Về phép tính tựa vi phân trên các không gian p định chuẩn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
- - - - - -  - - - - - -
VÕ TUYẾT XUÂN
VỀ PHÉP TÍNH TỰA VI PHÂN TRÊN CÁC
KHÔNG GIAN P − ĐỊNH CHUẨN
CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH
MÃ SỐ: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. KIỀU PHƯƠNG CHI
Nghệ An - 2014
2
MỤC LỤC
Mục lục 2
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 Mở đầu về không gian p-định chuẩn 5
1.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Không gian p- định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Phép tính tựa vi phân trên không gian p -định chuẩn 26
2.1. Phép tính tựa vi phân trên không gian p-định chuẩn . . . . . 26
2.2. Các định lý giá trị trung bình và ứng dụng . . . . . . . . . . 33
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3
MỞ ĐẦU
Phép tính vi phân trên không gian định chuẩn và rộng hơn là không
gian lồi địa phương là sự mở rộng tự nhiên của phép tính vi phân cổ điển
trên không gian hữu hạn chiều R
n
. Tuy nhiên, việc nghiên cứu các phép
tính vi phân trên không gian định chuẩn hay không gian địa phương về

mặt kỹ thuật là phức tạp hơn nhiều. Chẳng hạn, đơn giả n nhất là các đa
thức trong không gian định chuẩn hay lồi địa phương không thể cho được
tường minh như trong R. Nghiên cứu giải tích thực và phức trong không
gian định chuẩn và không gian lồi địa phương được thực hiện bởi một
số chuyên gia nổi tiếng trong lĩnh vực giải tích hàm như Kothe, Meise,
Vogt, (xem [7]) vào giữa thế kỷ trước. Đối với giải tích thực và phức
trong không gian không lồi địa phương (nhưng bị chặn địa phương) được
thực hiện vào những năm 90 của thế kỷ trước bởi chùm các công trình
của Bayoumi (xem [4], [5], [6]). Không gian bị chặn địa phương là không
gian mêtric tuyến tính, với mêtric được xác định bởi một p-chuẩn, do
đó người ta còn gọi không gian bị chặn địa phương là không gian p-định
chuẩn.
Với mục đích tìm hiểu các kết quả mở đầu về phép tính tựa vi phân
trên không gian bị chặn địa phương (hay không gian p-định chuẩn),
chúng tôi lựa chọn đề tài sau cho luận văn của mình là:
Về phép tính tựa vi phân trên các không gian p−định chuẩn
Nội dung của luận văn nhằm nghiên cứu có hệ thống các khái niệm,
ví dụ và tính chất về không gian p−định chuẩn; toán tử tuyến tính liên
tục trên không gian p-định chuẩn; khái niệm và các tính chất mở đầu
4
của phép tính tựa vi phân trên không gian p-định chuẩn; một số định lý
giá trị trung bình cho hàm tựa khả vi trên không gian p-định chuẩn. Các
nội dung trên được viết thành hai chương
Chương 1: Mở đầu về không gian p-định chuẩn
Chương này nghiên cứu các kết quả căn bản về không gian tuyến tính
p−định chuẩn, không gian p−Banach và toán tử tuyến tính bị chặn giữa
các không gian p-định chuẩn.
Chương 2: Phép tính tựa vi phân trên không gian p-định chuẩn
Chương này nghiên cứu về mở đầu phép tính tựa vi phân trên không
gian p-định chuẩn, một số định lý giá trị trung bình cho hàm tựa khả vi

và ứng dụng.
Luận văn đượ c thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
của thầy giáo, TS. Kiều Phương Chi. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc của mình đến thầy. Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban
chủ nhiệm Phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm Toán học.
Tác giả xin được cảm ơn các thầy, cô giáo trong bộ môn Giải tích, Khoa
Sư phạm Toán học đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt
thời gian học tập. Cuối cùng xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè,
đặc biệt là các bạn trong lớp Cao học 20 Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ
và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi những
hạn chế, thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng
góp của các thầy, cô giáo và bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn.
Nghệ An, tháng 6 năm 2014
Võ Tuyết Xuân
5
CHƯƠNG 1
MỞ ĐẦU VỀ KHÔNG GIAN P -ĐỊNH CHUẨN
Chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần dùng về sau và mở
đầu về không gian tuyến tính p-định chuẩn hay viết gọn là không gian
p-định chuẩn.
1.1. Một số kiến thức chuẩn bị
Mục này nhắc lại một số kết quả về tô pô và giải tích hàm cần dùng
về sau. Các kết quả này có thể tìm thấy trong [1].
1.1.1 Định nghĩa. Không gian véctơ tôpô là một không gian véctơ cùng
với một tôpô trên đó sao cho các phép toán cộng và nhân vô hướng là
liên tục.
Tập co n U trong không gian véctơ X được gọi là cân nếu αU ⊂ U với
mọi α ∈ K và |α| < 1; tập U được gọi là hút nếu với mọi x ∈ X tồn tại
δ > 0 sao cho αx ∈ U với mọi |α| < δ.

Trong không gian véctơ tôpô luôn tồn tại cơ sở lân cận U của 0 gồm
các tập cân, hút và với mọi U ∈ U tồn tại V ∈ U sao cho V + V ⊂ U.
1.1.2 Định nghĩa. Tập con U của không gian véctơ X được gọi là lồi
nếu với mọi x, y ∈ U, với mọi 0  λ  1, thì λx + (1 − λ)y ∈ U.
Không gian véctơ tôpô được gọi là lồi địa phương nếu nó cơ sở lân cận
U của 0 gồm các tập lồi.
1.1.3 Định nghĩa. Tập con U của không gian véctơ tôpô E được gọi là
bị chặn nếu với mọi lân cận V của 0 tồn tại s > 0 sao cho U ⊂ tV với
6
mọi t > s.
Không gian véctơ tôpô được gọi là bị chặn địa phương nếu nó tồn tại
lận cận của 0 là tập bị chặn.
Mỗi không gian bị chặn địa phương luôn có cơ sở đếm được các lân
cận của 0. Mặt khác, nếu không gian véctơ tôpô có cơ sở lân cận của 0 là
đếm được thì nó khả mêtric. Vì vậy, mỗi không gian bị chặn địa phương
là khả mêtric.
1.1.4 Định nghĩa. Không gian véctơ tôpô E được gọi là F -không gian
nếu tồn tại mêtric d bất biến trên E (tức là d(x, y) = d(x + z, y + z) với
mọi x, y, z ∈ E) sao cho (E, d) đầy đủ và mêtric d sinh ra tôpô của E.
Như vậy, mỗi không gian bị chặn địa phương là F -không gian.
1.1.5 Định nghĩa. Mỗi F -không gian và lồi địa phương được gọi là
không gian Frechet
1.1.6 Định nghĩa. Cho E là không gian tuyến tính trên trường R. Hàm
. : E → R được gọi là một chuẩn trên E nếu thoả mãn các điều kiện
sau:
1) x  0, với mọi x ∈ E và x = 0 khi và chỉ khi x = 0;
2) λx = |λ|x, với mọi λ ∈ R và với mọi x ∈ E;
3) x + y  x + y, với mọi x, y ∈ E.
Khi đó (E, .) được gọi là một không gian định chuẩn.
Không gian định chuẩn là không gian mêtric với mêtric sinh bởi chuẩn

d(x, y) = x−y, ∀x, y ∈ E. Không gian định chuẩn E được gọi là không
gian Banach nếu E đầy đủ với mêtric sinh bởi chuẩn. Với tôpô sinh bởi
metric sinh bởi chuẩn các phép toán cộng và nhân vô hướng trên E là liên
tục. Rõ ràng mỗi không gian định chuẩn là một không gian lồi địa phương
và bị chặn địa phương. Bởi vì B
n
= {x ∈ E : x <
1
n
}, n = 1, 2, là
cơ sở lân cận gồm các tập lồi, bị chặn của E. Hơn nữa, người ta chứng
minh được kết quả quan trọng sau:
7
1.1.7 Định lý. Không gian véctơ tôpô là khả định chuẩn khi và chỉ khi
nó lồi địa phương và bị chặn địa phương.
Ví dụ sau cho thấy mỗi không gian bị chặn địa phương có thể không
lồi địa phương.
1.1.8 Ví dụ. ([3]) Xét không gian l
p
= {x = {x
n
} ⊂ R :

∞
n=1
|x
n
|
p
<

+∞} với 0 < p < 1. Khi đó, l
p
là không gian véctơ với các phép toán
cộng và nhân vô hướng theo số hạng tương ứng của dãy. Hơn nữa, l
p
là
F −không gian với mêtric bất biến xác định bởi
d(x, y) =
∞

n=1
|x
n
− y
n
|
p
với mọi x, y ∈ l
p
. Tuy nhiên l
p
không phải là không gian lồi địa phương.
Ví dụ sau lại chứng tỏ mỗi không gian lồi địa phương có thể không bị
chặn địa phương.
1.1.9 Ví dụ. ([3]) Giả sử R
∞
= {x = {x
n
} : x
n

∈ R} là không gian
véctơ các dãy số thực với các phép toán cộng và nhân vô hướng theo số
hạng tương ứng của dãy. Khi đó, R
∞
là F −không gian với khoảng cách
xác định bởi
d(x, y) =
∞

n=1
1
2
n
|x
n
− y
n
|
1 + |x
n
− y
n
|
với mọi x, y ∈ R
∞
. Hơn nữa, R
∞
là không gian lồi địa phương với tôpô
lồi địa phương xác định bởi họ đếm đượ c các nửa chuẩn {p
n

} trên R
∞
như sau
p
n
(x) = |x
n
|
với mọi x ∈ R
∞
. Nói cách khác R
∞
là không gian Frechet.
8
1.2. Không gian p- định chuẩn
Trong mục này chúng tôi trình bày những kết quả cơ sở về không gian
tuyến tính p-định chuẩn hay viết gọn là không gian p-chuẩn. Các kết quả
chính của mục này cơ bản được trích ra từ [4] và đã được chứng minh
chi tiết trong ([3]).
Trong mục này, các không gian véc tơ được xét trên trường K = R, C.
1.2.1 Định nghĩa. Một p−chuẩn trên không g ian véctơ E là ánh xạ
. : E → R
+
thoả mãn các tính chất sau:
i) x = 0 khi và chỉ khi x = 0;
ii) λx = |λ|
p
x, với mọi λ ∈ K, x ∈ E;
iii) x + y  x + y, với mọi x, y ∈ E.
(E, .) được gọi là không gian tuyến tính p-chuẩn, hay viết gọn là không

gian p-chuẩn.
1.2.2 Ví dụ. Xét tập R với cấu trúc tuyến tính thực thông thường. Với
0 < p  1 cố định, xét hàm cho bởi:
x = |x|
p
, ∀x ∈ R.
Khi đó, công thức trên xác định một p-chuẩn trên R.
1.2.3 Định nghĩa. Một tựa chuẩn trên không gian véctơ E trên trường
K là ánh xạ . : E → R
+
thoả mãn các tính chất sau:
i) x = 0 khi và chỉ khi x = 0;
ii) λx = |λ|x, với mọi λ ∈ K, x ∈ E;
iii) x + y  σ(x + y), với mọi x, y ∈ E, trong đó σ  1 là hằng
số độc lập với x, y.
Số σ nhỏ nhất để iii) đúng được gọi là hằng số tựa chuẩn của không gian
(E, .).
1.2.4 Nhận xét. 1) Giả sử (E, .) là không gian tựa chuẩn. Khi đó, họ
B
E
(0, ε) = {x ∈ E : x < ε}, ε > 0 là cơ sở lân cận tại 0. Hơn nữa, E
9
là không gian mêtric tuyến tính, do cơ sở lân cận tại gốc có thể chọn là
đếm được.
2)Nếu . là một p-chuẩn trên E với 0 < p  1 thì .
1
p
xác định một
tựa chuẩn. Hơn nữa, d
p

(x, y) = x − y
1
p
là mêtric sinh ra tôpô tuyến
tính trên E.
3) Người ta còn chứng minh được rằng: nếu E là không gian bị chặn
địa phương thì tồn tại một p-chuẩn . trên E sao cho d
p
(x, y) = x−y
1
p
là mêtric sinh ra tôpô tuyến tính trên E. Do đó, mỗi không gian bị chặn
địa phương hoàn toàn xác định bởi một p-chuẩn nào đó, tức là nó được
xem như một không gian p-định chuẩn.
1.2.5 Định nghĩa. Không gian p−định chuẩn E được gọi là p-Banach
nếu nó đầy đủ với mêtric sinh bởi p-chuẩn.
Như vậy, mỗi không gian p-Banach là F-không gian.
1.2.6 Ví dụ. Không gian bị chặn đia phương l
p
, 0 < p < 1, được xác
định bởi p-chuẩn
x =
∞

n=1
|x
n
|
p
với mọi x ∈ l

p
.
1.2.7 Mệnh đề. Mỗi p-chuẩn là một hàm thực liên tục.
Chứng minh. Giả sử . là một p−chuẩn trên E. Ta chứng minh bất
đẳng thức sau
|x − y|  x − y
với mọi x, y ∈ E.
Thật vậy, với mọi x, y ∈ E
x = x − y + y  x − y + y.
Suy ra
x − y  x − y. (1.1)
10
Mặt khác
y = y−x+x  y −x+x = |−1|
p
x−y+x = x−y+x.
Suy ra
− x − y  x − y. (1.2)
Từ (1.1) và (1.2) suy ra
|x − y|  x − y.
Bất đẳng thức này chứng tỏ p-chuẩn liên tục.
1.2.8 Định nghĩa. Cho E và F lần lượt là các không gian p-chuẩn,
không gian q-chuẩn. ánh xạ A : E → F được gọi là ánh xạ tuyến tính
nếu A(tx + y) = tA(x) + A(y) với mọi x, y ∈ E và với mọi t ∈ K.
Ví dụ sau cho thấy ánh xạ tuyến tính giữa các không gian p-chuẩn có
thể không liên tục.
1.2.9 Ví dụ. Cho E = C(I, K) là không gian p-chuẩn chứa tất cả các
hàm liên tục trên đoạn I = [0, 1] nhận giá trị trong K, xác định bởi
p-chuẩn (0 < p  1)
f

p
= sup
x∈I
|f(x)|
p
.
Cho F là không gian con của E chứa tất cả các hàm f ∈ E sao cho f có
đạo hàm df liên tục trên I.
Xét ánh xạ D : F → E xác định bởi D(f) = df với mọi f ∈ F . Khi
đó, dễ thấy D là ánh xạ tuyến tính. Tuy nhiên, D không liên tục. Thật
vậy, xét dãy {f
n
} ∈ F xác định bởi f
n
(x) =
sin nx
n
, n = 1, 2, với mọi
x ∈ I. Ta có
f
n

1
p
=

sup
x∈I




sin nx
n



p

1
p

1
n
.
Suy ra f
n

p
→ 0 khi n → ∞. Vì vậy {f
n
} hội tụ tới 0 trong F . Tuy
nhiên
Df
n
(x) = df
n
(x) = cos nx,
11
và do đó
Df

n

1
p
=

sup
x∈I


cos nx


p

1
p
= 1
với mọi n. Ta nhận đượ c Df
n
không hội tụ tới 0 trong E. Vậy D không
liên tục.
1.2.10 Định nghĩa. Cho E và F lần lượt các không gian p-chuẩn, không
gian q-chuẩn (0 < p, q  1). ánh xạ tuyến tính A : U ⊂ E → F được gọi
là bị chặn trên U nếu tồn tại C > 0 sao cho
A(x)
1
q
 Cx
1

p
(1.3)
với mọi x ∈ U. Nếu U = E thì ta nói A là ánh xạ tuyến tính bị chặn trên
E.
Bất đẳng thức (2.1), có thể viết lại dưới dạng tương đương
A(x)  C
1
x
q
p
,
trong đó C
1
= C
q
.
Định lý sau đây nói lên sự tương đương của ánh xạ tuyến tính liên tục
và ánh xạ tuyến tính bị chặn trong không gian p-chuẩn.
1.2.11 Định lý. Cho E và F lần lượt các không gian p-chuẩn, không
gian q-chuẩn (0 < p, q  1) và ánh xạ tuyến tính A : E → F . Khi đó,
các mệnh đề sau là tương đương:
(a) A liên tục;
(b) A liên tục tại 0;
(c) Tồn tại M > 0 sao cho A(x)  Mx
q
p
, với mọi x ∈ E;
(d) A biến mỗi tập bị chặn trong E thành tập bị chặn trong F .
Chứng minh. Rõ ràng (a) ⇒ (b) và (c) ⇔ (d). Ta chứng minh (b) ⇒ (c).
Nếu A liên tục tại 0 thì tồn tại r > 0 sao cho B

E
(0, r) có ảnh qua A nằm
trong B
F
(0, 1). Khi đó, với x = 0 thì r
1
p
x
x
1
p
∈ B
E
(0, r) và do đó
A(r
1
p
x
x
1
p
)  1.
12
Suy ra
A(x)  Mx
q
p
,
trong đó M =


1
r

p
q
. Rõ ràng x = 0 bất đẳng thức trên luôn đúng. Vì
vậy (c) được chứng minh.
Cuối cùng ta chỉ cần chứng minh (c) kéo theo (a). Nếu (c) đúng thì
A(x) − A(y)  Mx − y
p
q
với mọi x, y ∈ E. Bất đẳng thức này chứng tỏ A liên tục đều trên E.
1.2.12 Nhận xét. Nếu p = q thì (c) có dạng A(x)  Mx tương tự
như trong không gian định chuẩn.
Cho E và F lần lượt các không gian p-chuẩn, không gian q-chuẩn
(0 < p, q  1) và L(E, F ) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục
từ E vào F . Khi đó, L(E, F ) là không tuyến tính với các phép toán cộng
và nhân vô hướng theo điểm thông thường.
Với mỗi A ∈ L(E, F ), ta đặt
A = inf

M : A(x)  Mx
q
p
với mọi x ∈ E

.
Theo Định lý 1.2.11, A hoàn toàn xác định và
A(x)  Ax
q

p
với mọi x ∈ E.
Bổ đề sau cho ta phương pháp xác định chuẩn của ánh xạ.
1.2.13 Bổ đề. Cho E và F lần lượt là các không gian p-chuẩn, không
gian q-chuẩn (0 < p, q  1). Nếu A ∈ L(E, F ) thì
A = sup
x∈E\{0}
A(x)
x
q
p
= sup
x1,x=0
A(x)
x
q
p
= sup
x=1
A(x).
13
Chứng minh. Từ định nghĩa của A, ta có ngay
A = sup
x∈E\{0}
A(x)
x
q
p
.
Do tính tuyến tính của A và tính chất của q chuẩn ta có

A = sup
x∈E\{0}
A(x)
x
q
p
= sup
x=0
A

x
x
1
p

.
Nếu ta đặt y =
x
x
1
p
với x = 0 thì y = 1. Suy ra
A = sup
x=0
A

x
x
1
p


 = sup
y=1
A(y).
Cuối cùng, từ
sup
x∈E\{0}
A(x)
x
q
p
 sup
x1,x=0
A(x)
x
q
p
 sup
x=1
A(x)
và đẳng thức trên ta nhận được
A = sup
x∈E\{0}
A(x)
x
q
p
= sup
x1,x=0
A(x)

x
q
p
= sup
x=1
A(x).
1.2.14 Định lý. ([4]) L(E, F) là không gian q-chuẩn với chuẩn được xác
định như trong Bổ đề 1.2.13. Đặc biệt, nếu F là không gian q-Banach
thì L(E, F) cũng vậy.
Chứng minh. Với mỗi A ∈ L(E, F ) ta có
tA = sup
x=1
tA(x) = sup
x=1
|t|
q
A(x) = |t|
q
sup
x=1
A(x) = |t|
q
A
với mọi t ∈ K. Hai điều kiện còn lại của q-chuẩn đối với công thức
A = sup
x=1
A(x) được kiểm tra dễ dàng.
Bây giờ, giả sử F là không gian q-Banach và {A
n
} ⊂ L(E, F ) là dãy

Cauchy. Khi đó, với mỗi x ∈ E, ta có
A
m
(x) − A
n
(x) = (A
m
− A
n
)(x)  A
m
− A
n
x
q
p
.
14
Suy ra {A
n
(x)} là dãy Cauchy trong F. Vì F đầy đủ nên {A
n
(x)} hội
tụ tới y ∈ F. Ta xác định ánh xạ A : E → F xác định bởi A(x) =
y = lim
n→∞
A
n
(x). Khi đó, dễ dàng kiểm tra được A là ánh xạ tuyến
tính. Từ {A

n
} là dãy Cauchy suy ra {A
n
} là dãy số bị chặn. Do đó
sup
n1
A
n
 = C < +∞. Ta nhận được
A(x) =  lim
n→∞
A
n
(x)  lim
n→∞
A
n
x
p
q
 sup A
n
x
p
q
= Cx
p
q
.
Vậy A liên tục.

Với mỗi ε > 0, tồn tại N ∈ N sao cho
A
m
− A
n
 < ε
với mọi m, n  N. Khi đó, với mỗi x ∈ E ta có
(A
n
− A)(x) = lim
m→∞
(A
n
− A
m
)(x) < εx
p
q
với mọi n  N. Suy ra A
n
− A < ε với mọi n > N. Do đó {A
n
} hội tụ
tới A trong L(E, F ).
Định lý sau đây trình bày sự mở rộng ánh xạ tuyến tính lên không
gian con đóng.
1.2.15 Định lý. ([4]) Cho E là không gian p-chuẩn, M là không gian
con của E và F là không gian q-Banach. Nếu A : M → F là ánh xạ
tuyến tính liên tục thì tồn tại duy nhất một mở rộng tuyến tính liên tục
A


của A lên bao đóng M của M sao cho
A = A

.
Chứng minh. Dễ dàng chứng minh được bao đóng của M là không gian
con đóng của E. Lấy x ∈ M. Khi đó, tồn tại dãy {x
n
} ∈ M sao cho
lim
n→∞
x
n
= x. Ta có
A(x
n
) − A(x
m
)  Ax
n
− x
m

q
p
.
15
Bởi vì mỗi dãy hội tụ là dãy Cauchy nên x
n
−x

m

q
p
→ 0, khi m, n → ∞.
Suy ra {A(x
n
)} là dãy Cauchy trong F. Vì F Banach nên lim
n→∞
A(x
n
) =
y := A

(x). Khi đó A

(x) xác định (không phụ thuộc vào dãy {x
n
}). Thậ t
vậy, giả sử {u
n
} ⊂ M và lim
n→∞
u
n
= u. Khi đó,
A(x
n
) − A(u
n

)  Ax
n
− u
n

q
p
= Ax
n
− x + x − u
n

q
p
→ 0
khi n → ∞. Vì vậy lim
n→∞
A(x
n
) = lim
n→∞
A(u
n
) = A

(x). Dễ dàng
kiểm tra được A

là ánh xạ tuyến tính và rõ ràng A


= A trên M.
Tiếp theo ta chứng minh A

bị chặn. Bởi vì mỗi q chuẩn là liên tục
nên
A

(x) = lim
n→∞
A(x
n
).
Mặt khác
A(x
n
)  Ax
n

q
p
.
Suy ra
A

(x)  A lim x
n

q
p
= Ax

q
p
với mọi x ∈ M. Do đó A

bị chặn và A

  A. Rõ ràng A

  A.
Do đó A

 = A.
Ta nhận được trực tiếp hệ quả sau.
1.2.16 Hệ quả. Cho E là không gian p-chuẩn, M là không gian con trù
mật trong E và F là không gian con q-Banach. Nếu A : M → F là ánh
xạ tuyến tính liên tục thì tồn tại duy nhất một mở rộng tuyến tính liên
tục A

của A lên E sao cho
A = A

.
Việc mở rộng tuyến tính liên tục từ một không con đóng bất kỳ lên
toàn bộ không gian dường như chưa có câu trả lời đầy đủ. Trường hợp
mở rộng của phiếm hàm tuyến tính được nghiên cứu bởi Bayoumi.
16
1.2.17 Định nghĩa. Cho E là không gian véctơ trên trường vô hướng
K. Hàm thực không âm q trên E được gọi là nửa tuyến tính kiểu σ nếu
nó thoả mãn:
(i) q(x + y)  σ(q(x) + q(y)), ∀x, y ∈ E,

(ii) q(tx) = tq(x), ∀x ∈ E, ∀t  0, trong đó σ  1.
Nếu (ii) thay bởi điều kiện q(tx) = |t|q(x) với các vô hướng t ∈ K thì ta
gọi q là nửa tuyến tính tuyệt đối kiểu σ.
Định lý sau là một dạng của định lý Hahn-Banach.
1.2.18 Định lý. ([4]) Cho E là một véctơ thực, M là không gian con của
E có đối chiều n và q là một hàm thực nửa tuyến tính kiểu σ xác định
trên E. Giả sử f là một phiếm hàm tuyến tính trên M sao cho
f(x)  q(x) với mọi x ∈ M.
Khi đó, tồn tại mở rộng tuyến tính
˜
f xác định trên E sao cho
˜
f(x) = f(x)
với mọi x ∈ M và
˜
f(x)  σ
n
f(x)q(x)
với mọi x ∈ E. Nếu σ = 1 thì ta nhận được định lý Hahn-Banach cổ
điển.
1.2.19 Nhận xét. Nếu σ = 1, tức là q là nửa tuyến tính kiểu 1 thì chúng
thu được dạng cổ điển của định lý Hahn-Banach. Trường hợp này, chứng
minh có thể thực hiện được mà không cần điều kiện M có đối chiều hữu
hạn bằng phương pháp sử dụng bổ đề Zorn.
Sau đây là dạng phức của Định lý 1.2.18. Nó được chứng minh tương
tự như dạng cổ điển quen thuộc và nhờ vào Định lý 1.2.18.
1.2.20 Định lý. Cho E là một véctơ phức, M là không gian con của E
có đối chiều n và q là một hàm thực nửa tuyến tính tuyệt đối kiểu σ, xác
định trên E. Giả sử f là một phiếm hàm tuyến tính trên M sao cho
|f(x)|  q(x) với mọi x ∈ M.

17
Khi đó, tồn tại mở rộng tuyến tính
˜
f xác định trên E sao cho
˜
f(x) = f(x)
với mọi x ∈ M và
|
˜
f(x)|  σ
n
f(x)q(x)
với mọi x ∈ E. Nếu σ = 1 thì ta nhận được định lý Hahn-Banach cổ
điển.
Sau đây, chúng ta giới thiệu một số hệ quả của định lý Hahn-Banach
trong F -không gian bị chặn địa phương.
1.2.21 Hệ quả. ([4]) Cho f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
không gian con đóng M của F -không gian bị chặn địa phương E sao
cho codimM = n. Khi đó, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục
˜
f trên
E thỏa mãn
˜
f = f trên M và
f
M
 
˜
f
E

 σ
n
f
M
.
Nếu σ = 1 thì f = 
˜
f với mọi không gian con đóng M.
Sau đây là một hệ quả khác của định lý Hahn-Banach, nó còn được
gọi là định lý tách trong không gian bị chặn địa phương.
1.2.22 Hệ quả. ([4]) Cho M là không gian con đóng của F -không gian
bị chặn địa phương E sao cho codimM = n và b ∈ E \ M. Khi đó, tồn
tại phiếm hàm
˜
f tuyến tính liên tục trên E thỏa mãn
1  
˜
f
E
 σ
n
,
˜
f = trên M và
˜
f(b) = d
1
p
trong đó d = inf{y − b : y ∈ M}. Đặc biệt,
nếu σ = 1 thì 

˜
f = 1 với mọi không gian con đóng M.
Tiếp theo nghiên cứu về tích các không gian p-định chuẩn và ánh xạ
đa tuyến tính liên tục trên không gian tích.
1.2.23 Mệnh đề. ([3]) Giả sử (E
i
, .
i
) (i = 1, 2, , m) là các không
gian p-định chuẩn và E = E
1
× E
2
× × E
m
. Khi đó, các công thức sau
xác định p-chuẩn trên E:
18
i) (x
1
, , x
n
)
∞
= max
i=1,2, ,m
{x
1

1

, x
2

2
, , x
m

m
}, với mọi
x = (x
1
, , x
m
) ∈ E;
ii) (x
1
, , x
m
) =
1
m
[x
1
+x
2
+ +x
m
], với mọi x = (x
1
, , x

m
) ∈
E.
Hơn nữa, .
∞
và . là tương đương (theo nghĩa sinh ra cùng một tô
pô trên E).
Chứng minh. Ta chứng minh
(x
1
, , x
n
) =
1
m
[x
1

1
+ x
2

2
+ + x
m

m
]
là p-chuẩn trên E. Trường hợp còn lại chứng minh tương tự.
Rõ ràng (x

1
, , x
m
) =
1
m
[x
1

1
+ x
2

2
+ + x
m

m
] với mọi
x ∈ E. (x
1
, , x
m
) =
1
m
[x
1

1

+ x
2

2
+ + x
m

m
] = 0 khi và chỉ
khi x
i

i
= 0 với mọi i = 1, 2, , m. Do các .
i
là p-chuẩn nên x
i
= 0
với mọi i = 1, , m. Do đó, x = 0 khi và chỉ khi x = (0, 0, , 0) = 0.
Cũng vì từ .
i
là p-chuẩn nên λx
i

i
= |λ|
p
x
i


p
với mọi i =
1, 2, , m. Suy ra
λx =
1
m

λx
1
 + + λx
m


= |λ|
p
1
m

x
1
 + + x
m


= |λ|
p
x
với mọi λ ∈ K và x ∈ E.
Cuối cùng, từ
(x

1
, , x
m
)
∞
= max
i=1,2, ,m
{x
1
, x
2
, , x
m
}

1
m
[x
1
 + x
2
 + + x
m
] = (x
1
, , x
n
)
∞
với mọi x = (x

1
, , x
n
) ∈ E và
(x
1
, , x
m
) = max
i=1,2, ,m
{x
1
, x
2
, , x
m
}
 [x
1
 + x
2
 + + x
m
] = m(x
1
, , x
m
)
∞
với mọi x = (x

1
, , x
m
) ∈ E ta dễ dàng suy ra hai chuẩn trên là tương
đương.
19
1.2.24 Định nghĩa. ([4]) Cho E
1
, , E
m
(m  2) và F là các không gian
vectơ trên trường K và ánh xạ A : E
1
× E
2
× × E
n
:→ F. Khi đó, A
được gọi là đa tuyến tính nếu nó tuyến tính theo từng biến, tức là với
mỗi i = 1, 2, , m ánh xạ
x
i
→ A(x
1
, , x
i
, , x
m
)
là tuyến tính.

Định lý sau trình bày đặc trưng của ánh xạ đa tuyến tính liên tục
trong không gian p-định chuẩn
1.2.25 Định lý. ([4]) Giả sử (E
1
, .
1
), , (E
m
, .
m
) là các không gian
p-chuẩn, F là không gian q-chuẩn (0 < p, q  1) và ánh xạ tuyến tính
A : E
1
× × E
m
:→ F là đa tuyến tính. Khi đó, các mệnh đề sau là
tương đương:
(a) A liên tục;
(b) A liên tục tại (0, 0, , 0);
(c) Tồn tại M > 0 sao cho A(x
1
, , x
m
)  Mx
1

q
p
1

x
m

q/p
m
, với
mọi x = (x
1
, , x
n
) ∈ E = E
1
× E
2
× E
m
.
Chứng minh. Hiển nhiên (a) ⇒ (b).
(b) ⇒ (c). Giả sử A liên tục tại (0, , 0). Khi đó, tồn tại r > 0 sao
cho x  r kéo theo A(x)  1. Rõ ràng bất đẳng thức trong (c) sẽ
đúng với x ∈ E và x
i
= 0 với i nào đó. Giả sử x
i
= 0 với mọi i. Đặt
z
i
=
r
1/p

x
i
x
i

1/p
i
. Khi đó, ta có
z = (z
1
, , z
m
) =
1
m
[z
1

1
+ + z
m
] = r.
Do đó
A(z
1
, , z
m
) = (
r
1/p

x
1
x
1

1/p
i
, ,
r
1/p
x
1
x
1

1/p
i
)
=
r
qm/p
x
1

q/p
1
x
m

q/p

m
A(x
1
, , x
n
)  1.
20
Suy ra
A(z
1
, , z
m
)  Mx
1

q/p
1
x
m

q/p
m
,
trong đó M = r
qm/p
.
(c) ⇒ (a). Với mọi a = (a
1
, , a
m

) ∈ E ta có
A(x) − A(a) =A(x
1
− a
1
, x
2
, , x
m
)
+ A(a
1
, x
2
− a
2
, x
3
, , x
m
) + + A(a
1
, , a
m−1
, x
m
− a
m
).
Nếu x − a  1 ta có

A(x) − A(a)  M

x
1
− a
1

q/p
1
x
2

q/p
2
x
m

q/p
m
+ a
1

q/p
1
x
2
− a
2

q

2
/p+
+ a
1

q/p
1
a
2

q/p
x
m
− a
m

q/p


 M
q
K
m−1
x − a
q
với K = a
q
+ 1. Bất đẳng thức này chứng tỏ A liên tục tại a.
1.2.26 Định lý. ([4]) Giả sử (E
1

, .
1
), , (E
m
, .
m
) là các không gian
p-chuẩn, F là không gian q-chuẩn (0 < p, q  1) và ánh xạ tuyến tính
A : E
1
× × E
m
:→ F là đa tuyến tính. Khi đó, A liên tục khi và chỉ
khi f ◦ A liên tục với mọi f ∈ F

.
Chứng minh. Rõ ràng, nếu A liên tục thì f ◦ A liên tục với mọi f ∈ F

.
Ngược lại, f ◦ A không liên tục với mọi f ∈ F

. Khi đó, tồn tại dãy
(a
k
) ∈ E
1
× × E
n
sao cho a
k

 → 0 và A(a
k
) > k với mọi k. Nếu
f ◦ A liên tục với mọi f ∈ F

thì dãy {f(A(a
k
))} bị chặn. Khi đó, theo
mệnh đề (c) trong Định lý 1.2.25 thì {A(a
k
)} bị chặn. Mâu thuẫn với
A(a
k
) > k với mọi k. Vì vậy, A liên tục.
Giả sử (E
1
, .
1
), , (E
m
, .
m
) là các không gian p-chuẩn, F là không
gian q-chuẩn (0 < p, q  1. Ký hiệu L
a
(E
1
, , E
m
; F ), L(E

1
, , E
m
; F )
lần lượt là tập hợp các ánh xạ đa tuyến tính, ánh xạ đa tuyến tính
liên tục từ E
1
× × E
m
vào F với phép c ộng và nhân vô hướng theo
điểm. Đặc biệt, khi E
1
= E
2
= = E
m
thì ta ký hiệu L(E
m
; F ) :=
L(E
1
, , E
m
; F ).
21
Với mỗi A ∈ L(E
1
, , E
m
; F ) ta đặt

A = sup{Ax : x
∞
 1}.
Khi đó, ta có kết quả sau:
1.2.27 Bổ đề. Công thức
A = sup{Ax : x
∞
 1}
với mọi A ∈ L(E
1
, , E
m
; F ) xác định một chuẩn trên L(E
1
, , E
m
; F ).
Hơn nữa, nếu F là q-Banach thì L(E
1
, , E
m
; F ) cũng là q-Banach.
Chứng minh. Với mỗi A ∈ L(E
1
, E
m
; F ) ta có
tA = sup
x1
tA(x) = sup

x1
|t|
q
A(x) = |t|
q
sup
x1
A(x) = |t|
q
A
với mọi t ∈ K, trong đó x = (x
1
, , x
m
) ∈ E
1
× × E
m
. Hai điều kiện
còn lại của q-chuẩn đối với công thức A = sup
x=1
A(x) được kiểm
tra dễ dàng.
Bây giờ, giả sử F là không gian q-Banach và {A
n
} ⊂ L(E
1
, , E
m
; F )

là dãy Cauchy. Khi đó, với mỗi x ∈ E
1
× × E
m
, ta có
A
m
(x) − A
n
(x) = (A
m
− A
n
)(x)  A
m
− A
n
x
q
p
∞
.
Suy ra {A
n
(x)} là dãy Cauchy trong F. Vì F đầy đủ nên {A
n
(x)} hội
tụ tới y ∈ F. Ta xác định ánh xạ A : E → F xác định bởi A(x) =
y = lim
n→∞

A
n
(x). Khi đó, dễ dàng kiểm tra được A là ánh xạ tuyến
tính. Từ {A
n
} là dãy Cauchy suy ra {A
n
} là dãy số bị chặn. Do đó
sup
n1
A
n
 = C < +∞. Ta nhận được
A(x) =  lim
n→∞
A
n
(x)  lim
n→∞
A
n
x
p
q
 sup A
n
x
p
q
= Cx

p
q
.
Vậy A liên tục.
Với mỗi ε > 0, tồn tại N ∈ N sao cho
A
m
− A
n
 < ε
22
với mọi m, n  N. Khi đó, với mỗi x ∈ E ta có
(A
n
− A)(x) = lim
m→∞
(A
n
− A
m
)(x) < εx
p
q
với mọi n  N. Suy ra A
n
− A < ε với mọi n > N. Do đó {A
n
} hội tụ
tới A trong L(E
1

, , E
m
; F ).
1.2.28 Ví dụ. Cho E, F và G là các không gian p-chuẩn. Khi đó, ánh
xạ
φ : L(E; F ) × L(F; G) → L(E; G)
xác định bởi φ(f, g) = g ◦ f là song tuyến tính liên tục. Với f
1
, f
2
∈
L(E; F ), α
1
, α
2
∈ K ta có
g ◦ (α
1
f
1
+ α
2
f
2
) = α
1
g ◦ f
1
◦ +α
2

g ◦ f
2
suy ra φ tuyến tính theo biến thứ hai. Mặt khác g
1
, g
2
∈ L(F ; G), α
1
, α
2
∈
K và với mọi x ∈ E ta có
(α
1
g
1
+ α
2
g
2
) ◦ f(x) = (α
1
g
1
+ α
2
g
2
)(f(x))
= α

1
f ◦ g
1
(x) + α
2
f ◦ g
2
(x)
= α
1
g
1
◦ f(x) + α
2
◦ g
2
◦ f(x)
= (α
1
g
1
◦ f + α
2
◦ g
2
◦ f)(x)
và vì thế
f ◦ (α
1
g

1
+ α
2
g
2
) = (α
1
f ◦ g
1
+ α
2
f ◦ g
2
).
Do đó Φ tuyến tính theo biến thứ nhất. Bây giờ, từ
g ◦ f = sup
x1
g(f(x))  sup
x1
gf(x) = gf
với mọi f ∈ L(E, F ), g ∈ L(F, G). Do đó
φ(f, g)  gf
với mọi (f, g) ∈ L(E; F ) × L(F ; G), và vì vậy φ liên tục.
23
1.2.29 Ví dụ. Trong không gian K
n
xét P
i
: K
n

→ K xác định bởi
P
i
(x) = x
i
với mọi x = (x
1
, , x
n
) ∈ K
n
và i = 1, 2, , n. Với mỗi i, j ∈ {1, , n} xét
ánh xạ
P
i
× P
j
(x, y) = x
i
y
j
với mọi x, y ∈ K
n
. Khi đó P
i
× P
j
là song tuyến tính. Hơn nữa, mọi ánh
xạ song tuyến tính f : K
n

× K
n
→ K luôn có dạng
f(x, y) =

i,j
a
ij
(P
i
× P
j
)(x, y)
với các a
ij
∈ K nào đó, hay nói cách khác {P
i
× P
j
} là cơ sở của không
gian L(K
n
, K).
Định lý sau trình bày định lý phép nhúng tự nhiên.
1.2.30 Định lý. ([4]) Cho E
1
, E
2
là các không gian p-chuẩn, F là không
gian q-chuẩn và ánh xạ φ : L(E

1
, E
2
; F ) → L(E
1
; L(E
2
; F )) xác định bởi
φ(A)(x)(y) = A(x, y)
với mọi A ∈ L(E
1
, E
2
; F ) và x ∈ E
1
, y ∈ E
2
. Khi đó, φ là một đẳng cấu,
đẳng cự.
Chứng minh. Dễ thấy φ là tuyến tính và
φ(A)(x)(y)  A
q
x
q/p
y
q/p
.
Suy ra, với mỗi x ∈ E
1
thì φ(A)(x) ∈ L(E

2
; F ) và φ(A)(x)  A
q
x
q/p
.
Do đó φ(A) ∈ L(E
1
; L(E
2
; F )) và φ(A)  A. Vì vậy φ liên tục và
φ  1.
Mặt khác, xét α : L(E
1
; L(E
2
, F )) → L(E
1
, E
2
; F ) xác định bởi
α(B)(x, y) = B(x)(y)
24
với mọi x, y ∈ E
1
× E
2
và B ∈ L(E
1
; L(E

2
, F )). Khi đó, dễ dàng kiểm
tra được α(B) là song tuyến tính và α là tuyến tính. Từ
α(B)(x, y)  B
q
x
q/p
y
q/p
suy ra α(B) ∈ L(L(E
1
; E
2
); F ) và α(B)  B. Do đó α liên tục và
a  1. Rõ ràng φ và α là các ánh xạ ngược của nhau. Do đó, từ
1 = α ◦ φ  αφ
và a  1 suy ra a = φ = 1, tức là φ bảo toàn chuẩn.
Tổng quát hơn người ta chứng minh được kết quả sau.
1.2.31 Định lý. ([4]) Giả sử E
1
, , E
m
là các không gian p-định chuẩn
và F là không gian q-chuẩn. Khi đó L(E
1
× × E
m
; F ) đẳng cấu, đẳng
cự với L(E
1

; L(E
2
; L(E
3
, , L(E
m
, F ) ))).
1.2.32 Định nghĩa. Cho A là tập con của không gian vectơ E và 0 
p  1 .
1) A được gọi là p-lồi nếu với mọi x, y ∈ A và t ∈ [0, 1] ta có
(1 − t)
1
p
x + t
1
p
y ∈ A
2) A được gọi là p- tuyệt đối lồi nếu với mọi x, y ∈ A ta có
tx + sy ∈ A
với mọi t, s ∈ R và |t|
p
+ |s|
p
= 1.
1.2.33 Nhận xét. Rõ ràng A được gọi là p-lồi nếu với mọi x, y ∈ A ta
có
tx + sy ∈ A
với mọi mọi t, s  0 và t
p
+ s

p
= 1. Nếu p = 1 thì tập p−lồi trở thành
tập lồi theo nghĩa thông thường. Mọi tập p-tuyệt đối lồi là tập p-lồi.
25
1.2.34 Ví dụ. Xét l
p
(0 < p < 1) là không gian p−định chuẩn với p−
chuẩn
x =
∞

n=1
|x
n
|
p
với mọi x = (x
n
) ∈ l
p
. Khi đó, hình cầu B(0, r) = {x ∈ l
p
: x < r} là
tập p−lồi. Thật vậy, với mọi x, y ∈ B(0, r) với mọi s, t  0 và t
p
+ s
p
= 1
ta có
tx+sy−0  tx+sy = |t|

p
x+|s|
p
y < |t|
p
r+|s|
p
r = (t
p
+s
p
)r = r.
Do đó ts + sy ∈ B(0, r). Vậy, B(0, r) là tập p−lồi.
Lưu ý rằng B(0, r) không phải là tập lồi, bởi vì l
p
(0 < p < 1) không
lồi địa phương.