⊂ ⊂
Mà
*A M

⊂
, nên theo Bổ đề 1.2.4 (a) ta được
*B M
⊂
.
( ) ( )
3 1⇒
. Giả sử
0
i i
m M≠ ∈
. Khi đó
0
i
m M≠ ∈
, theo Bổ đề 1.2.5 thì
tồn tại
r R
∈
sao cho
0
i
m r B≠ ∈
. Ta cũng có
i i
m r M∈
, nên ta suy ra được
0
i i i
m r B M M≠ ∈ ⊂I

. Điều này chứng tỏ
* ,
i i
B M M i I⊂ ∀ ∈I
. 
14
Chương II
TỔNG VÀ TÍCH TRỰC TIẾP CÁC MÔĐUN NỘI XẠ
Chương này là phần nội dung chính của luận văn, trình bày khái niệm,
một số tính chất cơ bản của môđun nội xạ, tìm hiểu và trình bày chứng minh
về sự phân tích thành tổng trực tiếp và tích trực tiếp của các môđun nội xạ.
§2.1. MÔĐUN NỘI XẠ
2.1.1. Định nghĩa. (Môđun nội xạ)
Môđun
Q
được gọi là nội xạ nếu với mỗi đồng cấu
:f A Q→
và với
mỗi đơn cấu
:g A B→
của những R – môđun, tồn tại một đồng cấu
:h B Q→
sao cho
hg f=
, nghĩa là biểu đồ sau giao hoán
Về đặc trưng của môđun nội xạ, ta có định lí sau.
2.1.2. Định lí. ([3], Định lí 5.3.1)
Đối với môđun
R
Q

, các mệnh đề sau tương đương:
(a)
Q
là nội xạ.
(b) Mỗi đơn cấu
:Q B
ϕ
→
là chẻ ra (nghĩa là
( )
Im
ϕ
là hạng tử trực
tiếp trong
B
).
(c) Với mỗi đơn cấu
: A B
α
→
, ánh xạ
( )
( ) ( )
,1 : , ,
Q R R
Hom Hom B Q Hom A Q
α
→
là toàn cấu.
g

h∃
f
A B
Q
15
Chứng minh. * Chứng minh
( ) ( )
a b⇔
:
( ) ( )
a b⇒
. Do
Q
nội xạ, nên tồn tại đồng cấu
: B Q
β
→
sao cho biểu
đồ sau giao hoán
nghĩa là
1
Q
βϕ
=
.
Do đó, theo Mệnh đề 1.1.13 thì
ϕ
là chẻ ra.
( ) ( )
b a⇒

. Xét biểu đồ các đồng cấu môđun sau
trong đó
g
là đơn cấu.
Gọi
K
là môđun con của
Q B⊕
gồm tất cả các cặp có dạng
( ) ( )
( )
,f a g a−
,
a A∀ ∈
.
Đặt
( )
N Q B K= ⊕
, ta có các đồng cấu
: B N
β
→
và
:Q N
γ
→
sao
cho hình vuông sau giao hoán
trong đó
( ) ( ) ( ) ( )

0, , ,0b b q q
β γ
= =
.
Do
g
đơn cấu nên
γ
cũng đơn cấu. Theo giả thiết thì
γ
chẻ ra, tức là
tồn tại đồng cấu
:v N Q→
sao cho
1
Q
v
γ
=
. Đặt
:h v B Q
β
= →
, ta có:
f v f v g hg
γ β
= = =
.
ϕ
β

∃
1
Q
Q B
Q
g
f
A B
Q
g
f


A B
Q N
β
γ
16
Điều này chứng tỏ
Q
là nội xạ.
* Chứng minh
( ) ( )
a c⇔
:
( ) ( )
a c⇒
. Theo định nghĩa
( )
,1

Q
Hom
α
thì với mỗi
( )
,
R
Hom B Q
β
∈
,
ta có:
( )
( ) ( )
,1 1 ,
Q Q R
Hom Hom A Q
α β βα βα
= = ∈
.
Mặt khác, do
Q
là nội xạ nên với mỗi đồng cấu
( )
,
R
f Hom A Q∈
thì
tồn tại đồng cấu
( )

,
R
h Hom B Q∈
sao cho
( )
( )
,1
Q
f h Hom h
α α
= =
. Điều này
chứng tỏ
( )
,1
Q
Hom
α
là toàn cấu.
( ) ( )
c a⇒
. Do
( )
,1
Q
Hom
α
là toàn cấu, nên với mỗi
( )
,

R
f Hom A Q∈
thì tồn tại
( )
,
R
h Hom B Q∈
sao cho
( )
( )
,1 1
Q Q
Hom h h h f
α α α
= = =
.
Do đó, theo Định nghĩa 2.1.1 thì
Q
là nội xạ. 
2.1.3. Hệ quả. Nếu
Q
là môđun nội xạ và
Q A≅
thì
A
nội xạ.
Chứng minh. Giả thiết
Q A≅
, nên tồn tại
1

:g Q A→
là đẳng cấu. Vì
Q
nội xạ nên với mỗi đơn cấu
:f M B→
và mỗi đồng cấu
:g M Q→
thì
tồn tại một đồng cấu
:h B Q→
sao cho
hf g=
.
Xét biểu đồ sau
Gọi
2 1
:g g g M A= →
, khi đó
2
g
là đồng cấu (vì
1
, g g
là đồng cấu).
f
1
h
g
M B
Q

A
1
g
h∃
17
Xét ánh xạ
( ) ( )
1
1 1
:

h B A
b h b g h b
→
=a
Khi đó,
1
h
cũng là một đồng cấu (vì
1
, h g
là đồng cấu). Bây giờ xét
m M∀ ∈
, ta có:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )

( )
( )
( )
2 1 1 1 1 1 1
.g m g g m g g m g hf m g h f m h f m h f m= = = = = =
2 1
g h f⇒ =
.
Điều này chứng tỏ
A
là nội xạ. 
2.1.4. Định lí (Tiêu chuẩn Baer).
Môđun
Q
là nội xạ khi và chỉ khi đối với mỗi iđêan phải
R
U R⊂
và
mỗi đồng cấu
:f U Q→
đều tồn tại đồng cấu
:
R
h R Q→
sao cho
hi f=
,
trong đó
i
là phép nhúng

U
vào
R
R
.
Chứng minh. (Xem [3] mục 5.7 hoặc [1] mục 4.5).
Từ Định lí 2.1.4, ta suy ra ngay hệ quả sau.
2.1.5. Hệ quả. Môđun
Q
là nội xạ khi và chỉ khi
Q
là R – nội xạ.
Chứng minh. Được suy ra trực tiếp từ Định lí 2.1.4, với
U
là
R
R
và
i
là phép tự đẳng cấu trên
R
R
. 
i
h∃
f

R
U R
Q

18
§2.2. ĐỊNH LÍ PAPP AND BASS VỀ TỔNG TRỰC TIẾP
CÁC MÔĐUN NỘI XẠ
Một trong những vấn đề cơ bản của lí thuyết môđun là với những điều
kiện nào thì xảy ra sự phân tích thành tổng trực tiếp và những môđun không
phân tích được có những tính chất như thế nào?
Để tìm hiểu về nội dung chính của phần này thì một số khái niệm, định
nghĩa có liên quan trong phần chứng minh ta có thể xem trong [1], [3]. Trước
tiên xin nêu lại các định lí, bổ đề để làm cơ sở. Phần chứng minh của chúng
có thể xem trong [3] hoặc [1] được nêu cụ thể theo từng mục tương ứng.
2.2.1. Định lí. ([3], Định lí 6.5.1)
Đối với vành R, các điều kiện sau là tương đương:
(a) Môđun
R
R
là Noether.
(b) Mọi tổng trực tiếp các R – môđun phải nội xạ là nội xạ.
(c) Mọi tổng trực tiếp đếm được của các bao nội xạ của các R – môđun
đơn phải là nội xạ.
2.2.2. Định nghĩa. 1) Môđun
R
M
gọi là phân tích được nếu nó có hạng tử
trực tiếp khác 0 và
M
(ngược lại,
R
M
được gọi là không phân tích được).
2) Môđun

R
M
gọi là thuần nhất (hay đều) nếu với mọi môđun con khác
không
A
và
B
ta có
0A B ≠I
.
2.2.3. Định lí. ([3], Định lí 6.6.2 hoặc [1], 5.2)
Giả sử
R
Q
là môđun nội xạ,
0
R
Q ≠
. Khi đó các điều kiện sau là tương
đương:
(a)
Q
không phân tích được.
(b)
Q
là bao nội xạ của môđun con bất kỳ của nó.
19
(c) Mỗi môđun con trong
Q
là thuần nhất.

(d)
Q
là bao nội xạ của một môđun con thuần nhất khác không náo đó.
2.2.4. Hệ quả. ([3], Hệ quả 6.6.3)
(a) Bao nội xạ của một R – môđun đơn là không phân tích được.
(b) Môđun nội xạ
Q
chứa hầu hết môđun con đơn là không phân tích
được.
(c) Nếu
R
R
là Artin thì mọi môđun nội xạ
0
R
Q ≠
không phân tích được
là bao nội xạ của một R – môđun đơn.
2.2.5. Bổ đề. ([3], Bổ đề 6.6.6 hoặc [1], 5.3)
Giả sử
Γ
là một tập hợp tuỳ các môđun con của môđun
R
M
. Khi đó
trong số các tập con
Λ ⊂ Γ
thoả mãn điều kiện
U
U

U U
∈Λ
∈Λ
= ⊕
∑
tồn tại tập con tối đại
0
Λ
.
2.2.6. Hệ quả. ([3], Hệ quả 6.6.7 hoặc [1], 5.4)
1) Đối với mỗi môđun
R
M
tồn tại một tập hợp tối đại các môđun con
nội xạ không phân tích được có tổng là trực tiếp.
2) Đối với mỗi môđun
R
M
tồn tại một tập hợp tối đại các môđun con
đơn mà tổng là trực tiếp.
2.2.7. Bổ đề. ([3], Bổ đề 6.6.8 hoặc [1], 5.5)
Nếu môđun
R
R
Noether thì mỗi môđun khác không
R
M
chứa một
môđun con thuần nhất khác không.
2.2.8. Định lí. ([3], Định lí 5.6.3(a))

Giả sử
1 2
: M M
ϕ
→
là đẳng cấu,
1 1 1
: M Q
η
→
là bao nội xạ và
2 2 2
: M Q
η
→
là một đơn cấu với
2
Q
nội xạ. Khi đó tồn tại một đơn cấu chẻ ra
1 2
:Q Q
ψ
→
,
sao cho biểu đồ
ϕ
1
η
1 2
1 2

M M
Q Q
2
η
ψ
20
là giao hoán và
%
( )
%
( ) ( )
2 2
2 2
: Im , M m m
η ψ η η
→ a
là bao nội xạ của
2
M
.
2
η
là bao nội xạ của
2
M

⇔

ψ
là đẳng cấu.
2.2.9. Định lí Krull-Remak-Schmidt. ([3], Định lí 7.3.1)
Giả sử
R i
i I
M M
∈
= ⊕
trong đó
( )
i
End M
là địa phương
i I∀ ∈
và
R j
j J
M N
∈
= ⊕
trong đó
j
N
là không phân tích được và
0
j
N ≠

j J∀ ∈

. Khi đó
tồn tại song ánh
: I J
β
→
với
( )
i
i
M N
β
≅
,
i I∀ ∈
.
Sau đây ta đi vào phần nội dung chính, đó là tìm hiểu về sự phân tích
của môđun nội xạ trên vành Noether thông qua định lí sau.
2.2.10. Định lí Papp and Bass. ([3], Định lí 6.6.4(a))
Những điều kiện sau là tương đương:
(1) Môđun
R
R
là Noether.
(2) Mỗi môđun nội xạ
R
Q
là tổng trực tiếp của những môđun con
không phân tích được.
Chứng minh.
( ) ( )

1 2⇒
. Theo Hệ quả 2.2.6, trong
Q
tồn tại tập hợp
tối đại các môđun con nội xạ không phân tích được có tổng là trực tiếp. Gọi
tổng đó là
0
0 i
I
Q Q= ⊕
,
vì
i
Q
nội xạ với mọi
i I∈
nên theo Định lí 2.2.1 thì
0
Q
nội xạ. Do đó
0
Q
là
hạng tử trực tiếp trong
Q
. Giả sử rằng
21
0 0
Q Q B= ⊕
Giả sử

0
0B ≠
, khi đó theo Bổ đề 2.2.7 thì
0
B
chứa môđun con thuần
nhất
0U ≠
. Gọi
( )
I U
là bao nội xạ của
U
, chứa trong
0
B
thì
( )
I U
là không
phân tích được và là hạng tử trực tiếp của
0
B
. Gọi
( )
0 1
B I U B= ⊕
.
Khi đó,
( ) ( )

0 0
Q I U Q I U+ = ⊕
là tổng trực tiếp của các môđun con nội xạ
không phân tích được. Điều này trái với tính tối đại của
0
I
. Do đó
0
0B =
và
0
0 i
I
Q Q Q
= = ⊕
.
Điều này chứng tỏ môđun nội xạ
Q
là tổng trực tiếp của các môđun con
không phân tích được.
( ) ( )
2 1⇒
. Chứng minh được hoàn thành khi mà điều kiện (c) trong
Định lí 2.2.1 được thoả mãn. Giả sử
1
i
i
Q Q
∞
=

= ⊕
,
với
i
Q
là bao nội xạ của môđun con đơn
i
E
trong
i
Q
.
Giả sử
( )
I Q
là bao nội xạ của
Q
với
( )
Q I Q⊂
. Ta chứng minh rằng
( )
Q I Q=
. Bởi vì
( )
*Q I Q⊂
nên suy ra
( ) ( )
( )
Soc Q Soc I Q=

. Khi đó ta có
( ) ( )
1 1
i i
i i
Soc Q Soc Q E
∞ ∞
= =
= ⊕ = ⊕
.
Ta giả định rằng
( )
j
j J
I Q D
∈
= ⊕
, trong đó
j
D
là môđun nội xạ không phân tích
được. Giả sử
( )
{ }
1
| , và 0
j
J j j J Soc D= ∈ ≠
,
khi đó ta có

( )
( )
( )
1
j
j J
Soc I Q Soc D
∈
= ⊕
.
22
Nếu
( )
0
j
Soc D ≠
, theo Hệ quả 2.2.4 đặt
( )
j j
F Soc D=
là đơn và
j
D
là
bao nội xạ của
j
F
. Do đó ta có
( )
( )

1
1
i j
i j J
Soc I Q E F
∞
= ∈
= ⊕ = ⊕
,
và theo định lí Krull-Remak-Schmitd (Định lí 2.2.9) thì
( )
( )
Soc I Q
có hai sự
phân tích là đẳng cấu với nhau. Khi đó
i j
E F≅
, theo Định lí 2.2.8 ta được
i j
Q D≅
và với sự tồn tại của song ánh trong Định lí 2.2.9, ta có
1
1
i j
i j J
Q Q D
∞
= ∈
= ⊕ ≅ ⊕
,

vì vậy
( )
(
)
(
)
1 1
j j
j J j J J
I Q D D
∈ ∈
= ⊕ ⊕ ⊕
.
Do đó
Q
đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ
( )
I Q
và
chính bản thân nó nội xạ. Điều này chứng tỏ tổng trực tiếp đếm được các
i
Q
là thoả mãn điều kiện (c) trong Định lí 2.2.1, nên
R
R
là Noether. 
§2.3. TÍCH TRỰC TIẾP CÁC MÔĐUN NỘI XẠ
Như đã đề cập đến ở phần mở đầu, một trong những vấn đề mà luận
văn hướng đến là tìm hiểu xem tích trực tiếp của các môđun nội xạ có nội xạ
hay không. Vấn đề này được làm sáng tỏ thông qua định lí sau:

2.3.1. Định lí. ([3], Định lí 5.3.4)
Nếu
i
I
Q Q=
∏
. Khi đó ta có:
Q
là môđun nội xạ
⇔

i
Q
là nội xạ,
i I∀ ∈
.
23