Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ hầu co trên không gian 2 mêtric

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
ĐINH BÍCH YẾN
VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA ÁNH XẠ HẦU CO
TRÊN KHÔNG GIAN 2-MÊTRIC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành : GIẢI TÍCH
Mã số : 60.46.01.02
Cán bộ hướng dẫn khoa học
TS. KIỀU PHƯƠNG CHI
NGHỆ AN - 2014
Mục lục
MỞ ĐẦU 3
1 MỞ ĐẦU VỀ KHÔNG GIAN 2-MÊTRIC 5
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Không gian 2-mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ HẦU CO VÀ HẦU
CO SUY RỘNG TRÊN KHÔNG GIAN 2-MÊTRIC 14
2.1 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ hầu co và hầu co suy rộng . 14
2.2 Điểm bất động chung của ánh xạ hầu co và hầu co suy rộng
trong không gian 2-mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Kết luận 43
Tài liệu tham khảo 44
MỞ ĐẦU
Nguyên lý điểm bất động của Banach (1921) đối với các ánh xạ co trên không
gian mêtric đầy đủ là một kết quả kinh điển của toán học. Ngày nay, các định lý
điểm bất động đối với ánh xạ co được nghiên cứu phong phú cho nhiều kiểu ánh
xạ, trên nhiều loại không gian khác nhau. Các định lý điểm bất động có nhiều
ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học như Giải tích, Phương trình
vi tích phân Có thể nói sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết điểm bất động có

nguồn gốc từ các ứng dụng rộng lớn của nó. Các định lý điểm bất động là cơ
sở quan trọng để chứng minh sự tồn tại nghiệm và xấp xỉ nghiệm của phương
trình vi phân và phương trình tích phân (xem [3], [10]). Nó còn có ứng dụng
trong nhiều lĩnh vực khác như: Kinh tế và kỹ thuật (xem [8], [9], ). Một trong
những hướng mở rộng gần đây của nguyên lý điểm bất động của Banach được
thực hiện bởi Berinde năm 2008. Kiểu ánh xạ co suy rộng mà Berinde đề xuất
được gọi hầu co, đó là các ánh xạ f từ không gian mêtric (X, d) vào chính nó
thỏa mãn
d(fx, fy) ≤ δd(x, y) + Ld(y, fx)
với mọi x, y ∈ X, trong đó δ ∈ (0, 1) và L ≥ 0.
Năm 1963, S. G
¨
ahler (xem [13]) đã đưa ra một lớp không gian có cấu trúc
kiểu không gian mêtric là không gian 2-mêtric. Sau đó, nhiều nghiên cứu về
nhiều tính chất giải tích được thực hiện trên lớp không gian này. Cụ thể, các vấn
đề hội tụ, liên tục của ánh xạ, sự tồn tại điểm bất động cho ánh xạ co, trên lớp
không gian này đã được nghiên cứu bởi một số nhà toán học khác (xem [12],
4
[15], ).
Với mục đích tìm hiểu một vài định lý điểm bất động đối với một số lớp ánh
xạ hầu co trên không gian 2-mêtric, chúng tôi lựa chọn đề tài cho luận văn của
mình là: Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ hầu co trên không gian
2-mêtric.
Nội dung chính của luận văn là nghiên cứu các định lý điểm bất động cho các
ánh xạ kiểu hầu co, hầu co suy rộng trong không gian 2-mêtric. Các nội dung
được trình bày trong 2 chương, trong đó nội dung chương 2 cơ bản được chúng
tôi đề xuất dựa trên những kết quả đã có về sự tồn tại điểm bất động, điểm bất
động chung của các ánh xạ co suy rộng trong không gian 2-mêtr ic.
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn nhiệt
tình của thầy giáo TS. Kiều Phương Chi. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc

đến thầy. Qua đây tác giả gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy giáo, cô giáo
trong Khoa Sư phạm Toán học cùng các bạn học viên cao học XX đã quan tâm
giúp đỡ. Đặc biệt, tác giả xin được cảm ơn gia đình của mình đã luôn luôn động
viên tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những sai
sót. Kính mong quý thầy cô và bạn đọc góp ý để luận văn hoàn thiện hơn. Chúng
tôi xin chân thành cảm ơn.
Nghệ An, tháng 10 năm 2014
Tác giả
Đinh Bích Yến
CHƯƠNG 1
MỞ ĐẦU VỀ KHÔNG GIAN 2-MÊTRIC
Chương này trình bày những kiến thức cơ sở về không gian 2-mêtric.
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị
Mục này trình bày những kiến thức chuẩn bị về không gian mêtric và một
số kết quả liên quan cần dùng về sau. Các kết quả được trích ra từ [1].
1.1.1 Định nghĩa. Cho X là một tập khác rỗng. Hàm d : X × X → R được
gọi là một mêtric trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
1) d(x, y) ≥ 0, với mọi x, y ∈ X, d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y,
2) d(x, y) = d(y, x), với mọi x, y thuộc X,
3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z), với mọi x, y, z thuộc X.
Khi đó (X, d) được gọi là không gian mêtric.
1.1.2 Định nghĩa. Cho (X, d) là không gian mêtric. Dãy {x
n
} ⊂ X được gọi
là hội tụ tới x ∈ X và kí hiệu là x
n
→ x (x được gọi là giới hạn của dãy {x
n
}),

nếu lim
n→∞
d(x
n
, x) = 0.
Trong không gian mêtric giới hạn của một dãy nếu có là duy nhất.
1.1.3 Định nghĩa. Cho (X, d) là một không gian mêtric. Dãy {x
n
} ⊂ X được
gọi là dãy Cauchy nếu
lim
n,m→∞
d(x
m
, x
n
) = 0.
Không gian (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy của X đều hội tụ về
một điểm thuộc X.
5
6
1.1.4 Định nghĩa. Cho (X, d) và (Y, ρ) là các không gian mêtric, và ánh xạ
f : X → X.
1) Ánh xạ f được gọi là liên tục nếu với mọi dãy {x
n
} ⊂ X mà x
n
→ x thì
f(x
n

) → f(x).
2) Ánh xạ f được gọi là liên tục đều nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ = δ(ε) > 0,
sao cho ρ(fx, fy) < ε, với mọi x, y ∈ X, d(x, y) < δ.
1.2 Không gian 2-mêtric
Mục này trình bày những kiến thức cơ sở về không gian 2- mêtr ic. Các
kết quả được trích ra từ [14] và [2].
1.2.1 Định nghĩa ([14]). Cho X là một tập gồm ít nhất 3 điểm. Một 2-mêtric
trên X là một ánh xạ:
ρ : X ×X × X → R
thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) Với mỗi cặp điểm a, b ∈ X mà a = b, tồn tại một điểm c nào đó thuộc X
thỏa mãn
ρ(a, b, c) = 0.
Nếu có ít nhất 2 điểm bằng nhau thì ρ(a, b, c) = 0.
(2) ρ(a, b, c) = ρ(a, c, b) = ρ(b, a, c) = ρ(b, c, a) = ρ(c, a, b) = ρ(c, b, a),
∀a, b, c ∈ X.
(3) ρ(a, b, c) ≤ ρ(a, b, d) + ρ(a, d, c) + ρ(d, b, c), ∀a, b, c, d ∈ X.
Khi đó (X, ρ) được gọi là một không gian 2-mêtric. Hay gọi tắt là không gian
2-mêtric X.
7
1.2.2 Nhận xét ([2]). i) Điều kiện (2) trong Định nghĩa 1.2.1 tương đương
với điều kiện sau:
(2’) ρ(a, b, c) = ρ(b, c, a) = ρ(c, a, b), ∀a, b, c ∈ X.
ii) Dễ dàng thấy ρ không âm. Thật vậy, trong (3) cho a = c ta được
ρ(a, b, a) ≤ ρ(a, b, d) + ρ(a, d, a) + ρ(d, b, a), ∀a, b, d ∈ X
0 ≤ 2ρ(a, b, d), ∀a, b, d ∈ X.
0 ≤ ρ(a, b, d), ∀a, b, d ∈ X.
1.2.3 Ví dụ ([2]). Cho X = {a, b, c, d}. Ta xác định ánh xạ ρ : X×X×X → R
như sau
ρ(a, b, c) = 1, ρ(a, c, d) = 4,

ρ(b, c, d) = 2, ρ(a, b, d) = 5
và ρ(x, y, z) = 0 nếu x, y, z có ít nhất 2 phần tử bằng nhau.
Khi đó (X, ρ) là một không gian 2-mêtric.
Thật vậy, X là tập hợp nhiều hơn 3 điểm thỏa mãn:
1) Với mỗi cặp điểm (x, y) ∈ X mà x = y, luôn tồn tại z ∈ X \ {x, y}, nên
theo cách xác định ρ thì
ρ(x, y, z) = 0,
và nếu trong X có hai điểm nào bằng nhau thì ρ(x, y, z = 0).
2) Rõ ràng ta có ρ(x, y, z) = ρ(y, z, x) = ρ(z, x, y), ∀x, y, z ∈ X.
3) Với a, b, c, d ∈ X, ta có
ρ(a, b, c) = 1 ≤ 11 = ρ(a, c, d) + ρ(b, c, d) + ρ(a, b, d),
ρ(a, c, d) = 4 ≤ 8 = ρ(a, b, c) + ρ(b, c, d) + ρ(a, b, d),
ρ(b, c, d) = 2 ≤ 10 = ρ(a, c, d) + ρ(a, b, c) + ρ(a, b, d),
ρ(a, b, d) = 5 ≤ 7 = ρ(b, c, d) + ρ(a, c, d) + ρ(a, b, c).
8
Do đó, bất đẳng thức ρ(x, y, z) ≤ ρ(x, y, t) + ρ(x, z, t) + ρ(y, z, t) luôn
đúng ∀x, y, z, t ∈ X.
1.2.4 Ví dụ ([14]). (R
2
, ρ) là một không gian 2-mêtric, với ρ(x, y, z) là diện
tích tam giác tạo bởi ba đỉnh x, y, z ∈ R
2
. Thật vậy, xét ánh xạ:
ρ : R
2
× R
2
× R
2
→ R

(A, B, C) → S
ABC
.
1) Lấy A, B ∈ R
2
là hai điểm phân biệt. Khi đó, luôn tồn tại C ∈ R
2
sao cho
A, B, C không thẳng hàng thì
ρ(A, B, C) = S
ABC
= 0.
Khi có ít nhất hai trong ba điểm A, B, C trùng nhau thì ABC suy biến
nên S
ABC
= 0. Tức là ρ(A, B, C) = 0.
2) Rõ ràng ta luôn có:
S
ABC
= S
BCA
= S
CAB
, ∀A, B, C ∈ R
2
.
3) Lấy A, B, C ∈ R
2
. Ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu S

ABC
= 0 thì hiển nhiên
0 = S
ABC
≤ S
ABD
+ S
ACD
+ S
BCD
, ∀D ∈ R
2
.
Trường hợp 2: Nếu S
ABC
> 0. Lấy D bất kỳ, D ∈ R
2
, có 3 khả năng sau
xảy ra:
Khả năng 1: D nằm miền trong hoặc nằm trên các cạnh của tam giác ABC
(Hình 1) thì
S
ABC
= S
ABD
+ S
ACD
+ S
BCD
.

Khả năng 2: D nằm ở miền (1), (3) và (5) (Hình 2). Không mất tính tổng
9
quát, giả sử D thuộc miền (1). Khi đó
S
ABC
≤ S
BCD
< S
ABD
+ S
ACD
+ S
BCD
.
Khả năng 3: D nằm trên miền (2), (4), (6), và biên của mỗi miền (Hình 3).
Không mất tính tổng quát, giả sử D thuộc miền (4). Khi đó
S
ABC
= S
ABD
+ S
ACD
− S
BCD
< S
ABD
+ S
ACD
+ S
BCD

.
Vậy (R
2
, ρ) là không gian 2-mêtric.
1.2.5 Định nghĩa ([14]). Cho (X, ρ) là một không gian 2-mêtric. Dãy {x
n
} ⊂
X được gọi là hội tụ đến x ∈ X nếu
lim
n→∞
ρ(x
n
, x, a) = 0, ∀a ∈ X.
1.2.6 Mệnh đề ([2]). Cho (X, ρ) là một không gian 2-mêtric. Khi đó
1) Nếu dãy {x
n
} ∈ X hội tụ tới x ∈ X và hội tụ tới y ∈ X thì x = y.
2) Nếu dãy {x
n
} hội tụ tới x ∈ X thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ tới x.
Chứng minh. 1) Giả sử x = y. Khi đó, tồn tại z ∈ X sao cho
ρ(x, y, z) = 0
Mặt khác, ta có
ρ(x, y, z) ≤ ρ(x
n
, x, z) + ρ(x
n
, y, z) + ρ(x
n
, x, y),

10
với mọi n = 0, 1, 2, . . . Vì {x
n
} hội tụ tới x ∈ X và hội tụ tới y ∈ X nên
lim
n→∞
ρ(x
n
, x, z) = lim
n→∞
ρ(x
n
, y, z) = lim
n→∞
ρ(x
n
, x, y) = 0.
Do đó ρ(x, y, z) = 0. Ta nhận được sự mâu thuẫn. Vậy, x = y.
2) Giả sử {x
n
} hội tụ tới x và {x
nk
} là dãy con của dãy {x
n
}. Ta chứng minh
x
n
k
→ x khi k → ∞.
Thật vậy, do {x

n
k
} là dãy con của dãy {x
n
} nên ta có thể chọn cách đánh số
sao cho n
k
≥ k, ∀k ∈ N. Vì x
n
→ x nên: ∀ε ≥ 0, ∃n
0
∈ N :
ρ(x
k
, x, a) ≤ ε, ∀k ≥ n
0
.
Khi đó, với n
k
≥ k, ∀k ∈ N ta có
ρ(x
n
k
, x, a) ≤ ε, ∀k > n
0
, ∀a ∈ X.
Từ đó suy ra
lim
n→∞
ρ(x

n
k
, x, a) = 0, ∀a ∈ X.
Tức là ta có
x
n
k
→ x ∈ X.
Như vậy, tương tự không gian mêtric, giới hạn của dãy trong không gian
2-mêtric nếu có là duy nhất.
1.2.7 Mệnh đề ([2]). Cho (X, ρ) là một không gian 2-mêtric. Nếu {x
n
} ⊂ X
hội tụ tới x thì ρ(x
n
, a, b) → ρ(x, a, b) khi n → ∞, với mọi a, b ∈ X.
Chứng minh. Giả sử {x
n
} hội tụ tới x. Khi đó ρ(x
n
, x, a) → 0 khi n → ∞,
với bất kì a ∈ X. Với mọi a, b ∈ X ta có
ρ(x
n
, a, b) ≤ ρ(x
n
, x, a) + ρ(x
n
, x, b) + ρ(x, a, b)
11

ρ(x
n
, a, b) − ρ(x, a, b) ≤ ρ(x
n
, x, a) + ρ(x
n
, x, b). (1.1)
Tương tự ta có
ρ(x, a, b) ≤ ρ(x
n
, x, a) + ρ(x
n
, x, b) + ρ(x
n
, a, b)
−ρ(x
n
, x, a) − ρ(x
n
, x, b) ≤ ρ(x
n
, a, b) − ρ(x, a, b). (1.2)
Từ (1.1) và (1.2) suy ra
|ρ(x
n
, a, b) − ρ(x, a, b)| ≤ ρ(x
n
, x, a) + ρ(x
n
, x, b).

Cho n → ∞ ta nhận được điều phải chứng minh.
1.2.8 Định nghĩa ([14]). Cho (X, ρ) là một không gian 2-mêtric. Dãy {x
n
} ⊂
X được gọi là dãy Cauchy nếu
lim
n,m→∞
ρ(x
m
, x
n
, a) = 0, ∀a ∈ X.
1.2.9 Nhận xét ([2]). Sử dụng Mệnh đề 1.2.6 ta dễ dàng chứng minh được dãy
hội tụ trong không gian 2-mêtric là dãy Cauchy. Thật vậy, giả sử {x
n
} hội tụ tới
x ∈ X, ta luôn có
lim
n→∞
ρ(x
n
, x, a) = 0, ∀a ∈ X.
Khi đó theo tính chất của không gian 2-mêtric ta có
0 ≤ ρ(x
m
, x
n
, a) ≤ ρ(x
n
, x, a) + ρ(x

m
, x, a) + ρ(x
m
, x
n
, x), ∀a ∈ X.
Lấy giới hạn hai vế của bất đẳng thức trên khi m, n → ∞ta được
lim
n→∞
ρ(x
n
, x
m
, a) = 0, ∀a ∈ X.
Do đó, {x
n
} là dãy Cauchy trong không gian 2-mêtric.
1.2.10 Định nghĩa ([14]). Không gian 2-mêtric (X, ρ) được gọi là đầy đủ nếu
mọi dãy Cauchy đều hội tụ.
12
1.2.11 Ví dụ ([14]). Giả sử ρ(x, y, z) là diện tích tam giác với các đỉnh x, y, z.
Khi đó, (R
2
, ρ) là không gian 2-mêtric đầy đủ.
Chứng minh. Theo Ví dụ 1.2.4 thì (R
2
, ρ) là không gian 2-mêtric. Do đó, để
chứng minh (R
2
, ρ) là không gian 2-mêtric đầy đủ ta chứng minh mọi dãy

Cauchy trong nó đều hội tụ. Gọi ρ
1
là khoảng cách Euclid trong mặt phẳng. Giả
sử x = (x
1
, x
2
), y = (y
1
, y
2
) thì
ρ
1
(x, y) =

(x
1
− y
1
)
2
+ (x
2
− y
2
)
2
.
Kí hiệu xy là đường thẳng qua hai điểm x, y ∈ R

2
và d(a, xy) là khoảng cách
từ điểm a ∈ R
2
đến đường thẳng xy. Ta có
ρ(x, y, a) =
1
2
d(a, xy).ρ
1
(x, y), ∀a ∈ R
2
. (1.3)
Giả sử {x
n
} là dãy Cauchy trong (R
2
, ρ). Khi đó, với mọi a ∈ R
2
ta có
ρ(x
m
, x
n
, a) → 0 khi m, n → ∞.
Do đó
1
2
d(a, x
m

x
n
).ρ
1
(x
m
, x
n
) → 0 khi m, n → ∞.
Vì a tùy ý nên
ρ
1
(x
m
, x
n
) → 0 khi m, n → ∞.
Từ đó suy ra {x
n
} là một dãy Cachy trong không gian mêtric (R
2
, ρ
1
) đầy đủ
nên tồn tại x
0
∈ X sao cho ρ
1
(x
n

, x) → 0 khi n → ∞. Khi đó, từ (1.3) dễ
dàng thấy được x
n
→ x
0
theo 2-mêtric ρ. Vậy (R
2
, ρ) là không gian 2-mêtric
đầy đủ.
1.2.12 Định nghĩa ([14]). Cho (X, ρ) là không gian 2-mêtric, (Y, d) là không
gian 2-mêtric hoặc không gian mêtric.
1) Ánh xạ f : X → Y được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu mọi dãy {x
n
} ⊂ X
hội tụ tới x thì dãy {f(x
n
)} hội tụ tới f(x) trong Y .
13
2) Ánh xạ f : X → Y được gọi là liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi x ∈ X.
CHƯƠNG 2
SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ
HẦU CO VÀ HẦU CO SUY RỘNG TRÊN
KHÔNG GIAN 2-MÊTRIC
Chương này trình bày các kết quả của chúng tôi về sự tồn tại điểm bất
động, điểm bất động chung của các ánh xạ trên không gian 2-mêtr ic.
2.1 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ hầu co và hầu co
suy rộng
Trong mục này chúng tôi xây dựng các định nghĩa về ánh xạ co suy rộng
và hầu co suy rộng, đề xuất một số định lí về sự tồn tại điểm bất động của các
ánh xạ hầu co suy rộng trong không gian 2-mêtric dựa trên các kết quả tương

tự đã có trong không gian mêtric (xem [4], [5], [6]). Ngoài ra, chúng tôi trình
bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ hầu co suy rộng
(ánh xạ tam giác 2 −α −η− chấp nhận, ánh xạ α −η −C− co yếu, ánh xạ co
α − C dạng yếu, ) trong không gian 2-mêtric, được trích dẫn từ tài liệu [18].
Kí hiệu A là tập khác rỗng gồm tất cả các hàm số α: R
3
+
→ R
+
thỏa mãn
các điều kiện sau:
i) α liên tục trong R
3
+
,
ii) Tồn tại hằng số k ∈ [0, 1) sao cho a ≤ kb nếu a ≤ α(a, b, b) hoặc a ≤
α(b, a, b) hoặc a ≤ α(b, b, a), ∀a, b ∈ R
+
.
14
15
2.1.1 Định nghĩa. Một ánh xạ f trong không gian 2-mêtric X vào chính nó
được gọi là một A −co nếu tồn tại α ∈ A sao cho
ρ(fx, fy, a) ≤ α(ρ(x, y, a), ρ(x, fx, a), ρ(y, fy, a)), ∀x, y, a ∈ X. (A).
2.1.2 Định nghĩa. Một ánh xạ f từ không gian 2-mêtric vào chính nó được gọi
là
i) K − co nếu tồn tại một số r ∈ [0,
1
2
) sao cho

ρ(fx, fy, a) ≤ r[ρ(x, fx, a) + ρ(y, fy, a)], ∀x, y, a ∈ X. (K).
ii) M − co nếu tồn tại một số h ∈ [0, 1) sao cho
ρ(fx, fy, a) ≤ h

ρ(x, fx, a)ρ(y, fy, a), ∀x, y, a ∈ X. (M)
2.1.3 Mệnh đề. Ta có các khẳng định sau
i) Mỗi M − co là một K − co,
ii) Mỗi K −co là một A − co, từ đó suy ra mỗi M − co là một A − co.
Chứng minh. i) Giả sử f : X → X là một M - co. Khi đó, tồn tại hằng số
h ∈ [0, 1) thỏa mãn điều kiện (M). Do đó, ta có
ρ(fx, fy, a) ≤ h

ρ(x, fx, a)ρ(y, fy, a)
≤
h
2
[ρ(x, fx, a) + ρ(fy, y, a)]
= r[ρ(fx, x, a) + ρ(fy, y, a)], ∀x, y, a ∈ X.
Với r =
h
2
∈ [0,
1
2
) do h ∈ [0, 1).
Vậy, f là một K - co.
ii) Giả sử f : X → X là một K - co. Khi đó, tồn tại hằng số r ∈ [0,
1
2
) sao cho

(K) thỏa mãn. Ta xác định ánh xạ α : R
3
+
→ R
+
bởi
α(u, v, w) = r(u + v), ∀u, v, w ∈ R
+
.
Trước tiên, ta sẽ chứng minh α ∈ A.
16
Thật vậy, do phép cộng và phép nhân các số thực là liên tục nên α liên tục.
Bây giờ, ta sẽ chỉ ra rằng: tồn tại hằng số k ∈ [0, 1) sao cho u ≤ kv nếu
u ≤ α(u, v, v) hoặc u ≤ α(v, u, v, ) hoặc u ≤ α(v, v, u), với mọi u, v ∈ R
+
.
Thật vậy, ta xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu u ≤ α(u, v, v) = r(u+v) hoặc u ≤ α(v, u, v, ) = r(u+v)
thì u ≤ kv với k =
r
1 −r
∈ [0, 1) do r ∈ [0,
1
2
).
Trường hợp 2: Nếu u ≤ α(v, v, u) thì ta có u ≤ kv với k = 2r ∈ [0, 1) do
r ∈ [0,
1
2
).

Tiếp theo, ta kiểm tra điều kiện (A).
Thật vậy, với u = ρ(x, y, a), v = ρ(x, fx, a) và w = ρ(y, fy, a) và sử dụng
(K) ta có
ρ(fx, fy, a) ≤ r[ρ(fx, x, a)+ρ(fy, y, a)] = α(ρ(x, y, a), ρ(fx, x, a), ρ(fy, y, a)),
∀x, y, a ∈ X. Do đó, f là một A - co.
Như vậy, mỗi K - co là một A - co. Từ i) ta suy ra mỗi M - co cũng là một
A-co.
2.1.4 Định nghĩa. Một ánh xạ f trong không gian 2-mêtric (X, ρ) vào chính
nó được gọi là một hầu A - co nếu tồn tại α ∈ A và hằng số L ≥ 0 sao cho
ρ(fx, fy, a) ≤ α(ρ(x, y, a), ρ(x, fx, a), ρ(y, fy, a)) + Lρ(y, fx, a) (2.1)
∀x, y, a ∈ X.
2.1.5 Định lí. Cho f là một hầu A - co trong không gian 2 - mêtric đầy đủ X.
Khi đó:
(i) f có một điểm bất động trong X,
(ii) Cho bất kì x
0
∈ X, dãy lặp Picard {x
n
}
∞
n=0
cho bởi x
n+1
= fx
n
, n =
0, 1, 2, hội tụ tới điểm bất động u nào đó của f, và
ρ(x
n
, u, a) ≤

k
n
1 −k
ρ(x
0
, x
1
, a), n = 0, 1, 2, (2.2)
17
trong đó, k là hằng số trong định nghĩa của α.
Chứng minh. (i) Do f là một hầu A -co, nên với bất kì x
0
∈ X tồn tại α ∈ A
và hằng số L ≥ 0, sao cho với x = x
n−1
, y = x
n
, n = 1, 2, 3, và với mọi
a ∈ X từ (2.1) ta có
ρ(x
n
, x
n+1
, a) = ρ(fx
n−1
, fx
n
, a)
≤ α(ρ(x
n−1

, x
n
, a), ρ(x
n−1
, fx
n−1
, a), ρ(x
n
, fx
n
, a))
+Lρ(x
n
, fx
n−1
, a)
= α(ρ(x
n−1
, x
n
, a), ρ(x
n−1
, x
n
, a), ρ(x
n
, x
n+1
, a))
+Lρ(x

n
, x
n
, a)
= α(ρ(x
n−1
, x
n
, a), ρ(x
n−1
, x
n
, a), ρ(x
n
, x
n+1
, a)) + 0
≤ kρ(x
n−1
, x
n
, a),
trong đó k là hằng số nói trong định nghĩa của α.
Vậy tồn tại hằng số k ∈ [0, 1), sao cho ρ(x
n−1
, x
n
, a) ≤ kρ(x
n−1
, x

n
, a), với n =
1, 2, , ∀a ∈ X.
Do đó, bằng quy nạp ta có: tồn tại hằng số k ∈ [0, 1) sao cho
ρ(x
n
, x
n+1
, a) ≤ k
n
.ρ(x
0
, x
1
, a), n = 1, 2, . . . , ∀a ∈ X.
Với m > n, n = 0, 1, 2, . . . sử dụng điều kiện 3) trong Định nghĩa 1.2.1, ta có
ρ(x
m
, x
n
, a) ≤
m−1

l=n
ρ(x
l
, x
l+1
, a) +
m−3


l=n
ρ(x
l
, x
l+1
, x
m
) + ρ(x
m−2
, x
m−1
, x
m
)
≤
m−1

l=n
ρ(x
l
, x
l+1
, a) +
m−3

l=n
ρ(x
l
, x

l+1
, x
m
) + ρ(x
m−2
, x
m−1
, x
m
)
≤
k
n
1 −k
ρ(x
0
, x
1
, a) +
k
n
1 −k
ρ(x
0
, x
1
, x
m
)
+ρ(x

m−2
, x
m−1
, x
m
). (2.3)
18
Bây giờ ta sẽ chứng minh ρ(x
m−2
, xm − 1, x
m
) = 0 và ρ(x
0
, x
1
, x
m
) = 0.
Thật vậy, ta có
ρ(x
m−2
, x
m−1
, x
m
) = ρ(x
m
, x
m−1
, x

m−2
)
= ρ(fx
m−1
, fx
m−2
, x
m−2
)
≤ α(ρ(x
m−1
, x
m−2
, x
m−2
), ρ(x
m−1
, fx
m−1
, x
m−2
),
ρ(x
m−2
, fx
m−2
, x
m−2
))
= α(0, ρ(x

m−1
, x
m
, x
m−2
), 0)
≤ k.0 = 0.
Và
ρ(x
0
, x
1
, x
m
) ≤ ρ(x
0
, x
1
, x
m−1
) + ρ(x
0
, x
m−1
, x
m
) + ρ(x
1
, x
m−1

, x
m
)
≤ ρ(x
0
, x
1
, x
m−1
) + k
m−1
ρ(x
0
, x
1
, x
0
) + k
m−2
ρ(x
1
, x
2
, x
1
)
= ρ(x
0
, x
1

, x
m−1
).
Tương tự, ta có
ρ(x
0
, x
1
, x
m−1
) ≤ ρ(x
0
, x
1
, x
m−2
)
Tiếp tục quá trình trên ta có
ρ(x
0
, x
1
, x
m
) ≤ ρ(x
0
, x
1
, x
1

) = 0.
Do đó,
ρ(x
0
, x
1
, x
m
) = 0.
Vậy với mọi m > n, từ (2.3) ta có
ρ(x
n
, x
m
, a) ≤
k
n
1 −k
ρ(x
0
, x
1
, a), ∀a ∈ X (2.4)
19
Từ đây, cho n, m → ∞, ta có
k
n
1−k
→ 0 do k ∈ [0, 1) nên ρ(x
n

, x
m
, a) → 0.
Suy ra {x
n
}
∞
n=0
là dãy Cauchy trong (X, ρ). Do X đầy đủ nên tồn tại u ∈ X
sao cho
lim
n→∞
x
n
= u.
Ta có
ρ(u, fu, a) ≤ ρ(u, x
n
, a) + ρ(u, x
n
, fu) + ρ(x
n
, fu, a)
= ρ(u, x
n
, a) + ρ(u, x
n
, fu) + ρ(fx
n−1
, fu, a)

≤ ρ(u, x
n
, a) + ρ(u, x
n
, fu)
+α(ρ(x
n−1
, u, a), ρ(fx
n−1
, x
n−1
, a), ρ(fu, u, a))
+L(ρ(u, fx
n−1
, a)
= ρ(u, x
n
, a) + ρ(u, x
n
, fu)
+α(ρ(x
n−1
, u, a), ρ(x
n
, x
n−1
, a), ρ(fu, u, a))
+Lρ(u, x
n
, a). (2.5)

Từ tính liên tục của α, x
n
→ u và Mệnh đề 1.2.7 thì từ (2.5) cho n → ∞ ta có
ρ(u, fu, a) ≤ ρ(u, u, a) + ρ(u, u, fu) + α(ρ(u, u, a), ρ(u, u, a), ρ(fu, u, a))
+Lρ(u, u, a), ∀a ∈ X.
Ta thu được ρ(u, fu, a) ≤ α(0, 0, ρ(fu, u, a)) ≤ k.0 = 0.
Suy ra ρ(u, fu, a) = 0, a ∈ X. Do đó, fu = u. Nghĩa là, u là một điểm bất
động của f.
(ii) Từ chứng minh (i) ta có, cho bất kì x
0
∈ X, dãy lặp Picard hội tụ tới một
điểm bất động u ∈ X. Khi cho m → ∞ trong (2.4), ta dễ dàng thu được (2.1).
Từ chứng minh (i) trong Mệnh đề 2.1.3 ta có, tồn tại hằng số h ∈ [0, 1) và
20
r ∈ [0,
1
2
) sao cho
ρ(fx, fy, a) ≤ h

ρ(fx, x, a)ρ(y, fy, a) ≤ r(ρ(fx, x, a) + ρ(fy, y, a)).
Do đó, ta thu được hệ quả sau
2.1.6 Hệ quả. Cho f là một ánh xạ từ không gian 2-mêtric đầy đủ (X, ρ) vào
chính nó thỏa mãn
ρ(fx, fy, a) ≤ h

ρ(fx, x, a)ρ(y, fy, a) + Lρ(y, fx, a), ∀x, y, a ∈ X,
với h ∈ [0, 1). Khi đó,
i) f có một điểm bất động trong X.
ii) Cho bất kì x

0
∈ X, dãy lặp Picard {x
n
}
∞
n=0
cho bởi x
n+1
= f(x
n
), n =
0, 1, 2, hội tụ tới điểm bất động u nào đó của f, và
ρ(x
n
, u, a) ≤
k
n
1 −k
ρ(x
0
, x
1
, a), n = 0, 1, 2,
với k = h hoặc k =
h
2 −h
thuộc [0, 1).
Từ chứng minh (ii) trong Mệnh đề 2.1.3 ta có, với mỗi α ∈ A, tồn tại hằng
số r ∈ [0,
1

2
) sao cho
r(ρ(x, fx, a) + ρ(y, fy, a)) = α(ρ(x, y, a), ρ(x, fx, a), ρ(y, fy, a)).
Do đó, ta thu được hệ quả sau
2.1.7 Hệ quả. Cho f là một ánh xạ từ không gian 2 - mêtric đầy đủ (X, ρ) vào
chính nó thỏa mãn
ρ(fx, fy, a) ≤ r(ρ(fx, x, a) + ρ(y, fy, a)) + Lρ(y, fx, a), ∀x, y, a ∈ X,
với r ∈ [0,
1
2
). Khi đó,
21
(i) f có một điểm bất động trong X.
(ii) Cho bất kì x
0
∈ X, dãy lặp Picard {x
n
}
∞
n=0
cho bởi x
n+1
= f(x
n
), n =
0, 1, 2, hôi tụ tới điểm bất động u nào đó của f, và
ρ(x
n
, u, a) ≤
k

n
1 −k
ρ(x
0
, x
1
, a), n = 0, 1, 2,
với k =
r
1 −r
hoặc k = 2r thuộc [0, 1).
Ký hiệu ψ là họ các hàm liên tục ψ : [0, +∞)
2
→ [0, +∞) sao cho ψ(s, t) =
0 khi và chỉ khi s = t = 0.
2.1.8 Định nghĩa ([18]). Cho X là một không gian 2-mêtric và T : X → X,
α, η : X × X × X → [0, +∞) là các ánh xạ. T được gọi là một ánh xạ tam
giác 2 − α −η− chấp nhận được nếu với mọi a ∈ X ta có
(T
1
) α(x, y, a) ≥ η(x, y, a) kéo theo α(T x, Ty, a) ≥ η(T x, T y, a),
x, y ∈ X,
(T
2
)

α(x, z, a) ≥ η(x, z, a)
α(z, y, a) ≥ η(z, y, a)
kéo theo α(x, y, a) ≥ η(x, y, a).
Nếu η(x, y, a) = 1 thì T được gọi là một ánh xạ tam giác 2 −α− chấp nhận

được.
Nếu α(x, y, z) = 1 thì T được gọi là một ánh xạ tam giác 2 −η− chấp nhận
được.
2.1.9 Ví dụ ([18]). Cho X = [0, +∞). Các ánh xạ
T : X −→ X
x −→
1
4
x
22
và
α, η : X × X × X → [0, +∞)
được xác định bởi
α(x, y, a) =

a
2
+ 2 nếu x, y ∈ [0, 1],
0 nếu x hoặc y /∈ [0, 1]
và η(x, y, a) = a
2
+ 1.
Khi đó, T là một ánh xạ tam giác 2 −α −η− chấp nhận được.
2.1.10 Bổ đề ([18]). Cho X là một không gian 2-mêtric và T : X → X là
một ánh xạ tam giác 2 − α − η− chấp nhận được. Giả sử tồn tại x
0
∈ X
sao cho α(x
0
, T x

0
, a) ≥ η(x
0
, T x
0
, a) với mọi a ∈ X. Xác định dãy {x
n
} bởi
x
n
= T
n
x
0
. Khi đó,
α(x
m
, x
n
, a) ≥ η(x
m
, x
n
, a), ∀m, n = 1, 2, . . . , mà m < n và ∀a ∈ X.
Chứng minh. Thật vậy, giả sử tồn tại x
0
∈ X sao cho α(x
0
, T x
0

, a) ≥ η(x
0
, T x
0
, a)
với mọi a ∈ X. Khi đó, kết hợp với (T
1
) ta có
α(x
1
, x
2
, a) = α(T x
0
, T
2
x
0
, a) ≥ η(T x
0
, T
2
x
0
, a) = η(x
1
, x
2
, a).
Tiếp tục quá trình trên, ta có

α(x
n
, x
n+1
, a) ≥ η(x
n
, x
n+1
, a), ∀a ∈ N. (2.6)
Giả sử m < n. Từ

α(x
m
, x
m+1
, a) ≥ η(x
m
, x
m+1
, a)
α(x
m+1
, x
m+2
, a) ≥ η((x
m+1
, x
m+2
, a),
kết hợp với (T

2
) ta có α(x
m
, x
m+2
, a) ≥ η(x
m
, x
m+2
, a).
Từ đó ta có

α(x
m
, x
m+2
, a) ≥ η(x
m
, x
m+2
, a)
α(x
m+2
, x
m+3
, a) ≥ η(x
m+2
, x
m+3
, a).

Do đó, ta thu được α(x
m
, x
m+3
, a) ≥ η(x
m
, x
m+3
, a).
Làm tương tự quá trình trên ta có α(x
m
, x
n
, a) ≥ η(x
m
, x
n
, a).
23
2.1.11 Định nghĩa ([18]). Cho X là một không gian 2-mêtric và các ánh xạ
T : X → X,
α, η : X × X × X → [0, +∞).
T được gọi là ánh xạ 2 − α −η−liên tục trên X nếu với mọi a ∈ X
x
n
→ x khi n → ∞,
α(x
n
, x
n+1

, a) ≥ η(x
n
, x
n+1
, a), ∀n = 1, 2 . . . ,
thì T x
n
→ Tx.
Nếu η(x, y, a) = 1 thì T được gọi là một ánh xạ 2 −α− liên tục.
Nếu α(x, y, z) = 1 thì T được gọi là một ánh xạ 2 − η− liên tục.
2.1.12 Ví dụ ([18]). Cho X = [0, +∞) và ρ(x, y, a) = min{|x − y|, |y −
a|, |x −a|}. Giả sử rằng T : X → X và α, η : X × X ×X → [0, +∞) được
xác định bởi
T x =

x
2
nếu x ∈ [0, 1]
ln x + 2 nếu x ∈ (1, +∞),
α(x, y, a) =

1 nếu x, y ∈ [0, 1]
0 nếu x hoặc y /∈ [0, 1]
và η(x, y, a) = 1.
Dễ thấy, T không liên tục nhưng T là 2 − α − η− liên tục trên (X, ρ). Nếu
x
n
→ x khi n → ∞ và α(x
n
, x

n+1
, a) ≥ η(x
n
, x
n+1
, a) = 1, thì x
n
∈ [0, 1]
và lim
n→∞
T x
n
= lim
n→∞
x
2
n
= x
2
= T x.
2.1.13 Định nghĩa ([18]). Cho (X, ρ) là không gian 2 - mêtric và các ánh xạ
T : X → X,
α, η : X × X × X → [0, +∞).
i) T được gọi là một ánh xạ α − η − C− co yếu nếu với x, y ∈ X mà
α(x, y, a) ≤ η(x, y, a), ∀a ∈ X
24
thì với mỗi ψ ∈ Ψ ta có
ρ(T x, Ty, a) ≤
1
2

[ρ(x, T y, a) + ρ(x, T y, a)]−ψ(ρ(x, Ty, a), ρ(y, Tx, a)),
(2.7)
với mọi a ∈ X.
ii) Ta nói rằng T là một ánh xạ co α − C dạng yếu nếu với x, y ∈ X mà
α(x, y, a) ≥ 1, ∀a ∈ X thì với mỗi ψ ∈ Ψ ta có
ρ(T x, Ty, a) ≤
1
2
[ρ(x, T y, a) + ρ(x, T y, a)]−ψ(ρ(x, Ty, a), ρ(y, Tx, a)),
(2.8)
với mọi a ∈ X.
iii) Ta nói rằng T là một ánh xạ co η − C dạng yếu nếu với x, y ∈ X mà
η(x, y, a) ≤ 1, ∀a ∈ X thì với mỗi ψ ∈ Ψ ta có
ρ(T x, Ty, a) ≤
1
2
[ρ(x, T y, a) + ρ(x, T y, a)]−ψ(ρ(x, Ty, a), ρ(y, Tx, a)),
(2.9)
với mọi a ∈ X.
2.1.14 Định lí ([18]). Cho (X, ρ) là một không gian 2 - mêtric đầy đủ. Giả sử
rằng T : X → X là một ánh xạ α − η − C co yếu thoả mãn các khẳng định
sau
(i) T là ánh xạ tam giác 2 − α −η chấp nhận được,
(ii) Tồn tại x
0
thuộc X sao cho α(x
0
, T x
0
, a) ≥ η(x

0
, T x
0
, a) với mọi a ∈ X,
(iii) T là ánh xạ liên tục hoặc là 2 − α −η liên tục, hoặc
(iv) Nếu {x
n
} là dãy trong X thỏa mãn α(x
n
, x
n+1
, a) ≥ η(x
n
, x
n+1
, a), với
mọi a ∈ X và x
n
→ x khi n → ∞ thì α(x
n
, x, a) ≥ η(x
n
, x, a), ∀n =
1, 2, . . . , với mọi a ∈ X.
Khi đó, T có một điểm bất động.
25
Chứng minh. Cho x
0
∈ X sao cho α(x
0

, T x
0
, a) ≥ η(x
0
, T x
0
, a) với mọi
a ∈ X. Xét dãy {x
n
} xác định bởi x
n
= T
n
x
0
với mọi n = 1, 2, . . .
Trước tiên, ta xét trường hợp m, n = 1, 2, . . . mà m < n. Do T là ánh xạ
tam giác 2 −α − η - chấp nhận được nên theo Bổ đề 2.1.10, ta có
α(x
m
, x
n
, a) ≥ η(x
m
, x
n
, a), (2.10)
với mọi m, n = 1, 2, . . . , mà m < n và ∀a ∈ X. Từ (2.7), ta có
ρ(x
n+1

, x
n
, a) = ρ(T x
n
, T x
n−1
, a)
≤
1
2
[ρ(x
n
, T x
n−1
, a) + ρ(x
n−1
, T x
n
, a)]
−ψ(ρ(x
n
, T x
n−1
, a), ρ(x
n−1
, T x
n
, a)
=
1

2
[ρ(x
n
, x
n
, a) + ρ(x
n−1
, x
n+1
, a)]
−ψ(ρ(x
n
, x
n
, a), ρ(x
n−1
, x
n+1
, a)
=
1
2
ρ(x
n−1
, x
n+1
, a) − ψ(0, ρ(x
n−1
, x
n+1

, a)
≤
1
2
ρ(x
n−1
, x
n+1
, a), ∀a ∈ X. (2.11)
Cho a = x
n−1
trong (2.11), ta có ρ(x
n+1
, x
n
, x
n−1
) ≤ 0, tức là
ρ(x
n+1
, x
n
, x
n−1
) ≤ 0. (2.12)
Và từ (2.11) và (2.12) ta có
ρ(x
n+1
, x
n

, a) ≤
1
2
ρ(x
n−1
, x
n+1
, a)
≤
1
2
[ρ(x
n−1
, x
n
, a) + ρ(x
n
, x
n+1
, a) + ρ(x
n−1
, x
n
, x
n+1
)]
≤
1
2
[ρ(x

n−1
, x
n
, a) + ρ(x
n
, x
n+1
, a))] . (2.13)
Suy ra
ρ(x
n+1
, x
n
, a) ≤ ρ(x
n−1
, x
n
, a), ∀n = 1, 2, . . . (2.14)