Cận trên của số các giá trị riêng của toán tử Schrodinger từ tính trong không gian hai chiều

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Tạ Ngọc Trí, người đã định
hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận
văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi
trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Thị Quỳnh Trang
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí, luận
văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Cận trên của số
các giá trị riêng của toán tử Schr¨odinger từ tính trong không
gian hai chiều" được hoàn thành theo quan điểm riêng của cá nhân
tôi.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Thị Quỳnh Trang
Mục lục
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1. Các không gian 7
1.1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2. Không gian L
p

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.4. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2. Các toán tử . . 14
1.2.1. Toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2. Toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3. Phổ của toán tử 20
Chương 2. Toán tử Schr¨odinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1. Một số định nghĩa và tính chất . 24
2.2. Phổ của một số dạng toán tử Schr¨odinger. 30
2.2.1. Toán tử Schr¨odinger dạng H
0
+ V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.2. Toán tử Schr¨odinger dạng −∆ −
λ
|x|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.3. Toán tử Schr¨odinger dạng −
N

j=1
∆
j
+
N

j<k
V
j,k
(x

j
− x
k
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Chương 3. Cận trên của số các giá trị riêng của toán tử
Schr¨odinger từ tính trong không gian hai chiều . . . . . . . . . 45
3.1. Cận của các giá trị riêng từ tính tổng quát. . 45
3.2. Cận của các giá trị riêng trong trường xuyên tâm . . . . . . . . . 48
2
3.3. Chứng minh những kết quả chính: từ trường tổng quát . 52
3.3.1. Chứng minh Định lý 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.2. Chứng minh Định lý 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3.3. Chứng minh Hệ quả 3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4. Bất đẳng thức Hardy . 58
3.5. Chứng minh những kết quả chính: trường xuyên tâm . . . 61
3.5.1. Chứng minh Định lý 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.5.2. Chứng minh Định lý 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.5.3. Chứng minh Mệnh đề 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Toán học chính là ngôn ngữ để miêu tả một cách gọn gàng và logic
các định lý, định luật của vật lý. Toán tử Schr¨odinger chính là một trong
ví dụ điển hình của ngôn ngữ đó. Thật vậy, trong cơ học lượng tử, mỗi
vật chất có thể được mô tả bởi một toán tử tự liên hợp - ma trận đối
xứng xác định trên R
n
hữu hạn chiều. Chẳng hạn −∆ là một toán tử
tự liên hợp trong L

2
(R
n
) khi xác định trên một miền thích hợp (Không
gian Sobolev H
2
). Nó tương ứng với một chất điểm tự do di chuyển
trong không gian. Dùng hàm sóng φ(x, t) ∈ L
2
(R
n
) ta có thể mô tả được
vị trí của chất điểm và xác suất để tìm nó trong miền Ω tại thời điểm
t =

Ω
|φ(x, t)|
2
dx. Dùng phép biến đổi Fourier và phương pháp pha ổn
định ta thu được các đánh giá cần thiết.
Vấn đề được quan tâm là số các giá trị riêng không âm của toán tử
Schr¨odinger từ tính trong không gian hai chiều bị chặn bởi các điện thế
tương ứng, các ước lượng này không còn đúng nếu không có từ trường.
Cận trên tương ứng phụ thuộc vào tính chất của từ trường như thế nào
và sự liên hệ với bất đẳng thức Hardy ra sao. Để làm rõ vấn đề này ta
sẽ đi nghiên cứu về nó.
Với mong muốn hiểu biết sâu về cận trên của số các giá trị riêng của
toán tử Schr¨odinger từ tính trong không gian hai chiều và ứng dụng của
nó cùng với sự giúp đỡ tận tình của người hướng dẫn em đã chọn đề tài:
4

“Cận trên của số các giá trị riêng của toán tử Schrodinger từ
tính trong không gian hai chiều” nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
+ Tìm hiểu về toán tử Schr¨odinger, cận trên của số các giá trị riêng
của toán tử Schr¨odinger từ tính trong không gian hai chiều.
+ Các định lý, ví dụ và kết quả liên quan về toán tử Schr¨odinger từ
tính trong một số trường hợp.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Trình bày các định nghĩa, định lý, các ví dụ cụ thể về toán từ
Schr¨odinger từ tính.
+ Cận trên của số các giá trị riêng của toán tử Schr¨odinger từ tính
trong không gian hai chiều.
+ Nêu các ứng dụng của toán tử Schr¨odinger từ tính trong không
gian hai chiều.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: Toán tử Schr¨odinger từ tính, Cận trên của
số các giá trị riêng của toán tử Schr¨odinger trong không gian hai chiều.
+ Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo liên quan tới toán
tử Schr¨odinger từ tính, cận trên của số các giá trị riêng của toán tử
Schr¨odinger từ tính trong không gian hai chiều.
5
5. Phương pháp nghiên cứu
+ Sử dụng các phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận vấn đề.
+ Sử dụng các kiến thức trong lý thuyết phổ, lý thuyết toán tử, toán
tử tự liên hợp, toán tử trong không gian Hilbert.
6. Dự kiến đóng góp
+ Hệ thống một số dạng của toán tử và kết luận cận trên của số các
giá trị riêng của toán tử Schr¨odinger từ tính trong không gian hai chiều.
+ Nêu được vai trò, áp dụng của toán tử Schr¨odinger trong vật lý.
6

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Các không gian
1.1.1. Không gian Banach
Định nghĩa 1.1. Cho X là một không gian vectơ trên trường số K (R
hoặc C). Một ánh xạ p : X → R được gọi là một chuẩn trên X nếu nó
thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) p(x) ≥ 0 với mọi x ∈ X;
p(x) = 0 ⇔ x = θ (θ là kí hiệu phần tử không trong X);
(ii) p(λx) = |λ|p(x) với mọi số λ ∈ K và mọi x ∈ X;
(iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) với mọi x, y ∈ X.
Số p(x) được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ p(x), thông thường
ta kí hiệu x thay cho p(x).
Không gian vectơ X cùng với chuẩn · trong nó được gọi là một
không gian định chuẩn, kí hiệu (X, ·).
Mệnh đề 1.1. Giả sử X là không gian định chuẩn. Với mọi x, y ∈ X,
đặt
ρ(x, y) = (x − y).
7
Khi đó, ρ là một metric trên X.
Định nghĩa 1.2. Dãy (x
n
) trong không gian định chuẩn X được gọi là
hội tụ đến x
0
∈ X nếu
lim
n→∞
x
n

− x
0
 = 0.
Khi đó, ta kí hiệu
lim
n→∞
x
n
= x
0
hoặc x
n
→ x
0
, khi n → ∞.
Mệnh đề 1.2. Dãy (x
n
) trong không gian định chuẩn X được gọi là
một dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu
lim
m,n→∞
x
m
− x
n
 = 0.
Định nghĩa 1.3. Không gian metric được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy
Cauchy đều hội tụ.
Định nghĩa 1.4. Giả sử không gian định chuẩn X là không gian metric
đầy đủ (với khoảng cách ρ(x, y) = (x − y)). Khi đó X được gọi là một

không gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach.
1.1.2. Không gian L
p
Định nghĩa 1.5. Cho (X, S, µ) là một không gian đo được, nghĩa là X
là một tập và
(i) S là một σ – đại số trong X, nghĩa là S là một họ những tập con
của X sao cho
(a) ∅ ∈ S,
8
(b) A ∈ S ⇒ A
c
∈ S, A
c
là phần bù của A
(c) Nếu A
n
∈ S, ∀n thì
∞

n=1
A
n
∈ S,
(ii) µ là một độ đo xác định trên S, nghĩa là µ : S → [0, ∞) thỏa mãn
(a) µ(∅) = 0,
(b) Nếu (A
n
) là họ đếm được các phần tử rời nhau của S, thì
µ(
∞


n=1
A
n
) =
∞

n=1
µ(A
n
).
Phần tử của S gọi là tập đo được. Đôi khi ta viết |A| thay cho µ(A).
Tập A ∈ S với tính chất µ(A) = 0 gọi là tập có độ đo không. Ta nói
rằng, một tính chất nào đó đúng hầu khắp nơi trên X nếu tính chất đó
đúng khắp nơi trên X ngoại trừ một tập có độ đo không nào đó của X.
Hàm f : X → R gọi là đo được trên A nếu
∀a ∈ R : {x ∈ A : f(x) < a} ∈ S.
Trong trường hợp X = R
n
và S là những tập hợp đo được theo nghĩa
Lebesgue thì ta nói tắt f(x) là hàm đo được. Khi đó tích phân Lebesgue
của hàm f(x) trên tập đo được A được kí hiệu là

A
f(x)dµ(x) hoặc

A
f(x)d(x) hoặc

A

f(x)d
n
(x).
Nếu

A
f(x)d(x) < ∞ thì ta nói f(x) khả tích trên A. Ta luôn quy ước
hai hàm f và g đo được trên X là bằng nhau nếu chúng bằng nhau hầu
khắp nơi trên X, nghĩa là
µ{x ∈ X : f(x) = g(x)} = 0.
9
Định nghĩa 1.6. Cho (X, S, µ) là một không gian đo được. Kí hiệu
L
1
(X, µ) (hoặc L
1
) là không gian các hàm khả tích trên X với
f
L
1
= f
1
=

X
|f|dµ =

|f|.
Cho p ∈ R với 1 < p < ∞, kí hiệu, L
p

là không gian các hàm số f(x)
có lũy thừa bậc p khả tích trên X, nghĩa là |f(x)|
p
∈ L
1
với
f
L
p
= f
p
=


X
|f|
p
dµ

1/p
.
Kí hiệu L
∞
là không gian các hàm đo được trên X sao cho tồn tại
hằng số C để |f(x)| ≤ C hầu khắp nơi trên X với
f
L
∞
= f
p

= inf{C : |f(x)| ≤ C hầu khắp nơi trên X}.
Định nghĩa 1.7. (Không gian L
p
) Cho (X, S, µ) là một không gian đo
được. Họ tất cả các hàm số f(x) có lũy thừa bậc p (1 ≤ p < ∞) của
modun khả tích trên X, tức là sao cho
f
p
=



X
|f(x)|
p
dµ(x)


1/p
< ∞
gọi là không gian L
p
(X, µ).
Khi đó L
p
(X, µ) là tập các lớp tương đương (nghĩa là bằng nhau hầu
khắp nơi). Khi X là một tập đo được Lebesgue trong R
k
, µ là độ đo
Lebesgue thì ta viết L

p
(X). Nếu X = [a, b] ⊂ R
1
, µ là độ đo Lebesgue
thì ta viết L
p
(a, b) hoặc L
p
[a,b]
và nếu X = [0, 1] thì viết đơn giản L
p
.
Định lý 1.1. Các không gian L
p
với chuẩn cho bởi f
L
p
như trong
định nghĩa trên là những không gian Banach.
10
1.1.3. Không gian Sobolev
Cho Ω là một tập mở con của R
n
có biên là ∂Ω.
Định nghĩa 1.8. Cho số nguyên m > 0 và 1 ≤ p ≤ ∞. Không gian
Sobolev được định nghĩa như sau:
W
m,p
(Ω) = {u ∈ L
p

(Ω)|D
α
u ∈ L
p
(Ω), |α| ≤ m}.
W
m,p
là tập hợp tất cả các hàm thuộc L
p
(Ω) có đạo hàm suy rộng đến
m cũng thuộc L
p
(Ω).
Ta có C
∞
c
(Ω) là không gian các hàm khả vi vô hạn với giá compact
trong Ω thì trù mật trong L
p
(Ω), với 1 ≤ p < ∞. Nếu φ ∈ C
∞
c
(Ω) thì
D
α
φ ∈ C
∞
c
(Ω), với mọi đa chỉ số α. Như vậy,
C

∞
c
(Ω) ⊂ W
m,p
(Ω) ⊂ L
p
(Ω), 1 ≤ p ≤ ∞.
W
m,p
(Ω) là một không gian vectơ.
Trên W
m,p
(Ω) ta trang bị một chuẩn ·
m,p,Ω
như sau:
Với 1 ≤ p < ∞, ta định nghĩa
·
m,p,Ω
=




0≤|α|≤≤m
D
α
u
p
L
p

(Ω)



1/p
.
Với p = ∞, ta định nghĩa
u
m,∞,Ω
= max
0≤|α|≤m
D
α
u
L
∞
(Ω)
.
Trường hợp đặc biệt p = 2, ta kí hiệu W
m,2
(Ω) = H
m
(Ω), cho u ∈
H
m
(Ω), khi đó
u
m,Ω
= u
m,2,Ω

.
11
Ta định nghĩa
H
m
(R
n
) =

u ∈ L
2
(R
n
)


(1 + |ξ|
2
)
m/2
ˆu(ξ) ∈ L
2
(R
n
)

với chuẩn
u
2
H

m
(R
n
)
=

R
n
(1 + |ξ|
2
)
m
|ˆu(ξ)|
2
.
1.1.4. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.9. Cho H là một không gian vectơ trên trường số C (gọi
tắt là không gian vectơ phức).
Ánh xạ
H × H → C
(x, y) → x, y
được gọi là một tích vô hướng trên H nếu nó thỏa mãn các điều kiện
sau:
(i) x, x ≥ 0 với mọi x ∈ H;
x, x = 0 ⇔ x = θ ( θ là kí hiệu phần tử không trong H );
(ii) y, x = x, y với mọi x, y ∈ H;
(iii) x + x

, y = x, y + x


, y với mọi x, x

, y ∈ H.
(iv) λx, y = λ x, y với mọi x ∈ H, mọi số λ ∈ C.
Các phần tử x, x

, y gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số x, y gọi
là tích vô hướng của hai nhân tử x và y.
12
Định nghĩa 1.10. Cho H là một không gian vectơ trên trường số C. Ánh
xạ B : H × H → C được gọi là một dạng tuyến tính rưỡi (sesqiulinear
form) nếu B(x
0
, ·) là tuyến tính, B(·, y
0
) là liên hợp tuyến tính:
B(x + y, z + w) = B(x, y) + B(x, w) + B(y, z) + B(y, w),
B(ax, bx) = a
¯
bB(x, y)
với mọi x, y, z, w ∈ H, a, b ∈ C.
Định nghĩa 1.11. Không gian vectơ phức H được trang bị một dạng
tuyến tính rưỡi ·, · thỏa mãn x, x > 0 với mọi x ∈ H \ {0}, được gọi
là không gian có tích vô hướng (0 kí hiệu là phần tử không trong H).
Khi đó, ·, · gọi là tích vô hướng trên H. Không gian có tích vô hướng
còn gọi là không gian tiền Hilbert.
Cho H là không gian tiền Hilbert. Với mỗi x ∈ H, ta đặt x =

x, x. Khi đó, ta có bất đẳng thức (Cauchy–Schwarz):
|(x, y)| ≤ xy, ∀x, y ∈ H.

Từ bất đẳng thức trên ta suy ra kết quả sau:
Mệnh đề 1.3. Mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định
chuẩn, với chuẩn
x =

x, x.
Từ đây về sau, nếu không nói khác đi, ta luôn hiểu không gian tiền
Hilbert là không gian định chuẩn, với chuẩn x =

x, x.
13
Định nghĩa 1.12. Nếu không gian tiền Hilbert H với metric cho bởi
ρ(x, y) = (x, y) là một không gian metric đủ, thì H được gọi là không
gian Hilbert.
Từ đây trở đi, H sẽ luôn hiểu là không gian Hilbert.
1.2. Các toán tử
1.2.1. Toán tử tuyến tính bị chặn
Định nghĩa 1.13. Cho X, Y là các không gian vectơ định chuẩn trên
trường số K, ánh xạ T : X → Y tuyến tính nếu
T (αx + βy) = α(T x) + β(T y)
với mọi x, y ∈ X và α, β ∈ K.
Ta nói rằng ánh xạ tuyến tính T là một toán tử tuyến tính bị chặn
(bounded linear operator) nếu tồn tại hằng số C sao cho
T x
Y
≤ Cx
X
với mọi x ∈ X.
Số T nhỏ nhất được gọi là chuẩn của T, kí hiệu là T  hoặc T 
X,Y

.
Do đó,
T  = sup
x
X
=1
T x
Y
.
Khi X = Y thì T gọi là toán tử trên X. Khi Y = K thì toán tử tuyến
tính T được gọi là phiếm hàm tuyến tính.
14
Mệnh đề 1.4. Cho T là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X
vào không gian định chuẩn Y . Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương:
(i) T bị chặn;
(ii) T liên tục;
(iii) T liên tục tại điểm 0.
Định nghĩa 1.14. Cho hai không gian định chuẩn X và Y . Ta kí hiệu
L(X, Y ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X
vào không gian Y . Xét A, B là hai toán tử thuộc L(X, Y ), khi đó ta đưa
vào L(X, Y ) hai phép toán:
• Tổng của hai toán tử A, B ∈ L(X, Y ) là một toán tử, kí hiệu là
A + B và được xác định bởi biểu thức
(A + B)(x) = Ax + Bx với mọi x ∈ X;
• Tích vô hướng của α ∈ C với toán tử A ∈ L(X, Y ) là một toán tử,
kí hiệu là αA và được xác định bởi biểu thức
(αA)(x) = α(Ax).
Dễ dàng kiểm tra được rằng A + B ∈ L(X, Y ), αA ∈ L(X, Y ) và hai
phép toán trên thỏa mãn các tiên đề của không gian vectơ. Khi đó, tập
L(X, Y ) trở thành một không gian vectơ trên trường C. Trong trường

hợp Y = C thì L(X, C) được gọi là không gian liên hợp của X, kí hiệu
là X
∗
. Nếu Y = X thì L(X, Y ) được kí hiệu gọn lại là L(X).
Chuẩn T trong L(X, Y ) được xác định bởi
15
T  = sup
x=0
T x
Y
x
X
, x ∈ X.
Không gian L(X, Y ) với chuẩn vừa nêu là một không gian định chuẩn.
Từ định nghĩa trên dễ thấy chuẩn của toán tử có các tính chất:
(i) T x ≤ T x với mọi x ∈ X.
(ii) Với mọi ε > 0, tồn tại x
ε
∈ X : T  − ε < T x
ε
.
Mệnh đề 1.5. Nếu Y là đầy đủ thì L(X, Y ) là không gian Banach.
Từ mệnh đề trên suy ra X
∗
luôn là không gian Banach.
Định lý 1.2. ([8]) , Kí hiệu L(H) là tập các toán tử bị chặn trên không
gian Hilbert H. Cho T
n
là một dãy các toán tử bị chặn và giả sử (T
n

x, y)
hội tụ khi n → ∞ với mọi H. Khi đó tồn tại L(H) sao cho T
n
w
−→ T
(hội tụ yếu).
Nếu một dãy các toán tử T
n
trên không gian Hilbert có tính chất T
n
x
hội tụ với mọi x ∈ H, khi đó tồn tại T ∈ L(H) sao cho T
n
s
−→ T (hội tụ
mạnh).
Cho T ∈ L(X, Y ). Tập các vectơ x ∈ X sao cho T x = 0 được gọi là
nhân của T , kí hiệu là Ker(T ) = {x ∈ X|Tx = 0}. Tập các vectơ y ∈ Y
sao cho y = T x với x ∈ X được gọi là miền giá trị của T , kí hiệu là
Ran(T ) = {y = T x|x ∈ X}. Ta có Ker(T ) và Ran(T ) là các không gian
con.
Định nghĩa 1.15. Cho X và Y là hai không gian Banach, T là toán
tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y . Toán tử liên hợp (trong không gian
16
Banach) của T , kí hiệu là T

, là toán tử tuyến tính bị chặn từ Y
∗
tới X
∗

được cho bởi công thức
(T

)(x) = (T x)
với ∀ ∈ Y
∗
, x ∈ X.
Định lý 1.3. ([8]) ,Cho X, Y là hai không gian Banach. Ánh xạ T → T

là một phép đẳng cấu đẳng cự của L(X, Y ) vào L(Y
∗
, X
∗
).
Đặc biệt, T là phép biến đổi tuyến tính bị chặn từ không gian Hilbert
H vào chính nó. Khi đó liên hợp không gian Banach của T là ánh xạ từ
H
∗
tới H
∗
. Cho C : H → H
∗
là ánh xạ ứng với mỗi y ∈ H, là phiếm hàm
tuyến tính bị chặn (y, ·) trong H
∗
. Xét C là một phép đẳng cự tuyến
tính liên hợp và toàn ánh. Chúng ta định nghĩa ánh xạ T
∗
bởi công thức
T

∗
= C
−1
T

C.
Khi đó T
∗
thỏa mãn
(x, Ty) = (Cx)(T y) = (C
−1
T

Cx, y) = (T
∗
x, y).
T
∗
được gọi là liên hợp (trong không gian Hilbert) của T nhưng chúng
ta thường gọi là liên hợp và kí hiệu là T
∗
để phân biệt với T

. Chú ý
rằng ánh xạ T → T
∗
là tuyến tính liên hợp nghĩa là αT → αT
∗
, do C là
tuyến tính liên hợp.

Định lý 1.4. ([8]) ,
(a) T → T
∗
là phép đẳng cấu đẳng cự tuyến tính liên hợp từ L(H) lên
L(H);
17
(b) (T S)
∗
= S
∗
T
∗
;
(c) (T
∗
)
∗
= T ;
(d) Nếu T có toán tử ngược bị chặn T
−1
thì T
∗
có toán tử ngược bị
chặn và (T
∗
)
−1
= (T
−1
)

∗
;
(e) Ánh xạ T → T
∗
luôn liên tục trong tôpô toán tử yếu và đều nhưng
nó chỉ liên tục trong tôpô toán tử mạnh nếu H là hữu hạn chiều;
(f) T
∗
T  = T 
2
.
Định nghĩa 1.16. Toán tử bị chặn T trong không gian Hilbert được
gọi là tự liên hợp nếu T = T
∗
.
Định nghĩa 1.17. Nếu P ∈ L(H) và P
2
= P thì P được gọi là một
phép chiếu. Nếu thêm điều kiện thì P = P
∗
được gọi là phép chiếu trực
giao.
Định nghĩa 1.18. Cho X là không gian Banach, L(X) tà tập các toán
tử bị chặn trên X. Toán tử A ∈ L(X) được gọi là khả nghịch nếu tồn
tại toán tử B ∈ L(X) sao cho AB = BA = 1 (1 là toán tử đơn vị trong
X). Khi đó, toán tử B được gọi là toán tử ngược của A và kí hiệu là
B = A
−1
.
Định lý 1.5. Nếu A ∈ L(X) là một toán tử tuyến tính thỏa mãn

A < 1, thì toán tử 1 − A là khả nghịch.
Định lý 1.6. Nếu toán tử A, B ∈ L(X) là khả nghịch thì tích AB cũng
khả nghịch và
(AB)
−1
= B
−1
A
−1
.
18
Định lý 1.7. Nếu toán tử A ∈ L(X) khả nghịch và toán tử B ∈ L(X)
sao cho
A − B <
1
A
−1

thì toán tử B khả nghịch.
Định nghĩa 1.19. Toán tử T được gọi là compact nếu nó liên tục và
biến mỗi tập bị chặn thành tập compact tương đối, nghĩa là: Nếu M là
tập bị chặn thì T (M) là compact tương đối (T (M) compact).
Định nghĩa 1.20. Toán tử Hilbert–Schmidt T là toán tử trên H thỏa
mãn tính chất
∞

n=1
T e
n


2
< ∞,
với e
1
, , e
n
là một cơ sở trực chuẩn của H.
Toán tử Hilbert-Schmidt không chỉ là toán tử bị chặn mà còn compact.
1.2.2. Toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert
Định nghĩa 1.21. Cho H và K là các không gian Hilbert trên K, kí hiệu
B(H, K) là tập các toán tử bị chặn từ H vào K, toán tử A ∈ B(H, K). Khi
đó tồn tại duy nhất toán tử A
∗
∈ B(H, K) sao cho Ah, k
K
= h, A
∗
k
H
với ∀h ∈ H, k ∈ K.
Toán tử A
∗
được gọi là toán tử tự liên hợp của toán tử A. Trong trường
hợp H = K và A = A
∗
ta nói A là toán tử tự liên hợp.
19
1.3. Phổ của toán tử
Định nghĩa 1.22. Cho X là không gian Banach trên trường số C, L(X)
là tập các toán tử tuyến tính bị chặn trên X, toán tử T ∈ L(X). Phổ

của toán tử T kí hiệu là σ(T ) là tập tất cả các số phức λ sao cho khi đó
T −λ1 không khả nghịch (tức là det(T − λ1) = 0, khi X là không gian
hữu hạn chiều), trong đó 1 là toán tử đơn vị.
Định nghĩa 1.23. Cho T ∈ L(H). Tập hợp giải được của T xác định
bởi
ρ(T ) =

λ ∈ C|(T − λ)
−1
∈ L(H)

(1.1)
Chính xác hơn, số phức λ ∈ ρ(T ) khi và chỉ khi T − λ là song ánh với
toán tử ngược bị chặn. Phần bù của tập giải được gọi là phổ
σ(T ) = C\ρ(T ). (1.2)
của T .
Đặc biệt, khi λ ∈ σ(T ) và nếu T − λ có hạt nhân không tầm thường.
Khi đí một vectơ khác không ψ
0
∈ Ker(T − λ) được gọi là vectơ riêng
và λ được gọi là giá trị riêng tương ứng trong trường hợp đó.
Hàm
R
T
: ρ(T ) → L(H)
λ → (T − λ)
−1
được gọi là giải thức của T tại λ. Ta có công thức sau:
R
T

(λ)
∗
= ((T − λ)
−1
)
∗
= ((T − λ)
∗
)
−1
= (T
∗
− λ
∗
)
−1
= R
A
∗
(λ
∗
).
20
Đặc biệt,
ρ(T
∗
) = ρ(T )
∗
.
Định nghĩa 1.24. Cho T ∈ L(X).

(a) x = 0, x ∈ Xthỏa mãn T x = λx với λ ∈ C được gọi là vectơ riêng
của T , λ tương ứng được gọi là giá trị riêng. Nếu λ là một giá trị
riêng thì T − λ1 không là đơn ánh do đó λ thuộc phổ của T . Tập
các giá trị riêng được gọi là phổ điểm của T , kí hiệu là σ
p
(T );
(b) Nếu Ker(T − λ1) = 0 và nếu Ran(T − λ1) không là giá trị riêng
và nếu Ran(T − λ1) không trù mật thì λ thì được gọi là phổ dư ;
(c) Phổ rời rạc , kí hiệu σ
d
(T ) là tập các giá trị riêng bị cô lập với số
bội hữu hạn. Khi T là toán tử liên hợp thì
σ
d
(T ) =

λ ∈ σ
p
(T )|rank(P
T
(λ − ε, λ + ε)) < ∞ với mỗi ε > 0

;
(d) Phổ thiết yếu σ
ess
(T ) = σ(T )\σ
d
(T ), khi T là toán tử tự liên hợp
thì
σ

ess
(T ) =

λ ∈ R|rank(P
T
(λ − ε, λ + ε)) = ∞ với mỗi ε > 0

.
Định lý 1.8. ([9]) Tập giải được ρ(T ) là tập mở và R
T
: ρ(T ) → L(H)
là hàm giải tích, nghĩa là có khai triển chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt đối
quanh điểm λ
0
∈ ρ(T ). Thêm vào đó
R
T
(λ) ≥ dist(λ, σ(T ))
−1
.
Nếu T bị chặn thì ta có {λ ∈ C||λ| > T } ⊆ ρ(T).
21
Bổ đề 1.1. ([9]) Ta có λ ∈ σ(T ) nếu tồn tại dãy ψ
n
∈ D(T ) thỏa mãn
(T − λψ
n
) → 0. Nếu λ là điểm biên của ρ(T ) thì điều ngược lại vẫn
đúng. Dãy có tính chất như trên được gọi là dãy Weyl.
Bổ đề 1.2. ([9]) Giả sử T là đơn ánh. Khi đó

σ(T
−1
)\{0} = (σ(A)\{0})
−1
.
Ngoài ra ta có T ψ = λψ khi và chỉ khi T
−1
ψ = λ
−1
ψ, λ = 0.
Định lý 1.9. ([9]) Cho T là toán tử đối xứng. Khi đó T là toán tử tự
liên hợp khi và chỉ khi σ(T ) ⊆ R và (T − X) ≥ 0, X ∈ R khi và chỉ
khi σ(T ) ⊆ [X, ∞]. Hơn nữa R
T
(λ) ≤ |Im(λ)|
−1
nếu (T − E)  0;
R
T
(λ) ≤ |λ − X|
−1
nếu λ < X.
Định lý 1.10. ([9]) Cho T là toán tử tự liên hợp. Khi đó
inf σ(T ) = inf
ψ∈D(T ),ψ=1
ψ, T ψ
và
sup σ(T ) = sup
ψ∈D(T ),ψ=1
ψ, T ψ.

Định lý 1.11. ([9]) Cho T là toán tử đối xứng. Khi đó tất cả các giá
trị riêng là thực và các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng trực
giao.
Định lý 1.12. ([9]) Giả sử T là toán tử đối xứng có cơ sở trực chuẩn
của các hàm riêng {ϕ
j
}. Khi đó T là toán tử tự liên hợp thiết yếu. Đặc
biệt, nó tự liên hợp thiết yếu trên span(ϕ).
22
Chương 2
Toán tử Schr¨odinger
Nhiều tác giả đã nghiên cứu toán tử Schr¨odinger dưới những khía
cạnh khác nhau. Trong chương này, chúng tôi xin đề cập đến ba dạng
toán tử Schr¨odinger đó là
H = H
0
+ V
H = −∆ −
λ
|x|
, D(H
(1)
) = H
2
(R
3
)
H = −
N


j=1
∆
j
+
N

j<k
V
j,k
(x
j
− x
k
)
đồng thời cũng đưa ra một số kết quả về phổ của chúng.
Để thuận lợi cho việc trình bày những kiến thức ở trên, chúng tôi
xét một số định nghĩa và tính chất về phép biển đổi Fourier và toán tử
Schr¨odinger tự do thông qua toán tử Laplace ∆ =
n

j=1
∂
2
∂x
2
j
. Trong phần
này thông qua các định lý và bổ đề để đưa ra một số kết quả liên quan
tới phổ của toán tử Schr¨odinger tự do. Đặc biệt, Định lý 2.2 nói rằng
toán tử Schr¨odinger tự do tự liên hợp và σ(H

0
) = [0, ∞). Những nội
dung trình bày trong chương này chủ yếu lấy từ [9].
23
2.1. Một số định nghĩa và tính chất
Cho C
∞
(R
n
) là tập tất cả các hàm số giá trị phức có đạo hàm riêng
bậc bất kì. Với f ∈ C
∞
(R
n
) và α ∈ N
n
0
ta đặt
∂
α
f =
∂
|α|
f
∂x
α
1
1
· · ·∂x
α

n
n
, x
α
= x
α
1
1
· · ·x
α
n
n
, |α| = α
1
+ · ··+ α
n
.
Một phần tử α ∈ N
n
0
được gọi là một đa chỉ số và |α| là bậc của nó. Ta
nhắc lại rằng không gian Schwartz
S(R
n
) =

f ∈ C
∞
(R
n

)|sup
x
|x
α
(∂
β
f)(x)| < ∞, α, β ∈ N
n
0

trù mật trong L
2
(R
n
) (do C
∞
c
(R
n
) ⊂ S(R
n
)). Chú ý rằng nếu f ∈ S(R
n
)
thì cũng đúng với x
α
f(x) và (∂
α
f)(x) với mỗi đa chỉ số α. Với mỗi
f ∈ S(R

n
) ta định nghĩa
F(f)(p) ≡
ˆ
f(p) =
1
(2π)
n/2

R
n
e
−ipx
f(x)d
n
x (2.1)
là phép biến đổi Fourier của hàm f.
Bổ đề 2.1. ([9]) Phép biến đổi Fourier ánh xạ không gian Schwartz vào
chính nó, F : S(R
n
) → S(R
n
). Hơn nữa, với mỗi đa chỉ số α ∈ N
n
0
và
mỗi f ∈ S(R
n
) ta có
(∂

α
f)
∧
(p) = (ip)
α
ˆ
f(p), (x
α
f(x))
∧
(p) = i
|α|
∂
α
ˆ
f(p). (2.2)
24