Một số ứng dụng của lý thuyêt điểm bất động

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
BÙI THẾ NAM
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA
LÝ THUYẾT ĐIỂM BẤT ĐỘNG
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hùng
Hà Nội-2009
Lời cảm ơn
Tôi xin chân thành cảm ơn các giáo sư, tiến sĩ giảng dạy chuyên ngành
Toán Giải tích; các thầy, cô Phòng Sau Đại học Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài.
Tôi xin gửi lờ i cảm ơn đặc biệt sâu sắc đến TS. Nguyễn Văn Hùng đã trực
tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn chỉnh đề tài.
Hà Nội, tháng 9 năm 2009
Tác giả
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn trực tiếp của TS. Nguyễn Văn Hùng.
Trong quá trình nghiên cứu luận văn, tô i đã kế thừa những thành q uả
khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 9 năm 2009
Tác giả
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC B Ổ T RỢ 8
1.1. Lý thuyết không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2. Các tính chất đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.3. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.4. Sự hội tụ trong không gian mêtric . . . . . . . . . . . . 11
1.1.5. Ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.6. Không gian mêtric đầy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.7. Tập compact và không gian compact . . . . . . . . . . 17
1.2. Không gian định chuẩn, không gian Banach . . . . . . . . . . 1 7
1.2.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.3. Định nghĩa toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . 20
1.3. Không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4. Tập lồi, hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.1. Tổ hợp lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.2. Định nghĩa hàm lồi và các ví dụ . . . . . . . . . . . . . 24
1.5. Định nghĩa nửa liên tục dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Chương 2. LÝ THUYẾT ĐIỂM BẤT ĐỘNG 26
2.1. Điểm bất động của ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.1. Nguyên lý ánh xạ co Banach . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.2. Ánh xạ co đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.3. Mở rộng nguyên lý ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . 28
5
2.1.4. Ánh xạ co yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.5. Định lý điểm bất độ ng Caristi . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.6. Nguyên lý biến phân Ekeland . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2. Điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1. Về cấu trúc hình học của không gian Banach . . . . . . 33
2.2.2. Định lý cơ bản về điểm bất động cho ánh xạ không giãn 36
2.2.3. Ánh xạ không giãn đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8
2.3. Điểm bất động của ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.1. Nguyên lý điểm bất động Brouwer . . . . . . . . . . . 4 0
2.3.2. Các định lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Chương 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA
LÝ THUYẾT ĐIỂM BẤT ĐỘNG 45
3.1. Ứng dụng của lý thuyết điểm bất động cho bài toán phổ thông 45
3.2. Ứng dụng của định lý điểm bất động cho một số bài toán cao
cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết điểm bất động là một phần quan tr ọng của ngành giải tích.
Những định lý điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ XX, trong
đó phải kể đến Nguyên lý điểm bất động của Brouwer (1912) và Nguyên lý
ánh xạ co Banach (1922) . Các kết quả kinh điển này đã được mở rộng ra các
lớp ánh xạ và không gian khác nhau, đã được ứng dụng rộng rãi trong nhiều
lĩnh vực và được tập hợp lại dưới một cái tên chung: Lý thuyết điểm bấ t
động. Lý thuyết này gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà toán học lớn như:
Brouwer, Banach, Schauder, Kakutani, Tikhonov, B rowder, Kyfan,. . . Trong
lý thuyết này, ngoài các đị nh lý tồn tại điểm bấ t động, người ta còn quan
tâm đến cấu trúc của tập hợp điểm bất động, các phương pháp tìm điểm
bất động và các ứng dụng của chúng. Chính vì vậy mà lý thuyết điểm bất
động được nhiều nhà toán học t rên thế giới quan tâm. Việc nghiên cứu một
số ứng dụng của lý thuyết điểm bất động giúp chúng ta hiểu sâu sắc hơn
về lý thuyết điểm bất động, đồng thời sử dụng các kết quả đó để giải quyết
một số vấn đề của l ý thuyết toán học và đây cũng là ki ến thức cơ sở để giải
quyết một số bài toán thực tiễn khác. Chẳng hạn, Lomonosov (1973) đã sử
dụng nguyên lý Schauder để chứng minh sự tồn tại không gian con bất biến
không tầm thường của một toán tử tuyến tính liên tục trong một không gian
Banach nếu nó gi ao hoán với một toán tử hoàn toàn liên tục trong không
gian đó. Hơn nữa, tìm hiểu về lý thuyết điểm bất động có thể giúp chúng ta
chỉ ra ngoài sự tồn tại, nó còn cho ta tính duy nhất phươ ng pháp tìm đi ểm

bất động và đánh giá được độ chính xác tại mỗi bước lặp. Bởi vậy tôi đã
chọn đề tài: “Một số ứng dụng của lý thuyết điểm bất động” để thực
hiện luận văn tốt nghiệp.
7
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của lý thuyết điểm bất động, sau đó nêu
ra các ứng dụng của nó trong một số bài toán sơ cấp và một số bài toán cao
cấp.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Việc nghiên cứu ho àn thiện luận văn với nhiệm vụ hệ thống làm sáng tỏ
nội dung của lý thuyết điểm bất độ ng và ứng dụng cho một số bài toán sơ
cấp, một số bài toán cao cấp.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Các kết quả về lý thuyết điểm bất động, một số ứng dụng của nó cho
một số bài toán sơ cấp và một số bài toán cao cấp. Cụ thể, luận văn gồm 3
chương:
Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ.
Chương 2: Lý thuyết điểm bất độ ng.
Chương 3: Một số ứng dụng của lý thuyết điểm bất động.
5. Phương pháp nghiên cứu
* Nghiên cứu lý luận, đọc tài liệu chuyên khảo.
* Tổng hợp kiến thức vận dụng cho mục đích nghiên cứu đề tài.
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ
1.1. Lý thuyết không gian mêtric
1.1.1. Các định nghĩa
Định nghĩa 1.1. Ta gọi là không gian mê t ric một tập hợp X = ∅ cùng với
một ánh xạ d từ tích Descartes X × X vào tập hợp số thực R thỏa mã n các
tiên đề sau đây:
1) (∀x, y ∈ X) d (x, y) ≥ 0, d (x, y) = 0 ⇔ x = y (tiên đề đồng nhất);

2) (x, y ∈ X) d (x, y) = d (y, x) (tiên đề đối xứng);
3) (∀x, y ∈ X) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) (tiên đề tam g i ác).
Ánh xạ d gọi là mêtric trên X, số d (x, y) gọi là khoảng cách giữa hai phần
tử x và y . Các phần tử của X g ọ i là các điểm; các tiên đề 1, 2, 3 gọi là hệ
tiên đề mêtric.
Không gian mêtric được ký hiệu là M = (X, d) .
Định nghĩa 1.2. Cho kh ông g i an mêtric M = (X, d) . Mộ t tậ p con bất kỳ
X
0
= ∅ của tập X cùng với mêtric d trên X lập thành một khô ng gian mêtric.
Không gian mêtric M
0
= (X
0
, d) gọi là không gian mêtric con của không gian
mêtric đã cho.
1.1.2. Các tính chất đơn giản
Dựa vào định nghĩa, dễ dàng chứng minh các tính chất đơn giản sau đây:
1) (∀x
j
∈ X, j = 1, 2, , n, n ∈ N
∗
) d (x
1
, x
n
) ≤
n−1

j=1

d (x
j
, x
j+1
);
2) (∀x, y, u, v ∈ X) |d (x, y) − d (u, v)| ≤ d (x, u) + d (y, v) (Bất đẳng thức
tứ giác);
3) (∀x, y, u ∈ X) |d (x, y) − d (y, u)| ≤ d (x, u)(Bất đẳng thức tam giác);
9
1.1.3. Ví dụ
Ví dụ 1.1. Với h ai phần t ử bất kỳ x, y ∈ R ta đặt:
d (x, y) = |x −y|. (1.1)
Dựa vào các tính chất của giá trị t uyệt đối trong tập số thực R dễ dàng kiểm
tra hệ thức (1.1) xác định một mêtric trên R. Kh ông gian tương ứ ng được ký
hiệu là R
1
. Ta sẽ gọi (1.1) là mêtric tự nhiên trên R.
Ví dụ 1.2. Vớ i ha i vectơ bất kỳ x = (x
1
, x
2
, x
k
) ; y = (y
1
, y
2
, y
k
) thuộc

không gian vectơ thực k chiều R
k
(k l à số nguyê n dương nào đó) ta đặt:
d (x, y) =




k

j=1
(x
j
− y
j
)
2
. (1.2)
Dễ dàng thấy hệ thức (1.2) thoả mãn các tiên đề 1 và 2 về mêtric. Để kiểm
tra hệ thứ c (1.2) thoả mãn tiên đề 3 về mêtric, trước hết ta chứng minh bất
đẳng thức Cauchy-Bunhiacopski, với 2k số thực a
j
b
j
(j = 1, 2, , k) ta có:






k

j=1
a
j
b
j





≤




k

j=1
a
2
j




k

j=1

b
2
j
. (1.3)
Thật vậy:
0 ≤
k

i=1

k

j=1
(a
i
b
j
− a
j
b
i
)
2

=
k

i=1
k


j=1
a
2
i
b
2
j
−2
k

i=1
k

j=1
a
i
b
i
a
j
b
j
+
k

i=1
k

j=1
a

2
j
b
2
i
.
= 2

k

j=1
a
2
j

k

j=1
b
2
j

− 2

k

j=1
a
j
b

j

2
Từ đó suy ra bất đẳng thức (1.3) với 3 vectơ bất kỳ:
x = (x
1
, x
2
, x
k
) , y = (y
1
, y
2
, y
k
) , z = (z
1
, z
2
, z
k
)
thuộc R
k
ta có :
d
2
(x, y) =
k


j=1
(x
j
− y
j
)
2
=
k

j=1
[(x
j
− z
j
) − (z
j
− y
j
)]
2
10
=
k

j=1
(x
j
− z

j
)
2
+ 2
k

j=1
(x
j
− z
j
) (z
j
− y
j
) +
k

j=1
(z
j
− y
j
)
2
≤ d
2
(x, z) + 2





k

j=1
(x
j
− z
j
)
2




k

j=1
(z
j
− y
j
)
2
+ d
2
(z, y)
= d
2
(x, z) + 2d (x, z) d (z, y) + d

2
(z, y) = [d (x, z) + d (z, y)]
2
⇒ d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) .
Do đó hệ thức (1.2) thoả mãn tiên đề 3 v ề mêtric. Vì vậy hệ thức (1.2) xác
định một mêtric trên không gian R
k
.
Không gian mêtric tương ứng vẫn ký hiệu là R
k
và t hường gọi là không
gian Euclid, còn mêtric (1.2) gọi là mêtric Euclid.
Ví dụ 1.3. Ta kí hi ệ u l
2
là tập tất cả các dãy số thực hoặc số phức
x = (x
n
)
∞
n=1
,
sao cho chuỗi số dương
∞

n=1
|x
n
|
2
hội tụ. Với hai dãy số bất kỳ:

x = (x
n
)
∞
n=1
, y = (y
n
)
∞
n=1
,
thuộc l
2
ta đặt:
d (x, y) =




∞

n=1
(x
n
− y
n
)
2
. (1.4)
Hệ thức (1.4) xác định một ánh xạ từ tích Descartes l

2
× l
2
vào tập số thực
R. Thật vậy ∀n = 1, 2, ta có,
|x
n
− y
n
|
2
=


x
2
n
− 2x
n
y
n
+ y
2
n


≤ |x
n
|
2

+ 2 |x
n
||y
n
| + |y
n
|
2
≤ 2

|x
n
|
2
+ |y
n
|
2

.
Do đó ∀p > 0 đều có:
p

n=1
|x
n
− y
n
|
2

≤ 2
p

n=1
|x
n
|
2
+ 2
p

n=1
|y
n
|
2
≤ 2
∞

n=1
|x
n
|
2
+ 2
∞

n=1
|y
n

|
2
11
suy ra
p

n=1
|x
n
− y
n
|
2
≤ 2
∞

n=1
|x
n
|
2
+ 2
∞

n=1
|y
n
|
2
.

Nghĩa là chuỗi số trong vế phải c ủa hệ thức (1.4) hội tụ. Dễ dàng th ấy hệ
thức (1.4) thoả mãn các tiên đề 1 và 2 về mêtric với ba dãy bất kỳ:
x = (x
n
)
∞
n=1
, y = (y
n
)
∞
n=1
, z = (z
n
)
∞
n=1
,
thuộc l
2
và với số p nguyên dương tuỳ ý ta có:

p

n=1
|x
n
− y
n
|

2

1
2
≤

p

n=1

|x
n
− z
n
|
2
+ |z
n
− y
n
|

2

1
2
≤

p


n=1
|x
n
− z
n
|
2

1
2
+

p

n=1
|z
n
− y
n
|
2

1
2
≤

∞

n=1
|x

n
− z
n
|
2

1
2
+

∞

n=1
|z
n
− y
n
|
2

1
2
.
Cho p → ∞ta được:
d (x, y) =

p

n=1
|x

n
− y
n
|
2

1
2
≤

∞

n=1
|x
n
− z
n
|
2

1
2
+

∞

n=1
|z
n
− y

n
|
2

1
2
= d (x, z) + d (z, y) .
Do đó hệ t hức (1.4) thoả mãn tiên đề 3 của mêtric. Vì vậy hệ thức (1.4 )
xác định một mêtric trên l
2
. Không gian m êtric tương ứng vẫn ký hiệu là l
2
.
Không gian l
2
đôi khi còn gọi là không gian Euclid vô hạn chiều.
1.1.4. Sự hội tụ trong không gian mêtric
Định nghĩa 1.3. Cho không gian mêtric M = (X, d) , dãy điểm (x
n
) ∈ X,
điểm x
0
∈ X. Dãy điểm (x
n
) gọi là hội tụ tới điểm x
0
trong kh ông gian M
khi n → ∞, nếu
(∀ε > 0) (∃n
0

∈ N
∗
) (∀n ≥ n
0
) d (x
n
, x
0
) < ε.
Ký hiệu:
lim
n→∞
x
n
= x
0
hay x
n
→ x
0
(n → ∞) .
Điểm x
0
cò n gọi là giới hạn của dãy (x
n
) tro ng không gian M.
12
Ví dụ 1.4. Sự hội tụ của một dãy điểm (x
n
) trong không gi an R

1
là sự hội
tụ của dãy số thực đã biết tro ng giải tích toán học.
Ví dụ 1.5. Sự hội tụ của một dãy điểm trong không gia n Euclid R
k
tương
đương với sự hội tụ theo toạ độ.
Thật vậy, gi ả sử d ãy điểm x
(n)
=

x
(n)
1
, x
(n)
2
, , x
(n)
k

(n = 1, 2, ) hội
tụ tới điểm x = (x
1
, x
2
, , x
k
) tro ng R
k

. Theo định nghĩa:
(∀ε > 0) (∃n
0
∈ N
∗
) (∀n ≥ n
0
)
d

x
(n)
, x

=




k

j=1

x
(n)
j
− x
j

2

< ε.
Suy ra



x
(n)
j
− x
j



< ε ∀n ≥ n
0
∀j = 1, 2, , k (1.5)
Các bất đẳng thức (1.5) chứng tỏ với ∀j = 1 , 2, , k dãy số thực

x
(n)
j

hội
tụ tới số thực x
j
khi n → ∞ sự hội tụ đó được gọi là sự hội tụ theo toạ độ.
Ngược lại, giả sử dãy điểm x
(n)
=


x
(n)
1
, x
(n)
2
, , x
(n)
k

(n = 1, 2, ) hội
tụ t heo toạ độ tới điểm x = (x
1
, x
2
, , x
k
) t heo định nghĩa (∀ε > 0) (vớ i
mỗi j = 1, 2, , k ),
(∃n
j
∈ N
∗
) (∀n ≥ n
j
)



x

(n)
j
− x
j



<
ε
√
k
Đặt n
0
= max {n
1
, n
2
, , n
k
} , thì (∀n ≥ n
0
) ta có:



x
(n)
j
− x
j




<
ε
√
k
(j = 1, 2, k)
⇒

x
(n)
j
− x
j

2
<
ε
2
k
(j = 1, 2, k)
⇒
k

j=1

x
(n)
j

t −x
j

2
< ε
2
∀n ≥ n
0
⇒




k

j=1

x
(n)
j
− x
j

2
< ε ∀n ≥ n
0
.
Do đó dãy điể m đã cho hội tụ theo mêtric Euclid của không gian R
k
.

13
1.1.5. Ánh xạ liên tục
Cho hai không gian mêtric M
1
= (X, d
1
) , M
2
= (Y, d
2
) ánh xạ f từ
không gian M
1
đến không g ian M
2
.
Định nghĩa 1.4. Ánh xạ f g ọ i là l i ê n tục tại điểm x
0
∈ X nếu:
(∀ε > 0) (∃δ > 0) (∀x ∈ X : d
1
(x, x
0
) < δ) d
2
(f (x) , f (x
0
)) < ε.
Hay nói cách khác : Ánh xạ f gọi là liên tục tại x
0

∈ X nếu với lân cận c ho
trước tuỳ ý U
y
0
= S (y
0
, ε) ⊂ Y của điểm y
0
= f (x
0
) trong M
2
ắt tìm được
lân cận V
x
0
= S (x
0
, δ) ⊂ X của điểm x
0
trong M
1
sao cho f (V
x
0
) ⊂ U
y
0
.
Định nghĩa 1.4 tương đương với định nghĩ a sau đây:

Định nghĩa 1.5. Ánh xạ f gọi là liên tục tạ i điểm x
0
∈ X, nếu với mọi dãy
điểm (x
n
) ⊂ X hội t ụ tớ i đi ểm x
0
trong M
1
, dãy điểm (f (x
n
)) hội tụ tới
f (x
0
) tro ng M
2
.
Chứng minh sự tương đương của Định nghĩa 1.4 và Định nghĩa 1.5 như
sau:
Hiển nhiên, nếu ánh xạ f liên tục tại x
0
theo Định nghĩa 1.4 thì ánh xạ
f liên tục tại x
0
theo Định nghĩa 1 .5.
Giả sử ánh xạ f liên tục tại điểm x
0
theo Định nghĩa 1.5 nhưng ánh xạ f
không liên tục tại x
0

theo Định nghĩa 1.4 ng hĩa là:
(∃ε
0
> 0) (∀n ∈ N
∗
)

∃x
n
∈ X : d
1
(x
n
, x
0
) <
1
n

d
2
(f (x
n
) , f (x
o
)) ≥ ε
0
Ta nhận được dãy điểm (x
n
) ⊂ X hội t ụ tới điểm x

0
trong M
1
, nhưng dãy
điểm (f (x
n
)) không hội tụ tới f (x
0
) trong M
2
, điều này mâu thuẫn với giả
thiết. Mâu thuẫn đó chứng tỏ, nếu ánh xạ f liên tục tại x
0
∈ X theo Định
nghĩa 1.5 thì ánh xạ f liên tục tại x
0
theo Định nghĩa 1 .4.
Định nghĩa 1.6. Ánh xạ f gọi là liên tục trên tập A ⊂ X nếu á nh xạ f
liên tục tại mọi điểm x ∈ A. Khi A = X thì ánh xạ f gọi là liên tục.
14
Định nghĩa 1.7. Ánh xạ f gọi là liên tục đều trên tập A ⊂ X nếu (∀ε > 0)
(∃δ > 0) (∀x, x
,
∈ A : d
1
(x, x
,
) < δ) : d
2
(f (x) , f (x

,
) < ε) .
Dễ dàng t hấy, n ếu án h xạ f liên tục đều trên tập A ⊂ X thì án h xạ f
liên tục trên tập A.
1.1.6. Không gian mêtric đầy
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.8. Cho không gian mêtric M = (X, d) . Dãy điểm (x
n
) ⊂ X
gọi là dãy cơ bản tro ng M nếu :
(∀ε > 0) (∃n
0
∈ N
∗
) (∀m, n ≥ n
0
) , d (x
n
, x
m
) < ε
hay lim
n,m→∞
d (x
n
, x
m
) = 0.
Dễ thấy mọi dãy điểm (x
n

) ⊂ X hội tụ trong M đều là dãy cơ bản.
Định nghĩa 1.9. Không gian mêtric M = (X, d) gọi là không gian đầy, nếu
mọi dãy cơ bản trong không gian này hội tụ.
2. Các ví dụ
Ví dụ 1.6. Không gian mêtric R
1
là không gian đầy, điều đó suy ra từ tiêu
chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số thực đã biết trong giải tích toán học.
Ví dụ 1.7. Không gian R
k
là không gian đầy.
Thật vậy, giả sử x
(n)
=

x
(n)
1
, x
(n)
2
, , x
(n)
k

(n = 1, 2, ) là dãy cơ bản tuỳ
ý t rong không gian Euclid R
k
. Theo định nghĩa dãy cơ bả n:
(∀ε > 0) (∃n

0
∈ N
∗
) (∀m, n ≥ n
0
) , d

x
(n)
, x
(m)

< ε
hay




k

j=1

x
(n)
j
− x
(m)
j

2

< ε



x
(n)
j
− x
(m)
j



< ε ∀m, n ≥ n
0
; ∀j = 1, 2, , k (1.6)
Các bất đẳng thức (1.6) chứng tỏ, với mỗi j = 1, 2, , k dãy

x
(n)
j

là dãy
số thực cơ bản, n ên p h ải tồ n tại giới hạn lim
n→∞
x
(n)
j
= x
j

(j = 1, 2, , k) .
15
Đặt x = (x
1
, x
2
, , x
k
) ta nhận đư ợc dãy

x
(n)

⊂ R
k
đã cho hội tụ theo
toạ độ tới x. Nhưng sự hội tụ trong không gian Euclid R
k
tương đương với
sự hội tụ theo toạ độ, nếu dãy cơ bản

x
(n)

đã cho hội tụ tới x trong không
gian R
k
. Vậy không gian Euclid R
k
là không gian đầy.

Ví dụ 1.8. Không gian C
[a,b]
là không gian đầy. Thật vậy, giả sử (x
n
(t)) là
dãy cơ bản tuỳ ý trong không gian C
[a,b]
. Theo định nghĩa dãy cơ bản
(∀ε > 0) (∃n
0
∈ N
∗
) (∀m, n ≥ n
0
)
d

x
(n)
, x
(m)

= max
a≤t≤b
|x
n
(t) − x
m
(t)| < ε
⇒ |x

n
(t) −x
m
(t)| < ε ∀m, n ≥ n
0
; ∀t ∈ [a, b] . (1.7)
Các bất đẳng thứ c (1.7) chứ ng tỏ, với mỗi t cố định tuỳ ý thuộc đoạn [a, b]
dãy {x
n
(t)} là dãy số thực cơ bản nên phải tồn tại giới hạn:
lim
n→∞
x
n
(t) = x (t) , t ∈ [a, b] .
Ta nhận được hàm số x (t) xác địn h trên [a, b] . Vì các bất đ ẳng thức (1.7)
không phụ thuộc t, nên cho qua giới hạn trong các bất đẳng thức này khi
n → ∞ ta được:
|x
n
(t) −x (t)| ≤ ε, ∀n ≥ n
0
, ∀t ∈ [a, b] (1.8)
Các bất đẳng thức (1.8) chứng tỏ dãy hàm số {x
n
(t)} ⊂ C
[a,b]
hội tụ đều tới
hàm số x (t) trên đoạn [a, b] , nên x (t) ∈ C
[a,b]

. Nhưng sự hội tụ trong không
gian C
[a,b]
tương tự với sự hội tụ đều của dãy hàm li ên tục trên đoạn [a, b]
nên dãy cơ bản {x
n
(t)} đã cho hộ i tụ tới x (t) trong kh ông gian C
[a,b]
. Vậy
C
[a,b]
là không gian đầy.
Ví dụ 1.9. Không gian l
2
là không gian đầy.
Thật vậy , giả sử x
(n)
=

x
(n)
1
, x
(n)
2
, , x
(n)
k

(n = 1, 2, ) là dãy cơ bản

tuỳ ý tron g không gi an l
2
, theo định nghĩa dãy cơ bản:
(∀ε > 0) (∃n
0
∈ N
∗
) (∀m, n ≥ n
0
) , d

x
(n)
, x
(m)

=




∞

k=1



x
(n)
k

− x
(m)
k



2
< ε
16
suy ra




p

k=1



x
(n)
k
− x
(m)
k



2

< ε (∀n, m ≥ n
0
; ∀p = 1, 2, ) (1.9)



x
(n)
k
− x
(m)
k



< ε (∀n, m ≥ n
0
∀k = 1, 2, ) (1.10 )
Các bất đẳng thức (1.10) chứng tỏ, với mỗi k cố định tuỳ ý dãy

x
(n)
k

là
dãy cơ bản nên phải tồn tại giới hạn lim
n→∞
x
(n)
k

= x
k
(k = 1, 2, ) .
Đặt x = ( x
1
, x
2
, , x
k
, ) = (x
k
) . Vì các bất đẳng thức (1.9) không phụ
thuộc p nên có thể cho q ua giới hạn trong các bất đẳng thức này khi m → ∞
ta được:




p

k=1



x
(n)
k
− x
k




2
≤ ε ∀n ≥ n
0
; p = 1, 2, (1.11 )
tiếp tục cho qua giới hạn t rong các bất đẳng thức (1.11) khi p → ∞ ta được:




∞

k=1



x
(n)
k
− x
k



2
≤ ε, ∀n ≥ n
0
. (1.12 )
Mặt khác:

|x
k
|
2
=




x
k
− x
(n)
k
+ x
(n)
k




2
≤




x
(n)
k

− x
k



+



x
(n)
k




2
≤ 2



x
(n)
k



2
+ 2




x
(n)
k
− x
k



2
, ∀k, n = 1, 2, (1.13 )
Từ các bất đẳng thức (1.12) và ( 1.13) suy ra:
p

k=1
|x
k
|
2
≤ 2
p

k=1



x
(n
1

)
k



2
+ 2
p

k=1



x
(n
1
)
k
− x
k



2
≤ 2
∞

k=1




x
(n
1
)
k



2
+2
∞

k=1



x
(n
1
)
k
− x
k



2
< 2
∞


k=1



x
(n
1
)
k



2
+2ε
2
(n
1
> n
0
, ∀p = 1, 2, )
⇒
∞

k=1
|x
k
|
2
< 2

∞

k=1



x
(n
1
)
k



2
+ 2ε
2
(n
1
> n
0
).
Do đó dã y x = (x
k
) ∈ l
2
. Các bất đẳ ng thức (1.12) chứng tỏ dãy cơ bản

x
(n)


đã cho hội tụ tới x ∈ l
2
trong không gian l
2
. Vì vậy không g i an l
2
là k hông
gian đầy.
17
1.1.7. Tập compact và không gian compact
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.10. Cho không gian mêtric M = (X, d) tập K ⊂ X gọi là
tập compact trong không gian M nếu mọi dãy vô hạn các phần tử thuộc K
đều chứa dãy con hội tụ tới phần tử thu ộc tập K. Tập K gọ i là tập compact
tương đối trong không gian M nế u mọi dãy vô hạn các phần tử đều chứa d ãy
co n hội tụ (tới phần t ử thuộc X).
Định nghĩa 1.11. Cho không gian mêtric M = (X, d) . Không gian M gọ i
là không gian compact nếu tập X là tập compact trong M.
2. Ví dụ
Ví dụ 1.10. Trong không gian mêtric R
1
(tập số thực R với mêtric tự nhiên)
đoạn bất kỳ là tập compact, khoảng bất kỳ là tập compact tương đối. Các khẳng
định trên suy ra từ bổ đề Bolzano – Weierstrass. N hờ đó dễ dàng chứng minh
trong không gian Eucled R
n
một tập bất kỳ đóng và b ị chặn là tập compact
tương đối.
Ví dụ 1.11. Khôn g gian mêtric C

[a,b]
không là không gian compac t vì dã y
hàm số x
n
(t) = n trên đoạn [a, b] (n = 1, 2, ) khô ng chứa dãy con nào
hội tụ.
1.2. Không gian định chuẩn, không gian Banach
1.2.1. Các định nghĩa
Định nghĩa 1.12. Ta gọi là không gian định chuẩn(hay không gian tuyến
tính định ch uẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc
P = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R ký hiệu là  .  và đọc
là chuẩn, thoả mãn các điều kiện sau đây:
1. (∀x ∈ X) x ≥ 0; x = 0 ⇔ x = θ (ký hiệu phần tử không là θ);
2. (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) αx = |α| x ;
3. (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y.
18
Số x gọi là chuẩn của vectơ x. Ta cũng ký hiệu không gi an định chuẩn
là X.
Các tiên đề 1, 2, 3 gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Định lý 1.1. Cho không gian định chuẩn X. Đối với hai vectơ bất kỳ x, y ∈ X
ta đặt:
d (x, y) = x −y (1.14 )
Khi đó d là một mêtric trên X.
Chứng minh của định lý trên dễ dàng suy ra từ hệ tiên đề chuẩn và hệ
tiên đề tuyến tính.
Nhờ định lý 1.1 mọi không gian đị nh chuẩn đều có thể trở thành không
gian mêtric với mêtric xác định bở i (1.14). Do đó mọi khái niệm, mệnh đề đã
đúng trong không gian mêt ric đều đúng trong không gian định chuẩn. Dưới
đây ta chỉ nêu một vài trường hợp.
Định nghĩa 1.13. Dãy điểm {x

n
} của không gian định chuẩn X g ọi là
hội tụ tới điểm x ∈ X nếu lim
n→∞
x
n
− x = 0 kí hiệu lim
n→∞
x
n
= x hay
x
n
→ x (n → ∞) .
Dựa vào định nghĩ a d ễ dàng chứng minh một số tính chất đơ n gi ản sau
đây :
1) Nếu dãy {x
n
} hội tụ tới x thì dãy c huẩn (x
n
) hội tụ tới x. Hay
nói cách khác, c huẩn . là một hàm giá trị thực liên tục theo biến x.
2) Nếu dãy điểm {x
n
} hội tụ tron g không gian định chuẩn X, thì dãy
chuẩn tương ứng bị chặn (x
n
) .
3) Nếu dãy điểm {x
n

} hội tụ tới x, dãy điểm {y
n
} hội tụ tới y trong không
gian định chuẩn X, dãy số {α
n
} hội tụ tới α, thì:
x
n
+ y
n
→ x + y (n → ∞) , α
n
x
n
→ αx (n → ∞) .
Định nghĩa 1.14. Dãy điểm {x
n
} trong không gian định ch uẩn X gọi là
dãy cơ bản nếu:
lim
m,n→∞
x
n
− x
m
 = 0.
19
Định nghĩa 1.15. Không gian định chu ẩn X gọi là khôn g gian Banach nếu
mọi dãy cơ bản trong X đều h ội tụ.
Nhờ nguyên l ý làm đầy không gian mêtric và mêtric (1.14) mọi không

gian định chuẩn là không gian mêtric đều có thể làm đầy thành không gian
Banach.
1.2.2. Ví dụ
Ví dụ 1.12. Đối với số thực bất kỳ x ∈ R ta đặt :
x = |x| (1.15 )
Nhờ các tính chất về giá trị tuyệt đối của số thực, công thức (1.15) cho
chuẩn trên R. Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là R
1
là không gian
Banach.
Ví dụ 1.13. Cho không gian vectơ k chiều E
k
, trong đó :
E
k
= {x = (x
1
, x
2
, x
k
) : x
j
∈ R hay x
j
∈ C}
đối với bất kỳ x = (x
1
, x
2

, , x
k
) ∈ E
k
ta đặt:
x =




k

j=1
|x
j
|
2
(1.16 )
Từ công thức x = d (x, θ) và hệ tiên đề mêtric suy ra công thức (1.16) cho
một chuẩn trên E
k
. Không gian đị nh chuẩn tương ứng ký hiệu E
k
. Dễ dàng
thấy E
k
là không gian Banach.
Ví dụ 1.14. Cho không gian vectơ l
2
. Đối với vectơ bất kỳ x = (x

n
) ∈ l
2
ta
đặt:
x  =




∞

n=1
|x
j
|
2
(1.17 )
Từ công thức x = d (x, θ) và hệ tiên đề mêtric suy ra công thức (1.17) cho
chuẩn trên l
2
. Không gian chuẩn tương ứng ký hiệu là l
2
. Dễ dàng thấy l
2
là
không gian Banach.
20
Ví dụ 1.15. Cho khôn g gian vectơ C
[a,b]

. Đối với hàm số bất kỳ x (t) ∈ C
[a,b]
ta đặt:
x = max
a≤t≤b
|x (t)| (1.18 )
Nhờ công thức x = d (x, θ) và hệ tiên đề mêtric suy ra công thứ c (1.18)
cho chu ẩ n trên C
[a,b]
. Không gian đị nh chuẩn tương ứ ng ký h iệu là C
[a,b]
. Dễ
thấy C
[a,b]
là không gian Banach.
Ví dụ 1.16. Cho không g i an vec t ơ L
[a,b]
. Đối với hàm số bất kỳ x (t) ∈ L
[a,b]
ta đặt:
x =
b

a
|x (t)|dt (1.19 )
Từ công thức x = d (x, θ) và hệ tiên đề mêtric suy ra công thức (1.19) cho
một chuẩn trên L
[a,b]
. Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là L
[a,b]

. Dễ
dàng thấy L
[a,b]
là không gian Banach.
1.2.3. Định nghĩa toán tử tuyến tính bị chặn
Định nghĩa 1.16. Cho hai không gian tuyến tính X và Y. Trên trường P
(P là trường số thực R hoặc số ph ức C). Ánh xạ A từ k hông gian X và không
gian Y gọi là tuyến tính nếu ánh xạ A thoả mãn các điều kiện:
1. (∀x, x
,
∈ X) A (x + x
,
) = Ax + Ax
,
;
2. (∀x ∈ X) (∀α ∈ P) Aαx = αAx.
Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử t uyến tính. Khi toán tử A chỉ
thoả mãn điều kiện 1 thì A gọi là toán tử cộng tính, còn khi toán tử A chỉ
thoả mãn điều ki ện 2 thì A gọi là toán tử thuần nhất. Khi Y = P thì toán
tử tuyến tính A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.17. Cho không gian định chuẩn X và Y. Toán tử tuyến tính
A từ không gian X vào không g i an Y gọi là bị c hặn, nếu tồn tại h ằng số
c > 0 sao cho:
Ax ≤ c x ∀x ∈ X. (1.20 )
Định nghĩa 1.18. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định
21
chuẩn X vào không gian định chu ẩn Y. Hằng số c > 0 nhỏ nhất thoả mãn
hệ thức (1.20) gọi là chuẩ n của toán tử A và ký hiệu là A.
Từ định nghĩa dễ dàng thấy chuẩn của toán tử có các tí nh chất:
1. (∀x ∈ X) Ax ≤ A. x;

2. (∀ε > 0) (∃x
ε
∈ X) (A −ε) x
ε
 < Aε.
1.3. Không gian tôpô
Định nghĩa 1.19. C ho X là một tập hợp khác rỗng. Một họ T các tập con
của X đư ợc gọi là một t ôpô trên X nếu nó thoả mãn các t í nh chất s au:
P
1
. ∅, X ∈ T ;
P
2
. D
1
, D
2
∈ T ⇒ D
1
∩ D
2
∈ T ;
P
3
. D
i
∈ T, i ∈ I ⇒
∪
i∈I
D

i
∈ T
Cặp (X, T ) khi đ ó được gọ i là không gian tôpô. Ta thường viết X thay cho
(X, T ) .
Giả s ử T
1
và T
2
là hai tôpô trên X. Nếu T
1
⊆ T
2
ta nói T
1
yếu hơ n T
2
hay
T
2
mạnh hơn T
1
và viết T
1
≤ T
2
.
Ví dụ 1.17. Cho X là khô ng gi a n mêtric vớ i khoảng cách d. Nhớ lại rằng
trong một không gian mêtric ta đã định nghĩa tập “mở” A là tập mà mọi
điểm x thuộc A đều có một hình cầu chứa x nằm trọn trong A. Khi đó họ
tất cả các tập “mở” trong không gian mêtric X là một tôpô trên X. Như vậy

mọi không gian mêtric là không gian tôpô và tôpô s i nh bởi khoảng cách của
X.
Ví dụ 1.18. C ho X là một tập khác rỗng . T = {∅, X} là một tôpô trên X.
Tôpô này gọi là tôpô tầm thường trên X.
Ví dụ 1.19. Họ tất cả các tập con của X = ∅ cũng là một tôpô trên X. Tôpô
này gọi là tôpô rời rạc trên X.
Ví dụ 1.20. Trên một tập X = ∅, xét họ T các tập con của X được định
nghĩa như sau:
D ∈ T
đn
⇔
D = ∅ h oặc D = X hoặc X\D
22
là một tập hữu hạn. Khi đó T là một tôpô trên D.
Thật vậy, nếu D
1
, D
2
∈ T \{∅} thì X\D
1
, X\D
2
là n hững t ập hữ u hạn
phần tử, do đó X\(D
1
∩ D
2
) = (X\D
1
) ∪(X \D

2
) cũn g là tập hữu hạn phần
tử vậy D
1
∩ D
2
∈ T (còn nế u một tro ng hai tập D
1
, D
2
bằ ng ∅ thì hiển
nhiên D
1
∩ D
2
= ∅ ∈ T ). Vậy T thoả mãn tính chất P
2
. Bây giờ giả sử
D
i
∈ T, i ∈ I, và có ít nhấ t một chỉ số i
0
để X\D
i
0
hữu hạn phầ n tử. Khi
đó:
X\
∪
i∈I

D
i
=
∩
i∈I
(X\D
i
) ⊆ X\ D
i
0
.
Vậy X\
∪
i∈I
D
i
là t ập hữu hạn phần tử. Do đó
∪
i∈I
D
i
∈ T (còn nếu D
i
=
∅, ∀i ∈ I thì ∪D
i
= ∅ ∈ T ). Vậy T thoả mãn P
3
.
Tính chất P

1
là hiển nhiên.
1.4. Tập lồi, hàm lồi
1.4.1. Tổ hợp lồi
Một đườ ng thẳng nối hai điểm (hai vectơ) a,b trong R
n
là tập hợp tất cả
các vectơ x ∈ R
n
có dạng {x ∈ R
n
\x = αa + βb, α, β ∈ R, α + β = 1}.
Đoạn thẳng nối hai điểm a và b trong R
n
là tập hợp các vectơ x có dạng
{x ∈ R
n
\x = αa + βb, α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1}.
Tập lồi là một khái niệm cơ bản nhất của giải tích lồi. Nó được định nghĩa
như sau:
Định nghĩa 1.20. Một tập A ⊆ R
n
được gọi là một tập lồi, nếu A chứa
mỗi đoạn thẳn g đi qua hai điểm bất kỳ của nó. Tức là A lồi khi và chỉ kh i
∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ A. Ta nói x là tổ hợp lồi của các
điểm vectơ x
1
, x
2
, , x

k
nếu x =
k

j=1
λ
j
x
j
, λ
j
≥ 0 , ∀j = 1, 2, k,
k

j=k
λ
j
= 1.
Tương tự x là tổ hợp aphin của các điểm (vctơ) x
1
, x
2
, , x
k
nếu:
x =
k

j=1
λ

j
x
j
,
k

j=k
λ
j
= 1.
23
Mệnh đề 1.1. Tập hợp A là lồi khi và chỉ khi nó ch ứa mọi tổ hợp lồi của
cá c điểm của nó. Tức là A lồi k hi và chỉ khi:
∀k ∈ N, ∀λ
1
, λ
2
, , λ
k
> 0 :
k

j=1
λ
j
= 1, ∀x
1
, x
2
, , x

k
∈ A
⇒
k

j=1
λ
j
x
j
∈ A.
Chứng minh. Điều kiện đủ là hiển nhiên từ định nghĩa .
Ta chứng minh điều kiện cần bằng quy nạp theo số điểm. Với k = 2 điều
kiện cần chứng minh suy ra ngay từ định ng hĩa của t ập lồi và tổ hợp lồi.
Giả sử mệnh đề đúng với k −1 điểm. Ta cần chứng minh với k điểm. Giả
sử x là tổ hợp lồi của k điểm x
1
, x
2
, , x
k
∈ A. Tức là :
x =
k

j=1
λ
j
x
j

, λ
j
≥ 0 ∀j = 1, 2, , k,
k

j=k
λ
j
= 1.
Đặt ξ =
k−1

j=1
λ
j
khi đó 0 < ξ < 1 và x =
k−1

j=1
λ
j
x
j
+ λ
k
x
k
= ξ
k−1


j=1
λ
j
ξ
x
j
+ λ
k
x
x
.
Do
k−k

j=1
λ
j
ξ
= 1 và
λ
j
ξ
> 0 với mọi j = 1 , 2, , k − 1 nên theo giả thiết quy
nạp điểm y :=
k−1

j=1
λ
j
ξ

x
j
∈ A.
Ta có x = ξy+λ
k
x
k
do ξ > 0, λ > 0, ξ +λ
k
=
k

j=1
λ
j
= 1 nếu x là tổ hợp lồi
và đóng với các phép giao phép cộng đại số và phép nhân tích Descartes.
Mệnh đề 1.2. Nếu A, B là các tập lồi trong R
n
, C là lồi trong R
m
thì các
tập sau là lồi:
A ∩B := {x\x ∈ A, x ∈ B}.
αA + βB := {x\x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R}.
A.C :=

x ∈ R
m+n
\x = (a, c) ; a ∈ A, c ∈ C


.
24
1.4.2. Định nghĩa hàm lồi và các ví dụ
Giả sử X là không gian lồi địa phương D ⊂ X, f : D → R ∪ {±∞}
Định nghĩa 1.21. Trên đ ồ t h ị (epigraph) của hàm f ký hiệu là epif được
định nghĩa:
epif = {(x, r) ∈ D × R : f (x) ≤ r}.
Định nghĩa 1.22. Miề n hữu hiệu (effective domain) của hàm f, kí hiệu
domf được định nghĩa như sau: domf = {x ∈ D : f (x) < +∞}.
Định nghĩa 1.23. Hàm f đư ợc g ọi là chính thường (proper), nế u domf = ∅
và f (x) > −∞ (∀x ∈ D).
Định nghĩa 1.24. Hàm f được gọi là lồi trên D (convex on D) nếu epif là
tập lồi trong X ×R. Hàm f đư ợc g ọi l à l õm trên D (convave on D), nếu −f
là hàm lồi trên D, f lồi ⇒ domf lồi.
Thật vậy, domf là hình chiếu trên X của epif :
domf {x : f (x) < +∞} = {x : ∃r, (x, r) ∈ epif}
như vậy, domf là ảnh của tập lồ i epif qua một ánh xạ tu yến tính. Do đó
domf lồi.
Ví dụ 1.21. Hàm effine : f (x) x
∗
, x+α (x
∗
∈ X
∗
, α ∈ R) là hàm lồi trên
X, trong đó X
∗
là không gian phiếm phàm tuyến tính liên tục trên X.
Ví dụ 1.22. Giả sử f là hàm giá trị thực khả vi liên tục hai lần trên tập lồi

mở A ⊂ R
n
. Khi đó, f lồi trên A khi và chỉ kh i ma trận Q
x
=

∂
2
f
∂x
i
∂x
j

là
bá n xác định dương (∀x ∈ A) , tức là:
z, Q
x
Z ≥ 0 (∀z ∈ R
n
, ∀x ∈ A) .
Ví dụ 1.23. Chuẩn Euclid x = x, x
1
2
=

x
2
1
+ + x

2
n

1
2
là một hàm
lồi trê n R
n
, trong đó x = ( x
1
, , x
n
) ∈ R
n
.
Ví dụ 1.24. Hàm chỉ (Indication function) δ(.\A) của tập lồi A ⊂ X là
hàm lồi
δ( x\A) =

0 khi x ∈ A
+∞ khi x /∈ A
.
25
Ví dụ 1.25. Giả sử X
∗
là khô ng gian liên hợp của X. Hàm tựa (sup-
po rt.function) δ(.\A) của tập lồi A ⊂ X
∗
là một hàm lồi:
δ( x\A) = Sup

x∗∈A
x
∗
, x.
1.5. Định nghĩa nửa liên tục dưới
Định nghĩa 1.25. 1, Hàm f được gọ i là nửa liên tục dưới (Lowersemico n-
tinuous) tại ¯x ∈ X (với m ọi f (¯x) < ∞) nếu với mọi ε > 0, tồn tại lân cậ n
U của ¯x sao cho:
f (¯x) −ε  f (y) (∀y ∈ U) (1.21 )
2, Nếu f (¯x) = +∞ thì f được gọi là nửa liên tục dưới tại ¯x, nếu với
mọi N > 0, tồn tại lân cận U của ¯x, sao cho:
f (y)  N (∀y ∈ U) (1.22 )
3, Hàm f được gọ i l à nửa liên tục dưới, n ếu f nửa liên tục dưới tại mọi
x ∈ X.
Chú ý. Nếu thay (1.21) và (1.22) tương ứng (1.23) và (1.24) ta được
định nghĩa hàm nửa liên tục tại x :
f (y)  f (¯x) + ε (∀y ∈ U) khi f (¯x) < +∞; (1.23)
f (y)  −N (∀y ∈ U) khi f (¯x) = −∞. (1.24 )