Về không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn xác định bời hàm orlicz

1
MỤC LỤC
Mục lục 1
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định
chuẩn 4
1.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn . 8
2 Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định
chuẩn xác định bởi hàm Orlicz 11
2.1. Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn
xác định bởi hàm Orlicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Một số tính chất của không gian con của không gian l
M
(E). . . 19
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2
MỞ ĐẦU
Trong giải tích hàm, lớp không gian tuyến tính định chuẩn có vai trò
quan trọng là lớp không gian các dãy. Không gian các dãy cổ điển được xét
với dãy nhận giá trị trong trường vô hướng, các tính chất của không gian
các dãy là những ví dụ khá điển hình của giải tích hàm cổ điển. Trong [6]
sử dụng ý tưởng của Orlicz các tác giả J. Lindenstrauss và L. Tzafriri đã
xây dựng không gian tuyến tính định chuẩn các dãy nhận giá trị vô hướng
từ lớp các hàm thực đặc biệt, mà chúng được gọi là các hàm Orlicz. Các
tính chất của các không gian dãy Orlicz cũng được nghiên cứu khá sâu sắc
thông qua cấu trúc của hàm Orlicz bởi J . Lindenstrauss và L. Tzafriri.
Mục đích của luận văn là xây dựng không gian các dãy nhận giá trị trong
không gian định chuẩn xác định bởi các hàm Orlicz, vì vậy chúng tôi lựa
chọn đề tài: Về không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định

chuẩn xác định bởi hàm Orlicz.
Nội dung của luận văn trình bày một số kết quả đã biết về không gian
định chuẩn các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn, xây dựng
không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn xác định bởi
các hàm Orlicz và đưa ra một số tính chất của chúng. Các nội dung của
luận văn được trình bày trong hai chương:
Chương 1 trình bày kết quả căn bản về không gian định chuẩn các dãy
nhận giá trị trong không gian định chuẩn đã được đề cập ở dạng tổng
quát hơn trong [4].
Chương 2 nghiên cứu cách xây dựng không gian các dãy nhận giá trị
3
trong không gian định chuẩn xác định bởi các hàm Orlicz và các tính chất
của chúng. Nội dung trình bày trong chương này là mới, chúng tôi đề xuất
dựa trên phương pháp của J. Lindenstrauss và L. Tzafriri đã thực hiện
cho trường vô hướng. Các kết quả trên đã được chúng tôi viết thành một
bài báo đang gửi đăng.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
của Thầy giáo T.S. Kiều Phương Chi. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc nhất đến thầy. Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn Ban
chủ nhiệm Khoa Sư phạm Toán học, Ban lãnh đạo Phòng Sau đại học,
quí Thầy Cô trong tổ Giải tích khoa Sư phạm Toán học-Trường Đại học
Vinh đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Cuối cùng xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu, tổ Toán trường THPT
Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh, gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các học
viên cao học khóa 20 Toán-Giải tích tại Trường Đại học Vinh đã tạo điều
kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ trong suốt quá trình học
tập. Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng nhưng vì năng lực còn hạn chế nên
luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận
được những lời chỉ bảo quý báu của các thầy cô và những góp ý của bạn
đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.

Nghệ An, tháng 10 năm 2014
Trương Thị Thu Hiền
4
CHƯƠNG 1
KHÔNG GIAN CÁC DÃY NHẬN GIÁ TRỊ TRONG
KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
Chương này trình bày những kiến thức cơ sở cần dùng về sau, đặc biệt
là lớp không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn.
1.1. Một số kiến thức chuẩn bị
Mục này nhắc lại một số kết quả về không gian định chuẩn, không gian
Banach cần dùng về sau. Các kết quả này có thể tìm thấy trong [3].
1.1.1 Định nghĩa. Cho E là không gian tuyến tính trên trường K. Hàm
. : E → R được gọi là một chuẩn trên E nếu thoả mãn các điều kiện
sau:
1) x  0, với mọi x ∈ E và x = 0 ⇔ x = 0;
2) λx = |λ|x, với mọi λ ∈ K và với mọi x ∈ E;
3) x + y  x + y, với mọi x, y ∈ E.
Khi đó (E, .) được gọi là một không gian định chuẩn.
Không gian định chuẩn là không gian mêtric với mêtric sinh bởi chuẩn
d(x, y) = x−y, ∀x, y ∈ E. Không gian định chuẩn E được gọi là không
gian Banach nếu E đầy đủ với metric sinh bởi chuẩn. Với tôpô sinh bởi
mêtric sinh bởi chuẩn các phép toán cộng và nhân vô hướng trên E là liên
tục.
Cho E, F là các không gian định chuẩn. Ký hiệu L(E, F ) là tập hợp
các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. Ta đã biết L(E, F ) là không
5
gian định chuẩn với chuẩn
f = sup
x=1
f(x), ∀f ∈ L(E, F ).

Nếu F là không gian Banach thì L(E, F ) là không gian Banach. Đặc biệt,
L(E, K) := E
∗
là không gian liên hợp thứ nhất của E cũng là không gian
Banach.
Các lớp không gian Banach quen thuộc sau được quan tâm nhiều trong
luận văn của chúng tôi.
1.1.2 Ví dụ. Giả sử K là trường các số thực hoặc các số phức. Ký hiệu
l
∞
=

x = (x
n
) ⊂ K : (x
n
) là dãy bị chặn

;
C =

x = (x
n
) ⊂ K : (x
n
) là dãy hội tụ

;
C
0

=

x = (x
n
) ⊂ K : lim
n→∞
x
n
= 0

;
và
l
p
=

x = (x
n
) ⊂ K :
∞

n=1
|x
n
|
p
< ∞

, p  1.
Với các phép toán cộng các dãy và nhân một số với một dãy thông thường

ta có l
∞
(E) là không gian tuyến tính và C, C
0
và l
p
là các không gian con
của l
∞
. Hơn nữa
l
p
⊂ C
0
⊂ C ⊂ l
∞
.
Ta đã biết l
∞
là không gian Banach với chuẩn xác định bởi
x = sup
n1
|x
n
|, ∀x ∈ l
∞
. (1.1)
Đặc biệt C
0
, C là các không gian con đóng của l

∞
, vì thế chúng cũng là
các không gian Banach với chuẩn trên. Tuy nhiên l
p
không đóng trong l
∞
.
Đối với l
p
, người ta xét chuẩn xác định bởi công thức
x
p
=

∞

n=1
|x
n
|
p

1/p
, ∀x ∈ l
p
. (1.2)
6
Khi đó, l
p
cũng là một không gian Banach.

1.1.3 Định nghĩa. Cho (X, d), (Y, ρ) là các không gian mêtric và ánh
xạ f : X → Y .
1) ánh xạ f được gọi là liên tục nếu với mọi dãy {x
n
} ⊂ X và x
n
→ x
thì f(x
n
) → f(x).
2) ánh xạ f được gọi là liên tục đều nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ = δ(ε)
sao cho:
ρ(fx, fy) < ε, ∀x, y ∈ X, d(x, y) < δ.
Ta chứng minh được mọi ánh xạ liên tục đều là liên tục. Mệnh đề ngược
lại là không đúng.
1.1.4 Định nghĩa. Cho d, ρ là các mêtric trên X.
1) d và ρ được gọi là tương đương nếu ánh xạ đồng nhất i
d
: (X, d) →
(X, ρ) và ánh xạ ngược của nó liên tục.
2) d và ρ được gọi là tương đương đều nếu ánh xạ đồng nhất i
d
:
(X, d) → (X, ρ) và ánh xạ ngược của nó liên tục đều.
Người ta chứng minh được d và ρ được là tương đương đều nếu và chỉ
nếu tồn tại a, b > 0 sao cho
ad(x, y)  ρ(x, y)  bd(x, y)
với mọi x, y ∈ X.
Hai chuẩn .
1

và .
2
trên không gian tuyến tính E được gọi là tương
đương nếu tồn tại a, b > 0 sao cho
ax
1
 x
2
 bx
1
với mọi x ∈ E. Rõ ràng hai chuẩn tương đương sinh tương ứng ra hai
mêtric tương đương đều.
7
1.1.5 Định lý. Nếu E, F là các không gian định chuẩn và f : E → F
là một song ánh. Khi đó, nếu
mx  f(x)  Mx
với mọi x ∈ E thì f là một đẳng cấu.
Như vậy, nếu hai chuẩn .
1
và .
2
trên không gian tuyến tính E là
tương đương thì (E, .
1
) và (E, .
2
) là đẳng cấu.
Sau đây, ta nhắc lại khái niệm về hàm lồi. Các kết quả sau có thể tìm
thấy ở trong [1].
1.1.6 Định nghĩa. Cho hàm thực f : (a, b) → R. Hàm f được gọi là lồi

nếu
f

λx + (1 − λ)y

 λf(x) + (1 − λ)f(y) (1.3)
với mọi x, y ∈ (a, b) và 0  λ  1.
1.1.7 Nhận xét. Điều kiện (1.3) tương đương với điều kiện sau:
f(t) − f(s)
t − s

f(u) − f(t)
u − t
(1.4)
với mọi a < s < t < u < b.
1.1.8 Mệnh đề. Cho f : (a, b) → R là hàm lồi và c ∈ (a, b). Khi đó,
hàm p : (a, b) \ {c} → R xác định bởi p(x) =
f(x) − f(c)
x − c
là không
giảm.
Ngược lại, nếu với mọi c ∈ (a, b) hàm p không giảm thì f là hàm
lồi.
1.1.9 Hệ quả. Giả sử f là hàm khả vi trên (a, b). Khi đó, f là lồi khi
và chỉ khi f

là hàm đơn điệu tăng trên (a, b).
1.1.10 Hệ quả. Nếu f : (a, b) → R có đạo hàm cấp 2 trên (a, b) và
f


(x) > 0 với mọi x ∈ (a, b) thì f là hàm lồi.
1.1.11 Ví dụ. Từ hệ quả trên ta thấy hàm f(x) = e
x
lồi trên R và
y = x
p
là các hàm lồi trên (0, ∞) với p  1.
8
1.2. Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định
chuẩn
Các kết quả trong mục này cơ bản đã được trình bày ở dạng tổng quát
trong [4]. Để tiện cho việc trình bày các kết quả chính trong chương 2
chúng tôi trình bày lại theo mục đích của mình. Giả sử E là không gian
định chuẩn trên trường K. Ký hiệu
l
∞
(E) =

x = (x
n
) ⊂ E : (x
n
) : là dãy số bị chặn

;
C(E) =

x = (x
n
) ⊂ E : (x

n
) hội tụ

;
C
0
(E) =

x = (x
n
) ⊂ E : lim
n→∞
x
n
= 0

;
và
l
p
(E) =

x = (x
n
) ⊂ E :
∞

n=1
x
n


p
< ∞

, p  1.
Với các phép toán cộng các dãy và nhân một số với một dãy thông thường
ta có l
∞
(E) là không gian tuyến tính và C(E), C
0
(E) và l
p
(E) là các
không gian con của l
∞
(E). Hơn nữa
l
p
(E) ⊂ C
0
(E) ⊂ C(E) ⊂ l
∞
(E).
Nếu E = K thì ta nhận được các không gian đã trình bày ở Ví dụ 1.1.2.
1.2.1 Định lý. ([4]) l
∞
(E) là không gian định chuẩn với chuẩn được
xác định bởi
x = sup
n1

x
n
, (1.5)
với mọi x ∈ l
∞
(E). Hơn nữa, nếu E là không gian Banach thì l
∞
(E)
là không gian Banach.
Chứng minh. Dễ dàng kiểm tra được (1.5) là một chuẩn trên l
∞
(E). Ta
chứng minh phần còn lại của định lý. Giả sử E là không gian Banach và
9
(x
k
) ⊂ l
∞
(E) là dãy Cauchy. Khi đó, với mọi ε > 0 tồn tại k
0
sao cho
x
k
− x
l
 = sup
n1
x
k
n

− x
l
n
 < ε, ∀k, l  k
0
. (1.6)
Suy ra, với mỗi n = 1, 2, ta có
x
k
n
− x
l
n
 < ε
với mọi k, l  k
0
, tức là dãy (x
k
n
)
∞
k=1
là dãy Cauchy trong E. Vì E là
không gian Banach nên lim
k→∞
x
k
n
= x
n

∈ E, với mỗi n = 1, 2, Đặt
x = (x
1
, x
2
, , x
n
, ). Khi đó, từ (1.6) cố định k  k
0
cho l → ∞ ta nhận
được
sup
n1
x
k
n
− x
n
 < ε, ∀k  k
0
, (1.7)
tức là x
k
− x < ε với mọi k  k
0
, hay x
k
→ x khi k → ∞. Từ (1.7) suy
ra x
k

0
n
− x
n
 < ε với mọi n. Vì vậy
x
n
  x
k
0
n
− x
n
 + x
k
0
n
 < c < ∞
với mọi n, tức là x ∈ l
∞
(E). Như vậy l
∞
(E) là không gian Banach.
1.2.2 Định lý. ([4]) C(E) và C
0
(E) là các không gian con đóng của
l
∞
(E). Đặc biệt, nếu E là không gian Banach thì C(E) và C
0

(E) cũng
vậy.
Chứng minh. Ta chứng minh C
0
(E) đóng trong l
∞
(E). Giả sử (x
k
) ⊂
C(E) và x
k
→ x trong l
∞
(E). Khi đó, với mỗi ε > 0 tồn tại k
0
sao cho
x
k
− x = sup
n1
x
k
n
− x
n
 < ε, ∀k  k
0
. (1.8)
Vì x
k

0
∈ C
0
(E) nên tồn tại n
0
sao cho
x
k
0
n
 < ε, ∀n  n
0
. (1.9)
Từ (1.8) và (1.9) ta nhận được
x
n
  x
k
0
n
− x
n
 + x
k
0
n
 < 2ε
10
với mọi n  n
0

, tức là x ∈ C
0
(E). Vì thế C
0
(E) đóng trong l
∞
(E). Nếu
E là không gian Banach thì l
∞
(E) cũng là không gian Banach. Do đó,
không gian con đóng C
0
(E) của nó cũng là không gian Banach. Chứng
minh tương tự ta được kết luận cho C(E).
1.2.3 Định lý. ([4]) l
p
(E) là không gian định chuẩn với chuẩn xác
định bởi
x
p
=

∞

n=1
x
n

p


1/p
, ∀x ∈ l
p
(E). (1.10)
Hơn nữa, nếu E là không gian Banach thì l
p
(E) là không gian Banach.
Chứng minh. Dễ dàng kiểm tra được (1.10) là một chuẩn trên l
∞
(E). Ta
chứng minh phần còn lại của định lý. Giả sử E là không gian Banach và
(x
k
) ⊂ l
∞
(E) là dãy Cauchy. Khi đó, với mọi ε > 0 tồn tại k
0
sao cho
x
k
− x
l

p
=

∞

n=1
x

k
n
− x
l
n

p

1/p
< ε, ∀k, l  k
0
. (1.11)
Suy ra, với mỗi n = 1, 2, ta có
x
k
n
− x
l
n

p
< ε
với mọi k, l  k
0
, tức là dãy (x
k
n
)
∞
k=1

là dãy Cauchy trong E. Vì E là
không gian Banach nên lim
k→∞
x
k
n
= x
n
∈ E, với mỗi n = 1, 2, Đặt
x = (x
1
, x
2
, , x
n
, ). Khi đó, từ (1.11) cố định k  k
0
cho l → ∞ ta
nhận được

∞

n=1
x
k
n
− x
n

p


1/p
< ε, ∀k  k
0
, (1.12)
tức là x
k
− x
p
< ε với mọi k  k
0
, hay x
k
→ x khi k → ∞. Từ (1.12)
suy ra x
k
0
n
− x ∈ l
p
(E). Vì vậy x = x
k
0
− (x
k
0
− x) ∈ l
p
(E). Như vậy l
p

(E)
là không gian Banach.
11
CHƯƠNG 2
KHÔNG GIAN CÁC DÃY NHẬN GIÁ TRỊ TRONG
KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN XÁC ĐỊNH BỞI HÀM
ORLICZ
Chương này nghiên cứu cách xây dựng không gian các dãy nhận giá trị
trong không gian định chuẩn xác định bởi hàm Orlicz và một số tính chất
ban đầu của chúng. Các kết quả của chương này do chúng tôi đề xuất dựa
trên các kết quả đã biết đối với dãy nhận giá trị vô hướng đã trình bày
trong tài liệu [6].
2.1. Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định
chuẩn xác định bởi hàm Orlicz
Mục này trình bày cách xây dựng lớp không gian các dãy nhận giá trị
trong không gian định chuẩn xác định bởi hàm Orlicz.
2.1.1 Định nghĩa. ([6]) Hàm M : [0, +∞) → R được gọi là hàm Orlicz
nếu
1) M là hàm không giảm, liên tục;
2) M(0) = 0 và lim
t→∞
M (t) = ∞;
3) M là hàm lồi.
Hàm Orlicz M gọi là suy biến nếu tồn tại t > 0 sao cho M(t) = 0.
2.1.2 Ví dụ. Các hàm M(t) = t
p
; M(t) = te
t
là hàm Orlicz.
Giả sử M là hàm Orlicz và E là một không gian định chuẩn trên trường

12
K. Ta ký hiệu
l
M
(E) =

x = (x
n
) ⊂ E :
∞

n=1
M

x
n

ρ

< ∞, với ρ > 0 nào đó

.
2.1.3 Định lý. l
M
(E) là không gian tuyến tính với các phép toán cộng
các dãy và nhân một số với một dãy thông thường.
Chứng minh. Giả sử x = (x
n
), y = (y
n

) ∈ l
M
. Khi đó, tồn tại ρ
1
, ρ
2
> 0
sao cho
∞

n=1
M

x
n

ρ
1

< ∞,
∞

n=1
M

y
n

ρ
2


< ∞.
Lấy ρ = ρ
1
+ ρ
2
ta có
M

x
n
+ y
n

ρ

= M

x
n
+ y
n

ρ
1
+ ρ
2

≤ M


x
n
 + y
n

ρ
1
+ ρ
2

= M

ρ
1
ρ
1
+ ρ
2
x
n

ρ
1
+
ρ
2
ρ
1
+ ρ
2

y
n

ρ
2

≤
ρ
1
ρ
1
+ ρ
2
M

x
n

ρ
1

+
ρ
2
ρ
1
+ ρ
2
M


y
n

ρ
2

.
Suy ra
∞

n=1
M

x
n
+ y
n

ρ

<
ρ
1
ρ
1
+ ρ
2
∞

n=1

M

x
n

ρ
1

+
ρ
2
ρ
1
+ ρ
2
∞

n=1
M

y
n

ρ
2

< ∞.
Tức là x + y ∈ l
M
.

Nếu λ = 0 thì λx = (0, 0, , 0, ) ∈ l
M
. Nếu λ = 0 thì với ρ = |λ|ρ
1
ta có
∞

n=1
M

λx
n

ρ

=
∞

n=1
M

|λ| .x
n

ρ

=
∞

n=1

M

x
n

ρ
1

< ∞.
Suy ra λx ∈ l
M
. Vì vậy l
M
là không gian tuyến tính.
13
2.1.4 Định lý. l
M
(E) là không gian định chuẩn với chuẩn xác định
bởi công thức
x = inf

ρ > 0 :
∞

n=1
M

x
n


ρ

 1

,
với mọi x ∈ l
M
(E).
Chứng minh. Với mỗi x ∈ l
M
(E), thì rõ ràng x = inf

ρ > 0 :

∞
n=1
M

x
n

ρ

 1

 0. Ta cần chỉ ra x = 0 khi và chỉ khi x = 0.
Thật vậy, nếu x = 0, tức là x = (0, , 0, ). Khi đó, M(
x
n


ρ
) = M(
0
ρ
) =
0 với mọi ρ và vì thế
x = inf{ρ > 0} = 0.
Nếu x = 0 thì ta chỉ ra x = 0. Giả sử ngược lại x = 0 nhưng x = 0.
Khi đó, vì x = (x
1
, x
2
, , x
n
, ) = 0 nên tồn tại n
0
sao cho x
n
0
= 0, suy
ra x
n
0
 > 0. Vì M là hàm Orlicz nên lim
t→∞
M(t) = ∞. Do đó, tồn tại
t
0
> 0 sao cho M(t
0

) > 1. Từ giả thiết
x = inf

ρ > 0 :
∞

n=1
M

x
n

ρ

 1

= 0
suy ra tồn tại
ρ
0
∈ {ρ > 0 :
∞

n=1
M

x
n

ρ


 1}
sao cho
x
n
0

ρ
0
> t
0
. Do đó
M(
x
n
0

ρ
0
)  M(t
0
) > 1.
Ta thu được
∞

n=1
M

x
n


ρ
0

 M(
x
n
0

ρ
0
) > 1.
14
Điều này mâu thuẫn với
ρ
0
∈ {ρ > 0 :
∞

n=1
M

x
n

ρ

 1}.
Vì vậy x = 0 thì x = 0. Do đó, x = 0 khi và chỉ khi x = 0.
Để kiểm tra điều kiện tiếp theo của chuẩn ta cần nhận xét sau: Nếu

x = 0 thì
∞

n=1
M

x
n

x

 1. (2.1)
Thật vậy, với mọi ε > 0 tồn tại ρ > 0 sao cho ρ  x + ε và
∞

n=1
M

x
n

ρ

 1.
Do tính không giảm của hàm M ta suy ra
∞

n=1
M


x
n

x + ε


∞

n=1
M

x
n

ρ

 1.
Cho ε → 0 ta nhận được
∞

n=1
M

x
n

x

 1.
Tiếp theo ta chỉ ra λx = |λ|x với mọi x ∈ l

M
(E) và với mọi λ ∈ K.
Trường hợp λ = 0 hoặc x = 0 là hiển nhiên. Nếu λ = 0 và x = 0 thì
λx = inf

ρ

> 0 :
∞

n=1
M

λx
n

ρ


≤ 1

= inf

ρ

> 0 :
∞

n=1
M


|λ| x
n

ρ


≤ 1

.
15
Đặt ρ =
ρ

|λ|
. Khi đó ta có
λx = inf

ρ|λ| :
∞

n=1
M

x
n

ρ

≤ 1


= |λ| inf

ρ :
∞

n=1
M

x
n

ρ

≤ 1

= |λ|x.
Cuối cùng, với x, y ∈ l
M
(E) ta đặt
u = x = inf

ρ :
∞

n=1
M

x
n


ρ

≤ 1

và
v = y = inf

ρ :
∞

n=1
M

y
n

ρ

≤ 1

.
Khi đó
∞

n=1
M

x
n


x

≤ 1 và
∞

n=1
M

y
n

y

≤ 1.
Giả sử t, s ∈ R sao cho s  u và t  v. Khi đó, ta có
∞

n=1
M

x
n

s

≤
∞

n=1

M

x
n

x

 1
và
∞

n=1
M

y
n

t

≤
∞

n=1
M

y
n

y


≤ 1.
Mặt khác ta có
x
n
 + y
n

t + s
=
s
s + t
x
n

s
+
t
s + t
y
n

t
.
Suy ra
16
M

x
n
+ y

n

s + t

≤ M

x
n
 + y
n

s + t


s
s + t
M

x
n

s

+
t
s + t
M

y
n


t

≤
s
s + t
+
t
s + t
= 1.
Do đó
s + t ∈

ρ :
∞

n=1
M

x
n
+ y
n

ρ

≤ 1

.
Vì vậy

x + y = inf

ρ :
∞

n=1
M

x
n
+ y
n

ρ

≤ 1

≤ s + t. (2.2)
Vì (2.2) đúng với mọi s > x và t > y nên ta thu được
x + y ≤ x + y .
Do đó l
M
(E) là không gian định chuẩn.
Để chứng minh tính Banach của l
M
(E) ta cần bổ đề sau.
2.1.5 Bổ đề. Nếu dãy (x
k
) ⊂ l
M

(E), trong đó x
k
= (x
k
1
, , x
k
n
, ), k =
1, 2, hội tụ tới 0 trong l
M
(E) thì lim
k→∞
x
k
n
= 0 trong E với mọi n =
1, 2,
Chứng minh. Giả sử khẳng định không đúng. Khi đó, tồn tại n
0
sao cho
dãy (x
k
n
0
) không hội tụ tới 0 trong E. Vì vậy, tồn tại dãy (k
j
) và r > 0
sao cho x
k

j
n
0
  r. Ta có


x
k
j


= inf

ρ > 0 :
∞

n=1
M

x
k
j
n

ρ

≤ 1

.
17

Suy ra
1 
∞

n=1
M

x
k
j
n



x
k
j



≥M

x
k
j
n
o




x
k
j



≥ M

r


x
k
j



(2.3)
với mọi k
j
. Cho k
j
→ ∞ với để ý rằng x
k
j
 → 0 ta nhận được M

r



x
k
j



→
∞. Mâu thuẫn với (2.3). Ta nhận được điều cần chứng minh.
2.1.6 Định lý. Nếu E là không gian Banach thì l
M
(E) là không gian
Banach.
Chứng minh. Giả sử (x
k
) là dãy Cauchy trong l
M
(E). Ta cần chỉ ra (x
k
)
hội tụ tới x ∈ l
M
(E). Thật vậy, vì (x
k
) là dãy Cauchy nên


x
k
− x
l



= inf

ρ :
∞

n=1
M

x
k
n
− x
l
n

ρ

≤ 1

→ 0 (2.4)
khi k, l → ∞. Theo Bổ đề 2.1.5 thì với mỗi n = 1, 2, ta có
x
k
n
− x
l
n
 → 0

khi k, l → ∞. Do đó, (x
k
n
) là dãy Cauchy trong E với mỗi n = 1, 2, Vì
E đầy đủ nên lim
k→∞
x
k
n
:= x
n
∈ E. Đặt x = (x
1
, , x
n
, ). Với mọi ε > 0,
từ (2.4) tồn tại k
0
sao cho


x
k
− x
l


= inf

ρ :

∞

n=1
M

x
k
n
− x
l
n

ρ

≤ 1

< ε (2.5)
với mọi k, l  k
0
. Trong bất đẳng thức trên cố định k  k
0
cho l → ∞ ta
nhận được


x
k
− x



= inf

ρ :
∞

n=1
M

x
k
n
− x
n

ρ

≤ 1

< ε. (2.6)
Ta nhận được x
k
− x < ε với mọi k > k
0
. Tức là x
k
hội tụ tới x.
18
Tiếp theo ta chỉ ra x ∈ l
M
(E). Từ (2.6) ta có

∞

n=1
M



x
k
0
n
− x
n


ρ

≤ 1 < ∞,
tức là x
k
0
− x ∈ l
M
(E). Do l
M
(E) là không gian tuyến tính nên x =
x
k
0
− (x

k
0
− x) ∈ l
M
(E). Ta nhận được l
M
(E) là không gian Banach.
Ta nhận được hệ quả sau đã được trình bày trong [6].
2.1.7 Hệ quả. l
M
(K) là không gian Banach.
2.1.8 Định lý. Nếu E là không gian định chuẩn thì l
M
(E) là không
gian con của l
∞
(E).
Chứng minh. Do các phép toán trên l
M
(E) được cảm sinh từ l
∞
(E) nên
ta chứng tỏ l
M
(E) ⊂ l
∞
(E). Giả sử l
M
(E)  l
∞

(E). Khi đó tồn tại
x = (x
n
) ∈ l
M
(E) không bị chặn. Ta có thể giả thiết x
n
 > n với mọi
n. Vì x ∈ l
M
(E) nên tồn tại ρ > 0 sao cho

∞
n=1
M

x
n

ρ

< ∞. Suy
ra tồn tại k sao cho M

x
n

ρ

< k với mọi n. Lấy t

0
∈ (0, ∞) sao cho
M(t
0
) = k. Vì lim
n→∞
x
n
 = ∞ nên tồn tại n
0
sao cho
x
n
0

ρ
> t
0
. Kéo
theo
M

x
n
0

ρ

> M(t
0

) = k.
Điều này mâu thuẫn với
M

x
n

ρ

< k
với mọi n. Vậy l
M
(E) ⊂ l
∞
(E).
Ta nhận được hệ quả sau đã trình bày trong [6].
2.1.9 Hệ quả. l
M
(K) là không gian con của l
∞
.
2.1.10 Định lý. Nếu M(t) = t
p
(p  1) thì l
M
(E) = l
p
(E).
19
Chứng minh. Ta chia chứng minh thành 2 bước. Bước 1 ta chỉ ra hai tập

hợp l
M
(E) và l
p
(E) bằng nhau. Bước 2 ta chỉ ra chuẩn xác định trên
chúng trùng nhau.
Lấy x bất kỳ thuộc l
M
. Khi đó

∞
n=1
M

x
n

ρ

< ∞ với ρ nào đó.
Vì M(t) = t
p
nên ta được

∞
n=1

x
n


ρ

p
< K < ∞ với ρ nào đó. Do đó

∞
n=1
x
n

p
< Kρ
p
< ∞. Vậy x ∈ l
p
(E). Tức là l
M
(E) ⊂ l
p
(E). Chiều
ngược lại suy trực tiếp từ định nghĩa.
Bây giờ, ta chỉ ra x = x
p
với mọi x ∈ l
M
(E). Thật vậy, với mọi
x ∈ l
M
(E) ta có
x = inf


ρ > 0 :
∞

n=1
M

x
n

ρ

 1

= inf

ρ > 0 :
∞

n=1
x
n

p
 ρ
p

= inf

ρ > 0 :


∞

n=1
x
n

p

1/p
 ρ

= inf

ρ > 0 : x
p
 ρ} = x
p
.
Ta nhận được hệ quả sau đã trình bày trong [6].
2.1.11 Hệ quả. Nếu M(t) = t
p
(p  1) thì l
M
(K) = l
p
.
2.2. Một số tính chất của không gian con của không gian l
M
(E).

Mục này dành cho nghiên cứu một số tính chất của một không gian
con quan trọng của l
M
(E).
Với mỗi hàm Orlicz M và không gian định chuẩn E ta đặt
h
M
(E) =

x = (x
n
) ⊂ E :
∞

n=1
M

x
n

ρ

< ∞ với mọi ρ > 0

.
20
2.2.1 Định lý. h
M
(E) là không gian con đóng của l
M

(E).
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh h
M
(E) là không gian con của
l
M
(E). Giả sử x, y ∈ h
M
(E) và α ∈ K. Khi đó, nếu α = 0 thì αx =
0 ∈ h
M
(E).
Nếu α = 0 thì từ

∞
n=1
M

x
n

ρ

< ∞ với mọi ρ > 0 ta lấy ρ

=
ρ
|α|
ta có
∞


n=1
M

x
n

ρ

=
∞

n=1
M

αx
n

ρ


< ∞.
Khi đó αx ∈ h
M
(E).
Từ chứng minh trên ta suy ra 2x, 2y ∈ h
M
(E). Do đó

∞

n=1
M

2x
n

ρ

<
∞ và

∞
n=1
M

2y
n

ρ

< ∞ với mọi ρ > 0. Với mọi n = 1, 2, , từ tính
lồi của hàm M ta có
M

x
n
+ y
n

ρ


 M

x
n
 + y
n

ρ

= M

1
2
2x
n

ρ
+
1
2
2y
n

ρ


1
2
M


2x
n

ρ

+
1
2
M

2x
n

ρ

.
Do đó
∞

n=1
M

x
n
+ y
n

ρ



1
2
∞

n=1
M

2x
n

ρ

+
1
2
∞

n=1
M

2y
n

ρ

< ∞.
Vì vậy x + y ∈ h
M
(E).

Tiếp theo ta chứng minh h
M
(E) đóng trong l
M
(E). Giả sử (x
k
) là dãy
trong h
M
(E) và x
k
hội tụ tới x trong l
M
(E). Khi đó, với mọi ε > 0 tồn
tại k
0
sao cho
x
k
− x = inf

ρ > 0 :
∞

n=1
M

x
k
n

− x
n

ρ

 1

<
ε
2
21
với mọi k  k
0
. Vì vậy
∞

n=1
M

x
k
0
n
− x
n

ε
2

 1. (2.7)

Mặt khác, vì x
k
0
∈ h
M
(E) nên
∞

n=1
M

x
k
0
n

ε
2

< ∞. (2.8)
Do tính không giảm và lồi của hàm M ta có
M

x
n

ε

 M


x
k
0
n
− x
n

ε
+
x
k
0
n

ε


1
2
M

x
k
0
n
− x
n

ε
2


+
1
2
M

x
k
0
n

ε
2

(2.9)
với mọi n. Từ (2.7), (2.8) và (2.9) ta nhận được
∞

n=1
M

x
n

ε

< ∞.
Vì ε > 0 tùy ý nên ta có được x = (x
n
) ∈ h

M
(E).
Ta nhận ngay hệ quả sau.
2.2.2 Hệ quả. Nếu E là không gian Banach thì h
M
(E) là không gian
Banach.
2.2.3 Định lý. Nếu M suy biến thì
1) l
M
(E) đẳng cấu với l
∞
(E);
2) h
M
(E) đẳng cấu với C
0
(E).
Chứng minh. 1) Từ Định lý 2.1.8 ta có l
M
(E) ⊂ l
∞
(E). Giả sử M suy
biến. Khi đó, tồn tại t
0
> 0 sao cho M(t
0
) = 0. Từ tính liên tục của M và
22
lim

t→∞
M(t) = ∞ suy ra tồn tại T
0
là giá trị lớn nhất sao cho M(T
0
) = 0.
Với mọi x = (x
n
) ∈ l
∞
(E) ta đặt
k = sup
n1
x
n
 < ∞.
Lấy ρ =
2k
T
0
ta thu được
x
n

ρ
=
T
0
x
n


2k

T
0
2
.
Từ tính chất không giảm của M(t) ta có
0  M

x
n

ρ

 M

T
0
2

= 0
với mọi n. Ta nhận được

∞
n=1
M

x
n


ρ

= 0. Hay x = (x
n
) ∈ l
M
(E). Vì
vậy l
∞
(E) = l
M
(E).
Để chứng minh l
M
(E) đẳng cấu với l
∞
(E) ta còn phải chỉ ra các chuẩn
của chúng là tương đương. Để ý rằng l
∞
(E) xét với chuẩn
x
∞
= sup
n1
x
n
.
Từ chứng minh trên ta có, với ρ =
2k

T
0
thì
∞

n=1
M

x
n

ρ

= 0 < 1
và vì thế
x = inf{ρ > 0 :
∞

n=1
M

x
n

ρ

 1} 
2k
T
0

=
2x
∞
T
0
.
Như vậy,
x
∞

T
0
2
x (2.10)
với mọi x ∈ l
M
(E).
23
Bây giờ, từ
x = inf{ρ > 0 :
∞

n=1
M

x
n

ρ


 1}
suy ra

∞
n=1
M

x
n

x

 1 với mọi x ∈ l
M
(E) và x = 0. Gọi T
1
là số lớn
nhất sao cho M(T
1
) = 1 (T
1
tồn tại do tính liên tục của M, lim
t→∞
M(t) = ∞
và M(0) = 0). Ta có M

x
n

x


 1 với mọi n. Do tính không giảm của
M nên
x
n

x
 T
1
với mọi n. Ta thu được
x
∞
= sup
n1
x
n
  T
1
x (2.11)
với mọi x = 0. Bất đẳng thức rõ ràng vẫn đúng với x = 0. Từ (2.10) và
(2.11) suy ra các chuẩn trên l
∞
(E) và l
M
(E) là tương đương và vì thế
l
M
(E) đẳng cấu với l
∞
(E).

2) Vì C
0
(E) là không gian con đóng của l
∞
(E) và h
M
(E) là không gian
con đóng của l
M
(E), khi M suy biến l
M
(E) đẳng cấu với l
∞
(E) nên để
chứng minh h
M
(E) đẳng cấu với C
0
(E) ta chỉ cần chỉ ra h
M
(E) = C
0
(E)
khi M suy biến.
Giả sử x = (x
n
) ∈ h
M
(E). Khi đó


∞
n=1
M

x
n

ρ

< ∞ với mọi ρ > 0.
Nếu x /∈ C
0
(E) thì x
n
  0 khi n → ∞. Suy ra tồn tại dãy con (x
n
k
)
sao cho x
n
k
  r > 0 với mọi n
k
. Lấy ρ sao cho
x
n
k

ρ


r
ρ
 2T
0
.
Khi đó

∞
n=1
M

x
n

ρ

< ∞. Tuy nhiên, do
x
n
k

ρ
 2T
0
với mọi n
k
nên
suy ra
M


x
n
k

ρ


r
ρ
 M(2T
0
) > 0
24
với mọi n
k
. Do đó lim
n→∞
M

x
n

ρ

= 0. Mâu thuẫn với sự hội tụ của chuỗi

∞
n=1
M


x
n

ρ

. Vì vậy h
M
(E) ⊂ C
0
(E).
Ngược lại, giả sử x = (x
n
) ∈ C
0
(E). Ta chỉ ra x ∈ h
M
(E). Thậy vậy,
với mọi ρ > 0 tùy ý. Khi đó, từ lim
n→∞
x
n
= 0 suy ra tồn tại n
0
sao cho
x
n
 < ρT
0
với mọi n  n
0

. Hay
x
n

ρ
< T
0
với mọi n  n
0
. Vì vậy
M(
x
n

ρ
) = 0 với mọi n  n
0
. Ta thu được
∞

n=1
M

x
n

ρ

=
n

0
−1

k=1
M

x
n

ρ

< ∞.
Vì vậy x = (x
n
) ∈ h
M
(E). Do đó C
0
(E) ⊂ h
M
(E). Từ đó ta có C
0
(E) =
h
M
(E).
2.2.4 Định nghĩa. ([6]) Hàm Orlicz M được gọi là thỏa mãn điều kiện
∆
q
tại 0 nếu lim

t→0
M(qt)
M(t)
< ∞ với q > 0 nào đó.
2.2.5 Bổ đề. ([6]) Hàm Orlicz M thỏa mãn điều kiện ∆
q
tại 0 với
mọi q > 0 khi và chỉ khi thỏa mãn điều kiện ∆
2
tại 0.
Chứng minh. Giả sử M thỏa mãn điều kiện ∆
2
tại 0. Khi đó, với mọi
q > 0 tồn tại n
0
sao cho
q
2
n
0
< 2. Khi đó
M (qt)
M (t)
=
M

2.
qt
2


M

qt
2

.
M

2.
qt
2
2

M

qt
2
2


M

2.
qt
2
n
0

M


qt
2
n
0

.
M

2.
qt
2
n
0

M

qt
2
n
0

<


sup
t≥0

M (2t)
M (t)




n
0
+1
với để ý rằng M

qt
2
n
0

≤ M (2t). Ta thu được
0 ≤ lim
t→0
sup
M (qt)
M (t)
≤

lim
t→0
sup

M (2t)
M (t)

n
0
+1

< ∞.
Vậy M thỏa mãn điều kiện ∆
q
tại 0. Chiều ngược lại là hiển nhiên.
25
Định lý sau đưa ra một điều kiện để h
M
(E) = l
M
(E).
2.2.6 Định lý. Giả sử M là hàm Orlicz không suy biến và E là không
gian định chuẩn. Khi đó, nếu M thỏa mãn điều kiện ∆
2
tại 0 thì
l
M
(E) = h
M
(E).
Chứng minh. Giả sử M thỏa mãn điều kiện ∆
2
tại 0. Khi đó, theo Bổ đề
2.2.5 ta có M thỏa mãn điều kiện ∆
q
với mỗi q > 0. Lấy x ∈ l
M
(E). Khi
đó, tồn tại ρ
0
> 0 sao cho

∞

n=1
M

x
n

ρ
0

< ∞.
Ta thu được lim
n→∞
M

x
n

ρ
0

= 0. Do M không suy biến và liên tục tại 0
nên lim
n→∞

x
n

ρ

0

= 0. Do đó, tồn tại n
0
sao cho
x
n

ρ
0
< 1 với mọi n  n
0
.
Khi đó, với mọi ρ > 0 áp dụng điều kiện ∆
q
với q =
ρ
0
ρ
ta có tồn tại
K > 0 sao cho
M

ρ
0
t
ρ

< KM(t)
với mọi 0 < t  1. Như vậy

M(
x
n

ρ
) = M(
ρ
0
ρ
x
n

ρ
0
)  KM(
x
n

ρ
0
)
với mọi n  n
0
. Ta thu được
∞

n=1
M

x

n

ρ

=
n
0

n=1
M

x
n

ρ

+
∞

n=n
0
+1
M

x
n

ρ

≤

n
0

n=1
M

x
n

ρ

+ K
∞

n=n
0
+1
M

x
n

ρ
0

< ∞.
Như vậy

∞
n=1

M(
x
n

ρ
) < ∞ với mọi ρ > 0, tức là x ∈ h
M
(E). Do đó
l
M
(E) ⊂ h
M
(E). Vì vậy l
M
(E) = h
M
(E).