Về các nửa nhóm giao hoán hấp thụ cấp hai và ứng dụng

1

B 











V CÁC NA NHÓM GIAO HOÁN HP TH
CP HAI VÀ NG DNG



LUC






 2014

2

B 










V CÁC NA NHÓM GIAO HOÁN HP TH
CP HAI VÀ NG DNG


LUC



: 












: 60 46 01 04










PGS.TS. LÊ QU







 2014
3

MC LC
Trang
M U 1
Chương 1. A NH 3
a nhóm 3
1.2  ti tiu và na nhóm 0 -  4
1.3 Na nhóm 0   7
A NHÓM GIAO HOÁN HP TH CP HAI

VÀ NG DNG 14
2.1 Na nhóm giao hoán hp th cp hai 14
2.2 Tính hp th ca na nhóm nhân trong vành giao hoán 19
2.3 V các vành hp th cp n và hp th cp n mnh 24
KT LUN 27
 28






4

M U
2007, A. 










sau: 
R











321
,, rrr

ca
R
sao cho
1 2 3
0rr r 
tn ti
 
, 1,2,3ij
,
ij
tho mãn
 
.0
ij
rr
 cu trúc ca lp vành này và chng t c
rng mt vành
R
là hp th cp hai nu và ch ni v

321
,, III

tu ý ca
R
sao cho
0
321
III
, tn ti

 
, 1,2,3ij
,
ji 
tho mãn
0. 
ji
II

 

y, vành hp th cp hai có th 
thut ng 
Trong bài báo On 2  absorbing commutative semigroups and their
applications to ring 
A.Yousefian Darani và E. R. ng t rng: nu
S
là na
nhóm vi phn t u kin

 

và
 


A.Yousefian Darani và E. R. Puczylowski gi na nhóm tho u kin
 

là na nhóm hp th cp hai và na nhóm tho u kin
 

là na
nhóm hp th cp hai mnh. A.Yousefian Darani và E. R. 
c rng, trong mt vành giao hoán
R
thì tính hp th cp
hai và tính hp th cp hai mnh ca na nhóm nhân
 
SR

i tính hp th ca vành
R
.
Lua chúng tôi da trên bài báo trê tìm hiu các na nhóm
hp th cp hai và các ng dng ca nó trong vic mô t mt s lp vành.
Ngoài phn m u, kt lun và tài liu tham kho, lu

 thng các kin thc v a
  cho vi

5

a nhóm hp th cp hai và ng dng
trình bày các khái nim và các tính cht
ca na nhóm hp th cp hai và na nhóm hp th cp hai mnh. T 
hiu mi liên h gia tính hp th cp hai và hp th cp hai mnh ca mt
vành giao hoán
R
.
h 
chân thành và 
.
 Toán 
cho tôi trong
.
             
 

 


Ngh 
Tác gi

6

1. A NHÓM 
1.1. trên na nhóm
1.1.1.  Gi s
S
là mt tp con khác rng ca n
(i)
I
c gi là mt  ng, phi) ca
S
nu
SI I

ng,
SII 
).
(ii)
I
c gi là  ca
S
nu
I
v
phi.
T 1.1.1 suy ra nu

S
là na nhóm vi phn t không 0 thì mi
a
S
u cha không 0.
1.1.2 M. Giao ca h a na nhóm
S
, nu khác rng, là
ma na nhóm
S
.
Chú ý rng nu
S
cha phn t 
rng, vì nó cha 0.
1.1.3. . Gi s
X
là mt tp con khác rng ca na nhóm
S
. Khi
a tt c a
S
cha
X
là ma
S
. 
nh nht ca
S
cha

X
c gi là i
X
. Ký hiu
X
.
Nu
X
ch cha mt phn t
Sa
i
X
c gi là 
chính sinh bi
a
c ký hiu bi
a
.
1.1.4. iu. Gi s
I
là ma
S
. T
mt quan h
I

trên
S
nh bi
Is

I I id

  
 là
I
xy

nu và
ch nu
,x y I
hoc
xy

I

là mng trên
S
c
gi là ng Rees trên
S
nh b
I
.
N  
I
S

s c ký hiu bi
S
I

  c gi là
ees ca
S
theo modulo
I
. Rõ ràng
S
I
có mt phn t là
I
và các
phn t khác
 
x
, vi
\x S I
 n ký hing nht
phn t
 
I
xx


vi phn t
\x S I
. Tích các phn t ees
7


x y xy

vi
Iyx ,
và
Ix I xI
vi mi
xS

I
là
phn t không ca nhóm ca na nhó
S
I
.
1.1.5. . Gi s
S
là mt n L ,
R, J 
S
:

a
L
11
b S a S b

a
R
11
b aS bS

a
J
1 1 1 1
b S aS S bS


1
Sa
,
1
aS
,
11
S aS
ng là các  chính phi
a
S
sinh bi
a
c RL = LRt D
= L R (=R L ) và H = L

R. Th thì L, R, J, D và H là các quan h 

S
c gi là các quan h Green trên na nhóm
S
.
Vi mi
aS

, ký hiu L - li L
a
vy, các
R - lp, J - lp, D - lp hay H - lp cha
a
c ký hiu bi R
a
, J
a
và D
a

hay H
a

1.2.  ti tiu và na nhóm 0  
1.2.1. . Gi s
S
là na nhóm vi phn t 
(i) M     i)
M
ca na nhóm
S
c gi là
i) 0  ti tiu nu
0M

phi) duy nht ca
S
tht s cha trong

M
.
(ii)
S
c gi là na nhóm 0    i) nu
2
0S 
i) thc s duy nht ca
S
.
Ta nhc li rng na nhóm
S
vi phn t c gi là na
nhóm vi phép nhân không nu tích ca hai phn t tu ý ca nó bng 0. T
 nu
M
 ti tiu ca
S
thì
2
MM
hoc
M
là na nhóm vi
phép nhân a, giao c ti tiu bt k ca na
nhóm
S
bng 0 .
8

Na nhóm
S
c gi là ni) nu
S
không
chc s hai phía (trái, phng t rng mi
na nhóm 0  c t na nhóm 0  i bng cách ghép
thêm phn t không.
nh lý. Nu
S
là mt na nhóm 0  i (trái) thì
\0S
là mt
ni (trái) ca
S
.
Chng minh. Tc ht ta chng minh rng
\0S
là mt na nhóm con ca
S

S
không chc thc s ca không. Gi thit trái li rng
, \ 0a b S

.0ab
. Tp tt c các
xS
mà
.0ax

là mi
ca
S
cha tp con
 
0, 0b 
i trùng vi
S

 
0,a
là
mi khác không ca
S

 
0,aS
. Th thì
2
0S 
, trái vi
gi thit
S
là na nhóm 0  i.
Ta chng t na nhóm
\0S
i. Gi s
R
là mi ca
\0S

. Vì
R 
nên
   
00R

 
0RS

\0RS

Kt qu ng t rng gia các na nhóm 0  a nhóm
n t 0 có nhng khác bit sâu sc.
nh lý. Gi s S là na nhóm vi phn t 0 sao cho
 
0S 

S
là na nhóm 0   khi
SaS S
i vi
0a 
thuc
S
.
Chng minh. Gi thit rng
S
na nhóm 0   s
B
là tp tt c các

phn t
bS
sao cho
0SbS 

B
là ma
S

BS

hoc
0B 
ng hp th nht
BS
không x
3
0S 
, trong
khi 
2
SS
nên
32
S S S
  
0B 
  
0SaS 
vi mi

0a 
thuc
S
.
o li , gi thit rng
SaS S
i mi
0a 
thuc
S
. Gi s
A
là
ma
S
và gi s
a
là mt phn t khác không ca
A
.

S SaS

SAS A

AS
. Vì
0S 
theo gi thit nên
S

cha phn t
0a 
. T quan h bao hàm
2
A SaS S
suy ra
2
0S 
và do

S
là na nhóm 0  
9

Bây gi ta trình bày mt s kt qu  ti tiu
và na nhóm 0  
nh lý. Gi s
M
êan (hai phía) 0  ti tiu ca mt na nhóm
S
vi phn t c
2
0M 
hoc M là na nhóm con 0  a
S
.
Chng minh. Gi thit rng
2
0M 


2
MM
. Gi s
,0a M a
.
Vì
11
S aS
là mca
S
cha trong
M
nên
11
S aS M
. Do

3 1 1
M M MS aS M

MaM M
. T 
MaM M
và na nhóm
M

là na nhóm 0  nh lý 1.2.2.
Chú ý rng nu
A

và
B
a mt na nhóm
S
thì
AB B
và
AB A
, t 
S
không cha quá mi tiu hai phía. Nu
S
có mi tiu hai phía
K
thì
K
c gi là ht nhân ca
S
. Vì
K

c cha trong ma
S
nên
K
là giao ca m hai
phía ca
S
. Nng thì
S

không có ht nhân, ng hy ra
chng hi vi na nhóm xyclic vô ha mi na nhóm hu hn
u có ht nhân. T nh lý 1.2.4 trc tip suy ra
1.2.5. H qu. Nu na nhóm S cha ht nhân K thì K là n
ca S.
nh lý. Gi s
S
là mt na nhóm vi phn t 0 và
M
là m
ti tiu ca nó cha ít nht m trái 0  ti tiu ca
S

M
là
hp ca tt c  ti tiu ca
S
cha trong
M

Chng minh. Gi s
A
là hp ca tt c  ti tiu ca
S
cha
trong
M
. Ta chng t rng
AM
. Rõ ràng

A
là ma
S

chng minh
A
là mi ca
S
, ta gi s
,a A c S
  nh
a
A
,
aL

L
là m ti tiu ca
S
cha trong
M
. Th thì
0Lc 
hoc
Lc
    ti tiu ca
S
  a
Lc Mc M
và bi vy

Lc A

;0ac A A
vì
M
cha ít nht mt
 ti tiu ca
S
. T 
A
a
A

cha trong
M
nên
AM
do tính 0  ti tiu ca
M
.
10

1.2.7. nh lý. Gi s
M
là m ti tiu ca na nhóm
S
vi
phn t 0 sao cho
2
0M 

. Gi thit rng
M
cha ít nht m
ti tiu ca
S
. a
M
a
S
.
Chng minh. Gi s
L
là ma
M
và
\0aL
. Khi

0Ma 
. Thc vy, na nhóm
M
là 0  nh lý 1.2.6, vì vy
MaM M
theo nh lý 1.2.3.
 nh lý 1.2.6, tn ti m     ti tiu
0
L
ca
S
sao cho

0
a L M
. Vì
Ma
là m khác không ca
S
cha trong
0
L
nên
ta kt lun rng
0
Ma L
 c bit
a Ma
  
 
\L Ma a L  
.
p ca
S
a
S
.
1.3. Na nhóm 0  
 Mt quan h hai ngôi

trên mt tp
X
c gi là mt

quan h th t nu tho mãn u kin:
i)

phn x
aa
vi mi
aX
;
ii/

phi x
ab
và
ba
kéo theo
ab
;
iii)

bc cà
ab
và
bc
kéo theo
ac
.
1.3.2. Ví d. Gi s
E
là tp hp tt c các lu ng ca na nhóm
S


quan h

cho bi
ef
nu và ch nu
eef f e
là mt quan h th t
trên
E
. Tht vy, vì
2
ee
nên
ee
,  

phn x. Gi s
ef
và
fe

f=fe=ee
và
=ffe ef
nên
e=f
, vy

phi xng. Cui

cùng, nu
ef
và
fg
thì
ef fe e
và
fg gf f
nên

   
eg ef g e fg ef e   


   
ge g fe gf e fe e   


eg
nên

bc cu.
Ta gi

là th t nhiên trên
E
.

11


(i) Gi s
S
là mt na nhóm và

là th t t nhiên trên
E
, tp các
lu ng ca
S
. Nu
S
cha phn t 0 thì
0 e
vi mi
eE
. Lu ng
f

c gi là lu ng nguyên thu nu
0f 
và nu
ef
kéo theo
0e 
hoc
ef
.
(ii) Na nhóm
S

vi phn t c gi là na nhóm 0  
toàn nu
S
là na nhóm 0  a lu ng nguyên thu.
1.3.4. Ví d. Nu
S
là na nhóm 0  u hn thì
S
là na nhóm
0   t vy, vì
S
là hu hn nên
S
cha lu ng khác
không. Tht vy, nu trái li,
0E 
nên mi phn t ca
S
là phn t lu linh
(i mi
aS
, tn ti mt s 
n
sao cho
0
n
a 
). Vì
S
hu hn nên

S
lu linh ( là tn ti s  
m
sao cho
0
m
a 
), trái vi gi thuyt
2
SS
và
0S 
(vì
S
là na nhóm 0  
p hu hn sp th t
\0E
cha mt phn t ti tiu chính là lu ng
nguyên thu.
nh lý. Gi s
S
là mt na nhóm 0  
S
là mt na
nhóm 0  ch khi
S
cha ít nht m ti
tiu và mi 0  ti tiu.
Chng minh. Nu
S

là na nhóm 0  a lu ng
nguyên thu
e
a
L Se
và
R eS

i 0  ti tiu ca
S
.
o li, gi s
S
cha ít nht m ti tiu và ít nht mt
i 0  ti tiu ca
S
. Gi s
L
là m ti tiu ca
S
.
Th thì tn ti mi 0  ti tiu
R
ca
S
sao cho
R0L 
, theo [1;
B  2.47][1; B  2.46],
S

cha lu ng nguyên thu và vì
vy
S
là na nhóm 0  
T nh lý 1.2.4 trc tip suy ra.
1.3.6. H qu. Mt na nhóm 0  p c
(phi) 0  ti tiu ca nó.
12

1.3.7. H qu. Gi s
M
là m ti tiu ca mt na nhóm
S
sao
cho
2
0M 
. Ngoài ra, gi thit rng
M
cha ít nht m ti
tiu ca
S
và cha ít nht m ti tiu ca
S

M
là mt
na nhóm con 0  a
S
.

Chng minhnh lý 1.2.4,
M
là mt na nhóm 0  a
S
. Theo
nh lý 1.2.6, mi) 0  ti tiu ca
S
cha trong
M

mi) 0  ti tiu ca
M
. Knh lý 1.3.5,
M
là na
nhóm 0  

i) Na nhóm
S
c gi là na nhóm song  nu
S
ch gm mt D 
lp.
ii) Na nhóm
S
vi phn t c gi là na nhóm 0  song  nu
\0S
là mt D  lp ca
S
.

iii) Na nhóm
S
c gi là na nhóm chính quy nu mi phn t ca
S
u là phn t i mi
aS
, tn ti
xS
sao cho
axa a
).
nh lý. Mt na nhóm 0  0 - song 
quy.
Chng minh. Gi s
S
là mt na nhóm 0   s
a
và
b
là
các phn t khác 0. Ta chng t rng
a
D
b
. Theo H1.3.6,
a






n 0  

L 
S

b




 0  

u
R


S
. 

L
Sa
và R
bS
. 

 L
a

L

\0
 R
b

R
\0
,


 L
a
R
b
 L - 




a
R - 

 



 . Vì
a
L 
b
R nên

baSa 
R

L. 
S
 0  


SaS S
và
SbS S
. 


2
S S SbSSaS

 
S bSa S
nên
0bSa 
. Vì
R
b

L
a










\0bSa
nên 


a
D
b
. 


S

0  
Theo  0  



 , D - lp
\0S










 . 








\0S

quy. 0 






S
.
13

1.3.10. 




. 




 
,pq
CC
 ,







,pq







1pq 
.
1.3.11 
i) Hai phn t
a
và

b
ca na nhóm
S
c gi là c nhau nu
,aba a

bab b
.
ii) Na nhóm
S
c gi là nc nu mi phn t thuc
S

có mt phn t c duy nht.
nh lý. 




 
,pq
CC





. 
nn
n

e q p

 
0,1,2 n 
.

01
1
n
e e e   

1

n
e









.


 . 





kl
qp

mn
qp







 
,pq
C









.
k l m n i j
q p q p q p

t


 
min ,i k m l m  
;
 
min ,j k n l n  
.

ik
. 


ik

ij
qp







 
kl
R q p
sinh






kl
qp
  , 
ik

 
i j k l
q p R q p

,m l i k n j   
. 






 
,pq
C

1
p

2
p


q

qp

2
qp


2
q

2
qp

22
qp






t
 
kl
R q p









1k 


.
14






R 
lp 


kl
qp

kl
qp
. 


L - lp 


a
kl
qp

1l 
. 



R - lp 
C

,  L - lp . 

H - lp  na
nhóm
C
 



.  R - lp  

 

H -
lp nên D - lp duy nht ca
C


C
, 
C
ong 
Bây g



i
mn
qp
.



m n i j
q p q p



 
2,i m min m n

 
2,j n min m n
. 






mi
và
nj
. 



 theo
 
,m min m n

 
,n min m n
, 

mn
. 



, 









 
,pq
C
, 


n n n
e q p
 . 
mn
 , 




m n n m n
e e e e e
, nên
mn
ee
. 

,
mn
ee

mn
. 


mn

theo
mn
ee
, 




C








.

C











D - lp nên
C
.





m n n n m
e e e e e









C




 , 
d



C
. 














 0  (
0  ) 























.
1.3.13. 



. 
e
 0  0 





S




0  




, 
S









con 


e
.


. 
e












S
0 




n. 










fS
sao cho
ef
,

ef fe f

ef
. V
0f 

và
S
 0   
SeS S
, 




,x y S


sao cho
x ey e


. 
x ex f



y fy e


ta




ex xf x

,
fy ye y
, và
xy e


xgy
. 


15


2
=yex=yx=gg yxyx
,

x=yx=g,fg fy

xf=yx=g.gf y




gf
. V
fe
nên
ge


e

x

y


1.31[1],
,xy








S







e
.
1.3.14. 




. 





0  
S
0  








mi ph




S






S
.


. 
S
0  









2.5.2 (i)
[1], 
S







S
.





, 




S





a
S
. 






S








 . 
0a 

aS
. 

,
a SaS
, 
a xay

vi
,xy

S
. 




x

y
m



nn
a x ay




n
. 
0a 
nên
0
n
x 





n
,
nên
x


.





S
 . 




, 
x








S
(

),
n
x







G

S


i

n

G
0.

e

S
. 
S
 0  
không  0  









1.3.13,
S








con bicyclic
,pq





e
, 


pq e

qp e
.








y ra.
The

, 


n

p







G

S



n



. 
f
 , 
r
 
n
p
trong
G
. 



nn
p q e
suy ra

e
n n n n
f fp q p q e  
.
16




n
rp f
suy ra

e
nn
f rq e rq f  
.



ef

n n n n n
q eq fq rp q re rf r     
.





n n n
q p rp f e  
,
t


nn
q p e
trong 




,pq
. 

S
 , 




aS








 
a

n
sao
cho
n
a

a
K
. 

, 















. 

 



1.3.14 

.
1.3.15. 



. 0  



(



, 0 




) 0  




.










17

. 









2.1. 









 














.
2.1.1. 



.
i) 




S













 







1 2 3
,,s s s S

1 2 3
. . 0s s s 
, 


 
, 1,2,3 ,i j i j

sao cho
.0
ij
ss
.
ii) 




S






 

 





1 2 3
,,I I I

S


1 2 3
. . 0I I I 
, 


 
, 1,2,3 ,i j i j
sao cho
.0
ij
II
.
, 
















. .

2.1.2.  . 
F
 


 
,xy

22
,I x y

F





I
. 
F
S
I

 Rees 
F


I
. T
3

0S 

2
0S 
. 




S













 . 
1 2 3
,,w w w

F
, 


 hai


, 




12
,ww
, 
x







y
. 




12
.w w I
, 
S
.

2.1.3. 



.
i) 


P

S






 
PS
, 

xy P



,x y S

xP




yP
.
ii) 




aS






 


n
sao cho
0
n
a 
.
18

iii) 









S






 hay
 
S
, 
 
NS
.
2.1.4. 



. 
S
 0. 



 

NS

S

Rees
 
S
NS










.


. Tr
a

S




 

NS
. 



, 
P

S
, do
a




n
sao cho
0
n
a 
, 




n
aP
nên
aP
(

P

).




, 
 
a N S
. Ta chng minh
a
 . 




, 
a






. 

C iđêan
I


A

sao cho
n
aI






n
. 


0 C
nên
C 
. 





C




, 



C






c nên
C
 
P
. 

h
P
 . 



, 



,x y S

,x y P
. 


,Px

,Py







P

t
P





C
. 







,mn

sao cho
,
m
a P x
,
,
n
a P y
. 
S



,
mn
a P xy



,P xy C
. 




,x y P
. 







P

 , 


aP
( 
 
a N S
): 

 này 




a









.








 
S
x
NS

 o 




a
x

0
n
x 
. 





 , 

 
n
x N S



k
sao cho
 
0
k
n
x 



2.1.4. 




0
nk
x 
Rees 

2.1.4,
 
x N S
,

x

lu
 
S
NS
 

 Rees
 
S
NS







.
19

2.1.5. 



. 
S
 





 
2
0NS 
.


. i
 
s N S





n
sao cho
0
n
s 
. 




S





 , nhn 


2
0s 
, 




2
0s 
. 






 
,s t N S
 ,
,ss

0tt
. 







S
 ,
0st
hay
,0s n t 
hay
,0s t t 
. 













0st 
. 




 
2
0NS 
.
2.1.6. .
i) 2.1.2 





























.
ii) 


F

,,x y z

I


F



,,xy yz zx
.

S

F

I
:
F

S
I




S
kh








 . 
1 2 3
w , ,w w F
, 








,,xy yz zx
 

w
ij
w



 
, 1,2,3 ,ij

ij
, 
w
ij
wI
. 




S
  . 


, , ,x y y z z x I












, , , , ,x y y z z x





I
, v
S









.







a 







.
2.1.7. 



. 




S






1 2 3
,,F F F


1 2 3

. . 0F F F 



 
, 1,2,3 ,ij

ij
sao cho
.0
ij
FF
.


 . 
,,X Y Z
là  a
S
sao cho
0,XY 

0,YZ 

0ZX 
. Th
12
,,x x X

12

,,y y Y

12
,z z Z
sao cho
11
0,xy

20

21
0,xz

22
0yz 
,
1 2 1
,,x x F

1 2 2
,y y F

1 2 3
,z z F
. 


1 2 3
. . 0F F F 


.0
ij
FF
i vi
 
, 1,2,3 ,ij

ij
 . 








. 













2.1.1.
2.1.8. 



. 
S
 0 
X
l






c 
S
. 






 
/0s S Xs













X

 
ann X
.






















.
2.1.9. 



. 
S
 

0. 


S



 

















:
i) 
,IJ

S
sao cho
 
I N S
,
 
J N S



0IJ 

 
0IN S 

 
JN S
;

ii) 


X

 
NS
,
 
ann X


S
,
iii) 
,,I J K

S





 
NS
, 

0IJ 




0IK 



0JK 
.


: 

 . 
S
 


.
i) Theo M 2.1.5,
 
2
0NS 
. 






 
IJ N S

nên
 
0N S IJ 
. 
0IJ 
. 


 
0N S I 



 
0N S J 
.





 
0N S I 
, 


2
0IJ
. 


,
 
I N S
nên
2
0I 
.







0IJ 
, 










S






. 




0IJ 
. 

,
 
B I J B
vi
 
B N S





, 
 
0B I J

0BJ 
. 


0BI 

.
21

ii) 
,IJ

S
sao cho
0XIJ 
. 





X

X
. 
 
I N S
hay
 
J N S




 
2

0NS 
nên
0XI 



0XJ 
. 
I

J






 
NS
. 
0IJ 



0XI 



0XJ 






 . 
0IJ 
t (i) 
0XI 
hay
0XJ 
. 




 
ann X
là  


S
.
iii) 
0IJ JK IK  
. 
1
,I I J

2
,I J K

3
I I K
. 


1 2 3
0I I I 
. V
,,I J K
không 




 
NS
, nên
0
ij
II 



 
, 1,2,3 ,ij

ij
: 


.




. 



, 
1 2 3
,,I I I

S
sao cho
1 2 3
0I I I 
. 
12
,I I I

23
,J I I

13
K I I
. 


0IJ JK IK  

. 




do (iii) 




,,I J K





 
NS
, c




 
1
I N S
. 
 
1
I N S

, 

 (ii),
12
0II 



13
0II 
.







S
a .
2.1.10. 



. 
S
 . 


S

 






:
(i) 


X

 
NS
,
 
ann X


S
;
(ii) 





:
(a)

 
NS
l
S
,
(b)
S





12
,PP
, sao cho
12
0PP 
.


. 

 . 
S
 .


 (i) 










 2.1.9. 
 
B N S




 . 




 
,\s t S N S
sao
cho
 
,s t N S
. 



 2.1.9 (i),

0st 

0sB tB
. 
22

 
1
,P ann s

 
2
P ann t
. 

,
1
,BP

2
BP

1
,tP

2
sP
. 
,IJ


S





1
P
. 

,
0sI 
,
0sJ 









 2.1.9 (i),
 
sI N S
,
 
sJ N S
. 



,,sI sJ t


S





 
NS

0, 0t sI t sJ
, 








 2.1.9.(iii),
0sIsJ 
. 


0sIJ 


1
JIP
, 





1
P

S
. 


2
P




S
.

2
1
0 , ,t P s t

2

2
0,s P s t

12
,0PP s t 
. Do



12
0PP 
.




. 



, 
S
 .



1 2 3
,,I I I
  a
S

sao cho
1 2 3
0I I I 
. Chng t rng
0
ij
II 
vi
 
, 1,2,3 ,ij

ij
 
 
NS
, 


 
i
I N S



 
1,2,3i
 















do (i). 
 
NS


 , 





 (ii) 





 
, 1,2,3ij

sao cho
1
,
i
IP

2j
IP

0
ij
II 
. 
ij
, thì
phép ch c hoàn thành. Nu
ij





1ij
. Th 
 
1
I N S

 
2 3 1

I I ann I
.   (i) suy ra
12
0II 



13
0II 









.
2.1.11. . 









: 

1
P

2
P





na 



(

) sao cho
12
0PP 
, 


1
P

2
P

S
.

2.2. 
2.2.1. 



. 






R
 v 
i 












R
sao cho
1 2 3

0rr r 



 
, 1,2,3 ,ij

ij




0
ij
rr 
.
Trong [3] 








































R

23










1 2 3
,,I I I

R
sao cho
1 2 3
0I I I 



 
, 1,2,3 ,ij

ij

0
ij
II 
. 

, 

 (



 

 




2.2.1).


,
R





 
SR

R
.
2.2.2. 




. Gi 


A

 
,R 

,XY

 






R





,aA

0aX 



0aY 

.



X0A 



0AY 
.


. 
,a b A
sao cho
0aX 

0bY 
. Th
thì theo gi thit
X0A 
hoc
0AY 
. 


 
0a b X




 
0a b Y
. 






 
00a b X aX   








 
00a b Y bY  
: 








2.2.2.
2.2.3. . Ta nhc li rng: Tp hp
R
c gi là na vành nu trên
R

 hai phép toán cng và nhân sao cho:
Cu kic tho mãn:
i)
R
cùng vi php cng là mt v nhóm giao hoán vi phn t không
là 0;
ii)
R
cùng vi phép nhân là mt na nhóm;
iv)
.0 0 0.rr
vi mi
rR
.
Nu kin (i) thay bu kin chi phép cng là mt
nhóm a vành
R
tr thành mt vành.

R
 .

.
2.2.4. 




. 
A

 
,R 

 
ann a

R





aA
, 


 
ann A
an



R
.

24



. 



. 
,x y R

0Axy 
. 
aA
,
 
ann a

0ax 



0ay 
. 



 B 2.2.2
suy ra
0Ax 




0Ay 
, 




 
ann A

R
.
2.2.5. 

. 
R

 
SR


R
. 






a
(i)
R
i;
(ii)
 
SR
p ;
(iii)
 
SR
;
(iv) 
1 2 3
,,I I I

1 2 3
0I I I 
t
 
, 1,2,3 ,ij

ij
sao cho
0
ij
II 
.



. 





 (i) (ii) , (iii)  (ii)
(iv) (i).
M


R
 
 
SR
. 
I
cho




 
I

R



I

. 


IJ I J
, 


IJ

R
.






(iii) 
 (i) (iii). Theo M2.1.7, cn



1 2 3
,,F F F

 
SR





 không

1 2 3
0FF F 
, 


0
ij
FF 



 
, 1,2,3 ,ij

ij



. 
n

i
F
. 


36n

. 
 
SR
 cp 






3n 
, , 




i
F

 
SR
. 







4n 

, 




1
,F s t






1n 
. 
23
0FF 
 .




, 
1
,fF

23
0f F F 










n

25

theo
2
0fF 



3
0fF 
. 







 2.2.2. 
12
0FF 




13
0FF 
.

X

R
, 
X
trong
R

 
SR
 . 
I

R
, 


I




R












 
SR
. T







 
SR
. 








2.1.10,




2.2.4 2.2.5 





.
2.2.6. 



. 
R
 . 


R











 
x N R
,
 
ann X


R








:
(a)
 
NR

R
;
(b)
R






1
P
và
2
P
sao cho
12
0PP 
.
2.2.7. . 
G

R

G
 

.



g
gG
RR


, 




 h
g
R

R
, 


g h gh
R R R





,g h G
. 
g
gG
R










. 
rR

g
gG
rr



, 


gg
rR











r
. 




p
 
( ) / 0
g
supp r g G r  











r

I

R








n nht 
 
g
gG
I I R

  
.

 
h
SR

R
. 

I





 
h
SR
, 
I

R




I
.


I


R

IJ I J
. 
I

R
, 




*
I

I


 
h
SR


I

R





*
I




 
h
SR
.




 
h
BR

 
h
SR


h
B

, trong 
h
B
 




R
. 








X