Vectơ riêng của toán tử (K,Uo) - lõm chính quy compact trong không gian định chuẩn với hai nón
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.49 MB, 75 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
VŨ THỊ THẢO
VECTƠ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ
0
,Ku
- LÕM CHÍNH
QUY COMPACT TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
VỚI HAI NÓN
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS.GVCC. Nguyễn Phụ Hy
HÀ NỘI, 2013
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy.
Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy
người thầy đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn
chỉnh đề tài.
Tôi xin chân thành cảm ơn các GS, TS giảng dạy chuyên ngành Toán Giải
tích tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, các bạn học viên cao học Toán Giải
tích K15 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài.
Hà Nội, ngày 12 tháng 07 năm 2013
Tác giả
Vũ Thị Thảo
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn của PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, ngày 12 tháng 07 năm 2013
Tác giả
Vũ Thị Thảo
MỤC LỤC
Mở đầu 1
CHƢƠNG 1: KHÔNG GIAN BANACH NỬA SẮP THỨ TỰ 3
1.1. Khái niệm không gian Banach thực 3
1.2. Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 4
1.2.1. Định nghĩa nón – quan hệ sắp thứ tự - hai phần tử thông ước và tập
0
Ku
4
1.2.2. Một số nón đặc biệt và mối quan hệ giữa chúng. 6
1.3. Không gian
0
u
E
10
1.3.1. Phần tử
0
u
- đo được và không gian
0
u
E
10
1.3.2. Một số định lý về nón. 13
1.4. Một số không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 17
1.4.1. Không gian
1
l
: 17
1.4.2. Không gian
,ab
L
29
CHƢƠNG 2: TOÁN TỬ
0
,Ku
- LÕM CHÍNH QUY COMPACT
TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN THỰC VỚI HAI NÓN 43
2.1. Các định nghĩa 43
2.2. Một số tính chất đơn giản về toán tử
0
,Ku
- lõm chính quy compact 44
2.3. Toán tử
0
,Ku
- lõm chính quy compact trong các không gian
1
,
,
ab
lL
50
2.3.1. Toán tử
0
,Ku
- lõm chính quy trong không gian
,ab
L
50
2.3.2. Toán tử
0
,Ku
- lõm chính quy compact trong không gian
1
l
53
CHƢƠNG 3: SỰ TỒN TẠI VECTƠ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ
0
,Ku
-
LÕM CHÍNH QUY COMPACT TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH
CHUẨN THỰC VỚI HAI NÓN 59
3
3.1. Ứng dụng đạo hàm tiệm cận để xét sự tồn tại vectơ riêng của toán tử
0
,Ku
- lõm chính quy compact trong không gian định chuẩn thực với
hai nón. 59
3.2. Ứng dụng
0
u
- đạo hàm Fréchet để xét sự tồn tại vectơ riêng của toán
tử
0
,Ku
- lõm chính quy compact trong không gian định chuẩn thực
với hai nón 65
KẾT LUẬN 69
TÀI LIỆU THAM KHẢO 70
1
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết điểm bất động của toán tử là một ngành toán học lý thuyết
sâu sắc và có nhiều ứng dụng vào các ngành kế cận. Lý thuyết điểm bất động
được nghiên cứu theo nhiều hướng khác nhau và gắn liền với tên tuổi của
nhiều nhà toán học nổi tiếng như: Lipsit, Kraxnoxelxki, Braide, Aylenbec,…
Các nhà toán học đã xét các toán tử khác nhau: Toán tử đơn điệu, toán tử đo
được, toán tử có đạo hàm Fréchet hay đạo hàm tiệm cận, toán tử lõm…
GS - TSKH Kraxnoxelxki đã nghiên cứu toán tử lõm tác dụng trong
không gian Banach thực với một nón cố định (1956), sau đó mở rộng cho lớp
toán tử lõm tác dụng trong không gian Banach thực với hai nón cố định, trong
đó một nón là tập con của nón còn lại (1962).
GS - TSKH Bakhtin nghiên cứu toán tử
0
,Ku
- lõm tác dụng trong
không gian Banach thực với một nón cố định (1975), sau đó mở rộng cho toán
tử
0
,Ku
- lõm tác dụng trong không gian Banach thực với hai nón cố định
giao nhau khác rỗng (1984).
Các lớp toán tử được các giáo sư Kraxnoxelxki và Bakhtin nghiên cứu
đều có tính chất
0
u
- đo được.
Năm 1987 PGS - TS Nguyễn Phụ Hy mở rộng các kết quả đối với lớp
toán tử lõm cho lớp toán tử phi tuyến mới tác dụng trong không gian Banach
thực với một nón cố định: Toán tử lõm chính quy, trong đó không yêu cầu
toán tử có tính chất
0
u
- đo được.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lĩnh vực này, với sự hướng dẫn,
giúp đỡ tận tình của PGS – TS - GVCC Nguyễn Phụ Hy, tôi mạnh dạn chọn
đề tài: “Vectơ riêng của toán tử
0
,Ku
- lõm chính quy compact trong không
gian định chuẩn với hai nón”.
2
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu vectơ riêng của toán tử
0
,Ku
- lõm chính quy compact
tác dụng trong không gian Banach thực với hai nón cố định giao nhau khác
rỗng, trong đó không yêu cầu toán tử có tính chất
0
u
- đo được.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về không gian Banach thực nửa sắp thứ tự.
Tìm hiểu về toán tử
0
,Ku
- lõm chính quy compact trong không gian
Banach thực với hai nón.
Tìm hiểu về vectơ riêng của toán tử
0
,Ku
- lõm chính quy compact
trong không gian Banach thực với hai nón.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về
toán tử
0
,Ku
- lõm chính quy compact và vectơ riêng của toán tử
0
,Ku
-
lõm chính quy compact trong không gian Banach thực với hai nón.
Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên
quan đến toán tử
0
,Ku
- lõm chính quy compact trong không gian Banach
thực với hai nón.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu tài liệu.
- Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.
6. Dự kiến đóng góp
Các đóng góp của luận văn là trình bày một cách hệ thống kiến thức về
không gian Banach thực nửa sắp thứ tự, các kết quả chính về nón, định nghĩa
và tính chất của toán tử
0
,Ku
- lõm chính quy compact trong các không
gian định chuẩn và sự tồn tại vectơ riêng của các toán tử này. Xây dựng các
không gian nửa sắp thứ tự
1
,
,
ab
lL
và các toán tử
0
,Ku
- lõm chính quy
compact tác dụng trong các không gian đó.
3
CHƢƠNG 1
KHÔNG GIAN BANACH NỬA SẮP THỨ TỰ
1.1. Khái niệm không gian Banach thực
Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi không gian định chuẩn thực (hay không gian tuyến
tính định chuẩn) là không gian tuyến tính
X
trên trường số thực
R
cùng với
một ánh xạ từ
X
vào tập số thực
R
, ký hiệu là
.
và đọc là chuẩn, thỏa mãn
các tiên đề sau đây:
1)
0, 0x X x x x
(ký hiệu phần tử không là
);
2)
x X R x x
;
3)
,x y X x y x y
.
Số
x
gọi là chuẩn của vectơ
x
. Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn là
X
. Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề về chuẩn.
Định nghĩa 1.1.2. Dãy điểm
1
n
n
x
của không gian định chuẩn
X
gọi là hội
tụ tới điểm
xX
, nếu
lim 0
n
n
xx
. Ký hiệu:
lim
n
n
xx
hay
n
x x n
.
Định nghĩa 1.1.3. Dãy điểm
1
n
n
x
trong không gian định chuẩn
X
gọi là
dãy cơ bản nếu:
,
lim 0
nm
mn
xx
,
hay
*
0
0 nN
sao cho
0
,n m n
ta có
nm
xx
.
Định nghĩa 1.1.4. Không gian định chuẩn
X
gọi là không gian Banach nếu
mọi dãy cơ bản trong
X
đều hội tụ.
Định nghĩa 1.1.5. Không gian Banach
X
gọi là không gian Banach thực nếu
X
là không gian con định chuẩn thực. Kí hiệu
E
.
4
1.2. Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự
nón -
0
Ku
1.2.1.1. Định nghĩa nón trong không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.2.1.1. Cho không gian định chuẩn thực
X
và tập hợp
,K X K
. Tập
K
được gọi là nón trong không gian
X
, nếu
K
thỏa mãn
các điều kiện sau:
a)
K
là tập đóng trong không gian
X
;
b)
,x y K
x y K
;
c)
:0x K R x K
;
d) Nếu
,x K x
, thì
xK
.
+) Nhận xét 1.2.1.1. Nếu
K
là một nón trong không gian định chuẩn thực
X
,
thì
K
và
K
là tập lồi.
Thật vậy,
*)
,,x K t R t o
ta có
tx K
, do đó với
0t
ta có
0. .xK
*)
, , 0,1x y K t
ta có
,1tx K t y K
suy ra
1.ytx t K
Vì vậy
K
là tập lồi.
1.2.1.2. Quan hệ thứ tự trong không gian định chuẩn
Giả sử
X
là một không gian định chuẩn thực,
K
là một nón trong
không gian
X
. Ta xây dựng quan hệ “
” trong
X
như sau:
Với
,x y X
, ta viết
xy
, khi
y x K
.
Khi đó quan hệ “
” là một quan hệ thứ tự trên không gian
X
.
Thật vậy,
*)
,x X x x K
nên
.xx
*)
,,x y X x y
và
yx
thì
y x K
và
.x y K
5
Vì
y x x y
, nên nếu
xy
thì mâu thuẫn với điều kiện d) của định
nghĩa 1.2.1.1. Do đó
.x y x y
*)
, , ,x y z X x y
và
yz
thì
y x K
và
z y K
.
z x z y y x K
nên
.xz
Không gian định chuẩn thực
X
cùng với quan hệ sắp thứ tự “
” gọi là không
gian nửa sắp thứ tự hay sắp thứ tự bộ phận theo nón
K
. Nếu
X
là không gian
Banach thực thì ta nói
X
là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón
K
.
Nếu hai phần tử bất kỳ
,x y X
mà ta có
xy
hoặc
yx
thì ta nói
,xy
so
sánh được với nhau theo quan hệ “
”.
1.2.1.3. Hai phần tử thông ước và tập
0
Ku
Định nghĩa 1.2.1.3. Giả sử
E
là không gian nửa sắp thứ tự theo nón
K
. Với
,x y E
ta nói
x
thông ước với
y
nếu tồn tại các số dương
c c x
và
d d x
sao cho:
cy x dy
.
+) Nhận xét 1.2.1.3. Nếu phần tử
xE
thông ước với phần tử
yE
thì
y
thông ước với
x
.
Thật vậy, vì
x
thông ước với
y
nên tồn tại số dương
,c c x d d x
sao
cho
cy x dy
do đó
11
x y x
dc
hay
y
thông ước với
x
.
+) Nhận xét 1.2.1.4. Nếu hai phần tử
,x y E
cùng thông ước với phần tử
zE
thì
,xy
thông ước với nhau.
Thật vậy, giả sử hai phần tử
,x y E
cùng thông ước với phần tử
zE
. Khi
đó, tồn tại các số dương
,cd
sao cho
cz x dz
,
cz y dz
.
6
Ta có
cc
x cz dz y
dd
,
dd
x dz cz y
cc
.
Vì vậy, tồn tại các số dương
11
,
cd
cd
dc
sao cho
11
c y x d y
hay
x
thông
ước với
y
.
Kí hiệu
0
Ku
là tập hợp tất cả các phần tử thuộc
E
thông ước
với phần tử
0
\uK
.
Định lí 1.2.1.4. Cho
E
là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón
K
. Khi đó
i) Nếu dãy
*
, , ,
n n n n
x E y E x y n N
và
lim , lim
nn
nn
x x y y
thì
xy
;
ii) Nếu
,,x y E x y
và
tR
, thì
tx ty
khi
0t
,
tx ty
khi
0t
;
iii) Nếu
, , ,x K R
thì
xx
.
Chứng minh. Ta chứng minh từng kết luận trên.
i) Ta có
*
,
nn
x y n N
nên
*
,
nn
y x K n N
.
Do
lim
nn
n
y x y x
và
K
là tập đóng nên
y x K
hay
xy
.
ii) Ta có
xy
nên
y x K
. Do
K
là một nón nên
,tR
với
0t
ta có
t y x K
, suy ra
ty tx K
hay
tx ty
; với
0t
ta có
t y x K tx ty K
hay
tx ty
.
iii) Ta có
0, xK
nên
xK
. Suy ra
x x K
hay
xx
.
g
7
Định nghĩa 1.2.2.1. Nón
K
gọi là chuẩn tắc nếu
1 2 1 2 1 2
0 , : 1e e K e e e e
.
Định nghĩa 1.2.2.2. Nón
K
gọi là đặc nếu
,,
xx
x K S x r E S x r K
trong đó
,:
xx
S x r y E y x r
.
Định nghĩa 1.2.2.3. Giả sử
E
là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo
nón
K
.
Dãy
1
()
nn
xE
được gọi là dãy không giảm, nếu :
12
n
x x x
Dãy
1
()
nn
xE
được gọi là bị chặn trên bởi phần tử, nếu
uE
sao cho:
*
,
n
x u n N
.
Dãy
1
()
nn
xE
được gọi là dãy không tăng, nếu :
12
n
x x x
Dãy
1
()
nn
xE
được gọi là bị chặn dưới bởi phần tử, nếu
vE
sao cho:
*
,
n
x v n N
.
Các dãy không giảm và dãy không tăng gọi chung là dãy đơn điệu.
Dãy
1
()
nn
xE
được gọi là bị chặn theo chuẩn, nếu :
( 0)M
*
()
n
E
n N x M
.
Định nghĩa 1.2.2.4. Nón
K
gọi là đều, nếu mọi dãy đơn điệu và bị chặn bởi
phần tử luôn có giới hạn trong không gian
E
. Nón
K
gọi là đều hoàn toàn ,
nếu mọi dãy đơn điệu và bị chặn theo chuẩn luôn có giới hạn trong không
gian
E
.
Định lý 1.2.2.1. Nếu
K
là nón đều thì
K
là nón chuẩn tắc.
Chứng minh.
Cho
E
là không gian Banach thực,
K
là nón đều trong không gian
E
.
Giả sử
K
không là nón chuẩn tắc, nghĩa là:
8
*
1
n n n n
n N x K y K x y
sao cho
2
1
nn
xy
n
.
Khi đó, chuỗi:
1 1 2 2
nn
x y x y x y
hội tụ tuyệt đối nên
chuỗi đó hội tụ trong không gian
E
.
Đặt:
12
1
, 1,2,
n n n n
n
u x y z x x x n
,
thì
*
11
1,
n n n
z z x n N
.
Hiển nhiên, dãy
1
()
nn
z
đơn điệu và bị chặn bởi phần tử
u
.
Hơn nữa:
1
1
, ( )
n
n n n j j
j
z z z x y u
, nghĩa là dãy
1
()
nn
z
không giảm và bị
chặn trên bởi phần tử
u
, nhưng dãy
1
()
nn
z
không hội tụ (điều này mâu thuẫn
với tính chất của nón
K
).
Vì vậy, nếu
K
là nón đều thì
K
là nón chuẩn tắc.
Định lý 1.2.2.2. Nếu
K
là nón đều hoàn toàn thì
K
là nón đều.
Chứng minh.
Trước hết, ta chứng minh mọi nón đều hoàn toàn là nón chuẩn tắc.
Thật vậy, giả sử
K
là nón đều hoàn toàn nhưng không là nón chuẩn tắc, nghĩa
là:
*
1
( )( , : 1) ( 1,2, )
2
n n n n n n
n
n N e g K e g e g n
Đặt
1 1 2 2
1 1 2 2 1
, 2 ,
+e , 2 1,
nn
k
n n n
e g e g e g k n
h
e g e g e g k n
còn
11
1,2, h e n
.
Ta có:
12
k
h h h
;
1 1 2 2
1
1
<1
2
n
k n n
j
j
h e g e g e g
với
2kn
;
9
1 1 2 2 1
1 1 2
k n n n
h e g e g e g e
với
21kn
.
Suy ra, dãy
1
()
kk
h
là dãy đơn điệu và bị chặn theo chuẩn, nhưng dãy đó
không hội tụ, vì:
11
=1 ( 1,2, )
k k n
h h e k
, mâu thuẫn với tính chất
đều hoàn toàn của nón
K
. Do đó,
K
là nón chuẩn tắc.
Tiếp theo ta chứng minh
K
là nón đều .
Lấy một dãy bất kì
1
n
n
xE
sao cho
12
,
n
x x x y y K
.
Khi đó dãy
1
1
n
n
xx
không giảm, bị chặn bởi
1
yx
và
1
1
n
n
x x K
.
Do
K
là nón chuẩn, nên
*
11
0 , 2
n
M n N n x x M y x
,
nghĩa là dãy
1
1
n
n
xx
là hội tụ theo chuẩn của không gian
E
.
Từ tính chất đều hoàn toàn của nón
K
suy ra dãy
1
1
n
n
xx
hội tụ trong
không gian
E
. Do đó dãy
1
n
n
x
hội tụ trong không gian
E
.
Vậy
K
là nón đều.
Định lý 1.2.2.3. Nếu
K
là nón đều và đặc thì
K
là nón đều hoàn toàn.
Chứng minh.
Giả sử
K
là nón đều và đặc.
Lấy một dãy bất kì
n
xE
đơn điệu và bị chặn theo chuẩn
*
12
; 0
nn
x x x M n N x M
.
Giả sử
0
u
là một điểm trong của nón
K
00
0,r S u r x E x u r K
.
0
\,
rx
x E u K
x
, vì
00
rx
u u r
x
.
10
00
x
rx
u x u
xr
.
Hiển nhiên bất đẳng thức nhận được đúng với cả
x
.
00
n
n
x
M
x u u
rr
dãy
n
x
đơn điệu, bị chặn theo chuẩn
dãy
n
x
hội tụ.
Vậy
K
là nón đều hoàn toàn.
1.3. Không gian
0
u
E
0
u
-
0
u
E
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử
E
là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tự
theo nón
K
,
0
\uK
. Phần tử
xE
gọi là
0
u
- đo được nếu tồn tại số
0t
sao cho
00
tu x tu
. Tập hợp tất cả phần tử
0
u
- đo được trong
E
kí
hiệu là
0
u
E
.
Định lý 1.3.1.1. Giả sử
E
là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo
nón
K
,
0
\uK
. Khi đó
0
u
E
là một không gian tuyến tính thực.
Chứng minh.
Thật vậy, với
0
, , 0
u
x y E t t
sao cho
00
t u x t u
và
00
t u y t u
.
Khi đó ta có:
00
t t u x y t t u
.
Đặt
0t t t t
và ta có
0
00
. . .
u
t u x y t u x y E
Mặt khác, với
0
,
u
R x E x E
và
0t
sao cho
00
t u x t u
.
Khi
0
ta có
0t
và
00
. . .t u x t u
.
Khi
0
ta có
0, 0t
00
. . .t u x t u
11
00
. . .t u x t u
.
Như vậy trong cả hai trường hợp đều tồn tại số
0tt
(với
0
) hoặc
0tt
(với
0
) sao cho
00
. . .t u x t u
.
Lại có
xE
(do
E
là không gian tuyến tính)
0
u
xE
, do đó
0
u
E
là
không gian tuyến tính con của
E
.
Vậy
0
u
E
là không gian tuyến tính.
Định lý 1.3.1.2. Giả sử
E
là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo
nón
K
,
0
\uK
. Khi đó không gian
0
u
E
là một không gian định chuẩn
với chuẩn xác định bởi
0
00
inf 0: . .
u
x t t u x t u
. (1.1)
Chứng minh.
Vì tập
00
0: . .t t u x t u
bị chặn dưới bởi 0 nên vế phải của (1.1)
xác định.
Ta sẽ kiểm tra 3 tiên đề về chuẩn đối với công thức (1.1).
1
: Hiển nhiên
0
0
0, .
u
u
x x E
Nếu
x
thì
0
00
inf 0: . . 0.
u
t t u t u
Ngược lại, nếu
0
0
u
x
thì tồn tại một dãy số dương
1
n
n
t
hội
tụ tới 0 sao cho
00
. . , .
nn
t u x t u n
Từ đây suy ra
.x
Do đó tiên đề 1 được thỏa mãn.
2:
0
,
u
x E R
. Ta chứng minh
00
.
uu
xx
.
Nếu
0
thì hiển nhiên
0 0 0
0. 0 0. ;
u u u
xx
Nếu
0
ta có
12
0
0
00
00
00
. inf 0: . . .
inf . 0: . .
.inf 0: . .
.;
u
u
x t t u x t u
t t t
u x u
t t u x t u
x
Nếu
0
thì
0
và ta có
0
0
0
00
00
00
00
. inf 0: . . .
inf 0: . .
inf . 0: . .
.inf 0: . .
.
u
u
u
x t t u x t u
t t u x t u
t t t
u x u
t t u x t u
x
x
Do đó tiên đề 2 được thỏa mãn.
3:
0
,
u
x y E
. Ta chứng minh
0 0 0
u u u
x y x y
.
Thật vậy, với
0
,
u
x y E
, với mỗi
1,2 n
theo tính chất cận dưới đúng ta
tìm được các số dương
,
nn
tt
sao cho
00
nn
t u x t u
và
0
1
n
u
tx
n
;
00
nn
t u y t u
và
0
1
n
u
ty
n
.
Do đó ta có
00
n n n n
t t u x y t t u
và
00
2
nn
uu
t t x y
n
.
Từ đó suy ra
13
0 0 0
0 0 0
2
,
.
nn
u u u
u u u
x y t t x y n
n
x y x y
Như vậy công thức (1.1) xác định một chuẩn trên
0
u
E
, kí hiệu không gian
định chuẩn tương ứng là
0
u
E
.
Chuẩn (1.1) thường được gọi là
0
u
- chuẩn.
nón
Định lý 1.3.2.1. Nếu
K
là nón chuẩn tắc trong không gian Banach thực
E
,
thì không gian
0
u
E
là không gian Banach theo
0
u
- chuẩn.
Chứng minh.
Giả sử
1
n
n
x
là một dãy cơ bản bất kì trong không gian
0
u
E
theo
0
u
-
chuẩn nghĩa là:
0
*
00
0,
nm
u
n N n m n x x
,
hay
00nm
u x x u
(1.2)
Do đó
0nm
x x u K
và
0 0 0
2
n m n m
E E E E
x x u x x u N u
(do
K
là nón chuẩn nên từ
00
2
nm
x x u u
suy ra
00
2
nm
EE
x x u N u
).
Từ đó ta có:
0
12
nm
EE
x x N u
với
0
,n m n
. Điều này cho ta thấy
dãy
1
n
n
x
là dãy cơ bản trong không gian Banach
E
nên
xE
sao cho
lim 0.
n
E
n
xx
Qua giới hạn trong hệ thức (1.2) khi
m
ta nhận được:
0 0 0
,.
n
u x x u n n
14
Chứng tỏ
0
.
nu
x x E
Do đó
0
n n u
x x x x E
và
0
n
u
xx
, với
0
nn
, hay dãy
1
n
n
x
hội tụ trong
0
u
E
.
Vậy
0
u
E
là không gian Banach theo
0
u
- chuẩn.
Định lý 1.3.2.2. Giả sử
K
là một nón trong không gian Banach thực
E
. Khi đó,
K
là nón chuẩn tắc khi và chỉ khi
0\
y
E y E
M y K x E x M x y
(1.3)
Chứng minh.
Điều kiện cần
Giả sử
K
là nón chuẩn tắc nhưng bất đẳng thức (1.3) không xảy ra, tức là:
*
\.
n
n
n n y n n n
E y E
n N y K x E x n x y
Ta nhận được dãy
1
, , , 1,2,
n
n n y n n
n
x E x E y x n
đồng thời
.
n
n
E
n
y
n
E
x
x
ny
Từ đó và từ định nghĩa chuẩn trong không gian
n
y
E
ta có
nn
n n n n n
yy
x y x x y
Suy ra
.
nn
n n n
EE
n n n
n n n n n
E E E E E
xx
y x y
y x y
n y n y n y x n y
Đặt
;
nn
n
nn
EE
xy
gK
x n y
;
nn
n
nn
EE
xy
hK
x n y
Ta sẽ chứng minh
n
g
và
n
h
. Thật vậy với mọi
2n
ta có
1
1 0,
n n n n
n
E
n n n n
E E E E
E E E
x y x y
g
x n y x n y n
15
và
1
1 0.
n n n n
n
E
n n n n
E E E E
E E E
x y x y
h
x n y x n y n
Như vậy
, \ , 2
nn
g h K n
.
Theo định nghĩa nón chuẩn
0 2,3,
nn
nn
EE
gh
n
gh
(1.4)
Mặt khác
2
n n n n n n
n n n n n n
E E E E E E
nn
n
EE
n
n n n n
E E E E
g h g h h h
g h g g h g
gh
y
h
n y g g h
Và
1
1 0, 2
n
E
gn
n
1
1
n n n n
n
E
n n n n
E E E E
E E E
x y x y
h
x n y x n y n
1
1.
n
E
h
n
Suy ra:
2
.
nn
EE
gh
n
Tương tự
1
1,
n n n n
n
E
n n n n
E E E E
E E E
x y x y
g
x n y x n y n
1
1 , 2
n
E
hn
n
,
1
1.
n
E
h
n
16
Suy ra:
2
.
nn
EE
gh
n
2
.
2
24
1
1
1
1
1
nn
n n n
EE
n
n n n n n n
E E E E E E
gh
g h y
h
g h n y g g h
n
n
n
n
n
lim 0.
nn
n
nn
EE
gh
gh
Mâu thuẫn với (1.4).
Vì vậy,
0\
y
E y E
M y K x E x M x y
.
Điều kiện đủ
Giả sử bất đẳng thức (1.3) được thỏa mãn. Khi đó
, : 1x y K x y
ta có
.
E x y E
x M x x y
Nhưng do
x x y
nên
1
xy
x
, do đó
1
.
E E E
x M x y x y
M
Vì vậy
K
là nón chuẩn tắc.
Định nghĩa 1.3.2.2. Cho không gian Banach thực
E
với nón
K
. Chuẩn trên
không gian
E
gọi là nửa đơn điệu, nếu
( 0)( , : )
EE
N x y K x y x N y
. Chuẩn trên không gian
E
gọi là đơn
điệu, nếu
( , : )x y K x y
EE
xy
.
Định lý 1.3.2.3. Chuẩn trên không gian
E
là nửa đơn điệu khi và chỉ khi
K
là nón chuẩn tắc.
Chứng minh.
Giả sử
K
là nón chuẩn tắc, theo định lý 1.3.2.2
17
0 , , ,
E y E E
M x y K y x y x M x y M y
(do
1
y
x
).
Vậy chuẩn trong không gian
E
là nửa đơn điệu.
Giả sử
0 , :
EE
N x y K x y x N y
, , .
EE
x N x y x y K
Do đó,
,x y K
mà
1
EE
xy
thì bất đẳng thức trên vẫn đúng, nghĩa là:
1
1 0.
EE
N x y x y
N
Vậy
K
là nón chuẩn tắc.
1.4. Một số không gian Banach thực nửa sắp thứ tự
1.4.1. Không gian
1
l
:
1
1
,
n n n
n
l x x x R x
1.4.1.1. Không gian vectơ thực
1
l
Định nghĩa 1.4.1.1. Cho hai phần tử tùy ý
1
11
,
nn
nn
x x y y l
và
R
. Ta gọi tổng của hai phần tử
x
và
y
, kí hiệu
xy
là phần tử
1
nn
n
x y x y
và tích của
x
với
là phần tử
1
n
n
xx
.
*) Các phép toán xác định ở trên đóng kín trong
1
l
.
Chứng minh.
+) Với
1
11
,
nn
nn
x x y y l
ta có
*
,
n n n n
x y x y n N
,
do đó
*
kN
tùy ý ta có
1 1 1 1 1
k k k
n n n n n n
n n n n n
x y x y x y
Cho
k
ta được
18
1 1 1
n n n n
n n n
x y x y
do đó
11
1 1 1
,,
n n n n
n n n
x y x y l x x y y l
.
+)
1
11
,,
nn
nn
R x x l x x
ta có
*
1 1 1
,
k k k
n n n
n n n
x x x k N
,
Cho
k
ta được
11
nn
nn
xx
do đó
11
1
,,
n
n
x l x x l R
.
Vậy hai phép toán trên đóng kín trong
1
l
.
*)
1
l
cùng với hai phép toán trên là không gian vectơ thực.
Ta chứng minh hai phép toán trên thỏa mãn 8 tiên đề về không gian vectơ.
1
: Với
1
11
,
nn
nn
x x y y l
ta có
*
,
n n n n
x y y x n N x y y x
.
2
:
*
1
1 1 1
, , ,
n n n
n n n
x x y y z z l n N
ta có
*
,
.
n n n n n n
x y z x y z n N
x y z x y z
3
:
1
1
n
n
x x l
, xét phần tử
1
0,0,0, ,0, l
, ta có
*
0 0,
nn
x x n N x x x
.
(phần tử
gọi là phần tử không cuả
1
l
).
4
:
1
1
n
n
x x l
. Đặt
1
n
n
yx
, rõ ràng
1
yl
ta có
*
0,
nn
x x n N x y
.
19
Phần tử
y
gọi là phần tử đối của phần tử
x
, kí hiệu là
x
.
5
:
1
11
,,
nn
nn
x x y y l R
ta có
*
,,
.
n n n n
x y x y n N
x y x y
6
:
1
1
,,
n
n
x x l R
ta có
*
,,
.
n n n
x x x n N
x x x
7
:
1
1
,,
n
n
x x l R
ta có
*
,,
.
nn
x x n N
xx
8
:
1
1
n
n
x x l
, ta có
*
1. .1 , ,
1. .1 .
n n n
x x x n N
x x x
Vậy
1
l
là một không gian tuyến tính trên trường số thực
R
với phép cộng hai
dãy số và phép nhân một sô thực với một dãy đã xác định trên.
1.4.1.2. Không gian Banach thực
1
l
*) Với mỗi
1
1
n
n
x x l
ta đặt
1
n
n
xx
. (1.5)
Khi đó công thức (1.5) xác định một chuẩn trên
1
l
.
Thật vậy,
Trước hết ta chứng minh công thức (1.5) xác định một ánh xạ từ
1
l
vào
R
.
Ta có
1
1
,
n
n
x x x l
.
20
Vậy,
1
1
1
.:
.
nn
n
n
lR
x x x x
Tiếp theo ta sẽ kiểm tra các tiên đề về chuẩn.
1
:
, 0,
1
1
x l x x
n
n
*
0 0 0,
1
x x x n N x
nn
n
(
kí hiệu là phần tử không).
2
:
,
1
1
x x l R
n
n
ta có
11
lim lim . .
kk
nn
kk
nn
x x x x
.
3
:
,
11
11
x x l y l
nn
nn
y
ta có
1
nn
n
x y x y
.
Do:
*
,
n n n n
x y x y n N
, nên
*
kN
ta có
1 1 1 1 1
k k k
n n n n n n
n n n n n
x y x y x y
.
Cho
k
ta được
1 1 1
.
n n n n
n n n
x y x y
x y x y
(tiên đề 3 thỏa mãn).
Vậy
1
l
cùng với chuẩn xác định như trên là một không gian định chuẩn thực.
*)
1
l
là một không gian Banach. Thật vậy,
Giả sử
1
1
, 1,2,
kk
n
n
x x l k
là một dãy cơ bản bất kỳ trong
1
l
.
