Độ trơn của nghiệm phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số hằng

Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Hà Tiến Ngoạn.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS. TS Hà Tiến
Ngoạn. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình
làm luận văn đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp
cận một vấn đề mới.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban Giám hiệu trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy
chuyên ngành Toán Giải tích, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ,
động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tác giả
học tập và hoàn thành bản luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Mạnh Linh
Lời cam đoan
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của PGS. TS Hà Tiến Ngoạn.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Mạnh Linh
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Định lý đồ thị đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính . . . 8
1.2.1. Toán tử vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2. Công thức tích phân từng phần. . . . . . . . . . . . 9
1.2.3. Khái niệm nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng 9

1.2.4. Điều kiện cần để tồn tại nghiệm yếu . . . . . . . . 10
1.2.5. Điều kiện đủ để tồn tại nghiệm yếu. . . . . . . . . 11
1.3. Toán tử làm trơn Friedrichs . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4. Không gian Sobolev H
s
(R
n
) . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1. Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.2. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Chương 2. Độ trơn nghiệm yếu của phương trình với hệ số
hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1. Sự tồn tại nghiệm yếu của phương trình với hệ số hằng. . . 28
2.2. Điều kiện cần để mọi nghiệm yếu là khả vi liên tục . . . . . 32
2.3. Độ trơn nghiệm yếu của phương trình elliptic. . . . . . . 36
1
2.4. Độ trơn của nghiệm phương trình hypoelliptic. . . . . . 40
2.4.1. Khái niệm toán tử hypoelliptic . . . . . . . . . 40
2.4.2. So sánh các toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.3. Định lý về độ trơn của nghiệm phương trình hypoelliptic 46
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Trong thực tế, các nghiệm của phương trình đạo hàm riêng mô tả các
các quá trình trong tự nhiên và kỹ thuật thường là các nghiệm yếu, tức
là các hàm không có tính khả vi. Vấn đề được đặt ra là đối với các lớp
phương trình nào thì các nghiệm yếu này sẽ trở thành các nghiệm cổ
điển, thậm chí là khả vi vô hạn. Người ta đã phát hiện ra rằng các toán

tử tương ứng của các phương trình có tính chất này sẽ là các toán tử
elliptic và hypoelliptic.
Vì vậy tôi mạnh dạn chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là
“Độ trơn của nghiệm phương trình đạo hàm riêng tuyến tính
với hệ số hằng”.
Tài liệu tham khảo chính của luận văn là chương 2 của cuốn sách
chuyên khảo [3].
2. Mục đích nghiên cứu
Mô tả lý thuyết độ trơn của nghiệm yếu đối với các lớp phương trình
elliptic và hypoelliptic.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Khái niệm nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng.
- Điều kiện cần để mọi nghiệm yếu là khả vi liên tục.
- Lớp toán tử elliptic và hypoelliptic.
- Các định lý về so sánh.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nội dung chủ yếu của luận văn là nghiên cứu độ trơn của nghiệm yếu,
các toán tử elliptic và hypoelliptic, định lý về độ trơn.
Luận văn gồm hai chương. Chương 1 trình bày một số kiến thức
chuẩn bị như: Định lý đồ thị đóng, nghiệm yếu của phương trình đạo
hàm riêng tuyến tính, toán tử làm trơn Friedrichs, không gian Sobolev
H
s
(R
n
). Chương 2 là nội dung chính của luận văn, trong đó trình bày
sự tồn tại nghiệm yếu của phương trình với hệ số hằng, điều kiện cần để
mọi nghiệm yếu là khả vi liên tục, độ trơn nghiệm yếu của phương trình
elliptic, độ trơn của nghiệm phương trình hypoelliptic.
5. Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết: thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp
để được một nghiên cứu tổng quan về độ trơn của nghiệm phương trình
đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số hằng.
6. Những đóng góp mới của đề tài
Tổng quan về lý thuyết độ trơn của nghiệm phương trình đạo hàm
riêng tuyến tính với hệ số hằng và lớp toán tử elliptic và hypoelliptic.
4
Chương 1
Một số kiến thức bổ trợ
1.1. Định lý đồ thị đóng
Định nghĩa 1.1. Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian Hilbert X
vào không gian Hilbert Y. Ta gọi đồ thị của toán tử A, ký hiệu là G
A
,
là tập
G
A
= {(x, Ax) ∈ X × Y ; x ∈ D(A) ⊂ X} ⊂ X × Y.
Nếu đồ thị G
A
của toán tử A là tập đóng trong không gian X × Y
thì A được gọi là toán tử đóng, tức là nếu x
n
→ x trong X, x
n
∈
D(A), A(x
n
) → y trong Y, thì x ∈ D(A) và y = A(x).
Định lý 1.1. Giả sử A là toán tử tuyến tính từ không gian Hilbert X

vào không gian Hilbert Y xác định khắp nơi trên X và A là toán tử
đóng. Khi đó tồn tại hằng số C sao cho
Ax ≤ C x , ∀x ∈ X. (1.1)
Chứng minh. Giả sử D là tập hợp các phần tử y ∈ Y sao cho tồn tại
y
∗
∈ X thỏa mãn
(y, Ax) = (y
∗
, x), x ∈ X. (1.2)
5
Dễ thấy D là không gian con của Y. Ta đi chứng minh y
∗
là duy nhất.
Thật vậy, giả sử tồn tại phần tử z ∈ X thỏa mãn
(y, Ax) = (z, x), x ∈ X.
Khi đó,
((y
∗
− z) , x) = 0, x ∈ X.
Lấy x = y
∗
− z, suy ra y
∗
− z = 0, chứng tỏ z = y
∗
. Ta đi chứng minh
tồn tại hằng số C sao cho:
y
∗

 ≤ C y , y ∈ D. (1.3)
Thật vậy, giả sử tồn tại dãy {y
n
} các phần tử của D sao cho khi n → ∞
thì
y = 1, y
∗
n
 → ∞. (1.4)
Đặt
F
n
(x) = (Ax, y
n
) = (x, y
∗
n
).
Vì |F
n
(x)| ≤ y
∗
n
 x , nên với mỗi n ta có F
n
(x) là phiếm hàm tuyến
tính bị chặn trên X.
Mặt khác,
|F
n

(x)| ≤ Ax y
n
 = Ax ,
chứng tỏ rằng với mỗi x ta có
sup
n
|F
n
(x)| ≤ Ax < ∞.
Ta áp dụng Định lý Banach-Steinhaus (xem [3], tr.19) đối với dãy {F
n
} ,
khi đó tồn tại hằng số C sao cho |F
n
(x)| ≤ C x , x ∈ X,
6
hay
|(x, y
∗
n
)| ≤ C x , x ∈ X.
Chọn x = y
∗
n
, ta được y
∗
n

2
≤ C y

∗
n
 hay y
∗
n
 ≤ C. Điều này mâu
thuẫn với (1.4). Vậy y
∗
 ≤ C y , y ∈ D.
Giả sử H là tập hợp các cặp phần tử sắp thứ tự {x, y} , trong đó x ∈
X, y ∈ Y. Ta định nghĩa
α {x, y} = {αx, αy} ,
{x
1
, y
1
} + {x
2
, y
2
} = {x
1
+ x
2
, y
1
+ y
2
} ,
({x

1
, y
1
} , {x
2
, y
2
}) = (x
1
, x
2
) + (y
1
, y
2
) .
Khi đó H trở thành không gian Hilbert và gọi là tích Descartes của X
và Y, ký hiệu là X × Y.
Ta thấy đồ thị G
A
của A là không gian con đóng của H. Thật vậy, giả sử
{x
n
, Ax
n
} → {x, y} thuộc H; khi đó x
n
→ x thuộc X, Ax
n
→ y thuộc

Y và theo giả thiết Ax = y, suy ra {x, y} ∈ G
A
.
Ta cũng lưu ý rằng G
⊥
A
là tập hợp các phần tử của H có dạng {−y
∗
, y} ,
với y ∈ D. Theo phương trình (1.2) rõ ràng các phần tử như vậy thuộc
G
⊥
A
và nếu {z, y} ∈ G
⊥
A
thì
(z, x) + (y, Ax) = 0, x ∈ X.
Suy ra y ∈ D và z = −y
∗
. Giả sử
D = Y , khi đó tồn tại w = 0 thuộc Y
sao cho

w, D

= 0 (xem [3], Hệ quả 1.4) .Do vậy với ∀y ∈ D ta có
({0, w} , {−y
∗
, y}) = − (0, y

∗
) + (w, y) = 0.
Điều này chứng tỏ rằng phần tử {0, w} thuộc

G
⊥
A

⊥
. Vì không gian con
của

G
⊥
A

⊥
là G
A
(xem [3], Bổ đề 1.7), do đó tồn tại x ∈ X thỏa mãn
7
{x, Ax} = {0, w} . Nếu x = 0 thì Ax = 0 suy ra w = 0. Điều này mâu
thuẫn với điều giả sử D = Y . Vậy D = Y.
Nếu (1.1)không thỏa mãn thì tồn tại dãy {x
n
} các phần tử thuộc X sao
cho khi n → ∞ ta có
x
n
 = 1, Ax

n
 → ∞ trong Y. (1.5)
Khi đó theo (1.2),(1.3) và (1.5) suy ra
|(y, Ax
n
)| = |(y
∗
, x
n
)| ≤ y
∗
 x
n
 ≤ C y , ∀y ∈ D.
Nếu y là phần tử bất kỳ của Y thì tồn tại dãy {y
k
} các phần tử của D
hội tụ đến y theo chứng minh trên. Vì
|(y
k
, Ax
n
)| ≤ C y
k
 , k = 1, 2
nên chuyển qua giới hạn, với mỗi n ta được
|(y, Ax
n
)| ≤ C y , y ∈ Y.
Đặt y = Ax

n
, ta có Ax
n

2
≤ C Ax
n
 hay Ax
n
 ≤ C. Điều này mâu
thuẫn với (1.5). Định lý được chứng minh. 
1.2. Nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng
tuyến tính
1.2.1. Toán tử vi phân tuyến tính
Giả sử toán tử A được xác định như sau:
A =

|µ|≤m
a
µ
(x)D
µ
, x ∈ Ω ⊂ R
n
, (1.6)
8
trong đó x = (x
1
, x
2

, , x
n
), Ω là một miền trong R
n
,
µ = (µ
1
, µ
2
, , µ
n
) ∈ N
n
, |µ| = µ
1
+ µ
2
+ · · · + µ
n
,
D
µ
= D
µ
1
1
D
µ
2
2

D
µ
n
n
, D
j
= −i
∂
∂x
j
, a
µ
(x) là các hàm số trơn vô hạn nhận
giá trị phức được cho trước và được gọi là các hệ số của toán tử A.
Với mọi hàm u
1
, u
2
và mọi số thực α
1
, α
2
ta có:
A(α
1
u
1
+ α
2
u

2
) = α
1
Au
1
+ α
2
Au
2
. Khi đó A là toán tử vi phân tuyến
tính.
Toán tử liên hợp của A, ký hiệu là A

, được xác định như sau:
A

v =

|µ|≤m
D
µ
(¯a
µ
(x)v) . (1.7)
1.2.2. Công thức tích phân từng phần

Ω
u
x
j

ϕdx = −

Ω
uϕ
x
j
dx, ∀ϕ ∈ C
∞
0
(Ω). (1.8)
Áp dụng liên tiếp công thức (1.8) ta có công thức sau

Ω
(Au) ¯ϕdx =

Ω
u(A

ϕ)dx, ∀ϕ ∈ C
∞
0
(Ω), (1.9)
trong đó A

là toán tử liên hợp của toán tử A được xác định theo (1.7).
1.2.3. Khái niệm nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng
Xét phương trình
Au = f (1.10)
trong đó f ∈ L
2

(Ω).
Xuất phát từ công thức (1.9) với ϕ(x) thay bởi ϕ(x) ta phát biểu khái
9
niệm nghiệm yếu của (1.10) như sau
Định nghĩa 1.2. Hàm u(x) ∈ L
2
(Ω) được gọi là nghiệm yếu của phương
trình nếu
(u, A

ϕ) = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ C
∞
0
(Ω), (1.11)
trong đó (., .) là tích vô hướng trong L
2
(Ω) và A

là toán tử liên hợp của
toán tử A.
Nhận xét 1.1. Giả sử u ∈ C
m
(Ω) và là nghiệm yếu của phương trình
(1.10). Khi đó nó là nghiệm cổ điển, tức là thỏa mãn phương trình tại
mọi điểm x ∈ Ω.
Chứng minh. Từ (1.11) và công thức tích phân từng phần ta suy ra

Ω
(Au − f) ϕ(x)dx = 0, ∀ϕ ∈ C
∞

0
(Ω).
Từ đó suy ra
Au(x) = f(x), ∀x ∈ Ω.
1.2.4. Điều kiện cần để tồn tại nghiệm yếu
Định lý 1.2. Điều kiện cần để phương trình (1.10) có nghiệm yếu là
∃ C > 0 sao cho
|(f, ϕ)| ≤ C A

ϕ , ∀ϕ ∈ C
∞
0
(Ω). (1.12)
Chứng minh. Ta có
(f, ϕ) = (Au, ϕ) = (u, A

ϕ) .
10
Theo bất đẳng thức Schwarz ta có
|(f, ϕ)| = |(u, A

ϕ)| ≤ u A

ϕ .
Chọn C = u suy ra: |(f, ϕ)| ≤ C A

ϕ. Định lý được chứng minh.
1.2.5. Điều kiện đủ để tồn tại nghiệm yếu
Định lý 1.3. Nếu bất đẳng thức (1.12) được thỏa mãn thì phương trình
(1.10) có nghiệm yếu.

Chứng minh. Giả sử W là tập hợp các hàm w ∈ L
2
(Ω) sao cho tồn tại
một hàm ϕ ∈ C
∞
0
(Ω) thỏa mãn
A

ϕ = w. (1.13)
Dễ thấy W là không gian con của L
2
(Ω). Với w ∈ W, ta đặt
F w = (ϕ, f), (1.14)
trong đó f là hàm cho trước trong phương trình (1.10), ϕ là hàm bất kỳ
thuộc C
∞
0
(Ω) thỏa mãn (1.13). Ta cần chỉ ra F chỉ phụ thuộc vào w mà
không phụ thuộc vào cách chọn ϕ. Thật vậy, giả sử ϕ
1
là một hàm thử
khác thỏa mãn A

ϕ
1
= w. Khi đó theo bất đẳng thức (1.12) ta có
|(f, ϕ − ϕ
1
)| ≤ C A


(ϕ − ϕ
1
) = C w − w = 0,
suy ra (f, ϕ) = (f, ϕ
1
). Do đó F chỉ phụ thuộc w và không phụ thuộc ϕ.
F gán cho mỗi w ∈ W một số phức được cho bởi phương trình (1.14),
suy ra F là phiếm hàm trên W. Dễ thấy F tuyến tính. Hơn nữa, theo
bất đẳng thức (1.12) thì
|F w| = |(ϕ, f)| ≤ C A

ϕ = C w ,
11
suy ra F bị chặn. Theo Định lý Hahn-Banach (xem [3], tr.16) F có thể
mở rộng tới một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên L
2
(Ω). Do đó, theo
Định lý Fr´echet-Riesz (xem [3], tr.15) tồn tại hàm u ∈ L
2
(Ω), sao cho
u = F  ≤ C và
F w = (w, u), (1.15)
với mỗi w ∈ L
2
(Ω). Do vậy theo phương trình (1.14) và (1.15) ta có
(u, A

ϕ) = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ C
∞

0
(Ω). Định lý được chứng minh. 
Tổng quát ta có định lý sau:
Định lý 1.4. Điều kiện cần và đủ để phương trình (1.10) có nghiệm yếu
là bất đẳng thức (1.12) đúng với ∀ϕ ∈ C
∞
0
(Ω).
1.3. Toán tử làm trơn Friedrichs
Ta đặt
j(x) =







a exp


|x|
2
− 1

−1

, |x| < 1,
0, |x| ≥ 1.
trong đó a =



|x|<1
exp


|x|
2
− 1

−1

dx

−1
.
Ta chọn giá trị của a như trên để

j(x)dx = 1.
Ta chú ý rằng j(x) ∈ C
∞
0
(R
n
). Với ε > 0, đặt j
ε
(x) = e
−n
j(
x

ε
).
Khi đó với mỗi ε > 0, ta có
j
ε
(x) ≥ 0 trong R
n
, (1.16)
j
ε
(x) = 0 với |x| ≥ ε, (1.17)
12

j
ε
(x)dx = 1. (1.18)
Với u ∈ L
2
(R
n
), ta đặt
J
ε
u(x) =

u(y)j
ε
(x − y)dy =

u(x − z)j

ε
(z)dz. (1.19)
Định lý 1.5. Với u ∈ L
2
(R
n
) ta có
J
ε
u ≤ u , (1.20)
J
ε
u − u → 0 khi ε → 0. (1.21)
Chứng minh. Theo phương trình (1.19) và Bất đẳng thức Schwarz ta
có
|J
ε
u|
2
≤


|u (x − z)|
2
j
ε
(z)dz


j

ε
(x)dx

.
Do vậy

|J
ε
u|
2
dx ≤

j
ε
(z)

|u(x − z)|
2
dxdz
≤

j
ε
(z)dz

|u(x)|
2
dx
= u
2

.
Để chứng minh (1.21) trước tiên ta giả sử u là liên tục. Theo phương
trình (1.18) ta có
J
ε
u − u =

j
ε
(z) [u(x − z) − u(x)] dz.
Do đó
|J
ε
u − u|
2
≤

j
ε
(z) |u(x − z) − u(x)|
2
dz
13
và

|J
ε
u − u|
2
dx ≤


j
ε
(z) |u(x − z) − u(x)|
2
dxdz
≤ sup
|z|<ε

|u(x − z) − u(x)|
2
dx.
Giả sử ρ > 0 cho trước và lấy R đủ lớn sao cho

|x|>R
|u(x)|
2
dx <
ρ
8
.
Khi đó với |z| < R, ta có

|x|>2R
|u(x − z)|
2
dx ≤

|x|>R
|u(x)|

2
dx <
ρ
8
.
Vì u là liên tục nên lấy ε đủ nhỏ ta suy ra
max
|z|≤ε

|x|<2R
|u(x − z) − u(x)|
2
dx <
ρ
2
.
Kết hợp các bất đẳng thức trên, với ε đủ nhỏ ta được:

|J
ε
u − u|
2
dx < ρ.
Điều này chứng minh (1.21)với u liên tục. Nếu u không liên tục ta có
thể tìm được một hàm liên tục w ∈ L
2
(R
n
) thỏa mãn u − w <
ρ

3
.
Do vậy
J
ε
u − u ≤ J
ε
(u − w) + J
ε
w − w + w − u
≤ 2 u − w + J
ε
w − w .
Theo những điều đã chứng minh, lấy ε đủ nhỏ ta có
J
ε
w − w <
ρ
3
.
14
Định lý được chứng minh. 
J
ε
u được gọi là toán tử làm trơn. J
ε
u có một số tính chất sau:
J
ε
u ∈ C

∞
(R
n
), ∀u ∈ L
2
(R
n
) (1.22)
(J
ε
u, v) = (u, J
ε
v), ∀u, v ∈ L
2
(R
n
) (1.23)
D
k
J
ε
v = J
ε
D
k
v, ∀v ∈ C
∞
(R
n
), 1 ≤ k ≤ n. (1.24)

Trong phần 1.2 chúng ta đã sử dụng kết quả sau:
Bổ đề 1.1. Giả sử Ω
1
và Ω
2
là các miền bị chặn trên R
n
sao cho
¯
Ω
1
⊂ Ω
2
.
Giả sử u là một hàm liên tục thuộc Ω
2
. Khi đó, tồn tại một dãy {v
k
}
các hàm thuộc C
∞
(Ω
2
) hội tụ đều tới u thuộc Ω
1
.
Chứng minh. Thu nhỏ một ít Ω
2
, ta giả sử u liên tục trên
¯

Ω
2
. Giả sử
ˆu là hàm bằng u trên Ω
2
và bằng 0 bên ngoài Ω
2
. Ta có u là hàm liên
tục đều trên Ω
2
. Do đó, nếu η > 0 cho trước thì tồn tại δ > 0 sao cho
|u(x − z) − u(x)| < η, với |z| < δ.
Giả sử d > 0 là khoảng cách từ
¯
Ω
1
tới biên của Ω
2
.
Khi đó, nếu ε < min(δ, d), ta có
|J
ε
ˆu − u(x)| ≤

j
ε
(z) |u(x − z) − u(x)| dx
< η

j

ε
(z)dz
= η, x ∈ Ω
1
.
Suy ra {J
ε
ˆu} hội tụ đều tới u thuộc Ω
1
. Vì J
ε
ˆu ∈ C
∞
(R
n
) nên ta có điều
cần chứng minh. 
15
1.4. Không gian Sobolev H
s
(R
n
)
1.4.1. Biến đổi Fourier
Ta đặt:
S = S(R
n
)
=


v(x) ∈ C
∞
(R
n
); ∀k, µ ∃ m = m(k, µ) > 0 : (1 + |x|)
k
|D
µ
v(x)| ≤ m

.
Biến đổi Fourier của v ∈ S xác định bởi
F v(ξ) =

e
−i(ξ,x)
v(x)dx. (1.25)
Nếu v ∈ S, ta có thể lấy đạo hàm phương trình (1.25) dưới dấu tích
phân và thu được
D
µ
ξ
F v(ξ) = (−1)
|µ|
F (x
µ
v). (1.26)
Hơn nữa, nếu lấy tích phân từng phần F(D
µ
v) =


e
−i(ξ,x)
D
µ
x
v(x)dx, ta
thu được:
F (D
µ
x
v) = ξ
µ
F v. (1.27)
Biến đổi Fourier có một số tính chất quan trọng, hai trong số đó chúng
ta quan tâm. Thứ nhất là công thức ngược
v(x) = (2π)
−n

e
i(x,ξ)
F v(ξ)dξ (1.28)
và thứ hai là đồng nhất thức Parseval

v(x)w(x)dx = (2π)
−n

F v(ξ)F w(ξ)dξ (1.29)
đều thỏa mãn với các hàm thuộc S.
Chúng ta chứng minh hai tính chất trên.

16
Chứng minh. Trước tiên ta thấy rằng, chỉ cần chứng minh hai tính
chất trên cho trường hợp n = 1 là đủ.
Nếu n > 1, đặt F
k
v =

∞
−∞
e
−iξ
k
x
k
vdx
k
và G
k
w =
1
2π

∞
−∞
e
ix
k
ξ
k
wdξ

k
. Khi
đó F
k
và G
k
giao hoán và ánh xạ S vào chính nó. Hơn nữa, F = F
1
F
n
,
nếu đặt G = G
1
G
n
thì từ phương trình (1.28) ta có
v = GF v, v ∈ S. (1.30)
Nếu ta có thể chứng tỏ rằng
v = G
k
F
k
v, 1 ≤ k ≤ n, v ∈ S, (1.31)
thì ta suy ra phương trình (1.30). Nhưng phương trình (1.31) có dạng
tương tự phương trình (1.30). Một cách tương tự, phương trình (1.29)
được suy ra từ

∞
−∞
vwdx

k
=
1
2π

∞
−∞
F
k
vF
k
wdξ
k
, 1 ≤ k ≤ n, v, w ∈ S
áp dụng với mỗi k. Do đó, ta có thể giả sử n = 1. Để chứng minh phương
trình (1.28), ta đặt
G
R
(x) =
1
2π

R
−R
e
ixξ
F vdξ
=
1
2π


R
−R
e
ixξ


∞
−∞
e
−iξy
v(y)dy

dξ
=
1
2π

∞
−∞
v(y)


R
−R
e
iξ(x−y)
dξ

dy. (1.32)

Chúng ta có thể thay đổi thứ tự lấy tích phân vì các tích phân lặp là hội
tụ tuyệt đối. Đặt t = y − x, ta có
G
R
(x) =
1
2π

∞
−∞
v(x + t)


R
−R
e
−iξt
dξ

dt
=
1
π

∞
−∞
sin Rt
t
v(x + t)dt, (1.33)
17

ở đó ta sử dụng kết quả

R
−R
e
−iξt
dξ =

R
−R
(cos ξt − i sin ξt)dξ
= 2t
−1
sin Rt.
Ta biết rằng

∞
−∞
sin Rt
t
dt = π.
Do đó
G
R
(x) − v(x) =
1
π

∞
−∞


v(x + t) − v(x)
t

sin Rtdt.
Lấy tích phân từng phần, ta được
G
R
(x) − v(x) =
1
π

∞
−∞

v(x + t) − v(x)
t

d

−
cos Rt
R

=
1
πR

∞
−∞

cos Rt
d
dt

v(x + t) − v(x)
t

dt. (1.34)
Ta đặt
H(x, t) =
d
dt

v(x + t) − v(x)
t

=
tv

(x + t) − v(x + t) + v(x)
t
2
.
Khai triển hàm tv

(x + t) − v(x + t) theo chuỗi Taylor với phần dư, ta có
tv

(x + t) − v(x + t) + v(x) =
1

2
t
2
(v

(x + t
1
) + t
1
v

(x + t
1
)) ,
ở đó t
1
nằm giữa 0 và t. Vì v ∈ S nên điều này chứng tỏ rằng H(x, t)
liên tục theo (x, t) và tồn tại hằng số K
1
sao cho với mọi x, t ta có
|H(x, t)| ≤ K
1
.
18
Thêm nữa, vì v(x), v(x + t) và (x + t)v

(x + t) đều bị chặn với v ∈ S
nên suy ra
|tv


(x + t) − v(x + t) + v(x)| ≤ K
2
(1 + |x|) ,
với hằng số K
2
nào đó. Do đó, theo phương trình (1.34)
|G
R
(x) − v(x)| ≤
1
πR

∞
−∞
|H(x, t)| dt
≤
1
πR



2K
1
+ (1 + |x|) K
2

|t|>1
|t|
−2
dt




. (1.35)
Điều này chứng tỏ rằng G
R
(x) → v(x) khi R → ∞, suy ra phương trình
(1.28) và cũng chứng tỏ rằng nếu ta hạn chế x trên đoạn nào đó |x| ≤ M
thì sự hội tụ là hội tụ đều.
Để chứng minh phương trình (1.29), ta viết

M
−M
w(x)v(x)dx =

M
−M
w(x)


∞
−∞
e
ixξ
F vdξ

dx
=

∞

−∞
F v


M
−M
e
ixξ
w(x)dx

dξ
=

∞
−∞
F vF wdξ −

∞
−∞
F v




|x|>M
e
ixξ
w(x)dx




dξ.
Mặt khác, khi M → ∞ ta có








∞
−∞
F v




|x|>M
e
ixξ
w(x)dx











dξ ≤

∞
−∞
|F v| dξ

|x|>M
|w(x)| dx → 0.
Do đó

∞
−∞
v(x)w(x)dx =

∞
−∞
F vF wdξ.
19
Vậy ta có điều cần chứng minh. 
Định lý 1.6. Nếu v, w ∈ S và
h(x) =

R
n
v(y)w(x − y)dy, (1.36)
thì h ∈ S và Fh = F v · F w.
Chứng minh. Trước hết, ta chú ý rằng F v và F w đều thuộc S nên
F v · Fw cũng thuộc S. Để việc tính toán thuận tiện chúng ta không viết

R
n
dưới dấu tích phân.Theo phương trình (1.28) ta có
G [F v · F w] = (2π)
−n

e
i(x,ξ)
F v(ξ) · Fw(ξ)dξ
= (2π)
−n

e
i(x,ξ)
F w(ξ)


e
−i(ξ,y)
v(y)dy

dξ
= (2π)
−n

v(y)


e
i(ξ,x−y)

F w(ξ)dξ

dy
=

v(y)w(x − y)dy.
Lưu ý rằng, ta có thể thay đổi thứ tự lấy tích phân vì tích phân lặp hội
tụ tuyệt đối. Định lý được chứng minh. 
Ứng dụng của định lý trên, với ∀v ∈ S ta có
F (J
ε
v) = F j
ε
v.
Hơn nữa,
F j
ε
(ξ) =

e
−i(ξ,x)
j
ε
(x)dx = ε
−n

e
−i(ξ,x)
j


x
ε

dx
=

e
−i(εξ,y)
j(y)dy = F j(εξ).
20
Do vậy
F (J
ε
v) = F j(εξ) · Fv. (1.37)
Chú ý rằng
|F j
ε
(ξ)| = |F j(εξ)| ≤

j(y)dy = 1.
Do đó, nếu v ∈ S, ta có
|J
ε
v|
2
s
=

(1 + |ξ|)
2s

|F (J
ε
v)|
2
dξ
=

(1 + |ξ|)
2s
|F j
ε
(ξ)|
2
|F v|
2
dξ
≤

(1 + |ξ|)
2s
|F v|
2
dξ
= |v|
2
s
.
Vì vậy, ta suy ra
|J
ε

v|
s
≤ |v|
s
, v ∈ S, s ∈ R. (1.38)
Hơn nữa điều này cũng đúng với v ∈ H
s
nên khi ε → 0 ta cũng có
|J
ε
v − v|
s
→ 0, v ∈ H
s
. (1.39)
Vì S trù mật trong H
s
và (1.38) đúng, điều này là đủ để chứng minh
(1.39) với v ∈ S. Nếu u ∈ H
s
và ρ > 0 cho trước thì tồn tại v ∈ S sao
cho
|v − u|
s
<
ρ
3
.
Do vậy
|J

ε
u − u|
s
≤ |J
ε
(u − v)|
s
+ |J
ε
v − v|
s
+ |v − u|
s
<
2ρ
3
+ |J
ε
v − v|
s
.
21
Nếu (1.39) thỏa mãn với v thì ta có thể chọn ε đủ nhỏ sao cho
|J
ε
v − v|
s
<
ρ
3

.
Do đó |J
ε
u − u|
s
< ρ, chứng tỏ (1.39) thỏa mãn với u.
Để chứng minh (1.39) với v ∈ S, ta chú ý rằng theo phương trình (1.37)
|J
ε
v − v|
2
s
=

|F j(εξ) − 1|
2
|F v|
2
(1 + |ξ|)
2s
dξ.
Hơn nữa,
|F j(εξ) − 1| ≤




e
−iε(ξ,y)
− 1




j(y)dy
≤ ε |ξ|

|y| j(y)dy (1.40)
theo bất đẳng thức


e
−iθ
− 1


≤ |θ| (1.41)
được suy ra từ
2i sin

θ
2

= e
iθ/2

1 − e
−iθ

.
Vì vậy khi ε → 0 ta có

|J
ε
v − v|
2
s
≤ ε
2


|y| j(y)dy

2

|ξ|
2
(1 + |ξ|)
2s
|F v|
2
dξ → 0.
Định lý 1.7.
F (vw) = (2π)
−n

R
n
F v(η)F w(ξ − η)dη, v, w ∈ S.
22
Chứng minh. Theo phương trình (1.30), ta có
F (vw) = F (wGF v)

= (2π)
−n

R
n
e
−i(ξ,x)
w(x)



R
n
e
i(x,η)
F v(η)dη


dx
= (2π)
−n

R
n
F v(η)



R
n

e
−i(ξ−η,x)
w(x)dx


dη
= (2π)
−n

R
n
F v(η)F w(ξ − η)dη.
Định lý được chứng minh. 
1.4.2. Không gian Sobolev
Chúng ta sử dụng hai tính chất của biến đổi Fourier để xác định một
họ các tích vô hướng.
Với s là số thực bất kỳ, ta đặt
(v, w)
s
=

(1 + |ξ|)
2s
F vF wdξ, (1.42)
và
|v|
2
s
= (v, v)
s

. (1.43)
Theo phương trình (1.29), ta có
(v, w) = (2π)
−n
(v, w)
0
. (1.44)
Hơn nữa,
|(v, w)
0
| ≤ |v|
s
|w|
−s
(1.45)
điều này được suy ra từ Bất đẳng thức Schwarz và
(v, w)
0
=

(1 + |ξ|)
s
F v · (1 + |ξ|)
−s
F wdξ.
23