Khảo sát sự suy giảm và thăng giáng trong quang học lượng tử

Trang 1
LỜI CẢM ƠN
Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo PGS.TS.
Nguyễn Huy Công, người thầy đã tận tình hướng dẫn giúp đỡ tôi rất nhiều về
kiến thức cũng như phương pháp nghiên cứu đề tài để tôi thực hiện và hoàn
thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa
Vật lý, Ban chủ nhiệm phòng đào tạo sau Đại học, chủ nhiệm chuyên ngành TS.
Nguyễn Huy Bằng, TS. Nguyễn Văn Phú cùng các thầy cô của trường Đại Học
Vinh đã giúp đỡ, giảng dạy và có nhiều ý kiến đóng góp quý báu cho tác giả
trong quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn cảm ơn Ban giám hiệu và Tập thể các thầy cô
giáo Trường Đại Học Sài Gòn đã giúp đỡ quý báu cho tôi trong quá trình học tập
và thực hiện luận văn.
Cuối cùng xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, những người thân, những
đồng nghiệp và tập thể anh chị em học viên lớp cao học 19 quang học đã dành
tình cảm, động viên giúp đỡ tôi vượt qua những khó khăn để hoàn thành luận
văn.

Sài gòn, tháng 6 năm 2013
Tác giả
Trang 2
MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn
Mở đầu ……………………………………………………………………… 4
Chương 1: Sự suy giảm và thăng giáng của các đại lượng cổ điển……….6
1.1 Khái niệm về sự suy giảm………………………………………………… 6
1.2 Khái niệm về các thăng giáng ngẫu nhiên………………………………….6
1.3 Các hàm tương quan cổ điển …………………………………………… 7
1.3.1 Hàm tương quan……………………………………………………… 7

1.3.2 Hàm tương quan cổ điển……………………………………………… 9
1.4 Chuyển động Brown……………………………………………………… 9
1.4.1 Khái niệm chuyển động Brown……………………………………… 9
1.4.2 Phương trình Langevin……………………………………………… 11
1.4.3 Mẫu Boltzmann – Lorentz……………………………………………16
1.5 Phương trình Fock-Planck cổ điển……………………………………… 19
Kết luận chương 1…………………………………………………………… 23
Chương 2. Sự suy giảm và thăng giáng của các đại lượng lượng tử…… 24
2.1 Khái niệm về các thăng giáng lượng tử……………………………………24
2.1.1 Thăng giáng lượng tử………………………………………………… 24
2.1.2 Các hàm tương quan lượng tử…………………………………………24
2.1.2.1 Hàm tương quan lượng tử của các nhiễu trắng…………………….25
2.1.2.2 Hàm tương quan lượng tử của các nhiễu màu (nhiễu telegraph)… 25
2.2 Dạng lượng tử của Phương trình Langevin và phương trình Fock-Planck 27
2.2.1 Dạng lượng tử của phương trình Langevin ……………………………27
2.2.2 Dạng lượng tử của phương trình Fock-Planck……………………… 31
2.3 Ma trận mật độ và phương trình ma trận mật độ đối với trường được lượng
tử hoá………………………………………………………………………… 33
2.3.1 Ma trận mật độ…………………………………………………………33
Trang 3
2.3.2 Phương trình ma trận mật độ…………………………………………. 34
2.3.3 Phương trình ma trận mật độ đối với trường đã được lượng tử hoá… 36
Kết luận của chương 2………………………………………………………. 42
Kết luận văn………………………………………………………………… 43
Tài liệu tham khảo……………………………………………………………44

Trang 4
MỞ ĐẦU
Như chúng ta đã biết, trong quang lượng tử, sự suy giảm đóng một vai trò rất
quan trọng. Chẳng hạn như trong sự chuyển của nguyên tử từ trạng thái kích

thích về trạng thái có mức năng lượng thấp hơn hay sự phân rã của trường phát
xạ bên trong hộp cộng hưởng với các gương phản xạ không hoàn toàn thì khi đó
các thông số của hệ lượng tử có sự tiến hóa, cụ thể là xuất hiện sự suy giảm do
quá trình tương tác của hệ với môi trường. Sự thay đổi đó được phản ánh trong
các phương trình chuyển động của các thông số của hệ với các thông số xác định
của môi trường.
Vấn đề mà chúng ta đặt ra là khảo sát sự suy giảm của chuyển động của các
phân tử, nguyên tử (hạt vật chất) trong môi trường. Môi trường đó có thể là một
môi trường thuần tuý cổ điển cũng có thể là một môi trường đã được lượng tử
hoá. Trường hợp môi trường được mô tả thuần túy cổ điển, đã có nhiều nghiên
cứu đề cập đến vấn đề suy giảm này. Chẳng hạn như việc nghiên cứu chuyển
động của các hạt vật chất trong chất lỏng (chuyển động Brown).
Khi xét chuyển động của các hạt vật chất, chúng ta quan tâm đến những lực
có tác dụng gây nên sự thay đổi chuyển động của hạt đó. Sự thay đổi này xẩy ra
một cách hết sức ngẫu nhiên cả về hướng cũng như cả về độ lớn. Đối với trường
hợp các hạt chuyển động theo các quy luật cổ điển, tức là chuyển động theo các
quỹ đạo cụ thể, chúng ta đã có nhiều công trình nghiên cứu đề cập đến. Trong lý
thuyết cổ điển, người ta đã thiết lập được các phương trình mô tả quy luật thay
đổi của các thông số cổ điển dưới tác dụng của các lực cổ điển. Tuy nhiên, hiện
tượng suy giảm này xẩy ra như thế nào khi môi trường mà chúng ta khảo sát đã
được lượng tử hóa.
Trong luận văn này, ngoài việc trình bày về lý thuyết suy giảm cổ điển khi
môi trường còn được xem là môi trường cổ điển, tức là chưa được lượng tử hoá,
chúng tôi sẽ đề cập đến sự suy giảm khi có mặt môi trường đã được lượng tử hoá
Trang 5
và tính toán về những sự thay đổi của các thông số đặc trưng cho hệ lượng tử khi
có mặt của các môi trường này.
Đồng thời luận văn tập trung khảo sát ma trận mật độ cũng như phương
trình ma trận mật độ cho trường hợp đại lượng vật lý, cụ thể ở đây là cường độ
trường điện, được xem xét theo quan điểm lượng tử, nghĩa là được biểu diễn

dưới dạng toán tử. Ngoài ra, luận văn đề cập đến việc giải phương trình ma trận
mật độ và tìm ra dạng tường minh của ma trận mật độ ứng với một trạng thái
lượng tử cụ thể của trường điện từ. Được thông qua cấu trúc luận văn gồm 2
chương:
Chương 1 - đề cập đến những vấn đề chung của sự suy giảm và thăng giáng
của các đại lượng cổ điển.
- Khảo sát chuyển động Brown, thiết lập phương trình Langevin đối với
chuyển động brown, mẫu va chạm Boltzmann – Lorentz.
- Khảo sát phương trình Fock – Planck cũng như nghiệm của phương trình
này đối với trường hợp suy giảm của trường điện khi có sự va chạm với các
phần tử của môi trường dẫn.
Chương 2 - của luận văn, chúng tôi đề cập đến sự suy giảm của các đại lượng
đã được lượng tử.
- Trình bày tổng quan về những thăng giáng và các hàm tương quan của các
đại lượng lượng tử.
- Khảo sát các dạng lượng tử của các phương trình Langevin và phương trình
Fock-Planck.
- Trình bày phương pháp giải phương trình ma trận mật độ trong trường hợp
trường được lượng tử hoá.
- Dẫn dắt ra dạng tường minh của ma trận mật độ khi tính toán cho một trạng
thái lượng tử cụ thể của trường.
Trang 6
Chương 1
SỰ SUY GIẢM VÀ THĂNG GIÁNG CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG CỔ ĐIỂN
1.1 Khái niệm về sự suy giảm
Như chúng ta đã biết, khi khảo sát các thông số của một đại lượng vật lý nào
đó, chúng ta phải xét đại lượng đó nằm trong một mối quan hệ nào đó với các
đối tượng xung quanh (tức là đối với một môi trường vật chất nào đó). Không
gian chứa đựng các đối tượng xung quanh đó, thông thường, trong nhiệt động
học, không gian đó được gọi là bể nhiệt; còn lại nói chung, không gian đó chứa

một môi trường vật lý nào đó. Chẳng hạn, đại lượng vật lý đó có thể là một vật
có khối lượng chuyển động trong trường hấp dẫn của quả đất (trường hấp dẫn)
hay đại lượng vật lý đó có thể là một điện tích chuyển động trong trường điện
từ, v.v
Dĩ nhiên khi một đại lượng vật lý nào đó, chuyển động trong một môi trường
vật chất, nó sẽ tương tác với các hạt vật chất của chính môi trường đó. Kết quả
của sự tương tác đó là các thông số của đại lượng đó được thay đổi theo thời
gian. Chẳng hạn do va chạm với các phân tử trong chất lỏng mà một hạt vật chất
chuyển động trong chất lỏng sẽ bị giảm tốc độ. Thậm chí nếu mật độ phân tử của
môi trường khá dầy đặc thì hạt vật chất đó hầu như không thể chuyển động được
nữa. Nghĩa là, các thông số đặc trưng cho chuyển động của hạt vật chất bị suy
giảm. Sự suy giảm đó là nhiều hay ít, phụ thuộc vào chính môi trường đó, tức là
phụ thuộc vào trường vật lý mà trong đó hạt vật chất tồn tại.
1.2 Khái niệm về các thăng giáng ngẫu nhiên
Một trong những vấn đề quan trọng nhất của quang học lượng tử là nghiên
cứu tương tác của hệ lượng tử với trường ánh sáng kích thích. Khảo sát sự tương
tác này, chúng ta tìm được sự thay đổi theo thời gian của các thông số đặc trưng
của hệ lượng tử thông qua việc giải phương trình chuyển động. Phương trình
này, dưới dạng ma trận, được biểu diễn như sau:

)(
)(
tMV
dt
tdV
=
(1.1)
Trang 7
trong đó
V

là một véc tơ Bloch chứa một số thông số của hệ lượng tử.
M
là
một ma trận có các thành phần là các đại lượng như tần số Rabi (
Ω
), độ lệch tần
(
∆
) và các hệ số Einstein
( )
A
đặc trưng cho sự phân rã ngẫu nhiên.
Phương trình này có dạng giống như phương trình Bloch trong cộng hượng
thuận từ nên có tên gọi là phương trình quang học Bloch [1].
Như chúng ta đã biết, trong hệ lượng tử có rất nhiều mức năng lượng. Nếu để ý
đến tất cả các mức năng lượng, chúng ta sẽ vấp phải khó khăn về mặt toán học
và khó có thể giải được một cách giải tích. Để có thể giải được phương trình
quang học Bloch một cách giải tích, chúng ta phải sử dụng điều kiện gần đúng,
đó là xem hệ nguyên tử chỉ là một hệ nguyên tử hai mức.
Với việc sử dụng điều kiện gần đúng hai mức này, chúng ta dễ dàng khảo sát
được ảnh hưởng của các thăng giáng của trường kích thích lên các thông số của
hệ lượng tử một cách định lượng. Những kết quả thu được từ điều kiện gần đúng
này vẫn giúp chúng ta thu được những kết quả thực nghiệm khá phù hợp với
thực nghiệm và cho phép chúng ta giải thích và hiểu thêm được nhiều bản chất
vật lý liên quan đến các sự kiện thực nghiệm đó.
1.3 Các loại hàm tương quan cổ điển
1.3.1 Hàm tương quan
Giả sử x là một biến số ngẫu nhiên. Hàm số f(x) được gọi là một hàm ngẫu
nhiên nếu giá trị của nó không phgụ thuộc đơn giá vào biến số x. Nghĩa là ở một
giá trị của x, hàm f(x) có thể nhận ngẫu nhiên các giá trị khác nhau. Khi đó ta chỉ

có thể nói về xác suất để ở giá trị x cho trước, f(x) có giá trị nằm trong khoảng từ
f(x) đến f(x) + df(x) là bao nhiêu. Nếu đại lượng ngẫu nhiên x là hàm của thời
gian thì khi đó quá trình được mô tả bởi hàm ngẫu nhiên theo thời gian (thông
thường được gọi một cách ngắn gọn là quá trình ngẫu nhiên). Đại lượng quan
trọng nhất, đặc trưng cho một quá trình ngẫu nhiên là hàm tương quan của
đại lượng ngẫu nhiên.
Hàm tương quan K(
τ
) được định nghĩa là giá trị trung bình của tích các hàm
ngẫu nhiên ở hai thời điểm khác nhau t và t
'
(t
'
=t+
τ
) [3]:

∫
+=
∞→
T
T
dttftf
T
K
0
)()(
1
lim)(
ττ

(1.2)
Hay:

>+=< )()()(
ττ
tftfK
(1.3)
Trang 8
ở đây đại lượng
τ
có thể nhận giá trị âm hay dương.
Như vậy hàm tương quan chính là số đo định lượng mối liên kết giữa các giá
trị của hàm ngẫu nhiên ở các thời điểm kế tiếp nhau. Nếu
τ
đủ lớn để các giá trị
của hàm ngẫu nhiên ở thời điểm t và t
τ
+
không phụ thuộc vào nhau thì:

0)()()()()( >=+><>=<+=<
τττ
tftftftfK
(1.4)
Còn khi
0=
τ
thì:

>=< )()0(

2
tfK
(1.5)
Nghĩa là
K
(
τ
) trùng với trung bình của bình phương hàm ngẫu nhiên
)(tf
.
Dạng cụ thể của hàm tương quan phụ thuộc vào tính chất của quá trình ngẫu
nhiên. Ta có thể khai triển hàm ngẫu nhiên
)(tf
qua tích phân Fourier:

∫
∞+
∞−
=
_
)exp()()(
ωωω
dtiftf
(1.6)
Khi đó ta biểu diễn
>< )(
2
tf
dưới dạng:

∫∫
+∞+∞
∞−
=>=<
0
2
)(2)()(
ωωωω
dIdItf
(1.7)
Hàm
)(
ω
I
được gọi là mật độ phổ với các tính chất:

)(
ω
I

0
≥
và
)()(
ωω
−= II
Thay (1.6) vào (1.7) ta được:

[ ]
><+>=<

∫ ∫
+∞
∞−
+∞
∞−
)()()(exp)(
'''2
ωωωωωω
fftiddtf
(1.8)
ở đây
)(
ω
f
là phép biến đổi Fourier ngược của
)(tf

∫
+∞
∞−
−= dttitff )exp()(
2
1
)(
ω
π
ω
(1.9)
Khi đó:

[ ]
><+−>=<
∫ ∫
+∞
∞−
+∞
∞−
)()()(exp
4
1
)()(
'''
2
'
tftftidtdtff
ωω
π
ωω
(1.10)
Thay
τ
+=
′
tt
vào (1.10) và biến đổi ta được:
Trang 9

τωωδττω
π
ωω

dKiff )()()exp(
2
1
)()(
'''
+−>=<
∫
+∞
∞−
(1.11)
Thay (1.11) vào (1.7) và biến đổi ta được:

τωτωτ
π
ddKitf
∫
+∞
∞−
−>=< )()exp(
2
1
)(
2
(1.12)
So sánh (1.12) với (1.7) ta rút ra:

τωτωτ
π
ττωτ
π

ω
ddKidKiI
∫∫
+∞+∞
∞−
−=−=
0
)()exp(
1
)()exp(
2
1
)(
(1.13)
Sử dụng phép chuyển ảnh Laplace,ta có:

ω
ω
iz
zKI
=
= )(Re2)(
(1.14)
Như vậy là khi biết hàm tương quan đặc trưng cho một đại lượng thăng
giáng, chúng ta có thể tính được mật độ phổ của đại lượng đó.
1.3.2 Hàm tương quan cổ điển
Nếu đại lượng chúng ta cần tính hàm tương quan là một đại lượng cổ điển (vĩ
mô) thì chúng ta gọi hàm tương quan của đại lượng đó là hàm tương quan cổ
điển. Chẳng hạn chúng ta cần xác định hàm tương quan của cường độ dòng điện
ở hai thời điểm gần nhau thì đại lượng

( ) ( )
'tItI
được gọi là hàm tương quan cổ
điển.
1.4 Chuyển động Brown
1.4.1 Khái niệm về chuyển động Brown
Trong trường hợp khi hạt chuyển động trong chất lỏng, vận tốc của hạt bị
giảm đi do một lực cản tỷ lệ với vận tốc của hạt. Khi nghiên cứu kỹ lưỡng
chuyển động của hạt như vậy chúng ta thấy rằng hạt đó thực hiện một chuyển
động hỗn loạn. Hiện tượng này lần đầu tiên được quan sát bởi nhà sinh vật học
R. Brown. Vì thế mà nó có tên gọi là chuyển động Brown.[4]
Theo Albert Einstein, nguyên nhân của việc hình thành chuyển động Brown
(chuyển động lộn xộn của một hạt nhỏ xíu trong một chất lỏng) là do nhiều “cú
sút” nhỏ mà hạt phải nhận lấy là hệ quả của chuyển động nhiệt của chất lỏng.
Ban đầu, Einstein và những nhà vật lí khác tin rằng những cú sút này là độc lập
với chuyển động của hạt và được đặc trưng bởi sự nhiễu trắng. Tuy nhiên, vào
Trang 10
giữa thế kỉ 20, các nhà vật lí bắt đầu nhận ra rằng khi mật độ của hạt và của chất
lỏng bằng nhau, thì những cú sút đó không hoàn toàn ngẫu nhiên nữa. Thậy vậy,
người ta dự đoán có những “tương quan bền bỉ” giữa chuyển động của chất lỏng
và hạt. Những tương quan này phát sinh do các hạt chuyển động trong một chất
lỏng sẽ làm cho chất lỏng xung quanh chuyển động, thành ra sẽ ảnh hưởng đến
chuyển động của hạt.

Hình 1.1- Ảnh minh họa một quả cầu nhỏ xíu (ở giữa) được giữ bởi những nhíp quang học và
chịu những cú sút ngẫu nhiên từ chất lỏng xung quanh. (Ảnh: Alain Doyon và Sylvia Jeney)
Thí dụ, một người đang bơi ở một tốc độ không đổi sẽ đẩy một phần nước
xung quanh đi cùng với người đó. Nhưng nếu người đó dừng lại đột ngột, thì
người đó sẽ chịu một lực đẩy về phía trước từ khối nước đang chuyển động. Các
nhà nghiên cứu gọi đây là “bộ nhớ thủy động lực học”, nhưng người ta vẫn khó

quan sát thấy nó vì những hạt nhỏ xíu chịu sự chuyển động Brown.
Trang 11
Trong khuôn khổ chuyển động Brown, thăng giáng nhiễu trắng có nghĩa là hạt
thăng giáng với cường độ (hay năng lượng) như nhau, bất kể tần số các thăng
giáng là khác nhau. Tuy nhiên, các thí nghiệm của Jeney cho thấy những tần số
cao thật sự có độ lớn thăng giáng cao hơn – nghĩa là sự nhiễu không còn trắng
nữa mà đã có màu [2].
Xét hệ gồm hạt và môi trường (thông thường được gọi là bể nhiệt). Bể nhiệt
này gây nên hai hiện tượng:
1. Làm giảm vận tốc chuyển động của hạt;
2. Tạo nên những thăng giáng thống kê (ngẫu nhiên);
Như vậy là bể nhiệt đóng một vai trò quan trọng trong
khi xét đến chuyển động của một hạt nào đó tồn tại trong nó.
1.4.2 Phương trình Langevin
Để đơn giản ta xét chuyển động Brown một chiều. Giả sử hạt có khối lượng
m, ở thời điểm t hạt có vận tốc
( )
tv
. Dưới ảnh hưởng của ngoại lực, hạt có gia
tốc được xác định từ phương trình Newton [5]:

( )
( )
tK
dt
tdv
m =
(1.15)
ở đây,
( )

tK
gồm 2 thành phần:
1. Lực cản, tỷ lệ với vận tốc và ngược chiều với vận tốc:

( ) ( )
tvtF
C 0
γ
−=
; (1.16)
2. Lực tương tác của các hạt khác trong chất lỏng. Ta giả thiết, lực tương tác
này chỉ xuất hiện khi các hat khác va chạm với hạt có khối lượng m ở trên:

( )
( )
( )
1. ±−=
∑
j
jVC
tttF
δϕ
(1.17)
Đại lượng
ϕ
đặc trưng cho độ lớn của lực, còn
( )
1±
chỉ hướng tác động lên hạt
m ở thời điểm t. Ta giả thiết va đập về bên trái và bên phải xảy ra cùng tần số.

Trang 12
Khi đó căn cứ vào tính thống kê, việc lấy trung bình theo các va đập sẽ dẫn đến
kết quả:

( )
0=tF
VC
(1.18)
Tuy nhiên, để đưa được ảnh hưởng của các va đập này vào trong phương trình
diễn tả sự thay đổi trạng thái chuyển động của hạt, chúng ta thay việc lấy trung
bình này bằng việc lấy trung bình của đại lượng bình phương của lực (1.18). Nói
cách khác, chúng ta xét đến đại lượng bậc 2 của lực
( )
tF
VC
, tức là xét đến hàm
tương quan của lực này
( ) ( )
'tFtF
VCVC
. Để cho đơn giản, như ở trên chúng ta đã
đề cập là chúng ta giả thiết nhiễu gây bởi va đập là nhiễu trắng, tức là nhiễu có
cường độ như nhau ở các thời điểm khác nhau:

( ) ( ) ( )
'' ttCtFtF
VCVC
−=
δ
(1.19)

Như vậy hằng số C tỷ lệ với
2
ϕ
tức là tỷ lệ với độ lớn của lực.
Kết quả lực
( )
tK
trong (1.15) chính là tổng hợp của hai lực: lực cản (1.19) và
lực va chạm ngẫu nhiên (1.17). Nghĩa là:

( )
( ) ( )
tFtv
dt
tdv
m
VC
+−=
0
γ
(1.20)
Chia hai vế cho m và đưa vào các ký hiệu:

( )
( )
m
tF
tF
m
VC

== ;
0
γ
γ
(1.21)
Chúng ta có:

( )
( ) ( )
tFtv
dt
tdv
+−=
γ
(1.22)
Phương trình này được gọi là phương trình Langevin.
Sử dụng (1.21), các giá trị trung bình (1.18) và hàm tương quan (1.19) được thay
thế bằng:

( )
0=tF
và
( ) ( ) ( )
'' ttQtFtF −=
δ
(1.23)
Trang 13
ở đây
Q
đặc trưng cho độ lớn của thăng giáng.

Phương trình (1.22) chính là phương trình vi phân bậc nhất, nghiệm của nó có
dạng [2]:

( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( )
tvdFttv
t
γτττγ
−+−−=
∫
exp0exp
0
(1.24)
Trong biểu thức này
( )
0v
chính là vận tốc ban đầu, tức là vận tốc tại thời điểm
0=t
. Ở những thời điểm dài sau đó
( )
∞→t
, số hạng thứ 2 của (1.24) có thể bỏ
qua. Tiếp theo lấy trung bình theo tất cả các va chạm và sử dụng (1.23), ta có:

( )
0=tv
(1.25)
Chính vì thế ta có thể kết luận: vận tốc trung bình bằng 0. Mặt khác theo quan
điểm vi mô, chúng ta thấy rằng, hạt liên tục va chạm, sau mỗi va chạm, hạt có

một vận tốc nào đó theo một hướng nào đó. Sự bằng 0 của vận tốc trung bình
được suy ra từ điều là khi ta lấy vận tốc trung bình, các vận tốc theo chiều dương
và theo chiều âm sẽ làm triệt tiêu lẫn nhau. Trong trường hợp như vậy, như đã
lập luận ở trên, để thu được số đo thực tế của giá trị vận tốc, chúng ta phải thiết
lập biểu thức để trong đó dấu của vận tốc (tức là chiều của vận tốc) không còn ý
nghĩa nữa. Biểu thức đơn giản nhất của loại đó là
( )
tv
2
. Một vấn đề mà chúng
ta quan tâm là giá trị của chính vận tốc tại một thời điểm được bảo toàn trong
thời gian bao lâu? Tức là chúng ta quan tâm đến một đại lượng tổng quát hơn:

( ) ( )
'tvtv
. (1.26)
Đây chính là hàm tương quan của vận tốc [3].
Khi
tt ='
thì chúng ta nhận được số đo vận tốc không phụ thuộc vào dấu, khi
tt ≠'
, chúng ta có hàm tương quan cho phép xác định được giá trị về sự bảo toàn
của vận tốc trong bao lâu.
Để xác định được điều đó, tốt nhất là chúng ta khảo sát trường hợp giới hạn
sau đây:
Trang 14
Khi
t
và
't

khác nhau rất xa, ta có thể xem hạt ở thời điểm
t
không thể “nhớ”
được vận tốc của nó ở thời điểm
't
vì trong khoảng thời gian đó hạt đã thực hiện
vô số lần các va chạm dẫn đến vô số lần thay đổi giá trị của vận tốc.
Trong trường hợp như vậy, vận tốc ở thời điểm
t
và vận tốc ở thời điểm
't
là
hoàn toàn độc lập thống kê. Khi đó theo lý thuyết thống kê, chúng ta có:

( ) ( ) ( ) ( )
'' tvtvtvtv =
(1.27)
Mặt khác, như trên chúng ta đã thấy khi
∞→t
thì theo (1.26),
( )
0=tv
nên
(1.30) sẽ bằng 0 khi
'tt −
lớn. Điều này có nghĩa rằng đối với những khoảng
thời gian lớn, thì giữa các giá trị của đại lượng vật lý ở các thời điểm khác nhau
sẽ chẳng có mối liên hệ (mối tương quan) gì với nhau cả. Tuy nhiên, khi
t
và

't

khác nhau không nhiều thì chúng ta chờ đợi hàm tương quan (1.27) sẽ thay đổi
một cách liên tục khi đi từ
0'=− tt
đến
∞=− 'tt
.
Chúng ta sẽ khảo sát kỹ về sự thay đổi này.
Muốn vậy, sử dụng nghiệm (1.26), chúng ta có hàm tương quan:

( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
( )
∫ ∫
−−−−=
t t
dFtdFttvtv
0
'
0
''''exp.exp'
τττγτττγ
=
( )
[ ]
( ) ( )
∫ ∫

−−+−
t t
ddFFtt
0
'
0
''''exp
ττττττγ
ở đây
( ) ( ) ( )
''
ττδττ
−= QFF
Nhờ hàm Delta, tích phân theo
τ
và
'
τ
có thể thay thế bằng một tích phân đơn.
Với
'tt 
, chúng ta có:

( ) ( ) ( )
[ ]
{ } ( )
[ ]
( )
[ ]
{ }

∫
+−−−−=++−=
t
tttt
Q
dttQtvtv
0
'exp'exp
2
2'exp'
γγ
γ
τγτγ
Xét trường hợp giới hạn
γ
1
'>>+ tt
; đồng thời
γ
1
'<<− tt
thì khi đó biểu thức
trên có dạng đơn giản như sau:

( ) ( ) ( )
[ ]
'exp
2
' tt
Q

tvtv −−=
γ
γ
(1.28)
Trang 15
Biểu diễn qua đồ thị, ta có:

( ) ( )
'tvtv

γ
2/Q


'tt −
Hình 1.2 Đồ thị
biểu diễn vận tốc của hạt chuyển động Brown giảm theo hàm mũ
Như vậy là hàm tương quan của vận tốc của hạt thực hiện chuyển động Brown
giảm theo hàm mũ. Biểu thức (1.28) cho phép ta xác định được độ lớn của giá trị
bình phương trung bình của vận tốc, đồng thời chỉ rõ sự tương quan kết hợp giữa
các vận tốc. Rõ ràng sự tương quan kết hợp của vận tốc suy giảm theo hàm mũ
với hằng số suy giảm là
γ
/1
. Nghĩa là sau thời gian
γ
/1'=− tt
, biên độ của
thăng giáng giảm đi chỉ còn lại ½ giá trị ban đầu.
Từ biểu thức (1.28) thay thấy khi

't t≠
thì:

( )
γ
2/
2
Qtv =
(1.29)
Để tìm hiểu mối liên hệ giữa thăng giáng và sự suy giảm của vận tốc, tức là sự
suy giảm của động năng ứng với chuyển động của hạt, chúng ta nhân (1.29) với
2/m
. Khi đó ta có:

( )
γ
m
Q
tvm
42
1
2
=
(1.30)
Ở đây, vế trái là động năng trung bình của hạt. Ta giả thiết hạt ở trạng thái cân
bằng nhiệt động với môi trường. Khi đó, theo nhiệt động lực học, động năng ứng
với một bậc tự do ở trạng thái bân bằng nhiệt động tương ứng với nhiệt độ T là
Trang 16
kT
2

1
với
k
là hằng số Boltzmann và T là nhiệt độ tuyệt đối Kenvin. Như vậy,
chúng ta có:

( )
kTtvm
2
1
2
1
2
=
(1.31)
So sánh (1.30) và (1.31), chúng ta có:
kT
m
Q
γ
2
=
(1.32)
Đây là biểu thức diễn tả mối liên hệ giữa độ lớn của thăng giáng với hằng số
suy giảm. Chú ý rằng
γ
là số đo sự suy giảm gây nên sự khuếch tán động năng.
Từ công thức (1.18) ta thấy rằng có thể tính được độ lớn của thăng giáng thông
qua sự tiêu tán năng lượng.
1.4.3 Mẫu Boltzmann – Lorentz

Trong công trình nghiên cứu về sự mở rộng vạch phổ do va chạm [6],
Rautian và Sobelman đã trình bày sự phân tích về việc xuất hiện đồng thời của
các hiệu ứng tương tác và sự thay đổi vận tốc thông qua việc lấy gần đúng tuyến
tính phương trình Boltzmann từ lý thuyết động học. Vấn đề cốt lõi của va chạm
trong phương trình Boltzmann được nghiên cứu dựa trên hai mẫu như sau:
- Mẫu va chạm yếu, áp dụng cho trường hợp các phân tử của môi trường phát
xạ (emiter) là nặng hơn so với các phân tử của môi trường (perturber). Khi đó
người ta giả thiết là sự thay đổi vận tốc của phân tử emiter là rất nhỏ sau mỗi va
chạm.
- Mẫu va chạm mạnh, áp dụng cho trường hợp khi phân tử của emiter là nhẹ
hơn nhiều so với phân tử của môi trường (perturber). Khi đó, hiệu ứng va chạm
xẩy ra rất mạnh và vận tốc của phân tử emiter sau va chạm thay đổi (cả về hướng
lẫn độ lớn) không phụ thuộc vào vận tốc trước va chạm.
Trong công trình [7] người ta đã nghiên cứu mẫu Boltzmann – Lorentz (từ
lý thuyết động học) để phân tích sự mở rộng do va chạm. Mẫu này hoàn toàn
tương tự như mẫu va cham mạnh ở trên của Rautian và Sobelman khi áp dụng
cho trường hợp phân tử emiter nhẹ hơn phân tử của perterber.
Trang 17
Trong mẫu Boltzmann – Lorentz (B-L), độ lớn của vận tốc được xem là
không đổi giữa các va chạm, chỉ có hướng của vận tốc là thay đổi sau mỗi va
chạm mà thôi. Ngoài ra, tốc độ mà ở giá trị đó, phân tử phát xạ (emiter) va chạm
được xem như là một biến số động lực, vì thế nó phụ thuộc vào vận tốc tức thời
của phân tử emiter. Tính chất này hoàn toàn khác so với mẫu va chạm mạnh,
trong đó tốc độ liên kết chính là tốc độ được lấy trung bình. Tốc độ trung bình
này chính là nghịch đảo của thời gian tự do trung bình giữa các va chạm.
Hiện tại, mẫu Boltzmann – Lorentz được sử dụng để nghiên cứu các hiệu
ứng tương tác trong sự mở rộng vạch phổ. Trong quang lượng tử, toán tử gây
nên sự mở rộng vạch phổ được gọi tắt là LBO (Line Broadening Operator).
Theo quan điểm thuần tuý toán học, LBO đóng vai trò như là ma trận suy
giảm ngẫu nhiên

∑
[6]. Sự khác nhau ở đây là về phương diện vật lý ở chỗ tính
thống kê không liên quan đến trường ngoài mà là liên quan đến phương trình
động học mô tả va chạm tương ứng. Khi đó, ta có thể xem phương trình đối với
các thông số của nguyên tử hai mức chịu tác dụng của va chạm và được kích
thích bởi ánh sáng được mô tả bởi phương trình quang học Bloch hiệu dụng,
trong đó LBO sẽ đóng vai trò là ma trận suy giảm. Khi đó chúng ta thấy rằng
mẫu ngẫu nhiên của thăng giáng được thể hiện thông qua mẫu xung telegraph
liên quan khá chặt chẽ với các phương trình động học Boltzmann – Lorentz.
Việc mô tả thống kê tính chất của va chạm được giải thích như sau:
Các phân tử emiter ở trong một trạng thái nguyên tử nào đó dịch chuyển với
một vận tốc nào đó trong trường của ánh sáng laser kích thích. Do kết quả của
hiệu ứng Doppler, tần số chuyển mức cộng hưởng của nguyên tử hai mức thay
đổi. Chúng ta giả thiết rằng va chạm giữa các phân tử của emiter và các phân tử
của trường chỉ làm thay đổi hướng của vận tốc còn độ lớn của vận tốc thì vẫn
được giữ nguyên không đổi. Điều này có nghĩa là độ lệch tần giữa tần số chuyển
mứ và tần số của trường kích thích thay đổi là do kết quả của va chạm. Ta có thể
biểu diễn sự thay đổi đó về mặt toán học như sau:

( )
( )
ξϑωω
kvkvvktx
L
+∆=+∆=+∆=+−=∆
0000
cos)(


(1.33)

Tiếp theo, ta giả thiết rằng sau mỗi va chạm, biến số
ξ
thay đổi một cách
ngẫu nhiên. Nếu giả thiết sau mỗi va chạm, vận tốc đổi hướng ngược lại (quay
Trang 18
một góc
0
180
) thì thăng giáng do va chạm
ϑ
coskv
(nhiễu va chạm) được giải
thích như là một nhiễu telegraph [6]. Do sự có mặt của va chạm trong công thức
nên cần phải tính đến sự mở rộng không đồng nhất bằng cách lấy trung bình các
kết quả theo phân bố vận tốc của các nguyên tử trong môi trường.
Như chúng ta đã biết, cách thức đơn giản nhất để mô tả sự phân bố ngẫu
nhiên của môi trường kích thích đó là chúng ta thừa nhận rằng x(t) là một biến
số ngẫu nhiên (Random Telegraph Signal (RTS)).
Bức tranh vật lý của các thăng giáng này hết sức đơn giản. Chúng ta lập
luận như sau:
Nếu
k

là véc tơ sóng của pho ton phát xạ và
v

là vận tốc tức thời của hạt
emitter với sự thừa nhận rằng do kết quả của va chạm thì chỉ có hướng của
v


là
thay đổi một cách ngẫu nhiên. Tại mỗi thời điểm, khi hạt emitter va chạm với
môi trường (khí đệm) thì góc
ϑ
giữa
k

và
v

thay đổi một cách đột ngột từ
π

sang -
π
. Giữa hai va chạm, độ lớn vận tốc của hạt emtter vẫn không thay đổi và
kết quả là chúng ta biểu diễn được RTS dưới dạng sau:

ξ
vktx


=)(
, (1.34)
ở đây
)(
)1(cos
tn
−==
αξ

.
Trong biểu thức này n(t) là số ngẫu nhiên của sự thay đổi dấu do kết quả của
va chạm, tức là số thứ tự của thời gian, ở đó tín hiệu telegraph nhảy bậc do kết
quả của va chạm. Số các va chạm như vậy trong một thời gian hữu hạn được
xác định bởi phân bố Poisson với
( ) ( )
2/tvtn
γ
=
Từ sự khảo sát vi mô, cháng ta có thể liên kết
γ
với tốc độ v mà hạt emitter
có trước khi xẩy ra va chạm kế tiếp. Trong trường hợp như vậy, ta có:

vrnv
p
2
0
)(
πγ
=
, (1.35)
ở đây n
p
là mật độ số hạt của môi trường khí đệm còn r
0
là bán kính hiệu dụng.
Trong bức tranh thống kê này của các va chạm, hiệu ứng của khí đệm được xem
như nhanh tức thời đến mức có thể xem vận tốc của hạt emtter sau va chạm là
hoàn toàµn độc lập đối với vận tốc trước lúc va chạm. Sự phân bố xác suất của

quá trình RTS ngẫu nhiên này có dạng sau [6]:
Trang 19

),()(),()(
),(
tpvtpv
dt
tdp
ξγξγ
ξ
−+−=
(1.36)
Phương trình master RTS này có thể được xem như là một mẫu của phương
trình Boltzmann đã được tuyến tính hoá của lý thuyết động học. Nếu như nguồn
phát xạ là đơn sắc thì chỉ có một giá trị xác định. Còn nếu như nguồn phát xạ chỉ
là một thành tố của một tổ hợp thống kê tồn tại trong sự cân bằng nhiệt động với
môi trường khí đệm chứa trong buồng cộng hưởng ở nhiệt độ T thì vận tốc được
xác định theo hàm phân bố Maxwell-Faraday như sau:

222/3
)2/exp()/2(4)( vTkmvmTkvf
BB
−=
−
ππ
(1.37)
ở đây m là khối lượng của hạt emitter, k
B
là hằng số Boltzmann. Với các giả
thiết đó, động lực học của vật bức xạ được kích thích bởi các va chạm thống kê

dẫn tới phương trình chuyển động ngẫu nhiên.
Như vậy là với mẫu va chạm Boltzmann – Lorentz, chúng ta cũng đã thấy
rằng, va chạm chính là nguyên nhân gây ra sự suy giảm của vận tốc trong quá
trình chuyển động. Đồng thời ảnh hưởng của va chạm lên sự thay đổi theo thời
gian của các thông số đặc trưng cho nguyên tử, với cách lập lập trên, sẽ được
phản ánh trong các thành phần ma trận suy giảm hiệu dụng.
1.5 Phương trình Fokker - Planck cổ điển
Phương trình Langevin (1.18) mô tả quy luật vận động brown và đóng một
vai trò quan trong trong lý thuyết về laser. Quy luật chuyển động brown của hạt
còn được mô tả thông qua phương trình Fokker – Planck.
Phương trình này được thiết lập như sau:
Khi thực hiện một loạt thí nghiệm giống nhau, chúng ta thấy rằng sau mỗi lần
va chạm, hạt có khối lượng thực hiện một chuyển động brown. Tại thời điểm t,
người ta đo được giá trị vận tốc của hạt ở mỗi thí nghiệm. Từ kết quả các thí
nghiệm đó, chúng ta xác định được tập hợp số hạt
( )
dvvf
có vận tốc nằm trong
khoảng giữa
v
và
dvv +
.
ở đây
( )
vf
là hàm mật độ số hạt có vận tốc
v
. Nói một cách chính xác hơn thì
bản thân hàm mật độ số hạt

( )
vf
có ý nghĩa là xác suất tìm thấy hạt có vận tốc
nằm trong khoảng giữa
v
và
dvv +
. Theo quan điểm thống kê, hàm
( )
vf
phải
thoả mãn điều kiện chuẩn hoá:

( )
1=
∫
+∞
∞−
dvvf
(1.38)
Trang 20
Trong vật lý thống kê, người ta đã chỉ ra rằng, hàm phân bố xác suất
( )
vf
liên
quan đến chuyển động brown của hạt, tức là liên quan đến phương trình chuyển
động (1.18). Sự thay đổi theo thời gian của hàm phân bố này được diễn tả bởi
phương trình Fock – Planck như sau:

( )

( ) ( )
vf
v
Q
v
vt
vf






∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
γ
(1.39)
Đại lượng
Q
tương ứng với độ lớn
Q

của thăng giáng trong công thức (1.23), ở
đây được gọi là hệ số khuếch tán.
Xét trường hợp, sự thay đổi theo thời gian của hàm phân bố là chậm, tức là
chúng ta xét nghiệm dừng của (1.39). Khi đó ta có:

( )
( ) ( )
0
2
2
2
=






∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
vf
v
Q
v

vt
vf
γ
(1.40)
Nghiệm của (1.40) có dạng:

( )












−=
2
2
exp v
kT
m
Nvf
d
(1.41)
ở đây
2/1









=
Q
N
π
γ
;
Chúng ta có nhận xết đây chính là hàm phân bố Maxwell – Boltzmann đối
với vận tốc của hạt ở trạng thái cân bằng nhiệt động. Khi vận tốc được thay bằng
đạo hàm của toạ độ suy rộng q theo thời gian thì khi đó, phương trình (1.18)
được thay thế bằng phương trình sau:

( ) ( )
tFqK
dt
dq
+=
(1.42)
Hàm
( )
tF
ký hiệu lực thăng giáng gây nên bởi các hàm tương quan (1.23). Với
những giả thiết như vậy, phương trình Fock – Planck sẽ có dạng sau:

( )
( ) ( )
tqf
q
Q
qK
qt
tqf
,
2
,
2
2






∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
(1.43)
Nghiệm dừng của phương trình này có dạng:

( ) ( )






−=
∫
''
2
exp
0
dqqK
Q
Nqf
q
d
(1.44)
Chúng ta giả thiết rằng Q là một hằng số không phụ thuộc vào toạ độ q và thời
gian t.
Trang 21
Nói chung, rất đáng tiếc là trong trường hợp tổng quát thì phương trình Fokker
– Planck (1.43) không giải được một cách giải tích, ngay cả khi hàm K(q) chỉ
phụ thuộc bậc nhất vào q. Khi đó chúng ta chỉ có thể giải phương trình (1.46)
bằng phương pháp tính.
Xét trường hợp suy giảm của trường điện:
Như chúng ta đã biết, trong quá trình lan truyền trong dây dẫn, trường điện bị
suy giảm. Sự suy giảm này được gây bởi va chạm của các điện tử trong quá trình

lan truyền với các ion và với các nút mạng tinh thể. Sự tiêu tán năng lượng điện
trường phụ thuộc vào độ dẫn điện
σ
.
Phương trình sóng biểu diễn sự lan truyền sóng điện từ trong vật dẫn theo trục
x có dạng:

( )
0,
2
2
2
0
2
2
=






∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂

txE
x
c
tt
ε
σ
(1.45)
Giả sử cường độ trường là hàm tuần hoàn:

( ) ( )
kxtbtxE sin, =
(1.46)
với
( )
tb
đóng vai trò biên độ trường điện thay đổi theo thời gian
Khi đó đặt (1.46) vào (1.45) và thực hiện việc lấy đạo hàm hai lần theo theo x ta
được:

( )
02
2
0
2
2
=







+
∂
∂
+
∂
∂
tb
tt
ωχ
(1.47)
ở đây, chúng ta đã dùng các ký hiệu:

0
2
ε
σ
χ
=
hay
2
o
σ
χ
ε
=
và
kc.
0

=
ω
(1.48)
với
χ
được gọi là hệ số suy giảm (hay còn gọi là hệ số tắt dần và
k
được gọi là
số sóng.
Ta lại biểu diễn nghiệm của (1.47) dưới dạng:

( ) ( ) ( )
tibtb
ω
−=
exp0
(1.49)
Đặt (1.49) vào (1.48) chúng ta lại thu được phương trình đối với tần số
ω
:

02
2
0
3
=+−
ωχωω
i
(1.50)
Nếu giả thiết rằng hệ số suy giảm

χ
là rất nhỏ so với tần số
0
ω
thì ta có thể biểu
diễn tần số
ω
trong (1.50) dưới dạng:

χωω
i+±=
0
(1.51)
Trang 22
Thông thường, chúng ta chỉ lấy nghiệm ứng với dấu + của
0
ω
, ứng với sóng lan
truyền về phía chiều dương của trục x mà không xét trường hợp sóng truyền theo
chiều ngược lại. Khi đó (1.49) được biểu diễn lại thành:

( ) ( ) ( )
ttibtb
χω
−−=
0
exp0
(1.52)
Hay:

( ) ( ) ( )
tiebtb
t
0
exp0
ω
χ
−=
−
(1.53)
Như vậy, sóng điện lan truyền trong dây dẫn với biên độ giảm dần theo hàm mũ
với hệ số tắt dần
χ
.
Đồ thị của nghiệm (1.53) được biểu diễn trên hình dưới đây:
Hình 1.3 Đồ thị biểu diễn sóng điện lan truyền trong dây dẫn với biên độ giảm dần theo
hàm mũ với hệ số tắt dần
χ
.
Tương tự giá trị liên hợp của biên độ trường điện lan truyền trong môi trường
dẫn có dạng:

( ) ( ) ( )
tiebtb
t
0
**
exp0
ω
χ

−
=
(1.54)
Chúng ta sẽ còn trở lại với biểu thức (1.53) và (1.54) ở chương sau, khi chúng
ta xét đến sự lượng tử hoá của trường điện.
Kết luận chương 1
Trang 23
Trong chương này, luận văn đã trình bày khái niệm về sự suy giảm cũng như
giới thiệu về chuyển động Brown, tức là chuyển động hỗn lạn của các phân tử
nguyên tử trong môi trường. Kết quả của sự chuyển động đó và cùng với sự va
chạm của các phân tử, nguyên tử này với các phần tử của môi trường đã gây nên
sự suy giảm của vận tốc chuyển động của các phân tử, nguyên tử trong môi
trường. Đồng thời luận văn dẫn ra phương trình Langevin cũng như phương
trình Fokker – Planck, diễn tử sự thay đổi vận tốc do kết quả của chuyển động
Brown của các phân tử, nguyên tử theo quan điểm cổ điển. Trong phần cuối của
chương 1, luận văn đã đề cập đến phương trình diễn ta sự thay đổi của thông số
đặc trưng cho trường điện khi có mặt sự suy giảm gây bởi chuyển động brown
và đặt câu hỏi về việc liệu trong cơ học lượng tử thì khi biểu thức mô tả trường
điện được biểu diễn dưới dạng toán tử thì nó có thực sự diễn tả đặc trưng cho
một đại lượng vật lý thoả mãn quy luật chung của cơ học lượng tử hay không?
Vấn đề này sẽ được giải quyết trong chương thứ 2 của luận văn.
Chương 2
SỰ SUY GIẢM VÀ THĂNG GIÁNG CỦA CÁC
Trang 24
ĐẠI LƯỢNG LƯỢNG TỬ
2.1 Khái niệm về sự thăng giáng lượng tử
2.1.1 Thăng giáng lượng tử
Thông thường cho đến nay, trong quang học lượng tử, người ta xem các đại
lượng thăng giáng ngẫu nhiên ở trên là các nhiễu. Nếu một sự thăng giáng nào
đó xẩy ra ở một đại lượng lượng tử (ở một thông số lượng tử) thì ta nói đó là một

thăng giáng lượng tử hay đó là một nhiễu lượng tử. Chẳng hạn, trong quang
lượng tử, chúng ta xem véc tơ Bloch quang học chính là các thành phần được
trưng cho xác suất tồn tại hạt ở các mức năng lượng
11
σ
hay
22
σ
cũng như các
thành phần đặc trưng cho các xác suất chuyển mức
12
σ
hay
21
σ
. Khi đó, nếu
chúng ta khảo sát sự thay đổi sự thăng giáng của các thông số này thì các thăng
giáng đó gọi là các thăng giáng lượng tử. Đồng thời nếu chúng ta quan sát sự
thăng giáng của các thông số của trường kích thích khi chúng đã được lượng tử
hoá thì sự thăng giáng của các đại lượng đặc trưng cho trường này cũng chính là
những sự thăng giáng lượng tử.
Hiện nay, trong quang học lượng tử, người ta phân ra hai loại nhiễu lượng tử
đó là loại nhiễu lượng tử trắng và loại nhiễu lượng tử màu (hay còn được gọi là
nhiễu telegraph). Tính chất các loại nhiễu này được phản ánh ở hàm tương quan
của chúng. Bởi vậy trước khi trình bày về ảnh hưởng của các loại nhiễu này,
chúng ta đề cập đến các loại hàm tương quan tương ứng với các loại nhiễu mà
chúng ta sẽ sử dụng sau này [2].
2.1.2 Hàm tương quan lượng tử
Nếu đại lượng chúng ta cần tính hàm tương quan là một đại lượng vi mô
(lượng tử) thì chúng ta gọi hàm tương quan của đại lượng đó là hàm tương quan

lượng tử. Chẳng hạn chúng ta cần xác định hàm tương quan của xác suất chuyển
hạt giữa hai mức của một hệ lượng tử nào đó thì đại lượng
( ) ( )
'
1221
tt
σσ
được gọi
là hàm tương quan lượng tử.
2.1.2.1 Hàm tương quan lượng tử của các nhiễu trắng
Gọi
( )
tx
là một đại lượng thăng giáng ngẫu nhiên (nhiễu ngẫu nhiên).
Nếu
( )
tx
được xem là một nhiễu trắng thì nó phải có trung bình bằng không và
hàm tương quan thoả mãn điều kiện:
Trang 25

)(2)()(
0)(
ttDtxtx
tx
′
−>=
′
<
>=<

δ
(2.1)
Trong đó: D là hệ số khuếch tán (Diffusion Coefficient).
Với hàm tương quan của nhiễu trắng là
)(2)()( ttDtxtx
′
−>=
′
<
δ
ta thấy đồ thị
của nó là một đường thẳng. Nhiễu là một hằng số cộng thêm vào đại lượng mà ta
bổ sung thêm nhiễu đó. Đây là trường hợp đơn giản và không được quan tâm
nhiều, và nó không phản ánh thực tế ảnh hưởng của nhiễu.
Đồ thị hình ảnh của nhiễu trắng được minh hoạ trên hình vẽ dưới đây:

D2

O
'tt −
Hình 2.1 Hình ảnh của nhiễu trắng
2.1.2.2 Hàm tương quan lượng tử của các nhiễu màu (nhiễu telegraph)
Nếu
( )
tx
được xem là một nhiễu telegraph thì nó phải có trung bình bằng
không và hàm tương quan thoả mãn điều kiện:










′
−
−>=
′
<
>=<
c
tt
atxtx
tx
τ
exp)()(
0)(
2
(2.2)
Trong đó: a là biên độ nhiễu ;
c
τ
là thời gian kết hợp của nhiễu, tức là thời gian
khi hai giá trị nhiễu ở hai thời điểm kế tiếp còn có quan hệ với nhau. Như vậy
đại lượng bổ sung là thay đổi ngẫu nhiên lần lượt giữa hai giá trịÞ a và –a.
Với hàm tương quan của loại nhiễu telegraph là:
( ) ( )
( )

c
ttatxtx
τ
/'exp'
2
−=
,
trong trường hợp giới hạn, khi
0→
c
τ
nhưng
Da
c
2
2
→
τ
thì nhiễu này sẽ trở về
nhiễu trắng. Hình ảnh của nhiễu telegraph được minh hoạ trên hình vẽ dưới đây:
x(t)

a
0 t
-a