Một số vấn đề về đa thức nội suy (LV168)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
———————————–
NGUYỄN QUANG NHẬT
MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA THỨC NỘI SUY
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI, 2009
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
———————————–
NGUYỄN QUANG NHẬT
MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA THỨC NỘI SUY
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN KHẢI
HÀ NỘI, 2009
Lời cảm ơn
Tác giả trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu và Phòng Sau đại học Trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban Giám hiệu và các thầy cô giáo Trường
Cao đẳng Kinh tế Kỹ thuật Vĩnh Phúc đã tạo điều kiện, giúp đỡ trong
thời gian vừa qua. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
TS. Nguyễn Văn Khải, người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ
trong suốt quá trình làm luận văn. Cảm ơn bạn bè và gia đình đã luôn
bên cạnh, quan tâm và động viên trong việc học tập và nghiên cứu.
Hà Nội, tháng 9 năm 2009
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Nguyễn Văn Khải.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Mục lục
Mở đầu 1
1 Một số kiến thức chuẩn bị 3
1.1 Một số khái niệm về giải tích hàm . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Không gian tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Phiếm hàm tuyến tính và không gian liên hợp đại số 7
1.1.4 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.5 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Phân loại hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1 Đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 Hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz . . . . . . . . . . 19
1.2.3 Hàm khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.4 Hàm khả vi vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.5 Hàm chỉnh hình trên đường thẳng . . . . . . . . . . 21
1.2.6 Hàm chỉnh hình trên miền . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Lý thuyết nội suy 28
2.1 Lý thuyết nội suy cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.1 Bài toán nội suy cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.2 Các công thức biểu diễn . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.3 Sai số, vấn đề chọn mốc nội suy, sự hội tụ của quá
trình nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Một số mở rộng bài toán nội suy . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.1 Nội suy phiếm hàm tuyến tính . . . . . . . . . . . . 47
2.2.2 Đa thức nội suy Hermite . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 Một số ứng dụng của lý thuyết nội suy trong toán sơ cấp 55
Kết luận 66
Tài liệu tham khảo 67
1
Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài
Sự ra đời bài toán nội suy và quá trình nghiên cứu phát triển không
ngừng của lý thuyết đa thức nội suy có ý nghĩa quan trọng trong toán học
theo cả hai hướng: Lý thuyết và ứng dụng.
Đối với lý thuyết đa thức nội suy, người ta quan tâm đến hầu khắp các
khía cạnh của vấn đề: Sự tồn tại, các biểu diễn ở dạng thức khác nhau, sai
số, chọn mốc nội suy cũng như sự hội tụ của quá trình nội suy.
Đồng thời với lý thuyết đa thức nội suy truyền thống, người ta còn
quan tâm đến bài toán đa thức nội suy Hermite và bài toán nội suy phiếm
hàm tuyến tính.
Lý thuyết đa thức nội suy có nhiều ứng dụng trong toán học như giải
gần đúng phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng,. . .
Trong toán sơ cấp nó cũng có những ứng dụng khác nhau thú vị.
Với mục tiêu muốn tìm hiểu một cách sâu sắc có hệ thống về các đa
thức nội suy, tôi đã chọn đề tài:
“Một số vấn đề về đa thức nội suy”.
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu một số vấn đề của lý thuyết nội suy và một vài
ứng dụng trong toán sơ cấp.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Luận văn tìm hiểu lý thuyết nội suy cổ điển (Bài toán, công thức biểu
diễn, sai số, sự hội tụ của quá trình nội suy) cũng như một vài phát triển
sâu hơn của bài toán nội suy (nội suy Hermite và bài toán nội suy phiếm
hàm tuyến tính).
2
4. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của giải tích hàm và hàm số biến số phức.
5. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài
Trình bày hệ thống hoá lại những vấn đề cơ bản của lý thuyết nội suy.
Một số ứng dụng đa thức nội suy trong toán sơ cấp.

6. Nội dung
Luận văn gồm ba chương:
Chương 1 : Một số kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Trình bày các vấn đề cơ bản về đa thức nội suy cổ điển,
các công thức biểu diễn, sự hội tụ của quá trình nội suy, đa thức nội suy
Hermite và bài toán nội suy phiếm hàm tuyến tính.
Chương 3 : Một số ứng dụng trong việc giải toán sơ cấp.
3
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Một số khái niệm về giải tích hàm
Ta ký hiệu R là tập các số thực, Q là tập các số hữu tỉ, Z là tập các số
nguyên và N là tập các số tự nhiên.
1.1.1 Không gian mêtric
Định nghĩa 1.1.1. Xét một tập X = ∅ cùng với ánh xạ d : X ×X −→ R
thỏa mãn các điều kiện:
a) d(x, y) ≥ 0 ∀x, y ∈ X, đồng thời d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y;
b) d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ X;
c) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀x, y, z ∈ X.
Khi đó ánh xạ d được gọi là hàm khoảng cách và tập hợp X cùng với d
là một không gian mêtric.
Nếu M là một tập con khác rỗng của X thì M cùng với d hạn chế trên
M là một không gian mêtric con của không gian mêtric X.
Định nghĩa 1.1.2. Cho dãy các phần tử x
n
∈ X, ∀n ∈ N và phần tử
x
∗
∈ X. Nếu lim
n→∞

d(x
n
, x
∗
) = 0 thì x
∗
được gọi là giới hạn của dãy (x
n
)
và ký hiệu lim
n→∞
x
n
= x
∗
.
Định nghĩa 1.1.3. Dãy (x
n
) ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu ∀ > 0, ∃N
0
sao cho ∀n, m ≥ N
0
thì d(x
n
, x
m
) < .
Định nghĩa 1.1.4. Không gian mêtric X thỏa mãn điều kiện mỗi dãy
Cauchy đều hội tụ tới một điểm của X được gọi là không gian mêtric đủ.
4

Định lí 1.1.5 (Nguyên lý ánh xạ co). Giả sử X là không gian mêtric đủ
và ánh xạ T : X −→ X thỏa mãn điều kiện
d(T x, T y) ≤ αd(x, y) (1.1)
với hằng số 0 ≤ α < 1 và ∀x, y ∈ X. Khi đó tồn tại duy nhất phần tử
x
∗
∈ X sao cho x
∗
= T x
∗
. Hơn nữa, với x
0
∈ X thì dãy (x
n
) xác định bởi
x
k+1
= T x
k
, ∀k ∈ N, hội tụ đến x
∗
, đồng thời ta có ước lượng
d(x
n
, x
∗
) ≤
α
n
1 − α

d(x
1
, x
0
). (1.2)
Chứng minh. Ta có
d(x
k+1
, x
k
) = d(T x
k
, T x
k−1
) ≤ αd(x
k
, x
k−1
) ≤ ··· ≤ α
k
d(x
1
, x
0
), ∀k ∈ N.
Do đó ∀n ∈ N, ∀p ∈ N ta có
d(x
n+p
, x
n

) ≤ d(x
n+p
, x
n+p−1
)+···+d(x
n+1
, x
n
) ≤ (α
n+p−1
+···+α
n
)d(x
1
, x
0
).
Suy ra
d(x
n+p
, x
n
) ≤
α
n
1 − α
d(x
1
, x
0

). (1.3)
Vì 0 ≤ α < 1 nên lim
n→∞
α
n
= 0, do đó từ (1.3) suy ra dãy (x
n
) là dãy
Cauchy, bởi vậy tồn tại x
∗
∈ X sao cho lim
n→∞
x
n
= x
∗
.
Trong (1.3) ta cho p −→ ∞ ta được (1.2) cần chứng minh.Vì x
n+1
=
T x
n
nên cho n −→ ∞ ta được x
∗
= T x
∗
. Vậy x
∗
là điểm mà x
∗

= T x
∗
.
Giả sử còn có ¯x cũng có tính chất ¯x = T ¯x. Khi đó
d(x
∗
, ¯x) = d(T x
∗
, T ¯x) ≤ αd(x
∗
, ¯x).
Mà α < 1 nên suy ra d(x
∗
, ¯x) = 0 hay x
∗
= ¯x. Vậy x
∗
là duy nhất.
Ví dụ 1. Xét X = R với khoảng cách thông thường d(x, y) = |x − y|.
Khi đó X là một không gian mêtric, hơn nữa nó còn là một không gian
mêtric đủ.
Ví dụ 2. Xét X = Q với khoảng cách d(x, y) = |x −y|. Khi đó X là một
không gian mêtric không đủ.
Ví dụ 3. Xét X = C[0, 1] gồm các hàm liên tục trên [0, 1] với khoảng
cách d(x, y) = max
0≤t≤1
|x(t) − y(t)|. Khi đó X là một không gian mêtric.
Thật vậy,
5
a) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.

b) d(x, y) = max
0≤t≤1
|x(t) − y(t)| = max
0≤t≤1
|y(t) − x(t)| = d(y, x).
c) ∀t ∈ [0, 1] : |x(t) −y(t)| = |x(t) −z(t) + z(t) −y(t)| ≤ |x(t) −z(t)|+
|z(t) − y(t)|.
Vậy max
0≤t≤1
|x(t) −y(t)| ≤ max
0≤t≤1
|x(t) −z(t)|+ max
0≤t≤1
|z(t) −y(t)|, tức là
d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, x), ∀x, y, z ∈ X.
Hơn nữa, ta có thể chứng minh C[0, 1] là một không gian mêtric đủ.
1.1.2 Không gian tuyến tính
Định nghĩa 1.1.6. Tập X cùng với phép cộng và phép nhân vô hướng
được gọi là một không gian tuyến tính thực (nói ngắn gọn là không gian
tuyến tính) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
a) x + y = y + x;
b) (x + y) + z = x + (y + z);
c) Tồn tại phần tử trung hoà θ ∈ X sao cho x + θ = x;
d) Tồn tại −x ∈ X sao cho x + (−x) = θ;
e) (s + t)x = sx + tx;
f) t(x + y) = tx + ty;
g) s(tx) = (st)x;
h) 1.x = x
với mọi x, y, z ∈ X và mọi s, t ∈ R.
Mỗi phần tử x ∈ X được gọi là một vectơ, các điều kiện trên được gọi

là các tiên đề về không gian tuyến tính thực.
Định nghĩa 1.1.7. Giả sử X là một không gian tuyến tính thực. Tập con
X
1
của X được gọi là một không gian tuyến tính con của không gian X
nếu X
1
cùng với hai phép toán cảm sinh của X trên X
1
tạo thành một
không gian tuyến tính.
Dễ thấy rằng với một không gian tuyến tính X thì các khẳng định sau
là đúng:
6
a) Phần tử trung hoà θ là duy nhất.
b) Phần tử đối (−x) của phần tử x ∈ X là duy nhất.
c) ∀x ∈ X thì 0.x = θ.
d) ∀x ∈ X thì (−1).x = −x.
e) ∀k ∈ R thì k.θ = θ.
f) Nếu k.x = θ thì k = 0 hoặc x = θ.
Định nghĩa 1.1.8. Cho X là một không gian tuyến tính. Một biểu thức
dạng
α
1
x
1
+ α
2
x
2

+ ··· + α
n
x
n
; α
i
∈ R, x
i
∈ X
được gọi là một tổ hợp tuyến tính của hệ vectơ {x
1
, x
2
, . . . , x
n
}.
Định nghĩa 1.1.9. Cho hệ n vectơ x
1
, . . . , x
n
trong không gian tuyến tính
X. Xét đẳng thức vectơ
α
1
x
1
+ α
2
x
2

+ ··· + α
n
x
n
= θ.
Nếu đẳng thức trên chỉ xảy ra với α
1
= α
2
= ··· = α
n
= 0 thì ta nói
rằng hệ n vectơ đó độc lập tuyến tính. Nếu tồn tại một bộ số α
1
, . . . , α
n
với
n

i=1
α
2
i
> 0 sao cho đẳng thức trên được thoả mãn thì ta nói rằng hệ n
vectơ trên là phụ thuộc tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.10. Hệ vô hạn các phần tử {x
i
}
i∈I
thuộc không gian

tuyến tính X được gọi là độc lập tuyến tính nếu như mọi hệ con hữu hạn
của nó là độc lập tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.11. Cho n là một số nguyên dương và X là một không
gian tuyến tính. Nếu ta tìm được n vectơ x
1
, x
2
, . . . , x
n
∈ X độc lập tuyến
tính và mọi hệ n + 1 vectơ trong X đều phụ thuộc tuyến tính thì ta nói
không gian X có số chiều là n và kí hiệu là dim X = n. Nếu không tồn tại
n như vậy ta nói không gian X là vô hạn chiều.
Định nghĩa 1.1.12. Cho X là một không gian tuyến tính. Một tập hợp
các phần tử x
1
, x
2
, ··· ∈ X được gọi là một cơ sở của X nếu với mỗi
x ∈ X, x luôn biểu diễn được dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của x
i
và
biểu diễn này là duy nhất.
7
Định lí 1.1.13. Không gian tuyến tính X có số chiều là n khi và chỉ khi
cơ sở của X gồm n phần tử. Nếu X có số chiều là n thì mọi hệ vectơ độc
lập tuyến tính gồm n phần tử đều là cơ sở của nó.
Định nghĩa 1.1.14. Giả sử X và Y là hai không gian tuyến tính trên R.
Khi đó ánh xạ T : X → Y được gọi là tuyến tính nếu T thoả mãn hai điều
kiện:

a) T (x
1
+ x
2
) = T (x
1
) + T (x
2
), ∀x
1
, x
2
∈ X;
b) T (kx) = kT (x), ∀k ∈ R, ∀x ∈ X.
1.1.3 Phiếm hàm tuyến tính và không gian liên hợp đại số
Định nghĩa 1.1.15. Giả sử X một không gian tuyến tính trên R. Một
ánh xạ L : X → R thoả mãn điều kiện:
a) L(x
1
+ x
2
) = L(x
1
) + L(x
2
) ∀x
1
, x
2
∈ X;

b) L(kx) = kL(x) ∀k ∈ R, ∀x ∈ X
được gọi là một phiếm hàm tuyến tính.
Ví dụ 4. Xét X = C[a, b] và ánh xạ L : X → R xác định bởi
L(f) =

b
a
f(x)dx.
Khi đó L là phiếm hàm tuyến tính. Thật vậy, ∀f(x), g(x) ∈ C[a, b] ∀k, l ∈
R:
L(kf + lg) =

b
a
[kf(x) + lg(x)]dx
=

b
a
kf(x)dx +

b
a
lg(x)dx
= k

b
a
f(x)dx + l


b
a
g(x)dx
= kL(f) + lL(g).
Sử dụng định nghĩa, dễ dàng chứng minh các phiếm hàm trong các ví
dụ dưới đây là tuyến tính.
8
Ví dụ 5. X = C
1
[a, b] và phiếm hàm L : X → R xác định bởi
L(f) = f

(a) + f

(b) − f(
a + b
2
).
Ví dụ 6. X = C[a, b] và phiếm hàm L : X → R xác định bởi
L(f) =

b
a
f(x)dx −
n

i=1
x
i
f(x

i
)
với các x
i
phân biệt thoả mãn a ≤ x
i
≤ b.
Ví dụ 7. X = R
n
, x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
). Cho a
1
, a
2
, . . . , a
n
là những hằng
số cố định, ánh xạ L : X → R xác định bởi
L(x) =
n

i=1
a
i
x

i
.
Có thể cộng hai phiếm hàm hoặc nhân phiếm hàm với một số thực.
Chẳng hạn nếu f ∈ C
1
[a; b] và
L
1
(f) =

b
a
f(x)dx, L
2
(f) = f

(
a + b
2
)
thì có thể đồng nhất phiếm hàm
L(f) = α

b
a
f(x)dx + βf

(
a + b
2

)
với biểu thức αL
1
+ βL
2
, khi đó L là một phiếm hàm tuyến tính. Điều này
làm cơ sở cho định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.1.16. Cho X là một không gian tuyến tính và L
1
, L
2
là hai
phiếm hàm tuyến tính xác định trên X. Tổng của L
1
và L
2
, tích của L
1
với số thực α được xác định như sau
(a) (L
1
+ L
2
)(x) = L
1
(x) + L
2
(x) ∀x ∈ X;
(b) (αL
1

)(x) = αL
1
(x) ∀x ∈ X.
(1.4)
Có thể chứng minh được tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính xác
định trên X cùng với hai phép toán trên cũng là một không gian tuyến
tính và ta kí hiệu là X
∗
, X
∗
là không gian liên hợp đại số của X.
9
Ví dụ 8. Xét X = C[a, b] và x
1
, x
2
, . . . , x
n
là n điểm phân biệt trên [a, b].
L
1
, L
2
, . . . , L
n
là n phiếm hàm tuyến tính trên X và được xác định bởi
L
k
(f) = f(x
k

) với f ∈ X. Khi đó L
1
, L
2
, . . . , L
n
độc lập tuyến tính trên
X
∗
.
Thật vậy, giả sử có các hằng số a
1
, a
2
, . . . , a
n
không đồng thời bằng 0
sao cho
a
1
L
1
+ a
2
L
2
+ ··· + a
n
L
n

= 0.
Suy ra a
1
f(x
1
) + a
2
f(x
2
) + ···+ a
n
f(x
n
) = 0 với mọi f ∈ C[a, b]. Vô lí vì
nếu a
k
= 0 thì có thể tìm được một hàm liên tục mà f(x
k
) = 1, f(x
i
) =
0, i = k, vậy a
k
= 0. Ta được điều phải chứng minh.
Bổ đề 1.1.17. Cho X là một không gian n chiều. Nếu x
1
, x
2
, . . . , x
n

độc
lập tuyến tính trong X và L
1
, L
2
, . . . , L
n
độc lập trong X
∗
thì
|L
i
(x
j
)| = 0. (1.5)
Ngược lại, nếu x
1
, x
2
, . . . , x
n
hoặc L
1
, L
2
, . . . , L
n
độc lập và (1.5) được
thỏa mãn thì tập còn lại cũng vậy.
Định lí 1.1.18. Nếu dim X = n thì dim X

∗
= n.
Chứng minh. Lấy x
1
, x
2
, . . . , x
n
là một cơ sở (n phần tử độc lập). Với mỗi
x ∈ X, x = a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ ··· + a
n
x
n
là biểu diễn duy nhất.
Với mỗi x ∈ X, đặt
L
1
(x) = a
1
, L
2
(x) = a

2
, . . . , L
n
(x) = a
n
.
Các L
i
là những phiếm hàm tuyến tính xác định trên X. Chúng độc lập
tuyến tính vì nếu không, β
1
L
1
+ β
2
L
2
+ ···+ β
n
L
n
= 0 với β
j
= 0 nào đó,
ta được
β
1
L
1
(x

j
) + β
2
L
2
(x
j
) + ··· + β
n
L
n
(x
j
) = 0(x
j
) = 0.
Nhưng
L
i
(x
j
) = δ
ij
=

1 nếu i = j
0 nếu i = j
nên 1 = 0, vô lí.
Như vậy số chiều của X
∗

nhỏ nhất bằng n. Giả sử có n + 1 phiếm hàm
L
1
, L
2
, , . . . , L
n+1
. Xét n + 1 bộ
[L
i
(x
1
), L
i
(x
2
), . . . , L
i
(x
n
)], i = 1, 2, . . . , n + 1.
10
Vì R
n
(hoặc C
n
) có n chiều nên các bộ trên không thể độc lập tuyến tính.
Do đó có α
1
, α

2
, . . . , α
n+1
không đồng thời bằng 0 sao cho
α
1
[L
1
(x
1
), . . . , L
1
(x
n
)]+···+α
n+1
[L
n+1
(x
1
), . . . , L
n+1
(x
n
)] = 0 = [0, 0, . . . , 0].
Vì vậy (α
1
L
1
+ ···+ α

n+1
L
n+1
)(x
i
) = 0, i = 1, 2, . . . , n. Bằng cách lấy tổ
hợp tuyến tính ta được
(α
1
L
1
+ ··· + α
n+1
L
n+1
)(x) = 0, x ∈ X.
Do đó L
1
, L
2
, , . . . , L
n+1
phụ thuộc tuyến tính và vì vậy số chiều của X
∗
bằng n.
Định lí trên cho ta thấy rằng trên một không gian n chiều X, mọi phiếm
hàm tuyến tính đều có thể được biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính của
n phiếm hàm tuyến tính độc lập cố định.
1.1.4 Không gian Banach
Định nghĩa 1.1.19. Giả sử X là một không gian tuyến tính trên R. Ánh

xạ · : X → R xác định trên X lấy giá trị trên tập số thực, thoả mãn các
điều kiện sau:
a) x ≥ 0, ∀x ∈ X đồng thời x = 0 ⇔ x = θ;
b) αx = |α|x ∀x ∈ X, ∀α ∈ R;
c) x + y ≤ x + y ∀x, y ∈ X,
được gọi là một chuẩn trên X.
Định nghĩa 1.1.20. Không gian tuyến tính X cùng với chuẩn · được
gọi là một không gian tuyến tính định chuẩn.
Định lí 1.1.21. Cho không gian tuyến tính định chuẩn X. Với x, y ∈ X
đặt
d(x, y) = x − y. (1.6)
Khi đó d là một mêtric trên X.
Chứng minh của định lí trên dễ dàng suy ra từ các điều kiện của chuẩn.
Nhờ định lí 1.1.21, mọi không gian tuyến tính định chuẩn đều là không
gian mêtric với mêtric (1.6).
11
Định nghĩa 1.1.22. Không gian tuyến tính định chuẩn X được gọi là
không gian Banach nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ tới một phần
tử trong X.
Định nghĩa 1.1.23. Cho X, Y là hai không gian Banach, toán tử tuyến
tính T : X → Y được gọi là liên tục tại x
0
∈ X nếu với mọi dãy điểm bất
kì (x
n
) ⊂ X sao cho lim
n→∞
x
n
= x

0
thì lim
n→∞
T x
n
= T x
0
.
Định nghĩa 1.1.24. Giả sử X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn
và T : X −→ Y là một toán tử tuyến tính. Nếu tồn tại giá trị hữu hạn
T  = sup
∅=x∈X
T x
x
< +∞
thì toán tử T được gọi là bị chặn (hay giới nội) và số T  được gọi là
chuẩn của toán tử T .
Ta cũng thấy rằng các khẳng định sau là đúng.
Định lí 1.1.25. Toán tử tuyến tính T : X −→ Y là giới nội khi và chỉ
khi T là một toán tử liên tục.
Định lí 1.1.26.
T  = sup
x≤1
T x = sup
x=1
T x.
Ví dụ 9. Xét C[0, 1] là tập các hàm liên tục trên đoạn [0, 1]. Với x(t), y(t) ∈
C[0, 1], k ∈ R ta định nghĩa
(x + y)(t) = x(t) + y(t) ∀t ∈ [0, 1],
(kx)(t) = kx(t) ∀t ∈ [0, 1].

Khi đó C[0, 1] cùng với hai phép toán trên là một không gian tuyến tính
trên R. Với x ∈ C[0, 1], đặt x = max
t∈[0,1]
|x(t)| thì có thể thấy · là một
chuẩn trên C[0, 1] và C[0, 1] cùng với chuẩn nêu trên là một không gian
Banach.
Định nghĩa 1.1.27. Cho không gian tuyến tính định chuẩn X và dãy
điểm (x
n
) ⊂ X. Ta gọi là chuỗi là biểu thức có dạng
x
1
+ x
2
+ ··· + x
n
+ ···
12
và được viết là
∞

n=1
x
n
. Biểu thức
s
k
=
k


n=1
x
n
, k ∈ N
∗
được gọi là tổng riêng thứ k của chuỗi.
Nếu tồn tại lim
k→∞
s
k
= s trong không gian X thì chuỗi gọi là hội tụ và s
gọi là tổng của chuỗi.
Định nghĩa 1.1.28. Chuỗi
x
1
+ x
2
+ ··· + x
n
+ ···
được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi số sau hội tụ
x
1
 + x
2
 + ···x
n
 + ···
Định lí 1.1.29 (Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của chuỗi). Cho X là
không gian Banach. Chuỗi

∞

n=1
x
n
hội tụ khi và chỉ khi
∀ > 0, ∃n
0
∈ N
∗
, ∀n ≥ n
0
, ∀p ∈ N
∗
: x
n+1
+ x
n+2
+ ··· + x
n+p
 < .
Định lí 1.1.30. Không gian tuyến tính định chuẩn X là không gian Ba-
nach khi và chỉ khi trong không gian X mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội
tụ.
Chứng minh. Giả sử X là không gian Banach và chuỗi
∞

n=1
x
n

 hội tụ.
Khi đó
∀ > 0, ∃n
0
∈ N
∗
, ∀n ≥ n
0
, ∀p ∈ N
∗
:
p

j=1
x
n+j
 < .
Suy ra
∀ > 0, ∃n
0
∈ N
∗
, ∀n ≥ n
0
, ∀p ∈ N
∗
:






p

j=1
x
n+j





≤
p

j=1
x
n+j
 < .
Theo tiêu chuẩn Cauchy, chuỗi
∞

n=1
x
n
hội tụ trong không gian X.
13
Ngược lại, giả sử trong không gian tuyến tính định chuẩn X mọi chuỗi
hội tụ tuyệt đối đều hội tụ và (x
n

) là dãy Cauchy tùy ý trong không gian
X. Ta có
∀ > 0, ∃n
0
∈ N
∗
, ∀n, m ≥ n
0
: x
n
− x
m
 < .
Nhờ đó với số  là phần tử của dãy số

1
2
k

ta tìm được số n
k
sao cho


x
n
k+1
− x
n
k



<
1
2
k
(k ∈ N
∗
) với n
k
< n
k+1
. Từ đó suy ra chuỗi
x
n
1
 + x
n
2
− x
n
1
 + ··· +


x
n
k+1
− x
n

k


+ ···
hội tụ. Theo giả thiết, chuỗi
x
n
1
+ (x
n
2
− x
n
1
) + ··· + (x
n
k+1
− x
n
k
) + ···
hội tụ trong không gian X, kí hiệu tổng của chuỗi này là s. Hiển nhiên
s = lim
k→∞
[x
n
1
+ (x
n
2

− x
n
1
) + ··· + (x
n
k+1
− x
n
k
)] = lim
k→∞
x
n
k+1
.
Từ chứng minh trên và từ hệ thức
x
n
− s ≤


x
n
− x
n
k+1


+



x
n
k+1
− s


→ 0 (k, n → ∞)
suy ra s = lim
n→∞
x
n
trong không gian tuyến tính định chuẩn X. Do đó X
là không gian Banach. Định lí được chứng minh.
1.1.5 Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.31. Cho X là một không gian tuyến tính. Ánh xạ ϕ :
X × X −→ R thỏa mãn ba điều kiện sau được gọi là một tích vô hướng
trên X:
a) ϕ(x, x) ≥ 0 ∀x ∈ X đồng thời ϕ(x, x) = 0 ⇐⇒ x = θ;
b) ϕ(x, y) = ϕ(y, x) ∀x, y ∈ X;
c) ϕ(αx
1
+ βx
2
, y) = αϕ(x
1
, y) + βϕ(x
2
, y) ∀x
1

, x
2
∈ X và ∀α, β ∈ R.
ϕ(x, y) được gọi là tích vô hướng của hai phần tử x, y và thường được kí
hiệu là (x, y).
14
Nhận xét: Theo X là một không gian tuyến tính trên đó xác định một
tích vô hướng (·). Khi đó ánh xạ · : X −→ R xác định bởi x =

(x, x) là một chuẩn trên X và X cùng với chuẩn đó là một không gian
tuyến tính định chuẩn. Chuẩn xác định như trên được gọi là chuẩn cảm
sinh bởi tích vô hướng. Từ đó ánh xạ d : X × X −→ R xác định bởi
d(x, y) = x − y =

(x − y, x − y) là một hàm khoảng cách trên X và
(X, d) là một không gian mêtric.
Định nghĩa 1.1.32. Cho không gian tuyến tính X cùng với tích vô hướng
(·). Nếu cùng với khoảng cách d cảm sinh bởi tích vô hướng (·) mà (X, d)
trở thành một không gian mêtric đủ thì X cùng với tích vô hương (·) được
gọi là một không gian Hilbert.
Định nghĩa 1.1.33. Cho X là một không gian Hilbert. Hai phần tử x, y ∈
X gọi là trực giao, kí hiệu x ⊥ y nếu (x, y) = 0.
Định nghĩa 1.1.34. Cho X là một không gian Hilbert. Hệ các phần tử
(e
i
)
i∈I
của X được gọi là trực chuẩn nếu
(e
i

, e
j
) = δ
ij
=

1 nếu i = j
0 nếu i = j.
Định lí 1.1.35. Giả sử {x
i
}
i∈N
là một hệ độc lập tuyến tính trong không
gian Hilbert X. Khi đó có thể xây dựng được một hệ {e
i
}
i∈N
trực chuẩn.
Chứng minh. Đặt e
1
=
x
1
x
1

, y
2
= x
2

− (x
2
, e
1
)e
1
và e
2
=
y
2
y
2

.
Giả sử đã có e
1
, e
2
, . . . , e
k−1
. Ta đặt y
k
= x
k
−
k−1

i=1
(x

k
, e
i
)e
i
và e
k
=
y
k
y
k

.
Khi đó hệ {e
i
}
i∈N
hoàn toàn xác định (vì nếu tồn tại một chỉ số k sao cho
y
k
 = 0 ⇔ y
k
= θ thì dẫn đến hệ {x
1
, x
2
, . . . , x
k−1
} là phụ thuộc tuyến

tính, trái với giả thiết). Dễ thấy (e
1
, e
1
) = 1.
Xét
(e
2
, e
1
) =

y
2
y
2

, e
1

=
1
y
2

(y
2
, e
1
)

=
1
y
2

(x
2
− (x
2
, e
1
)e
1
, e
1
)
=
1
y
2

[(x
2
, e
1
) − (x
2
, e
1
)].

15
Vậy có (e
2
, e
1
) = 0, dễ thấy (e
2
, e
2
) = 1.
Bằng quy nạp toán học ta thấy với k > h:
(e
k
, e
h
) =

y
k
y
k

, e
h

=
1
y
k



x
k
−
k−1

i=1
(x
k
, e
i
)e
i
, e
h

=
1
y
k

[(x
k
, e
h
) − (x
k
, e
h
)].

Từ đó (e
k
, e
h
) = 0, với k > h, ngoài ra rõ ràng (e
k
, e
k
) = 1. Như vậy hệ
{e
i
}
i∈N
là hệ trực chuẩn.
Quá trình xây dựng hệ {e
i
}
i∈N
từ hệ {x
i
}
i∈N
độc lập tuyến tính như
trên được gọi là quá trình trực chuẩn hoá Hilbert-Schmidt.
Ví dụ 10. Xét X = R
n
. Với x = (x
1
, x
2

, . . . , x
n
) ∈ R
n
, y = (y
1
, y
2
, . . . , y
n
) ∈
R
n
ta định nghĩa tích vô hướng (x, y) =
n

i=1
x
i
y
i
thì X cùng với tích vô
hướng trên xác định một không gian Hilbert.
Ví dụ 11. Xét X = l
2
là tập các dãy số thực sao cho chuỗi số
∞

n=1
|x

n
|
2
hội tụ. Với x = (x
n
) ∈ l
2
, y = (y
n
) ∈ l
2
ta đặt
(x, y) =
∞

i=1
x
n
y
n
.
Có thể thấy rằng quy tắc trên là một tích vô hướng và l
2
cùng với tích vô
hướng đó là một không gian Hilbert.
Ví dụ 12. Xét X = L
2
[a, b] là không gian các hàm bình phương khả tích
trên đoạn [a, b] bao gồm các hàm thực x(t) xác định, bình phương khả
tích trên đoạn [a, b] sao cho


b
a
p(t)x
2
(t)dt < +∞
trong đó p(t) là hàm trọng ( p(t) được chọn thoả mãn các điều kiện: xác
định và khả tích trên [a, b], p(t) ≥ 0 trên [a, b] và p(t) = 0 chỉ trên một
tập có độ đo 0). Ta trang bị trên L
2
[a, b] một tích vô hướng bằng cách đặt:
16
với x(t), y(t) ∈ L
2
[a, b] thì
(x, y) =

b
a
p(t)x(t)y(t)dt
(có thể thấy tích phân này tồn tại hữu hạn ∀x(t), y(t) ∈ L
2
[a, b] do bất
đẳng thức Bunhiacopski dạng tích phân).
Có thể chứng minh rằng không gian L
2
[a, b] với tích vô hướng vừa xác
định là một không gian Hilbert.
Ví dụ 13. Xét trường hợp cụ thể của L
2

[a, b] ở ví dụ 12 với a = −1, b = 1,
p(t) = 1, và xét hệ đa thức x
1
(t) = 1, x
2
(t) = t, . . . , x
k
(t) = t
k−1
, k ≥ 2.
Hãy trực chuẩn hoá hệ {x
k
(t)} nói trên tương tự quá trình trực chuẩn hoá
Hilbert-Schmidt.
Nhận thấy x
1
 = 2, e
1
=
x
1
x
1

, thay số ta được e
1
=
1
2
. Dễ thấy

(x
2
, e
1
) =
1

−1
tdt = 0 nên y
2
= x
2
= t, ∀t ∈ [−1, 1].
Vậy y
2
 =

1

−1
t.tdt

1
2
=

1
3
t
3



1
−1

1
2
=

2
3
. Vì e
2
=
y
2
y
2

, thay số ta
có e
2
=

2
3
.t, ∀t ∈ [−1, 1].
Ta có (x
3
, e

1
) =
1

−1
t
2
dt =
1
3
t
3


1
−1
=
2
3
.
(x
3
, e
2
) =
1

−1
t
2

.

3
2
tdt =

3
2
.
1

−1
t
3
dt = 0.
y
3
= x
3
− [(x
3
, e
1
)e
1
+ (x
3
, e
2
)e

2
], thay số ta được
y
3
= t
2
−
1
3
⇒ y
3
 =

1

−1

t
2
−
1
3

2
dt

1
2
, rút gọn ta được y
3

 =
2
3
.

2
3
, từ đó e
3
=
3
2
.

5
2

t
2
−
1
3

.
Quá trình cứ tiếp tục như vậy, ta sẽ được một hệ trực chuẩn {e
i
}. Tuy
nhiên do ta chỉ quan tâm đến tính trực giao của hệ nên có thể nhân mỗi e
i
với một hằng số thích hợp để được một vectơ mới, vẫn kí hiệu là e

i
nhưng
17
với dạng đơn giản hơn, như sau
e
1
(t) = 1, e
2
(t) = t, e
3
(t) =
1
2
(3t
2
− 1),
e
4
(t) =
5t
3
− 3t
2
, e
5
(t) =
35t
4
− 30t
2

+ 3
8
,
e
6
(t) =
1
8
(63t
5
− 70t
3
+ 15t), . . .
Hệ đa thức {e
i
(t)}
i∈N
∗
trực giao thu được như trên gọi là hệ đa thức trực
giao Legendre.
Định nghĩa 1.1.36. Giả sử X là không gian Hilbert, còn {e
i
}
∞
i=1
là hệ
trực chuẩn trong X. Với mỗi x ∈ X, ta xét S
n
=
n


i=1
c
i
e
i
, với c
i
= (x, e
i
),
thì S
n
được gọi là tổng Fourier của x và các c
i
là các hệ số Fourier của x
đối với hệ {e
i
}
∞
i=1
.
Nếu lim
n→∞
S
n
− x = 0 thì người ta nói tổng Fourier S
n
hội tụ đến x
và viết x =

∞

i=1
(x, e
i
)e
i
.
Định lí 1.1.37. Cho không gian Hilbert X và {e
i
}
∞
i=1
là một hệ trực chuẩn
của nó. Khi đó các phát biểu sau tương đương:
a) ∀x ∈ X, x =
∞

i=1
(x, e
i
)e
i
.
b) ∀x ∈ X, x
2
=
∞

i=1

(x, e
i
)
2
.
c) Nếu z là một phần tử trong X sao cho (z, e
i
) = 0, ∀i ∈ N
∗
thì z = 0.
d) Bao đóng của không gian con sinh bởi {e
i
}
∞
i=1
trùng với X.
1.2 Phân loại hàm
1.2.1 Đa thức
Định nghĩa 1.2.1. Một đa thức biến z là một hàm có dạng
p(z) = a
n
z
n
+ a
n−1
z
n−1
+ ··· + a
1
z + a

0
.
18
Nếu a
n
= 0 thì a
n
được gọi là hệ số cao nhất, n được gọi là bậc của đa
thức f(z) và viết là deg p(z) = n. Phần tử 0 được xem như đa thức có tất
cả các hệ số bằng 0 và được gọi là đa thức không. Ta qui ước bậc của đa
thức không là 0.
Tập hợp tất cả các đa thức có bậc ≤ n được kí hiệu là P
n
. P
n
là một
không gian tuyến tính.
Định lí 1.2.2 (Định lí cơ bản của Đại số). Mọi đa thức bậc n ≥ 1 luôn
có nghiệm phức.
Định lí 1.2.3 (Định lí nhân tử hoá). Nếu p
n
(z) là một đa thức bậc n thì
ta có thể tìm được n số phức z
1
, z
2
, . . . ; z
n
sao cho
p

n
(z) = a
0
z
n
+ a
1
z
n−1
+ ··· + a
n
= a
0
(z − z
1
) ···(z − z
n
), a
0
= 0.
Những giá trị z
i
không cần thiết phải phân biệt. Nếu có r ≤ n các
nghiệm phân biệt z
1
, z
2
, . . . , z
r
thì tồn tại những số nguyên dương α

1
, α
2
, . . . , α
r
thoả mãn α
1
+ α
2
+ ··· + α
r
= n sao cho
p
n
(z) = a
0
(z − z
1
)
α
1
(z − z
2
)
α
2
···(z − z
r
)
α

r
.
Số α
i
xác định duy nhất và z
i
được hiểu là nghiệm bội α
i
. Ta có
p
n
(z
i
) = p

n
(z
i
) = ··· = p
(α
i
−1)
n
(z
i
) = 0, p
(α
i
)
n

(z
i
) = 0.
Ngược lại, những điều kiện về đạo hàm này cũng kéo theo sự phân tích
thành nhân tử trên.
Định lí 1.2.4. Nếu f(z) ∈ P
n
và f triệt tiêu tại nhiều hơn n điểm phân
biệt thì f(z) ≡ 0.
Chứng minh. Đặt deg f = k ≤ n và giả sử f(z) triệt tiêu tại z
1
, . . . , z
k
.
Theo định lí 1.2.3 thì
f(z) = a
0
(z − z
1
) ···(z − z
k
).
Theo giả thiết ta có thể tìm được z
∗
= z
1
, . . . , z
k
sao cho f(z
∗

) = 0. Vì
vậy
0 = a
0
(z
∗
− z
1
) ···(z
∗
− z
k
).
Suy ra a
0
= 0. Vậy f(z) ≡ 0.
19
1.2.2 Hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz
Định nghĩa 1.2.5. Cho f(x) xác định trên I và giả sử tìm được hai hằng
số dương M và α sao cho
|f(x
1
) − f(x
2
)| ≤ M|x
1
− x
2
|
α

, với mọi x
1
, x
2
∈ I.
Khi đó f(x) được gọi là thỏa mãn điều kiện Lipschitz bậc α. Lớp các hàm
như vậy được kí hiệu là Lip α. Nếu hằng số M đã được xác định thì ta còn
kí hiệu Lip
M
α.
Định lí 1.2.6. Lip α là một không gian tuyến tính. Nếu f ∈ Lip α trên
I thì f liên tục, thậm chí liên tục đều trên I. Nếu f ∈ Lip α với α > 1
thì f là một hằng số. Nếu f ∈ Lip α, nó có thể không khả vi nhưng nếu
|f

(x)| ≤ M thì f ∈ Lip 1. Nếu α < β thì Lip α ⊃ Lip β. Điều kiện
f ∈ Lip
M
α và ω(δ) < Mδ
α
là tương đương.
Ví dụ 14. Cho 0 < α < 1. Với x > 0, h > 0 thì
d
dx
[(x + h)
α
− x
α
] =
α[(x + h)

α−1
−x
α−1
] < 0. Vì vậy (x + h)
α
−x
α
nghịch biến với mọi x ≥ 0
và (x + h)
α
− x
α
≤ h
α
. Điều này có nghĩa là x
α
∈ Lip α với mọi khoảng
dương.
1.2.3 Hàm khả vi
Định nghĩa 1.2.7. Cho f(x) xác định trên khoảng I. Khi đó f(x) được
gọi là khả vi tại x
0
∈ I nếu tồn tại giới hạn sau
lim
x→x
0
f(x) −f(x
0
)
x − x

0
. (1.7)
Nếu x
0
là một điểm biên của I thì giới hạn (1.7) được thay thế bởi một
giới một phía. Hàm f(x) khả vi trên I nếu nó khả vi tại mỗi điểm của I.
Ví dụ 15. Hàm f(x) = |x| khả vi tại mọi x khác 0. Tại x = 0 hàm số có
đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải
lim
x→0
−
f(x) −f(0)
x − 0
, lim
x→0
+
f(x) −f(0)
x − 0
.
Ví dụ 16. Hàm số
S(x) =

0 nếu x ≤ 0
1 nếu x > 0
20
không liên tục tại x = 0, không khả vi tại đó và khả vi tại các điểm còn
lại.
Tập hợp tất cả các hàm f(x) khả vi n lần trên đoạn [a, b] và đạo hàm
f
(n)

(x) liên tục trên đoạn [a, b] kí hiệu là C
n
[a, b]. Có thể chứng minh
C
n
[a, b] là một không gian tuyến tính.
Ví dụ 17. Cho
f(x) =

x
k
nếu x ≥ 0
0 nếu x < 0
thì f ∈ C
k−1
(R) nhưng f ∈ C
k
(D) với D là khoảng bất kì chứa điểm 0.
Đối với hàm khả vi cấp cao, chúng ta có định lí Rolle tổng quát.
Định lí 1.2.8. Cho n ≥ 2. Giả sử rằng f ∈ C[a, b] và đạo hàm f
(n−1)
(x)
tồn tại tại mỗi điểm của (a, b). Giả sử f(x
1
) = f(x
2
) = ··· = f(x
n
) = 0
với a ≤ x

1
< ··· < x
n
≤ b. Khi đó, tồn tại điểm ξ với x
1
< ξ < x
n
sao
cho f
(n−1)
(ξ) = 0.
Tổng quát hoá định lí giá trị trung bình ta có
Định lí 1.2.9. Cho f(x) ∈ C
n+1
[a, b] và x
0
∈ [a, b]. Khi đó với mọi
x ∈ [a, b], ta có
f(x) = f(x
0
) + f

(x
0
)(x − x
0
) +
f

(x

0
)
2!
(x − x
0
)
2
+ ···
+
f
(n)
(x
0
)
n!
(x − x
0
)
n
+
1
n!

x
x
0
f
(n+1)
(t)(x − t)dt.
Định lí 1.2.10. Cho f(x) ∈ C

n
[a, b] và đạo hàm f
(n+1)
(x) tồn tại trên
(a, b). Khi đó, tồn tại ξ với a < ξ < b sao cho
f(b) = f(a) + f

(a)(b − a) +
f

(a)
2!
(b − a)
2
+ ··· +
f
(n)
(a)
n!
(b − a)
n
+
f
(n+1)
(ξ)
(n + 1)!
(b − a)
n+1
.
Định lí 1.2.11. Cho f(x) khả vi n + 1 lần tại x = x

0
. Khi đó
f(x) = f(x
0
) + f

(x
0
)(x − x
0
) + f

(x
0
)(x − x
0
)
2
+ ···
+
f
(n)
(x
0
)
n!
(x − x
0
)
n

+
(x − x
0
)
n+1
(n + 1)!
[f
(n+1)
(x
0
) + (x)] (1.8)
ở đó lim
x→x
0
(x) = 0.