Lý thuyết Jacobian xấp xỉ và ứng dụng

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướ ng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới GS.TSKH Nguyễn
Xuân Tấn. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình song rất nghiêm túc của thầy
trong suốt quá trình làm luận văn đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất
nhiều tr ong cách ti ếp cận một vấn đề mới.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu trường ĐHSP
Hà nội 2, Phòng sau đại học, các thầy cô giá o giảng dạy chuyên nghành
Toán giải tích, Sở GD-ĐT Bắc Ninh, Trường THPT Lý NHân Tông , gia
đình, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện thuận
lợi trong suốt quá trình tác giả học tập và hoàn thành bản luận văn này.
Hà Nội, tháng 12 năm 201 1
Tác giả
Nguyễn Văn Hùng
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận văn l à công t rình của nghiên cứu của riêng t ôi.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 12 năm 201 1
Tác giả
Nguyễn Văn Hùng
Mục lục
Mở đầu 4
Chương 1. HÀM KHẢ VI 8
1.1. Hàm khả vi t ừ R → R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Hàm khả vi t ừ R
n
→ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1. Các đị nh nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2. Các phép tính của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Hàm khả vi t ừ R
n
đến R
m
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1. Các đị nh nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2. Các phép tính của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . 15
1.4. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Chương 2. JACOBIAN XẤP XỈ 17
2.1. Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. Các phép tính của Jacobian xấp xỉ. . . . . . . . . . . . . . 28
2.3. Jacobian xấ p xỉ của hàm vectơ. . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4. Hessian xấp xỉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Chương 3. ỨNG DỤNG CỦA JACOBIAN XẤP XỈ 56
3.1. Bài toán tối ưu tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2. Các l oại bài to án tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3. Bài toán tối ưu không ràng buộc . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4. Bài toán tối ưu có rà ng buộc . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5. Điều kiện tối ưu cấp hai của bài toán tối ưu vectơ . . . . . 65
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Vào nửa sau thế kỉ XVII, đồng thời và độc lập, nhà toán học người
Đức là Leibniz và nhà toán học người Anh là Newton đã phát minh ra
phép tính vi phân, một công cụ đắc lực để giải quyết nhiều bài toán trong
vật lý, cơ học, hoá học, kỹ thuật,. . . Nhưng phép tính vi phân mà Leipniz
và Newton phát m inh ra chỉ áp dụng được cho các lớp hàm có tính chất
khá tốt.
Một vấn đề đặt ra là đối vớ i các hàm không khả vi, vì đạo hàm của
chúng không tồn tại nên có t hể thay thế khái niệm đạo hàm bằng khái

niệm khác được không? Đây là vấn đề nghiên cứu của nhiều nhà toán học
vào nửa cuối thế kỷ thứ XX. Từ đó môn giải tích không trơn ra đời. Môn
học này đã giải quyết các bài toán trên các lớp hàm không có đạo hàm
theo nghĩa thông thường bằng cách đưa ra các khái niệm dưới vi phân
khác nhau để thay thế khái niệm đạo hàm, tại một điểm cho trước hàm
được xấp xỉ bằng một họ các hàm tuyến tính. Nhờ đó mà giải tích không
trơn đã đem lại nhiều kết quả sâu sắc trong lý thuyết tối ưu, giải tích biến
phân, phương trình vi phân, cơ học và lý thuyết điều khiển.
Trong những năm gần đây nhiều nhà nghiên cứu về giải tích không trơn
bằng cách tập trung phát triển các dưới vi phân suy rộng đảm bảo những
tính chất tốt cũng như các điều kiện cần và đủ tối ưu đối với hàm không trơn
như: F.H.Clarke, R.T.Rockafellar, B.D.Craven, D.Ralph và B.M.Glover,
V.F.Demyanov và V.Jeyakumar, A.D.Loffe, B.S.Morduchovich và Y.Shao,
J.P.Penot,. . . Đối với hàm lồi, chúng ta có dưới vi phân của hàm lồi. Lý
thuyết về dưới vi phân của hàm lồi là cô ng cụ cơ bản trong việc giải các bài
toán cực trị liên quan tới các hàm lồi. Việc nghên cứu lớp hàm Lipschitz
có tầ m quan trọng đặc biệt vì lớp hàm này rất gần với lớp hàm lồi và các
5
hàm khả vi thông thường.
Rất gần đây, với hàm liên tục, V.Jeyakumar và D.T.Luc đã đưa ra
khái niệm mới về dưới vi phân và gọi là Jacobian xấp xỉ. Các khái niệm
này cho ta một công cụ hữu ích để nghiên cứu những bài toán về hàm
liên tục có Jacobian xấp xỉ và cũng có những phép tính khá tốt, tương
ứng với các phép tính của đạo hàm thông thường như phép lấy tích, tổng,
hợp, định lý về giá trị trung bình,. . . Đặc biệt, nhiều dưới vi phân cũng là
Jacobian xấp xỉ, ví như dưới vi phân của hàm lồi, hàm Lipschitz đã nói
ở trên và nhiều dướ i vi phân khác như của Moduchovich, Michel-Penot,
Treima n,. . . Vì vậy những kết quả thu được bằng sử dụng Jacobian xấp xỉ
cũng đúng cho các hàm có dưới v i phân theo nghĩa của nhiều tác giả đã
đưa r a. Hơn nữa, khác với những dưới vi phân đã đề cập đến, Jacobian

xấp xỉ ở đây chỉ l à tập đóng không nhất thiết bị chặn hoặc lồi. Nhờ tính
không lồi và k hông bị chặn mà ta có thể dùng để đặc trưng một số tính
chất của hàm liên tục như tính Lipschitz đị a phương, tính lồi, tính đơn
điệu,. . . Việc nghiên cứu Jacobian xấp xỉ đã mở rộng, thống nhất và làm
sâu sắc nhiều kết quả trong giải tích không trơn và tối ưu hoá. Lý thuyết
Jacobian xấp xỉ đang là đề tài được nhi ều nhà toá n học quan tâm, nghiên
cứu.
Với mong muốn được tìm hiểu kỹ hơn về lý thuyết Jacobian xấp xỉ,
cùng với sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của GS.TSKH Nguyễn Xuân
Tấn, tôi xin giới thiệu đề tài:
“LÝ THUYẾT JACOBIAN XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG”
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài này là tập trung trình bày có hệ thống
một số kết quả về Ja cobian xấp xỉ của một hàm liên tục trong không gian
hữu hạn chiều, trước hết là hà m vô hướng, sau đó là hàm véctơ dựa trên
cơ sở các kết quả mà V.Jeyakumar, D.T.Luc và các cộng sự nghiên cứu. Lý
thuyết tối ưu vô hướng và véctơ được phát triển mạnh trong những thập
6
niên cuối t hế kỷ 20 và đầu thế kỷ 21 và đã được ứng dụng vào nhiều lĩnh
vực quan trọng của toán học, đặc bi ệt trong lĩnh vực kinh tế. Trong những
năm gần đây, lý thuyết này vẫn còn là đề tài hấ p dẫn đối với nhiều nhà
toán học trong và ngoài nước và vẫn còn đang được quan tâm nghiên cứu
và ứng dụng. Người t a đã mở rộng các kết quả thu được cho những trường
hợp tổng quát hơn như trường hợp ánh xạ véctơ, ánh xạ đa trị trong những
không g ian vô hạn chiều.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- N ghiên cứu l ý thuyết Jacobi an xấp xỉ và ứng dụng.
- Sử dụng các kết quả và ý tưởng của các tác giả đã công bố trên cá c tạp
chí để hệ thống lại theo cách hiểu và vận dụng của mình trong các tr ường
hợp ứng dụng vào các bài toán không trơn trong thực tế.

- Luôn luôn gắn những bài toán trên vào các lĩnh vực ứng dụng trong lý
thuyết tối ưu, điều khiển tối ưu liên quan tới các hàm không trơn, để t ìm
ra cá c kết quả mới t rong lĩnh vực này
4. Đối tượng và phạm vi n ghiên cứu
- Trước hết tìm hiểu thật kỹ các kiến thức cơ bản thuộc lĩnh vực giải tích
hiện đại liên quan tới hàm véctơ và giải tích đa trị , đặ c biệt là các tính
chất của các hàm có Jacobian xấp xỉ.
- Sử dụng các tính chất khác nhau của Jacobian xấp x ỉ để tìm cá c điều
kiện cần và đủ cho việc tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu liên quan tới
hàm có Jacobian xấp xỉ và đưa ra các ứng dụng trong các bài toán thực
tế
- Phân tích đặc thù riêng của từng loại bài toán để tìm ra các phương
pháp k hác nhau cho việc áp dụng lý thuyết Jacobian xấp xỉ. - Ứng dụng
bài toán tối ưu Jacobian xấp xỉ vào một số bài toán khác trong lý thuyết
tối ưu như bài toán điểm cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân
7
5. Phương pháp nghiên cứu
Dịch, đọc tài liệu, nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo.
Phân tích, tổng hợp kiến thức để phục phục vụ cho mục đích nghiên
cứu.
6. Những đóng góp mới của đề tài
- Hoàn thành luận văn về đề tài lý thuyết tối ưu Jacobian xấp xỉ và ứng
dụng, dày khoảng 80 trang.
- T ìm ra những ứng dụng có ý nghĩa trong lý thuyết tối ưu liên quan tới
các hàm có Jacobian xấp x ỉ.
- Làm rõ, hệ thống các kiên thức về hàm khả vi, Jacobia n xấp xỉ, ứng dụng
của Jacobian xấp xỉ.
Chương 1
HÀM KHẢ VI
Trong khoảng ba thập kỷ vừa qua, lý thuyết tối ưu đã thay đổi và phát

triển nhanh chóng nhằm giải quyết kịp thời những bài toán thường gặp
trong thực tế được quy về dạng
m
in
x∈D
f (x), trong đó D là một tập trong
không gian R
n
còn f là hàm số xác định trên một tập chứa D. Một lớp
hàm số rất quan trọng trong loại bài toán này là hàm khả v i.
1.1. Hàm khả vi từ R → R
Cho hàm f : (a, b) ⊂ R → R.
Định nghĩa 1.1.1. Hàm f được g ọi là khả vi tạ i điểm c ∈ (a, b) nếu tồn
tại giới hạn
lim
h→0
f (c + h) −f (c)
h
,
Số lim
h→0
f(c+h)−f(c)
h
được gọi là đạo hàm của hàm f tại c, kí hiệu f
/
(c) .
Định nghĩa 1.1.2. Nếu hàm f khả vi tại mọi điểm x ∈ (a, b) thì ta nói f
khả vi trong (a, b) .
1.2. Hàm khả vi từ R
n

→ R
1.2.1. Các định nghĩa và tính chất
Cho U là tập mở trong R
n
, hàm f : U → R, a = (a
1
, a
2
, , a
n
) ∈ U.
Ta kí hiệu L (R
n
, R) là không gian các hàm tuyến tính liên tục từ R
n
vào
R.
Định nghĩa 1.2.1. Hàm f được gọ i là khả vi tại điểm a nếu tồn tại một
hàm tuyến tính liên tục L ∈ L (R
n
, R) sao c ho
f (a + h) − f (a) = L (h) + ε (h) h,
9
trong đ ó h = (h
1
, h
2
, , h
n
) ∈ R

n
, ε (h) → 0 khi h → 0.
Hàm t uyến tính L được gọi là đạo hàm của f tại a, kí hiệu là f
/
(a) hay
Df(a).
Hàm f được gọi là khả vi trong U nếu nó khả vi tại mọi đi ể m x ∈ U.
Từ định nghĩa ta có thể chứng minh được các định lí sau
Định lí 1.2.1. Nếu f khả vi tại a thì đạo hàm tương ứn g được xác định
duy nhất .
Định lí 1.2.2. Nếu f khả vi tại a thì f liên tục tại a.
Định nghĩa 1.2.2. Ta nói f khả vi theo hướng v ∈ R
n
tại a nếu tồn tại
giới hạn
lim
t↓0
f (a + tv) −f (a)
t
.
Khi đó giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm f theo hướng v tại a, kí
hiệu là f
/
(a, v).
Trong trường hợp đặc biệt v là một vectơ trong cơ sở chính tắc
{e
1
, e
2
, , e

n
} của không gian R
n
ta có khái niệm sau:
Định n ghĩa 1.2.3. Nếu f
/
(a, e
i
) tồn tạ i t hì được gọi là đạo hàm riêng t h ứ
i của hàm f tại a, hay đạo hàm riêng theo biến x
i
của hàm f tại a và kí
hiệu là
∂f
∂x
i
(a) hay D
i
f (a) hoặc f
/
x
i
(a) .
Ta có mối quan hệ giữa đạo hàm, đạo hàm riêng và đạo hàm theo
hướng như sau:
Định lí 1.2.3. Nếu hàm f khả vi tại a thì f có đạo hàm riêng theo mọi
biến a và
f
/
(a) (h) =

n

i=1
∂f
∂x
i
(a) h
i
, trong đó h = (h
1
, h
2
, , h
n
) ∈ R
n
.
Từ định lí này ta suy ra f
/
(a) là hàm tuyến t ính được xác định bởi
ma trận

∂f
∂x
1
(a) ,
∂f
∂x
2
(a) , ,

∂f
∂x
n
(a)

và như vậy cũng có thể xem f
/
(a)
như mộ t vectơ của không gian R
n
gọi là vectơ gradient của f tại a, thường
kí hiệu là ∇f(a).
10
Định lí 1.2.4. Nếu hàm f có các đạo hàm riêng
∂f
∂x
1
(x) ,
∂f
∂x
2
(x) , ,
∂f
∂x
n
(x)
trong một lân cận nào đó tại điể m a và chúng là các hàm số liên tục tại a
thì hàm f khả vi tại a và
f
/

(a) (h) =
n

i=1
∂f
∂x
i
(a) h
i
, trong đó h = (h
1
, h
2
, , h
n
) ∈ R
n
.
Định lí 1.2.5. Nếu hàm f khả vi tại a thì nó có đạo hàm theo mọi hướng
tại a và
f
/
(a, v) = f
/
(a) (v) = ∇f(a), v (v
1
, v
2
, , v
n

) ∈ R
n
.
Cho U là tập mở trong R
n
, hàm f : U → R, a = (a
1
, a
2
, , a
n
) ∈ U. Giả
sử D
i
f (x) tồn tại với mọi x ∈ U. Như t hế ta có ánh xạ
D
i
f : U → R, x → D
i
f (x) .
Định nghĩa 1.2.4. Nếu hàm D
i
f có đạo hàm riêng theo biến t hứ j tại a
thì đạo hàm này được gọi là đạo hàm riêng cấp hai của f tại a theo biến
thứ i và th ứ j hay theo các biến x
i
và x
j
, kí hiệu là D
ij

f(a) hay
∂
2
f
∂x
i
∂x
j
(a).
Định lí 1.2.6.(Định lí Schwarz)
Cho U là tập mở trong R
n
, hàm f : U → R, a = (a
1
, a
2
, , a
n
) ∈ U. Nếu
∂
2
f
∂x
i
∂x
j
và
∂
2
f

∂x
j
∂x
i
tồn tại trên U và liên tục tại a thì ta có
∂
2
f
∂x
i
∂x
j
(a) =
∂
2
f
∂x
j
∂x
i
(a).
Bằng quy nạp ta có thể định nghĩa đạo hàm riêng các cấp theo các
biến.
Áp dụng liên ti ếp định lí 1.2.6 ta suy ra nếu f có các đạo hàm riêng liên
tục đến cấp k trên U t hì các đạo hàm riêng
∂
p
f
∂x
i

1
∂x
i
2
∂x
i
p
(a) (p ≤ k) không
phụ thuộ c vào thứ tự các biến lấy đạo hà m. Chúng l uôn được viết dưới
dạng chính tắc:
∂
|α|
f
∂x
α
1
1
∂x
α
2
2
∂x
α
n
n
(a), vớ i α = (α
1
, α
2
, , α

n
) là bộ n số nguyên
không â m , |α| = α
1
+ α
2
+ + α
n
= p.
Giả sử f khả vi trong U. Khi đó ta có ánh xạ
f
/
: U → L (R
n
, R) , x → f
/
(x).
11
Định nghĩa 1.2.5.
i) Hàm f gọi là khả vi liên tục hay thuộc lớp C
1
trên U, kí hiệu là f ∈ C
1
(U),
nếu f
/
liên tục.
ii) Hàm f gọi là khả vi cấp hai tại a nếu f
/
khả vi tại a, tức là tồn tại một

ánh xạ tuyến tí nh B : R
n
→ L (R
n
, R) sao c ho



f
/
(a + h) − f
/
(a) −B(h)



= ε(h) h,
trong đ ó h = (h
1
, h
2
, , h
n
) ∈ R
n
, ε (h) → 0 khi h → 0.
Ánh xạ B n ếu tồn tại là duy nhấ t và được gọi là đạo hàm của f
/
tại a hay
đạo hàm cấp hai của f tại a, kí hiệu là f

//
(a) hay D
2
f(a).
iii) Hàm f gọi là khả vi cấp hai trên U n ếu f khả vi cấp hai tại mọi x ∈ U.
Khi đó nếu ánh xạ f
//
: x → f
//
(x) là liên tục thì f được gọi là khả vi cấp
hai liên tục hay thuộc lớp C
2
trên U, kí hiệu là f ∈ C
2
(U).
Định lí 1.2.7. Giả sử f khả vi cấp hai tại a. Khi đó f
//
(a) là án h xạ song
tuyến tính đối xứng từ R
n
× R
n
vào R.
Bằng quy nạp ta có thể định nghĩa hàm khả vi cấp p, đạo hàm cấp p
của f tại a, kí hiệu là f
(p)
(a) hay D
(p)
f(a); hàm khả vi liên tục cấp p hay
thuộc lớp C

p
trên U. Nếu f khả vi cấp p tại a thì f
(p)
(a) là ánh xạ p-tuyến
tính đối xứng từ R
n
× R
n
× ×R
n

 
p
vào R. Khi f khả vi cấp p tại a, t a sẽ
viết D
p
f(a)( h
p
) thay cho việc viết D
p
f(a)( h, h, , h

 
p
).
Định lí 1.2.8. Giả sử f khả vi cấp hai tại a. Khi đó f có tất cả các đạo
hàm riêng tại a và
f
//
(a)(h, k) =

n

i,j= 1
∂
2
f
∂x
i
∂x
j
(a)h
i
k
j
.
Như vậy f
//
(a) được xác định bởi ma trận vuông cấp n:



∂
2
f
∂x
2
1
(a), . ,
∂
2

f
∂x
1
∂x
n
(a)

∂
2
f
∂x
1
∂x
n
(a), . ,
∂
2
f
∂x
2
n
(a)



,
12
ma t rận này gọi là ma trận Hessia n của f tại a.
Tổng quát hơn ta có:
Định lí 1.2.9. Giả sử f khả vi cấp p tại a. Khi đó f có tất cả các đạo

hàm riêng cấp p tại a và
f
(p)
(a)(h
p
) =

|α|=p
∂
|α|
f
∂x
α
1
1
∂x
α
n
n
(a)h
α
1
1
h
α
n
n
, với h = (h
1
, h

2
, , h
n
) ∈ R
n
.
1.2.2. Các phép tính của đạo hàm
Các phép tính đối với hàm khả vi dưới đây cho phép ta tính được
đạo hàm của các hàm phức tạp thông qua đạo hàm của các hàm đơn giản
và tính được gần đúng giá trị của đạo hàm.
1. Phép nhân vô hướng
Định lí 1.2.10. Giả sử f : U → R khả vi t ại a, λ ∈ R. Khi đó hàm λf
cũng khả vi tại a và
(λf)
/
(a) = λf
/
(a) .
2. Phép cộng
Định lí 1.2.11. Giả sử các hàm f, g : U → R khả vi tại a. Khi đ ó hàm
f + g khả vi tại a và
(f + g)
/
(a) = f
/
(a) + g
/
(a) .
3. Định lí về giá trị trung bình
Ta gọi một đoạn tr ong R

n
với hai đầu mút a, b ∈ R
n
là t ập hợp
[a, b] := {ta + (1 − t) b, 0 ≤ t ≤ 1}.
Định lí 1.2.12. Giả sử U là mộ t tập mở trong R
n
, [a, b ] là một đoạn chứa
trong U và f : U → R là một hà m khả vi trên U. Khi đó tồn tại c ∈ [a, b]
sao cho
f (b) − f (a) = f
/
(c) (b − a) .
4. Đạo hàm hàm hợp
Định lí 1.2.13. Cho U là một tập mở trong R
n
, hàm f : U → R
m
với
13
f = (f
1
, f
2
, , f
n
). Giả sử với mỗi i = 1, 2, , m hàm f
i
khả vi tại a ∈ U, V
là tập mở chứa f(a) trong R

m
, hàm g : V → R khả vi tại f(a). Khi đó
hàm h = g
◦
f : U → R khả vi tại a và
h
/
(a) = g
/
(f (a))

f
/
1
(a) , f
/
2
(a) , , f
/
m
(a)

. (1.2.1)
(Vế phải của (1.2.1) là:
D
1
g (f (a)) .f
/
1
(a) + D

2
g (f (a)) .f
/
2
(a) + + D
m
g (f (a)) .f
/
m
(a)).
5. Công thức Taylor
Định lí 1.2.14. Cho U là một tập mở trong R
n
, f : U → R,
a = (a
1
, a
2
, , a
n
) ∈ U. Giả sử f khả vi cấp k − 1 trên U và khả vi cấp k
tại a. Khi đó với mọi h ∈ R
n
với h khá nhỏ ta có
f (a + h) = f (a) +
1
1!
Df (a) (h) +
1
2!

D
2
f (a)

h
2

+ +
+
1
k!
D
k
f (a)

h
k

+ o

h
k

.
1.3. Hàm khả vi từ R
n
đến R
m
Trong mục này ta sẽ trình bày các khái niệm và các kết quả được
mở rộng từ hàm vô hướng khả vi cho hàm vectơ khả vi.

1.3.1. Các định nghĩa và tính chất
Cho U là tập mở trong R
n
, f : U → R
m
là hàm vectơ, f =
(f
1
, f
2
, , f
m
), a ∈ U. Ta kí hiệu L(R
n
, R
m
) là không gian các ánh xạ tuyến
tính l iên tục từ R
n
vào R
m
.
Định nghĩa 1.3.1. Hàm f được gọ i là khả vi tại điểm a nếu tồn tại một
ánh xạ tuyến tí nh liên tục L ∈ L(R
n
, R
m
) sao cho
f (a + h) − f (a) − L (h) = o (h)
14

hay là f (a + h) − f (a) −L (h) = ε (h) h,
trong đó h = (h
1
, h
2
, , h
n
) ∈ R
n
, ε (h) → 0 khi h → 0. Ánh xạ tuyến
tính L được gọi là đạo hàm củ a f tại a, kí hiệu là f
/
(a) hay Df(a).
Hàm f được gọi là khả vi trong U nếu nó khả vi tại mọi đi ể m x ∈ U.
Định lí 1.3.1. Nếu f khả vi tại a thì đạo hàm tương ứn g được xác định
duy nhất .
Định lí 1.3.2. Nếu f khả vi tại a thì f liên tục tại a.
Ta có điều kiện cần và đủ về tính khả vi của hàm f như sau:
Định lí 1.3.3. Hàm f khả vi tại a khi và ch ỉ khi các hàm thành phần
f
i

i =
1, m

khả vi tại a. Khi đó Df (a) = (Df
1
(a), Df
2
(a), . , Df

m
(a)) .
Từ đây ta suy ra ma trận của ánh x ạ tuyến tính Df(a) là:




D
1
f
1
(a) D
2
f
1
(a) D
n
f
1
(a)
D
1
f
2
(a) D
2
f
2
(a) D
n

f
2
(a)

D
1
f
m
(a) D
2
f
m
(a) D
n
f
m
(a)




.
Ma trận này gọi là ma trận Jacobi của hàm f tại a, kí hiệu l à Jf (a).
Cũng như hàm vô hướng ở trên, đối với hàm vectơ ta cũng có các khái
niệm được định nghĩa tương tự như: hàm khả vi cấp p; đạo hàm cấp p;
hàm khả vi liên tục cấp p và nếu f khả vi cấp p tại a thì f
(p)
(a) là ánh xạ
p-tuyến tính từ R
n

× R
n
× ×R
n

 
p
vào R
m
.
Bây giờ ta lấy v ∈ R
m
bất kì và định nghĩa hàm vf : R
n
→ R như
sau:
(vf) (x) := v, f(x) =
m

i=1
v
i
f
i
(x).
Rõ ràng rằng nếu f khả vi tại a thì vf cũng khả vi tại a. Khi đó dựa vào
định lí 1.1.5 ta có:
Nhận xét 1.3.1.
(vf)
/

(a, u) =

(vf)
/
(a) , u

=

f
/
(a)(u), v

∀v ∈ R
m
, u ∈ R
n
.
15
1.3.2. Các phép tính của đạo hàm
Ta cũng có các phép tính về đạo hàm của hàm vectơ tương tự như
đối với hàm vô hướng.
1.4. Ứng d ụng
Trong phần này ta sẽ ứng dụng đạo hàm để đưa ra các điều kiện
cực trị cho l ớp bài to án trơn.
Cho bài toán:
min
x∈D
f (x) (P )
trong đó f : R
n

→ R (gọi là hàm mục t iêu), D ⊂ R
n
(gọi là hàm ràng
buộc).
Định nghĩa 1.4.1. Điểm x
0
∈ D được gọi là cực ti ể u đ ị a phương của (P)
nếu tồn tại một lân cận U của x
0
sao cho f

x
0

≤ f (x) ∀x ∈ U ∩ D .
Điểm x
0
∈ D được g ọi là điểm cực tiểu toàn cục của (P) nếu ta có
f(x
0
) ≤ f(x), ∀x ∈ D.
Dưới đây ta sẽ đưa ra các điều k iện cần và đủ tối ưu cho bài toán
không có ràng buộc và bài toán với ràng buộc bất đẳng thức.
1.4.1. Bài toán trơn không có ràng buộc
Xét bài toán:
min
x∈R
n
f (x) (P 1)
Ta có:

Điều kiện cần: Giả sử hàm f khả v i tại x
0
; x
0
là điểm cực tiểu địa phương
của (P1). Khi đó , Df

x
0

= 0.
Các đi ểm thỏa mãn Df

x
0

= 0 gọi là điểm dừng.
Điều kiện đủ: Gi ả sử t rong một lân cận nào đấy của điểm dừng x
0
hàm
f khả vi cấp hai và tất cả các đạo hà m riêng cấp hai liên tục tại x
0
. Khi
đó, nếu D
2
f

x
0


h
2

> 0 ∀h ∈ R
n
, h = 0 thì x
0
là cực tiểu địa phương
của bài toán (P1).
16
1.4.2. Bài toán trơn với ràng buộc bất đẳng thức
Xét bài toán:
min
x∈D
f (x) (P 2)
Trong đó D =

x ∈ R
n
: φ
i
(x) = 0, i =
1, m

; các hàm f, φ
i
: R
n
→ R.
Với các bài toán có ràng buộc, một công cụ hữu ích được sử dụng rộng rãi

khi nghiên cứu là hàm Lagrange.
Hàm La grange của bài toán ( P2) được thiết lập như sau:
L (x, λ) := f (x) + λ
1
φ
1
(x) + + λ
m
φ
m
(x) (λ = (λ
1
, λ
2
, , λ
m
) ∈ R
m
) .
Khi đó bài toán (P2) được đưa về bài toán tối ưu không ràng buộc với
hàm mục tiêu là hàm Lagrange. Ta có điều kiện cần của bài toán (P2) như
sau:
Điều kiện cần: Giả sử x
0
là cực ti ểu địa phương của (P2); hàm f
và mọi hàm φ
i

i =
1, m


khả vi liên tục tro ng một lân cận của x
0
và
Dφ
1

x
0

, Dφ
2

x
0

, , Dφ
m

x
0

độc lập tuyến tính. Khi đó, tồn tại λ
∗
=
(λ
∗
1
, λ
∗

2
, , λ
∗
m
) sao cho:
L
/
x

x
0
, λ
∗

= 0 hay Df

x
0

+ λ
∗
1
Dφ
1

x
0

+ + λ
∗

m
Dφ
m

x
0

= 0.
Điểm x
0
∈ D gọi là điểm dừng ứng với giá t rị λ
0
=

λ
0
1
, λ
0
2
, , λ
0
m

nếu
L
/
x

x

0
, λ
0

= 0.
Khảo sát các điểm dừng ta thu được điều kiện đủ sau:
Điều kiện đủ: Giả sử trong một lân cận nào đó của điểm dừng x
0
ứng
với giá tr ị λ
0
, hàm f và mọi hàm φ
i

i =
1, m

khả vi cấp hai và có tất
cả các đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại x
0
. Nếu L
//
x

x
0
, λ
0

h

2

> 0
∀h ∈ R
n
, h = 0, thì x
0
là đi ểm cực tiểu địa phương của (P2).
Chương 2
JACOBIAN XẤP XỈ
Trong chương này, trước tiên ta đưa ra các khái niệm ma trận Jacobian
xấp xỉ, để xấp xỉ các hàm số và hàm vectơ không trơn. Khái niệm này
đã được Jeyakumar và Đinh Thế Lục đưa ra khoảng 15 năm trở lại đây
và đang được ứng dụng rộng rãi trong lý thuyết tối ưu liên quan tới các
hàm l iên tục. Sau đó, ta đi ng hiên cứu các tính chất và các phép tí nh cho
Jacobian xấp xỉ. Đồng thời ta cũng chỉ ra dưới vi phân của hàm lồi và dưới
vi phân Clarke, dưới v i phân Michel-Penot của hàm Lipschitz địa phương
đều là các Jacobian xấp xỉ. Điều đó cho thấy những kết quả nhận đượ c với
Jacobian xấp xỉ là tổng quát hơn các kết quả đã biết trong giải tích lồi và
giải tí ch Lipschitz, như t ính chất cực trị và định lý giá trị trung bình. Cuối
cùng, ta đưa ra khái niệm Hessian xấp xỉ của hàm khả vi liên tục cùng với
công thức Taylor, chúng sẽ được sử dụng cho việc nghiên cứu bài toán tối
ưu ở chương sau.
2.1. Định nghĩa và t í nh chất
Cho hàm thực mở rộng f : R
n
→
R, ở đây R = R∪{±∞}. Cho x ∈ R
n
,

|f(x)| < +∞. Trong phần này, không giảm tổng quát ta xem hàm f là liên
tục. Khái niệm Jacobian xấp xỉ được định nghĩa thông qua khái niệm đạo
hàm Dini trên, dưới theo hướ ng của hàm f. Ta nhắc lại:
Định nghĩa 2.1.1. Đạo hàm Dini trên (dưới) của hà m f theo hướng
v ∈ R
n
tại x, kí hiệu là f
+
d
(
x, v) (f
−
d
(
x, v)) được xác định như sau:
f
+
d
(
x, v) := lim
t↓0
sup
f(x + tv) −f (x)
t
(f
−
d
(
x, v) := lim
t↓0

inf
f(
x + tv) − f(x)
t
).
18
Nhận xét 2.1.1. Tr ong trường hợp f
−
d
(
x, v) = f
+
d
(
x, v) thì f có đạo hàm
theo hướ ng v tại
x và
f
′
(
x, v) = f
−
d
(
x, v) = f
+
d
(
x, v) = l im
t↓0

f(
x + tv) − f(x)
t
.
Định nghĩa 2.1.2. Ta nói hàm f có một Jacobian xấp xỉ trên (dưới)
∂
∗
f(
x) (∂
∗
f(x)) tại x nếu: ∂
∗
f(x) ⊂ R
n
(∂
∗
f(x) ⊂ R
n
) là tập đóng và với
mỗi v ∈ R
n
có:
f
−
d
(
x, v) ≤ sup
x
∗
∈∂

∗
f(
x)
x
∗
, v
(f
+
d
(
x, v) ≥ inf
x
∗
∈∂
∗
f(
x)
x
∗
, v).
Định nghĩa 2.1.3. Ta nói hàm f có m ột Jacobian xấp xỉ ∂
x
f(
x) tại x nếu
∂
x
f(
x) đồng thời là Jacobian xấp xỉ trên và Jacobian xấp xỉ dưới của f tại
x.
Điều này có nghĩa : ∂

x
f(
x) ⊂ R
n
là t ập hợp đóng và với mỗi v ∈ R
n
có:
f
−
d
(
x, v) ≤ sup
x
∗
∈∂
x
f(x)
x
∗
, v và f
+
d
(
x, v) ≥ inf
x
∗
∈∂
x
f(
x)

x
∗
, v. (2.1)
Nếu với mỗi x ∈ R
n
, ∂
x
f(x) là một Jacobian xấp xỉ của f tại x thì ánh xạ
đa trị ∂
x
f : x → ∂
x
f(x) được gọi l à ánh x ạ Jacobian xấp xỉ của f .
Nhận xét 2.1.2. Vớ i các định nghĩa trên ta dễ dàng thấy rằng:
i) Điều kiện (2.1) tương đương với điều kiện:
∀v ∈ R
n
: max{f
−
d
(
x, v), −f
+
d
(
x, −v)} ≤ s(v|∂
x
f(x)),
ở đây s(v|A) := sup
ξ∈A

v, ξ (v ∈ R
n
) là hàm tựa của tập A ∈ R
n
.
ii) Nếu ∂
x
f(
x) là một Jacobian xấp xỉ của f tại x thì bất kì tập đóng nào
của R
n
mà chứa ∂
x
f(
x) cũng là Jacobi an xấp xỉ của f tại x. Như vậy nhìn
chung Jacobian xấp xỉ của f tại một điểm là không duy nhất.
Ta sẽ minh họa khái niệm trên bằng một số ví dụ và qua đó thấy rằng
Jacobian xấp xỉ không nhất thiết là tập lồi hoặc compact.
Ví dụ 2.1.1. Cho hàm f : R → R xác định bởi:
f(x) =

√
x nếu x ≥ 0
−
√
−x nếu x ≤ 0
19
Ta dễ ràng chỉ ra rằng, ∂
x
f(0) = [α, ∞), ∀α ∈ R, là Jacobian xấp xỉ của

f tại 0. Tập này không co mpact.
Ví dụ 2.1.2. Cho hàm f : R → R xác định bởi f(x) = −|x|.
Khi đó tại 0 hàm f có một Jacobian xấp xỉ là tập không lồi ∂
x
f(0) = {1, −1}.
Sau đây ta xét một số trường hợp đặc biệt của Jacobian xấp xỉ.
1. Gradient
Mệnh đ ề 2.1.1 Giả sử f khả vi tại
x. Khi đó tập hợp {∇f(x)} là một
Jacobian xấp xỉ của f tại
x.
Chứng minh: Vì f khả vi tại
x nên theo định lý 1.2.5 ta có:
f
′
(
x, v) = ∇f(x), v ∀v ∈ R
n
.
Do đó f
+
d
(
x, v) = f
−
d
(
x, v) =  ∇f(x), v ∀v ∈ R
n
.

Theo định nghĩa 2.1.3 thì tập hợp {∇ f (
x)} là một Jacobian xấp xỉ của f
tại
x.
2. Dưới vi phân của hàm lồi
Giả sử f là hàm lồi trên R
n
.
Định nghĩa 2.1.4. Dưới vi phân của hàm lồi f tại
x, kí hiệu là ∂f(x) và
được định nghĩa như sau:
∂f(
x) := {x
∗
∈ R
n
: f (x) −f(x) ≥ x
∗
, x − x ∀x ∈ R
n
}.
Mệnh đ ề 2.1.2. Nếu f là hàm lồi chính thường trên R
n
thì ∂f(
x) = φ,
lồi, compact và
f
′
(
x, v) = max {x

∗
, v : x
∗
∈ ∂f(x)} ∀v ∈ R
n
.
Mệnh đề 2.1.3. Giả s ử f là hàm lồi chính th ường trên R
n
. Khi đó, ∂f(x)
là một Jacobian xấp xỉ lồi, compact c ủa f tại
x.
Chứng minh: Từ mệnh đề 2.1.2, ta có ∂f(
x) = φ, lồi, compact.
Đồng thờ i ∀v ∈ R
n
: f
′
(
x, v) = max {x
∗
, v : x
∗
∈ ∂f(x)}.
Suy ra
f
−
d
(
x, v) = max
x

∗
∈∂f (
x)
x
∗
, v và f
+
d
(
x, v) = max
x
∗
∈∂f (
x)
x
∗
, v ≥ min
x
∗
∈∂f (x)
x
∗
, v.
Theo định nghĩa 2.1.3 thì ∂f(
x) là một Jacobian xấp xỉ của f tại x. Mệnh
20
đề được chứng minh.
3. Gradient suy rộng của hàm Lipschitz địa phương
Giả sử hàm f Lipschitz địa phương tại
x.

Định nghĩa 2.1.5. Đạo hàm suy rộng trên và dưới Clarke của f theo
hướng v ∈ R
n
tại
x tương ứng kí hiệu là f
0
(x, v) và f
0
(x, v) được định
nghĩa nh ư sau:
f
0
(
x, v) := lim sup
x→
x,t↓0
f(x + tv) − f(x)
t
f
0
(x, v) := lim inf
x→
x,t↓0
f(x + tv) − f(x)
t
.
Định nghĩa 2.1.6 Gradie nt suy rộng Clarke của hàm f tại
x, kí hiệ u
∂
0

f(
x), là tập sau đây:
∂
0
f (
x) :=

x
∗
∈ R
n
: x
∗
, v ≤ f
0
(x, v) , ∀v ∈ R
n

.
Mệnh đề 2.1.4 Giả sử f : R
n
→ R là hàm Lipschitz địa phương với hằng
số K tại
x. Khi đó:
i) ∂
0
f(
x) = φ, lồi, compact trong R
n
và ξ ≤ K ∀ξ ∈ ∂

0
f(x).
ii) Với mọi v ∈ R
n
ta có f
0
(
x, v) = max

ξ, v : ξ ∈ ∂
0
f (x)

và f
0
(x, v) = min

ξ, v : ξ ∈ ∂
0
f (x)

.
Mệnh đề 2.1.5. Giả sử f là hàm Lipschitz địa phươ ng tại
x. Khi đó,
∂
0
f (
x) là một Jacobian xấp xỉ lồi, compact của f tại x.
Chứng minh: Từ mệnh đề 2.1.4 , ∂
0

f (
x) = φ, lồi, compact và mọi v ∈ R
n
ta có
f
0
(
x, v) = max
x
∗
∈∂
0
f(
x)
x
∗
, v và f
0
(
x, v) = min
x
∗
∈∂
0
f(
x)
x
∗
, v
Vì f

−
d
(
x, v) ≤ f
0
(x, v) và f
+
d
(
x, v) ≥ f
0
(x, v) ∀v ∈ R
n
nên:
f
−
d
(
x, v) ≤ max
x
∗
∈∂
0
f(
x)
x
∗
, v và f
+
d

(
x, v) ≥ min
x
∗
∈∂
0
f(
x)
x
∗
, v ∀v ∈ R
n
.
Vậy ∂
0
f(
x) là một Jacobian xấp xỉ lồi, compact của f t ại x.
Nhận xét 2.1.3. Do hàm f xét trong không gian hữu hạn chiều nên cụ
thể hơn ta có
∂
0
f(
x) = co

lim
n→∞
∇f(x
n
) : x
n

/∈ Ωf, x
n
/∈ S, x
n
→ x

,
21
trong đó Ωf là tập tất cả các điểm mà tại đó hàm f không k hả vi, S là tập
tùy ý trong R
n
có độ đo Lebesgue bằng 0. Kí hiệu co(A) và
co(A) tương
ứng là bao lồi và bao đóng của tập A.
Vì

lim
n→∞
∇f (x
n
) : x
n
/∈ Ωf, x
n
/∈ S, x
n
→
x

là tập compact và ∂

0
f(x)
là m ột Jacobian xấp xỉ của f tại
x nên tập

lim
n→∞
∇f (x
n
) : x
n
/∈ Ωf, x
n
/∈ S, x
n
→ x

cũng là một Ja cobian xấp xỉ của f tại
x.
Tiếp theo t a sẽ chỉ ra một dưới vi phân khác của hàm Lipschitz địa
phương cũng là Jacobian xấp xỉ.
Định nghĩa 2.1.7. Đạo hàm trên và dưới Michel-Penot của f theo hướng
v ∈ R
n
tại
x, tương ứng kí hiệu là f
♦
(x, v) và f
♦
(x, v) được định nghĩa

như sau:
f
♦
(
x, v) = sup
z∈R
n
lim
t↓0
sup
f(
x + tz + tv) − f(x + tz)
t
f
♦
(
x, v) = inf
z∈R
n
lim
t↓0
inf
f(
x + tz + tv) − f(x + tz)
t
.
Định nghĩa 2.1.8. Dưới vi phân Michel-Penot của hàm f tại
x, kí hiệu
là ∂
♦

f(
x) được xác định bởi:
∂
♦
f(
x) :=

x
∗
∈ R
n
: x
∗
, v ≤ f
♦
(x, v) ∀v ∈ R
n

.
Mệnh đề 2.1.6. Giả sử f là hàm Lipschitz địa phươ ng tại
x. Khi đó,
∂
♦
f(
x) = φ, là tập lồi, com pact trong R
n
và:
f
♦
(

x, v) = max
x
∗
∈∂
♦
f(
x)
x
∗
, v ∀v ∈ R
n
f
♦
(x, v) = min
x
∗
∈∂
♦
f(x)
x
∗
, v ∀v ∈ R
n
.
Mệnh đề 2.1.7. Giả sử f là hàm Lipschitz địa phươ ng tại
x. Khi đó,
∂
♦
f(
x) là một Jacobian x ấp xỉ lồi, compact của f tại x.

Chứng minh: Ta biết từ mệnh đề 2.1.6, ∂
♦
f(x) = φ, là tập lồi, compact
22
và
f
♦
(
x, v) = max
x
∗
∈∂
♦
f(
x)
x
∗
, v và f
♦
(
x, v) = min
x
∗
∈∂
♦
f(
x)
x
∗
, v ∀v ∈ R

n
.
Vì f
−
d
(
x, v) ≤ f
♦
(x, v) và f
+
d
(
x, v) ≥ f
♦
(x, v) ∀v ∈ R
n
nên:
f
−
d
(
x, v) ≤ max
x
∗
∈∂
♦
f(
x)
x
∗

, v và f
+
d
(
x, v) ≥ min
x
∗
∈∂
♦
f(
x)
x
∗
, v ∀v ∈ R
n
.
Từ đây ta suy ra ∂
♦
f(x) là một Jacobian xấp xỉ lồi, co mpact của f tại x.
Như vậy, đối với hàm Li pschitz địa phương tại
x chúng ta đã chỉ ra rằng
∂
0
f(
x) và ∂
♦
f(x) đều là các Jacobian xấp xỉ của f tại x. Hơn nữa, các ví
dụ dưới đây sẽ cho ta thấy rằ ng chúng còn có thể chứa thực sự bao lồi của
một Jacobian xấp xỉ và trong trường hợp tại
x hàm không Lipschitz địa

phương thì tại đó f không có g radient suy rộng Clarke, tuy nhiên vẫn có
thể tồ n tại Jacobian xấp xỉ của f tại
x. Nhờ đó mà những điều kiện nhận
được bằng sử dụng Jacobian xấp x ỉ sẽ sâu sắc hơn, ngay cả khi hàm là
Lipschitz địa phương.
Ví dụ 2.1.3. Cho hàm f : R
2
→ R xác định bởi f (x, y) = |x| − |y|.
Khi đó tại 0 hàm f có một Jacobi an xấp xỉ là tập ∂
x
f(0) = {(1, −1), (−1, 1)}.
Mặt khác f là hàm Lipschitz địa phương tại 0 và
∂
0
f(0) = co({(1, 1), (−1, 1), (1, −1), (−1, −1)}).
Do đó co(∂
x
f(0)) ⊂ ∂
0
f(0).
Ví dụ 2.1.4. Cho hàm f : R → R xác định bởi f(x) = x
1
3
.
Khi đó f không Lipschitz địa phương tại 0, vì vậy không tồ n tại gradient
suy rộng Clarke của f tại 0. Tuy nhiên tại điểm này ta có thể chỉ ra một
Jacobian xấp xỉ của f là ∂
x
f(0) = {α ∈ R : α ≥ 1}.
Tiếp theo chúng ta sẽ chứng minh một số tính chất của Jaco bian xấp

xỉ.
Định lí 2.1.1. Giả sử hàm f : R
n
→ R có một Jacobian xấp xỉ ∂
x
f(
x) tại
x. Nếu f đạt c ực trị tại x thì 0 ∈ co(∂
x
f(x) ).
Chứng minh: Giả sử f đạt cực tiểu tại x. Khi đó với mỗi v ∈ R
n
ta có
23
f
−
d
(
x, v) ≥ 0 . Vì ∂
x
f(x) là Jacobian xấp xỉ của f tại x nên
sup
x
∗
∈∂
x
f(
x)
x
∗

, v ≥ f
−
d
(
x, v) ≥ 0 .
Suy ra sup
x
∗
∈
co(∂
x
f(x))
x
∗
, v ≥ 0 ∀v ∈ R
n
. Vậy 0 ∈ co(∂
x
f(x)) .
Trường hợp f đạt cực đại tại
x thì với mỗi v ∈ R
n
ta có :
inf
x
∗
∈∂
x
f(
x)

x
∗
, v ≤ f
+
d
(
x, v) ≤ 0 .
Do đó sup
x
∗
∈∂
x
f(
x)
x
∗
, v ≥ 0 ∀v ∈ R
n
.
Từ đây suy ra 0 ∈
co(∂
x
f(x) ). Định lí được chứng minh.
Ta đã thấy rằng Jacobian xấp xỉ (trên/dưới) của hà m f tại m ột điểm
nhìn chung là không duy nhất. Khi ta xét tập J
x
= φ là tập hợp tất cả các
Jacobian xấp xỉ (trên/dưới) của hàm f tại x với quan hệ thứ tự là quan
hệ bao hàm thì đó là tập được sắp từng phần. Vì vậy, trong J
x

sẽ có phần
tử tố i thiểu. Khi đó ta có định nghĩ a sau:
Định nghĩa 2.1.9. Jacobian xấp xỉ (trên/dưới ) ∂
∗
f(x) của f tại x được
gọi là Jacobian xấp xỉ (trê n/dưới) tối thiểu củ a f tại x nếu tại x không tồn
tại một Jacobian xấp xỉ (trên/dưới) C(x) nào của f mà C(x) ∈ ∂
∗
f(x),
C(x) = ∂
∗
f(x).
Về quan điểm ứng dụng thì một Jacobian xấp xỉ "càng nhỏ" lại "càng
tốt". Vì vậy một vấn đề được đặt ra là tìm điều kiện cho sự duy nhất và
tối thiểu cho Jacobian xấp xỉ (trên/dưới). Để có khái niệm này trước tiên
ta trình bày khái niệm Jacobian xấp xỉ chính quy trên (dưới), chúng đóng
một vai trò quan trọng trong đặc trưng của Jacobian xấp xỉ tối thiểu.
Định nghĩa 2.1.10. Ta nói hàm f : R
n
→
R có một Jacobian xấp xỉ chính
quy t rên (dư ớ i) ∂
∗
f(
x) ⊂ R
n
(∂
∗
f(x) ⊂ R
n

) tại x nếu ∂
∗
f(x) (∂
∗
f(x)) là
tập đóng và ∀v ∈ R
n
ta có :
f
+
d
(
x, v) = sup
x
∗
∈∂
∗
f(
x)
x
∗
, v
(f
−
d
(
x, v) = inf
x
∗
∈∂

∗
f(
x)
x
∗
, v).
24
Định nghĩa 2.1.11. Nếu ∂
x
f(x) ⊂ R
n
vừa là Jacobian xấp xỉ chính quy
trên vừa là Jacobian xấp xỉ chín h quy dưới của hàm f tại
x thì ta gọi
∂
x
f(
x) là Jacobian xấp xỉ chính quy của f tại x.
Nhận xét 2.1.4. Mỗi Jacobian xấp xỉ chính quy trên (dưới) của f tại
x
đều là Jacobian xấp xỉ của f tại
x.
Ta sẽ thấy mối quan hệ giữa tính khả vi của f và tính chính quy
của Jacobia n xấp xỉ qua định lý dưới đây. Trước hết ta nhắc lại: Hàm
f : R
n
→ R
m
được gọi là khả vi Gateaux tại
x nếu tồn tạ i x

∗
∈ L(R
n
, R
m
)
sao cho với mỗi v ∈ R
n
ta có :
f(
x + tv) = f(x) + tx
∗
(v) + o(t).
Khi đó , ta gọi x
∗
là đạ o hàm Gateaux của f tại
x.
Định lí 2.1.2. Hàm f : R
n
→ R khả v i Gateaux tại
x khi và chỉ khi f khả
vi theo hướng tại
x và f có một Jacobian xấp xỉ chính quy tại x.
Chứng minh: Giả sử f khả vi Gateaux tại
x với đạo hàm Gateaux
f
/
G
(
x) = x

∗
.
Điều này có nghĩa là
f(
x + tv) = f(x) + t x
∗
, v + o(t) ∀v ∈ R
n
.
Khi đó f khả vi theo hướng tại
x và f
/
(x, v) = x
∗
, v ∀v ∈ R
n
(2.1.2).
Bằng cách lấy ∂
x
f(
x) = {x
∗
} thì ∂
x
f(x) ⊂ R
n
là tập đóng và từ (2.1.2)
suy ra:
∀v ∈ R
n

: f
+
d
(
x, v) = f
−
d
(
x, v) = sup
x
∗
∈∂
x
f(x)
x
∗
, v = inf
x
∗
∈∂
x
f(
x)
x
∗
, v.
Vì vậy ∂
x
f(
x) = {x

∗
} là một Jacobian xấp xỉ chính quy của f t ại x.
Ngược lại, giả sử f khả vi theo hướng tại
x và ∂
x
f(x) là một Jacobian xấp
xỉ chính quy của f tại
x. Khi đó: ∀v ∈ R
n
f
/
(
x, v) = f
−
d
(
x, v) = inf
x
∗
∈∂
x
f(
x)
x
∗
, v = f
+
d
(
x, v) = sup

x
∗
∈∂
x
f(x)
x
∗
, v.
25
Vậy ∂
x
f(
x) là tập hợp chỉ gồm duy nhất một phần tử.
Giả sử ∂
x
f(
x) = {x
∗
}. Rõ ràng f
/
(x, v) = x
∗
, v ∀v ∈ R
n
hay
f(x + tv) = f(x) + t x
∗
, v + o(t).
Suy ra f khả vi Gateaux tại
x với đạo hàm Gateaux f

/
G
(
x) = x
∗
. Định l í
được chứng minh.
Bây gi ờ thông qua điểm cực biên chúng ta sẽ thấy được tính duy nhất
và tối thiểu của Jacobian xấp xỉ.
Định nghĩa 2.1.12. Cho tập A ⊂ R
n
. Điểm x ∈ A được gọi là điể m cực
biên của A nếu A không chứa bất kì một đoạn thẳng nào nhận x là điểm
trong. Tức là tồn tại h a i điểm x
1
, x
2
∈ A, x
1
= x
2
, λ ∈ (0, 1) sao cho
x = λx
1
+ (1 − λ)x
2
và đoạn [a, b] ⊂ A.
Ta kí hi ệu Ext(A), int(A),
A, tương ứng là tập các điểm cực biên, phần
trong, bao đóng của tập A.

Định lí 2.1.3. Giả sử hàm f : R
n
→ R có một Jacobian xấp xỉ compact
chính qu y trên (dưới) ∂
∗
f(
x) (∂
∗
f(x)) tạ i x. Khi đó Ext(co(∂
∗
f(x)))
(Ext(co(∂
∗
f(x))) là Jacobian xấp xỉ chính quy trên (dưới) tối thiểu duy
nhất của f tại
x.
Chứng minh:
Giả sử ∂
∗
f(
x) Jacobian xấp xỉ compact chính quy trên của f tại x.
Lấy A là một Ja cobian xấp xỉ chính quy trên bất kì của f tại
x. Khi đó
∀v ∈ R
n
ta có :
f
+
d
(

x, v) = max
x
∗
∈∂
∗
f(
x)
x
∗
, v = sup
x
∗
∈A
x
∗
, v,
Vì vậy A là tập co mpact trong R
n
với co(∂
∗
f(
x)) = co(A).
Suy ra Ext(co(∂
∗
f(
x))) = Ext(co(A)).
Ta có (Ext(co(A)) ∩ A) ⊂ Ext(A).
Vì Ext(co(A)) ⊂ A , suy ra Ext(co(A)) ⊂ Ext(A).
Thành thử Ext(co(∂
∗

f(
x))) = Ext(co(A)) ⊂ Ext(A) ⊂ A.