Nguyên Lý Maximum và ứng dụng (LV00185)

- 1 -
Lời cảm ơn

Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành nhờ sự hớng dẫn tỉ mỉ, chu đáo
và tận tình của PGS .TS .NGƯT Nguyễn Huy Lợi, ngời thầy đã hớng dẫn và
chỉ bảo cho tác giả những kiến thức và kinh nghiệm quý báu trong học tập và
nghiên cứu khoa học. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới
PGS .TS .NGƯT Nguyễn Huy Lợi.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, các
thầy, cô trong Tổ Giải tích của Khoa toán Trờng Đại học S phạm Hà Nội 2
đã tạo điều kiện thuận lợi trong thời gian tác giả học tập và nghiên cứu tại
trờng.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Sở GD - ĐT tỉnh Vĩnh Phúc, Phòng Giáo
dục thị xã Phúc Yên, Trờng THCS Đồng Xuân đã tạo điều kiện thuận lợi để
tác giả học tập và hoàn thành tốt luận văn.
Do điều kiện thời gian và khả năng của bản thân còn nhiều hạn chế nên
luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong các thầy, cô cùng các bạn
nhận xét và góp ý kiến để luận văn đợc hoàn thiện hơn.

Hà Nội, tháng 9 năm 2008
Tác giả

Đinh Thị Bích Vân


- 2 -

Lời cam đoan

Trong quá trình nghiên cứu luận văn: Nguyên lý maximum và ứng
dụng đã giúp tác giả tìm hiểu sâu hơn bộ môn giải tích phức đặc biệt đó là

những nguyên lí cơ bản của hàm giải tích và ứng dụng của nguyên lý
maximum. Qua đó cũng giúp tác giả bớc đầu làm quen với công tác nghiên
cứu khoa học.
Tác giả xin cam đoan luận văn đợc hoàn thành do sự cố gắng tìm tòi,
nghiên cứu của bản thân dới sự hớng dẫn chỉ bảo của PGS.TS.NGƯT
Nguyễn Huy Lợi cũng nh các thầy, cô Phòng Sau đại học, Tổ Giải tích của
Khoa toán Trờng Đại học S phạm Hà Nội 2.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã tham khảo và kế thừa các thành
quả khoa học, nghiên cứu của các đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 9 năm 2008
Tác giả


Đinh Thị Bích Vân






- 3 -
Mục lục

Mở đầu
5
Chơng1: nguyên lý maximum
6
1.1. Khái niệm hàm biến phức
6

1.1.1. Khái niệm về hàm biến phức
6
1.1.2. Sự liên tục và liên tục đều của hàm biến phức
6
1.2. Hàm hàm chỉnh hình (hay hàm giải tích)
7
1.2.1.Đạo hàm
7
1.2.2. Hàm chỉnh hình
11
1.3 Tích phân của hàm số biến số phức


12
1.3.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản
12
1.3.2. Ví dụ
13
1.3.3. Các tính chất cơ bản
14
1.4. Tích phân Cauchy
14
1.4.1.Định lý Cauchy cho miền đơn liên
14
1.4.2.Định lý Cauchy mở rộng trên biên
17
1.4.3.Định lý Cauchy cho miền đa liên
18
1.4.4.Công thức tích phân Cauchy
19

1.5. Tích phân loại Cauchy
21
1.5.1. Nguyên hàm của hàm số biến số phức
24
1.5.2.Định lý đảo của định lý Cauchy
26
1.6. Nguyên lý maximum


27
1.6.1.Định lý giá trị trung bình
27
1.6.2.Nguyên lý maximum
28
1.6.3. Dạng mạnh của nguyên lý maximum
30


- 4 -

Chơng 2: ứng dụng của nguyên lý maximum

34

2.1. ứng dụng nguyên lý maximum để giải quyết những vấn đề về lý
thuyết
34
2.1.1.Đánh giá mođun trên và dới của hàm chỉnh hình
34
2.1.2.

ứ
ng dụng cho hàm điều hòa và điều hòa dới

48
2.2. Một số ứng dụng khác


55
2.2.1. Độ tăng của hàm nguyên
55
2.2.2.
ứ
ng dụng nguyên lý maximum cho phơng trình đạo hàm riêng
elliptic cấp hai


57

2.2.3.
ứ
ng dụng nguyên lý maximum cho phơng trình truyền nhiệt và cho
lớp phơng trình parabolic cấp hai


59

2.2.4.
ứ
ng dụng đối với bài toán Dirichlet

66
2.2.5.
ứ
ng dụng đối với bài toán Nôiman tổng quát

68
2.2.6. Cách giải bài toán Dirichlet bằng phơng pháp sai phân hữu
hạn


69

2.2.7. Cách giải phơng trình sai phân bằng phơng pháp xấp xỉ liên
tiếp


73

2.2.8. Nguyên lý maximum đối với gradient
75
2.2.9. Định lý Karleman về tính duy nhất của thác triển
78
Kết luận
Tài liệu tham khảo
80
81

- 5 -
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Qua quá trình học tập các môn của chuyên ngành toán giải tích, tôi thấy
đề tài về nguyên lý maximum (hay nguyên lý cực đại), là một đề tài khá phù
hợp đối với mình. Tìm hiểu về nguyên lý maximum chúng ta không chỉ nắm
đợc kiến thức giải tích một cách hệ thống, mà chúng ta còn có thể tìm hiểu
đợc những ứng dụng của nó trong giải toán, trong vật lý và một số kiến thức
trong thực tiễn. Qua nghiên cứu về nguyên lý maximum tôi nhận thấy mình
hiểu biết về kiến thức giải tích ở phổ thông một cách rõ ràng, sâu rộng hơn
trớc rất nhiều. Điều này có đóng góp lớn trong công việc giảng dạy của tôi.
2. Mục đích nghiên cứu
Tổng hợp các kiến thức về nguyên lý maximum và các ứng dụng của nó
trong lý thuyết và trong thực tiễn.
3. Đối tợng nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu nguyên lý maximum và vận dụng các kiến
thức đó để giải quyết một số vấn đề về lý thuyết, vật lý và thực tiễn.
Luận văn gồm phần mở đầu, hai chơng, kết luận và tài liệu tham khảo.
Chơng 1: Nguyên lý maximum
Chơng 2: ứng dụng của nguyên lý maximum
4. ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Nghiên cứu sâu một khái niệm quan trọng của toán học, nâng nó thành
đề tài nghiên cứu theo nghĩa nghiên cứu và đề xuất các ứng dụng của nó trong
giải quyết các vấn đề lý thuyết, vật lý, thực tiễn và giải toán.
Luận văn là tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên, học viên cao học
và ngời yêu thích toán về hệ thống các vấn đề lý thuyết và ứng dụng của
nguyên lý maximum.

- 6 -
Chơng 1

nguyên lý maximum
1.1. Khái niệm hàm biến phức
1.1.1. Khái niệm về hàm biến phức
Định nghĩa 1.1. Giả sử

là một tập tùy ý cho trớc. Một hàm biến phức
trên

với giá trị phức là một ánh xạ
:f
. Hàm nh vậy đợc ký hiệu
( )w f z
,
z
.
Đặt
z x iy
. Khi đó, tách phần thực và phần ảo của hàm f ta đợc:
( ) ( , ) ( , )f z u x y i x y



trong đó
( , )u x y
và
( , )x y

là các hàm của hai biến thực
,x y
, gọi tơng ứng

là phần thực và phần ảo của hàm
f
. Ký hiệu
Reu f
,
Im f



1.1.2. Sự liên tục và liên tục đều của hàm biến phức
Cho hàm
f
xác định trên tập hợp tùy ý

với giá trị trong

và
0
z
là điểm tụ của

(
0
z
hữu hạn hay là điểm xa vô tận).
Định nghĩa 1.2. Số phức
a
đợc gọi là giới hạn của hàm
f

khi
0
z z

và viết

0
lim
z z
f z a


, nếu với mọi lân cận
V
của
a
tồn tại lân cận
U
của
0
z

sao cho
( )f z V
với mọi
z U
,
0
z z
.

Khi
0
z
là hữu hạn thì

0
lim
z z
f z a


, có nghĩa là
0


,
0


,
z
,
0
0 z z


thì
( )f z a

.
Định nghĩa 1.3. Ta nói rằng hàm số w = f(z) liên tục tại điểm
0
z

, nếu một
trong hai điều kiện sau đây đợc thỏa mãn:
i)
0
z
là điểm cô lập của

.
ii) Nếu
0
z
không là điểm cô lập của

thì

0
0
lim ( )
z z
f z f z


.
- 7 -
Nếu

( )f z
liên tục tại mọi điểm
z
thì ta nói rằng
( )f z
liên tục trên
tập hợp

.
Định nghĩa 1.4. Hàm số
( )w f z
đợc gọi là liên tục đều trên

, nếu với
mỗi
0


,
0


sao cho với mọi cặp số phức
1
z
,
2
z
bất kỳ thoả mãn bất
đẳng thức

1 2
z z


;
1
,
z


2
,
z

thì
1 2
( ) ( )f z f z


.
1.2. Hàm chỉnh hình (hay hàm giải tích)
1.2.1. Đạo hàm
Định nghĩa 1.5. Cho hàm số
)(zf
xác định trong miền
D
,
)(zf
đợc gọi là
khả vi tại

Dz

0
, nếu tồn tại giới hạn


z
zfzzf
z



)(
lim
00
0
(1.1)
và ta nói rằng hàm
f
có đạo hàm tại
0
z
,
kí hiệu:

z
zfzzf
zf
z

00
0
0
lim)( (1.2)
là đạo hàm của
f
tại điểm
0
z
.
Hàm
f
đợc gọi là khả vi trên miền
D
nếu nó khả vi tại mọi điểm
Dz
.
Ví dụ 1.1.
1) Hàm
)(zf
=
2
z
khả vi tại mọi
z C
.

Thật vậy, lấy điểm
z C
bất kì. Xét


z 0
f z z f(z)
lim
z



=
2 2
0
( )
lim 2
z
z z z
z
z





Vậy
'
( ) 2f z z

2) Hàm
)(zf
=
zz
chỉ khả vi tại điểm
0
0
z

.
Thật vậy, ta lập tỉ số

0 0
( ) ( )f z z f z
z


=
- 8 -
=
0 0
0 0
z z z z z z z
z z z
z z




Tại

0
0
z

, ta có


z
zfzzf
z



)(
lim
00
0
=0=
'
(0).
f

Bây giờ, giả sử
0
0
z

, vì
0 0
0

lim( )
z
z z z


, còn
0
z
z
z


không có giới hạn khi
0
z

nên hàm
f
không khả vi tại bất kỳ điểm
0
0
z

nào.
Nhận xét : Mọi hàm khả vi tại điểm
0
z
thì liên tục tại điểm đó .
Do định nghĩa đạo hàm 1.5 hoàn toàn tơng tự với f(z), g(z) hàm số biến
số thực nên ta dễ dàng chứng minh các tính chất sau:

Định lý 1.1.Nếu các hàm
)(zf
và
)(zg
khả vi theo nghĩa phức tại điểm
z
thì
các hàm
)0)((,
)(
)(
,)().(,)()( zg
zg
zf
zgzfzgzf
cũng khả vi tại
z
và
i)

)()()()( zgzfzgzf







ii)
)()()()())().(( zgzfzgzfzgzf

iii)

2
)(
)().()().(
)(
)(
zg
zfzgzgzf
zg
zf

Nếu hàm
)(zf
khả vi tại
0
z
và
)(zg
khả vi tại
0 0
( )w f z
thì hàm

)(zfg
khả
vi tại
0
z
và
iv)

00
)( zfgzfg



.
Ta đã biết rằng hàm số biến số phức và hàm số biến số thực có liên hệ
với nhau. Tuy nhiên khi xét về tính khả vi thì sự liên hệ đó đợc hiểu nh thế
nào ? Định lý sau đây trả lời câu hỏi đó.

Định lý 1.2.(Cauchy- Riemann). Cho hàm số
( ) ( , ) ( , )f z u x y i x y


xác
định trong lân cận của điểm
0 0 0
z x iy
. Giả sử
,u

khả vi theo nghĩa thực tại
điểm
0
z
, khi đó điều kiện cần và đủ để hàm
f
khả vi tại điểm
0
z
là
- 9 -

0
z
u
x y
u
y x

(Điều kiện Cauchy-Rieman)
Chứng minh.
Cần. Vì
f
khả vi tại
0
z
nên tồn tại giới hạn


0 0
0
( )
lim
z
f z z f z

z



=
'
0
( )f z

Rõ ràng giới hạn này tồn tại không phụ thuộc vào hớng dần về 0 của
z
.
Chọn
z
=
x
(
y
=0), ta có:

'
0
( )f z
=

0 0
0
( )
lim

x
f z x f z
x

=

0 0 0 0
0 0 0 0
0
( , ) ( , )
( , ) ( , )
lim
x
u x y i x y
u x x y i x x y
x x











=

0 0 0 0
0
( , ) ( , )
lim




x
u x x y u x y
x
0 0 0 0
0
( , ) ( , )
lim
x
x x y x y
i
x





0 0 0 0
( , ) ( , )
u
x y i x y
x y

(1.3)
Tơng tự, chọn
z
=i
y
(
x
=0), ta có:
'
0
( )f z
=
0 0 0 0
0
( , ) ( , )
lim




y
u x y y u x y
i y

+
0 0 0 0
0

( , ) ( , )
lim
y
x y y x y
i
i y





0 0 0 0
( , ) ( , )
u
i x y i x y
x y




(1.4)
Từ (1.3) và (1.4), ta suy ra:
- 10 -

0
z
u
x y
u
y x



 



 


 

 

 


§ñ. Theo gi¶ thiÕt hµm
,u

kh¶ vi t¹i
 
0 0
,x y
nªn ta cã:
0 0 0 0
( , ) ( , ) ( )
 
          
 
u u

u x x y y u x y x y z
x y


0 0 0 0
( , ) ( , ) ( )x x y y x y x y z
x y
 
  
 
          
 

trong ®ã
0
( )
lim
 


z
z
z

=
0
( )
lim
 



z
z
z

=
0
.
XÐt

0 0
( ) ( )
f z z f z u i

      


( ) ( )( ).
u u u
x y i x y i z
x y y y

 
   
          
   

Do
,u


tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Cauchy-Riemann, nªn
0 0
( ) ( ) ( )( ) ( )( ).
u
f z z f z i x i y i z
x x

 
 
          
 

Chia hai vÕ cho
z
ta ®îc:

0 0
( )( )
( ) ( ) ( )
i z
u
f z z f z i
x x z
 

 
 
     
  

v×
 
2 2
0 0
( )
lim lim
   
 


 
z z
i z
z z
 
 


   
0
lim( ) 0
 
 
  
 
z
z z
z z
 
.

- 11 -
Vậy

0 0
0
( )
lim
z
f z x f z
u
i
z x x







nghĩa là
'
0 0 0 0 0
( ) ( , ) ( , )
u
f z x y i x y
x x

(1.5)
Từ điều kiện Cauchy-Riemann, công thức (1.5) còn đợc viết dới dạng

'
0
( )



u u
f z i
x y


'
0
( )
f z i
x y




(1.6)

'
0
( )
u

f z i
y y





Các công thức (1.5), (1.6) cho ta tính đạo hàm của hàm số biến số phức
nhờ các hàm số biến số thực. Phơng pháp tính đạo hàm này đã đợc biết
trong phần phép tính vi phân của hàm số nhiều biến số.
Trong nhiều trờng hợp, các hàm
,u

đợc cho theo các biến
,r

lần
lợt là bán kính cực và góc cực trong toạ độ cực. Khi đó điều kiện Cauchy-
Riemann trở thành

u
r
r
u
r
r

(1.7)
1.2.2. Hàm chỉnh hình ( hay hàm giải tích )
Định nghĩa 1.6.(Hàm chỉnh hình). Hàm
f
xác định trên miền
D
đợc gọi là
giải tích tại
0
z D
nếu tồn tại


lân cận của
0
z
chứa trong

D
sao cho
f
khả
vi trong lân cận đó.
- 12 -
Ví dụ 1.2. Hàm
2
( )
1
z
f z
z


giải tích tại mọi điểm

\ . z C i
Hàm
f
xác
định trên miền
D
đợc gọi là giải tích trên
D
nếu nó giải tích tại mọi
.z D

Nhận xét :
1. Hàm

)(zf
giải tích tại điểm
0
z
thì khả vi tại điểm đó. Tuy nhiên điều ngợc
lại nói chung không đúng. Ví dụ: Hàm
( ) .f z z z
khả vi tại điểm
z 0

nhng không giải tích tại điểm đó.
2. Trên miền
D
(mở) hàm
)(zf
giải tích trên
D
khi và chỉ khi
f
khả vi trên
đó.
1.3. Tích phân của hàm số biến số phức
1.3.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản
Định nghĩa 1.7. Cho

là đờng cong Jordan, trơn từng khúc và hai đầu mút
ba,
. Trên

cho hàm số

)(zf
, chia

thành n phần bởi các điểm chia
1 2 1
, ,
n
a z z z b


(Các điểm chia đợc cho theo chiều tăng của tham số),
trên mỗi cung
1kk
zz
lấy điểm
k

bất kì
( 1,2,3, , 1)
k n


Lập tổng
1
1
( )( )
n
n k k k
k
S f z z

(1.8)
n
S
gọi là tổng tích phân.Tổng trên tồn tại khi
1
1
k k
k n
d max z z



dần đến
0
,
không phụ thuộc vào cách chia đờng cong

và cách chọn
k

, thì giới hạn đó
đợc gọi là tích phân của hàm
)(zf
dọc theo đờng cong

.
Kí hiệu:
1
0
1
( ) lim ( )( )
n
k k k
d
k
f z dz f z z








(1.9)
Sự tồn tại của tích phân trên tơng đơng với sự tồn tại của tích phân của hai
hàm số biến số thực.
Thật vậy: Đặt
( ) ( , ) ( , )f z u x y i x y


;
k k
z x iy
;

1
.
k k k
z z z x i y



- 13 -

k k k
z i


;
( , )
k k k
u u


;
,
( )
k k k


.
Khi đó (1.8) có thể viết dới dạng:

1
n
n k k k k
k
S u i x i y







1 1
n n
n k k k k k k k k
k k
S u x y i u y x




(1.10)
Vế phải của (1.10) là tổng của các tích phân đờng loại hai tơng
đơng sự tồn tại
0
n
d
lim S

, kéo theo sự tồn tại của các tổng tích phân ở vế phải

và ta có:


( ) ( )f z dz udx dy i udy dx




(1.11)
Bây giờ nếu ta xem đờng cong

cho dới dạng tham số thì hàm

zf

đợc biểu diễn dới dạng hàm số phức của biến số thực.


( ) ( ) ( )t f z t t i t




;


,

t
(1.12)

( ) ( ) ( )t dt t dt i t dt





(1.13)
hoặc

/
( ) ( )f z dz f z t z t dt






(1.14)
Trong đó:
( ) ( )z t t


với

a


và

b


.
1.3.2.Ví dụ
Ví dụ 1.3. Tính tích phân


dzz
, trong đó

là đoạn thẳng nối
0z
và
iz

2
.
Giải:áp dụng công thức (1.11) ta có

zdz xdx ydy i xdy ydx



.
Phơng trình của

là
2
x

y
,

0;2
x

suy ra

2 2 2
0 0 0
5 5
2 2 2 2 4 2
x dx dx x
zdz xdx i x dx xdx







- 14 -
Ví dụ 1. 4. Tính tích phân



az
dz
,

là đờng tròn tâm
a
bán kính
r
.
Giải: Phơng trình tham số của

là
it
reatz )(
,


2;0

t

áp dụng công thức(1.14), ta có
2
0
2
it
it
dz ire
dt i
z a re

1.3.3.Các tính chất cơ bản
*) Giả sử


là đờng cong

với hớng dơng cho trớc (thờng ta cho theo
chiều tăng của tham số ) còn


là

với hớng ngợc lại . Khi đó:

( ) ( )f z dz f z dz




(1.15)
*)Nếu
f
và g là các hàm số liên tục trên đờng cong

và a, b là các hằng số
phức thì :

( ) ( ) ( ) ( )af z bg z dz a f z dz b g z dz



(1.16)
*)Giả sử
21
,

là hai đờng cong Jordan trơn, sao cho
)(t
k

xác định trên

kk

,


1,2,3,
k
và
21


khi đó với
21

, ta có:

1 2
( ) ( ) ( )f z dz f z dz f z dz



. (1.17)
*)Đối với hàm
f
bất kì liên tục trên

trơn, ta luôn có:

( ) ( ) ( )f z dz f z dz f z dz



(1.18)
trong đó
2 2
dz dx dy

là vi phân cung.

1.4. Tích phân Cauchy
1.4.1. Định lý Cauchy cho miền đơn liên
Giả sử hàm số
)(zf
giải tích trên miền đơn liên, hữu hạn

D
. Khi đó với
mọi đờng cong Jordan trơn (hoặc trơn từng khúc), kín

chứa trong
D
, ta có:

( ) 0
f z dz



.
- 15 -
Chứng minh.Giả sử

là biên của tam giác

, ta chứng minh:

( ) 0
f z dz



.

Hình 1
Đặt

( ) .


M f z dz


Chia tam giác

thành 4 tam giác bằng nhau, ta có:

4
1
( ) ( )




k
M f z dz f z dz


Trong đó
k

là biên của các tam giác mới.
Từ bất đẳng thức trên, suy ra tồn tại một tam giác mà ta kí hiệu
1

sao cho

1
( )
4
M
f z dz



với
1 1



Tiếp tục quá trình nh trên ta đợc một dãy các tam giác

n

sao cho

1

n
,

với chu vi bằng độ dài cung của

chia cho 2
n
. Gọi số đó là

1
2
n
và

( )
4
n
n
M
f z dz





- 16 -
Theo định lý dãy hình cầu đóng lồng vào nhau với đờng kính dần về 0, ta có:


0
1
n
n
z




.

Vì hàm
)(zf
giải tích tại điểm
0
z
D
nên với mọi

> 0, tồn tại
0


sao cho
với mọi
.z D
mà
0
z z


kéo theo

'
0
0
0
( ) ( )
( ) ( )

f z f z
z f z
z z


hay

'
0 0 0 0
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ), f z f z f z z z z z z


trong đó
0
lim ( ) 0
z z
z



.
Hơn nữa

' '
0 0 0 0
( ) ( ) ( ( ) ( )) ( )
n n n n
f z dz f z dz z f z f z dz f z zdz

'
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )
n n n
f z dz f z dz f z z z dz




(Vì tích phân của hàm
1
( ) 1
g z
và
2
( ) g z z
trên
n

đều bằng không).
Mặt khác, với n đủ lớn ta luôn luôn có:


0
/
n

z C z z


.
Khi đó:

2
0 0
( ) ( )( ) ( )
4 4
n n
n n n
M l
f z dz z z z dz z z z dz





.
Từ bất đẳng thức trên ta suy ra
0
M

.
Vậy

( ) 0
f z dz

.
Nếu

là biên của một đa giác P, thì ta chia đa giác đó thành các hình
tam giác và do tính định hớng của các biên của các tam giác, ta suy ra:
- 17 -

1
( ) ( ) 0
n
k
k
f z dz f z dz





.
trong đó
k

là biên của tam giác.
Nếu

là đờng cong kín bất kỳ, thì dùng bổ đề Goursat, ta đợc:

( ) ( ) ( )

P
f z dz f z dz f z dz



Vậy

( ) 0
f z dz






1.4.2.Định lý Cauchy mở rộng trên biên
Nếu
)(zf
là hàm giải tích trên miền đơn liên, hữu hạn D và liên tục trên
biên của miền D, thì
( ) 0
D
f z dz

Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta giả sử miền D có tính chất: Tồn tại
điểm
0
z
D
sao cho mọi tia xuất phát từ điểm
0
z
chỉ cắt biên của D tại một
điểm. Và ta có thể giả sử
0
0
z

. Khi đó
D
có phơng trình:


( ) ( ) , 0,2
it
z z t r t e t



Gọi


là đờng cong có phơng trình:

( ), 0,1 .
z t



Theo định lý Cauchy, ta có:
( ) 0
f d





.
Suy ra

( ) ( ) 0
D D
f z d z f z dz





hay

( ) ( ( ) ( )) .
D D
f z dz f z f z dz

Vì
)(zf
liên tục trên
D D D
nên nó liên tục đều trên đó, nghĩa là: với mọi
0,


tồn tại
0


sao cho với mọi
,
z D


mà
- 18 -


z

ta có
( ) ( ) .
f z f

l



Suy ra

( ) ( ) ( )
D D
f z dz f z f dz





(Chọn

sao cho


0,2
1 , ( )
t
r max r t
r




).
Vậy

( ) 0
D
f z dz







Hình 2

1.4.3. Định lý Cauchy cho miền đa liên
Giả sử hàm số
)(zf
giải tích trên miền
D
hữu hạn, đa liên với biên là
0 2


n

và
)(zf
liên tục trên

DD
. Khi đó

( ) 0
f z dz



.
Chứng minh.
Để đơn giản mà không mất tính tổng quát, ta đa về trờng hợp miền
nhị liên với biên là
0 1


.
- 19 -

Hình 3
Nối
0

với
1

bởi đoạn l. Khi đó trên miền
\D D l


hàm
( )f z
thoả mãn
điều kiện của định lí Cauchy suy rộng trên biên, nên:

( ) 0
D
f z dz




, trong đó
0
D l l




Suy ra:

0 1
( ) ( ) ( ) ( ) 0
l l
f z dz f z dz f z dz f z dz





Vậy

0 1
( )

f z dz


( ) 0
f z dz






1.4.4. Công thức tích phân Cauchy
Giả sử hàm số
)(zf
giải tích trong miền hữu hạn đơn liên
D
và
0
z D
,
còn

là đờng cong Jordan, trơn, kín bất kì bao quanh
0
z
và nằm trong
D

.
Khi đó ta có công thức tích phân Cauchy:

0
0
1 ( )
( )
2
f
f z d
i z







.
Hơn nữa, nếu
)(zf
liên tục trên biên của
D
thì với mọi
z D
, ta có:

0
1 ( )
( )

2




D
f
f z d
i z



.

- 20 -
Chứng minh.Gọi
D

là miền giới hạn bởi đờng cong

. Theo giả thiết
0
z D


. Chọn
0
r

Khá bé sao cho

0r
B z z r D


.
Gọi
D

là miền giới hạn bởi

và C là đờng tròn tâm
0
z
bán kính r

Hình 4
Theo định lý Cauchy, ta có:

0
0
( ) ( )
0






C

f f z
d
z





Hay

0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
C
f f z f f z
d d
z z








(1.19)
Xét

0 0
0 0

( ) ( ) ( ) ( )
C C
f f z f f z
d
z z







. (1.20)
Do hàm
f
giải tích tại
0
z
, nên:
0
0
( ) ( )

f f z
z



bị chặn trong lân cận của
0

z
, nghĩa là:
0
0
( ) ( )


f f z
M
z


, với
r
đủ bé. Từ
(1.20) suy ra:

0
0
( ) ( )
2




C
f f z
M r
z

Vì r bé tuỳ ý và do (1.19), nên:
- 21 -

0
0
( ) ( )
0
f f z
d
z









hay

0
0 0
( ) ( )

f f z
d d
z z





Mặt khác ta có:

0 0
0
0 0
( ) ( )
( )2



C
f z f z
d d f z
z z




Vậy

0
0

1 ( )
( )
2
D
f
f z d
i z







.


Mệnh đề thứ hai đợc suy ra từ mệnh đề thứ nhất bằng cách áp dụng
định lý Cauchy mở rộng cho biên.
Chú ý:
1) Nếu

không bao quanh
0
z
thì
0
( )
0

f
d
z




.
2) Công thức tích phân Cauchy vẫn đúng cho miền đa liên, hữu hạn.

1.5. Tích phân loại Cauchy
Tích phân loại Cauchy nói nên rằng giá trị tại một điểm
0
z D
của hàm
giải tích phụ thuộc vào giá trị trên biên. Tuy nhiên hàm
)(zf
không đòi hỏi
giải tích trên biên mà chỉ cần liên tục mà thôi. Vì vậy vấn đề tự nhiên đợc đặt
ra là phải nghiên cứu tính chất của hàm xác định bởi hệ thức sau:

1 ( )
( )
2



l
F z d

i z



(1.21)
Trong đó l là đờng cong Jordan, trơn ( hoặc trơn từng khúc),

là hàm liên
tục trên l. Hàm
( )F z
xác định bởi (1.21) gọi là tích phân loại Cauchy.
- 22 -
Định nghĩa 1.8.
Giả sử

là một đờng cong Jordan trơn từng khúc (có thể kín hoặc
không kín)
)(tf
là một hàm liên tục trên
,

z
là một điểm nào đó không thuộc

, khi đó biểu thức
( )
( )
f t
t
t z

nh là một hàm số của biến số phức
,t
liên tục
trên

và do đó tồn tại tích phân
1 ( )
( )
2
f t
F z dt
i t z





là một hàm số đơn trị của
,z
đợc gọi là tích phân loại Cauchy.
Tích phân loại Cauchy có các tính chất sau:
Định lý 1.3. Nếu
( )

liên tục trên đờng cong Jordan, trơn
l
thì tích phân

loại Cauchy là một hàm giải tích trên
\C l
và có đạo hàm


'
2
1 ( )
( )
2



l
F z d
i
z




. (1.22)
Hơn nữa
( )F z
có đạo hàm mọi cấp và

( )
1
! ( )
( )

2 ( )




n
n
l
n
F z d
i z



(1.23)
Để chứng minh định lý trên ta dùng bổ đề sau:
Bổ đề 1.1. Giả sử
i l

và
\ z x iy D C l
. Giả sử nếu với mọi
l


hàm
( , )z


giải tích trên

D
;
( , )z


và
( , )


z
z

liên tục trên
l D
, thì

( ) ( , )


l
F z z d

(1.24)
Là hàm giải tích trên
D
và có đạo hàm là

'
( ) ( , )

l
F z z d
z

(1.25)
Chứng minh. Đặt

( , ) ( , , , ) ( , , , )z u x y i x y




( ) ( , ) ( , ) F z U x y iV x y

- 23 -
Theo định nghĩa tích phân, từ (1.25) ta có:

( , )
l
U x y ud d



(1.26)

( , )V x y
=

l
d ud



(1.27)
Theo giả thiết
z



liên tục, suy ra
, , ,
u u
x y x y



liên tục theo các
biến
, , , .x y


Vì vậy đối với các công thức (1.26) và (1.27) ta có thể lấy vi phân theo
x và y dới dấu tích phân. Ta có:

l l
U u u V
d d d d
x x x y x y

l l
U u u V
d d d d
y y y x x x






.
Vậy
( )F z
giải tích trên
D
. Hơn nữa
/
( )
U
F z i
x x

'
( ) ( ) ( )
l
u u
F z i d i d
x x x x








( )( ) ( , )
l l
u
i d id z d
x x z

Bổ đề đợc chứng minh.
Bây giờ ta chuyển sang chứng minh định lý.
Đặt

( 1)! ( )
( , ) ,
( )



k
k
k
z
z




, , \k N l z D C l


.
Hàm
k

thoả mãn điều kiện của bổ đề, nên ta có:

'

1
2
1 1 ( )
( ) ( , )
2 2 ( )




l l
F z z d d
i z i z




và
- 24 -

( )
1
( ) ( , )
2
n
n
l
F z z d
i z

=
1
! ( )
1
2
( )
n
l
n
d
i
z










Hệ quả 1.2. Nếu
)(zf

giải tích trên miền đơn liên
D
có biên là

, thì nó có
đạo hàm mọi cấp và đạo hàm của nó cho bởi biểu thức

( )
( )
n
f z
1
! ( )
2
( )
n
n f
d
i
z









1.5.1.Nguyên hàm của hàm số biến số phức

Dựa vào định lý Cauchy, ta có mệnh đề rất quan trọng của giải tích
phức: Tích phân của một hàm giải tích
( )f z
dọc theo đờng cong Jordan trơn
từng khúc

không phụ thuộc vào hình dạng của đờng cong mà chỉ phụ
thuộc vào điểm đầu và điểm cuối của đờng cong đó.
Thật vậy, giả sử
1

và
2

là hai đờng cong Jordan trơn từng khúc bất kì
cùng có điểm đầu là
a
và điểm cuối là
.b
Ta chứng minh rằng :

1
2
( ) ( )f z dz f z dz





(1.28)

Đờng cong
1 2

hiển nhiên là một đờng cong Jordan trơn từng
khúc kín. Do đó theo định lý Cauchy

1
2
( ) ( ) ( ) 0
f z dz f z dz f z dz




(1.29)
Từ đẳng thức (1.29) ta suy ra ngay đẳng thức (1.28).
Chính vì thế mệnh đề trên, sau này nếu
( )f z
là một hàm giải tích,

là
một đờng cong Jordan trơn từng khúc nối hai điểm
z
và
0
z
thì ta có thể dùng
kí hiệu
0
( )

z
z
f t dt

thay cho kí hiệu
.)(


dzzf
Nếu
0
z
là một điểm cố định và
z

có thể thay đổi thì tích phân
0
( )
z
z
f t dt

là một hàm số của
z
, ta viết:
- 25 -

0
( )
z

z
f t dt

( )F z
(1.30)
Định lý 1.4. Nếu hàm
( )f z
là một hàm số liên tục trong một miền đơn liên
D

và tích phân
( )f z dz


dọc theo đờng cong Jordan trơn từng khúc

chỉ phụ
thuộc vào điểm đầu và điểm cuối của

(không phụ thuộc vào hình dạng của

) thì hàm số

0
( ) ( )
z
z
F z f t dt

(1.31)
là một hàm giải tích trong
D
và
( )
( )
dF z
f z
dz

(1.32)
Chứng minh. Lấy một điểm
1
z
bất kì trong lân cận
),(

zU
của
z
và gọi

là
đoạn thẳng nối
z

với
1
z
. Ta thấy

khá nhỏ để lân cận
U(z, )
nằm trong
D
.
Theo điều kiện của định lý, ta có:

( ) ( )F z f t dt



,

1
( ) ( )F z f t dt




.
Từ hai đẳng thức này ta suy ra

1
( ) ( ) ( )F z F z f t dt



và
1

1 1
( ) ( ) 1
( )
F z F z
f t dt
z z z z






hay


1
1
1 1
( )
1
( )( )
F z F z
f z f t dt f z z z
z z z z

1 1
1 1
( ) ( ) ( ) ( )f t dt f z dt f t f z dt
z z z z







(1.33)
Vì hàm số
)(zf
liên tục đều trong tập hợp đóng
),( pzU
, nên khi


khá nhỏ thì
( ) ( )f t f z


, với
0

tuỳ ý chọn. Do đó ta có bất đẳng thức