Toán tử đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính

1
MỤC LỤC
trang
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chương 1. Toán tử đặc trưng và sự ổn định đều của phương trình
sai phân tuyến tính trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1 Một số kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Toán tử đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất
trong không gian Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
1.3 Một số dấu hiệu ổn định đều của phương trình sai phân tuyến tính
trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
1.4 Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số là toán tử hầu tuần
hoàn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
Chương 2. Sự tồn tại nghiệm Ψ-bị chặn và sự Ψ-ổn định đều của
phương trình sai phân tuyến tính trong không gian C
d
. . . . . . . .21
2.1 Sự tồn tại nghiệm Ψ-bị chặn của phương trình sai phân tuyến tính
trong không gian C
d
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Toán tử Ψ-đặc trưng và sự Ψ-ổn định đều của phương trình sai
phân tuyến tính thuần nhất trong không gian C
d
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . 45
LỜI NÓI ĐẦU
Trong toán học, phương trình vi phân và phương trình sai phân như hai
người bạn đồng hành, được quan tâm nghiên cứu song song. Sự khác nhau

giữa chúng ở chỗ phương trình vi phân nghiên cứu các hàm xác định trên
các tập số liên tục còn phương trình sai phân nghiên cứu trên các tập số
rời rạc. Tuy vậy, hầu hết các kết quả của phương trình vi phân đều có kết
quả tương ứng của phương trình sai phân.
Sự phát triển của Toán học dẫn tới sự khái quát các khái niệm, các không
gian đã có. Sự tồn tại nghiệm Ψ-bị chặn của nghiệm phương trình vi phân
được bắt đầu nghiên cứu bởi Akinyele, sau đó được tiếp tục nghiên cứu
bởi Morchalo, Diamandescu, Gupta, Srivastava ([4], [12], [16]). Không chỉ
dừng lại ở việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm Ψ-bị chặn của phương trình vi
phân, nhiều tác giả còn xem xét sự Ψ-ổn định và vấn đề dáng điệu nghiệm
của phương trình vi phân khi có "nhiễu" Ψ ([11], [7], [15]).
Do sự tương đồng giữa phương trình vi phân và phương trình sai phân,
một cách tự nhiên người ta nghiên cứu sự tồn tại nghiệm Ψ-bị chặn của
phương trình sai phân. Vấn đề này bắt đầu bởi Han, Hong ([18]) và được
Diamandescu tiếp tục nghiên cứu ([13], [14]). Từ đây, nảy sinh tự nhiên
vấn đề sự Ψ-ổn định của nghiệm phương trình sai phân mà luận văn này
đề cập đến.
Khi nghiên cứu phương trình sai phân trong không gian hữu hạn chiều,
lý thuyết ma trận được ứng dụng rất hiệu quả. Tuy nhiên, khi nghiên cứu
phương trình sai phân trong không gian vô hạn chiều, lý thuyết ma trận
không còn áp dụng được nữa. Aulbach, Nguyễn Văn Minh và Zabreiko đã
xây dựng toán tử đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính thuần
2
3
nhất. Sử dụng toán tử này, các tác giả đã nghiên cứu các tính chất của
phương trình sai phân tuyến tính như tính nhị phân mũ, sự tồn tại nghiệm
bị chặn của phương trình sai phân tuyến tính
Trong luận văn này, chúng tôi trình bày một số dấu hiệu về sự ổn định
đều của phương trình sai phân tuyến tính trong không gian Banach. Chúng
tôi đề xuất khái niệm Ψ-ổn định đều và tìm ra một số dấu hiệu về sự Ψ-ổn

định đều của phương trình sai phân tuyến tính trong không gian C
d
. Dựa
trên cách xây dựng toán tử đặc trưng của Aulbach, Nguyễn Văn Minh
và Zabreiko, chúng tôi xây dựng toán tử Ψ-đặc trưng của phương trình
sai phân tuyến tính trong không gian C
d
. Toán tử Ψ-đặc trưng là công cụ
chính để nghiên cứu sự Ψ-ổn định, sự tồn tại nghiệm Ψ-bị chặn của phương
trình sai phân tuyến tính.
Luận văn có cấu trúc như sau. Ngoài các phần: Mục lục, Lời nói đầu, Kết
luận, Tài liệu tham khảo, nội dung chính của Luận văn gồm hai chương:
Chương 1: Toán tử đặc trưng và sự ổn định đều của phương trình
sai phân tuyến tính trong không gian Banach.
Chương 2: Sự tồn tại nghiệm Ψ-bị chặn và sự Ψ-ổn định đều của
phương trình sai phân tuyến tính trong không gian C
d
.
Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số dấu hiệu ổn định đều của
phương trình sai phân tuyến tính. Trong chương này, toán tử đặc trưng là
một trong các công cụ được sử dụng để nghiên cứu tính ổn định đều của
phương trình sai phân tuyến tính.
Trong chương 2, trước hết, chúng tôi trình bày một vài kết quả đã có
về sự tồn tại nghiệm Ψ-bị chặn trên Z của phương trình sai phân tuyến
tính. Sau đó, chúng tôi đề xuất khái niệm Ψ-ổn định đều và toán tử Ψ-đặc
trưng phương trình sai phân tuyến tính. Trong chương này, toán tử Ψ-đặc
trưng là công cụ chính được sử dụng để nghiên cứu tính Ψ-ổn định đều
của phương trình sai phân tuyến tính.
Vì khả năng của bản thân còn hạn chế nên luận văn chắc hẳn sẽ không
4

tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự góp ý của quý
thầy cô và các bạn.
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, tận tâm
của thầy giáo PGS. TS. NGƯT. Phạm Ngọc Bội và sự giúp đỡ của các
thầy cô giáo trong tổ Giải tích, khoa Sư phạm Toán học, Trường Đại học
Vinh cùng với gia đình và bạn bè. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
tới thầy giáo Phạm Ngọc Bội, người đã dành cho tác giả sự quan tâm giúp
đỡ tận tình và chu đáo trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn
thành luận văn.
Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban chủ nhiệm khoa Sư phạm
Toán học, Trường Đại học Vinh, các thầy cô trong khoa Sư phạm Toán
học, Trường Đại học Vinh đã trang bị những kiến thức và những kinh
nghiệm bổ ích cho tác giả, xin cảm ơn tập thể lớp CH20-Toán đã tạo mọi
điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn
của mình.
Nghệ An, năm 2014
Tác giả
CHƯƠNG 1
TOÁN TỬ ĐẶC TRƯNG VÀ SỰ ỔN ĐỊNH ĐỀU CỦA
PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH TRONG
KHÔNG GIAN BANACH
1.1 Một số kiến thức cơ sở
1.1.1 Định nghĩa. ([2]). Cho B là không gian tuyến tính phức. Ánh xạ
 ·  : B → R được gọi là chuẩn nếu
(i) u  0, ∀u ∈ B;
(ii) u = 0 ⇔ u = 0;
(iii) λu = |λ|u, ∀u ∈ B, λ ∈ C;
(iv) u + v  u + v, ∀u, v ∈ B.
Không gian tuyến tính trang bị chuẩn được gọi là không gian định chuẩn.
Không gian định chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach.

1.1.2 Định nghĩa. ([3]). Cho B là không gian Banach.
(i) Ánh xạ A : B → B gọi là toán tử tuyến tính nếu
A(λu + µv) = λAu + µAv, ∀u, v ∈ B, λ, µ ∈ C.
(ii) Toán tử tuyến tính A : B → B là bị chặn nếu
A := sup
u≤1
Au < ∞.
Tiếp theo chúng tôi điểm lại một số kết quả của lý thuyết phổ sẽ được
sử dụng đến trong luận văn. Giả sử B là một không gian Banach. Kí hiệu
[B] là không gian định chuẩn các toán tử tuyến tính bị chặn từ B vào B,
6
khi đó [B] là không gian Banach ([2]). Phần tử f ∈ [B] gọi là khả nghịch
nếu tồn tại g ∈ [B] sao cho gf = fg = I
B
, trong đó I
B
là toán tử đồng
nhất thuộc [B].
1.1.3 Định nghĩa. ([2]). Giả sử B là không gian Banach, f ∈ [B]. Số
phức λ được gọi là giá trị chính quy đối với f nếu (λ − f) = λI
B
− f khả
nghịch. Tập các số chính quy đối với f được gọi là giải thức của f và kí hiệu
là ρ(f), tập C\ρ(f) được gọi là tập phổ của f kí hiệu là σ(f).
1.1.4 Định nghĩa. ([2]). Ta gọi bán kính phổ của f ∈ [B] là số
r
σ
(f) := sup{|λ| : λ ∈ σ(f)}.
Vấn đề ổn định nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính trong
không gian R

d
là bài toán quen thuộc, đã được nhiều tài liệu kinh điển
trình bày. Tuy nhiên, vấn đề ổn định nghiệm của phương trình sai phân
tuyến tính trong không gian Banach là bài toán mới. Trong chương này,
chúng tôi trình bày một số kết quả về sự ổn định theo nghĩa Liapunov đối
với nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính trong không gian Banach.
Trong luận văn, chúng tôi ký hiệu B là không gian Banach, trên đó ta
xét các phương trình sai phân và ký hiệu J là tập hợp các số tự nhiên N
hoặc tập hợp các số nguyên Z = { , ±3, ±2, ±1, 0}, {A(n) ∈ [B], n ∈ J}
là một dãy toán tử tuyến tính của không gian Banach: và f : J → B là
một dãy nhận giá trị trong B. Phương trình
x(n + 1) = A(n)x(n) + f(n). (1.1)
được gọi là phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất trong B.
Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tương ứng với phương
trình sai phân tuyến tính không thuần nhất (1.1) là
x(n + 1) = A(n)x(n). (1.2)
Phương trình sai phân (1.2) là trường hợp riêng của phương trình (1.1)
khi f ≡ 0, cho nên mọi tính chất của phương trình sai phân (1.1) cũng
đúng cho phương trình sai phân (1.2).
Một trong các hướng chính nghiên cứu phương trình sai phân tuyến
tính là sự ổn định của nghiệm phương trình sai phân tuyến tính thuần
nhất (1.2) và mối liên hệ giữa sự ổn định đó với sự tồn tại nghiệm của
phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất (1.1).
Một phương pháp thường dùng để nghiên cứu sự ổn định của phương
trình sai phân tuyến tính là sử dụng hàm Liapunov. Khi B hữu hạn chiều,
lý thuyết ma trận là công cụ nghiên cứu chính. Nhưng khi B là một không
gian Banach bất kì thì công cụ ma trận không có hiệu lực nữa, một trong
những công cụ nghiên cứu có hiệu lực là toán tử đặc trưng. Trong chương
này, chúng tôi trình bày phương pháp của Aulbach, Nguyễn Văn Minh và
Zabreiko, sử dụng toán tử đặc trưng để nghiên cứu sự ổn định của phương

trình sai phân tuyến tính. Ngoài lớp phương trình sai phân tuyến tính
chung, chúng tôi quan tâm đặc biệt tới một lớp phương trình sai phân
tuyến tính trong đó dãy toán tử hệ số của phương trình là hầu tuần hoàn
hoặc tuần hoàn.
Để phân biệt giữa những không gian Banach, chuẩn của không gian
Banach E được ký hiệu là  · 
E
. Tuy nhiên, để cho gọn, chuẩn  · 
B
của
không gian Banach B mà trên đó ta xét các phương trình được viết là  ·.
Điều kiện chung cho toàn Chương 1 là
sup
n
A(n)
[B]
= M < +∞. (1.3)
1.2 Toán tử đặc trưng của phương trình sai phân
tuyến tính thuần nhất trong không gian Banach
1.2.1 Định nghĩa. ([1], [18]). a) Nghiệm của phương trình sai phân (1.1)
trên J là một ánh xạ x : J → B sao cho đẳng thức (1.1) thỏa mãn với mọi
n thuộc J.
Ta thường viết nghiệm của phương trình sai phân dưới dạng dãy x =
{x(n), n ∈ J} hoặc đơn giản hơn là {x(n)} khi J được ngầm định. Giả sử J
1
8
là một tập hợp con của J, ta gọi dãy {x(n), n ∈ J
1
} là nghiệm của phương
trình (1.1) trên J

1
nếu dãy này thỏa mãn (1.1). Nghiệm {x(n), n ∈ J
1
}
của phương trình (1.1) được gọi là bị chặn trên J
1
nếu sup
n∈J
1
x(n) < ∞.
b) Nghiệm {
x(n), n ∈ J} của phương trình (1.1) được gọi là ổn định đều
trên J (theo nghĩa Liapunov) nếu với mỗi ε > 0 tồn tại số δ = δ(ε) > 0
sao cho với mỗi nghiệm {x(n), n ∈ J
1
} của phương trình (1.1) trên J
1
=
[n
0
, +∞), n
0
nào đó thuộc J, nếu thỏa mãn x(n
0
) − x(n
0
) < δ thì
x(n) − x(n) < ε với mọi n thuộc J
1
.

c) Nghiệm {x(n), n ∈ J} của phương trình (1.1) được gọi là ổn định
tiệm cận đều trên J, nếu nó ổn định đều trên J và tồn tại một số δ
0
> 0
sao cho với mỗi ε > 0 đều tồn tại một số tự nhiên T = T(ε) > 0 tương
ứng sao cho với mỗi nghiệm {x(n)} của phương trình (1.1) trên J, nếu
x(n
0
) − x(n
0
) < δ
0
với n
0
nào đó thuộc J thì x(n) − x(n) < ε với mọi
n > n
0
+ T , thuộc J.
d) Nghiệm {x(n), n ∈ J} của phương trình (1.1) được gọi là ổn định
mũ trên J nếu tồn tại các số K và q : K > 0, 0 < q < 1 sao cho nếu
{x(n), n ∈ J} là nghiệm bất kì của phương trình (1.1) thì x(n)−x(n) ≤
Kq
n−m
x(m) − x(m) ∀n, m ∈ J, n ≥ m.
e) Phương trình (1.1) được gọi là ổn định đều (tương ứng: ổn định tiệm
cận đều, ổn định mũ ) trên J nếu mọi nghiệm của phương trình (1.1) ổn
định đều (tương ứng: ổn định tiệm cận đều, ổn định mũ) trên J.
1.2.2 Định nghĩa. (Toán tử Cauchy). Kí hiệu
X(n, m) :=


A(n − 1)A(n − 2) A(m), n > m
I, n = m
trong đó m, n ∈ J, I là toán tử đồng nhất. Toán tử X(n, m) được gọi là
toán tử Cauchy của phương trình sai phân (1.2). Dễ dàng nhận thấy rằng
với k ≥ n ≥ m thì X(k, n)X(n, m) = X(k, m). Nghiệm x = {x(n), n ∈ J}
của phương trình (1.2) có tính chất: nếu x(m) = u thì x(n) = X(n, m)u
với mọi n ≥ m.
9
1.2.3 Định lý. a) Phương trình (1.1) ổn định đều (tương ứng: ổn định
tiệm cận đều, ổn định mũ) khi và chỉ khi nghiệm x ≡ 0 của phương trình
(1.2) ổn định đều (tương ứng: ổn định tiệm cận đều, ổn định mũ).
b) Phương trình (1.1) ổn định đều (tương ứng: ổn định tiệm cận đều,
ổn định mũ) khi và chỉ khi phương trình (1.2) ổn định đều (tương ứng: ổn
định tiệm cận đều, ổn định mũ).
Chứng minh. Ta có nhận xét: nếu {x(n)} và {y(n)} là các nghiệm của
(1.1) trên J thì {z(n) = y(n) − x(n)} là các nghiệm của (1.2) trên J.
a) Giả sử nghiệm tầm thường z ≡ 0 của (1.2) ổn định đều trên J. Lấy
một nghiệm bất kỳ {x(n)} của (1.1), ta chứng minh {x(n)} ổn định đều.
Giả sử {y(n)} là nghiệm tùy ý của (1.1). Theo nhận xét trên, {z(n) =
y(n) − x(n)} là nghiệm của (1.2). Mặt khác, theo giả thiết nghiệm tầm
thường của (1.2) ổn định đều, ta suy ra, với mọi ε > 0, ∃ δ > 0 sao cho
nếu y(n
0
) − x(n
0
) = z(n
0
) < δ thì y(n) − x(n) = z(n) < ε với
mọi n ≥ n
0

. Vì thế, suy ra nghiệm {x(n)} ổn định đều.
Chứng minh hoàn toàn tương tự cho chiều ngược lại.
Lập luận tương tự cho trường hợp ổn định tiệm cận đều, ổn định mũ.
b) Chọn f = 0, áp dụng a) ta có phương trình (1.2) ổn định đều khi và
chỉ khi nghiệm tầm thường x ≡ 0 của nó ổn định đều. Kết hợp với a) ta
có điều phải chứng minh.
Lập luận tương tự cho trường hợp ổn định tiệm cận đều, ổn định mũ.
1.2.4 Hệ quả. Phương trình (1.2) ổn định mũ trên J nếu tồn tại các số
K và q : K > 0, 0 < q < 1 sao cho nếu {x(n), n ∈ J} là nghiệm bất kì của
phương trình (1.2) thì x(n) ≤ Kq
n−m
x(m) với ∀n, m ∈ J, n ≥ m.
Chứng minh. Suy từ nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình (1.2) ổn
định mũ.
Định lý 1.2.3 nói trên, rất có ích khi nghiên cứu sự ổn định của phương
trình sai phân tuyến tính. Định lý này chỉ ra rằng việc nghiên cứu tính ổn
10
định đều (tương ứng: ổn định tiệm cận đều, ổn định mũ), của phương trình
(1.1) có thể đơn giản hóa bằng cách nghiên cứu tính ổn định đều (tương
ứng: ổn định tiệm cận đều, ổn định mũ) của phương trình (1.2). Vì thế từ
đây trở đi, chúng tôi chỉ nói đến tính ổn định đều, tính ổn định tiệm cận
đều và tính ổn định mũ của phương trình (1.2).
1.2.5 Định nghĩa. (Toán tử đặc trưng [5], [6]). a) Giả sử J = Z, gọi
L = {v : Z → B| sup
n∈Z
v(n) < +∞}, với chuẩn v
L
= sup
n∈Z
v(n). Ta

lập toán tử T : L → L như sau: (T v)(n) := A(n − 1)v(n − 1) với mọi
n ∈ Z. Dễ thấy L là một không gian Banach và với điều kiện (1.3) thì
T ∈ [L].
b) Giả sử J = N, gọi D = {v : N → B| sup
n∈N
v(n) < +∞}, với chuẩn
v
D
= sup
n∈N
v(n). Ta lập toán tử S : D → D như sau:
(Sv)(n) :=

0, khi n = 0
A(n − 1)v(n − 1), khi n ≥ 1
thì D cũng là một không gian Banach và với điều kiện (1.3) thì S ∈ [D].
T và S được gọi là toán tử đặc trưng của phương trình (1.2).
Kí hiệu σ(Q), r
σ
(Q) tương ứng là phổ và bán kính phổ của toán tử
tuyến tính liên tục Q. Kết quả sau đây cho bởi Aulbach, Nguyễn Văn
Minh và Zabreiko.
1.2.6 Định lý. ([5], [6]). Xét toán tử đặc trưng T và S của phương trình
(1.2), ta có các khẳng định sau
a) r
σ
(T ) = inf{q > 0/∃N
q
> 0 : X(n, m)x ≤ N
q

q
n−m
x,
∀m, n ∈ Z, n ≥ m, x ∈ B}.(1.4)
r
σ
(S) = inf{q > 0/∃N
q
> 0 : X(n, m)x ≤ N
q
q
n−m
x,
∀m, n ∈ N, n ≥ m, x ∈ B}. (1.5)
b) Phổ của T và S bất biến với mọi phép quay với tâm là gốc tọa độ:
σ(T ) = e
iα
σ(T ), σ(S) = e
iα
σ(S), ∀α ∈ R.
11
c) Phổ của σ(S) là một hình tròn đóng: σ(S) = {λ||λ| ≤ r
σ
(S)}.
Những câu hỏi đã đặt ra là: các kiểu ổn định của phương trình (1.2) liên
quan với nhau như thế nào? sự ổn định của phương trình (1.2) liên quan
với phổ của toán tử đặc trưng như thế nào? Phần sau đây chúng tôi trình
bày một số kết quả nghiên cứu về nội dung nói trên.
1.3 Một số dấu hiệu ổn định đều của phương trình
sai phân tuyến tính trong không gian Banach

1.3.1 Định lý. ([1]). a) Phương trình (1.2) ổn định đều trên J khi và chỉ
khi mọi nghiệm của nó trên mỗi một tập hợp [k, +∞), k ∈ J, bị chặn.
b) Phương trình (1.2) ổn định tiệm cận đều trên J khi và chỉ khi nó ổn
định mũ trên J.
Chứng minh. a) Trước hết, giả sử mọi nghiệm của phương trình (1.2) trên
mỗi một tập hợp [k, +∞), k ∈ J, bị chặn, ta chứng minh nghiệm x ≡ 0
của phương trình (1.2) ổn định đều. Giả sử u là phần tử tùy ý của B. Ta
lấy dãy {x(n)} như sau: x(n) = X(n, k)u, khi đó x(n) là nghiệm của (1.2)
trên [k, +∞). Do {x(n)} bị chặn nên theo nguyên lý bị chặn đều ta có
sup
n≥k
X(n, k)
[B]
≤ c < +∞ với ∀n, k ∈ J. Vì vậy, với ε > 0 tùy ý, chọn
δ =
ε
c
, thì từ x(n
0
) < δ ta có x(n) ≤ X(n, n
0
)x(n
0
) < ε, tức là
nghiệm x ≡ 0 của phương trình (1.2) ổn định đều. Sử dụng Định lý 1.2.3,
ta suy ra phương trình (1.2) ổn định đều.
Ngược lại, nếu phương trình (1.2) ổn định đều, ta chứng minh mọi
nghiệm của phương trình (1.2) trên mỗi tập hợp [k, +∞), k ∈ J, bị chặn.
Giả sử ngược lại rằng x = {x(n)} là một nghiệm của phương trình (1.2)
không bị chặn trên [k, +∞). Rõ ràng x(n) = 0 vì nếu x(n) = 0 thì x ≡ 0

trên [k, +∞) nên hiển nhiên nghiệm này bị chặn trên [k, +∞). Đặt
y(n) =
x(n)
2x(k)
δ,
12
thì {y(n)} là nghiệm của phương trình (1.2) trên [k, +∞). Do {x(n)}
không bị chặn trên [k, +∞), ta suy ra {y(n)} không bị chặn trên [k, +∞).
Trong khi đó
y(k) =
δ
2
< δ.
Nghĩa là nghiệm x ≡ 0 của phương trình (1.2) không ổn định đều. Theo
Định lý 1.2.3 thì phương trình (1.2) không ổn định đều, mâu thuẫn với giả
thiết. Vậy mọi nghiệm của phương trình (1.2) trên mỗi tập hợp [k, +∞),
với k ∈ J bị chặn.
b) Nếu phương trình (1.2) ổn định mũ, với bất kì n
0
∈ J và x = {x(n)}
là một nghiệm tùy ý của phương trình (1.2) thì tồn tại các số K và q sao cho
K > 0, 0 < q < 1 thỏa mãn điều kiện x(n) ≤ Kq
n−n
0
x(n
0
), ∀n ∈ J,
n ≥ n
0
. Suy ra x(n) ≤ Kx(n

0
), từ đó dễ thấy nghiệm x ≡ 0 của
phương trình (1.2) ổn định đều. Mặt khác, lim
n→+∞
q
n−n
0
= 0 cho nên nếu δ
0
là một số dương cố định, ∀ε > 0 tồn tại một số N
0
đủ lớn (N
0
≥ n
0
), sao
cho q
n−n
0
<
ε
Kδ
0
, khi đó x(n) ≤ K
ε
Kδ
0
x(n
0
) < ε nếu x(n

0
) < δ
0
.
Đặt T = N
0
− n
0
, T = T (ε). Dễ dàng kiểm tra được rằng nghiệm x ≡ 0
của phương trình (1.2) ổn định tiệm cận đều. Theo Định lý 1.1.3 ta có
phương trình (1.2) ổn định tiệm cận đều.
Ngược lại, giả sử phương trình (1.2) ổn định tiệm cận đều, ta chứng
minh phương trình (1.2) ổn định mũ.
Giả sử x = {x(n), n ∈ J} là nghiệm bất kì của phương trình (1.2) mà
x(m) = α, khi đó ta kí hiệu giá trị x(n) là x(n; m, α). Ta đặt V
n
(α) =
N

k=0
x(n + k; n, α). Từ điều kiện ổn định của phương trình (1.2) ta có
X(n, k) ≤ M < +∞ với mọi n, k. Do đó x(n) ≤ X(n, m)α ≤
Mα. Vậy V
n
(α) ≤ (N +1)Mα. Từ định nghĩa của V
n
ta lại có V
n
(α) >
α. Dễ thấy V

n
(x(n)) =
N

k=0
x(n+k; n, x(n)) =
N

k=0
x(n+k; m, x(m)),
13
với mọi n ≥ m. Vậy
V
n+1
(x(n + 1)) − V
n
(x(n))
=
N

k=0
x(n + k + 1; n + 1, x(n + 1)) −
N

k=0
x(n + k; n, x(n))
=
N

k=0

x(n + k + 1; n, x(n)) −
N

k=0
x(n + k; n, x(n))
= x(N + n + 1; n, x(n)) − x(n).
Từ sự ổn định tiệm cận đều của phương trình (1.2) suy ra tồn tại dãy
số ϕ
n
→ 0 sao cho X(n, m) ≤ ϕ
n−m
. Vì vậy x(N + n + 1; n, x(n)) ≤
ϕ
N+1
x(n). Suy ra
V
n+1
(x(n + 1)) − V
n
(x(n)) ≤ −(1 − ϕ
N+1
)x(n).
Chọn N đủ lớn sao cho ϕ
N+1
<
1
2
, khi đó ta có
V
n+1

(x(n + 1)) − V
n
(x(n)) ≤ −
1
2
x(n) ≤ −
1
2M(N + 1)
V
n
(x(n)).
Vì thế mà
V
n+1
(x(n + 1))
V
n
(x(n))
≤ 1 −
1
2M(N + 1)
.
Cho nên
x(n) ≤ V
n
(x(n)) ≤ (1 −
1
2M(N + 1)
)
n−m

V
m
(x(m))
≤ M(N + 1)(1 −
1
2M(N + 1)
)
n−m
x(m).
Vậy phương trình (1.2) ổn định mũ với K= M(N+1), q = 1−1/2M(N +1).
Định lý đã được chứng minh.
1.3.2 Định lý. ([1]). a) Phương trình (1.2) ổn định đều trên J khi và chỉ
khi
sup
k≥0
T
k

[L]
< +∞ hoặc sup
k≥0
S
k

[D]
< +∞.
14
b) Phương trình (1.2) ổn định tiệm cận đều trên J khi và chỉ khi
r
σ

(T ) < 1 hoặc r
σ
(S) < 1.
c) Nếu r
σ
(T ) > 1 (khi J = Z) hoặc r
σ
(S) > 1 (khi J = N) thì phương
trình (1.2) không ổn định đều.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh hai công thức sau:
r
σ
(T ) = lim
k→+∞
sup
n∈Z
X(n, n − k)
1
k
[B]
. (1.6)
r
σ
(S) = lim
k→+∞
sup
n∈N
X(n, n − k)
1
k

[B]
. (1.7)
Ta chứng minh (1.6). Muốn vậy ta chứng minh
T
k

[L]
= sup
n∈Z
X(n, n − k)
[B]
. (1.8)
i) Trước hết ta chứng minh T
k

[L]
≤ sup
n∈Z
X(n, n − k)
[B]
. Thật vậy,
dễ dàng tính được (T
k
v)(n) = X(n, n − k)v(n − k). Suy ra
T
k
v
[L]
= sup
n∈Z

(T
k
v)(n)
L
= sup
n∈Z
X(n, n − k)v(n − k)
L
≤ sup
n∈Z
X(n, n − k)
[B]
sup
n∈Z
v(n − k)
L
= sup
n∈Z
X(n, n − k)
[B]
v
L
.
Vậy T
k

[L]
≤ sup
n∈Z
X(n, n − k)

[B]
.
ii) Bây giờ ta chứng minh
sup
n∈Z
X(n, n − k)
[B]
≤ T
k

[L]
.
Muốn vậy ta chứng minh rằng: X(n, n − k)
[B]
≤ T
k

[L]
, ∀n ∈ Z.
Thật vậy, với mỗi x ∈ B ta gọi v
x
là phần tử thuộc L được xác định như
sau: v
x
(n) = x, ∀n ∈ Z, khi đó v
x

L
= x. Ta có X(n, n − k)
[B]

=
15
sup
x=1
X(n, n−k)x = sup
x=1
X(n, n−k)v
x
(n−k) = sup
x=1
(T
k
v
x
)(n) ≤
sup
x=1
T
k
v
x
 ≤ T
k

[L]
sup
x=1
v
x
 = T

k

[L]
.
Cuối cùng, do r
σ
(T ) = lim
k→+∞
T
k

1
k
[L]
([2]) do đó từ (1.8) ta có (1.6)
Chứng minh công thức (1.7) hoàn toàn tương tự.
Bây giờ ta chứng minh Định lí 1.3.2.
a) Từ Định lý 1.3.1 ta có điều kiện để phương trình (1.2) ổn định đều
trên Z là sup
n≥k
X(n, k)
[B]
≤ c
1
< +∞, ∀n, k ∈ J, công thức (1.8) chỉ ra
điều kiện ổn định đều trên Z của phương trình (1.2) là sup
k≥0
T
k


[L]
< +∞.
Tương tự cho trường hợp J = N.
b) Kết quả này thu trực tiếp từ Định lý 1.2.6.a
c) Nếu r
σ
(T ) = r > 1 (khi J = Z) hoặc r
σ
(S) = r > 1 (khi J = N), do
(1.7) ta có
lim
k→+∞
sup
n∈J
X(n, n − k)
1
k
[L]
= r > 1.
Suy ra tồn tại k
0
thuộc J sao cho khi k > k
0
thì sup
n∈J
X(n, n − k)
1
k
[B]
> s,

với 1 < s < r. Vậy tồn tại dãy con {n
k
} ⊂ J sao cho
X(n
k
, n
k
− k)
[B]
> s
k
→ ∞ khi k → ∞. (1.9)
Với mỗi α ∈ B, ta xét dãy {x(m), n
k
− k ≤ m} được xác định như sau:
x(n
k
− k) = α; x(m) = X(m, n
k
− k)α, với m > n
k
− k.
Rõ ràng {x(m)} là nghiệm của (1.2), xác định trên [n
k
−k, +∞). Trong
số các nghiệm này có ít nhất một nghiệm không bị chặn. Thật vậy giả sử
tất cả các nghiệm nói trên đều bị chặn, theo nguyên lý bị chặn đều suy ra
rằng X(n
k
, n

k
− k)
[B]
bị chặn, điều đó mâu thuẫn với (1.9). Vậy phương
trình (1.2) có nghiệm không bị chặn trên [n
0
, +∞), n
0
nào đó thuộc J.
Theo Định lý 1.3.1 thì phương trình (1.2) không ổn định đều.
Lập luận hoàn toàn tương tự đối với toán tử S.
Định lý đã được chứng minh.
16
1.3.3 Hệ quả. ([1]). Nếu phương trình (1.2) ổn định đều trên J thì
r
σ
(T ) ≤ 1 hoặc r
σ
(S) ≤ 1
Chứng minh. Giả sử r
σ
(T ) > 1. Từ Định lý 1.3.2.c suy ra phương trình
(1.2) không ổn định đều điều đó mâu thuẫn với giả thiết. Vậy r
σ
(T ) ≤ 1.
Tương tự cho trường hợp r
σ
(S).
1.3.4 Hệ quả. ([1]). Nếu phương trình (1.2) ổn định tiệm cận đều thì với
dãy toán tử tuyến tính bị chặn {B(n), n ∈ J} có chuẩn đủ nhỏ thì phương

trình
x(n + 1) = [A(n) + B(n)]x(n) (1.10)
cũng ổn định tiệm cận đều.
Chứng minh. Gọi T (tương ứng S) là toán tử đặc trưng của phương trình
(1.10). Do r
σ
(T ) < 1 (tương tự r
σ
(S) < 1) và sự phụ thuộc liên tục
của bán kính phổ của toán tử tuyến tính theo chuẩn ([10]), cho nên, nếu
sup
n∈J
B(n)
[B]
≤ ε với ε đủ nhỏ thì r
σ
(T ) < 1 (tương ứng r
σ
(S) < 1).
1.3.5 Hệ quả. ([1]). Nếu {A(n) = A, n ∈ J} là dãy toán tử hằng thì :
a) Phương trình (1.2) ổn định đều trên J khi và chỉ khi
sup
k≥0
A
k

[B]
< +∞.
b) Phương trình (1.2) ổn định tiệm cận đều trên J khi và chỉ khi
r

σ
(A) < 1.
c) Phương trình (1.2) không ổn định đều trên J nếu r
σ
(A) > 1.
Chứng minh. Giả sử A(n) = A, ∀n ∈ J. Theo các công thức (1.6) và (1.7)
thì r
σ
(T ) = r
σ
(A) (khi J = Z) hoặc r
σ
(S) = r
σ
(A) (khi J = N), vì vậy
các điều kiện đã cho đối với điều kiện A được chuyển thành điều kiện của
T hoặc S, áp dụng Định lý 1.3.2 ta có điều phải chứng minh.
Sau đây ta xét phương trình (1.1) và (1.2) trong đó {f(n)} là dãy hầu
tuần hoàn trong B, {A(n)} là dãy toán tử hầu tuần hoàn trong [B].
17
1.4 Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số là
toán tử hầu tuần hoàn
1.4.1 Định nghĩa. ([1], [17]). Dãy {u(n), n ∈ J} trong một không gian
Banach được gọi là hầu tuần hoàn trên J nếu ∀ε ≥ 0, ∃ T = T (ε) > 0 sao
cho với mỗi đoạn thẳng trong tập số thực, có độ dài T đều chứa số p để
u(n + p) − u(n) < ε, ∀n ∈ J.
Khi không gian Banach được xét là B ta có dãy hầu tuần hoàn trong B,
còn khi không gian Banach là [B] ta có dãy toán tử tuyến tính hầu tuần
hoàn. Các tính chất cơ bản của toán tử hầu tuần hoàn được cho bởi định
lý sau

1.4.2 Định lý. ([1]). a) Dãy hầu tuần hoàn bị chặn.
b) Nếu {u(n)}, {v(n)} là các dãy hầu tuần hoàn trong B thì {u(n)+v(n)}
là dãy hầu tuần hoàn trong B.
c) Nếu {u(n)} là dãy hầu tuần hoàn trong B, {A(n)} là dãy hầu tuần
hoàn trong [B] và {α(n)} là dãy số hầu tuần hoàn thì {A(n)u(n)} và
{α(n)u(n)} là các dãy hầu tuần hoàn trong B.
d) Nếu các dãy hầu tuần hoàn {v
k
(n), k = 0, 1, 2, } trong B hội tụ theo
chuẩn v
L
(nếu J = Z) hoặc theo chuẩn v
D
(nếu J = N) về {v(n)}
thì {v(n)} là dãy hầu tuần hoàn trong B.
Từ đó suy ra tập hợp tất cả các dãy hầu tuần hoàn trên J lấy giá trị
trong không gian Banach B là một không gian Banach con của không gian
Banach L hoặc D nói trên, ta kí hiệu là AP L và AP D tương ứng. Giả
sử B là một không gian Banach và {f(n)}, {A(n)} là các dãy hầu tuần
hoàn. Khi J = Z hoăc J = N ta có toán tử đặc trưng là T hoặc S của
phương trình (1.2). Gọi T
1
, S
1
là hạn chế của T , S (một cách tương ứng)
trên AP L, AP D.
1.4.3 Định lý. ([1]). Giả sử {A(n)} là dãy toán tử hầu tuần hoàn. Khi đó
a) σ(T
1
) = e

iα
σ(T
1
), σ(S
1
) = e
iα
σ(S
1
), ∀α ∈ R.
18
b)
r
σ
(T
1
) = r
σ
(T ), r
σ
(S
1
) = r
σ
(S). (1.11)
c) σ(S
1
) = σ(S).
Vì e
iα

là phép quay tâm là gốc tọa độ trong C, α là số thực bất kì, cho
nên tính chất a) có thể phát biểu cách khác là phổ của T
1
và S
1
bất biến
với mọi phép quay với tâm là gốc tọa độ.
1.4.4 Định lý. ([1]). Giả sử {A(n)} là dãy toán tử hầu tuần hoàn. Khi đó
a) Phương trình (1.2) ổn định đều trên J khi và chỉ khi
sup
k≥0
T
k
1

[AP L]
< +∞ hoặc sup
k≥0
S
k
1

[AP D]
< +∞.
b) Phương trình (1.2) ổn định tiệm cận đều trên J khi và chỉ khi
r
σ
(T
1
) < 1 hoặc r

σ
(S
1
) < 1.
c) Nếu r
σ
(T
1
) > 1 hoặc r
σ
(S
1
) > 1 thì phương trình (1.2) không ổn
định đều.
Chứng minh. Sử dụng Định lý 1.4.3 và lập luận trong chứng minh Định lý
1.3.2, khi thay T bởi T
1
, S bởi S
1
, tương ứng.
1.4.5 Định lý. ([1]). Điều kiện cần và đủ để với mỗi dãy hầu tuần hoàn
{f(n)} trên Z, phương trình x(n + 1) = A(n)x(n) + f(n + 1) có nghiệm
hầu tuần hoàn duy nhất trên Z là phổ σ(T
1
) không cắt vòng tròn đơn vị.
Chứng minh. Gọi x = {x(n)}, f = {f(n)}, khi đó với mỗi f ∈ AP L
phương trình x(n + 1) = A(n)x(n) + f(n + 1) có nghiệm duy nhất thuộc
AP L khi và chỉ khi với mỗi f ∈ AP L, phương trình
(I − T
1

)(x) = f
có nghiệm duy nhất thuộc APL. Điều đó tương đương với 1 ∈ ρ(T
1
). Theo
Định lý 1.4.3.a, 1 ∈ ρ(T
1
) khi và chỉ khi σ(T
1
) không cắt vòng tròn đơn vị.
Suy ra điều phải chứng minh.
19
1.4.6 Định lý. ([1]). a) Điều kiện cần và đủ để σ(T
1
) không chứa vòng tròn
đơn vị là với mỗi f ∈ AP L phương trình x(n + 1) = A(n)x(n) + f(n + 1)
có nghiệm duy nhất thuộc APL.
b) Nếu phương trình (1.2) ổn định tiệm cận đều trên Z thì với mỗi
f ∈ AP L phương trình x(n + 1) = A(n)x(n) + f(n + 1) có nghiệm duy
nhất thuộc APL.
Chứng minh. a) Điều kiện σ(T
1
) không chứa vòng tròn đơn vị tương đương
với điều kiện σ(T
1
) không cắt vòng tròn đơn vị, cho nên theo Định lý 1.4.5
ta có điều phải chứng minh.
b) Từ Định lý 1.4.3 và Định lý 1.4.4 ta có r
σ
(T
1

) = r
σ
(T ) < 1 tức là
σ(T
1
) không cắt vòng tròn đơn vị, áp dụng Định lý 1.4.5 ta có điều cần
phải chứng minh.
1.4.7 Định lý. ([1]). Nếu {A(n)} là một dãy toán tử tuyến tính hầu tuần
hoàn thì phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất (1.2) ổn định tiệm
cận đều trên N khi và chỉ khi với mỗi dãy hầu tuần hoàn {f(n)} trên N
bài toán Cauchy sau đây

x(n + 1) = A(n)x(n) + f(n + 1), n ≥ 0
x(0) = f(0)
(1.12)
có nghiệm hầu tuần hoàn duy nhất trên N.
Chứng minh. Định lý 1.4.3 đã chỉ ra rằng σ(S) = σ(S
1
) và chúng là những
hình tròn đóng. Sử dụng Định lý 1.4.5 ta có điều phải chứng minh.
Bây giờ ta xét trường hợp khi {A
n
} là dãy toán tử tuần hoàn chu kì M
trên J, nghĩa là ∃M ∈ N sao cho A
n+M
= A
n
, ∀n, n + M thuộc J.
Đặt U
j

= A
j
A
j−1
A
0
A
M−1
A
M−2
A
j+1
, 1 ≤ j ≤ M. Ta có định lý
sau.
1.4.8 Định lý. ([1]). a) r
σ
(U
j
) là một hằng số đối với 1 ≤ j ≤ M.
b) Nếu r
σ
(U
j
) < 1 thì nghiệm của phương trình (1.2) ổn định tiệm cận
đều.
20
c) Nếu r
σ
(U
j

) > 1 thì phương trình (1.2) không ổn định đều.
Giả sử {A(n)} và {f(n)}, n ∈ J, là dãy tuần hoàn (không đòi hỏi có
cùng chu kì). Gọi P là tập hợp tất cả các dãy tuần hoàn trên J và T
2
(tương ứng S
2
) là hạn chế của T (tương ứng) S trên P . Chứng minh hoàn
toàn tương tự phần chứng minh cho T
1
và S
1
, ta thu được kết quả sau.
1.4.9 Định lý. ([1]). a) Phổ của T
2
và S
2
bất biến với mọi phép quay với
tâm là gốc tọa độ
σ(T
2
) = e
iα
σ(T
2
), σ(S
2
) = e
iα
σ(S
2

), ∀α ∈ R.
b) r
σ
(T
1
) = r
σ
(T ) = r
σ
(T
2
).
c) σ(T
2
) không chứa vòng tròn đơn vị khi và chỉ khi với mỗi f ∈ P ,
phương trình x(n + 1) = A(n)x(n) + f(n + 1) có nghiệm duy nhất thuộc
P .
d) Nếu phương trình (1.2) ổn định tiệm cận đều trên Z thì với mỗi
f ∈ P, phương trình x(n + 1) = A(n)x(n) + f(n + 1) có nghiệm duy nhất
thuộc P .
CHƯƠNG 2
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM Ψ-BỊ CHẶN VÀ SỰ Ψ-ỔN ĐỊNH
ĐỀU CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH
TRONG KHÔNG GIAN C
D
Vấn đề tồn tại nghiệm bị chặn của phương trình sai phân tuyến tính trên
Z là bài toán quen thuộc, đã có nhiều kết quả. Tuy nhiên, vấn đề tồn tại
nghiệm Ψ-bị chặn trên N hoặc trên Z là bài toán mới. Năm 2007, J. Han
và Y. Hong tìm được một điều kiện để phương trình sai phân tuyến tính
tồn tại nghiệm Ψ-bị chặn trên N ([18]), sau đó A. Diamandescu tìm được

một vài điều kiện để phương trình sai phân tuyến tính tồn tại nghiệm Ψ-bị
chặn trên Z ([13], [14]).
Trong chương này, phần đầu, chúng tôi trình bày một số kết quả về sự
tồn tại nghiệm Ψ-bị chặn trên Z của phương trình sai phân tuyến tính
x(n + 1) = A(n)x(n) + f(n). (2.1)
Trong phần sau của chương này, chúng tôi đề xuất các khái niệm Ψ-ổn
định của phương trình sai phân tuyến, xây dựng toán tử Ψ-đặc trưng của
phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất và sử dụng nó để nghiên cứu
sự Ψ-ổn định đều của phương trình sai phân tuyến tính.
2.1 Sự tồn tại nghiệm Ψ-bị chặn của phương trình
sai phân tuyến tính trong không gian C
d
Trong mục này, chúng tôi trình bày điều kiện cần và đủ để tồn tại nghiệm
Ψ-bị chặn trên Z của phương trình sai phân tuyến tính trong không gian
21
22
Banach C
d
. Điều kiện này được A. Diamandescu phát biểu và chứng minh
với phương trình sai phân tuyến tính trong không gian R
d
([13]). Cách
chứng minh của chúng tôi dựa theo cách chứng minh của Diamandescu.
Chúng tôi vẫn sử dụng các ký hiệu và quy ước như đã dùng trong Chương 1.
Với x = (x
1
, x
2
, . . . , x
d

)
T
∈ C
d
, chuẩn của x, ký hiệu là x, được xác định
bởi x = max{x
1
, x
2
, . . . , x
d
}. Chuẩn của ma trận vuông A = (a
ij
)
cấp d, ký hiệu là |A|, được xác định bởi |A| = sup
x≤1
Ax = max
1≤i≤d
d

j=1
|a
ij
|.
Giả sử Ψ
i
: Z → C\{0}, i = 1, 2, . . . , d và Ψ là ma trận chéo, nghĩa là
Ψ := diag [Ψ
1
, Ψ

2
, . . . , Ψ
d
].
Rõ ràng Ψ(n) khả nghịch với mỗi n ∈ Z.
2.1.1 Định nghĩa. ([13]). Dãy ϕ : Z → C
d
được gọi là Ψ-bị chặn trên Z
nếu dãy Ψϕ bị chặn trên Z (tức là tồn tại số M > 0 sao cho Ψ(n)ϕ(n) ≤
M với mọi n ∈ Z).
2.1.2 Định nghĩa. ([13]). Dãy ϕ : Z → C
d
được gọi là Ψ-khả tổng trên
Z nếu chuỗi
∞

n=−∞
Ψ(n)ϕ(n) hội tụ (tức là lim
p→±∞
q

n=p
Ψ(n)ϕ(n) tồn tại
và hữu hạn).
Xét phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất
x(n + 1) = A(n)x(n) (2.2)
với A(n) là ma trận phức cấp d × d, khả nghịch với mọi n ∈ Z. Ma trận
Cauchy Y (n) chuẩn hóa tại 0 của phương trình (2.2) được định nghĩa như
sau:
Y (n) :=




A(n − 1)A(n − 2) A(1)A(0), n > 0
I, n = 0
[A(−1)A(−2) A(n)]
−1
, n < 0.
trong đó I là ma trận đơn vị cấp d.
Dễ thấy một số tính chất của ma trận Cauchy Y (n) như sau:
i) Y (n + 1) = A(n)Y (n) với mọi n ∈ Z,
23
ii) Phương trình (2.2) với điều kiện ban đầu đã cho y(0) = y
0
có nghiệm
là
y(n) = Y (n)y
0
, n ∈ Z,
iii) Y (n) khả nghịch với mỗi n ∈ Z và
Y
−1
(n) =



A
−1
(0)A
−1

(1) A
−1
(n − 1), n > 0
I
d
, n = 0
A(−1)A(−2) A(n), n < 0.
Ký hiệu
X
0
:= {u ∈ C
d
| tồn tại nghiệm y của (2.2), Ψ-bị chặn trên Z, u = y(0)},
W := {v ∈ C
d
| tồn tại nghiệm y của (2.2), Ψ-bị chặn trên N, v = y(0)}.
Dễ thấy X
0
và W là các không gian con của C
d
và X
0
⊂ W nên tồn
tại các không gian con X
−
, X
+
sao cho W = X
−
⊕ X

0
, C
d
= W ⊕ X
+
. Kí
hiệu P
−
, P
0
, P
+
lần lượt là phép chiếu của C
d
lên X
−
, X
0
, X
+
tương ứng.
2.1.3 Định lý. Điều kiện cần và đủ để phương trình (2.1) có ít nhất một
nghiệm Ψ-bị chặn trên Z với mỗi dãy f Ψ-khả tổng trên Z là tồn tại hằng
số K dương sao cho:








Ψ(n)Y (n)P
−
Y
−1
(k + 1)Ψ
−1
(k)
[C
d
]
≤ K, k + 1 ≤ min{0, n}
Ψ(n)Y (n)(P
0
+ P
+
)Y
−1
(k + 1)Ψ
−1
(k)
[C
d
]
≤ K, n < k + 1 ≤ 0
Ψ(n)Y (n)(P
0
+ P
−
)Y

−1
(k + 1)Ψ
−1
(k)
[C
d
]
≤ K, 0 < k + 1 ≤ n
Ψ(n)Y (n)P
+
Y
−1
(k + 1)Ψ
−1
(k)
[C
d
]
≤ K, k + 1 > max{0, n}.
(2.3)
Chứng minh. Chứng minh Định lý này dựa theo chứng minh của Diaman-
descu ([13]). Trước tiên ta chứng minh điều kiện cần. Giả sử phương trình
(2.1) có ít nhất một nghiệm Ψ-bị chặn trên Z. Đặt:
C := {x : Z → C
d
| x là Ψ-bị chặn },
S := {x : Z → C
d
| x là Ψ-khả tổng trên Z},
D := {x : Z → C

d
| x ∈ C, x(0) ∈ X
−
⊕X
+
, (x(n+1)−A(n)x(n)) ∈ S}.
Hiển nhiên, C, S, D là các không gian vectơ trên C và các hàm
x → x
C
:= sup
n∈Z
Ψ(n)x(n),
x → x
S
:=
∞

n=−∞
Ψ(n)x(n),
24
x → x
D
:= x
C
+ x(n + 1) − A(n)x(n)
S
là các chuẩn tương ứng của C, S, D. Ta chứng minh điều kiện cần qua 4
bước.
Bước 1. Chứng minh (C, .
C

) và (S, .
S
) là không gian Banach, điều
này dễ thấy.
Bước 2. Chứng minh (D, .
D
) là không gian Banach.
Giả sử (x
p
)
p∈N
là một dãy cơ bản trong D, khi đó (x
p
)
p∈N
là một dãy
cơ bản trong C. Do đó tồn tại một dãy Ψ-bị chặn x : Z → C
d
sao cho
lim
p→∞
Ψ(n)x
p
(n) = Ψ(n)x(n), trên Z. Từ
x
p
(0) − x(0) ≤ |Ψ
−1
(0)|Ψ(0)(x
p

(0) − x(0)),
suy ra (x
p
)(0) → x(0), khi p → ∞. Vì x
p
(0) ∈ X
−
⊕ X
+
, p ∈ N suy ra
x(0) ∈ X
−
⊕ X
+
.
Mặt khác dãy (f
p
)
p∈N
, f
p
(n) = x
p
(n+ 1) −A(n)x
p
(n), n ∈ Z là một dãy
cơ bản trong S. Do đó tồn tại dãy f ∈ S sao cho
∞

n=−∞

Ψ(n)f
p
(n) − Ψ(n)f(n) → 0 khi p → ∞.
Suy ra Ψ(n)f
p
(n) → Ψ(n)f(n) và f
p
(n) → f(n) với mỗi n ∈ Z.
Với n ∈ Z, n > 0, ta có
x(n + 1) − x(0) = lim
p→∞
[x
p
(n + 1) − x
p
(0)] = lim
p→∞
n

i=0
[x
p
(i + 1) − x
p
(i)]
= lim
p→∞
n

i=0

[x
p
(i + 1) − A(i)x
p
(i) + A(i)x
p
(i) − x
p
(i)]
= lim
p→∞
n

i=0
[f
p
(i) − f(i) + f(i) + A(i)x
p
(i) − x
p
(i)]
=
n

i=0
[f(i) + A(i)x(i) − x(i)]
=
n−1

i=0

[f(i) + A(i)x(i) − x(i)] + f(n) + A(n)x(n) − x(n)
= x(n) − x(0) + f(n) + A(n)x(n) − x(n) = A(n)x(n) + f(n) − x(0).
Tương tự ta có:
x(1) − x(0) = A(0)x(0) + f(0) − x(0).
25
Với n ∈ Z, n < 0, thì
x(n) − x(0) = lim
p→∞
[x
p
(n) − x
p
(0)] = lim
p→∞
−1

i=n
[x
p
(i) − x
p
(i + 1)]
= lim
p→∞
−1

i=n
[x
p
(i) − A(i)x

p
(i) + A(i)x
p
(i) − x
p
(i + 1)]
= lim
p→∞
−1

i=n
[x
p
(i) − A(i)x
p
(i) − f
p
(i)]
=
−1

i=n
[x(i) − A(i)x(i) − f(i)]
=
−1

i=n+1
[x(i) − A(i)x(i) − f(i)] + x(n) − A(n)x(n) − f(n)
= x(n + 1) − x(0) + x(n) − A(n)x(n) − f(n).
Theo chứng minh trên ta có

x(n + 1) − A(n)x(n) = f(n), n ∈ Z.
Suy ra x ∈ D. Mặt khác từ
∞

n=−∞
Ψ(n)(x
p
− x)(n + 1) − Ψ(n)A(n)(x
p
− x)(n) → 0 khi p → ∞,
x
p
− x
C
→ 0 khi p → ∞.
Suy ra x
p
−x
D
→ 0 khi p → ∞. Vì vậy, (D, .
D
) là không gian Banach.
Bước 3. Chứng minh tồn tại hằng số K dương sao cho với mỗi f ∈ S
và với mỗi nghiệm tương ứng x ∈ D của phương trình (2.1), ta có
x
C
≤ Kf
S
. (2.4)
Ta lập toán tử T : D → S như sau: (T x)(n) := x(n + 1) − A(n)x(n),

n ∈ Z. Rõ ràng, T là toán tử tuyến tính bị chặn và T ≤ 1. Để chứng
minh T là đơn ánh, ta giả sử T (x) = 0, khi đó x ∈ D và x(n + 1) =
A(n)x(n). Điều này cho ta thấy rằng x là nghiệm Ψ-bị chặn của (2.2)
với x(0) ∈ X
−
⊕ X
+
. Từ định nghĩa của X
0
, ta có x(0) ∈ X
0
. Do đó
x(0) ∈ X
0
∩ (X
−
⊕ X
+
) = {0}. Suy ra x = 0. Vậy T là đơn ánh.
Với f ∈ S, gọi x là nghiệm Ψ-bị chặn của phương trình (2.1). Gọi z là
nghiệm của bài toán Cauchy
z(n + 1) = A(n)z(n) + f(n), z(0) = (P
−
+ P
+
)x(0).