Một số vấn đề về lý thuyết xấp xỉ tốt nhất, bậc của xấp xỉ và ứng dụng trong toán sơ cấp

1
LỜI CẢM ƠN

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với TS. Nguyễn Văn Khải đã tận
tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,
Phòng sau đại học, Khoa Toán đã tạo mọi điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi trong
quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và đào tạo Phú Thọ, Trường THPT
Yên Lập, THPT Minh Hoà đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tôi yên tâm học tập và
hoàn thành tốt luận văn tốt nghiệp.
Xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên tôi trong suốt quá trình học tập
và nghiên cứu.

Hà Nội, tháng 10 năm 2009
Tác giả

2
LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn
khoa học của Tiến sĩ Nguyễn Văn Khải. Tôi đã đọc, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp,
vận dụng kiến thức để viết nên luận văn này.

Hà Nội, tháng 10 năm 2009
Tác giả

3
MỤC LỤC

Trang
Lời cảm ơn……………………………………………………………… 1
Lời cam đoan………………………………………………………………

2
Mục lục…………………………………………………………………… 3
Mở đầu……………………………………………………………………. 5
Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ…………………………

7
1.1. Không gian metric…………………………………………………….

7
1.2. Không gian Banach…………………………………………………

8
1.3. Không gian Hilbert……………………………………………

9

1.4. Hàm giải tích………………………………………………………….

13
Chương 2: XẤP XỈ TỐT NHẤT………………………………………

15
2.1. Bài toán cơ bản của xấp xỉ tuyến tính………………………………

15
2.2. Tính duy nhất của xấp xỉ tốt nhất……………………………………

18
2.3. Xấp xỉ đều tốt nhất trong không gian các hàm liên tục
nhờ hệ đơn thức
2
1, , ,
n
x x x
………………………………………….


20
2.4. X
ấ
p x
ỉ

đề
u t
ố

t nh
ấ
t trong không gian các hàm liên t
ụ
c
nh
ờ
h
ọ
phi tuy
ế
n………………………………………………………


27
K
ế
t lu
ậ
n ch
ươ
ng 2………………………………………………… 29
Chu
ơ
ng 3: B
Ậ
C C
Ủ
A X
Ấ

P X
Ỉ
……………………………………………

30
3.1. Phép
đ
o các x
ấ
p x
ỉ
t
ố
t nh
ấ
t………………………………………… 30
3.2. B
ậ
c c
ủ
a x
ấ
p x
ỉ
trong không gian Hilbert…………………………… 36
3.3. B
ậ
c c
ủ
a x

ấ
p x
ỉ
trong không gian các hàm liên t
ụ
c……………

39
K
ế
t lu
ậ
n ch
ươ
ng 3………………………………………………………… 47
Ch
ươ
ng 4: M
Ộ
T VÀI
Ứ
NG D
Ụ
NG C
Ủ
A LÝ THUY
Ế
T X
Ấ
P X

Ỉ


ĐỀ
U T
Ố
T NH
Ấ
T TRONG TOÁN S
Ơ
C
Ấ
P……………


48
4.1. X
ấ
p x
ỉ

đề
u t
ố
t nh
ấ
t b
ằ
ng
đ

a th
ứ
c b
ậ
c không…………………

48
4.2. X
ấ
p x
ỉ

đề
u t
ố
t nh
ấ
t b
ằ
ng
đ
a th
ứ
c b
ậ
c nh
ấ
t…………………………… 48

4
4.3. M
ộ
t vài
ứ
ng d
ụ
ng trong toán s
ơ
c
ấ
p………………………… 51
K
ế
t lu
ậ
n ch
ươ
ng 4……………………………………………………… 62
K
ế
t lu
ậ
n c
ủ
a lu
ậ
n v
ă

n…………………………………………………

63
Tài li
ệ
u tham kh
ả
o…………………………………………………………

64

5
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
M
ộ
t trong nh
ữ
ng v
ấ
n
đề
c
ổ
x
ư
a nh
ấ
t c
ủ
a toán h
ọ
c và liên t
ụ
c phát tri
ể
n cùng
v

ớ
i quá trình phát tri
ể
n c
ủ
a toán h
ọ
c là lý thuy
ế
t x
ấ
p x
ỉ
hàm.
Đ
ây là l
ĩ
nh v
ự
c v
ừ
a
có ý ngh
ĩ
a khoa h
ọ
c có tính lý thuy
ế
t sâu s
ắ

c v
ừ
a có tính
ứ
ng d
ụ
ng th
ự
c ti
ễ
n cao.
Các k
ế
t qu
ả

đạ
t
đượ
c thu
ộ
c l
ĩ
nh v
ự
c này v
ừ
a thúc
đẩ
y s

ự
phát tri
ể
n c
ủ
a toán h
ọ
c lý
thuy
ế
t, v
ừ
a làm ti
ề
n
đề
cho các ngành c
ủ
a toán h
ọ
c
ứ
ng d
ụ
ng c
ũ
ng nh
ư
các ngành
khoa h

ọ
c k
ỹ
thu
ậ
t, kinh t
ế
…
M
ộ
t trong nh
ữ
ng v
ấ
n
đề
c
ơ
b
ả
n c
ủ
a lý thuy
ế
t x
ấ
p x
ỉ
hàm là: Cho X là không
gian tuy

ế
n tính
đị
nh chu
ẩ
n,
X
y
∈
là m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
b
ấ
t k
ỳ
và A là không gian con
h
ữ
u h
ạ
n chi
ề
u c
ủ
a X. Hãy tìm
0

A
x
∈

để


0
A
( ,A)
x
y x d y inf y x
∈
− = = −
   
.
Ph
ầ
n t
ử

0
x
(n
ế
u có) s
ẽ

đượ
c g

ọ
i là x
ấ
p x
ỉ
t
ố
t nh
ấ
t c
ủ
a
y
trong A.
V
ấ
n
đề
này có nh
ữ
ng k
ế
t qu
ả

đặ
c tr
ư
ng trong nh
ữ

ng không gian hàm khác
nhau nh
ư
không gian các hàm liên t
ụ
c
[ , ]
a b
C
hay không gian Hilbert: S
ự
t
ồ
n t
ạ
i
nghi
ệ
m,
đặ
c tr
ư
ng nghi
ệ
m, sai s
ố
c
ủ
a nghi
ệ

m (b
ậ
c c
ủ
a x
ấ
p x
ỉ
).
Là m
ộ
t giáo viên ph
ổ
thông, trong quá trình h
ọ
c t
ậ
p tôi luôn có ý th
ứ
c tìm
ki
ế
m các
ứ
ng d
ụ
ng khác nhau c
ủ
a toán h
ọ

c cao c
ấ
p trong toán s
ơ
c
ấ
p. Lý thuy
ế
t
x
ấ
p x
ỉ

đề
u t
ố
t nh
ấ
t có nhi
ề
u
ứ
ng d
ụ
ng soi sáng cho phép sáng t
ạ
o m
ộ
t l

ớ
p các bài
toán s
ơ
c
ấ
p dành cho h
ọ
c sinh khá gi
ỏ
i.
Do v
ậ
y tôi
đ
ã quy
ế
t
đị
nh ch
ọ
n
đề
tài
‘‘ Một số vấn đề về lý

thuyết xấp xỉ tốt
nhất, bậc của xấp xỉ và ứng dụng trong toán sơ cấp’’

để

th
ự
c hi
ệ
n lu
ậ
n v
ă
n c
ủ
a
mình.

2. Mục đích nghiên cứu

Làm rõ, trình bày h
ệ
th
ố
ng m
ộ
t s
ố
v
ấ
n
đề
v
ề
x

ấ
p x
ỉ
t
ố
t nh
ấ
t và nêu m
ộ
t s
ố

ứ
ng d
ụ
ng trong toán s
ơ
c
ấ
p.



6

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Lý thuy
ế
t x
ấ

p x
ỉ
t
ố
t nh
ấ
t trong không gian tuy
ế
n tính
đị
nh chu
ẩ
n và trong
không gian các hàm liên t
ụ
c
[ , ]
a b
C
.
Lý thuy
ế
t b
ậ
c x
ấ
p x
ỉ
và các tr
ườ

ng h
ợ
p c
ụ
th
ể
trong không gian các hàm liên
t
ụ
c
[ , ]
a b
C
, trong không gian Hilbert.
M
ộ
t s
ố

ứ
ng d
ụ
ng c
ủ
a nó trong toán s
ơ
c
ấ
p.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Không gian tuy
ế
n tính
đị
nh chu
ẩ
n, không gian các hàm liên t
ụ
c
[ , ]
a b
C
và
không gian Hilbert.
Bài toán x
ấ
p x
ỉ
t
ố
t nh
ấ
t, b
ậ
c c
ủ
a x
ấ
p x

ỉ
trong nh
ữ
ng không gian
đ
ó.
5. Phương pháp nghiên cứu

Đọ
c và nghiên c
ứ
u tài li
ệ
u, t
ổ
ng h
ợ
p v
ậ
n d
ụ
ng.

6. Đóng góp của đề tài

Trình bày m
ộ
t cách có h
ệ
th

ố
ng và rõ ràng m
ộ
t s
ố
v
ấ
n
đề
c
ủ
a lý thuy
ế
t x
ấ
p x
ỉ

t
ố
t nh
ấ
t trong không gian tuy
ế
n tính
đị
nh chu
ẩ
n.

Ứ
ng d
ụ
ng c
ủ
a lý thuy
ế
t x
ấ
p x
ỉ

đề
u t
ố
t nh
ấ
t
để
gi
ả
i và sáng t
ạ
o m
ộ
t l
ớ
p bài
toán s
ơ

c
ấ
p.











7
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian metric
Định nghĩa 1.1.1
. Cho X là m
ộ
t t
ậ
p khác r
ỗ
ng.
Hàm d:
X X
× →


,
đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t kho
ả
ng cách (hay metric) n
ế
u các tiên
đề
sau
đượ
c tho
ả
mãn:
1)
( , ) 0 , X
d x y x y
≥ ∀ ∈
đồ
ng th
ờ
i
( , ) 0 ;
d x y x y
= ⇔ =

2)
( , ) ( , ) , X
d x y d y x x y
= ∀ ∈
;
3)
( , ) ( , ) ( , ) , , X.
d x z d x y d y z x y z
≤ + ∀ ∈

C
ặ
p
(X, )
d
trong
đ
ó
d
là m
ộ
t kho
ả
ng cách
đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t không gian

metric.
Định nghĩa 1.1.2
. Cho không gian metric
M (X, )
d
=
. Dãy
đ
i
ể
m
( ) X
n
x
⊂
g
ọ
i
là dãy c
ơ
b
ả
n trong M n
ế
u

∀
0
ε
>

,
∃
*
0
n
∈

,
∀
0
,
m n n
≥

( , )
m n
d x x
ε
<
hay
,
lim ( , ) 0
m n
n m
d x x
→∞
=
.
Định nghĩa 1.1.3
. Không gian metric

M (X, )
d
=
g
ọ
i là không gian
đủ
n
ế
u m
ọ
i
dãy c
ơ
b
ả
n trong không gian này h
ộ
i t
ụ
.
Ví dụ 1.1.1
. Ta kí hi
ệ
u
[a,b]
C
là t
ậ
p các hàm s

ố
th
ự
c liên t
ụ
c trên
đ
o
ạ
n [a,b],
v
ớ
i hai hàm s
ố
b
ấ
t kì
[a,b]
( ), ( )
x t y t C
∈

đặ
t:

t
( , ) ( ) ( )
a b
d x y max x t y t
≤ ≤

= −
| |
. (1.1.1)
D
ễ
th
ấ
y (1.1.1) tho
ả
mãn các tiên
đề
v
ề
metric. Có th
ể
ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
[a,b]
C

là không gian metric
đủ
.
Ví dụ 1.1.2
. Ta kí hi
ệ
u

L
[a,b]
C
là t
ậ
p các hàm s
ố
liên t
ụ
c trên
đ
o
ạ
n [a,b], v
ớ
i hai



8
hàm b
ấ
t kì
L
[a,b]
( ), ( )
x t y t C
∈

đặ

t:

( , ) ( ) ( )
b
a
d x y x t y t dt
= −
∫
| |
. (1.1.2)
D
ễ
th
ấ
y (1.1.2) tho
ả
mãn các tiên
đề
v
ề
metric. Khi
đ
ó có th
ể
ch
ứ
ng minh
r
ằ
ng

L
[a,b]
C
là không gian metric và không là không gian metric
đủ
.
1.2. Không gian Banach
Định nghĩa 1.2.1
. Không gian tuy
ế
n tính
X
trên


đượ
c g
ọ
i là không gian
tuy
ế
n tính
đị
nh chu
ẩ
n n
ế
u
ứ
ng v

ớ
i m
ỗ
i ph
ầ
n t
ử

x
∈
X, ta có m
ộ
t s
ố
th
ự
c ký hi
ệ
u
x
 
tho
ả
mãn các tiên
đề
:

1)
0
x

≥
 
(xác
đị
nh d
ươ
ng)
đồ
ng th
ờ
i
0
x
=
 
khi và ch
ỉ
khi
0
x
=
;
2)
x x
α α
= | |
   

X
x

α
∀ ∈ ∀ ∈

(thu
ầ
n nh
ấ
t d
ươ
ng);
3)
, X
x y x y x y
+ ≤ + ∀ ∈
     
(b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c tam giác);
Khi
đ
ó
x
 

đượ
c g

ọ
i là chu
ẩ
n c
ủ
a
x
.

Định nghĩa 1.2.2.
Dãy
đ
i
ể
m
( )
n
x
c
ủ
a không gian
đị
nh chu
ẩ
n X g
ọ
i là h
ộ
i t
ụ

t
ớ
i
đ
i
ể
m
X
x
∈
n
ế
u
lim 0
n
n
x x
→∞
− =
 
. Ký hi
ệ
u

lim
n
n
x x
→∞

=
hay
( )
n
x x n
→ → ∞
.

Định nghĩa 1.2.3.
Dãy
đ
i
ể
m
( )
n
x
trong không gian
đị
nh chu
ẩ
n X g
ọ
i là dãy
c
ơ
b
ả
n n
ế

u

,
lim 0
n m
m n
x x
→∞
− =
 
.

Định nghĩa 1.2.4.
Không gian
đị
nh chu
ẩ
n X g
ọ
i là không gian Banach n
ế
u
m
ọ
i dãy c
ơ
b
ả
n trong X
đề

u h
ộ
i t
ụ
.

Ví dụ 1.2.1.
Không gian tuy
ế
n tính
[a,b]
C
v
ớ
i chu
ẩ
n
đượ
c
đị
nh ngh
ĩ
a

= max ( )
a x b
f f x
≤ ≤
| |
 

là không gian Banach .



9

Ví dụ 1.2.2.
Không gian tuy
ế
n tính
[a,b]
L

v
ớ
i chu
ẩ
n
đượ
c
đị
nh ngh
ĩ
a

b
a

= ( )

f f x dx
| |
∫
 

là một không gian tuyến tính định chuẩn và không phải là không gian Banach.
Ví dụ 1.2.3. Với
1
p
≥
xét không gian
[ , ]
p
L a b
gồm tất cả các hàm số
( )
x t
đo
được theo độ đo Lebesgue trên đoạn
[ , ]
a b
sao cho
( )
b
p
a
x t dt
< +∞
∫
| |

.
V
ớ
i
( ) [ , ]
p
x x t L a b
= ∈
đặ
t
1
( ) .
b
p
p
a
x x t dt
 
=
 
 
∫
  | | Khi
đ
ó
.
 
là m
ộ
t chu

ẩ
n
trên
[ , ]
p
L a b
và cùng với chuẩn nêu trên,
[ , ]
p
L a b
là không gian Banach.
1.3. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.3.1. Cho không gian tuyến tính
X
trên

.
Ánh xạ
ψ
: X X
× →

tho
ả
mãn các
đ
i
ề
u ki
ệ

n:
1)
ψ
( , ) 0 X
x x x
≥ ∀ ∈
;
2)
ψ
( , ) 0 0
x x x
= ⇔ =
;
3)
ψ
( , )
ψ
( , ) , X
x y y x x y
= ∀ ∈
;
4)
1 2 1 2 1 2
ψ
( , )
ψ
( , )
ψ
( , ) , , X
x x y x y x y x x y

α β α β
+ = + ∀ ∈
và
,
α β
∈

.
đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t tích vô h
ướ
ng trên X, còn
ψ
( , )
x y

đượ
c g
ọ
i là tích vô h
ướ
ng c
ủ
a
hai ph
ầ

n t
ử

,
x y
và th
ườ
ng
đượ
c kí hi
ệ
u là
( , )
x y
.
Định lý 1.3.1 ( B
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Schwarz).
Đố
i v
ớ
i m
ỗ
i
X
x

∈
ta
đặ
t

( , )
x x x
=
 
. (1.3.1)
Khi
đ
ó
, X
x y
∀ ∈
ta có
( , )
x y x y
≤
   
| |
. (1.3.2)
Nhận xét. Công th
ứ
c (1.3.1) xác
đị
nh m
ộ
t chu

ẩ
n trên không gian X.



10
Định nghĩa 1.3.2. Không gian tuy
ế
n tính X trên

cùng v
ớ
i m
ộ
t tích vô
h
ướ
ng g
ọ
i là không gian ti
ề
n Hilbert.
Định nghĩa 1.3.3. Ta g
ọ
i m
ộ
t t
ậ
p
H

≠ ∅
là không gian Hilbert th
ự
c n
ế
u t
ậ
p
H tho
ả
mãn các
đ
i
ề
u ki
ệ
n:
1) H là không gian tuy
ế
n tính trên tr
ườ
ng s
ố
th
ự
c

;
2) H
đượ

c trang b
ị
tích vô h
ướ
ng ;
3) H là không gian Banach v
ớ
i chu
ẩ
n
( , ), H
x x x x
= ∈
 
.
T
ươ
ng t
ự
ta có th
ể

đị
nh ngh
ĩ
a cho không gian Hilbert ph
ứ
c.
Ví dụ 1.3.1. Không gian
k


là không gian Hillbert v
ớ
i tích vô h
ướ
ng

1
( , )
k
i i
i
x y x y
=
=
∑

là không gian Hillbert.
Ví dụ 1.3.2. Kí hi
ệ
u
[ , ]
p
L a b
là không gian các hàm s
ố
bình ph
ươ
ng kh
ả

tích
trên
đ
o
ạ
n
[ , ]
a b
,
[ , ]
p
x L a b
∈ thì

2
( ) ( )
b
a
p t x t dt
< +∞
∫

trong
đ
ó
( )
p t
là hàm tr
ọ
ng (

( )
p t

đượ
c ch
ọ
n tho
ả
mãn các
đ
i
ề
u ki
ệ
n: Xác
đị
nh kh
ả

tích trên
đ
o
ạ
n
[ , ]
a b
,
( ) 0
p t
≥

trên
[ , ]
a b
và
( ) 0
p t
=
ch
ỉ
trên m
ộ
t t
ậ
p có
độ

đ
o 0).
Ta trang b
ị
trên
[ , ]
p
L a b
m
ộ
t tích vô h
ướ
ng b
ằ

ng cách
đặ
t v
ớ
i
( ), ( ) [ , ]
p
x t y t L a b
∈
thì

( , ) ( ) ( ) ( )
b
a
x y p t x t y t dt
=
∫
.
Không gian
[ , ]
p
L a b
v
ớ
i tích vô h
ướ
ng trên là m
ộ
t không gian Hillbert.
Định nghĩa 1.3.4. Cho không gian Hilbert H. Hai ph

ầ
n t
ử

, H
x y
∈
g
ọ
i là tr
ự
c
giao và ký hi
ệ
u
x y
⊥
n
ế
u
( , ) 0
x y
=
.



11
Định nghĩa 1.3.5. Cho không gian Hilbert H và t
ậ

p con
A H
⊂
,
A
≠ ∅
.
Ph
ầ
n
t
ử

H
x
∈
g
ọ
i là tr
ự
c giao v
ớ
i t
ậ
p A n
ế
u
A
x y y
⊥ ∀ ∈

và ký hi
ệ
u
A
x
⊥
.
Định lý 1.3.2 (
đị
nh lý Pythagore). N
ế
u
, H
x y
∈
và
x y
⊥
thì

2 2 2
x y x y
+ = +
     
. (1.3.3)
Định nghĩa 1.3.6. M
ộ
t h
ệ

{
}
n
e
các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a không gian Hilbert H g
ọ
i là
h
ệ
tr
ự
c chu
ẩ
n n
ế
u

( , )
i j ij
e e
δ
=

trong

đ
ó
ij
δ
là ký hi
ệ
u Kronecker ( t
ứ
c
1
ij
δ
=
với
i j
=
và
0
ij
δ
=
với
i j
=
).
Như vậy một hệ trực chuẩn là một hệ trực giao ( các phần tử của nó trực giao
từng đôi một ) và chuẩn hoá:
1
i
e

=
 
với mọi
i
.

Nhận xét.
Cho một hệ thống các véc tơ độc lập tuyến tính
{
}
H
n
x
⊂
gồm hữu
hạn hay đếm được các phần tử, bao giờ cũng có thể biến hệ thống này thành một
hệ trực chuẩn nhờ quá trình trực giao hoá Hilbert-Schmidt như sau:
Đặt
1
1
x
e
x
=
 
,
2 2 1 1
2
2 2 1 1
( , )

( , )
x x e e
e
x x e e
−
=
−
 
,….,
1 1
1
1
1 1
1
( , )
( , )
k
k k i i
i
k
k
k k i i
i
x x e e
e
x x e e
+ +
=
+
+ +

=
−
=
−
∑
∑
 
.
Khi
đ
ó
{
}
i
e
là h
ệ
tr
ự
c chu
ẩ
n.

Định lý 1.3.3 (
B
ấ
t
đẳ
ng th
ứ

c Bessel
)
. N
ế
u
{
}
1
n
n
e
≥
là m
ộ
t h
ệ
tr
ự
c chu
ẩ
n nào
đ
ó trong không gian Hilbert H thì v
ớ
i m
ọ
i
H
x
∈

ta có b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c

2 2
1
( , )
n
n
x e x
≥
≤
∑
 
| |
. (1.3.4)
Định nghĩa 1.3.7.
M
ộ
t h
ệ
tr
ự
c chu
ẩ
n

{
}
1
n
n
e
≥
g
ọ
i là
đầ
y
đủ
trong không gian
Hilbert H khi ch
ỉ
duy nh
ấ
t véc t
ơ
không tr
ự
c giao v
ớ
i t
ấ
t c
ả
các ph
ầ

n t
ử
c
ủ
a h
ệ
,
ngh
ĩ
a là:
n
x e
⊥
(
1, 2 ) 0
n x
= ⇒ =
.



12

Định lý 1.3.4.
Cho
{
}
1
n
n

e
≥
là m
ộ
t h
ệ
tr
ự
c chu
ẩ
n trong không gian Hilbert H.
Các m
ệ
nh
đề
sau
đ
ây t
ươ
ng
đươ
ng:
1)
{
}
1
n
n
e
≥

là h
ệ
tr
ự
c chu
ẩ
n
đầ
y
đủ
;
2)
1
( X) ( , )
n n
n
x x x e e
∞
=
∀ ∈ =
∑
;
3)
2 2
1
( H) ( , )
n
n
x x x e
∞

=
∀ ∈ =
∑
 
| |
(ph
ươ
ng trình
đ
óng);
4)
1
( , H) ( , ) ( , )( , )
n n
n
x y x y x e e y
∞
=
∀ ∈ =
∑
(
đẳ
ng th
ứ
c Parseval);
5) H
ệ

{
}

1
n
n
e
≥
tuy
ế
n tính trù m
ậ
t trong H, ngh
ĩ
a là h
ọ
các t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính c
ủ
a
các
n
e
( bao tuy
ế
n tính c
ủ
a h

ệ

{
}
1
n
n
e
≥
) trù m
ậ
t trong H.

Định lý 1.3.5.
N
ế
u
1 2
, , ,
e e là m
ộ
t h
ệ
tr
ự
c chu
ẩ
n trong không gian Hilbert H
và v
ớ

i
y
tu
ỳ
ý thì

1 1
( , )
N N
i i i i
i i
y y e e y a e
= =
− ≤ −
∑ ∑
   
(1.3.5)
v
ớ
i
1 2
, , ,
N
a a a
là các h
ằ
ng s
ố
b
ấ

t kì.
Ch
ứ
ng minh.
2
1 1 1
( , ) ( , ) , ( , )
N N N
i i i i i i
i i i
y y e e y y e e y y e e
= = =
 
− = − −
 
 
∑ ∑ ∑
 


1 1 , 1
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
N N N
i i i i i j i j
i i i j
y y a e y a y e a a e e
= = =
= − − +
∑ ∑ ∑

2
1 1 1
( , ) ( , ) ( , )
N N N
i i i i i
i i i
y y a e y a y e a
= = =
= − − +
∑ ∑ ∑
| |


1 1
( , )( , ) ( , )( , )
N N
i i i i
i i
e y y e e y y e
= =
+ −
∑ ∑


2 2
1 1
( , ) ( , ) ( , ) .
N N
i i i

i i
y y y e a y e
= =
= − + −
∑ ∑
| | | |




13

2 2
1 1
( , ) ( , ) ( , )
N N
i i i
i i
y y y e y y e e
= =
≥ − = −
∑ ∑
 
| |
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
( , ) ( 1, 2, , )
i i
a y e i N
= =

. Từ đó suy ra
(1.3.5) . Định lý được chứng minh.

Hệ quả 1.3.1.

2 2 2
1 1
( , ) .
i
N N
i i i
a
i i
min y a e y y e
= =
− = −
∑ ∑
   
| |
(1.3.6)
Ch
ứ
ng minh. Lấy
( , ) ( 1,2, , )
i i
a y e i N
= =
, theo định lý 1.3.5 ta có điều phải
chứng minh.

1.4. Hàm giải tích
1.4.1. Chuỗi luỹ thừa

Chuỗi hàm có dạng
0
0
( ) , ,
n
n n
n
a x x x a
∞
=
− ∈ ∈
∑
 
gọi là chuỗi luỹ thừa tại
0
x
∈

.
Đặt
0
X
x x
= −
thì chuỗi hàm trên có dạng
0
X

n
n
n
a
∞
=
∑
là chuỗi luỹ thừa tại
0
∈

, vì vậy ta chỉ nghiên cứu chuỗi
0
n
n
n
a x
∞
=
∑
.
Bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa
0
n
n
n
a x
∞
=
∑

là
1
R
lim
n
n
n
sup a
→+∞
=
| |
.

1.4.2. Chuỗi Taylor

Gi
ả
s
ử

:( , )
f a b
→

kh
ả
vi vô h
ạ
n t
ạ

i
0
( , ).
x a b
∈
Khi
đ
ó chu
ỗ
i hàm

' ( )
0 0
0 0 0
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1! !
n
n
f x f x
f x x x x x
n
+ − + + − +

g
ọ
i là chu
ỗ
i Taylor c
ủ

a
( )
f x
t
ạ
i
0
x
.
N
ế
u
0 ( , )
a b
∈
và
0
0
x
=
thì chu
ỗ
i có d
ạ
ng

' ( )
0
(0) (0)
( )

1! !
n
n
f f
f x x x
n
+ + + +

g
ọ
i là chu
ỗ
i Maclaurin c
ủ
a
f
.



14

1.4.3. Hàm giải tích thực

Hàm
:( , )
f a b
→

g

ọ
i là gi
ả
i tích n
ế
u v
ớ
i m
ọ
i
0
( , )
x a b
∈
t
ồ
n t
ạ
i
0
δ
>
sao
cho
0 0
( , ) ( , )
x x a b
δ δ
− + ⊂
và

đẳ
ng th
ứ
c sau
đ
ây
đ
úng

0 0 0
0
( ) ( ) ( , )
n
n
n
f x a x x x x x
δ δ
∞
=
= − ∀ ∈ − +
∑
.
M
ọ
i hàm gi
ả
i tích trên kho
ả
ng
( , )

a b
thì kh
ả
vi vô h
ạ
n trên kho
ả
ng
đ
ó.
N
ế
u
0 ( , )
a b
∈
thì ta có
1
( )
(0) 1
lim | | lim
!
n
n
n
n
n n
f
sup sup a
n R

→+∞ →+∞
= =
| |
.
1.4.4. Hàm giải tích phức

Cho G là m
ộ
t mi
ề
n trong m
ặ
t ph
ẳ
ng ph
ứ
c và
( )
f z
là hàm m
ộ
t bi
ế
n xác
đị
nh
trên G. V
ớ
i
0

G
z
∈
,
( )
f z

đượ
c g
ọ
i là gi
ả
i tích ( ho
ặ
c ch
ỉ
nh hình ) t
ạ
i
0
z
n
ế
u

0 0 0
0
( ) ( ) : ( )
n
n

n
f z a z z z z z p z
∞
=
= − ∀ − <
∑
| | .
Hàm
( )
f z

đượ
c g
ọ
i là gi
ả
i tích trên G n
ế
u gi
ả
i tích t
ạ
i m
ọ
i
đ
i
ể
m
0

G
z
∈
.
Bán kính h
ộ
i t
ụ

1
( )
1 1
R
(0)
lim
lim
!
n
n
n
n
n
n
f
sup a
sup
n
→+∞
→+∞
= =

| |
| |
.
.













15
Chương 2
XẤP XỈ TỐT NHẤT

2.1. Bài toán cơ bản của xấp xỉ tuyến tính
Bài toán tổng quát:
Cho X là không gian tuy
ế
n tính
đị
nh chu
ẩ
n,

A X
⊂
là
không gian con h
ữ
u h
ạ
n chi
ề
u và
X
y
∈
là ph
ầ
n t
ử
c
ố

đị
nh. Tìm
0
A
x
∈
sao cho

0
A

( , )
x
y x d y A inf y x
∈
− = = −
   
.
N
ế
u ph
ầ
n t
ử

0
x
t
ồ
n t
ạ
i thì
đượ
c g
ọ
i là x
ấ
p x
ỉ
t
ố

t nh
ấ
t c
ủ
a y trong A.
Nhận xét
. Cho
1 2
X
, , ,
n
x x x
∈
là c
ơ
s
ở
trong
A
. T
ậ
p h
ợ
p các t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n

tính c
ủ
a
1 1 2 2

n n
a x a x a x
+ + +
t
ạ
o thành m
ộ
t không gian con h
ữ
u h
ạ
n chi
ề
u
A
c
ủ
a
không gian tuy
ế
n tính
đị
nh chu
ẩ
n X, vì v

ậ
y bài toán x
ấ
p x
ỉ
tuy
ế
n tính có th
ể
di
ễ
n
đạ
t l
ạ
i nh
ư
sau:
Cho X là không gian tuy
ế
n tính
đị
nh chu
ẩ
n,
1 2
X
, , ,
n
x x x

∈
là
n
ph
ầ
n t
ử

độ
c
l
ậ
p tuy
ế
n tính và
X
y
∈
là ph
ầ
n t
ử
c
ố

đị
nh. X
ấ
p x
ỉ

t
ố
t nh
ấ
t c
ủ
a
y
b
ở
i t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n
tính c
ủ
a
1 2
, , ,
n
x x x
là ph
ầ
n t
ử

1 1 2 2

n n
a x a x a x
+ + +
xác
đị
nh b
ở
i b
ở
i

1
1 1 2 2 1 1 2 2
( ; ; )
( ) ( )
n
n n n n
b b
inf
y a x a x a x y b x b x b x
− + + + = − + + +
   
.
Định lý 2.1.1
. Cho X là không gian tuy
ế
n tính
đị
nh chu

ẩ
n,
A X
⊂
là không
gian con h
ữ
u h
ạ
n chi
ề
u và
X
y
∈
là ph
ầ
n t
ử
c
ố

đị
nh. Bài toán tìm
0
A
x
∈
sao cho
0

Ax
y x inf y x
∈
− = −
   
có nghi
ệ
m.
Ch
ứ
ng minh.

Đặ
t
{
}
A: x 2 y , X
x y
Ω = ∈ ≤ ∈
   
. D
ễ
th
ấ
y n
ế
u
A\
x
∈ Ω

thì
0
x y x y y y
− ≥ − > = −
         
, do
đ
ó
x
không x
ấ
p x
ỉ

y
t
ố
t b
ằ
ng ph
ầ
n t
ử

0
∈Ω
. Nh
ư
v
ậ

y ta có th
ể
gi
ớ
i h
ạ
n vi
ệ
c tìm x
ấ
p x
ỉ
t
ố
t nh
ấ
t trong
Ω
. Do
Ω
là t
ậ
p
đ
óng, b
ị
ch
ặ
n trong không gian h
ữ

u h
ạ
n chi
ề
u A nên
Ω
compact.
Xét hàm
( )
x y x
Φ = −
 
, ta có



16

' ' ' '
( ) ( ) , ,
x x y x y x x x x x
| Φ − Φ | = − − − ≤ − ∈Ω
     
| | .
T
ừ

đ
ây suy ra
Φ

là hàm liên t
ụ
c trên t
ậ
p compact, do
đ
ó
Φ

đạ
t c
ự
c ti
ể
u, t
ứ
c:

0 0
A
: ( ) ( )
x x
x x min x min y x
∈Ω ∈
∃ ∈Ω Φ = Φ = −
 
.
Đị
nh lý
đượ

c ch
ứ
ng minh.

Hệ quả 2.1.1.
Cho X là không gian
đị
nh chu
ẩ
n
1 2
X
, , ,
n
x x x
∈
là
n
ph
ầ
n t
ử

độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính và
X

y
∈
là ph
ầ
n t
ử
c
ố

đị
nh . Bài toán tìm

1 1 2 2
( )
i
n n
a
min y a x a x a x
− + + +
 

có nghi
ệ
m.

Hệ quả 2.1.2.
Cho
[ , ]
( )
a b

f x C
∈
và
n
là s
ố
nguyên c
ố

đị
nh. Bài toán tìm

0
2
0 1 2
, ,
( ) ( )
n
n
n
a a a x b
min max f x a a x a x a x
≤ ≤
− + + + +
| |

có nghi
ệ
m.
Ch

ứ
ng minh. Áp d
ụ
ng
đị
nh lý 2.1.1 v
ớ
i
[ , ]
X
a b
C
=
và A là không gian con c
ủ
a
X sinh b
ở
i h
ệ

{
}
2
1, , , ,
n
x x x
ta có
đ
i

ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.

Hệ quả 2.1.3
. Cho
( ) [ , ]
p
f x L a b
∈ và
n
là s
ố
nguyên c
ố

đị
nh (
1
p
≥
). Bài
toán tìm

0
2
0 1 2

, ,
( ) ( )
n
b
n p
n
a a
a
min f x a a x a x a x dx
− + + + +
∫
| |

có nghi
ệ
m.
Ch
ứ
ng minh. Ta
đ
ã bi
ế
t không gian
[ , ]
p
L a b
là không gian Banach v
ớ
i chu
ẩ

n

1
| ( ) |
b
p
p
a
f f x dx
 
=
 
 
∫
 
.
Xét A là không gian con c
ủ
a
[ , ]
p
L a b
sinh b
ở
i h
ệ

{
}
2

1, , , ,
n
x x x
thì
dimA
< +∞
. Áp d
ụ
ng
đị
nh lý 2.2.1 t
ồ
n t
ạ
i
đ
a th
ứ
c
0 1
( )
n
n n
P x a a x a x
= + + + là
x
ấ
p x
ỉ
t

ố
t nh
ấ
t c
ủ
a ph
ầ
n t
ử

f
ngh
ĩ
a là



17
0 1
2
0 1 2
, , ,
A
( ) ( ) | ( ) ( ) |
n
b
p n p p
n n
a a a
Q

a
f x P x min f x a a x a x a x dx inf f Q
∈
− = − + + + + = −
∫
   
.
V
ậ
y bài toán tìm
0
2
0 1 2
, ,
( ) ( )
n
b
n p
n
a a
a
min f x a a x a x a x dx
− + + + +
∫
| |
có nghi
ệ
m.

Hệ quả 2.1.4

. Cho
0 2
, , ,
k
x x x
là
1
k
+

đ
i
ể
m phân bi
ệ
t (
k n
≥
). Bài toán xác
đị
nh

0
2
0 1 2
, , 0
( ) ( )
n
n
i i i n i

a a i k
min max f x a a x a x a x
≤ ≤
− + + + +
| |

có nghi
ệ
m.
Hệ quả 2.1.5
. Cho
0 2
, , ,
k
x x x
là
1
k
+

đ
i
ể
m phân bi
ệ
t (
k n
≥
). Bài toán xác
đị

nh

0
2 2
0 1 2
, ,
0
( ( ) ( ))
n
k
n
i i i n i
a a
i
min f x a a x a x a x
=
− + + + +
∑

có nghi
ệ
m.
Hệ quả 2.1.6
. Cho các giá tr
ị

,
ij i
a y
v

ớ
i
1 , 1 ,
i p j n p n
≤ ≤ ≤ ≤ >
. Bài toán
tìm

1 1 2 2
1
( )
j
i i i in n
x i p
minmax y a x a x a x
≤ ≤
− + + +
| |

có nghiệm.

Hệ quả 2.1.7
.

Cho
[ , ]
P
C
π π
−

xác định không gian các hàm liên tục và tuần
hoàn trên đoạn
[- , ]
π π
thoả mãn
( ) ( )
f f
π π
= −
thì có một đa thức lượng giác bậc
n
≤


0 0
( ) cos sin
n n
n k k
k k
T x a kx b kx
= =
= +
∑ ∑

sao cho

( ) ( )
n
x
max f x T x

π π
− ≤ ≤
−
| |

đạt
min
.



18
Hệ quả 2.1.8
. Cho
B
là miền bị chặn trong mặt phẳng phức
z
. Cho
( )
f z
là
hàm giải tích trong
B
và liên tục trong
B
. Bài toán tìm

0
2
0 1 2

, ,
( ) ( )
n
n
n
a a a x b
min max f z a a z a z a z
≤ ≤
− + + + +
| |

có nghiệm.
2.2. Tính duy nhất của xấp xỉ tốt nhất

Theo định lý 2.1.1 xấp xỉ tốt nhất luôn tồn tại nhưng có thể không duy nhất.
Vậy với điều kiện nào thì bài toán tìm xấp xỉ tốt nhất có nghiệm duy nhất ? Sau
đây sẽ là một điều kiện đủ để bài toán xấp xỉ tốt nhất có nghiệm duy nhất.

Định nghĩa 2.2.1
. Không gian tuyến tính định chuẩn X được gọi là lồi thực
sự nếu

, 0, ( > 0)
x y x y x y y x
λ λ
∀ ≠ + = +
⇒
=
     
. (2.2.1)

Ý nghĩa hình học của hệ thức (2.2.1) là mặt cầu đơn vị trong không gian lồi
thực sự không chứa bất kỳ đoạn thẳng nào.
Ví dụ 2.2.1
. Mọi không gian Hilbert thực là lồi thực sự.

Ch
ứ
ng minh.
Từ
, 0
x y x y x y
+ = + ∀ ≠
     
ta cần chứng minh rằng
( 0)
y x
λ λ
= >
.
Thật vậy,

2 2 2
2 .
x y x y x y x y x y
+ = + ⇔ + = + +
               


2 2 2
( , ) 2 .

x y x y x y x y x y
⇔ + + = + = + +
         


2 2
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 .
x x x y y x y y x y x y
⇔ + + + = + +
       


2 2 2 2
2( , ) 2 .
x y x y x y x y
⇔ + + = + +
           


( , ) .
x y x y
⇔ =
   
. (2.2.2)
Theo bất đẳng thức Schwartz
, H
x y
∀ ∈
ta có

( , ) .
x y x y
≤
   
| |
(2.2.3)



19
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
y x
λ
=
. Hệ thức (2.2.2) chứng tỏ (2.2.3) đạt được
dấu đẳng thức. Do đó hệ thức (2.2.2) tương đương với hệ:

( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) 0 0
y x y x y x y x
x y x y x x x x
λ λ λ λ
λ λ λ
= = = =
   
⇔ ⇔ ⇔
   
= ≥ ≥ ≥
   
| | | |
.

Theo giả thiết
, 0 0
x y
λ
≠
⇒
≠
vậy
( 0)
y x
λ λ
= >
. Điều phải chứng minh.
Ví dụ 2.2.2
. Không gian
[ , ]
a b
C
không lồi thực sự.
Thật vậy, với
( ) 1
x t
≡
, ( )
t a
y t
b a
−
≡
−

, ta có
2
x y x y
+ = + =
     

nhưng
( > 0)
y x
λ λ
≠
.
Định lý 2.2.1
. Trong không gian tuyến tính định chuẩn lồi thực sự, xấp xỉ tốt
nhất tồn tại và duy nhất.

Ch
ứ
ng minh
. Sự tồn tại của xấp xỉ tốt nhất suy ra từ định lý 2.1.1.
Tính duy nhất. Giả sử
1 2
, A
y y
∈
là hai xấp xỉ tốt nhất của
X
y
∈
, tức là

A
( 1, 2 )
i
x
y y d inf y x i
∈
− = = − =
   
.
Nếu
0
d
=
thì
( 1, 2 )
i
y y i
≡ =
.
Nếu
> 0
d
ta có

1 2
1 2
1 1
2 2 2
y y

d y y y y y d
+
≤ − ≤ − + − =
     

như vậy

1 2 1 2

2 2 2 2
y y y y y y y y
− − − −
+ = +
     
.
Do X l
ồ
i th
ự
c s
ự
nên

2 1
( 0 )
2 2
y y y y
λ λ
− −
 

= >
 
 
.
T
ừ

đ
ây suy ra

1 1
d y y y y d
λ λ
= − = − =
   

v
ậ
y
1,
λ
=
do
đ
ó



20

2 1
2 1
hay
2 2
y y y y
x x
− −
= ≡

Hệ quả 2.2.1
. Trong không gian tuy
ế
n tính
đị
nh chu
ẩ
n l
ồ
i th
ự
c s
ự
bài toán
tìm
1 1 2 2
( )
i
n n
a
min y a x a x a x

− + + +
 
có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t.
2.3. Xấp xỉ đều tốt nhất trong không gian các hàm liên tục nhờ hệ đơn
thức
2
1, , , ,
n
x x x


Ký hi
ệ
u
n
P
là t
ậ
p h
ợ
p các
đ
a th
ứ
c có b
ậ

c không quá
n
trên
đ
o
ạ
n
[ , ]
a b
và quy
ướ
c có c
ả

đ
a th
ứ
c
đồ
ng nh
ấ
t không v
ớ
i b
ậ
c 0.
Trong ph
ầ
n này ta xét
[ , ]

X , A
n
a b
C
= =
P
, chu
ẩ
n trong
[ , ]
a b
C
là chu
ẩ
n
Chebyshev

( )
b t a
x max x t
≤ ≤
=
 
| |
.
Do m
ỗ
i
đ
a th

ứ
c
n
Q
∈
P
,

1
0 1
( )
n n
n n
Q x c c x c x
−
−
= + + +
đặ
c tr
ư
ng b
ở
i véc t
ơ
các h
ệ
s
ố

1

0 1
( , , , )
n
n
c c c c
+
= ∈

nên
n
P
là không gian con
c
ủ
a
[ , ]
a b
C
và
dim 1
n
n
= +
P
. Theo
đị
nh lý 2.2.1 bài toán tìm
n
P
∈

P
sao cho

( )
n
n
Q
f P E f min f Q
∈
− = = −
   
P

có nghi
ệ
m.

Định lý 2.3.1
(
Đị
nh lý Vallée-Poussin). Gi
ả
s
ử

[ , ]
a b
f C
∈
và

n
Q
∈
P
. N
ế
u t
ồ
n
t
ạ
i
2
n
+

đ
i
ể
m phân bi
ệ
t
0 1 1

n
a x x x b
+
≤ < < < ≤
sao cho
( ) ( )

i i
f x Q x
−
l
ầ
n l
ượ
t
đổ
i d
ấ
u, ngh
ĩ
a là:

[
]
{
}
s ( 1) ( ) ( ) ( 0,1, 1)
i
i i
ign f x Q x const i n
− − = = +

thì

0, 1
( ) ( ) ( ) .
n i i

i n
E f min f x Q x
µ
= +
≥ = −
| |

Ch
ứ
ng minh. Tr
ườ
ng h
ợ
p
0
µ
=
:
( ) 0
n
E f
≥
.



21
Tr
ườ
ng h

ợ
p
0
µ
>
: Gi
ả
s
ử

( )
n
E f
µ
<
và
n
P
∈
P
là
đ
a th
ứ
c x
ấ
p x
ỉ

đề

u t
ố
t nh
ấ
t
c
ủ
a
f
trên
đ
o
ạ
n
[ , ]
a b
. Khi
đ
ó
( )
n
f P E f
µ
− = <
 
suy ra

( ) ( ) ( ) ( )
i i i i
P x f x P f Q x f x

µ
− ≤ − < ≤ −
 
| | | |
.
Do
đ
ó

[
]
[
]
[
]
{
}
s ( ) ( ) s ( ) ( ) ( ) ( )
i i i i i i
ign Q x f x ign Q x f x f x P x− = − + −

[
]
s ( ) ( )
i i
ign Q x f x
= −
(
0,1, , 1
i n

= +
).
Nh
ư
v
ậ
y
đ
a th
ứ
c
n
Q P
− ∈
P

đổ
i d
ấ
u
2
n
+
l
ầ
n nên có ít nh
ấ
t
1
n

+
nghi
ệ
m suy
ra
Q P
≡
. V
ậ
y có
1,
( ) ( ) .
i i
i n
Q f min Q x f x
µ µ
=
> − ≥ − =
 
| |

Đ
i
ề
u này mâu thu
ẫ
n.
Đị
nh lý
đượ

c ch
ứ
ng minh.

Định lý 2.3.2
(
Đị
nh lý Chebyshev).
Đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n và
đủ

để

đ
a th
ứ
c
n
P
∈
P
là
đ

a th
ứ
c x
ấ
p x
ỉ

đề
u t
ố
t nh
ấ
t c
ủ
a
[ , ]
a b
f C
∈
là t
ồ
n t
ạ
i
2
n
+

đ
i

ể
m luân phiên
Chebyshev sao cho:

( ) ( ) ( 1) ( 0,1, , 1)
i
i i
f x P x f P i n
α
− = − − = +
 
(2.3.1)
trong
đ
ó
1
α
= ±
.
Ch
ứ
ng minh.

Đ
i
ề
u ki
ệ
n
đủ

: Gi
ả
s
ử
t
ồ
n t
ạ
i
2
n
+

đ
i
ể
m
0 1 1

n
a x x x b
+
≤ < < < ≤
tho
ả
mãn
( ) ( ) ( 1) ,
n
i
i i

f x P x f P P
α
− = − − ∈
 
P
. Ta ph
ả
i ch
ứ
ng minh
P
là
đ
a th
ứ
c x
ấ
p x
ỉ

đề
u t
ố
t nh
ấ
t c
ủ
a
f
trên

đ
o
ạ
n
[a,b]
. Th
ậ
t v
ậ
y, ta có:

( ) ( ) ( 0,1, , 1)
i i
f x P x f P i n
− = − = +
 
| | .
Suy ra
0,1, , 1
( ) ( )
i i
i n
min f x P x f P
µ
= +
= − = −
 
| |
. Theo
đị

nh lý Valée-Poussin ta
có

( ) ( )
n n
f P E f f P E f
µ µ
− ≥ ≥
⇒
− =
   
= .
T
ừ
tính duy nh
ấ
t c
ủ
a x
ấ
p x
ỉ

đề
u t
ố
t nh
ấ
t suy ra
P

là
đ
a th
ứ
c x
ấ
p x
ỉ

đề
u t
ố
t
nh
ấ
t c
ủ
a
[ , ]
a b
f C
∈
.



22

Đ
i

ề
u ki
ệ
n c
ầ
n: Gi
ả
s
ử

( )
n
Q x
là
đ
a th
ứ
c x
ấ
p x
ỉ

đề
u t
ố
t nh
ấ
t c
ủ
a

f
trên
đ
o
ạ
n
[a,b]
, ta ch
ứ
ng minh t
ồ
n t
ạ
i
2
n
+

đ
i
ể
m
1 2 2
y
n
a y y b
+
≤ < < < ≤
sao cho

( ) ( ) ( 1)
i
i n i n
f y Q y f Q
α
− = − −
 
.
Đặ
t
n
L f Q
= −
 
, ký hi
ệ
u
{
}
1
[a,b]: ( ) ( )
n
y inf x f x Q x L
= ∈ − =
| |
. T
ừ

đị
nh

ngh
ĩ
a c
ủ
a
L
và s
ự
liên t
ụ
c c
ủ
a
( ) ( )
n
f x Q x
−
, suy ra s
ự
t
ồ
n t
ạ
i c
ủ
a
1
y
, v
ậ

y

1 1
( ) ( )
n
f y Q y L
− =
| |


để
xác
đị
nh, ta quy
ướ
c r
ằ
ng

1 1
( ) ( )
n
f y Q y L
− = +
.
Ký hi
ệ
u:
{
}

2 1
( ,b]: ( ) ( )
n
y inf x y f x Q x L
= ∈ − = −

B
ằ
ng qui n
ạ
p ta quy
ướ
c

{
}
1
( ,b]: ( ) ( ) ( 1)
k
k k n
y inf x y f x Q x L
+
= ∈ − = −
.
Do
đ
ó
1 1
( ) ( ) ( 1)
k

k n k
f y Q y L
+ +
− = −
. Ti
ế
p t
ụ
c quá trình này cho
đế
n khi
m
y b
=

ho
ặ
c
đế
n
m
y
tho
ả
mãn
đ
i
ề
u ki
ệ

n không l
ấ
y
đượ
c
m
y
.
N
ế
u
2
m n
≥ +
thì ta có
đ
i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.
Gi
ả
s
ử

2
m n

< +
, vì
( ) ( )
n
f x Q x
−
liên t
ụ
c trên
đ
o
ạ
n
[a,b]
nên v
ớ
i m
ỗ
i
(2 )
k k m
≤ ≤
có th
ể
l
ấ
y
1
k
Z

−
sao cho ( ) ( )
n
f x Q x L
− <
| |
, v
ớ
i
1
k k
Z x y
−
≤ <
.

Đặ
t
0
,
m
Z a Z b
= =
. Theo phép xây d
ự
ng trên thì m
ỗ
i
đ
o

ạ
n
1
[Z , ]
i i
Z
−

( 1, 2, , )
i m
=
có
đ
i
ể
m
i
y

ở

đ
ó sao cho
1
( ) ( ) ( 1)
i
i n i
f y Q y L
−
− = −

và không có
đ
i
ể
m
x

để

( ) ( ) ( 1)
i
i n i
f y Q y L
− = − .

Đặ
t
1
1
( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( 0)
m
d
j n n
j
v x Z x Q x Q x dv x d
−
=
= − = + >
∏
.

Xét hàm s
ố
:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
d
n n
f x Q x f x Q x dv x
− = − − trên
đ
o
ạ
n
0 1
[Z , ]
Z
.
Trên
0 1
[Z , )
Z
thì
( ) 0
v x
>
do
đ
ó ( ) ( ) ( )
d
n
f x Q x L dv x L

− ≤ − <
. M
ặ
t khác
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
d
n n
f Z Q Z f Z Q Z L
− = −
| | | |<
. T
ừ

đ
ó suy ra
( ) ( )
d
n
f x Q x L
− <

0 1
[Z , ]
x Z
∀ ∈
.

23

Đồ
ng th
ờ
i ta l
ạ
i có
0 1
( ) ( ) [Z ,Z ]
d
n
f x Q x L x− > − ∀ ∈
. Nh
ư
v
ậ
y t
ồ
n t
ạ
i
1
d

d
ươ
ng
đủ
nh

ỏ

để

1
(0, )
d d
∀ ∈
thì ta có

0 1
( ) ( ) [Z , ]
d
n
f x Q x L x Z
− < ∀ ∈
| |
.
Xét hàm s
ố

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
d
n n
f x Q x f x Q x dv x
− = − − trên
đ
o
ạ
n

1 2
[Z , ]
Z
, v
ớ
i
1 2
( , )
x Z Z
∈
ta có
( ) 0
v x
<
suy ra ( ) ( ) ( )
d
n
f x Q x L dv x L
− > − − > −
.
Ta l
ạ
i có
1 2
( ) ( ) [Z , ]
n
f x Q x L x Z
− < ∀ ∈
.
V

ậ
y v
ớ
i
2
d d
<
thì
1 2
( ) ( ) [Z , ]
d
n
f x Q x L x Z
− < ∀ ∈

. M
ặ
t khác

1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
d
n n
f Z Q Z f Z Q Z L
− = − <
| | | |


2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )

d
n n
f Z Q Z f Z Q Z L
− = − <
| | | |
.
Do v
ậ
y t
ồ
n t
ạ
i
2
d
d
ươ
ng
đủ
nh
ỏ

để

2
[0, ]
d d
∀ ∈
ta có
( ) ( )

d
n
f x Q x L
− <
| |

1 2
[Z , ]
x Z
∀ ∈
.
L
ậ
p lu
ậ
n t
ươ
ng t
ự
nh
ư
trên
đ
o
ạ
n
0 1
[Z , ]
Z

đố
i v
ớ
i các
đ
o
ạ
n
1
[Z , ]
i i
Z
−
v
ớ
i
2 1 ( 0,1, 2 )
i k k
= + =
ta
đượ
c k
ế
t qu
ả

0
i
d
∃ <

sao cho v
ớ
i
1
0
d d
< <
thì
1
( ) ( ) [Z , ]
d
n i i
f x Q x L x Z
−
− < ∀ ∈
| |
.

Đố
i v
ớ
i các
đ
o
ạ
n
1
[Z , ]
i i
Z

−
v
ớ
i
2 ( 1, 2 )
i k k
= =
l
ậ
p lu
ậ
n t
ươ
ng t
ự
nh
ư
trên
đ
o
ạ
n
1 2
[Z , ]
Z
ta
đượ
c
0
i

d
∃ >
sao cho v
ớ
i
1
0
d d
< <
thì

1
( ) ( ) [Z , ]
d
n i i
f x Q x L x Z
−
− < ∀ ∈
| |
.
Ch
ọ
n
{
}
0
: 1, 2, ,
i
d min d i m
< =

. Suy ra
0
( ) ( )
d
n
f x Q x L
− <
| |
trên
đ
o
ạ
n
1
[Z , ] ( 1, 2, , )
i i
Z i m
−
=
. Vì ( ), ( ) ( )
n n
d
n n
v x Q x Q x
∈
⇒
∈


và

1
1
[Z , ] [a,b]
m
i i
i
Z
−
=
=
∪
.
Suy ra
( ) ( ) [a, ]
d
n
f x Q x L x b
− < ∀ ∈
| |
. V
ậ
y
0
[a,b]
( ) ( )
d
n
x
Max f x Q x L
∈

− <
| |
trái v
ớ
i
gi
ả
thi
ế
t
( )
n
Q x
là x
ấ
p x
ỉ

đề
u t
ố
t nh
ấ
t. Suy ra
2
m n
≥ +
.
Đị
nh lý

đượ
c ch
ứ
ng minh.

Đị
nh lý Chebyshev cho ta tiêu chu
ẩ
n ki
ể
m tra m
ộ
t
đ
a th
ứ
c có ph
ả
i là
đ
a th
ứ
c
x
ấ
p x
ỉ

đề
u t

ố
t nh
ấ
t c
ủ
a hàm
[ , ]
a b
f C
∈
hay không ? Nó c
ũ
ng
đượ
c s
ử
d
ụ
ng
để

ch
ứ
ng



24
minh nhi
ề

u tính ch
ấ
t c
ủ
a
đ
a th
ứ
c x
ấ
p x
ỉ

đề
u t
ố
t nh
ấ
t.

Định lý 2.3.3
.
Đ
a th
ứ
c x
ấ
p x
ỉ

đề
u t
ố
t nh
ấ
t c
ủ
a
[ , ]
a b
f C
∈
là duy nh
ấ
t.
Ch
ứ
ng minh. Gi
ả
s
ử

, Q
n
P
∈
P
là hai
đ
a th

ứ
c x
ấ
p x
ỉ

đề
u t
ố
t nh
ấ
t c
ủ
a
f
trên
đ
o
ạ
n
[ , ]
a b
. Khi
đ
ó
2
n
P Q
+
∈

P
c
ũ
ng là
đ
a th
ứ
c x
ấ
p x
ỉ

đề
u t
ố
t nh
ấ
t. Th
ậ
t v
ậ
y,

1 1
( ) ( )
2 2 2
n n
P Q
E f f f P f Q E f
+

≤ − ≤ − + − =      .
Theo
đị
nh lý Chebyshev t
ồ
n t
ạ
i
2
n
+

đ
i
ể
m luân phiên Chebyshev
0 1
, , ,
x x
1
n
x
+
c
ủ
a
2
P Q
+
, ta có

( ) ( )
( ) ( ) ( 0,1, , 1)
2
i i
i n
P x Q x
f x E f i n
+
− = = +
| |

suy ra

2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n i i i i i i i i
E f P x f x Q x f x P x f x Q x f x
= − + − ≤ − + −
| | | | | |


2 ( )
n
P f Q f E f
≤ − + − =
   
.
Do
đ
ó

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0,1, , 1)
i i i i n
P x f x Q x f x E f i n
− = − = = +
| | | |
hay
[
]
( ) ( ) ( ) ( ) , 1
i i i i i
P x f x Q x f x
λ λ
− = − = ±
.
Ta có
(1 ) ( ) ( ) (1 ) ( ) 2 ( )
i i i i n n
Q x f x E f E f
λ λ
+ − = + =
| |
hay
1
i
λ
=
. T
ừ

đ

ây suy
ra
( ) ( ) ( 0,1, , 1)
i i
P x Q x i n
= = +
hay
P Q
≡
.
Đị
nh lý
đượ
c ch
ứ
ng minh.

Hệ quả 2.3.1
.
Đ
a th
ứ
c x
ấ
p x
ỉ

đề
u t
ố

t nh
ấ
t
n
P
∈
P
c
ủ
a m
ộ
t hàm
[-1,1]
f C
∈
ch
ẵ
n
(l
ẻ
) c
ũ
ng là hàm ch
ẵ
n (l
ẻ
).
Ch
ứ
ng minh. Gi

ả
s
ử

f
là hàm ch
ẵ
n. V
ớ
i m
ọ
i
[ 1,1]
x
∈ −
, ta có

( ) ( ) ( ).
n
f x P x f P E f
− ≤ − =
 
| |

Thay
x x
= −
, ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ 1,1].

n
f x P x f x P x E f x
− − − = − − ≤ ∀ ∈ −
 
| |

Suy ra
( )
P x
−
c
ũ
ng là
đ
a th
ứ
c x
ấ
p x
ỉ

đề
u t
ố
t nh
ấ
t c
ủ
a
f

. Do tính ch
ấ
t duy
nh
ấ
t c
ủ
a x
ấ
p x
ỉ

đề
u t
ố
t nh
ấ
t suy ra
( ) ( ) [ 1,1]
P x P x x
− = ∀ ∈ −
.



25

Định lý 2.3.4
. N
ế

u
[ , ]
n
a b
f C
∈
còn
( 1)
( )
n
f x
+
b
ị
ch
ặ
n và không
đổ
i d
ấ
u trên
đ
o
ạ
n
[ , ]
a b
thì

1 1

( 1) ( 1)
2 1 2 1
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 ( 1) 2 ( 1)
n n
n n
n
n n
a x b a x b
b a b a
inf f x E f sup f x
n n
+ +
+ +
+ +
≤ ≤ ≤ ≤
− −
≤ ≤
+ +
| | | |
! !
. (2.3.2)
Ch
ứ
ng minh. G
ọ
i
P
là

đ
a th
ứ
c n
ộ
i suy c
ủ
a
f
v
ớ
i các m
ố
c n
ộ
i suy là nghi
ệ
m
c
ủ
a
đ
a th
ứ
c Chebyshev

(2 1)
os ( 1, 2, , 1)
2 2 2( 1)
k

a b b a k
x c k n
n
π
+ − −
= + = +
+

ta có
( ) ( ) ( 1, 2, , 1).
k k
f x P x k n
= = +

Theo công th
ứ
c
ướ
c l
ượ
ng sai s
ố
c
ủ
a phép n
ộ
i suy, ta có

1
( 1)

2 1
( )
( ) ( ) ( ) [ , ]
2 ( 1)
n
n
n
a x b
b a
f x P x sup f x x a b
n
+
+
+
≤ ≤
−
− ≤ ∀ ∈
+
| | | |
!
.
Suy ra

1
( 1)
2 1
( )
( ) ( )
2 ( 1)
n

n
n
n
a x b
b a
E f f P sup f x
n
+
+
+
≤ ≤
−
≤ − ≤
+
  | |
!
.
Gi
ả
s
ử

Q
là
đ
a th
ứ
c x
ấ
p x

ỉ

đề
u t
ố
t nh
ấ
t c
ủ
a hàm
f
trên
[ , ]
a b
, khi
đ
ó theo
đị
nh lý Chebyshev
f Q
−

đổ
i d
ấ
u
2
n
+
l

ầ
n nên
f Q
−
có ít nh
ấ
t
1
n
+
không
đ
i
ể
m
( 1, 2, , 1)
i
y i n
= +
sao cho
( ) ( ) ( 1, 2, , 1)
i i
f y Q y i n
= = +
.
Nh
ư
v
ậ
y

Q
là
đ
a th
ứ
c n
ộ
i suy c
ủ
a hàm
f
v
ớ
i các m
ố
c n
ộ
i suy
{
}
( 1, 2, , 1)
i
y i n
= +
tho
ả
mãn

( 1)
1

( )
( ) ( ) ( )
( 1)
n
n
f
f x Q x x
n
ξ
ω
+
+
− =
+ !

trong
đ
ó

1
1
1
( ) ( ), ( ) [ , ]
n
n i
i
x x y x a b
ω ξ ξ
+
+

=
= − = ∈
∏
.
Gi
ả
s
ử

1
( )
n
x
ω
+
| |

đạ
t
max
t
ạ
i
0
[ , ]
x x a b
= ∈
, ta có