Vector riêng của toán tử (K,Uo) - lõm chính quy cực trị trong không gian định chuẩn với hai nón

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
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1.4.1. Không gian
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l

. 19
1.4.2. Không gian
[ , ]M a b
32
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0
( , )Ku
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51
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- lõm chính quy trong không gian
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51

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,Ku
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53
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0
( , )Ku
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        
 61
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0
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0
,Ku

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 66
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 72


1

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
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0
u
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0
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2
2. 

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 
0

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0
u
- 
3. 
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 
 
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,Ku
- lõm chính quy  ,        
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 
 
 
0
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5. 
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6. 

  


3

 
0
,Ku
- lõm chính quy 
và vector ; x


2
, [ , ]l M a b

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0
,Ku
- 
 

.


4



1.1. 
.1. 

X

R
cùng
 
X

R

.


 
C
1.

 
, 0, 0x X x x x

     

X
);
C
2.

   
, , ;x X R x x
  
    

C
3.
 
, , .x y X x y x y    


x

x
.


X
.

1
, C
2,
C
3
  
.1.2. 
 
n
x

X


xX

lim 0
n
n
xx


.
1.1.3. 
 
1
n

n
x



X

  , 
,
lim 0
nm
mn
xx


, hay
 
 
*
0
0 nN

   
sao cho
 
0
,m n n
ta có
nm
xx



.
.1.4. 
X


X

1.1.5. Không gian Banach
X

X
là
E
.
1.2. 


5
1.2.1. -  
 
0
Ku

  .1.     
E
.    
KE
 

K

N
1
.
K

E
;
N
2
.
,x K y K x y K      
;
N
3
.
,0x K t tx K     
;
N
4
.
,x K x x K

    
.
  .1 
K
         
K



và
K

*)
, , 0x K t R t    
ta có
tx K

0t 
ta có
0. .xK



*)
, , [0,1]x y K t   
ta có
 
,1tx K t y K  
suy ra
 
1.tx t y K  


K

. 
E

,
K

không gian
E
. 
,x y E
, 
xy

y x K
.
, 

 trên
E

+)
( ) , x E x x  
vì
x x K

  





+)
( , , : , y ) , x y z E x y z y x K z y K        

.

( ) ( )z x z y y x K x z       





+ )
( , : , y ) ,x y E x y x x y    
vì 
xy
thì
yx


.
Do
y x K
nên
x y K
, 
yx
.








E
theo
K
.


6
Lúc này, ta nói không gian
E
là không gian Banach 
 theo nón
K
.


.2.1. 
   
11
, , , 1,2,
n n n n
nn
x E y E x y n


    

và
lim , lim
nn

nn
x x y y
 

trong không gian
E
thì
xy
.
 , vì
 
, 1,2, ,lim
n n n n
n
y x K n y x y x

      
và
K
  
nên
y x K x y   
.
1.2.2. 
 
0
\,u K x E


. 

,tR

0
x tu
thì
0
,xu



,R



t


.

, , 0 ( )
oo
tu x K R t t t u K
   
          


( ) ( )
o o o
u x t u tu x K


      


, , .
o
x u R t
  
    

1.2.3. 
 
0
\,uK



0
xK
sao cho
0
tR
,
0 0 0
x t u
. Khi

t
sao cho
0 0 0
x t u

.

:f R K


00
()t f t tu x
.


E
, nên
f
li

K
trong không gian
E
suy ra
1
()fK


gian
R

1
0
()t f K



.

 
1
inf fK

 
.

 
1
1
()
n
n
t f K




sao cho
00n
t u x K
và
lim
n
n
t


 
.


7

n

0
n
t 
, nên
 
0 0 0 0
11
.
n
nn
u x t u x K
tt
     


0
1
n
n
ux
t


khi
n 

0
uK
,

K

 
1
inf 1fK


  
.
Do
1
()fK

là 
1
()fK




1
min ( )fK




.
Vì 



00
.u x K



1.2.4. 
 
0
\uK


,
0
xE
sao cho
0 0 0 0
0,t x t u   
. Khi
      
t
sao cho
00
x tu

.   vì
00
x E x E   
. , 
0
:uK

0 0 0 0 0 0 0
0,t x t u x t u      
.

t
:
00
x tu
,

t
sao cho:
00
x tu
.
1.2.3. Cho
K

E
.
 
,x y E


c
và
d
sao cho
cx y dx
.
Nhận xét: 
E

E


,x y E

zE


''
, , ,c d c d
sao cho:

,cz x dz


''
.c z y d z

Ta có:

8

'
''
,
cc
x cz d z y
dd
  


'
''
.
dd
x dz c z y
cc
  

      
11
''
,
cd
cd
dc

sao cho
11
c y x d y

hay
x


y
.
1.2.4. 
 
0
Ku

E
thông

 
0
\uK


. 
 
 
0
\K u K


.


E

,
K

E
.
.5. Nón
K
 , 

1 2 1 2
( 0)( , : 1)e e K e e

     
thì
12
ee



. Nón
K

 
   
0,
xx
x K r S x r K    
,

 

 
,:
xx
S S x r y E y x r    
.
.7. Dãy
 
1
n
n
xE



 
12

n
x x x   

Dãy
1
()
nn
xE




12

n
x x x   


. Dãy
 
1
n
n
xE




uE
sao cho :
*
,
n
x u n N  
.
Dãy
1
()
nn
xE





vE
sao cho:
*
,
n
x v n N  
.


9
Dãy
1
()
nn
xE



:
( 0)M
*
()
n
E
n N x M  
.
. Nón
K



E
.
Nón
K
, 
  trong không gian
E
.
. 
K

K
.
 Cho
E
,
K

gian
E
. 
K
 
*
( )( )( ) 1
n n n n
n N y K x K x y       
sao cho
2

1
nn
xy
n

.
  
1 1 2 2
( ) ( ) ( )
nn
x y x y x y      
    trong
không gian Banach 
E
.

12
1
( ) , ( 1,2, )
n n n n
n
u x y z x x x n


      

,
thì
*
11

1 ,
n n n
z z x n N

    
.

1
()
nn
z



u
. 
1
1
, ( )
n
n n n j j
j
z z z x y u


   

,
, dãy
1

()
nn
z



u

1
()
nn
z


  
K
.

K

K
  .
. 
K

K



10

 
. 
K


*
1
( )( , : 1) ( 1,2, )
2
n n n n n n
n
n N e g K e g e g n        

Xét dãy
1 1 2 2
1 1 2 2 1
, 2 ,

+e , 2 1.
nn
k
n n n
e g e g e g k n
h
e g e g e g k n

      




       


còn
 
11
1,2, h e n
.

12

k
h h h   
và
1 1 2 2
1
1
<1 ( 2 )
2
n
k n n
j
j
h e g e g e g k n

        

;
1 1 2 2 1
1 1 2 ( 2 1)

k n n n
h e g e g e g e k n

            
.
Suy ra, dãy
1
()
kk
h


là dãy          

11
=1 ( 1,2, )
k k n
h h e k

   
, 

K
.
,
K
 .

K



1
()
nn
xE





*
12
( ) , ,
nn
y K x x x x y n N        
.
, dãy
11
()
nn
xx




K


1
yx

và
 
1n
x x K
.
Do
K

 
11
0
n
M x x M y x    
.


11
T
K
, suy ra dãy
11
()
nn
xx




không gian
E

nên dãy
1
()
nn
x



E
.

K

. 
K

K

. 
K
 
 
n
xE


 
 
*
12

; 0 .
nn
x x x M n N x M        


0
u

K
:
 
 
 
00
0 , : .r S u r x E x u r K      

Ta có
 
 
0
\
rx
x E u K
x

   
, vì
00
rx
u u r

x
  


00
x
rx
u x u
xr

    
.

x



Suy ra
00
n
n
x
M
x u u
rr

.

 
n

x

 
n
x


K

1.3. Không gian
0
u
E


0
u
-  không gian
0
u
E


E

K

 
0
\uK



n

xE

0
u
- 
12
,tt
sao cho
1 0 2 0
  t u x t u
.


12

1
t
là
 
x


2
t
là
 

x

. Theo tính c 1.2.3
 thì:
   
00
x u x x u

  
(1.1)

   
12
,t x t x


.

0
u
E
là 
xE

0
u
- 
Không gian
0
u

E
:
1.
0
u
E
 
E

+)
 
0
,
u
x y E

 
1 2 3 4
0, 0, 0, 0t t t t       
sao cho:

1 0 2 0
t u x t u  
và
3 0 4 0
t u y t u  
.

 
 

1 3 0 2 4 0
t t u x y t t u     

0
u
x y E  
.
+)
 
 
0
1 2 1 0 2 0
0, 0 . .
u
x E t t t u x t u        

 
R


ta có:
1 0 2 0
0 . .t u x t u

     
và
 
. 0 1,2
i
ti





   
1 0 2 0
. . . . .t u x t u
  
   
.
1 0 2 0
0 . .t u x t u

     
và
   
0, . 0 1,2
i
ti

    


   
1 0 2 0
. . .t u x t u
  
     

   
2 0 1 0
. . . . .t u x t u
  
     
.

 
R


0
u
xE


.

0
u
xE


.

0
u
E

E

coi
0
u
E
là

2.
0
u
E


0
u
xE

   
 
0
,
u
x max x x


(1.2)


13

0

.
u

0
u
E

âm

R
, 
0
u
- 
x

 
+)
 
0
00
( ) 0, 0 ( ), ( ) 0
u
uu
x E x x max x x

     


( ) ( ) 0  xx




.x


+)
0
( )( )
u
x E R

   

12
,tt
sao cho :

1 0 2 0
-t . .u x t u

Suy ra: N
0


ta có :
1 0 2 0
- t u x t u
  


N
0


thì
0


và ta có
   
1 0 2 0
t u x t u
  
     


   
21
t x t
  
     


.

V
0



:
1
1
11
( ) ( )
tt
inf t inf t x
  



2
2
22
( ) ( )
tt
inf t inf t x
  


   
00
( ), ( ) ( ), ( )
uu
max x x max x x x x
      
   


0



:
11
11
( ) ( )
tt
inf t inf t x
  
    


22
22
( ) ( )
tt
inf t inf t x
  
    

   
00
( ), ( ) ( ), ( )    
  
uu
max x x max x x
xx
    


,
 
 
0
00

u
uu
x E R x x
  
    
.
+)
  
00
1 2 3 4
( , , , 0)
uu
x E y E t t t t     
sao cho


14
1 0 2 0
t u x t u  
,
3 0 4 0
t u y t u  
.
Suy ra

 
 
00
1 2 3 4
, , ,
uu
x max inft inft y max inft inft
, ta có:

00
13
uu
x y inft inft  


13
()inf t t
,

00
24
uu
x y inft inft  


24
()inf t t
.
Suy ra
 

0 0 0
1 3 2 4
( ), ( )
u u u
x y max inf t t inf t t x y     
.
,
0 0 0
u u u
x y x y  
. 
Vì 
0
u
E


0
u
- 

. 
K

E
, thì
không gian
0
u
E

là không gian Banach theo
0
u
- .
 
 
1
n
n
x



0
u
- 
 
 
 
0
*
00
0,
nm
u
n N n m n x x

       
,
hay

00nm
u x x u

   
(1.3)

0nm
x x u K

  

và
0 0 0
2
n m n m
E E E E
x x u x x u N u
  
     
( do
K


00
2
nm
x x u u

  

suy ra
00
2
nm
EE
x x u N u

  
).
ó ta có:


15
 
0
12
nm
EE
x x N u

  

0
,n m n
.

 
1
n
n

x



E

nên
xE
sao cho
lim 0
n
E
n
xx


.

m

0 0 0
,
n
u x x u n n

     
.
 
0
nu

x x E
  
 
0
n n u
x x x x E   
và
n
xx


 
0
nn
, hay dãy
 
1
n
n
x



0
u
E
.

0
u

E
là không gian Banach theo
0
u
- 
2. 
K

E
. Khi
,
K
   :
 
( 0)( \ ( ) . .
y
E y E
M y K x E x M x y

      
. (1.4)

:

K


{ }
*
( )( \ ( ) .

n
n
n n y n n n
E y E
n N y K x E x n x yq" Î $ Î $ Î >
.

11
( ) ,( ) ; , ( 1,2, )
n n n n n n
x E y E y x nq
¥¥
==
Ì Ì ¹ =

n
n
E
n
y
n
E
x
x
ny
<
.

n
y

E


nn
n n n n n
yy
x y x x y- £ £

Suy ra
nn
EE
n n n
nn
EE
xx
y x y
n y n y
- £ £
.


16

.
n n n
n n n
E E E
y x y
n y x n y
- £ £


{ } { }
\ , \ .
n n n n
nn
n n n n
E E E E
x y x y
g K h K
x n y x n y
qq
-
= + Î = + Î


2n ³
ta có
1
1 0,
n n n n
n
E
n n n n
E E E E
E E E
x y x y
g
n
x n y x n y

= + ³ - = - >


1
1 0.
n n n n
n
E
n n n n
E E E E
EE
x y x y
h
n
x n y x n y

= + ³ - = - >


{ }
,\
nn
g h K qÎ

2n ³
 

0d >
sao cho

( 2,3 )
nn
nn
EE
gh
n
gh
d+ ³ =
(1.5)

n n n n n n
n n n n n n
E E E E E E
g h g h h h
g h g g h g
+ = + + -


2
nn
n E E
n
n n n n
E E E E
gh
y
h
n y g g h
-
=+

Và
1
1 0( 2)
n
E
gn
n
³ - > " ³



17
1
1.
n n n n
n
E
n n n n
E E E E
EE
x y x y
h
n
x n y x n y

= + £ + = +


1

1
n
E
h
n
- ³ - -
.
Suy ra
2
nn
EE
gh
n
- ³ -
.

1
1
n n n n
n
E
n n n n
E E E E
EE
x y x y
g
n
x n y x n y
= + £ + = +
,

1
1 0 2
n
E
hn
n
³ - > " ³

Suy ra
1
1
n
E
h
n
- £ - +
.

2
nn
EE
gh
n
-£
.

2
.
nn
n n n E E

n
n n n n n n
E E E E E E
gh
g h y
h
g h n y g g h
-
+ £ +


2
24
11
1
(1 ) 1
n
n
n
nn
£ + =
+
++
.



18
lim 0
nn

n
nn
EE
gh
gh
®¥
+=
.


{ }
( 0)( \ ( ) .
y
E y E
M y K x E x M x yq$ > " Î " Î £
.


,x y KÎ


1xy==
ta có :
.
E x y E
x M x x y
+
£+
.


01
xy
x x y x
+
£ £ + Þ £
.

1
0
E E E
x M x y x y
M
d£ + Þ + ³ = >
.
V
K
 .

K

  
0 , :
EE
N x y K y x K x N y      
.

*) 
K

,,x y K y x K   



y x K

   
. Ta có
,x K x K x

    
.

0N

EE
x N y
.

y


 :
 
( 0) , , ,
E y E
N x y K y x y x N x y

      
.

19
Do
1
y
xy
y x y x
x x y




     

  

.

EE
x N y
.
 :
  
0 , :
EE
N x y K y x K x N y      


,,
EE
x N x y x y E    

.
 :
 
,1x y K x y   
  :
1
10
EE
N x y x y
N

      
.

K

1.4 .  
1.4.1. Không gian
2
l

1.4.1.1
2
l
- 
2
l

*) 
 

1
n
n
xx



và
 
1
n
n
yy




2
l
và
R


.
       
,xy
  
xy
  
 

1
nn
n
x y x y


  

x


l
 
1
n
n
xx




.

2
l


   
2
11

,
nn
nn
x x y y l


   
ta có:
*
,,
n n n n
x y x y n N    


*
kN
tùy ý ta có:
1 1 1 1 1
k k k
n n n n n n
n n n n n
x y x y x y

    
    
    

Cho
k 


20
1 1 1
n n n n
n n n
x y x y
  
  
  
  


     
22
1 1 1
,,
n n n n
n n n
x y x y l x x y y l
  
  
        
.
+)
   
2
11
,,
nn

nn
R x x l x x
  


     
ta có:
*
1 1 1
,
k k k
n n n
n n n
x x x k N
  
  
     
  
,
Cho
k 

11
nn
nn
xx



  



ó
 
22
1
,,
n
n
x l x x l R



     
.

2
l

*) 
2
l

2
l
và phép nhân 

2
l
hông gian vector. 

 
 
 
 
 
 
 
2 2 2
1 1 1
,
n n n
n n n
x x l y y l z z l R

  
  
          
ta có:
+)
 
   
11
n n n
nn
x y z x y z


    

   
11
n n n n n n
nn
x y z x y z


   
     
   


   
 
11
n n n
nn
x y z x y z


     
.
+)
   
11
n n n n
nn
x y x y y x y x



      
.
+)
 
   
2
11
0,0, ,0 : 0
nn
nn
l x x x x



       
.
+)
 
 
 
2
1
1
:
n n n
n
n
x x l x x x x







         

.
+)
   
   
 
1
1
1
n n n
n
n
n
x x x x x
       







   




.