Dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu trong quy hoạch của nửa vô hạn

LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo
trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán
giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Quang Huy,
người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tác giả trong
quá trình thực hiện luận văn này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động
viên và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, ngày 5 tháng 8 năm 2010
Tác giả
Nguyễn Đình Giang
i
LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Quang Huy.
Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từng
được công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác.
Hà Nội, ngày 5 tháng 8 năm 2010
Tác giả
Nguyễn Đình Giang
ii
Mục lục
MỞ ĐẦU 1
Chương 1. Điều kiện chính quy ràng buộc 4
1.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Các điều kiện chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Chương 2. Dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu 21
2.1. Đánh giá dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu . . . . . . . 21
2.2. Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
KẾT LUẬN 27

TÀI LIỆU THAM KHẢO 27
PHỤ LỤC 30
BẢNG KÍ HIỆU
R đường thẳng thực
R
n
không gian Euclid n-chiều
F : X ⇒ Y ánh xạ đa trị từ X vào Y
domF miền hữu hiệu của F
gphF đồ thị của F
x chuẩn của véc tơ x
B hình cầu đơn vị đóng
cone Ω nón sinh bởi Ω
Limsup giới hạn trên theo nghĩa Painlevé - Kuratowski
N(¯x, Ω) nón pháp tuyến giới hạn/Mordukhovich của Ω tại ¯x

N(¯x, Ω) nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại ¯x
∂f(x) dưới vi phân giới hạn/Mordukhovich của f tại x
∂
∞
f(x) dưới vi phân suy biến của f tại x
ˆ
∂f(x) dưới vi phân Fréchet của f tại x
D
∗
F (¯x, ¯y) đối đạo hàm Mordukhovich của F tại (¯x, ¯y)

D
∗
F (¯x, ¯y) đối đạo hàm Fréchet của F tại (¯x, ¯y)

x
Ω
−→ ¯x x → ¯x, và x ∈ Ω
x
f
−→ ¯x x → ¯x, và f(x) → f(¯x)
α ↓ ¯α α → ¯α, α  ¯α
 kết thúc chứng minh
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết tối ưu là một ngành toán học đang phát triển mạnh với
nhiều hướng nghiên cứu khác nhau: Quy hoạch toán học, Giải tích biến
phân, Vi phân suy rộng, và ngày càng có nhiều ứng dụng quan trọng
trong mọi lĩnh vực khoa học, kĩ thuật, công nghệ
Các hàm giá trị tối ưu đóng vai trò quan trọng trong giải tích biến
phân, tối ưu, lý thuyết điều khiển, và nhiều ứng dụng khác nhau của lý
thuyết đó. Trong trường hợp các hàm giá trị tối ưu không trơn, để có
được các thông tin cốt yếu về độ nhạy và tính ổn định của các bài toán
tối ưu và điều khiển có nhiễu, về điều kiện cực trị, về tính điểu khiển
được địa phương,. . . ta cần nghiên cứu các tính chất vi phân theo nghĩa
suy rộng của hàm giá trị tối ưu, và người ta ngày càng tìm được nhiều
ứng dụng mới của giải tích biến phân và vi phân tổng quát.
Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị được đề xuất vào khoảng năm 1976
bởi Mordukhovich đã được nhận biết như là một công cụ hữu hiệu để
nghiên cứu nhiều vấn đề quan trọng trong giải tích biến phân và tối ưu
(xem [2], [11] và các tài liệu tham khảo trích dẫn trong đó).
Gần đây, Mordukhovich, Nam và Yen [12] đã tìm ra các công thức
đánh giá dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân Mordukhovich của hàm
giá trị tối ưu trong không gian Asplund thực cho lớp bài toán tối ưu có
tham số với hữu hạn ràng buộc bất đẳng thức dưới các dữ kiện trơn và

không trơn. Dinh, Mordukhovich và Nghia [6, 7] đã đưa ra một vài ước
lượng trên cho dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân Mordukhovich của
hàm giá trị tối ưu trong quy hoạch nửa vô hạn có tham số với ràng buộc
cho bởi vô hạn các bất đẳng thức lồi dưới các điều kiện chính quy hợp
lý. Gần đây hơn, Chuong, Huy và Yao [4] đã khảo sát lớp bài toán tối
2
ưu nửa vô hạn không lồi và đề xuất hai điều kiện chính quy ràng buộc
mới mà nó hữu ích cho việc đồng nhất nghiên cứu các điều kiện chính
quy ràng buộc từ cả hai quan điểm của giải tích lồi và giải tích không
trơn. Các điều kiện chính quy ràng buộc được đề xuất trong [4] bao hàm
cả sự tồn tại của các điều kiện chính quy quen thuộc như Mangasarian-
Fromovitz hoặc Farkas-Minkowski. Trong [4] các tác giả cũng đưa ra một
số điều kiện đủ cho tính hiệu lực của các điều kiện chính quy được đề
xuất trong không gian hữu hạn chiều dưới giả thiết tập chỉ số ràng buộc
phải là tập compact thưa (scattered compact). Một câu hỏi mở được
nêu ra trong [4] rằng có thể loại bỏ giả thiết về tính compact thưa của
tập chỉ số ràng buộc hay không?Mặt khác, một trong những lý do mà
các kết quả về điều kiện đủ cho tính chính quy hóa tập ràng buộc trong
[4] phải giới hạn trong các không gian hữu hạn chiều là trong kỹ thuật
chứng minh sử dụng định lý tách tập lồi và tính chất bao lồi của một
tập compact là một tập compact. Như ta đã biết rằng điều này không
còn đúng với tập compact trong không gian vô hạn chiều. Một câu hỏi
tự nhiên nảy sinh rằng liệu có thể mở rộng được các kết quả về điều kiện
đủ cho tính chính quy hóa tập ràng buộc trong [4] sang các không gian
vô hạn chiều được hay không? Đề tài "Dưới vi phân của hàm giá trị
tối ưu trong quy hoạch nửa vô hạn"nhằm mục đích tìm hiểu về lý
thuyết tối ưu, tối ưu nửa vô hạn và tìm hiểu câu trả lời cho hai câu hỏi
vừa nêu trên.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về việc loại bỏ giả thiết về tính compact thưa của tập

chỉ số ràng buộc trong quy hoạch nửa vô hạn; đồng thời tìm hiểu về khả
năng mở rộng các kết quả đó sang không gian vô hạn chiều. Đưa ra công
thức cho việc đánh giá dưới vi phân (Mordukhovich và suy biến) của
hàm giá trị tối ưu trong quy hoạch nửa vô hạn dưới các điều kiện chính
3
quy hóa tập ràng buộc trong không gian Banach tổng quát.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các kết quả cơ bản đã đạt được trong lý thuyết tối ưu,
tối ưu nửa vô hạn, giải tích biến phân hiện đại và vi phân suy rộng. Áp
dụng các kết quả này để nghiên cứu điều kiện đủ cho tính hiệu lực của
các điều kiện chính quy hóa tập ràng buộc và đưa ra công thức đánh giá
dưới vi phân (Mordukhovich và suy biến) của hàm giá trị tối ưu dưới
các điều kiện chính quy này.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Quy hoạch toán học, lý thuyết tối ưu, giải tích biến phân hiện đại
và vi phân suy rộng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích lồi, giải tích
không trơn, giải tích đa trị, giải tích biến phân hiện đại và vi phân suy
rộng.
6. Đóng góp mới
Các kết quả đạt được trong luận văn giải đáp trọn vẹn cho hai câu
hỏi đã nêu ra trong Mục 1, và giúp ta có những hiểu biết mới về tối ưu
nửa vô hạn. Kết quả này cũng được trình bày trong bài báo chung của
tác giả với người hướng dẫn và Giáo sư Jen-Chih Yao "Subdifferentials
of optimal value function in nonlinear infinite programming" [9].
Chương 1
Điều kiện chính quy ràng buộc
1.1. Các khái niệm cơ bản
Trong luận văn chúng ta sẽ sử dụng các khái niệm, kí hiệu của

giải tích biến phân, và vi phân suy rộng. Chi tiết đọc giả có thể tham
khảo bộ sách của Mordukhovich [11]. Nếu không nói gì thêm, tất cả các
không gian được xét là không gian Banach với chuẩn ký hiệu là  · , và
ta xét không gian đối ngẫu của nó X
∗
với tôpô yếu
∗
được kí hiệu bởi w
∗
.
Như thường lệ, B
X
và B
X
∗
kí hiệu tương ứng là hình cầu đơn vị đóng
trong không gian Banach X và không gian đối ngẫu của nó. Kí hiệu A
∗
toán tử liên hợp của toán tử tuyến tính liên tục A. Hình cầu đóng tâm
x bán kính ρ được kí hiệu bởi B
ρ
(x) hoặc B(x, ρ). cl M hoặc M ký hiệu
bao đóng của M.
Với mỗi tập Ω ⊂ X, cl Ω, int Ω, co Ω và coneΩ kí hiệu tương ứng
là bao đóng, phần trong, bao lồi và nón sinh của Ω. Ta nhắc lại rằng
Ω ∈ X là đóng địa phương tại ¯x ∈ Ω nếu có một lân cận U của ¯x sao
cho Ω ∩ clU là tập đóng.
Cho F : X ⇒ X
∗
là ánh xạ đa trị giữa không gian Banach X và

không gian đối ngẫu X
∗
của nó. Kí hiệu
Lim sup
x→¯x
F (x) := {x
∗
∈ X
∗
: ∃x
k
→ ¯x, x
∗
k
ω
∗
−→ x
∗
, x
∗
k
∈ F (x
k
), ∀k ∈ N},
được dùng để chỉ giới hạn trên theo dãy theo nghĩa Painlevé-Kuratowski
đối với tôpô chuẩn của X và tôpô yếu* của X
∗
, và N:={1,2,3, }.
Định nghĩa 1.1.1. (Nón pháp tuyến). Cho Ω ⊂ X và ε  0.
5

(i) Tập các véctơ ε- pháp tuyến của Ω tại ¯x được xác định bởi

N
ε
(¯x; Ω) :=

x
∗
∈ X
∗
: lim sup
x
Ω
→¯x
x
∗
, x − ¯x
 x − ¯x 
 ε

, (1.1)
Khi ε = 0, tập

N(¯x; Ω) :=

N
0
(¯x; Ω) được gọi là nón pháp tuyến Fréchet
của Ω tại điểm ¯x.
(ii) Nón pháp tuyến Mordukhovich N(¯x; Ω) thu được từ


N
ε
(¯x; Ω) bằng
việc lấy giới hạn trên theo nghĩa Painlevé-Kuratowski trong tô pô yếu
∗
của X
∗
:
N(¯x; Ω) := Lim sup
x
Ω
→¯x
ε↓0

N
ε
(x; Ω), (1.2)
ở đó có thể đặt ε = 0 khi Ω là tập đóng trong lân cận của ¯x và X
là không gian Asplund.
Cho Ω ⊂ R
n
là tập đóng trong một lân cận của điểm ¯x ∈ Ω. Khi
đó, ta có
N(¯x; Ω) = Lim sup
x→¯x
[cone (x − Π (x; Ω))] , (1.3)
ở đây Π(x; Ω) là hình chiếu Euclid của x trên Ω.
Định nghĩa 1.1.2. (Đối đạo hàm). Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị
giữa các không gian Banach.

(i) Đối đạo hàm Mordukhovich D
∗
F (¯x, ¯y) : Y
∗
⇒ X
∗
của F tại (¯x, ¯y) ∈
gphF được xác định bởi
D
∗
F (¯x, ¯y)(y
∗
) := {x
∗
∈ X
∗
|(x
∗
, −y
∗
) ∈ N((¯x, ¯y); gphF )} , ∀y
∗
∈ Y
∗
.
(1.4)
(ii) Đối đạo hàm Fréchet của F tại (¯x, ¯y) ∈ gphF được xác định bởi

D
∗

F (¯x, ¯y)(y
∗
) :=

x
∗
∈ X
∗
|(x
∗
, −y
∗
) ∈

N((¯x, ¯y); gphF )

, ∀y
∗
∈ Y
∗
.
(1.5)
Nếu F là ánh xạ đơn trị thì ta có thể viết ngắn gọn D
∗
F (¯x)(y
∗
) (tương
ứng,

D

∗
F (¯x)(y
∗
)) thay cho D
∗
F (¯x, F (¯x))(y
∗
) (tương ứng,

D
∗
F (¯x, F (¯x))(y
∗
)).
6
Ta nhắc lại rằng một ánh xạ đơn trị f : X → Y được gọi là khả vi
chặt tại ¯x nếu tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục ∇f(¯x): X → Y
sao cho lim
x→¯x
u→¯x
f(x) − f(u) − f(¯x)(x − u)
x − u
= 0.
Đối với ánh xạ khả vi chặt tại ¯x ta luôn có
D
∗
f(¯x)(y
∗
) =


D
∗
f(¯x)(y
∗
) = {(∇f(¯x))
∗
y
∗
}, ∀y
∗
∈ Y
∗
,
tức là đối đạo hàm Mordukhovich (tương ứng, đối đạo hàm Fréchet ) là
một sự mở rộng toán tử liên hợp của đạo hàm cổ điển . Cho hàm giá trị
thực mở rộng ϕ : X →
¯
R := [−∞, ∞]. Ta xác định
dom ϕ = {x ∈ X | |ϕ(x)| < ∞}, epi ϕ(x) = {(x, µ) ∈ X×R | µ ≥ ϕ(x)}.
Xét Φ : X ⇒ R là một ánh xạ trên đồ thị liên kết với ϕ được định nghĩa
bởi
Φ(x) = E
ϕ
(x) := {µ ∈ R | µ ≥ ϕ(x)}, ∀x ∈ X.
Định nghĩa 1.1.3. (Dưới vi phân). Cho X là không gian Banach,
ϕ : X →
¯
R là hàm giá trị thực mở rộng và hữu hạn tại ¯x.
(i) Với mỗi ε  0, đặt
ˆ

∂
ε
ϕ(¯x) :=

x
∗
∈ X
∗
: lim inf
x→¯x
ϕ(x) − ϕ(¯x) − x
∗
, x − ¯x
x − ¯x
 −ε

. (1.6)
Các phần tử của tập hợp ở vế trái công thức này được gọi là các ε− dưới
gradient Fréchet của ϕ tại ¯x, còn bản thân tập hợp đó được gọi là ε−
dưới vi phân Fréchet của ϕ tại ¯x. Tập hợp
ˆ
∂ϕ(¯x) :=
ˆ
∂
0
ϕ(¯x)
được gọi là dưới vi phân Fréchet của ϕ tại ¯x.
(ii) Tập hợp
∂ϕ(¯x) := Limsup
x

ϕ
−→¯x
ε↓0
ˆ
∂
ε
ϕ(x) (1.7)
7
được gọi là dưới vi phân Mordukhovich của ϕ tại ¯x.
(iii) Tập hợp
∂
∞
ϕ(¯x) := Limsup
x
ϕ
−→¯x
ε,λ↓0
λ
ˆ
∂
ε
f(x) (1.8)
được gọi là dưới vi phân suy biến của ϕ tại ¯x.
Dưới vi phân Mordukhovich ∂ϕ(¯x) (tương ứng, dưới vi phân suy
biến ∂
∞
ϕ(¯x)) của ϕ tại ¯x ∈ dom ϕ cũng có thể được xác định qua đối
đạo hàm của ánh xạ trên đồ thị liên kết nó D
∗
Φ(¯x, ¯y) như sau:

∂ϕ(¯x) := D
∗
E
ϕ
(¯x, ϕ(¯x))(1) = {x
∗
∈ X
∗
| (x
∗
, −1) ∈ N((¯x, ϕ(¯x)); epiϕ)}
(tương ứng,
∂
∞
ϕ(¯x) := D
∗
E
ϕ
(¯x, ϕ(¯x))(0) = {x
∗
∈ X
∗
| (x
∗
, 0) ∈ N((¯x, ϕ(¯x)); epiϕ)}).
Nếu ¯x /∈ domϕ thì đặt ∂ϕ(¯x) = ∂
∞
ϕ(¯x) = ∅. Ta có nhận xét rằng
với mọi hàm Lipschitz ϕ ta luôn có ∂ϕ(¯x) = ∅. Tuy nhiên với hàm không
Lipschitz tại một điểm đang xét, dưới vi phân Mordukhovich tại điểm

đó có thể bằng rỗng. Chẳng hạn, xét hàm ϕ(x) = x
1
3
. Ta có dưới vi phân
Mordukhovich tại ¯x = 0 bằng rỗng. Thật vậy, áp dụng công thức (1.3)
ta có thể tính được
N ((0, 0); gphϕ) =

x = (x
1
, 0) ∈ R
2
| x
1
≥ 0

.
Do đó, từ (1.9) ta dễ suy ra rằng ∂ϕ(¯x) = ∅. Ta nhắc lại từ [11] rằng
một tập Ω ⊂ X được gọi là compact pháp tuyến theo dãy (SNC) tại
¯x ∈ Ω nếu với mọi dãy ε
k
↓ 0, x
k
Ω
→ ¯x, và x
∗
k
∈

N

ε
k
(x
k
; Ω) ta có

x
∗
k
w
∗
→ 0

=⇒

x
∗
k
 → 0

khi k → ∞,
ở đó ε
k
có thể bỏ qua nếu X là không gian Asplund và Ω là đóng địa
phương trong một lân cận của ¯x. Cho ϕ : X →
¯
R hữu hạn tại ¯x. Ta nói
8
ϕ là epi-compact pháp tuyến theo dãy (SNEC) tại ¯x nếu trên đồ thị của
nó là SNC tại (¯x, ϕ(¯x)). Nếu ϕ là hàm Lipschitz địa phương tại ¯x thì ϕ

là SNEC tại điểm này.
1.2. Các điều kiện chính quy
Cho P , X là các không gian Banach, T là một không gian metric
compact khác rỗng, và ánh xạ đơn trị f : P × X →
¯
R. Xét bài toán quy
hoạch nửa vô hạn có tham số
min f(p, x), x ∈ G(p) (1.9)
với ánh xạ tập ràng buộc bị nhiễu G: P ⇒ X xác định bởi
G(p) := {x ∈ X | g
t
(p, x) ≤ 0, t ∈ T }, (1.10)
ở đó với mỗi t ∈ T, g
t
: P × X → R là một hàm giá trị thực mở rộng.
Ở đây "min" được lấy đối với biến ¯x và ¯p là tham số nhiễu. Hàm giá trị
tối ưu của bài toán tối ưu có tham số (1.9) có dạng
µ(p) := inf{f(p, x) | x ∈ G(p)} (1.11)
và ánh xạ nghiệm tương ứng là
M(p) :=

x ∈ G(p)


µ(p) = f(p, x)

. (1.12)
Ký hiệu R
(T )
(tương ứng, R

(T )
+
) tập hợp tất cả các hàm số λ : T → R lấy
giá trị khác không (tương ứng, không âm và khác không) tại hữu hạn
điểm của T, và supp λ := {t ∈ T | λ
t
= 0}. Cho u ∈ R
(T )
và λ ∈ R
(T )
+
, ta
đặt λ, u =

t∈supp λ
λ
t
u
t
. Tập nhân tử ràng buộc hoạt tại (¯p, ¯x) được
xác định bởi
A(¯p, ¯x) := {λ ∈ R
(T )
+
| λ
t
g
t
(¯p, ¯x) = 0 với mọi t ∈ supp λ}.
9

Định nghĩa 1.2.1. Cho G xác định như trong (1.10) và (¯p, ¯x) ∈ gphG.
(i) Ta nói rằng G thỏa mãn điều kiện chính quy RCQ tại (¯p, ¯x) nếu
N

(¯p, ¯x); gph G

=

N

(¯p, ¯x); gph G

=

λ∈A(¯p,¯x)


t∈supp λ
λ
t
∂g
t
(¯p, ¯x)

.(1.13)
(ii) Ta nói rằng G thỏa mãn điều kiện chính quy LCQ tại (¯p, ¯x) nếu
N

(¯p, ¯x); gph G


⊂

λ∈A(¯p,¯x)


t∈supp λ
λ
t
∂g
t
(¯p, ¯x)

. (1.14)
Rõ ràng RCQ bao hàm LCQ. Tiếp theo ta sẽ thiết lập một vài điều
kiện đủ cho tính hiệu lực của các điều kiện chính quy này, và chỉ ra rằng
LCQ và do đó RCQ bao hàm các điều kiện chính quy quen thuộc như
Mangasarian-Fromovitz và Farkas-Minkowski. Xét không gian Banach
Y = C(T ) các hàm liên tục y : T → R, với chuẩn supremum được xác
định bởi
||y|| = max
t∈T
|y(t)|,
và nón K ⊂ Y có dạng
K = {y ∈ C(T ) | y(t) ≤ 0 với mọi t ∈ T }. (1.15)
Bởi định lý biểu diễn Riesz, không gian đối ngẫu Y
∗
của Y = C(T )
là đẳng cấu chuẩn với, và vì thế có thể đồng nhất với nhau, không gian
các độ đo Borel (chính quy) có dấu hữu hạn trên (T,


) và y ∈ Y thì
ν, y =

T
y(t)dν, (1.16)
||ν|| := |ν|(T ) := ν
+
(T ) + ν
−
(T ),
ở đó với mỗi A ∈

,
ν
+
(A) := sup {ν(B) | B ⊂ A, B ∈ B}
ν
−
(A) := − inf {ν(B) | B ⊂ A, B ∈ B},
tương ứng là biến phân dương và âm của ν. Giá của ν, kí hiệu bởi supp ν,
là tập con đóng nhỏ nhất của T sao cho phần bù của nó có độ đo biến
10
phân toàn phần bằng không. Một độ đo Borel ν được gọi là không âm,
viết là ν  0, nếu ν(A) ≥ 0, ∀A ∈

. Giả sử rằng với mỗi t ∈ T ,
hàm số g
t
: P × X → R là liên tục trên P × X, và giả sử rằng hàm
(p, x, t) → g

t
(p, x) là liên tục trên P × X × T . Xét h : P × X → C(T )
ánh xạ mỗi điểm (p, x) tương ứng h(p, x) xác định bởi
h(p, x)(t) = g
t
(p, x) với mọi t ∈ T. (1.17)
Khi đó, ánh xạ tập ràng buộc G trong (1.10) có thể viết lại dưới dạng
G(p) := {x ∈ X | h(p, x) ∈ K}, (1.18)
ở đó h được xác định bởi (1.17) và nón K được xác như trong (1.15).
Lấy (¯p, ¯x) ∈ gph G. Giả sử rằng g
t
khả vi với mọi t ∈ T . Ta nhắc lại [3]
điều kiện chính quy hoá ràng buộc Mangasarian-Fromovitz mở rộng như
sau:
∃u ∈ P × X : ∇g
t
(¯p, ¯x), u < 0 ∀t ∈ I(¯p, ¯x), (1.19)
ở đó I(¯p, ¯x) := {t ∈ T | g
t
(¯p, ¯x) = 0}. Trong trường hợp này (xem [3,
Example 2.102]), (1.19) tương đương với điều kiện chính quy Robinson:
0 ∈ int {h(¯p, ¯x) + ∇h(¯p, ¯x)(P × X) − K}. (1.20)
Để có thông tin chi tiết về các điều kiện chính quy hoá tập ràng buộc
và mối quan hệ giữa chúng, đọc giả có thể xem trong tài liệu tham khảo
[3].
Định nghĩa 1.2.2. [5] Một véctơ v trong không gian Banach X được gọi
là siêu tiếp tuyến của tập C ⊂ X tại điểm x ∈ C, nếu tồn tại ε > 0 sao
cho y + tω ∈ C, với mọi y ∈ (x + εB) ∩ C, ω ∈ ν + εB, t ∈ (0, ε).
Kết quả sau đây ta chỉ ra rằng điều kiện chính quy Mangasarian-
Fromovitz mở rộng đảm bảo cho tính hiệu lực của LCQ tại điểm được

xét.
11
Định lý 1.2.1. Cho P , X là các không gian Banach và (¯p, ¯x) ∈ gphG.
Giả sử rằng với mỗi t ∈ T , hàm g
t
: P × X → R khả vi, các hàm
(p, x, t) → g
t
(p, x) và (p, x, t) → ∇g
t
(p, x) là liên tục trên P × X × T, và
hơn nữa, giả sử rằng co (∪
t∈I(p,x)
∇g
t
(¯p, ¯x)) là đóng yếu
∗
trong P
∗
× X
∗
.
Khi đó nếu tồn tại u ∈ P × X sao cho
∇g
t
(¯p, ¯x), u < 0 ∀t ∈ I(¯p, ¯x) := {t ∈ T | g
t
(¯p, ¯x) = 0},
thì LCQ được thỏa mãn tại (¯p, ¯x).
Chứng minh. Ta suy ra từ giả thiết của định lý và [3, Proposition 2.174]

rằng h là khả vi liên tục tại (¯p, ¯x) và do đó h khả vi chặt tại (¯p, ¯x), và
∇h(¯p, ¯x)(p, x)(t) = ∇g
t
(¯p, ¯x), (p, x) ∀(p, x) ∈ P × X, ∀t ∈ T.
(1.21)
Rõ ràng rằng
gph G = h
−1
(K) :=

(p, x) ∈ P × X


h(p, x) ∈ K

. (1.22)
Vì K là một nón lồi có phần trong int K khác rỗng nên luôn tồn tại
một siêu tiếp của K tại h(¯p, ¯x), hơn nữa, tập các siêu tiếp tuyến của K
trùng với tập int T
K
(h(¯p, ¯x)).
Bây giờ ta chứng minh rằng
∇h(¯p, ¯x)(P × X) ∩ int T
K
(h(¯p, ¯x)) = ∅. (1.23)
Bởi [3, Example 2.63 ] nên ta có
T
K
h((¯p, ¯x)) =


y ∈ C(T ) : y(t) ≤ 0, ∀t ∈ I(¯p, ¯x)

,
và lưu ý rằng
I(¯p, ¯x) :=

t ∈ T : g
t
(¯p, ¯x) = 0

=

t ∈ T : h(¯p, ¯x)(t) = 0

.
Hơn nữa, I(¯p, ¯x) là một tập compact. Thật vậy, vì T là compact nên
ta chỉ cần chỉ ra rằng I(¯p, ¯x) là một tập đóng. Lấy tùy ý dãy

t
k

⊂
I(¯p, ¯x) sao cho t
k
→ t
0
khi k → ∞. Do t
k
∈ I(¯p, ¯x) nên g
t

k
(¯p, ¯x) = 0. Từ
12
giả thiết hàm (¯p, ¯x, t) → g
t
(¯p, ¯x) là liên tục, ta suy ra rằng g
t
0
(¯p, ¯x) = 0,
tức là t
0
∈ I(¯p, ¯x), và do đó I(¯p, ¯x) là một tập compact.
Rõ ràng, từ điều kiện chính quy Mangasarian-Fromovitz mở rộng:
∃u ∈ P × X : ∇g
t
(¯p, ¯x), u < 0 ∀t ∈ I(¯p, ¯x), (1.24)
ta suy ra rằng
∃u ∈ P × X : ∇h(¯p, ¯x)(u)(t) < 0, ∀t ∈ I(¯p, ¯x). (1.25)
Đặt ϕ = ∇h(¯p, ¯x)(u). Ta sẽ chỉ ra rằng ϕ ∈ int T
K
(h(¯p, ¯x)). Hiển
nhiên ϕ(t) < 0 với mọi t ∈ I(¯p, ¯x) và ϕ ∈ ∇h(¯p, ¯x)(P × X). Lấy cố định
tùy ý t ∈ I(¯p, ¯x). Khi đó, với một ε
t
∈ (0, |ϕ(t)|) ta luôn có
ϕ(t) + w(t) < 0, với mọi w ∈ ε
t
B.
Rõ ràng, (−∞, ε
t

) là một lân cận mở của ϕ(t). Do ϕ liên tục nên tồn
tại một lân cận mở U
t
của t trong không gian metric compact T sao cho
ϕ(s) ∈ (−∞, ε
t
), với mọi s ∈ U
t
∩ I(¯p, ¯x).
Suy ra
ϕ(s) + w(s) < 0, ∀s ∈ U
t
∩ I(¯p, ¯x), ∀w ∈ ε
t
B.
Hiển nhiên {U
t
: t ∈ I(¯p, ¯x)} là một phủ mở của I(¯p, ¯x). Vì I(¯p, ¯x) là
compact nên tồn tại t
1
, . . . , t
k
∈ I(¯p, ¯x) sao cho {U
t
i
: i = 1, 2, . . . , k} là
một phủ mở của I(¯p, ¯x).
Chọn ε =min{ε
t
i

: i = 1, 2, . . . , k}, ta có
ϕ(t) + w(t) < 0, ∀t ∈ I(¯p, ¯x), ∀w ∈ εB.
Do đó ϕ + w ∈ T
K
(h(¯p, ¯x)) với mọi w ∈ εB. Suy ra ϕ ∈ int T
K
(h(¯p, ¯x)),
và (1.23) được chứng minh. Từ [5, Corollary 1, trang 108], (1.23) và tính
lồi của nón K ta suy ra rằng
N

(¯p, ¯x); h
−1
(K)

= ∇h(¯p, ¯x)
∗
N(h(¯p, ¯x); K). (1.26)
Ta suy từ [3, Example 2.63 ] rằng
N(h(¯p, ¯x); K) = {ν ∈ C(T )
∗
| ν  0, supp ν ⊂ I(¯p, ¯x)}.
13
Ta sẽ kết thúc chứng minh nếu chỉ ra được rằng
∇h(¯p, ¯x)
∗
N(h(¯p, ¯x); K) =

λ∈A(¯p,¯x)



t∈supp λ
λ
t
∇g
t
(¯p, ¯x)

. (1.27)
Trước tiên, ta chứng minh bao hàm thức "⊂" trong (1.27). Lấy
tuỳ ý ν ∈ N(h(¯p, ¯x); K), do co (∪
t∈I(p,x)
∇g
t
(¯p, ¯x)) là đóng yếu
∗
trong
P
∗
× X
∗
nên bao hàm thức "⊂" trong (1.27) được thỏa mãn nếu ta chỉ
ra được
∇h(¯p, ¯x)
∗
ν ∈ ν(T )co
∗

∪
t∈I(¯p,¯x)

∇g
t
(¯p, ¯x)

.
Giả sử ngược lại rằng, ∇h(¯p, ¯x)
∗
ν /∈ ν(T )co
∗

∪
t∈I(¯p,¯x)
∇g
t
(¯p, ¯x)

.
Vì tập một điểm ∇h(¯p, ¯x)
∗
ν là compact yếu
∗
trong không gian Banach
P
∗
× X
∗
và ν(T )co
∗

∪

t∈I(¯p,¯x)
∇g
t
(¯p, ¯x)

là tập đóng yếu
∗
trong P
∗
× X
∗
nên theo định lý tách [15, Theorem 3.4] ta suy ra rằng tồn tại phiếm
hàm tuyến tính liên tục ϕ
∗
: P
∗
× X
∗
→ R sao cho
ϕ
∗
(∇h(¯p, ¯x)
∗
ν) < inf{ϕ
∗
(y
∗
)|∀y
∗
∈ ν(T )co

∗

∪
t∈I(¯p,¯x)
∇g
t
(¯p, ¯x)

}.
(1.28)
Mặt khác, vì P
∗
× X
∗
là một không gian Banach (do đó cũng là
không gian lồi địa phương) nên suy ra từ [14, trang 68] rằng tồn tại
u ∈ P × X sao cho ϕ
∗
(u
∗
) = u
∗
u, với mọi u
∗
∈ P
∗
× X
∗
.
Điều này và (1.28 ) suy ra tồn tại (p

0
, x
0
) ∈ P × X và α ∈ R sao cho
∇h(¯p, ¯x)
∗
ν, (p
0
, x
0
) < α < ν(T )∇g
t
(¯p, ¯x), (p
0
, x
0
) ∀t ∈ I(¯p, ¯x).
(1.29)
Do đó, bởi (1.21), ta có
∇h(¯p, ¯x)
∗
ν, (p
0
, x
0
) = ν, ∇h(¯p, ¯x)(p
0
, x
0
)

=

T
∇h(¯p, ¯x)(p
0
, x
0
)(t)dν
=

T
∇g
t
(¯p, ¯x), (p
0
, x
0
)dν.
14
Kết hợp điều này và (1.29) suy ra rằng

T
∇g
t
(¯p, ¯x), (p
0
, x
0
)dν < α < ν(T )∇g
t

(¯p, ¯x), (p
0
, x
0
) ∀t ∈ I(¯p, ¯x).
(1.30)
Ta có

T
∇g
t
(¯p, ¯x), (p
0
, x
0
)dν =

supp ν
∇g
t
(¯p, ¯x), (p
0
, x
0
)dν. (1.31)
Từ tính liên tục của hàm (¯p, ¯x, t) → ∇g
t
(¯p, ¯x) suy ra tồn tại t
0
∈

supp ν ⊂ I(¯p, ¯x) thỏa mãn

supp ν
∇g
t
(¯p, ¯x), (p
0
, x
0
)dν = ν(supp ν)∇g
t
0
(¯p, ¯x), (p
0
, x
0
)
= ν(T )∇g
t
0
(¯p, ¯x), (p
0
, x
0
), (1.32)
mâu thuẫn với (1.30). Do đó ∇h(¯p, ¯x)
∗
ν ∈ ν(T )co
∗


∪
t∈I(¯p,¯x)
∇g
t
(¯p, ¯x)

.
và bao hàm thức "⊂" trong (1.27) được chứng minh. Tiếp theo ta chứng
minh bao hàm thức "⊃". Lấy tùy ý phần tử z
∗
thuộc vế phải của (1.27).
Khi đó tồn tại k ∈ N sao cho |I(¯p, ¯x)| = k và
z
∗
=

t∈I(¯p,¯x)
λ
t
∇g
t
(¯p, ¯x), λ
t
> 0, ∀t ∈ I(¯p, ¯x).
Xét độ đo rời rạc
ν =

t∈I(¯p,¯x)
λ
t

δ(t), (1.33)
ở đó δ(t) ký hiệu độ đo ( Dirac) của khối lượng tại điểm t ∈ T. Khi đó
ν ∈ C(T )
∗
, ν  0, supp ν ⊂ I(¯p, ¯x) và do đó ν ∈ N(h(¯p, ¯x); K). Mặt
khác, với ν đã xác định như trong (1.33) ta luôn có

T
∇g
t
(¯p, ¯x), (p, x)dν =

t∈I(¯p,¯x)
λ
t
∇g
t
(¯p, ¯x), (p, x) ∀(p, x) ∈ P × X.
(1.34)
15
Kết hợp (1.16) với (1.21) và (1.34), ta suy ra rằng
z
∗
, (p, x) =

t∈I(¯p,¯x)
λ
t
∇g
t

(¯p, ¯x), (p, x)
=

T
∇g
t
(¯p, ¯x), (p, x)dν
=

T
∇h(¯p, ¯x)(p, x)(t)dν
=ν, ∇h(¯p, ¯x)(p, x)
=∇h(¯p, ¯x)
∗
ν, (p, x), ∀(p, x) ∈ P × X.
Do đó z
∗
= ∇h(¯p, ¯x)
∗
ν ∈ ∇h(¯p, ¯x)
∗
N(h(¯p, ¯x); K), và ta chứng minh được
bao hàm thức "⊃" trong (1.27). Điều này có nghĩa là
∇h(¯p, ¯x)
∗
N(h(¯p, ¯x); K) =

λ∈A(¯p,¯x)



t∈supp λ
λ
t
∇g
t
(¯p, ¯x)

. (1.35)
Vì vậy LCQ được thỏa mãn tại ¯p, ¯x). Định lý được chứng minh.
Ví dụ sau đây chỉ ra rằng bao hàm thức "⊂" trong (1.14) có thể
không còn đúng cho ánh xạ tập ràng buộc G tổng quát.
Ví dụ 1.2.1. Lấy P = R, X = R và T = [0, 1]. Ta xét ánh xạ tập ràng
buộc
G(p) = {x ∈ R | g
t
(p, x) = p ≤ 0, t = 1
g
t
(p, x) = tp − 1 ≤ 0, t ∈ T \ {0, 1}
g
t
(p, x) = x
2
− p ≤ 0, t = 0}.
Lấy (¯p, ¯x) = (0, 0). Vì gph G = {(0, 0)}, nên suy ra N((0, 0); gph G) =
R
2
. Ta có ∇g
t
(0, 0) = (t, 0), t ∈ T \ {0}, ∇g

t
(0, 0) = (−1, 0), t = 0.
Suy ra điều kiện chính quy Mangasarian-Fromovitz mở rộng không được
thỏa mãn. Ta có thể tính được
A(0, 0) = {λ ∈ R
(T )
+
| λ
t
g
t
(0, 0) = 0, ∀t ∈ supp λ}
= {λ ∈ R
(T )
+
| λ
1
≥ 0, λ
0
≥ 0, λ
t
= 0, ∀t ∈ T \{0, 1}},
16
và

λ∈A(0,0)
(λ
1
∇g
1

(0, 0) + λ
0
∇g
0
(0, 0)) = R × {0}.
Do đó, bao hàm thức "⊂" trong (1.14) không đúng.
Định lý 1.2.2. Cho P , X là các không gian Banach và (¯p, ¯x) ∈ gphG.
Giả thiết rằng với mỗi t ∈ T , hàm g
t
: P × X → R khả vi, các hàm
(p, x, t) → g
t
(p, x) và (p, x, t) → ∇g
t
(p, x) là liên tục trên P × X × T, và
hơn nữa, giả sử rằng co (∪
t∈I(p,x)
∇g
t
(¯p, ¯x)) là đóng yếu
∗
trong P
∗
× X
∗
.
Khi đó nếu h : P × X → C(T ) có đạo hàm toàn ánh tại (¯p, ¯x) thì RCQ
được thỏa mãn tại (¯p, ¯x).
Chứng minh. Ta suy ra từ các giả thiết của định lý và [3, Proposition
2.174] rằng h là khả vi liên tục tại (¯p, ¯x), và do đó h khả vi chặt tại (¯p, ¯x)

và
∇h(¯p, ¯x)(p, x)(t) = ∇g
t
(¯p, ¯x), (p, x) ∀(p, x) ∈ P × X, ∀t ∈ T.
(1.36)
Nhận xét rằng đồ thị của ánh xạ ràng buộc G trong (1.18) có biểu diễn
dạng
gph G = h
−1
(K) :=

(p, x) ∈ P × X


h(p, x) ∈ K

. (1.37)
Bởi [11, Theorem 1.17] và tính toàn ánh của ∇h(¯p, ¯x), ta có
N

(¯p, ¯x); gph G

= ∇h(¯p, ¯x)
∗
N(h(¯p, ¯x); K). (1.38)
Mặt khác, từ [11, Corollary 1.15] ta suy ra rằng

N

(¯p, ¯x); gph G


= ∇h(¯p, ¯x)
∗

N(h(¯p, ¯x); K). (1.39)
Do tính lồi của K nên
N

h(¯p, ¯x); K

=

N(h(¯p, ¯x); K). (1.40)
17
Kết hợp (1.38), (1.39) và (1.40) ta có
N

(¯p, ¯x); gph G

=

N((¯p, ¯x); gph G).
Lập luận tương tự như trong chứng minh Định lý 1.2.1, ta suy ra rằng
∇h(¯p, ¯x)
∗
N(h(¯p, ¯x); K) =

λ∈A(¯p,¯x)



t∈supp λ
λ
t
∇g
t
(¯p, ¯x)

, (1.41)
và đó là điều cần chứng minh.
Dễ dàng nhận ra rằng khó khăn trong việc áp dụng Định lý 1.2.2.
là sự kiểm tra tính toán ánh của ∇h trong (1.17). Tiếp theo ta xét ánh
xạ tập ràng buộc G trong (1.10) khi T có hữu hạn phần tử :
G(p) :=

x ∈ X | g
i
(p, x) ≤ 0, i = 1, , m,
g
i
(p, x) = 0, i = m + 1, , m + r

. (1.42)
Ta thấy rằng (1.42) có thể viết lại dưới dạng
G(p) :=

x ∈ X | g
i
(p, x) ≤ 0, i = 1, , m,
g
i

(p, x) ≤ 0, i = m + 1, , m + r (1.43)
− g
i
(p, x) ≤ 0, i = m + 1, , m + r

.
Rõ ràng ánh xạ G cho bởi (1.43) là một trường hợp riêng của (1.18) với
T := {1, 2, . . . , m + 2r}, h(p, x)(t) := g
t
(p, x) nếu t ∈ {1, 2, . . . , m + r},
h(p, x)(t) := −g
t
(p, x) nếu t ∈ {m + r + 1, . . . , m + 2r}, và K = −R
m+2r
+
.
Ta nói rằng điều kiện chính quy Mangasarian-Fromovitz được thỏa
mãn tại (¯p, ¯x) ∈ gphG nếu các gradient ∇g
m+1
(¯p, ¯x), . . . , ∇g
m+r
(¯p, ¯x) là
độc lập tuyến tính và tồn tại u ∈ P × X sao cho ∇g
i
(¯p, ¯x), u = 0 với
i = m + 1, . . . , m + r và ∇g
i
(¯p, ¯x), u < 0 với i = 1, . . . , m mà
g
i

(¯p, ¯x) = 0. (1.44)
Kết quả sau đây chỉ ra rằng điều kiện chính quy Mangasarian-Fromovitz
đảm bảo tính hiệu lực của RCQ.
18
Định lý 1.2.3. Cho P , X là các không gian Asplund. Lấy (¯p, ¯x) ∈ gphG.
Giả sử rằng g
i
(i = 1, 2, . . . , m + r) là liên tục Lipschitz trong lân cận
(¯p, ¯x), và (λ
1
, , λ
m+r
) = 0 ∈ R
m+r
là véc tơ duy nhất thỏa mãn điều
kiện:
0 ∈
m

i=1
λ
i
∂g
i
(¯p, ¯x) +
m+r

m+1
λ
i


∂g
i
(¯p, ¯x) ∪ ∂(−g
i
)(¯p, ¯x)

,
(λ
1
, , λ
m+r
) ∈ R
m+r
+
, và λ
i
g
i
(¯p, ¯x) = 0 với i = 1, , m. (1.45)
Khi đó LCQ được thỏa mãn tại (¯p, ¯x). Hơn nữa, nếu thêm giả thiết rằng
g
i
(i = 1, 2, . . . , m + r) là các hàm khả vi chặt tại (¯p, ¯x) và (1.45) được
thay bởi (1.44) thì RCQ thoả mãn tại (¯p, ¯x).
Chứng minh. Đặt T := {1, 2, . . . , m + 2r} và lấy tùy ý
(p
∗
, x
∗

) ∈ N((¯p, ¯x); gph G). Khi đó p
∗
∈ D
∗
G(¯p, ¯x)(−x
∗
). Từ [11, Corol-
lary 4.36] ta suy ra rằng
D
∗
G(¯p, ¯x)(−x
∗
) ⊂

p
∗
∈ P
∗
| (p
∗
, x
∗
) ∈
m

i=1
λ
i
∂g
i

(¯p, ¯x)
+
m+r

m+1
λ
i

∂g
i
(¯p, ¯x) ∪ ∂(−g
i
)(¯p, ¯x)

với
(λ
1
, , λ
m+r
) ∈ R
m+r
+
, λ
i
g
i
(¯p, ¯x) = 0 khi i = 1, , m

.
(1.46)

Do đó
N((¯p, ¯x); gph G) ⊂

m

i=1
λ
i
∂g
i
(¯p, ¯x)
+
m+r

m+1
λ
i

∂g
i
(¯p, ¯x) ∪ ∂(−g
i
)(¯p, ¯x)

với
(λ
1
, , λ
m+r
) ∈ R

m+r
+
, λ
i
g
i
(¯p, ¯x) = 0 khi i = 1, , m

,
và LCQ được thỏa mãn tại (¯p, ¯x). Nếu thêm giả thiết rằng g
i
(i ∈
{1, 2, . . . , m + r}) khả vi chặt tại (¯p, ¯x) và điều kiện chính quy (1.45)
19
được thay bởi (1.44) thì ta suy ra từ [11, Corollary 4.35] rằng G là chính
quy pháp tuyến tại (¯p, ¯x) và
D
∗
G(¯p, ¯x)(x
∗
) =

p
∗
∈ P
∗
| (p
∗
, −x
∗

) =

i∈I(¯p,¯x)
λ
i
∇g
i
(¯p, ¯x), λ
i
≥ 0

.
(1.47)
Từ định nghĩa của đối đạo hàm và tính chính quy pháp tuyến của G tại
(¯p, ¯x) ta có
N

(¯p, ¯x); gph G

=

N

(¯p, ¯x); gph G

=

i∈I(¯p,¯x)
λ
i

∇g
i
(¯p, ¯x), λ
i
≥ 0.
Vì vậy RCQ được thỏa mãn tại (¯p, ¯x).
Định lý được chứng minh.
Cuối cùng trong chương này, chúng ta trình bày mối quan hệ giữa
RCQ và điều kiện chính quy Farkas-Minkowski [7] được định nghĩa như
sau: Giả sử rằng với mỗi t ∈ T, g
t
xác định trong (1.10) là hàm lồi chính
thường và nửa liên tục dưới trên P ×X. Ta nói rằng hệ ràng buộc các bất
đẳng thức trong (1.10) thỏa mãn điều kiện chính quy Farkas-Minkowski
(FM) nếu tập
cone


t∈T
epig
∗
t

là đóng yếu
∗
trong P
∗
× X
∗
× R, ở đó g

∗
t
là hàm liên hợp của g
t
, t ∈ T.
Đây là một dạng điều kiện chính quy mở rộng điều kiện Farkas quen
thuộc trong giải tích lồi. Để có thêm thông tin về dạng mở rộng này, đọc
giả có thể xem trong tài liệu tham khảo [6, 7, 14].
Định lý 1.2.4. Cho P , X là các không gian Banach và (¯p, ¯x) ∈ gphG.
Giả sử rằng với mỗi t ∈ T, g
t
xác định trong (1.10) là hàm lồi chính
thường và nửa liên tục dưới trên P × X. Nếu hệ ràng buộc (1.10) thỏa
mãn điều kiện chính quy FM thì RCQ được thỏa mãn tại (¯p, ¯x).
20
Chứng minh. Vì với mỗi t ∈ T, g
t
là hàm lồi nên gph G =

(p, x) ∈
P × X


g
t
(p, x) ≤ 0 với mọi t ∈ T

là một tập lồi trong P × X. Do đó,
N


(¯p, ¯x); gph G

=

N((¯p, ¯x); gph G). (1.48)
Từ [7, Corollary 3.6], ta suy ra rằng
N

(¯p, ¯x); gph G

=

λ∈A(¯p,¯x)


t∈supp λ
λ
t
∂g
t
(¯p, ¯x)

. (1.49)
Kết hợp (1.48) và (1.49) ta có
N

(¯p, ¯x); gph G

=


N

(¯p, ¯x); gph G

=

λ∈A(¯p,¯x)


t∈supp λ
λ
t
∂g
t
(¯p, ¯x)

.
Định lý được chứng minh.
Chương 2
Dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu
2.1. Đánh giá dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu
Trong phần này, các không gian P , X luôn giả thiết là Asplund.
Xét ánh xạ nghiệm M(·) được định nghĩa như trong (1.12). Lấy ¯p ∈ P
và ¯x ∈ M(¯p). Ta nhắc lại từ [12, Sect. 5] rằng M(·) được gọi là µ-nửa
liên tục nội bộ tại (¯p, ¯x) nếu với mỗi dãy p
k
µ
→ ¯p khi k → ∞ tồn tại dãy
x
k

∈ M(p
k
), k ∈ N, sao cho dãy {x
k
} chứa một dãy con hội tụ tới ¯x. Ở
đây p
k
µ
→ ¯p nghĩa là p
k
→ ¯p và µ(p
k
) → µ(¯p).
Định nghĩa 2.1.1. Cho h: Ω ⊂ X → Y là một ánh xạ đơn trị và ¯x ∈ Ω.
h được gọi là Lipschitz trên (địa phương) tại ¯x nếu ∃η > 0 và  ≥ 0 sao
cho
h(x) − h(¯x) ≤ x − ¯x, ∀x ∈ Ω ∩ B(¯x, η).
Định nghĩa 2.1.2. Ta nói rằng một ánh xạ đa trị L: Ω ⊂ X ⇒ Y có
lát cắt Lipschitz trên trong lân cận (¯p, ¯y) ∈ gph L nếu tồn tại một lân
cận U của ¯x và một ánh xạ đơn trị h: Ω ∩ U → Y Lipschitz trên tại ¯x
sao cho
h(¯x) = ¯y, h(x) ∈ L(x) với ∀x ∈ Ω ∩ U.
Bổ đề sau là chìa khóa để chứng minh kết quả chính trong phần
này.
Bổ đề 2.1.1. [12, Theorem 7] Cho M(·) là ánh xạ nghiệm định nghĩa
trong (1.12) và µ(·) là hàm giá trị tối ưu định nghĩa trong (1.11), và ¯p ∈