Khai triển tiệm cận và áp dụng trong việc giải phương trình vi phân thường

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào, người đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành
luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng Sau
đại học, cùng các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích,
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình
học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi
trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Bắc Cường
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, luận
văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Khai triển tiệm
cận và áp dụng trong việc giải phương trình vi phân thường”
được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Bắc Cường
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Một số khái niệm cơ bản về phương trình vi phân thường. 4
1.1.1. Định nghĩa phương trình vi phân thường . . . . . . 4
1.1.2. Nghiệm của phương trình vi phân . . . . . . . 5
1.1.3. Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Khai triển tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1. Một số khái niệm về “không” bậc . . . . . . . 13
1.2.2. Dãy tiệm cận. . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.3. Khai triển tiệm cận. . . . . . . . . . . . . 16
Chương 2. Áp dụng khai triển tiệm cận giải phương trình vi
phân thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1. Phương trình vi phân thường cấp một . . . . . . . . 24
2.1.1. Tiệm cận tại các điểm chính quy . . . . . . . . . 24
2.1.2. Tiệm cận tại các điểm kì dị. . . . . . . . . . . 26
2.2. Phương trình vi phân thường cấp hai và các lớp biên . . . 31
2.2.1. Khai triển ngoài. . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.2. Khai triển trong. . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.3. Các điều kiện tương thích . . . . . . . . . . . . 38
i
2.2.4. Khai triển tiệm cận tương thích (Matched asymptotic expan-
sions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.3. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
ii
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Phương trình vi phân là một phương trình toán học biểu diễn mối quan
hệ giữa một hàm chưa biết (một hoặc nhiều biến) với đạo hàm của nó
(có bậc khác nhau). Phương trình vi phân đóng vai trò quan trọng trong
kỹ thuật, vật lý, kinh tế và nhiều lĩnh vực khác. Trước hết, chúng ta xét
phương trình vi phân đơn giản dưới dạng
y


(x) =
dy
dx
.
Trong phương trình trên, nếu y(x) biểu diễn cho vận tốc của một chuyển
động thì y

(x) là gia tốc của chuyển động của nó (là đại là đại lượng đặc
trưng cho độ biến thiên vận tốc). Sự ra đời của phương trình vi phân
cũng xuất phát từ việc xác định giữa một bên là đại lượng biến thiên
liên tục, được biểu diễn bằng hàm y(x) và bên còn lại là độ biến thiên
của đại lượng đó được biểu diễn qua các mối liên quan với các đạo hàm
bậc nhất hoặc các đạo hàm cấp cao hơn. Điều này được thể hiện rõ từ
việc nghiên cứu trong cơ học cổ điển qua Định luật Newton về xác định
vị trí của một chuyển động dựa vào vận tốc, gia tốc và một số tác động
được biểu diễn dưới dạng đạo hàm theo biến thời gian.
Đối với các phương trình đại số nghiệm cần tìm thường nhận được là giá
trị số cụ thể. Tuy nhiên, đối với phương trình vi phân nghiệm cần tìm
là hàm chưa biết của các biến độc lập thỏa mãn mối quan hệ đề ra. Do
1
tính quan trọng của các vấn đề thực tiễn liên quan đến lĩnh vực này, các
nhà Toán học đã xây dựng được một phần lý thuyết khá hoàn chỉnh về
phương trình vi phân thường và một lĩnh vực mới còn đang được quan
tâm mạnh mẽ về phường trình vi phân đạo hàm riêng. Ngoài những vấn
đề mang tính căn bản trên đây, nhiều bài toán thực tiễn liên quan đến
lĩnh vực này không được giải quyết đơn thuần như vậy. Theo xu hướng
được đặt ra từ thực tế, người ta rất quan tâm đến việc xử lý đối với
nghiệm của bài toán thuộc lĩnh vực này trong điều kiện chịu nhiều tác
động ảnh hưởng khác. Xử lý các bài toán thuộc dạng này, thường người
ta gọi chung một phương pháp “Xử lý nghiệm của phương trình vi phân

dưới dạng tiệm cận”.
Giải tích tiệm cận được hình thành từ khá sớm, nó được hình thành từ
các công trình tính toán của L. Euler. Đến năm 1886, lý thuyết tiệm cận
mới được xây dựng một cách hệ thống bởi T. J. Stieltjes và H. Poincaré.
Một trong các hướng nghiên cứu của nó được gọi là lý thuyết chuỗi tiệm
cận. Trong đó, người ta nghiên cứu các chuỗi mà nó được biểu diễn bởi
các dãy hàm tiệm cận. Thường thì các hàm đó được biểu diễn dưới dạng
tích phân, chuỗi lũy thừa hoặc dưới dạng như nghiệm của phương trình
vi phân.
Giải tích tiệm cận là một ngành quan trọng của toán học ứng dụng và
có nội dung khá rộng. Trong đó phương pháp khai triển tiệm cận đã và
đang được nhiều nhà Toán học nghiên cứu, đặc biệt là tính ứng dụng
của nó trong việc giải quyết các bài toán.
Với những lý do trên, được sự định hướng của TS. Nguyễn Văn Hào,
2
tôi chọn đề tài “Khai triển tiệm cận và áp dụng trong việc giải
phương trình vi phân thường” để hoàn thành luận văn Thạc sĩ trong
khóa đào tạo thuộc chuyên ngành này.
2. Mục đích nghiên cứu
Xử lý nghiệm của phương trình vi phân thường dưới dạng tiệm cận.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số phương pháp tiệm cận đối với phương trình vi phân
thường.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Phương pháp tiệm cận xử lý nghiệm của phương trình vi phân thường
cấp một và cấp hai.
5. Phương pháp nghiên cứu
Thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp để được một nghiên cứu
tổng quan về phương pháp tiệm cận đối với phương trình vi phân thường.
6. Dự kiến đóng góp của đề tài

Tổng quan phương pháp tiệm cận giải phương trình vi phân thường.
3
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Một số khái niệm cơ bản về phương trình vi
phân thường
1.1.1. Định nghĩa phương trình vi phân thường
Định nghĩa 1.1. Phương trình vi phân thường có dạng tổng quát
F

x, y, y

, y

, y
(n)

= 0, (1.1)
trong đó F là hàm xác định trong một miền nào đó của không gian R
n+2
gồm biến độc lập x và y, là hàm của biến độc lập, cùng các đạo hàm
cấp một đến cấp n của nó.
Nếu từ phương trình (1.1) ta tìm được biểu diễn của đạo hàm cấp cao
nhất y
(n)
qua các biến còn lại thì ta nói phương trình giải ra được đối
với y
(n)
hoặc ta còn gọi là phương trình dạng chính tắc, tức là phương
trình (1.1) có dạng

y
(n)
= f

x, y, y

, , y
(n−1)

. (1.2)
Cấp của một phương trình vi phân thường được xác định bởi cấp cao
nhất của đạo hàm xuất hiện trong phương trình.
4
Ví dụ 1.1. Phương trình vi phân cấp hai
y

− 4y

+ 5y = e
x
sin x.
1.1.2. Nghiệm của phương trình vi phân
Nghiệm của phương trình (1.1) là hàm y = y(x) khả vi n lần trên khoảng
(a, b) nào đó thỏa mãn phương trình đã cho, tức là
F

x, y(x), y

(x), , y
(n−1)

(x)

= 0
với mọi x thuộc (a, b).
1.1.3. Bài toán Cauchy
Bài toán tìm nghiệm y = y(x) với biến độc lập x thuộc khoảng (a, b)
nào đó, của phương trình (1.2) thỏa mãn điều kiện
y
o
= y (x
o
) , y

o
= y

(x
o
) , , y
(n−1)
o
= y
(n−1)
(x
o
) (1.3)
được gọi là bài toán Cauchy. Điều kiện (1.3) được gọi là điều kiện đầu
của bài toán Cauchy.
Định lý 1.1. (Định lý tồn tại duy nhất nghiệm) Cho phương trình vi
phân cấp n dạng chính tắc

y
(n)
= f

x, y, y

, , y
(n−1)

với điều kiện đầu (1.3). Giả sử trong hình hộp chữ nhật
D : |x − x
0
| ≤ a, |y − y
0
| ≤ b, |y

− y

0
| ≤ b, ,



y
(n−1)
− y
(n−1)
0




≤ b
5
(a, b là những số dương), hàm f thỏa mãn hai điều kiện
1) f

x, y, y

, , y
(n−1)

≤ M với mọi

x, y, y

, , y
(n−1)

∈ D;
2) hàm số f

x, y, y

, , y
(n−1)

thỏa mãn điều kiện Lipschitz đối với
y, y

, , y

(n−1)
nghĩa là, tồn tại hằng số dương L sao cho



f

x, y
2
, y

2
, , y
2
(n−1)

− f

x, y
1
, y

1
, , y
1
(n−1)





≤ L

|y
2
− y
1
| + |y

2
− y

1
| + +



y
(n−1)
2
− y
(n−1)
1




,
trong đó

x, y

1
, y

1
, , y
1
(n−1)

,

x, y
2
, y

2
, , y
2
(n−1)

∈ D.
Khi đó, tồn tại duy nhất nghiệm y = y(x) của phương trình thỏa mãn
điều kiện ban đầu (1.3) cùng với đạo hàm của nó đến cấp xác định n
liên tục trong đoạn
|x − x
0
| ≤ h,
trong đó
h = min

a, b.


max

M, |y

| , ,



y
(n−1)




−1

.
Ta chứng minh định lý đối với trường hợp phương trình vi phân cấp
một.
Trong trường hợp phương trình vi phân cấp một, phương trình (1.2) trở
thành
y

= f(x, y) (1.4)
và hàm số f(x, y) thỏa mãn trong hình chữ nhật D



x

0
− a ≤ x ≤ x
0
+ a
y
0
− b ≤ y ≤ y
0
+ b
thỏa mãn các điều kiện sau
1) Hàm f(x, y) liên tục (do đó |f(x, y)| ≤ M với mọi (x, y) ∈ D).
6
2) Thêm nữa, hàm f (x, y) thỏa mãn điều kiện Lipschitz đối với y,
tức là tồn tại số dương N sao cho
|f(x, y
2
) − f (x, y
1
)| ≤ N |y
2
− y
1
| ,
với mọi (x, y
1
) ∈ D; (x, y
2
) ∈ D. Khi đó, trên đoạn
x
0

− h ≤ x ≤ x
0
+ h,
với h = min

a,
b
M

, phương trình (1.4) có nghiệm duy nhất y = y(x)
thỏa mãn điều kiện đầu y
0
(x) = y
0
.
Trước hết, ta chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình với các
điều kiện đã nêu. Ta dễ dàng nhận thấy rằng nghiệm của phương trình vi
phân (1.4) thỏa mãn điều kiện đầu y
0
(x) = y
0
tương đương với phương
trình tích phân sau
y = y
0
+
x

x
0

f(x, y)dx, (1.5)
trong đó y là hàm số phải tìm. Ta sẽ giải phương trình tích phân này
bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp theo các bước sau
Bước 1. Xuất phát từ hàm y
0
, ta xây dựng dãy lặp các hàm {y
n
} như
sau
y
1
= y
0
+
x

x
0
f(x, y
0
)dx,
y
2
= y
0
+
x

x
0

f(x, y
1
)dx,

y
n
= y
0
+
x

x
0
f(x, y
n
)dx,
7

Trong việc xây dựng dãy lặp các hàm trên, ta giới hạn sự biến thiên của
x trong đoạn |x − x
0
| ≤ h với h = min

a,
b
M

. Khi đó, dễ dàng thấy
rằng vì h ≤ a nên
|y

k
− y
0
| ≤ M |x − x
0
| ≤ M h ≤ b; k = 1, 2,
nghĩa là với |x − x
0
| ≤ h các hàm số y
k
(x) không vượt ra ngoài hình chữ
nhật D.
Bước 2. Bây giờ ta chứng minh rằng dãy {y
n
} có giới hạn khi n → ∞.
Muốn vậy, ta chỉ cần chứng minh rằng chuỗi hàm
y
0
+ (y
1
− y
0
) + (y
2
− y
1
) + (1.6)
hội tụ vì nếu chuỗi hàm này hội tụ thì tồn tại giới hạn lim
n→∞
S

n
=
lim
n→∞
y
n
(x) = Y (x) (trong đó S
n
là tổng riêng thứ n của chuỗi (1.6).
Ta đánh giá các số hạng của chuỗi (1.6)
|y
1
− y
0
| =






x

x
0
f(x, y
0
)dx







≤ M |x − x
0
| , (1.7)
|y
2
− y
1
| =






x

x
0
{f(x, y
1
) − f (x, y
0
)} dx







≤






x

x
0
|f(x, y
1
) − f (x, y
0
)| dx






.
Bởi vì
|f(x, y
1
) − f (x, y

0
)| ≤ N |y
1
− y
0
| ≤ N M |x − x
0
| ,
8
nên
|y
2
− y
1
| ≤ N






x

x
0
M |x − x
0
| dx







=
MN
1 · 2
|x − x
0
|
2
. (1.8)
Tương tự, ta có
|y
3
− y
2
| =






x

x
0
{f(x, y
2

) − f (x, y
1
)} dx






≤






x

x
0
N |y
2
− y
1
| dx







≤
MN
2
1 · 2






x

x
0
(x − x
0
)
2
dx






.
Từ đó suy ra
|y
3

− y
2
| ≤
MN
2
3!
|x − x
0
|
3
. (1.9)
Điều còn lại, ta phải chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương ta đều
có
|y
n
− y
n−1
| ≤
MN
n−1
n!
|x − x
0
|
n
. (1.10)
Muốn vậy ta áp dụng phương pháp quy nạp Toán học. Giả sử rằng đã
có bất đẳng thức (1.10) đối với n, ta chứng minh rằng bất đẳng thức đó
đối với n + 1. Thực vậy, ta có
|y

n+1
− y
n
| =






x

x
0
|f(x, y
n
) − f (x, y
n−1
)| dx






≤ N







x

x
0
|y
n
− y
n−1
| dx






.
9
Thay biểu thức dưới dấu tích phân bởi vế phải của (1.10) ta được
|y
n+1
− y
n
| ≤
MN
n−1
n!







x

x
0
|x − x
0
|
n
dx






=
MN
n
(n + 1)!
|x − x
0
|
n+1
.
Điều đó chứng tỏ rằng ta có bất đẳng thức (1.10) với mọi n ∈ N.
Nếu trong bất đẳng thức (1.10) ta thay |x − x

0
| bởi h ta sẽ thấy rằng
mọi số hạng của chuỗi (1.6) với mọi n = 1, 2, đều bé hơn các số hạng
tương ứng của chuỗi số dương
M
N
∞

n=1
(Mh)
n
n!
= Mh + M
Nh
2
2!
+ M
N
2
h
3
3!
+ + M
N
n−1
h
n
n!
+
(1.11)

Điều đó, chứng tỏ rằng, chuỗi (1.11) hội tụ vì
lim
n→∞
u
n+1
u
n
= lim
n→∞
Nh
n + 1
= 0 < 1.
Vì vậy theo tiêu chuẩn Weierstrass chuỗi (1.6) hội tụ đều trên đoạn
|x − x
0
| ≤ h. Mỗi số hạng của chuỗi (1.6) đều là hàm theo cận trên, nên
liên tục theo x. Từ đó suy ra rằng giới hạn
Y (x) = lim
n→∞
y
n
(x),
tồn tại và là hàm liên tục đối với x.
Bước 3. Ta còn phải chứng minh rằng hàm số Y (x) là nghiệm của phương
trình tích phân y = y
0
+
x

x

0
f (x, y) dx (tức là nghiệm của phương trình
vi phân đã cho với điều kiện đầu Y (x
0
) = y
0
). Trước hết, ta thấy rằng
Y (x
0
) = lim
n→∞
y
n
(x
0
) = y
0
.
10
Bây giờ ta xét việc chuyển qua giới hạn của dãy hàm dưới đây khi n → ∞
y
n
(x) = y
0
+
x

x
0
f(x, y

n−1
)dx.
Bởi vì hàm f(x, y) liên tục đều đối với y trong D, nên với ε > 0 cho
trước, tồn tại số δ > 0 sao cho ta có bất đẳng thức
|f(x, y

) − f (x, y

)| < ε, (1.12)
với mọi cặp điểm (x, y

), (x, y

) ∈ D mà |y

− y

| < δ. Mặt khác, vì
y
n
(x) → Y (x) cho nên tồn tại số n
0
sao cho với mọi n − 1 > n
0
và với
mọi x ∈ [x
0
− h, x
0
+ h] thì

|y
n−1
− Y (x)| < δ. (1.13)
Kết hợp các hằng đẳng thức (1.12), (1.13) ta có bất đẳng thức
|f (x, y
n−1
(x)) − f (x, Y (x))| < ε,
với mọi n − 1 > n
0
. Từ đó, ta nhận được






x

x
0
f(x, y
n−1
)dx −
x

x
0
f(x, Y )dx







≤






x

x
0
f(x, y
n−1
)dx − f (x, Y )






≤ εh.
Vì ε là số dương nhỏ tùy ý, nên
lim
n→∞
x


x
0
f(x, y
n−1
)dx =
x

x
0
f(x, Y )dx.
Như vậy, khi cho n → ∞ ta được
Y = y
0
+
x

x
0
f(x, Y )dx, (1.14)
11
nghĩa là hàm số Y (x) là nghiệm của phương trình tích phân (1.5). Hơn
nữa, hàm số Y (x) có đạo hàm theo x vì rằng
x

x
0
f(x, Y )dx
là tích phân của hàm số liên tục f (x, Y ) nên nó có đạo hàm theo cận
trên. Lấy vi phân (1.14) theo x ta được
dY

dx
= f(x, Y ),
nghĩa là Y (x) là nghiệm của phương trình vi phân đã cho (1.4). Như
vậy, ta đã chứng minh xong phần thứ nhất của định lý.
Tiếp theo, ta chứng minh tính duy nhất của nghiệm phương trình đã
cho. Giả sử rằng ngoài nghiệm Y (x) của phương trình đã cho còn có
nghiệm Z(x) cũng thỏa mãn điều kiện đầu Z(x
0
) = y
0
. Không mất tính
tổng quát, ta có thể giả thiết rằng Y (x) = Z(x) trong một khoảng nhỏ
tùy ý phía bên phải x
0
. Ta sẽ chứng minh rằng điều đó dẫn đến mâu
thuẫn. Lấy số dương ε <
1
N
. Theo giả thiết phản chứng, trong đoạn
x
0
≤ x ≤ x
0
+ ε không phải khắp nơi ta đều có Y (x) = Z(x). Vì vậy
hàm số liên tục |Y (x) − Z(x)| đạt cực đại θ > 0 tại một điểm nào đó
ξ ∈ [x
0
, x
0
+ ε] (đương nhiên ξ = x

0
vì Y (x
0
) = Z(x
0
)). Bởi vì
Y (ξ) = y
0
+
ξ

x
0
f(x, Y )dx, Z(ξ) = y
0
+
ξ

x
0
f(x, Z)dx
12
nên
|Y (ξ) − Z(ξ)| = θ ≤
ξ

x
0
|f(x, Y ) − f(x, Z)| dx
≤ N ×

ξ

x
0
|Y (x) − Z(x)| dx
≤ N
x
0
−ε

x
0
θdx = N εθ. (1.15)
Do θ = 0 nên từ (1.15) ta suy ra ε >
1
N
trái với cách chọn ban đầu. Điều
đó, chứng tỏ rằng Y (x) ≡ Z(x) trên toàn đoạn [x
0
− h, x
0
+ h]. Định lý
đã được chứng minh xong.
Chú ý. Nếu các đạo hàm
∂f
∂y
,
∂f
∂y


, ,
∂f
∂y
(n−1)
liên tục trong hình hộp
R thì hiển nhiên hàm f thỏa mãn điều kiện Lipschitz trong đó đối với
y, y

, , y
(n−1)
.
1.2. Khai triển tiệm cận
1.2.1. Một số khái niệm về “không” bậc
Cho f(z) và g(z) là hai hàm số xác định trên một tập D trong mặt
phẳng phức C và cho z
0
là một điểm giới hạn của D (có thể là điểm vô
cùng). Ta nói
(i) O-bậc lớn. Hàm f(z) được gọi là có “O-bậc lớn” đối với hàm g(z)
khi z → z
0
(hoặc f (z) có cùng bậc g(z) khi z → z
0
) và kí hiệu là
f(z) = O(g(z)); z → z
0
,
13
nếu tồn tại một hằng số dương M và một lân cận U của z
0

sao cho
|f(z)| ≤ M |g(z)| ; với mọi z ∈ U ∩ D.
Đơn giản hơn, nếu hàm g(z) không triệt tiêu trên D, thì
f(z) = O(g(z)); khi z → z
0
nghĩa là tồn tại hằng số dương M và một lân cận U của z
0
sao cho




f(z)
g(z)




≤ M; với mọi z ∈ U ∩ D.
Trường hợp đặc biệt, hàm
f(z) = O(1); khi z → z
0
.
Điều đó, nghĩa là hàm f(z) bị chặn khi z tiến tới z
0
.
Trong các khái niệm trên, hàm g(z) thương được gọi là hàm cỡ bởi vì
hàm đó xác định dáng điệu của hàm f(z) khi z → z
0
.

(ii) o-bậc nhỏ. Hàm f(z) được gọi là có “o-bậc nhỏ” đối với hàm
g(z) khi z → z
0
(hoặc f (z) là tiệm cận nhỏ hơn đối với hàm g(z) khi
z → z
0
) và kí hiệu là
f(z) = o (g(z)) ; khi z → z
0
nếu với mọi ε > 0 nhỏ tùy ý, tồn tại một lân cận U của z
0
sao cho
|f(z)| ≤ ε |g(z)| ; với mọi z ∈ U ∩ D.
Cũng đơn giản hơn, nếu g(z) không triệt tiêu trong lân cận của z
0
có
thể trừ ra tại điểm này, thì f(z) = o (g(z)) nghĩa là
lim
z→z
0




f(z)
g(z)





= 0.
14
(iii) Bậc tương đương. Ta nói f(z) có bậc tương đương với hàm
g(z) khi z → z
0
và kí hiệu là f(z) ∼ g(z) khi z → z
0
nếu
lim
z→z
0




f(z)
g(z)




= 1
hay
f(z) = g(z) + o (g(z)) khi z → z
0
.
Ví dụ 1.2. Cho hàm số f(t) = 5t
2
+ t + 3. Ta có các so sánh về bậc như
sau

f(t) = o(t
3
), f(t) = O(t
2
) và f(t) ∼ 5t
2
; khi t → ∞.
f(t) ∼ 3; khi t → 0.
f(t) = o

1
t

; khi t → ∞.
Nhận xét
(i) Các ký hiệu O, o và ∼ cũng dùng được đối với các hàm với biến
rời rạc. Chẳng hạn, như với dãy số thực (nghĩa là hàm của các số nguyên
dương n). Đối với dãy số x
n
= 5n
2
− 6n + 9 ta thấy rằng
x
n
= o(n
3
), x
n
= O(n
2

) và x
n
∼ 5n
2
; khi n → ∞.
(ii) Người ta cũng thường sử dụng kí hiệu f (z)  g(z); khi z → z
0
đồng nghĩa với f(z) = o(g(z)); khi z → z
0
.
1.2.2. Dãy tiệm cận
Định nghĩa 1.2. Một dãy hàm {φ
n
(z)} được gọi là một dãy tiệm cận
khi z → z
0
nếu có một lân cận của z
0
sao cho trong lân cận này không
15
một hàm nào triệt tiêu (có thể trừ tại z
0
) và với mọi n ta có
φ
n+1
= o(φ
n
); khi z → z
0
.

Ví dụ 1.3. Dãy {(z − z
0
)
n
} là một dãy tiệm cận khi z → z
0
, với z
0
hữu
hạn. Dãy {z
−n
} là một dãy tiệm cận khi z → ∞.
1.2.3. Khai triển tiệm cận
Định nghĩa 1.3. Chuỗi hình thức
∞

n=0
a
n
φ
n
(z) = a
0
φ
0
(z) + a
1
φ
1
(z) + + a

n
φ
n
(z) +
được gọi là một khai triển tiệm cận của hàm f (z) tương ứng với dãy
tiệm cận {φ
m
(z)} nếu với mọi m = 0, 1, 2, . . .
f(z) −
m

n=0
a
n
φ
n
(z) = o(φ
m
(z)); khi z → z
0
.
Từ biểu thức trên ta nhận được
f(z) −
m−1

n=0
a
n
φ
n

(z) = a
m
φ
m
(z) + o(φ
m
(z)).
Tổng riêng
m−1

n=0
a
n
φ
n
(z) là một xấp xỉ của hàm f(z) với sai số O (φ
m
) khi
z → z
0
, bậc của sai số này có cùng độ lớn với số hạng đầu tiên của phần
dư. Nếu khai triển tiệm cận tồn tại thì nó là duy nhất và các hệ số của
nó được cho bởi
a
m
= lim
z→z
0

f(z) −

m−1

n=0
a
n
φ
n
(z)

.
1
φ
m
(z)

.
16
Nếu một hàm có khai triển tiệm cận theo nghĩa này ta viết
f(z) ∼
∞

n=0
a
n
φ
n
(z).
Tổng riêng của một chuỗi có dạng này thường được gọi là một xấp xỉ
tiệm cận của hàm f(z). Số hạng đầu tiên được gọi là số hạng trội và
chúng ta thường viết f(z) ∼ a

0
φ
0
(z). Điều đó có nghĩa là
f(z)
φ
0
(z)
→ a
0
; khi z → z
0
.
Biểu thức của khai triển tiệm cận phụ thuộc vào cách chọn dãy tiệm
cận. Chẳng hạn, khi z → ∞ thì
1
z − 1
∼
∞

n=1
1
z
n
và
1
z − 1
∼
∞


n=1
z + 1
z
2n
.
Trong các ví dụ này, các khai triển tiệm cận là các chuỗi hội tụ.
Hơn nữa, hai hàm có thể có cùng khai triển tiệm cận. Ví dụ nếu
−
1
2
π + δ ≤ ph(z) ≤
1
2
π − δ; với 0 < δ <
1
2
π,
thì hai hàm
1
z + 1
,
1
z + 1
+ e
−z
có cùng khai triển tiệm cận
∞

n=1
(−1)

z
n
n−1
; khi z → ∞,
vì z
n
và e
−z
→ 0 khi z → ∞ trong miền đã cho.
Một số tính chất của khai triển tiệm cận
Tính duy nhất. Cho một dãy tiệm cận {φ
n
(x)}, dãy khai triển tiệm cận
của f(x) là duy nhất, nghĩa là a
n
được xác định duy nhất như sau
a
1
= lim
x→x
0
f(x)
φ
1
(x)
17
a
2
= lim
x→x

0
f(x) − a
1
φ
1
(x)
φ
2
(x)

a
N
= lim
x→x
0
f(x) −
N−1

n=1
a
n
φ
n
(x)
φ
N
(x)
.
Tính không duy nhất. Với một hàm f(x) có thể có nhiều khai triển tiệm
cận khác nhau. Chẳng hạn, khi x → 0,

tan x ∼ x +
1
3
x
3
+
2
15
x
5
+ · · ·
∼ sin x +
1
2
(sin x)
3
+
3
8
(sin x)
5
+ · · ·.
Tính trội nhỏ. Một khai triển tiệm cận có thể là khai triển của nhiều
hơn một hàm. Chẳng hạn, nếu
f(x) ∼
∞

n=0
a
n

(x − x
0
)
n
; khi x → x
0
,
thì
f(x) + e
−
1
(x−x
0
)
2
∼
∞

n=0
a
n
(x − x
0
)
n
; khi x → x
0
(do e
−
1

(x−x
0
)
2
= o ((x − x
0
)
n
) khi x → x
0
với mọi n). Hơn nữa
∞

n=0
a
n
(x − x
0
)
n
là tiệm cận khi x → x
0
của một hàm bất kỳ khác f(x) bởi một hàm
g(x) sao cho g(x) → 0 khi x → x
0
nhanh hơn mọi lũy thừa của x → x
0
.
Một hàm g(x) như thế được gọi là trội nhỏ hơn một chuỗi lũy thừa tiệm
cận, chuỗi lũy thừa tiệm cận của g(x) có thể là

g(x) ∼
∞

n=0
a
n
(x − x
0
)
n
.
Vì vậy một khai triển tiệm cận là tiệm cận của một lớp các hàm, chúng
khác nhau bởi các hàm trôi nhỏ. Chẳng hạn, hàm e
−x
là trội nhỏ so với
18
một chuỗi tiệm cận có dạng
∞

n=0
a
n
x
−n
; khi x → +∞
và vì vậy nếu f (x) có một khai triển tiệm cận thì f(x) + e
−x
cũng vậy,
nghĩa là f(x) có một khai triển chuỗi lũy thừa tiệm cận sai khác hàm
mũ nhỏ.

Tính bằng nhau của các hệ số. Nếu ta viết
∞

n=0
a
n
· (x − x
0
)
n
∼
∞

n=0
b
n
· (x − x
0
)
n
(1.16)
thì chúng ta nói đến lớp các hàm
∞

n=0
a
n
· (x − x
0
)

n
và
∞

n=0
b
n
· (x − x
0
)
n
là tiệm cận khi x → x
0
, chúng là như nhau. Hơn nữa, tính duy nhất của
khai triển tiệm cận nghĩa là a
n
= b
n
với mọi n, nghĩa là các hệ số của
các luỹ thừa của x − x
0
trong (1.16) là bằng nhau.
Các phép toán đại số. Giả sử
f(x) ∼
∞

n=0
a
n
φ

n
(x) và g(x) ∼
∞

n=0
b
n
φ
n
(x); khi x → x
0
thì
αf(x) + βg(x) ∼
∞

n=0
(a
n
+ b
n
) · φ
n
(x); khi x → x
0
.
với α và β là các hằng số. Khai triển tiệm cận cũng có thể nhân và chia
miễn là trên một dãy khai triển tiệm cận đủ lớn. Nói riêng với các chuỗi
luỹ thừa tiệm cận, khi φ
n
(x) = (x − x

0
)
n
, các phép toán đó được thực
19
hiện như sau
f(x) · g(x) ∼
∞

n=0
c
n
(x − x
0
)
n
;
với c
n
=
n

m=0
a
n
b
n−m
và nếu b
0
= 0, d

0
=
a
0
b
0
thì
f(x)
g(x)
∼
∞

n=0
d
n
(x − x
0
)
n
;
trong đó
d
n
=
a
n
−
n−1

m=0

d
m
b
n−m
b
0
.
Tích phân của khai triển tiệm cận. Một chuỗi lũy thừa tiệm cận có thể
lấy tích phân từng số hạng (nếu f(x) khả tích gần x = x
0
). Vì vậy, nếu
f(x) ∼
∞

n=0
a
n
(x − x
0
)
n
; khi x → x
0
thì
x

x
0
f(t)dt ∼
∞


n=0
a
n
n + 1
(x − x
0
)
n+1
; khi x → x
0
.
Tính khả vi của khai triển tiệm cận. Trong trường hợp tổng quát, một
khai triển tiệm cận không thể lấy đạo hàm từng số hạng. Bài toán với
tính khả vi liên quan đến tính trội nhỏ. Ví dụ, hai hàm
f(x) và g(x) = f (x) + e
−
1
(x−x
0
)
2
sin

e
1
(x−x
0
)
2


khác nhau bởi một hàm trội nhỏ và vì vậy chúng ta có cùng chuỗi lũy
thừa tiệm cận khi x → x
0
. Tuy nhiên f

(x) và
g

(x) = f

(x) − 2(x − x
0
)
−3
cos e
1
(x−x
0
)
2
+ 2(x − x
0
)
−3
e
−
1
(x−x
0

)
2
sin e
1
(x−x
0
)
2
20
không có cùng chuỗi luỹ thừa tiệm cận khi x → x
0
. Nếu f

(x) tồn tại,
là khả tích và
f(x) ∼
∞

n=0
a
n
(x − x
0
)
n
; khi x → x
0
thì
f


(x) ∼
∞

n=0
na
n
(x − x
0
)
n−1
; khi x → x
0
.
Đặc biệt, nếu f(x) là giải tích trên một miền nào đó thì nó có thể đạo
hàm từng số hạng của khai triển tiệm cận của f(x). Nhắc lại rằng một
hàm số thực f(x) được gọi là giải tích tại x = x
0
nếu nó có thể biểu
diễn bởi một chuỗi luỹ thừa của x − x
0
với bán kính hội tụ khác không.
Chẳng hạn
1
x − 1
∼
1
x
+
1
x

2
+ · · ·; khi x → +∞.
Dễ dàng chỉ ra chuỗi này có hội tụ khi x > 1 và vì vậy
1
x − 1
giải tích
khi x > 1 và
1
(x − 1)
2
∼
1
x
2
+
2
x
3
+ · · ·; khi x → +∞.
(Cả hai chuỗi này là khai triển Taylor của các hàm tương ứng.)
21