Véctơ riêng của toán tử (K,Uo) - lõm chính quy compact đơn điệu trong không gian định chuẩn với hai nón

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
———————————————
NGUYỄN THỊ ÁNH
VÉCTƠ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ (K, u
0
) − LÕM
CHÍNH QUY COMPACT ĐƠN ĐIỆU TRONG
KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN VỚI HAI NÓN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
———————————————
NGUYỄN THỊ ÁNH
VÉCTƠ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ (K, u
0
) − LÕM
CHÍNH QUY COMPACT ĐƠN ĐIỆU TRONG
KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN VỚI HAI NÓN
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy
Hà Nội - 2013
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ
Hy người thầy đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên
cứu và hoàn chỉnh đề tài.

Tôi xin chân thành cảm ơn các GS, TS giảng dạy chuyên ngành Toán
Giải tích Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, các bạn học viên cao học
Toán Giải tích K15 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực
hiện đề tài.
Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, cùng
bạn bè, đồng nghiệp đã tạo điều kiện, động viên và giúp đỡ tôi rất nhiều
trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu.
Thái Bình, ngày 10 tháng 07 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Thị Ánh
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn của PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Thái Bình, ngày 10 tháng 07 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Thị Ánh
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Nhiều vấn đề của toán học, vật lý và kĩ thuật dẫn đến việc xét bài
toán tìm véctơ riêng của toán tử. Chính vì vậy mà bài toán này đã được
nhiều nhà toán học lớn trên thế giới quan tâm nghiên cứu.
Nhà toán học Nga nổi tiếng M.A.Kraxnôxelxki đã nghiên cứu lớp
toán lõm tác dụng trong không gian Banach thực với một nón cố định
(1956), sau đó mở rộng cho lớp toán tử lõm tác dụng trong không gian
Banach thực với hai nón cố định, trong đó một nón là tập con của nón
còn lại (1962).
GS-TSKH Bakhtin nghiên cứu toán tử (K, u
0

) − lõm tác dụng trong
không gian Banach thực với một nón cố định (1975), sau đó mở rộng
cho toán tử (K, u
0
) − lõm tác dụng trong không gian Banach thực với
hai nón cố định giao nhau khác rỗng (1984).
Các lớp toán tử được các giáo sư Kraxnôxelxki và Bakhtin nghiên cứu
đều có tính chất u
0
− đo được.
Năm 1987 PGS-TS Nguyễn Phụ Hy mở rộng các kết quả đối với lớp
toán tử lõm cho lớp toán tử phi tuyến mới tác dụng trong không gian
Banach thực với một nón cố định: Toán tử lõm chính quy, trong đó
v
không yêu cầu toán tử có tính chất u
0
− đo được.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lĩnh vực này, với sự hướng dẫn,
giúp đỡ tận tình của PGS-TS-GVCC Nguyễn Phụ Hy, tôi mạnh dạn chọn
đề tài: “Véctơ riêng của toán tử (K, u
0
) − lõm chính quy compact
đơn điệu trong không gian định chuẩn với hai nón”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu véctơ riêng của toán tử (K, u
0
) − lõm chính quy compact
đơn điệu trong không gian Banach thực với hai nón cố định giao nhau
khác rỗng, trong đó không yêu cầu toán tử có tính chất u
0

− đo được.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu về không gian Banach thực nửa sắp thứ tự.
- Tìm hiểu về toán tử (K, u
0
) − lõm chính quy compact đơn điệu
trong không gian Banach thực với hai nón.
- Tìm hiểu về véctơ riêng của toán tử (K, u
0
) − lõm chính quy compact
đơn điệu trong không gian Banach thực với hai nón.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về
toán tử (K, u
0
) − lõm chính quy compact đơn điệu và véctơ riêng của
toán tử (K, u
0
) − lõm chính quy compact đơn điệu trong không gian
định chuẩn với hai nón.
vi
- Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước
liên quan đến toán tử (K, u
0
) − lõm chính quy compact đơn điệu trong
không gian định chuẩn với hai nón.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu tài liệu.
- Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.
- Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.

6. Những đóng góp của luận văn
Các đóng góp của luận văn là trình bày một cách có hệ thống kiến
thức về không gian Banach thực nửa sắp thứ tự, các kết quả chính về
nón, đặc biệt là sự tồn tại véctơ riêng của toán tử (K, u
0
) − lõm chính
quy compact đơn điệu trong các không gian: R
n
, l
p
(p > 1).
vii
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Nội dung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự . . . . . . 1
1.1. Không gian định chuẩn thực. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1. Định nghĩa nón và quan hệ sắp thứ tự - Hai phần tử thông
ước và tập K (u
0
). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2. Một số nón đặc biệt và mối liên hệ giữa chúng . . . . . . . . . . . 4
1.3. Không gian E
u
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1. Phần tử u
0
− đo được và không gian E

u
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2. Một số định lý về nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4. Một số không gian Banach thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1. Không gian R
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.2. Không gian l
p
(p > 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Chương 2. Toán tử (K, u
0
) − lõm chính quy compact đơn điệu
trong không gian Banach thực với hai nón. . . . . . . 42
2.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
viii
2.2. Một số tính chất đơn giản về toán tử (K, u
0
)- lõm chính quy
compact đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3. Toán tử (K, u
0
) − lõm chính quy compact đơn điệu trong các
không gian R
n
, l
p
(p > 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.1. Toán tử (K, u

0
) − lõm chính quy compact đơn điệu trong
không gian R
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.2. Toán tử (K, u
0
)- lõm chính quy compact đơn điệu trong không
gian l
p
(p > 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Chương 3. Sự tồn tại véctơ riêng của toán tử (K, u
0
) − lõm
chính quy compact đơn điệu trong không gian Banach thực với
hai nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.1. Đạo hàm tiệm cận của toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.1.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.1.2. Một số định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2. u
0
− đạo hàm Fréchet của toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.2. Một số định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
ix
Chương 1
Không gian Banach thực nửa sắp
thứ tự

1.1. Không gian định chuẩn thực
Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến
tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P ≡ R hoặc
P ≡ C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu là . (đọc
là chuẩn), thỏa mãn các tiên đề sau:
C
1
) (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ;
C
2
) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) αx = |α|x;
C
3
) (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y.
Số x gọi là chuẩn của véctơ x.
Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn là X.
Các tiên đề C
1
), C
2
), C
3
) gọi là hệ tiên đề về chuẩn.
Định nghĩa 1.1.2. Không gian định chuẩn X trên trường R gọi là không
gian định chuẩn thực, ký hiệu: X.
1
Định nghĩa 1.1.3. Dãy điểm (x
n
)
∞

n=1
của không gian định chuẩn X gọi
là hội tụ tới x ∈ X, nếu lim
n→∞
x
n
− x = 0.
Định nghĩa 1.1.4. Dãy điểm (x
n
)
∞
n=1
của không gian định chuẩn X
được gọi là dãy cơ bản, nếu lim
n, m→∞
x
n
− x
m
 = 0.
Định nghĩa 1.1.5. Không gian định chuẩn X được gọi là không gian
Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
1.2. Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự
1.2.1. Định nghĩa nón và quan hệ sắp thứ tự - Hai phần tử
thông ước và tập K (u
0
)
Định nghĩa 1.2.1. Cho không gian Banach thực E. Tập con khác rỗng
K ⊂ E gọi là một nón, nếu K thỏa mãn các điều kiện sau đây:
N1) K là một tập đóng trong không gian E;

N2) (∀x ∈ K) (∀y ∈ K) x + y ∈ K;
N3) (∀x ∈ K) (∀t ≥ 0) tx ∈ K;
N4) (∀x ∈ K, x = θ) − x /∈ K.
Định nghĩa 1.2.2. Cho không gian Banach thực E, K là một nón trong
không gian E. ∀x, y ∈ E, ta viết x ≤ y (hoặc x < y) nếu y − x ∈ K
(hoặc y −x ∈ K\{θ}). Khi đó, quan hệ

≤

là một quan hệ sắp thứ tự
trên E. Thật vậy:
*) ∀x ∈ E ⇒ x −x = θ ∈ K ⇒ x ≤ x.
⇒ Quan hệ

≤

có tính chất phản xạ.
2
*) (∀x, y ∈ E : x ≤ y, y ≤ x) x = y, vì nếu x = y thì y − x = 0. Do
đó, vì y − x ∈ K nên −(y − x) /∈ K hay x − y /∈ K, mâu thuẫn với giả
thiết y ≤ x.
⇒ Quan hệ

≤

có tính chất phản đối xứng.
*) ∀x, y, z ∈ E mà x ≤ y, y ≤ z
⇒




y − x ∈ K
z − y ∈ K
⇒ (z −y) + ( y −x) ∈ K hay z −x ∈ K ⇒ x ≤ z.
⇒ Quan hệ

≤

có tính chất bắc cầu.
Vậy quan hệ

≤

là một quan hệ sắp thứ tự trên không gian E theo
nón K.
Hoàn toàn tương tự, ta có thể chỉ ra được quan hệ

<

là một quan
hệ sắp thứ tự nghiêm ngặt trên không gian E.
Khi đó, ta nói không gian E là không gian Banach thực sắp thứ tự
bộ phận hay không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K.
Định nghĩa 1.2.3. Cho không gian Banach thực E nửa sắp thứ tự theo
nón K. Hai phần tử x, y ∈ E được gọi là thông ước với nhau nếu tồn tại
các số dương α, β sao cho: αx ≤ y ≤ βx.
Nhận xét:
Hai phần tử x, y ∈ E cùng thông ước với phần tử z ∈ E thì thông
ước với nhau.
Ta ký hiệu K (u

0
) là tập hợp tất cả các phần tử x ∈ E thông ước với
phần tử u
0
∈ K\{θ}. Hiển nhiên, K(u
0
) ⊂ K\{θ}.
3
1.2.2. Một số nón đặc biệt và mối liên hệ giữa chúng
Định nghĩa 1.2.4. Cho không gian Banach thực E và nón K ⊂ E. Nón
K được gọi là nón chuẩn tắc, nếu:
(∃δ > 0) (∀e
1
, e
2
∈ K : e
1
 = e
2
 = 1) e
1
+ e
2
 ≥ δ.
Định nghĩa 1.2.5. Cho không gian Banach thực E và nón K ⊂ E. Nón
K gọi là đặc, nếu:
(∃x ∈ K) (∃r
x
> 0) S (x, r
x

) = {y ∈ E : y −x < r
x
} ⊂ K.
Định nghĩa 1.2.6. Cho không gian Banach thực E nửa sắp thứ tự theo
nón K.
Dãy (x
n
)
∞
n=1
⊂ E được gọi là dãy không giảm, nếu:
x
1
≤ x
2
≤ ≤ x
n
≤
Dãy (x
n
)
∞
n=1
⊂ E được gọi là bị chặn trên bởi phần tử, nếu:
(∃y ∈ E) x
n
≤ y, ∀n ∈ N
∗
.
Dãy (x

n
)
∞
n=1
⊂ E được gọi là dãy không tăng, nếu:
x
1
≥ x
2
≥ ≥ x
n
≥
Dãy (x
n
)
∞
n=1
⊂ E được gọi là bị chặn dưới bởi phần tử, nếu:
(∃y ∈ E) x
n
≥ y, ∀n ∈ N
∗
.
Các dãy không giảm và dãy không tăng gọi chung là dãy đơn điệu.
Dãy (x
n
)
∞
n=1
⊂ E được gọi là bị chặn theo chuẩn, nếu:

(∃M > 0) (∀n ∈ N
∗
) x
n

E
≤ M.
4
Định nghĩa 1.2.7. Cho không gian Banach thực E nửa sắp thứ tự theo
nón K.
Nón K được gọi là nón đều, nếu mọi dãy đơn điệu trong không gian
E và bị chặn bởi phần tử đều có giới hạn trong không gian E.
Nón K được gọi là nón đều hoàn toàn, nếu mọi dãy đơn điệu và bị
chặn theo chuẩn đều có giới hạn trong không gian E.
Định lý 1.2.1. Giả sử K là một nón đều trong không gian Banach thực
E. Khi đó, K là nón chuẩn tắc.
Chứng minh.
Giả sử K là nón đều nhưng không là nón chuẩn tắc, nghĩa là:
(∀n ∈ N
∗
) (∃x
n
, y
n
∈ K : x
n
 = y
n
 = 1) x
n

+ y
n
 <
1
n
2
.
Khi đó, chuỗi: (x
1
+ y
1
) + (x
2
+ y
2
) + + (x
n
+ y
n
) + hội tụ tuyệt đối
nên chuỗi này hội tụ trong không gian E. Ký hiệu tổng của chuỗi là u.
Đặt: z
n
=
n

k=1
x
k
(n = 1, 2, ) ta có:

z
n+1
− z
n
= x
n+1
∈ K, ∀n ∈ N
∗
⇒ z
n
≤ z
n+1
, ∀n ∈ N
∗
,
và u − z
n
=
∞

k=n+1
x
k
+
∞

k=1
y
k
∈ K, ∀n ∈ N

∗
⇒ z
n
≤ u, ∀n ∈ N
∗
.
Do đó, dãy (z
n
)
∞
n=1
không giảm và bị chặn trên bởi phần tử u, nhưng
dãy này không hội tụ vì z
n
− z
n−1
 = x
n
 = 1, ∀n ∈ N
∗
.
Điều này mâu thuẫn với tính chất đều của nón K.
Vì vậy, K là nón chuẩn tắc.
Định lý 1.2.2. Giả sử K là nón đều hoàn toàn trong không gian Banach
thực E. Khi đó, K là nón đều.
5
Chứng minh.
Trước hết ta chứng minh mọi nón đều hoàn toàn là nón chuẩn tắc.
Thật vậy, giả sử K là nón đều hoàn toàn nhưng không phải là nón chuẩn
tắc, nghĩa là:

(∀n ∈ N
∗
) (∃e
n
, g
n
∈ K : e
n
 = g
n
 = 1) e
n
+ g
n
 <
1
2
n
.
Đặt:
h
k
=



e
1
+ g
1

+ e
2
+ g
2
+ + e
n
+ g
n
với k = 2n,
e
1
+ g
1
+ e
2
+ g
2
+ + e
n
+ g
n
+ e
n+1
, với k = 2n + 1.
Ta nhận được dãy (h
k
)
∞
k=1
không giảm, h

1
= e
1
≤ h
2
≤ h
3
≤ ≤ h
k
≤
Mặt khác,
h
k
 ≤ e
1
+ g
1
+e
2
+ g
2
+ +e
n
+ g
n
 ≤
n

j=1
1

2
j
< 1, với k = 2n;
h
k
 ≤ e
1
+ g
1
 + e
2
+ g
2
 + + e
n
+ g
n
 + e
n+1
 < 1 + 1 = 2,
với k = 2n + 1.
⇒ dãy (h
k
)
∞
k=1
bị chặn theo chuẩn.
Tuy nhiên,
h
2n+1

− h
2n
 = e
n+1
 = 1, ∀n ∈ N
∗
;
h
2n
− h
2n−1
 = g
n
 = 1, ∀n ∈ N
∗
.
⇒ h
k+1
− h
k
 = 1, ∀k ∈ N
∗
.
Ta có dãy (h
k
)
∞
k=1
là dãy đơn điệu và bị chặn theo chuẩn nhưng không
hội tụ. Điều này mâu thuẫn với tính chất đều hoàn toàn của nón K.

Do đó, K là nón chuẩn tắc.
Tiếp theo, ta chứng minh K là nón đều.
Thật vậy, lấy một dãy không giảm bất kỳ (x
n
)
∞
n=1
⊂ E và bị chặn
6
trên bởi phần tử y, nghĩa là:
(∃y ∈ K) x
1
≤ x
2
≤ ≤ x
n
≤ , x
n
≤ y, ∀n ∈ N
∗
.
Khi đó, dãy (x
n
− x
1
)
∞
n=1
không giảm, bị chặn trên bởi y−x
1

và (x
n
− x
1
) ⊂
K. Do K là nón chuẩn tắc, nên (∃M > 0) x
n
− x
1
 ≤ M. y −x
1
.
Từ đó và từ tính đều hoàn toàn của nón K, suy ra dãy (x
n
− x
1
)
∞
n=1
hội
tụ trong không gian E. Do đó, dãy (x
n
)
∞
n=1
hội tụ trong không gian E.
Vì vậy, K là nón đều.
Định lý 1.2.3. Giả sử K là nón đều và đặc trong không gian Banach
thực E. Khi đó, K là nón đều hoàn toàn.
Chứng minh.

Giả sử K là nón đều và đặc.
Lấy một dãy bất kỳ (x
n
) ⊂ E không giảm và bị chặn theo chuẩn,
x
1
≤ x
2
≤ ≤ x
n
≤ ; (∃M > 0) (∀n ∈ N
∗
) x
n
 ≤ M.
Giả sử u
0
là điểm trong của nón K, khi đó
(∃r > 0) S (u
0
, r) = {x ∈ E : x − u
0
 ≤ r} ⊂ K.
Ta có
(∀x ∈ E\{θ}) u
0
−
rx
x
∈ K, vì





u
0
−
rx
x
− u
0




= r
⇒ u
0
−
rx
x
≥ θ ⇒ x ≤
x
r
u
0
.
Hiển nhiên, bất đẳng thức nhận được đúng với cả x = θ (phần tử không).
Suy ra: x
n

≤
x
n

r
u
0
≤
M
r
u
0
.
7
Do đó dãy (x
n
) không giảm và bị chặn trên bởi phần tử
M
r
u
0
, nên dãy
(x
n
) hội tụ.
Trường hợp dãy (x
n
) ⊂ E không tăng và bị chặn theo chuẩn bằng
cách tương tự ta cũng chứng minh được dãy đó hội tụ.
Vậy, K là nón đều hoàn toàn.

1.3. Không gian E
u
0
1.3.1. Phần tử u
0
− đo được và không gian E
u
0
Định nghĩa 1.3.1. Cho không gian Banach thực E nửa sắp thứ tự theo
nón K và u
0
∈ K\{θ}. Phần tử x ∈ E gọi là u
0
− đo được, nếu tồn tại
hai số không âm t
1
, t
2
sao cho: −t
1
u
0
≤ x ≤ t
2
u
0
.
Ta ký hiệu E
u
0

là tập hợp tất cả các phần tử x ∈ E có tính chất u
0
−
đo được.
Định lý 1.3.1. ∃α = α (x) = inf t
1
≥ 0, ∃β = β (x) = inf t
2
≥ 0 sao
cho: −αu
0
≤ x ≤ βu
0
.
Chứng minh.
Giả sử phần tử x ∈ E là u
0
− đo được, nghĩa là:
(∃t
1
≥ 0, ∃t
2
≥ 0) − t
1
u
0
≤ x ≤ t
2
u
0

.
Trước hết ta chứng minh: ∃β = β (x) = inf {t
2
> 0 : x ≤ t
2
u
0
}.
Xét ánh xạ
f : R → E
t → f (t) = tu
0
− x.
8
f liên tục nhờ tính liên tục của hai phép toán cộng hai phần tử và nhân
một số với một phần tử trên không gian E.
⇒ f
−1
(K) = {t ∈ R : tu
0
− x ∈ K} đóng trong R, t
2
∈ f
−1
(K).
Giả sử inff
−1
(K) = −∞ ⇒ ∃(t
n
) ⊂ f

−1
(K) : t
n
→ −∞.
Vì t
n
→ −∞ nên có thể coi t
n
< 0. hay −t
n
> 0, nên
f (t
n
) = t
n
u
0
− x ∈ K ⇒ −
1
t
n
(t
n
u
0
− x) ∈ K ⇒
1
t
n
x − u

0
∈ K.
Cho t
n
→ −∞ ta được −u
0
∈ K, mâu thuẫn với tính chất của nón K
(do u
0
∈ K\{θ}).
Vậy inff
−1
(K) = β > −∞.
Do đó tồn tại β = β (x) = inf {t
2
≥ 0 : x ≤ t
2
u
0
}.
Tiếp theo ta chứng minh: ∃α = α (x) = inf {t
1
≥ 0 : −x ≤ t
1
u
0
}.
Ta có x ∈ E
u
0

⇒ −x ∈ E
u
0
nên từ −t
1
u
0
≤ x ⇒ −x ≤ t
1
u
0
.
Theo chứng minh trên, ∃α = α (x) = inf {t
1
≥ 0 : −x ≤ t
1
u
0
},
hay ∃α = α (x) = inf {t
1
≥ 0 : −t
1
u
0
≤ x}.
Vậy ∃α = α (x) = inf t
1
≥ 0, ∃β = β (x) = inf t
2

≥ 0 sao cho:
−αu
0
≤ x ≤ βu
0
.
Định lý 1.3.2. E
u
0
là không gian vectơ con của không gian E.
Chứng minh.
∗) (∀x, y ∈ E
u
0
) (∃t
1
, t
2
, t
3
, t
4
≥ 0) sao cho:
−t
1
u
0
≤ x ≤ t
2
u

0
, −t
3
u
0
≤ y ≤ t
4
u
0
⇒ −(t
1
+ t
3
) u
0
≤ x + y ≤ (t
2
+ t
4
) u
0
⇒ x + y ∈ E
u
0
.
∗) (∀x ∈ E
u
0
) (∃t
1

, t
2
≥ 0) −t
1
u
0
≤ x ≤ t
2
u
0
.
9
Khi đó, (∀h ∈ R) ta có:
+) Nếu h ≥ 0 thì ht
i
≥ 0 (i = 1, 2) và −(h t
1
) u
0
≤ h x ≤ (h t
2
) u
0
.
+) Nếu h < 0 thì −h > 0 ⇒ −ht
i
≥ 0 (i = 1, 2)
và (−h) (−t
1
) u

0
≤ −h x ≤ (−h ) t
2
u
0
⇒ −[(−h) t
2
] u
0
≤ h x ≤ [(−h ) t
1
] u
0
.
Do đó, (∀h ∈ R) hx ∈ E
u
0
.
Vậy E
u
0
là không gian vectơ con của không gian E.
Định lý 1.3.3. E
u
0
là không gian định chuẩn với chuẩn
x
u
0
= max {α (x) , β (x)}.

Chứng minh.
∗) (∀x ∈ E
u
0
) x
u
0
= max {α (x) , β (x)}.
Do α (x) = inf t
1
≥ 0, β (x) = inf t
2
≥ 0 nên max {α (x) , β (x)} ≥ 0
⇒ x
u
0
xác định và x
u
0
≥ 0;
x
u
0
= 0 ⇔ max {α (x) , β (x)} = 0 ⇔ α (x) = β (x) = 0 ⇔ x = θ.
∗) (∀x ∈ E
u
0
) (∃t
1
, t

2
≥ 0) −t
1
u
0
≤ x ≤ t
2
u
0
.
Khi đó, ∀λ ∈ R ta có:
+) Nếu λ ≥ 0 thì λt
i
≥ 0 (i = 1, 2) và −λ t
1
u
0
≤ λ x ≤ λ t
2
u
0
⇒ inf
t
1
(λt
1
) = λ inf
t
1
t

1
= λ α (x) ;
inf
t
2
(λt
2
) = λ inf
t
2
t
2
= λ β (x) .
Do đó,
λx
u
0
= max {λ α (x) , λ β (x)}
= λ max {α (x) , β (x)} = λ x
u
0
= |λ|x
u
0
.
+) Nếu λ < 0 thì −λ > 0 ⇒ −λt
i
≥ 0 (i = 1, 2)
⇒ (−λ) (−t
1

) u
0
≤ −λ x ≤ (−λ) t
2
u
0
10
⇔ −[(−λ) t
2
] u
0
≤ λ x ≤ [(−λ) t
1
] u
0
.
Ta có
inf
t
1
(−λt
1
) = −λ inf
t
1
t
1
= −λ α (x) ;
inf
t

2
(−λt
2
) = −λ inf
t
2
t
2
= −λ β (x) .
Do đó,
λx
u
0
= max {−λ α (x) , −λ β (x)}
= −λ max {α (x) , β (x)} = −λ x
u
0
= |λ|x
u
0
.
Vậy (∀x ∈ E
u
0
) (∀λ ∈ R) λx
u
0
= |λ|x
u
0

.
∗) (∀x, y ∈ E
u
0
) (∃t
1
, t
2
, t
3
, t
4
≥ 0) − t
1
u
0
≤ x ≤ t
2
u
0
, −t
3
u
0
≤ y ≤ t
4
u
0
⇒ −(t
1

+ t
3
) u
0
≤ x + y ≤ (t
2
+ t
4
) u
0
.
Mặt khác x
u
0
= max {inft
1
, inft
2
}, y
u
0
= max {inft
3
, inft
4
},
ta có
x
u
0

+ y
u
0
≥ inft
1
+ inft
3
≥ inf(t
1
+ t
3
);
x
u
0
+ y
u
0
≥ inft
2
+ inft
4
≥ inf(t
2
+ t
4
).
Suy ra x
u
0

+ y
u
0
≥ max {inf(t
1
+ t
3
), inf(t
2
+ t
4
)} = x + y
u
0
.
Vì vậy, x + y
u
0
≤ x
u
0
+ y
u
0
.
Do đó, x
u
0
xác định một chuẩn trên E
u

0
.
Vậy, E
u
0
là không gian định chuẩn với chuẩn x
u
0
= max {α (x) , β (x)}.
Số thực không âm x
u
0
gọi là u
0
− chuẩn của phẩn tử x ∈ E
u
0
.
Định lý 1.3.4. Nếu K là nón chuẩn tắc, thì E
u
0
là không gian Banach
thực theo u
0
- chuẩn.
11
Chứng minh.
Giả sử (x
n
)

∞
n=1
là một dãy cơ bản bất kỳ trong không gian E
u
0
theo
u
0
- chuẩn, nghĩa là: (∀ε > 0) (∃n
0
∈ N
∗
) (∀n, m ≥ n
0
) x
n
− x
m

u
0
< ε
⇔ −εu
0
≤ x
n
− x
m
≤ εu
0

(1.1)
⇒ x
n
− x
m
+ εu
0
∈ K.
Do K là nón chuẩn tắc nên từ x
n
− x
m
+ εu
0
≤ 2εu
0
suy ra
(∃N > 0) x
n
− x
m
+ εu
0

E
≤ 2Nεu
0

E
.

Nên ta có: x
n
− x
m

E
− εu
0

E
≤ x
n
− x
m
+ εu
0

E
≤ 2Nεu
0

E
⇒ x
n
− x
m

E
≤ ε (1 + 2N) u
0


E
, ∀m, n ≥ n
0
.
Điều này cho thấy dãy (x
n
)
∞
n=1
là dãy cơ bản trong không gian Banach
thực E nên dãy (x
n
)
∞
n=1
hội tụ theo chuẩn tới x ∈ E.
Tức là ∃x ∈ E : lim
n→∞
x
n
− x
E
= 0.
Cho qua giới hạn trong hệ thức (1.1) khi m → ∞ ta nhận được
−εu
0
≤ x
n
− x ≤ εu

0
, ∀n ≥ n
0
.
Chứng tỏ dãy (x
n
)
∞
n=1
hội tụ u
0
− theo chuẩn tới x ∈ E
u
0
.
Vậy E
u
0
là không gian Banach thực theo u
0
- chuẩn.
1.3.2. Một số định lý về nón
Định lý 1.3.5. Giả sử K là một nón trong không gian Banach thực E.
Khi đó, K là nón chuẩn tắc khi và chỉ khi:
(∃M > 0) (∀y ∈ K\{θ}) (∀x ∈ E
y
) x
E
≤ M x
y

y
E
). (1.2)
12
Chứng minh.
Điều kiện cần:
Giả sử K là nón chuẩn tắc nhưng bất đẳng thức (1.2) không xảy ra. Tức
là:
(∀n ∈ N
∗
) (∃y
n
∈ K\{θ}) (∃x
n
∈ E
y
n
) x
n

E
> n x
n

y
n
y
n

E

.
Ta nhận được dãy (x
n
)
∞
n=1
⊂ E, x
n
∈ E
y
n
, x
n
= θ (n = 1, 2, ), đồng
thời:
x
n

y
n
<
x
n

E
n y
n

E
.

Do x
n
∈ E
y
n
nên (∃t
1
≥ 0) (∃t
2
≥ 0) − t
1
y
n
≤ x
n
≤ t
2
y
n
.
Chọn t
1
= t
2
=
x
n

E
ny

n

E
, ta được
−x
n

E
n y
n

E
y
n
≤ x
n
≤
x
n

E
n y
n

E
y
n
⇔
−y
n

n y
n

E
≤
x
n
x
n

E
≤
y
n
n y
n

E
⇒ g
n
=
x
n
x
n

E
+
y
n

n y
n

E
≥ θ, h
n
=
−x
n
x
n

E
+
y
n
n y
n

E
≥ θ .
Hiển nhiên g
n
∈ K, h
n
∈ K. Hơn nữa,
g
n

E

=




x
n
x
n

E
+
y
n
n y
n

E




E
≥




x
n

x
n

E




E
−




y
n
n y
n

E




E
= 1 −
1
n
> 0; (1.3)
h

n

E
=




−x
n
x
n

E
+
y
n
n y
n

E




E
≥





−x
n
x
n

E




E
−




y
n
n y
n

E




E
= 1 −
1

n
> 0. (1.4)
13
⇒ g
n
= θ, h
n
= θ.
Vậy g
n
∈ K\{θ}, h
n
∈ K\{θ}.
Theo định nghĩa nón chuẩn tắc ta có
(∃δ > 0)




g
n
g
n

E
+
h
n
h
n


E




≥ δ (n = 1, 2, ) . (1.5)
Mặt khác:
g
n
g
n

E
+
h
n
h
n

E
=
g
n
g
n

E
+
h

n
g
n

E
+
h
n
h
n

E
−
h
n
g
n

E
=
g
n
+ h
n
g
n

E
+
g

n

E
− h
n

E
g
n

E
h
n

E
h
n
=
2y
n
ny
n

E
g
n

E
+
g

n

E
− h
n

E
g
n

E
h
n

E
h
n
.
g
n

E
≥ 1 −
1
n
(theo (1.3));
h
n

E

=




−x
n
x
n

E
+
y
n
n y
n

E




E
≤




−x
n

x
n

E




E
+




y
n
n y
n

E




E
= 1+
1
n
.
⇒ −h

n

E
≥ −1 −
1
n
⇒ g
n

E
− h
n

E
≥ −
2
n
.
Tương tự:
g
n

E
=




x
n

x
n

E
+
y
n
n y
n

E




E
≤




x
n
x
n

E





E
+




y
n
n y
n

E




E
= 1+
1
n
,
h
n

E
≥ 1 −
1
n
(theo (1.4)).

⇒ −h
n

E
≤ −1 +
1
n
⇒ g
n

E
− h
n

E
≤
2
n
.
Do đó:




g
n
g
n

E

+
h
n
h
n

E




≤




2y
n
ny
n

E
g
n

E





+




g
n

E
− h
n

E
g
n

E
h
n

E
h
n




14
≤
2

n

1 −
1
n

+
2
n
1 −
1
n
=
4
n − 1
⇒ lim
n→∞




g
n
g
n

E
+
h
n

h
n

E




= 0 (mâu thuẫn với (1.5)).
Vì vậy, (∃M > 0) (∀y ∈ K\{θ}) (∀x ∈ E
y
) x
E
≤ M x
y
y
E
.
Điều kiện đủ:
Giả sử bất đẳng thức (1.2) được thỏa mãn.
Khi đó: (∀x, y ∈ K) x = y = 1, ta có
x
E
≤ M x
x+y
x + y
E
≤ Mx + y
E
(vì θ ≤ x ≤ x + y ⇒ −(x + y) ≤ x ≤ x + y ⇒ x

x+y
≤ 1).
Do đó x + y
E
≥
x
E
M x
x+y
=
1
M
= δ > 0.
Vậy, K là nón chuẩn tắc.
Định lý 1.3.6. K là nón chuẩn tắc khi và chỉ khi:
(∃N > 0) (∀x, y ∈ K : y − x ∈ K) x
E
≤ N y
E
.
Chứng minh.
∗) Giả sử K là nón chuẩn tắc.
∀x, y ∈ K, y −x ∈ K ta xét hai khả năng sau:
+) Nếu y = θ ⇒ −x ∈ K.
Ta có x ∈ K, −x ∈ K ⇒ x = θ.
Từ đó suy ra ∀N > 0 ta đều có: x
E
≤ Ny
E
.

+) Nếu y = θ, thì



θ ≤ x ≤ y
θ ≤ x ≤ x + y
⇒ −y ≤ x ≤ y ⇒ x ∈ E
y
và x
y
≤ 1.
15
Theo định lý (1.3.5) ta có
(∃N > 0) (∀x, y ∈ K, y = θ, x ≤ y) x
E
≤ Nx
y
y
E
≤ Ny
E
.
Do đó, x
E
≤ N y
E
.
∗) Ngược lại, giả sử:
(∃N > 0) (∀x, y ∈ K : y − x ∈ K) x
E

≤ Ny
E
⇒ x
E
≤ Nx + y
E
, ∀x, y ∈ E.
Do đó: (∀x, y ∈ K) x = y = 1 thì bất đẳng thức trên vẫn đúng.
Nghĩa là: 1 ≤ Nx + y
E
⇒ x + y
E
≥
1
N
= δ > 0.
Vì vậy, K là nón chuẩn tắc.
Định lý 1.3.7. Giả sử tập F ⊂ E, F = ∅. Nếu tập F lồi, đóng, bị chặn
và không chứa điểm không θ ∈ E, thì tập
K (F ) = {x = tz |t ∈ R
+
, z ∈ F }
là một nón.
Chứng minh.
*) Trước hết, ta chứng minh (∃m, M ∈ R
+
) (z ∈ F )
m ≤ z ≤ M
Giả sử, inf
z∈F

z = 0. Khi đó ∃(z
n
)
∞
k=1
⊂ F sao cho
lim
n→∞
z
n
 = 0.
Suy ra lim
n→∞
z
n
= θ trong không gian E.
Vì F là tập đóng, nên θ ∈ F , điều này mâu thuẫn với giả thiết.
16