Lý thuyết sóng nhỏ và một số ứng dụng trong giải phương trình vi phân

LỜI CẢM ƠN
Trước hết tác giả xin bày tỏ sự kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc tới
thầy giáo, TS. Nguyễn Văn Tuấn người đã tận tình hướng dẫn tác
giả trong học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn tại trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các
thầy cô giáo trong Phòng sau đại học, Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã chỉ
dạy tận tình cho tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tác giả cũng cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành
tới gia đình, bạn bè đã luôn cổ vũ, động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt
quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Hà Nội, ngày 05 tháng 12 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Ngọc Quang
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng
tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, TS. Nguyễn
Văn Tuấn.
Trong khi nghiên cứu luận văn tôi đã kế thừa thành quả khoa học
của các nhà khoa học với sự trân trọng biết ơn.
Hà Nội, ngày 05 tháng 12 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Ngọc Quang
Mục lục
Lời cảm ơn i
Lời cam đoan ii
Bảng ký hiệu vi
Mở đầu 1
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4
1.1 Lý thuyết độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Tích phân các hàm đơn giản . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Tích phân của các hàm đo được . . . . . . . . . . 8
1.3 Không gian vectơ, không gian định chuẩn, không gian
Hilbert, không gian L
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.4 Không gian L
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Khai triển Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
iii
1.5 Không gian các hàm Spline . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1 Spline đa thức bậc 3 với mốc cách đều . . . . . . 14
1.5.2 Spline đa thức tổng quát . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Xấp xỉ và tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 LÝ THUYẾT SÓNG NHỎ 20
2.1 Cơ sở sóng nhỏ Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1 Xấp xỉ bằng hàm bậc thang . . . . . . . . . . . . 20
2.1.2 Cơ sở sóng nhỏ Haar . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Phân tích đa phân giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1 Định nghĩa phân tích đa phân giải . . . . . . . . 23
2.2.2 Tính ổn định của các hàm Scaling . . . . . . . . . 24
2.2.3 Tính đầy đủ của hàm bậc thang . . . . . . . . . . 26
2.3 Cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn từ phân tích đa phân giải . . 27
2.3.1 Sóng nhỏ trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 Sóng nhỏ spline trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.1 B-spline cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.2 Xây dựng sóng nhỏ spline trực chuẩn . . . . . . . 34
2.5 Sóng nhỏ có giá compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.1 Tính đối xứng của hàm Scaling và mặt nạ của nó 36
2.6 Biến đổi sóng nhỏ nhanh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6.1 Xấp xỉ khởi đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6.2 Phân dã đa bậc thang . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6.3 Biến đổi sóng nhỏ nhanh . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6.4 Thuật toán kim tự tháp . . . . . . . . . . . . . . 43
iv
3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SÓNG NHỎ 45
3.1 Xấp xỉ hàm số bằng chuỗi sóng nhỏ . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Nghiệm sóng nhỏ cho phương trình vi phân . . . . . . . 46
3.2.1 Kỹ thuật sóng nhỏ Galerkin . . . . . . . . . . . . 48
3.2.2 Các hệ số kết nối . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.3 Phương pháp sóng nhỏ cho ODE . . . . . . . . . 51
3.2.4 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 Một ứng dụng sóng nhỏ Haar trong giải phương trình vi
phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.1 Hàm xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.2 Giải xấp xỉ phương trình vi phân . . . . . . . . . 55
3.3.3 Ứng dụng vấn đề giá trị biên . . . . . . . . . . . . 56
3.3.4 Áp dụng với điều kiện biên hỗn hợp loại 1 . . . . 57
3.3.5 Áp dụng với điều kiện biên hỗn hợp loại 2 . . . . 57
3.3.6 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Kết luận 63
Tài liệu tham khảo 64
v
BẢNG KÝ HIỆU
N Tập số tự nhiên
Z Tập các số nguyên

R Tập số thực
C Tập số phức
S
3
Không gian các hàm Spline bậc 3
C
[a;b]
Không gian các hàm số thực liên tục trên đoạn [a; b]
L
2
[a;b]
Không gian các hàm bình phương khả tích trên [a; b]
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong thời gian gần đây lý thuyết sóng nhỏ và các ứng dụng nhận
được sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều nhà toán học trong và ngoài
nước. Lý thuyết sóng nhỏ với các ứng dụng của nó đã xâm nhập vào rất
nhiều lĩnh vực trong cuộc sống hiện đại như sử lý tín hiệu, sử lý ảnh, đồ
họa máy tính
Khi nghiên cứu về lý thuyết sóng nhỏ và ứng dụng có xuất hiện
một số vấn đề sau
1. Có thể xấp xỉ một hàm số bằng chuỗi sóng nhỏ hay không?
2. Trong các sóng nhỏ đã được giới thiệu sóng nhỏ Haar có ứng dụng
rất tốt vào giải phương trình vi phân. Sóng nhỏ Haar có thể đơn
giản phương trình vi phân về thành một hệ phương trình đại số.
Tuy nhiên ứng dụng cụ thể trong việc sử dụng sóng nhỏ Haar để
giải gần đúng nghiệm của phương trình
y

+ α

1
(t)y

+ α
2
(t)y = f(t)
Với các điều kiện biên khác nhau :
y(0) = y
0
, y

(0) = y
1
,
y(0) = β
0
, y(1) = β
1
,
y(0) = A, y

(1) = B,
và
y

(0) = A, y(1) = B.
Còn nhiều vấn đề cần được làm rõ.
2
3. Trong phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi phân, sử dụng kỹ
thuật Galerkin cũng thường xuyên được sử dụng. Tuy nhiên có khó

khăn trong việc đối phó với điều kiện biên. Phương pháp tiếp cận
biên ảo với các hệ số kết nối có thể khắc phục được các khó khăn
trên. Cần được nghiên cứu nhiều hơn.
Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết sóng nhỏ và các ứng
dụng của nó, được sự đồng ý hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Tuấn,
tôi đã lựa chọn đề tài nghiên cứu "Lý thuyết sóng nhỏ và một số
ứng dụng trong giải phương trình vi phân" để thực hiện luận văn
tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu lý thuyết cơ bản của sóng nhỏ. Nghiên cứu xấp xỉ hàm
số bằng chuỗi sóng nhỏ, nghiệm sóng nhỏ cho phương trình vi phân.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày về khái niệm sóng nhỏ.
Trình bày về xấp xỉ hàm số bằng chuỗi sóng nhỏ.
Trình bày nghiệm sóng nhỏ cho phương trình vi phân.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết sóng nhỏ và ứng dụng trong giải
phương trình vi phân.
3
5. Phương pháp nghiên cứu
Thu thập nghiên cứu phân tích tổng hợp tài liệu có liên quan, đặc
biệt là các bài báo mới trong nước và ngoài nước về vấn đề luận văn đề
cập tới.
Lấy ý kiến chuyên gia.
6. Dự kiến đóng góp mới
Luận văn là một nghiên cứu tổng quan của tác giả về lý thuyết
sóng nhỏ.
Sử dụng sóng nhỏ để xấp xỉ một hàm số.
Sử dụng sóng nhỏ để tìm nghiệm của phương trình vi phân với độ
chính xác cao.

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Lý thuyết độ đo
Định nghĩa 1.1.1. Cho tập hợp X tùy ý. M là một lớp tập con của X.
Một hàm số µ xác định trên M được gọi là một hàm tập hợp, hay gọn
hơn, một hàm tập. Hàm tập hợp đó là cộng tính nếu:
A, B ∈ M, A ∩B = ∅, A ∪B ∈ M
⇒ µ(A ∪B) = µ(A) + µ(B).
Bằng cách quy nạp ta có nếu µ là cộng tính thì µ là "hữu hạn cộng tính",
nghĩa là A
i
∈ M(i = 1, 2, , n), A
i
∩ A
j
= ∅(i = j),

n
i=1
A
i
∈ M thì ta
có
µ


n
i=1
A
i


=
n

i=1
µ(A
i
).
Hàm µ được gọi là σ-cộng tính nếu A
i
∈ M(i = 1, 2, n), A
i
∩A
j
=
∅(i = j),

∞
i=1
A
i
∈ M thì ta có
µ


∞
i=1
A
i


=
∞

i=1
µ(A
i
).
Một hàm tập µ gọi là một độ đo nếu nó xác định trên một đại số C và
1. µ(A) ≥ 0 với mọi A ∈ C.
4
5
2. µ(θ) = 0.
3. µ là σ-cộng tính.
Định lý 1.1.1. Nếu µ là độ đo trên đại số C thì
1. A, B ∈ C, B ⊂ A ⇒ µ(B) ≤ µ(A).
2. A, B ∈ C, B ⊂ A, µ(B) < +∞ ⇒ µ (A\B) = µ(A) −µ(B).
3. A
i
∈ C, A ∈ C, A ⊂

∞
i=1
A
i
⇒ µ(A) ≤

∞
i=1
µ(A
i

), (i = 1, 2, ).
4. A
1
∈ C, A
i
∩A
j
= ∅, A ∈ C, A ⊃

∞
i=1
A
i
⇒ µ(A) ≥

∞
i=1
µ(A
i
), (i =
1, 2, ).
Định lý 1.1.2. Nếu µ là một độ đo trên đại số C thì
1. A
i
∈ C(i = 1, 2, ), A
1
⊂ A
2
⊂ ,


∞
i=1
A
i
∈ C
⇒ µ


∞
i=1
A
i

= lim
i→∞
µ (A
i
)
2. A
i
∈ C, A
1
⊃ A
2
⊃ , µ(A
1
) < ∞,

∞
i=1

A
i
∈ C
⇒ µ


∞
i=1
A
i

= lim
n→∞
µ (A
i
) .
Định nghĩa 1.1.2. Một hàm tập µ
∗
xác định trên lớp tất cả các tập con
của một không gian X, được gọi là một độ đo ngoài nếu
1. µ
∗
(A) ≥ 0 với mọi A ⊂ X.
2. µ
∗
(∅) = 0.
3. A ⊂

∞
i=1

A
i
⇒ µ
∗
(A) ≤
∞

i=1
µ
∗
(A
i
).
Định lý 1.1.3 (Caratheodory). Cho µ
∗
là một độ đo ngoài trên X và L
là lớp tất cả các tập con A của X sao cho
µ
∗
(E) = µ
∗
(E ∩ A) + µ
∗
(E\A) với mọi E ⊂ X. (1.1)
Khi ấy L là một σ-đại số và hàm µ = µ
∗
/L (thu hẹp của µ
∗
trên L) là
một độ đo trên L.

6
Độ đo µ gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài µ
∗
.
Các tập A (thỏa mãn điều kiện (1.1)) gọi là µ
∗
-đo được.
Định lý 1.1.4. Cho m là một độ đo trên đại số C những tập con của X.
Nếu ta đặt với mỗi A ⊂ X:
µ
∗
(A) = inf

∞

i=1
m(P
i
) :

∞
i=1
P
i
⊃ A, P
i
∈ C

, (1.2)
thì µ

∗
là một độ đo ngoài và µ
∗
(A) = m(A) với mọi A ∈ C, đồng thời
mọi tập hợp thuộc σ-đại số F(C) đều là µ
∗
-đo được.
Định nghĩa 1.1.3. Một độ đo µ trên một σ-đại số L được gọi là đủ nếu
mọi tập con của một tập bất kỳ thuộc L có độ 0 đều cũng thuộc L và có
độ đo 0, nghĩa là nếu
N ⊂ E, µ (E) = 0 ⇒ N ∈ L, µ(N) = 0. (1.3)
Định lý 1.1.5. Cho một độ đo m trên một đại số C. Bao giờ cũng có
một độ đo µ trên σ-đại số L ⊃ F(L) ⊃ C sao cho:
1. µ(A) = m(A) với mọi A ∈ C (nghĩa là µ khuếch m).
2. µ là hữu hạn (σ-hữu hạn) nếu m là hữu hạn (σ-hữu hạn).
3. µ là độ đo đủ.
4. Một tập A thuộc họ L khi và chỉ khi nó có thể biểu diễn dưới dạng
A = B\Nhoặc A = B ∪N
trong đó B ∈ F(C), N ⊂ E ∈ F(C), µ
∗
(E) = µ(E) = 0, và µ
∗
là độ
đo ngoài xác định từ m theo công thức (1.2).
Định nghĩa 1.1.4. Trong không gian X, một σ-đại số F những tập con
của X, và một tập A ∈ F. Một hàm f(x) : X → R gọi là đo được trên
tập A đối với σ-đại số F nếu
∀a ∈ R, {x ∈ A : f(x) < a} ∈ F. (1.4)
7
Điều kiện (1.4) có thể thay bằng một trong các điều kiện sau :

∀a ∈ R, {x ∈ A : f(x) > a} ∈ F,
∀a ∈ R, {x ∈ A : f(x) ≤ a} ∈ F,
∀a ∈ R, {x ∈ A : f(x) ≥ a} ∈ F.
1.2 Tích phân Lebesgue
1.2.1 Tích phân các hàm đơn giản
Trong một không gian X, với một σ-đại số F và một độ đo µ trên
F, cho A là một tập đo được (tức là ∈ F), và một hàm đơn giản không
âm trên A:
f (x) =
n

i=1
α
i
χ
A
i
(x), (1.5)
trong đó A
i
đo được, rời nhau và
n

i=1
A
i
= A.
Nếu mỗi A
i
là một đoạn ∆

i
trong R
k
thì tích phân của hàm f(x) là số
n

i=1
α
i
|∆
i
|. Trong trường hợp tổng quát khi mỗi A
i
là các tập đo được
thì ta thay |∆
i
| bằng µ(A
i
). Vì vậy ta hiểu tích phân của các hàm đơn
giản không âm f(x) trên tập A với độ đo µ là số

f (x)dµ =
n

i=1
α
i
µ(A
i
).

Kí hiệu:

A
f(x)dµ hay

A
f .
Bổ đề 1.2.1. Nếu hai dãy hàm đơn giản f
n
, g
n
≥ 0, đơn điệu tăng (tức
là f
1
(x) ≤ f
2
(x) ≤ ; g
1
(x) ≤ g
2
(x) ≤ ) và nếu lim
n→∞
f
n
= lim
n→∞
g
n
thì
lim

n→∞

A
f
n
= lim
n→∞

A
g
n
.
8
1.2.2 Tích phân của các hàm đo được
Ta lần lượt xét các trường hợp các hàm không âm, trường hợp
hàm có dấu thay đổi.
1. f(x) ≥ 0 trên tập A.
Khi đó có một dãy hàm đơn giản f
n
≥ 0, đơn điệu tăng hội tụ đến
f. Ta gọi tích phân của f(x) trên tập A đối với độ đo µ là số (hữu
hạn hay vô cực)

A
f(x)dµ = lim
n→∞

A
f
n

(x)dµ.
Ta có tích phân trên xác định duy nhất và không phụ thuộc vào
cách chọn dãy hàm f
n
.
2. f(x) có dấu bất kỳ trên tập A.
Ta đặt
f = f
+
− f
−
với f
+
= max {f, 0} ≥ 0, f
−
= max {−f, 0} ≥ 0 . Nếu hiệu số

A
f
+
−

A
f
−
có nghĩa (tức là không có dạng ∞−∞) thì ta gọi nó
là tích phân của hàm f trên tập A với độ đo µ:

A
f(x)dµ =


A
f
+
(x)dµ −

A
f
−
(x)dµ,
nếu tích phân trên hữu hạn ta nói f khả tích.
Định lý 1.2.1. 1. Nếu µ(A) = 0 và f đo được thì

A
f = 0.
2. Nếu µ(A) < ∞, f đo được và bị chặn trên A, thì f khả tích trên A.
9
1.3 Không gian vectơ, không gian định chuẩn, không
gian Hilbert, không gian L
2
1.3.1 Không gian vectơ
Định nghĩa 1.3.1. Cho tập hợp E mà các phần tử được ký hiệu là:
−→
α ,
−→
β ,
−→
γ, và trường số K mà các phần tử được kí hiệu là: x, y, z
Giả sử trên E có 2 phép toán:
1. Phép toán cộng, kí hiệu là + : E × E → E,


−→
α ,
−→
β

→
−→
α +
−→
β .
2. Phép toán nhân, kí hiệu là . : K × E → E, (x,
−→
α ) → x.
−→
α .
Thỏa mãn các tiên đề sau:
(a)
−→
α +
−→
β =
−→
β +
−→
α , ∀
−→
α ,
−→
β ∈ E.

(b)
−→
(α +
−→
β ) +
−→
γ =
−→
α + (
−→
β +
−→
γ), ∀
−→
α ,
−→
β ,
−→
γ ∈ E.
(c) Tồn tại
−→
θ ∈ E sao cho
−→
θ +
−→
α =
−→
α +
−→
θ =

−→
α , ∀
−→
α ∈ E.
(d) Với mỗi
−→
α tồn tại
−→
α

∈ E sao cho
−→
α

+
−→
α =
−→
α +
−→
α

=
−→
θ .
(e) (x + y)
−→
α = x
−→
α + y

−→
α , ∀
−→
α ∈ E, x, y ∈ K.
(f) x

−→
α +
−→
β

= x
−→
α + x
−→
β , ∀
−→
α ,
−→
β ∈ E, x ∈ K.
(g) x (y
−→
α ) = (xy)
−→
α , ∀
−→
α ∈ E, x, y ∈ K.
(h) 1.
−→
α =

−→
α , ∀
−→
α ∈ E với 1 là đơn vị của trường K.
Khi đó E cùng với hai phép toán trên gọi là không gian vectơ trên trường
K hay K không gian vectơ, hay không gian tuyến tính.
Nếu K = R thì E gọi là không gian vectơ thực.
Nếu K = C thì E gọi là không gian vectơ phức.
Định nghĩa 1.3.2. Giả sử E là một không gian vectơ.
Một hệ vectơ trong E gọi là hệ sinh của E nếu mọi vectơ của E
đều được biểu thị tuyến tính qua hệ đó.
10
Khi E có hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì ta nói E là không gian
vectơ hữu hạn sinh.
Một hệ vectơ trong E được gọi là cơ sở của E nếu nó là hệ sinh
độc lập tuyến tính.
Định nghĩa 1.3.3. Cho E là không gian vectơ có cơ sở gồm hữu hạn
phần tử. Khi đó số phần tử của cơ sở được gọi là số chiều của không
gian vectơ. Khi không gian vectơ có số chiều là n ta kí hiệu:
dim E = n hay dim
K
E = n.
Định nghĩa 1.3.4. Tập con W = ∅ của một K không gian vectơ E được
gọi là không gian vectơ con của E nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
1. ∀
−→
α ,
−→
β ∈ W,
−→

α +
−→
β ∈ W.
2. ∀
−→
α ∈ W và ∀x ∈ K thì x
−→
α ∈ W.
1.3.2 Không gian định chuẩn
Cho X là một không gian vectơ trên trường P (P = R hoặc C).
Định nghĩa 1.3.5. Một chuẩn, kí hiệu ., trong X là một ánh xạ từ X
vào R thỏa mãn các điều kiện:
1. x ≥ 0, ∀x ∈ X; x = 0 khi và chỉ khi x = 0.
2. λx = |λ|x, ∀λ ∈ P, ∀x ∈ X.
3. x + y ≤ x+ y, ∀x, y ∈ X.
Số x được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x ∈ X. Một không
gian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy, được gọi
là không gian định chuẩn (thực hoặc phức tùy theo P).
11
Định lý 1.3.1. Giả sử X là một không gian tuyến tính định chuẩn. Với
mọi x, y ∈ X, đặt
d (x, y) = x −y.
Khi đó d là một metric trên X.
Định nghĩa 1.3.6. Dãy (x
n
) trong không gian tuyến tính định chuẩn X
được gọi là hội tụ đến x
0
∈ X nếu
lim

n→∞
x
n
− x
0
 = 0.
Khi đó, ta kí hiệu: lim
n→∞
x
n
= x
0
.
Định nghĩa 1.3.7. Dãy x
n
trong không gian tuyến tính định chuẩn X
được gọi là một dãy cơ bản nếu lim
m,n→∞
x
m
− x
n
 = 0.
Định nghĩa 1.3.8. Giả sử không gian tuyến tính định chuẩn X là một
không gian metric đầy đủ (với metric d (x, y) = x − y). Khi đó, X
được gọi là một không gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không
gian Banach.
Định nghĩa 1.3.9. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường
P. Ánh xạ A từ không gian X vào Y được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu
A thỏa mãn:

1. A (x + y) = Ax + Ay, ∀x, y ∈ X.
2. A (αx) = αAx, ∀x ∈ X, α ∈ P.
Nếu A chỉ thỏa mãn 1. thì A được gọi là cộng tính.
Nếu A thỏa mãn 2. thì ta nói A là toán tử thuần nhất.
Khi Y = P thì A được gọi là phiếm hàm tuyến tính.
12
1.3.3 Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.3.10. Cho không gian tuyến tính X trên trường số P
(P = R hoặc P = C). Ta gọi tích vô hướng trên không gian X là một
ánh xạ từ tích Descartes X × X vào trường P, kí hiệu (., .), thỏa mãn
các tiên đề
1. (y, x) = (x, y), ∀x, y ∈ X.
2. (x + y, z) = (x, z) + (y, z) , ∀x, y, z ∈ X.
3. (αx, y) = α (x, y) , ∀α ∈ P và ∀x, y ∈ X.
4. (x, x) > 0, nếu x = θ; (x, x) = 0, nếu x = θ (θ là kí hiệu của phần
tử không), ∀x ∈ X.
5. (x, x) = x
2
.
Các phần tử x, y, z gọi là các phần tử của tích vô hướng. Số
(x, y) gọi là tích vô hướng của hai phần tử x, y. Các tiên đề 1, 2, 3, 4, 5
gọi là hệ tiên đề của tích vô hướng.
Định nghĩa 1.3.11. Không gian tuyến tính X trên trường P cùng với
một tích vô hướng ở trên X gọi là không gian tiền Hilbert.
Định lý 1.3.2. Cho X là một không gian tiền Hilbert. Với mỗi x ∈ X,
đặt
x =

(x, x).
Khi đó, ta có bất đẳng thức Schwarz

|(x, y)| ≤ x. y, ∀x, y ∈ X.
Định nghĩa 1.3.12. Ta gọi không gian tuyến tính H = ∅ trên trường P
là một không gian Hilbert nếu H thỏa mãn các điều kiện.
1. H là không gian tiền Hilbert.
13
2. H là không gian Banach với chuẩn x =

(x, x), ∀x ∈ X.
Ta gọi mỗi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert
H là một không gian Hilbert con của không gian H.
1.3.4 Không gian L
2
Định nghĩa 1.3.13. Cho khoảng [a; b], khi đó không gian L
2
[a;b]
là tập
hợp tất cả các hàm lũy thừa bậc 2 khả tích trên đoạn [a; b], tức là
L
2
[a;b]
=

f





[a;b]
|f|

2
< ∞

với tích vô hướng f, g =

b
a
f.g.
Định lý 1.3.3. Không gian L
2
[a;b]
là không gian đầy đủ.
1.4 Khai triển Fourier
Định nghĩa 1.4.1. Cho một hàm f ∈ L
1
, là một hàm nhận giá trị phức

f (ω) =

R
f (t) e
−iωt
dt, ω ∈ R, (1.6)
được gọi là khai triển Fourier của hàm f.
Khai triển Fourier có tính chất tuyến tính tức là

f + g =

f + g và


cf = c

f
trong đó c ∈ C.
Định nghĩa 1.4.2. Cho g ∈ L
1
. Tích phân
1
2π

R
g (ω) e
iωt
dω được gọi
là khai triển Fourier ngược của g kí hiệu là g
∨
.
Định nghĩa 1.4.3. Cho f, g ∈ L
1
. Tích chập của hàm f và g được xác
định bởi
f ∗ g(x) =

+∞
−∞
f(x −t)g(t)dt.
14
Định lý 1.4.1 (Định lý tích chập). Nếu f ∈ L
2
và g ∈ L

1
thì
[f ∗ g]
∧
(ω) =

f(ω).g(ω)
hầu khắp nơi.
Định lý 1.4.2 (Công thức Parseval). Nếu f, g ∈ L
2
, thì

∞
−∞

f (u) g (u) du =

∞
−∞
f (u) g (u) du.
1.5 Không gian các hàm Spline
1.5.1 Spline đa thức bậc 3 với mốc cách đều
Xét phân hoạch π trên đoạn [a, b] với các mốc nội suy
a = t
0
< t
1
< t
2
< < t

n
= b.
Kí hiệu h
i
= t
i
−t
i−1
, nếu h
i
= h = const thì các mốc nội suy t
0
, t
1
, , t
n
gọi là các mốc nội suy cách đều.
Định nghĩa 1.5.1. Một Spline đa thức bậc 3 trên đoạn [a, b] với phân
hoạch π là một hàm số y = s (t) thỏa mãn hai điều kiện sau:
1. s (t) ∈ C
2
[a, b] .
2. Hạn chế của s (t) trên mỗi khoảng ∆
i
= [t
i
; t
i+1
] là đa thức s (t) |
∆

i
với deg(s(t) |
∆
i
) ≤ 3, ∀i = 0, 1, 2, , n.
Không gian gồm tất cả các hàm s(t) thỏa mãn hai điều kiện trên kí hiệu
là S
3
(π).
Từ định nghĩa ta có không gian S
3
(π) chứa tất cả các đa thức có
bậc nhỏ hơn hoặc bằng 3. Ta có thể kiểm tra được S
3
(π) là một không
gian tuyến tính.
15
Mệnh đề 1.5.1. Không gian S
3
(π) là không gian tuyến tính và không
gian đó chứa tất cả các đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 3.
Bài toán 1. Tồn tại duy nhất hàm số s (t) ∈ S
3
(π) thỏa mãn hệ điều
kiện








s

(t
0
) = f

(t
0
) ,
s (t
i
) = f (t
i
) , 0 ≤ i ≤ n,
s

(t
n
) = f

(t
n
) .
Khi đó s(t) gọi là đa thức nội suy Spline bậc 3 của hàm f(t).
Xây dựng sự tồn tại của hàm s(t) với các mốc nội suy cách đều
t
i
= t

0
+
i(b−a)
n
, trong đó chúng ta bổ xung thêm 4 mốc nội suy t
n−2
<
t
n−1
< t
0
và t
n+2
> t
n+1
> t
n
đồng thời xét hàm số B
i
(t) được xác định
bởi công thức
B
i
(t) =
1
h
3


















(t −t
i−2
)
3
, t ∈ [t
i−2
, t
i−1
] ,
h
3
+ 3h
2
(t −t
i−1
) + 3h(t −t

i−1
)
2
− 3(t −t
i−1
)
3
, t ∈ [t
i−1
, t
i
] ,
h
3
+ 3h
2
(t
i+1
− t) + 3h(t
i+1
− t)
2
− 3(t
i+1
− t)
3
, t ∈ [t
i
, t
i+1

] ,
(t
i+2
− t)
3
, t ∈ [t
i+1
, t
i+2
] ,
0, t /∈ [t
i−2
, t
i+2
] .
(1.7)
Bằng cách thay vào (1.7) các hàm số B
i
(t) liên tục, khả vi 2 lần trên R
mà
B
i
(t
j
) =








4, j = i,
1, j = i −1 hoặc j = i + 1,
0, j = i −2 hoặc j = i + 2.
Đồng thời B
i
(t) ≡ 0 với t ≥ t
i+2
và t ≤ t
i−2
.
Các hàm B-Spline khác không nhỏ gọn nhất với các mốc nội suy
t
−2
< t
−1
< t
0
< < t
n
< t
n+1
< t
n+2
và bất kỳ spline đa thức bậc ba
s(t) đồng nhất triệt tiêu bằng không ngoài khoảng (t
j−2
, t
j+2

).
Hơn nữa mỗi B
1
(t) là bậc 3 trên [t
j
, t
j+1
] nên B
i
(t) ∈ S
3
(π).
16
Tính B
i
(t), B

i
(t), B

i
(t) ta có bảng sau.
t t
j−2
t
j−1
t
j
t
j+1

t
j+2
B
i
(t) 0 1 4 1 0
B

j
(t) 0
3
h
o −
3
h
0
B

j
(t) 0
6
h
2
−
12
h
2
6
h
2
0

Giả sử B = {B
−1
, B
0
, , B
n+1
} và B
3
(π) = span B ta có hệ B là
độc lập tuyến tính và B
3
(π) là không gian n + 3 chiều.
Định lý 1.5.1. Có duy nhất một hàm s (t) ∈ B
3
(π) thỏa mãn bài toán
1.
Định lý 1.5.2. Với các không gian S
3
(π) và B
3
(π) ta có
B
3
(π) = S
3
(π).
Hệ quả 1.5.1. S
3
(π) là không gian tuyến tính n + 3 chiều với hệ cơ sở
B = {B

−1
, B
0
, , B
n+1
}.
Hệ quả 1.5.2. Tồn tại duy nhất một spline bậc 3 s(t) là nghiệm của bài
toán 1.
Hàm s(t) trên gọi là spline nội suy bậc 3 của f(t).
1.5.2 Spline đa thức tổng quát
Để nghiên cứu khái niệm B −spline tổng quát chúng ta đi từ khái
niệm sai phân của hàm số.
Ta có:
∆f(x
0
) = f(x
1
) −f(x
0
)
∆
k+1
f (x
0
) = ∆f (x
1
) −∆f (x
0
) .
17

Cụ thể
∆
2
f (x
0
) = f (x
2
) −2f (x
1
) + f (x
0
)
∆
3
f (x
0
) = f (x
3
) −3f (x
2
) + 3f (x
1
) + f (x
0
)
∆
4
f (x
0
) = f (x

4
) −4f (x
3
) + 6f (x
2
) −4f (x
1
) + f (x
0
) .
Hệ số của f(x
k
) trong ∆
n
f (x
0
) là (−1) C
k
n
. Ta có với các điểm mút
cách đều x
i
= x
0
+ ih thì ∆
n
f (x
0
) của đa thức bậc n −1 luôn bằng 0.
Định lý 1.5.3. Sai phân bậc n với các mút cách đều của đa thức P (x)

bậc n − 1 bất kỳ luôn bằng 0, tức là ∆
n
P (x) = 0.
Nhận xét: Định lý không đúng khi các nút không cách đều, chẳng
hạn p(x) = 0, x
0
= 0, x
1
= 1, x
2
= 4 thì ∆
2
p(x
0
) = p(x
2
)−2p(x
1
)+ p
x
0
=
2. Đạo hàm của hàm B −spline được tính theo công thức
K(t) = ∆
4
F
t
(x
0
),

khi đó với mỗi t cố định ta xét:
F (t) = (x −t)
3
+
.
Hàm (x −t)
3
+
được xác định bởi
(x −t)
3
+
=

(x −t)
3
, t ≤ x,
0, t > x.
Ta có F
t
(x) là hàm khả vi liên tục 2 lần trên toàn trục số nhưng không
khả vi liên tục ba lần.
Thật vậy: hàm F

t
(x) gián đoạn suy ra từ công thức sau:
F

t
(x) =

d
3
F
t
(x)
dx
3
=

6, x > t,
0, x < t.
Ta có F
t
(x), t ∈ R là một hàm spline bậc ba, hay F
t
(x) ∈ S
3
(π). Ta có
mệnh đề sau:
18
Mệnh đề 1.5.2. K(t) ∈ S
3
(π).
Định nghĩa 1.5.2. Giả sử π là một phân hoạch t
0
< t
1
< t
2
< <

t
n
, (n ≥ m + 1) của [a, b], không gian
S
m
(π) =

s(t) ∈ C
m−1
[a, b]

là không gian các hàm spline đa thức bậc m với các mốc nội suy của phân
hoạch π. Trong đó s(t)|
[t
i
,t
i+1
]
là các đa thức bậc m. Khi đó s(t) được gọi
là một spline đa thức bậc m.
Ví dụ 1.5.1.
Cho m = 1 thì F
t
(x) = (x −t)
+
và
K(t) = ∆
2
F
t

(x
0
) = (x
2
− t)
+
− 2(x
1
− t)
+
+ (x
0
− t)
+
=







(x
2
− t), x
1
< t ≤ x
2
,
(x

2
− t) −2(x
1
− t), x
0
≤ t ≤ x
1
,
0, t /∈ [x
0
, x
2
]
=







(x
2
− t), x
1
< t ≤ x
2
,
h −(x
1

− t), x
0
≤ t ≤ x
1
,
0, t /∈ [x
0
, x
2
] .
Như vậy
φ
1
i
=
1
h
∆
2
F
t
(x
i−1
) =
1
h
K(t)
là đa thức nội suy của bài toán
φ
1

i
(t
j
) = δ
ij
, 0 ≤ j ≤ n.
1.6 Xấp xỉ và tốc độ hội tụ
Tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ.
19
Định nghĩa 1.6.1. Cho π là một phân hoạch đều của đoạn [a; b] với các
mốc là a = x
0
< x
1
< < x
n
= b, h =
b−a
n
= x
i
− x
i−1
, i = 1, , n.
Giả sử x
n
là nghiệm xấp xỉ của phương trình toán tử Lx = f trong không
gian C
[a;b]
và x là nghiệm đúng của phương trình đó.

Nếu có đánh giá x
n
− x ≤ ch
k
với c là hằng số dương không phụ thuộc
h, k ∈ N
∗
thì ta nói nghiệm x
n
là hội tụ bậc k tới nghiệm chính xác x
(hay độ chính xác bậc h
k
).