Phép biến đổi sóng nhỏ liên tục và rời rạc

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được thực hiên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn
của TS Nguyễn Quỳnh Nga. Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng
biết ơn sâu sắc đối với cô, người đã giao đề tài và hướng dẫn tận
tình để tôi có được luận văn này. .
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường ĐHSP Hà
Nội 2, Khoa Toán, Phòng Sau đại học cũng như các thầy cô giáo đã
trang bị kiến thức, phương pháp nghiên cứu và tạo mọi điều kiện
cho tôi kết thúc tốt đẹp chương trình học cao học và hoàn thành
luận văn tốt nghiệp.
Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sao Đỏ, nơi tôi
đang công tác, đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành chương
trình học cao học.
Và cuối cùng tôi xin cảm ơn những người thân trong gia đình
của tôi đã giúp đỡ, động viên tôi rất nhiều trong suốt thời gian gian
học tập.
Hà Nội, tháng năm 2011
Tác giả
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình của nghiên cứu của
riêng tôi dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Quỳnh Nga.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa
học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết
ơn.
Hà Nội, tháng năm 2011
Tác giả
Vũ Duy Tiến
Lời nói đầu
Lịch sử của sóng nhỏ được bắt đầu vào khoảng năm 1982.
Lý thuyết sóng nhỏ là kết quả của sự nỗ lực của nhiều ngành và
góp phần đem các nhà toán học, vật lý và kỹ sư lại với nhau. Có rất

nhiều lý do cho sự thành công của lý thuyết này. Một trong số đó
là khả năng ứng dụng rộng rãi của nó. Những ứng dụng của sóng
nhỏ có mặt trong giải tích tín hiệu, kỹ thuật nâng cao chất lượng
ảnh, nén dấu vân tay, nhận dạng đối tượng, kỹ thuật giảm tiếng ồn
âm thanh,
Phép biến đổi Fourier
ˆ
f(ω) =

∞
−∞
e
−iωx
f(x)dx không chỉ là
công cụ toán học mạnh mẽ mà còn có ý nghĩa vật lý rất lớn trong
các ứng dụng. Ví dụ, nếu hàm f ∈ L
2
(R) được xét như một tín
hiệu tương tự với năng lượng hữu hạn, xác định bởi chuẩn của nó
f
2
thì biến đổi Fourier của f mô tả phổ của tin hiệu. Trong phân
tích tín hiệu, các tín hiệu tương tự được xác định trong miền thời
gian và thông tin về phổ của các tín hiệu này được cho trong miền
tần số. Công thức của biến đổi Fourier là không đầy đủ cho hầu hết
các ứng dụng. Để lấy thông tin phổ
ˆ
f(ω) từ tín hiệu tương tự f(t),
từ công thức này ta cần dùng một lượng thời gian vô hạn, dùng cả
thông tin quá khứ và tương lai của tín hiệu, chỉ để xác định phổ

duy nhất tại tần số ω. Bên cạnh đó, công thức trên thậm chí không
phản ánh được các tần số thay đổi theo thời gian
Năm 1946, Dennis Gabor, một nhà vật lý người Hungary đã
được nhận giải Nobel vật lý, đưa ra phép biến đổi Gabor nhằm khắc
phục yếu điểm trên bằng cách dùng một hàm cửa sổ địa phương hóa
thời gian g(t - b) để lấy những thông tin địa phương của phép biến
đổi Fourier của tín hiệu, trong đó tham số b được dùng để dịch
4
chuyển cửa sổ trên toàn bộ trục thời gian. Tuy nhiên, phép biến
đổi Gabor có nhược điểm là chiều rộng của cửa sổ thời gian-tần số
không thay đổi đối với mọi giá trị tần số.
Năm 1982, Jean Morlet, một nhà kỹ sư địa vật lý người Pháp,
đã đưa ra khái niệm sóng nhỏ và phép biến đổi sóng nhỏ như là một
phương tiện mới để phân tích tín hiệu địa chấn. Phép biến đổi sóng
nhỏ là một công cụ cắt các hàm, các toán tử thành những thành
phần tần số khác nhau và sau đó nghiên cứu mỗi thành phần với
độ phân giải tương ứng đối với các thang bậc của nó. Phép biến đổi
sóng nhỏ có ưu điểm hơn phép biến đổi Gabor ở chỗ cửa sổ của nó
có khả năng phóng to hay thu nhỏ, tức là cửa sổ thời gian tần số
sẽ tự động thu nhỏ với những thành phần có tần số cao và mở rộng
với những thành phần có tần số thấp. Đó là tính chất được mong
chờ nhất trong giải tích thời gian-tần số.
Trong nhiều ứng dụng, đặc biệt trong giải tích tín hiệu, dữ liệu
được biểu diễn bởi một số hữu hạn các giá trị, do đó việc nghiên
cứu mô hình rời rạc của phép biến đổi sóng nhỏ liên tục là rất quan
trọng và hữu ích. Năm 1986, I. Daubechies, A. Grossmann và Y.
Meyer đã đưa ra một nền tảng toán học cho mô hình rời rạc, được
xây dựng đặc biệt cho không gian L
2
(R) và dựa trên khái niệm

khung trong không gian Hilbert, một ý tưởng được đưa vào đầu
tiên do R.J.Duffin và A.C. Schaeffer năm 1952.
Được thu hút bởi tính thời sự và tính ứng dụng cao của sóng
nhỏ cũng như phép biến đổi sóng nhỏ, tôi quyết định chọn “ Phép
biến đổi sóng nhỏ liên tục và rời rạc” làm đề tài luận văn tốt
nghiệp.
Do sự phát triển của lý thuyết sóng nhỏ rất nhanh và do thời
gian hạn chế nên chúng tôi chỉ trình bày một số nét chính về sóng
nhỏ, các phép biến đổi sóng nhỏ liên tục và rời rạc.
Luận văn được chia thành 3 chương cùng với phần mở đầu, kết
5
luận chung và danh mục tài liệu tham khảo.
Trong chương 1, chúng tôi nhắc lại những kết quả cơ bản của
lý thuyết không gian L
p
, và phép biến đổi Fourier mà không chứng
minh các kết quả đó. Bên cạnh đó chúng tôi giới thiệu qua về khái
niệm sóng nhỏ và các ví dụ.
Ở chương 2 đề cập đến các tính chất của phép biến đổi sóng
nhỏ liên tục cũng như các ứng dụng của nó trong giải tích thời gian
tần số kèm theo các chứng minh đầy đủ, chi tiết.
Chương 3 trình bày phép biến đổi sóng nhỏ rời rạc, lý thuyết
khung trong không gian Hilbert tổng quát, khung sóng nhỏ và địa
phương hoá thời gian tần số.
Mục lục
Mở đầu 3
Chương 1. Một số khái niệm và kết quả ban đầu 7
1.1. Không gian L
p
(R), 1 ≤ p ≤ ∞ . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1. Phép biến đổi Fourier trong không gian L
1
(R) 9
1.2.2. Phép biến đổi Fourier trong không gian L
2
(R) 11
1.3. Sóng nhỏ cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Chương 2. Phép biến đổi sóng nhỏ liên tục 15
2.1. Phép biến đổi sóng nhỏ liên tục và giải tích thời gian
– tần số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Tính chất cơ bản của phép biến đổi sóng nhỏ . . . . 20
2.3. Tốc độ triệt tiêu của biến đổi sóng nhỏ . . . . . . . . 23
Chương 3. Phép biến đổi sóng nhỏ rời rạc 32
3.1. Rời rạc hoá phép biến đổi sóng nhỏ . . . . . . . . . . 32
3.2. Khung trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . 35
3.3. Khung sóng nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.1. Điều kiện cần của khung sóng nhỏ . . . . . . . 45
3.3.2. Điều kiện đủ và các đánh giá cận khung . . . 49
3.3.3. Khung đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.4. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.5. Địa phương hoá thời gian - tần số . . . . . . . 55
Chương 1
Một số khái niệm và kết quả ban
đầu
1.1. Không gian L
p
(R), 1 ≤ p ≤ ∞
Định nghĩa 1.1.
Cho p ∈ R, 1 ≤ p ≤ ∞. Ta định nghĩa không gian L

p
(R), 1 ≤
p ≤ ∞ như sau
L
p
(R) = {f : R → R (hay C): f đo được và |f|
p
khả tích }
L
p
(R) = {f : R → R (hay C): f đo được và ∃C, |f(x)| ≤ C
h.k.n}
Ký hiệu f
p
=


R
|f(x)|
p
dx

1
p
và f
∞
= inf{C : |f(x)| ≤
C h.k.n}.
Chú ý:
- L

p
(R)(1 ≤ p ≤ ∞) là không gian Banach với  · 
p
là một
chuẩn
- Nếu f ∈ L
∞
(R) thì |f(x)| ≤ f
∞
h.k.n
Định lý 1.1. (Bất đẳng thức Holder)
Cho f ∈ L
p
(R); g ∈ L
q
(R) với
1
p
+
1
q
= 1; 1 ≤ p ≤ ∞. Khi đó
f.g ∈ L
1
(R) và

|f.g| ≤ f
p
· g
q

. (1.1)
Đặc biệt, khi p = q = 2 ta có bất đẳng thức Schwarz - Buni-
akowski

|f · g| ≤ f
2
· g
2
. (1.2)
8
Ngoài ra, với p ∈ R, 1 ≤ p ≤ ∞ ta có bất đẳng thức Minkowski
f + g
p
≤ f
p
+ g
p
. (1.3)
Định lý 1.2. (Hội tụ bị chặn của Lebesgue)
Cho {f
n
} là dãy các hàm (thực hoặc phức) khả tích trên R.
Giả sử:
i) f
n
(x) → f(x) h.k.n trên R
ii) Tồn tại hàm g khả tích sao cho với mỗi n, |f
n
(x)| ≤ g(x)
h.k.n trên R

Khi đó f khả tích và
f
n
− f
1

1
=

R
|f
n
(x) −f(x)|dx → 0 khi n → ∞ (1.4)
Hệ quả 1.1.
Cho f là một hàm đo được và g là hàm khả tích trên R.
i) Nếu |f(x)| ≤ g(x) h.k.n trên R thì f khả tích trên R.
ii) |f| khả tích khi và chỉ khi f khả tích trên R.
Giả sử F : R
n
1
× R
n
2
→ R (hay C) là hàm đo được.
Định lý 1.3. (Tonelli)
Giả sử

R
n
2

|F (x, y)|dy < ∞ h.k.n trên R
n
1
và

R
n
1
dx

R
n
2
|F (x, y)|dy < ∞. Khi đó F khả tích trên R
n
1
× R
n
2
.
Định lý 1.4. (Fubini)
Cho F khả tích trên R
n
1
× R
n
2
. Khi đó với hầu hết x ∈ R
n
1

,
F (x, ·) ≡ y → F (x, y) khả tích trên R
n
2
và x →

R
n
2
F (x, y)dy khả
tích trên R
n
1
.
Kết luận tương tự khi đổi vai trò x cho y và R
n
1
cho R
n
2
. Hơn nữa,
ta có
9

R
n
1
dx

R

n
2
F (x, y)dy =

R
n
2
dy

R
n
1
F (x, y)dx
=

R
n
1
×R
n
2
F (x, y)dxdy . (1.5)
1.2. Phép biến đổi Fourier
1.2.1. Phép biến đổi Fourier trong không gian L
1
(R)
Định nghĩa 1.2.
Phép biến đổi Fourier của một hàm f ∈ L
1
(R) cho bởi công

thức
ˆ
f(ω) = (Ff)(ω) :=

∞
−∞
e
−iωx
f(x)dx (1.6)
Một số tính chất cơ bản của
ˆ
f(ω) với f ∈ L
1
(R) được cho trong
hai định lý sau:
Định lý 1.5.
Cho f ∈ L
1
(R). Khi đó phép biến đổi Fourier của f thoả mãn:
i)
ˆ
f ∈ L
∞
(R); 
ˆ
f
∞
≤ f
1
ii)

ˆ
f liên tục đều trên R
iii) Nếu đạo hàm f
(k)
tồn tại và thuộc L
1
(R) thì

f
(k)
=
(iω)
(k)
ˆ
f(ω)
iv)
ˆ
f(ω) → 0 khi ω → ±∞
Định lý 1.6.
Nếu f(t), g(t) ∈ L
1
(R) và α, β là các hằng số bất kỳ thì
i) F{αf(t) + βg(t)} = αF{f(t)} + βF{g(t)}
ii) F{T
a
f(t)} = M
−a
ˆ
f(ω)
iii) F{D

1
a
f(t)} = D
a
ˆ
f(ω)
iv) F{D
−1
f(t)} =
ˆ
f(ω)
v) F{M
a
f(t)} = T
a
ˆ
f(ω)
trong đó T
a
là phép tịnh tiến cho bởi T
a
f(t) = f(t −a). D
a
là phép
10
giãn cho bởi D
a
f(t) =
1


|a|
f(
t
a
), a = 0, M
a
là phép biến điệu cho
bởi M
a
f(t) = e
iat
f(t).
Định nghĩa 1.3.
Cho
ˆ
f ∈ L
1
(R) là phép biến đổi Fourier của f ∈ L
1
(R). Khi đó
phép biến đổi Fourier ngược của
ˆ
f được định nghĩa là
(F
−1
ˆ
f)(x) :=
1
2π


∞
−∞
e
ixω
ˆ
f(ω)dω (1.7)
Định lý 1.7.
Cho f ∈ L
1
(R) có phép biến đổi Fourier
ˆ
f ∈ L
1
(R). Khi đó
f(x) = (F
−1
ˆ
f)(x) (1.8)
tại mọi điểm x mà ở đó f liên tục.
Định nghĩa 1.4.
Hàm có dạng g
α
(x) :=
1
2
√
πα
e
−x
2

4α
, α > 0 được gọi là hàm Gauss.
Ví dụ 1.1.
Cho a > 0. Khi đó phép biến đổi Fourier của hàm Gauss e
−ax
2
là

π
a
e
−
ω
2
4a
, tức là

∞
−∞
e
−iωx
e
−ax
2
dx =

π
a
e
−

ω
2
4a
. (1.9)
Chứng minh.
Xét hàm
f(y) : =

∞
−∞
e
−ax
2
+xy
dx; y ∈ R
=

∞
−∞
e
−a(x−
y
2a
)+
y
2
4a
=
1
√

a
e
y
2
4a

∞
−∞
e
−x
2
dx
=

π
a
e
y
2
4a
11
Đặt g(y) =

π
a
e
y
2
4a
. Do f(y) và g(y) có thể thác triển thành các hàm

giải tích và chúng bằng nhau trên R nên chúng phải bằng nhau trên
toàn bộ mặt phẳng phức C . Đặc biệt, thay y bởi −iω, ta có

∞
−∞
e
−iωx
e
−ax
2
dx =

π
a
e
−ω
2
4a
. ✷
Chú ý:
- Phép biến đổi Fourier của hàm Gauss e
−x
2
là
√
πe
−ω
2
4
.

- Thay α =
1
4a
.Khi đó phép biến đổi Fourier của hàm Gauss
g
α
(x) =
1
2
√
πα
e
−x
2
4α
là ˆg
α
(ω) = e
−αω
2
.
1.2.2. Phép biến đổi Fourier trong không gian L
2
(R)
Định lý 1.8.
Cho f ∈ L
1
(R) ∩L
2
(R). Khi đó phép biến đổi Fourier của f là

ˆ
f ∈ L
2
(R) và
ˆ
f thoả mãn đồng nhất thức Parseval f
2
2
= 2πf
2
2
.
Từ định lý (1.8) ta thấy phép biến đổi Fourier F : L
1
(R) ∩
L
2
(R) → L
2
(R), là toán tử tuyến tính bị chặn với chuẩn F =
√
2π.
Do L
1
(R) ∩ L
2
(R) là trù mật trong L
2
(R), F có thể thác triển lên
toàn bộ L

2
(R) mà vẫn bảo toàn chuẩn. Cụ thể hơn nếu f ∈ L
2
(R)
thì
f
N
(x) =

f(x) nếu |x| ≤ N
0 nếu |x| > N
(1.10)
nằm trong L
1
(R) ∩L
2
(R). Do đó

f
N
∈ L
2
(R).
Có thể kiểm tra được rằng {

f
N
} là dãy Cauchy trong L
2
(R).

Do tính đầy đủ của L
2
(R) ta có thể tìm được

f
∞
∈ L
2
(R) sao cho
lim
N→∞


f
N
−

f
∞
 = 0.
Định nghĩa 1.5.
Phép biến đổi Fourier
ˆ
f của hàm f ∈ L
2
(R) được định nghĩa
là giới hạn

f
∞

của

f
N
.
12
Chú ý:
Định nghĩa
ˆ
f của hàm f ∈ L
2
(R) là độc lập với sự lựa chọn
của f
N
∈ L
1
(R) ∩ L
2
(R). Nói cách khác, bất kỳ dãy Cauchy nào
khác trong L
1
(R) ∩ L
2
(R) mà xấp xỉ f trong L
2
(R) có thể sử dụng
để định nghĩa
ˆ
f.
Định lý 1.9.

Cho f, g ∈ L
2
(R). Khi đó.
f, g =
1
2π

ˆ
f, ˆg

. (1.11)
Đặc biệt
f
2
= (2π)
−
1
2

ˆ
f
2
(1.12)
Định nghĩa 1.6.
Đối với hàm f xác định trên R, ta định nghĩa f
−
(x) := f(−x)
và gọi là phản xạ của f (tương ứng với gốc toạ độ)
Bổ đề 1.1.
Cho f ∈ L

2
(R). Khi đó
ˆ
f(x) = (
ˆ
f
−
)(x) và (
ˆ
f
−
)(x) = (
ˆ
f)
−
(x).
Định lý 1.10.
Phép biến đổi Fourier F là ánh xạ 1 - 1 của L
2
(R) lên chính nó.
Nói cách khác, cho bất kỳ g ∈ L
2
(R) có tương ứng một và chỉ một
hàm f ∈ L
2
(R) sao cho
ˆ
f = g, tức là f(x) := (F
−1
g)(x) =: ˘g(x) là

phép biến đổi Fourier ngược của g.
1.3. Sóng nhỏ cơ sở
Khái niệm “sóng nhỏ” chỉ được nhắc đến thường xuyên từ
những năm 80 của thế kỷ XX. Khái niệm mới này được xem như
là một sự tổng hợp của nhiều ý tưởng xuất phát từ những lĩnh vực
khác nhau bao gồm toán học (toán tử Calderon - Zygmund và lý
thuyết Littlewood Paley), vật lý và công nghệ. Do đó, sóng nhỏ
13
được quan tâm bởi các nhà khoa học và kỹ sư trong nhiều lĩnh vực
khác nhau.
Jean Morlet, một nhà địa vật lý người Phápđầu tiên đưa ra ý
tưởng sóng nhỏ như một họ các hàm được xây dựng từ các phép
tịnh tiến và giãn nở một hàm được gọi là “sóng nhỏ cơ sở” (hay cũng
được gọi là sóng nhỏ mẹ) ψ(t)
ψ
b,a
(x) :=
1

|a|
ψ(
x −b
a
); a, b ∈ R, a = 0 (1.13)
trong đó a được gọi là tham số giãn nở, còn b được gọi là tham số
dịch chuyển, xác định thời gian của sóng nhỏ. Nếu |a| < 1, sóng nhỏ
(1.1) là mô hình nén của sóng nhỏ cơ sở (có giá nhỏ hơn trong trục
thời gian) và tương ứng với các tần số cao. Mặt khác, khi |a| > 1,
ψ
b,a

(t) có độ rộng thời gian lớn hơn ψ(t) và tương ứng với các tần số
thấp. Do đó, sóng nhỏ có độ rộng thời gian tương thích với tần số.
Đây chính là nguyên nhân chính dẫn đến sự thành công của sóng
nhỏ Morlet trong xử lý tín hiệu .
Định nghĩa 1.7.
Sóng nhỏ cơ sở là một hàm ψ ∈ L
2
(R) thoả mãn điều kiện chấp
nhận được
C
ψ
≡

∞
−∞



ˆ
ψ(ω)



2
|ω|
dω < ∞ (1.14)
Ví dụ 1.2. (Sóng nhỏ Haar)
Cho hàm Haar
f
N

(x) =



1 nếu 0 ≤ t <
1
2
−1 nếu
1
2
≤< 1
0 nếu t < 0; t ≥ 1
(1.15)
Khi đó ψ(t) là một sóng nhỏ cơ sở.
Thật vậy,

∞
−∞
|ψ(t)|
2
dt = 0 +

1
2
0
dt +

1
1
2

dt + 0 = 1 < ∞
14
suy ra ψ(t) ∈ L
2
(R). Phép biến đổi Fourier của ψ(t) là
ˆ
ψ(ω) = 0 +

1
2
0
e
−iωb
dt −

1
1
2
dt + 0
=
i
ω


e
−iωt

1
2
0

−

e
−iωt

1
1
2

=
sin
2

ω
4


ω
4

e
[
i
2
(π−ω)
]
= ie
−
iω
2

sin
2

ω
4


ω
4

.
Do vậy

∞
−∞



ˆ
ψ(ω)



2
|ω|
dω = 16

∞
−∞
|ω|

−3



sin
ω
4



4
dω < ∞.
Vậy ta đã chứng minh được ψ(t) là một sóng nhỏ cơ sở.
Ví dụ 1.3. (Sóng nhỏ cơ sở mũ Mexico)
Sóng nhỏ cơ sở mũ Mexico được đinh nghĩa bởi đạo hàm cấp
hai của hàm Gauss ϕ(t) = −e
−
t
2
2
ψ(t) :=
d
2
dt
2
ϕ(t) =

1 −t
2


e
−
t
2
2
Ta sẽ chứng minh ψ(t) là sóng nhỏ cơ sở.
Sử dụng ý iii) trong định lý 1.5 và ví dụ 1.1 với a =
1
2
, ta có
ˆ
ψ(ω) = F

d
2
dt
2
ϕ(t)

(ω) = (iω)
2
ˆϕ(ω) =
√
2πω
2
e
−
ω
2
2

Khi đó

∞
−∞



ˆ
ψ(ω)



2
|ω|
dω =

∞
−∞
2π |ω|
3
e
−ω
2
dω < ∞.
Vậy ψ(t) là một sóng nhỏ cơ sở.
Chương 2
Phép biến đổi sóng nhỏ liên tục
2.1. Phép biến đổi sóng nhỏ liên tục và giải tích
thời gian – tần số
Biến đổi Fourier

ˆ
f(ω) =

∞
−∞
e
−iωx
f(x)dx (2.1)
không chỉ là công cụ toán học mạnh mẽ mà còn có ý nghĩa vật lý
rất lớn trong các ứng dụng. Ví dụ nếu hàm f ∈ L
2
(R) được xét
như một tín hiệu tương tự với năng lượng hữu hạn, xác định bởi
chuẩn của nó f
2
, thì biến đổi Fourier của f mô tả phổ của tín
hiệu. Trong phân tích tín hiệu, các tín hiệu tương tự được xác định
trong miền thời gian, và thông tin về phổ của các tín hiệu này được
cho trong miền tần số. Để tiện cho việc trình bày chúng ta sẽ thừa
nhận các tần số âm và như vậy cả miền tần số và miền thời gian
đều là các đường thẳng thực R. Tương tự như đẳng thức Parseval
cho chuỗi Fourier, đẳng thức Parseval mô tả hệ thức liên hệ giữa
các hàm trong L
2
(R) và biến đổi Fourier được cho bởi
f, g =
1
2π

ˆ

f, ˆg

, f, g, ∈ L
2
(R). (2.2)
Biến đổi Fourier F biến L
2
(R) thành chính nó. Như một hệ quả
của (2.2), chúng ta quan sát rằng năng lượng của tín hiệu tương tự
tỉ lệ thuận với dung lượng phổ; một cách chính xác hơn
f
2
=
1
√
2π

ˆ
f
2
, f ∈ L
2
(R). (2.3)
Tuy nhiên, công thức của biến đổi Fourier là chưa đầy đủ cho
hầu hết các ứng dụng. Để lấy thông tin phổ
ˆ
f(ω) từ tín hiệu tương
tự f(t) từ công thức này, ta cần dùng một lượng thời gian vô hạn,
16
dùng cả thông tin quá khứ và tương lai của tín hiệu, chỉ để xác định

phổ tại duy nhất tần số ω. Bên cạnh đó, công thức trên không phản
ánh được các tần số thay đổi theo thời gian. Điều thực sự cần thiết
là chúng ta có thể xác định được các khoảng thời gian mà tại đó
thông tin phổ nằm trong miền tần số mong muốn (hoặc dải tần số
mong muốn). Hơn nữa vì tần số của một tín hiệu tỉ lệ nghịch với độ
dài của chu kỳ của nó, nên với thông tin phổ có tần số cao, khoảng
thời gian cần phải nhỏ để cho độ chính xác tốt hơn, và với thông
tin phổ có tần số thấp, khoảng thời gian sẽ được xác định rộng hơn
để cho đầy đủ thông tin hơn. Nói cách khác, điều quan trọng là có
cửa sổ thời gian – tần số linh hoạt, nó tự động thu hẹp tại tần số
trung tâm cao, và mở rộng tại tần số trung tâm thấp.
Một cách khắc phục nhược điểm trên của phép biến đổi Fourier
là dùng một hàm cửa sổ địa phương hoá thời gian g(t − b) để lấy
những thông tin địa phương của phép biến đổi Fourier của tín hiệu
trong đó tham số b được dùng để dịch chuyển cửa sổ trên toàn bộ
trục thời gian. Cụ thể, Dennis Gabor, một nhà vật lý người Hungary
đã đưa ra định nghĩa phép biến đổi Fourier cửa sổ
W
g
f(ω, t) =

∞
−∞
f(s)g(s −t)e
−iωs
ds. (2.4)
Đặt g
ω,t
(s) := e
iωs

g(s −t). Khi đó ta có thể viết lại
W
ψ
f(ω, t) =

f, g
ω,t

. (2.5)
Ta nhận xét rằng tất cả các g
ω,t
đều có cùng độ rộng với bất
kỳ giá trị nào của ω. Điều này làm cho phép biến đổi Fourier cửa
sổ luôn có độ rộng của sổ không thay đổi với bất kỳ tần số nào, dù
là rất cao hay rất thấp. Đây là hạn chế cơ bản của phép biến đổi
Fourier cửa sổ.
Năm 1982, Jean Morlet đã đưa ra khái niệm phép biến đổi sóng
nhỏ như là một phương tiện mới cho phân tích tín hiệu địa chấn.
17
Định nghĩa 2.1.
Phép biến đổi tuyến tính W
ψ
được cho bởi
(W
ψ
f) (b, a) := |a|
−
1
2


∞
−∞
f(x)ψ

x −b
a

dx, f ∈ L
2
(R) (2.6)
trong đó a, b ∈ R, a = 0 được gọi là phép biến đổi sóng nhỏ ứng với
sóng nhỏ cơ sở ψ.
Sử dụng ký hiệu (1.13) ta có thể viết lại
(W
ψ
f) (b, a) = f, ψ
b,a
 (2.7)
Khi tham số a được cố định lại, (W
ψ
f) (b, a) như là một hàm
của b sẽ cho những thông tin chi tiết của tín hiệu f ở thang bậc a.
Do sóng nhỏ |ψ
b,a
| có độ rộng thời gian tương thích với tần số, phép
biến đổi sóng nhỏ có cửa sổ thời gian - tần số linh hoạt,tự động thu
hẹp tại tần số trung tâm cao và mở rộng tại tần số trung tâm thấp.
Do đó phép biến đổi sóng nhỏ tốt hơn phép biến đổi Fourier cửa sổ
trong khi nghiên cứu các tín hiệu có tần số cao hay thấp một cách
không bình thường.

Định nghĩa 2.2.
Một hàm không tầm thường ω(x) ∈ L
2
(R) được gọi là hàm cửa
sổ nếu xω(x) cũng thuộc L
2
(R). Tâm t
∗
và bán kính 
ω
của hàm
của sổ ω được định nghĩa là
t
∗
:=
1
ω
2
2

∞
−∞
x |ω(x)|
2
dx (2.8)
và

ω
:=
1

ω
2


∞
−∞
(x −t
∗
)
2
|ω|
2
dx

1
2
(2.9)
và độ rộng của hàm cửa sổ ω được xác định bằng 2
ω
.
Nếu ψ là một hàm cửa sổ, tức là ψ(x) và xψ(x) ∈ L
2
(R),
18
thì|x|
1
2
ψ(x) ∈ L
2
(R). Thật vậy


∞
−∞
|x||ψ(x)|
2
dx =

∞
−∞
|x||ψ(x)||ψ(x)|dx
≤


∞
−∞
|x|
2
|ψ(x)|
2
dx

1
2


∞
−∞
|ψ(x)|
2
dx


1
2
< ∞
do bất đẳng thức Schwarz. Do đó

∞
−∞
|x||ψ(x)|
2
dx < ∞nên |x|
1
2
ψ(x)
∈ L
2
(R).
Do xψ(x) và |x|
1
2
ψ(x) cùng thuộc vào L
2
(R) nên tâm và bán
kính của hàm cửa sổ là hữu hạn.
Áp dụng bất đẳng thức Schwarz một lần nữa cho tích của
(1 + |x|)
−1
và (1 + |x|) ψ(x), ta có

∞

−∞
|ψ(x)|dx =

∞
−∞
(1 + |x|)
−1
{(1 + |x|) |ψ(x)|}dx
≤


∞
−∞
(1 + |x|)
−2
dx

1
2


∞
−∞
(1 + |x|)
2
|ψ(x)|
2
dx

1

2
< ∞
Do đó ψ(x) ∈ L
1
(R).
Theo định lý 1.5,
ˆ
ψ là hàm liên tục trên R. Nếu ψ là sóng nhỏ
cơ sở thì từ điều kiện chấp nhận được ta có
ˆ
ψ(0) = 0, tức là

∞
−∞
ψ(x)dx = 0 (2.10)
vì thế đồ thị của sóng nhỏ cơ sở ψ là một sóng nhỏ.
Từ đẳng thức Parseval,
ˆ
ψ cũng thuộc L
2
(R) nhưng
ˆ
ψ không
nhất thiết là một hàm cửa sổ. Giả sử rằng ψ là sóng nhỏ cơ sở bất
kỳ thỏa mãn cả ψ và biến đổi Fourier
ˆ
ψ của nó là các hàm cửa sổ
với tâm và bán kính cho bởi t
∗
, ω

∗
, 
ψ
, 
ˆ
ψ
, theo thứ tự thì hàm
ψ
b,a
cũng là hàm cửa sổ với tâm là b + at
∗
và bán kính là a
ψ
. Khi
đó biến đổi sóng nhỏ (W
ψ
f) (b, a) = f, ψ
b,a
 của một tín hiệu tương
tự f, sẽ địa phương hóa tín hiệu với một cửa sổ thời gian
[b + at
∗
− a
ψ
, b + at
∗
+ a
ψ
] .
19

Do độ rộng cửa sổ là 2a
ψ
, cửa sổ này sẽ bị hẹp lại với những
giá trị |a| nhỏ và mở rộng ra với |a| đủ lớn. Điều này được gọi là
địa phương hóa thời gian trong giải tích tín hiệu.
Ta đặt
η(ω) :=
ˆ
ψ(ω + ω
∗
) (2.11)
khi đó η cũng là hàm cửa sổ với tâm tại 0 và bán kính cho bởi 
ˆ
ψ
;
và do đẳng thức Parseval biến đổi sóng nhỏ trở thành
(W
ψ
f) (b, a) =
a |a|
−
1
2
2π

∞
−∞
ˆ
f(ω)e
ibω

η

a

ω −
ω
∗
a

dω (2.12)
Rõ ràng hàm η

a

ω −
ω
∗
a

= η (aω −ω
∗
) =
ˆ
ψ(aω) có bán kính
1
a

ˆ
ψ
.

Do đó, nếu bỏ đi phép nhân với
a |a|
−1/2
2π
và một phép chuyển
pha tuyến tính của e
ibω
, thì đại lượng (W
ψ
f) (b, a) cũng cho thông
tin địa phương của phổ
ˆ
f(ω) của tín hiệu f(t), với một cửa sổ tần
số

ω
∗
a
−
1
a

ˆ
ψ
,
ω
∗
a
+
1

a

ˆ
ψ

có tâm
ω
∗
a
và độ rộng
2
ˆ
ψ
a
. Điều này được gọi là “ địa phương hóa
tần số”.Do đó chúng ta có ngay cửa sổ thời gian – tần số:
[b + at
∗
− a
ψ
, b + at
∗
+ a
ψ
] ×

ω
∗
a
−

1
a

ˆ
ψ
,
ω
∗
a
+
1
a

ˆ
ψ

. (2.13)
nếu chúng ta dùng biến đổi sóng nhỏ tương ứng với sóng nhỏ cơ sở
ψ, với các điều kiện cửa sổ được mô tả ở trên.
Chú ý
- Do mục đích cuối cùng là xem xét các tần số dương, nên chọn
sóng nhỏ cơ sở ψ sao cho tâm ω
∗
của
ˆ
ψ là một số dương. Trong thực
hành, số dương này được chọn cùng với tham số giãn nở a dương sao
cho
ω
∗

a
là tần số trung tâm của dải tần số

ω
∗
a
−
1
a

ˆ
ψ
,
ω
∗
a
+
1
a

ˆ
ψ

20
làm ta quan tâm. Khi đó tỉ số của tần số trung tâm với độ rộng của
dải tần số là
ω
∗
/a
2

ˆ
ψ
/a
=
ω
∗
2
ˆ
ψ
(2.14)
Tỉ số này độc lập với vị trí của tần số trung tâm.
- Cửa sổ thời gian - tần số sẽ trở nên hẹp đối với tần số trung
tâm
ω
∗
a
lớn và rộng hơn với tần số trung tâm nhỏ mặc dù diện tích
của cửa sổ là hằng số 4
ψ

ˆ
ψ
. Đây là tính chất được mong chờ nhất
trong giải tích thời gian tần số.
2.2. Tính chất cơ bản của phép biến đổi sóng
nhỏ
Một số tính chất cơ bản của phép biến đổi sóng nhỏ được
cho trong định lý sau:
Định lý 2.1.
Nếu ψ, φ là các sóng nhỏ cơ sở và các hàm f, g ∈ L

2
(R) thì
i) (Tuyến tính)
W
ψ
(αf + βg)(b, a) = α (W
ψ
f) (b, a) + β (W
ψ
g) (b, a) (2.15)
ii) (Tịnh tiến)
(W
ψ
(T
c
f)) (b, a) = (W
ψ
f) (b − c, a) (2.16)
iii) (Giãn)
(W
ψ
(D
c
f)) (b, a) =
1
√
c
(W
ψ
f)


b
c
,
a
c

, c > 0 (2.17)
iv) (Đối xứng)
(W
ψ
f) (b, a) = (W
f
ψ)

−b
a
1
a

, a = 0 (2.18)
v)
(W
P ψ
P f) (b, a) = (W
ψ
f) (−b, a) (2.19)
21
với P là hàm cho bởi P f(x) = f(−x)
vi) (Phản tuyến tính)

(W
αψ+βφ
) (b, a) = α (W
ψ
f) (b, a) + β (W
φ
f) (b, a), (2.20)
với α, β là các đại lượng vô hướng bất kỳ.
vii)
(W
T
c
ψ
f) (b, a) = (W
ψ
f) (bc + a, a) (2.21)
viii)
(W
D
c
ψ
f) (b, a) =
1
√
c
(W
ψ
f) (b, ac), c > 0 (2.22)
ở đây T
c

là phép tịnh tiến cho bởi T
c
f(x) = f(x −c) và D
c
là phép
giãn cho bởi D
c
f(x) =
1

|c|
f(
x
c
) với c = 0.
Sử dụng công thức (2.7) và các tính chất của tích vô hướng
ta có thể chứng minh được các tính chất trên
Định lý 2.2. (Công thức Parseval của phép biến đổi sóng nhỏ)
Giả sử ψ là sóng nhỏ cơ sở và W
ψ
là phép biến đổi sóng nhỏ
ứng với ψ. Khi đó

∞
−∞

∞
−∞

(W

ψ
f) (b, a)(W
ψ
g) (b, a)

da
a
2
db = C
ψ
f, g, ∀f, g ∈ L
2
(R)
(2.23)
Chứng minh.
Ta có
1
2π
ˆ
ψ
b,a
(ω) =
|a|
−
1
2
2π

∞
−∞

e
−iωt
ψ

t −b
a

dt =
a |a|
−
1
2
2π
e
−ibω
ˆ
ψ(aω)
(2.24)
Áp dụng đồng nhất thức Parseval và (2.24) với các ký hiệu

F (x) :=
ˆ
f(x)
ˆ
ψ(ax)
G(x) := ˆg(x)
ˆ
ψ(ax)
(2.25)
22

ta có

∞
−∞

(W
ψ
f) (b, a)(W
ψ
f) (b, a)

db
=
1
|a|

∞
−∞


∞
−∞
f(t)ψ

t −b
a

dt

∞

−∞
g(s)ψ

s −b
a

ds

db
=
a
2
|a|

∞
−∞

1
2π

∞
−∞
F (x)e
−ibx
dx


1
2π


∞
−∞
G(y)e
−iby
dy

db
=
a
2
2π |a|

1
2π

∞
−∞
ˆ
G(b)
ˆ
F (b)db

=
a
2
2π |a|

∞
−∞
G(x)F (x)dx

ở đây ta áp dụng đồng nhất thức Parseval một lần nữa để được
đẳng thức cuối cùng. Do đó bằng cách thay (2.25) vào biểu thức
trên và lấy tích phân tương ứng với
da
a
2
trên (−∞, ∞) và chú ý định
nghĩa của C
ψ
trong (1.14) ta có

∞
−∞


∞
−∞

(W
ψ
f) (b, a)(W
ψ
f) (b, a)

db

da
a
2
=

1
2π

∞
−∞





ˆ
f(x)ˆg(x)

∞
−∞



ˆ
ψ(ax)



2
|a|
da






dx
=
1
2π

∞
−∞





ˆ
f(x)ˆg(x)

∞
−∞



ˆ
ψ(y)



2
|y|
dy






dx
= C
ψ
1
2π

ˆ
f, ˆg

= C
ψ
f, g, .
✷
Chú ý
- Nếu cho f = g thì từ (2.23) ta có

∞
−∞

∞
−∞
|(W
ψ
f) (b, a)|
2
dadb

a
2
= C
ψ
f
2
= C
ψ

∞
−∞
|f(t)|
2
dt (2.26)
Điều đó cho thấy rằng ngoại trừ nhân tử C
ψ
, phép biến đổi
sóng nhỏ còn là phép đẳng cự từ L
2
(R) vào L
2
(R).
23
Công thức biểu diễn một hàm f ∈ L
2
(R) qua (W
ψ
f) (b, a) được
gọi là công thức ngược. Trong thực tế để ψ có thể được sử dụng
như một sóng nhỏ cơ sở thì công thức ngược phải tồn tại.

Định lý 2.3. (Công thức ngược)
Nếu f ∈ L
2
(R) thì f có thể được khôi phục lại từ W
ψ
f bởi
công thức
f(x) =
1
C
ψ

∞
−∞

∞
−∞
(W
ψ
f) (b, a)ψ
b,a
(x)
dadb
a
2
h.k.n (2.27)
với ψ
b,a
được định nghĩa như trong (1.13).
Chứng minh.

Với bất kỳ g ∈ L
2
(R) từ định lý 2.2 ta có
C
ψ
f, g = W
ψ
f, W
ψ
g
=

∞
−∞

∞
−∞
(W
ψ
f) (b, a)(W
ψ
g) (b, a)
dadb
a
2
=

∞
−∞


∞
−∞
(W
ψ
f) (b, a)

∞
−∞
g(t)ψ
b,a
(t)dt
dadb
a
2
=


∞
−∞

∞
−∞
(W
ψ
f) (b, a)ψ
b,a
(t)
dadb
a
2

, g

Do đó
f, g =
1
C
ψ


∞
−∞

∞
−∞
(W
ψ
f) (b, a)ψ
b,a
dadb
a
2
, g

(2.28)
Vì g là hàm bất kỳ trong L
2
(R) nên từ (2.28) ta có (2.27) ✷
2.3. Tốc độ triệt tiêu của biến đổi sóng nhỏ
Trong mục này chúng ta nghiên cứu các tính chất tiệm cận
của hàm (b, a) → W

ψ
f(b, a) khi a → 0. Các giá trị W
ψ
f(b, a) tương
ứng với các đối số a  1 mã hoá thông tin về các thành phần tần
số cao của f. Đối với phép biến đổi Fourier, các bước nhảy gián đoạn
24
của tín hiệu f đòi hỏi sự triệt tiêu chậm của
ˆ
f(ξ) khi ξ → ±∞. Do
đó công thức ngược hội tụ rất chậm thậm chí ở trong những khoảng
mà hàm f là hàm tốt, như khả vi vô hạn. Với biến đổi sóng nhỏ, sự
hội tụ chậm có thể được địa phương hoá: Nếu tín hiệu f trơn trong
lân cận của t = b thì W
ψ
f hội tụ rất nhanh tới 0 khi a → 0; và chỉ
ở trong những khoảng mà tín hiệu f có đỉnh nhọn hay răng cưa thì
W
ψ
f có tốc độ triệt tiêu chậm khi a → 0.
Khi hàm f được tính toán số, chỉ những giá trị c
r,k
:= W
ψ
f (2
r
, k2
r
)
được tính và lưu trữ. Nếu hàm f khả vi nhiều lần, thì phần lớn các

c
r,k
sẽ trở nên rất nhỏ đến mức có thể được xem là bằng 0. Theo
cách này ta có thể đạt được tỉ lệ nén dữ liệu khổng lồ: Chỉ những
c
r,k
mà giá trị tuyệt đối của nó vượt qua một ngưỡng nào đó được
lưu giữ lại và được sử dụng để khôi phục hàm f sau này. Một số
lượng lớn bằng chứng cho thấy rằng các c
r,k
thiết yếu này là hoàn
toàn đủ để khôi phục tín hiệu f ban đầu với độ chính xác mong
muốn.
Định lý 2.4.
Giả sử rằng một sóng nhỏ cơ sở ψ(t) với tψ(t) ∈ L
1
(R) đã được
chọn. Giả sử tín hiệu thời gian f ∈ L
2
(R) là bị chặn toàn cục và giả
sử rằng f là liên tục H¨older tại điểm b, nghĩa là tồn tại i ∈ [0, 1]
sao cho trong một lân cận của b ta có đánh giá
|f(t) −f(b)| ≤ C |t − b|
α
(2.29)
Khi đó
|W
ψ
(b, a)| ≤ C


|a|
α+
1
2
(2.30)
Chứng minh.
Ta chỉ cần xét trường hợp a > 0. Do f bị chặn, chúng ta có thể
giả sử (chọn C lớn hơn nếu cần) (2.29) đúng với mọi t ∈ R.
25
Vì

ψ(t) = 0, chúng ta có
W
ψ
f(b, a) =
1
a
1/2

(f(t) −f(b)) ψ

t −b
a

dt
và do dó
|W
ψ
f(b, a)| ≤
C

a
1/2

|t −b|
α




ψ

t −b
a





dt
Trong tích phân vế phải, chúng ta thay thế t := b + ay,
y ∈ (−∞, ∞) và nhận được:
|W
ψ
f(b, a)| ≤ C |a|
α+
1
2

|y|
α

|ψ(y)|dy.
Từ α ≤ 1, ta suy ra |y|
α
≤ 1 + |y|, do đó với giả thiết của ψ
tích phân cuối có giá trị hữu hạn, và (2.30) được chứng minh. ✷
Một hàm f ∈ L
2
(R) liên tục Lipschitz là bị chặn và liên tục
H¨older ở khắp nơi với α = 1. Do đó ta có hệ quả sau:
Hệ quả 2.1. Giả sử một sóng nhỏ cơ sở ψ với tψ ∈ L
1
(R) được
chọn. Nếu tín hiệu thời gian f ∈ L
2
(R) là liên tục Lipschitz toàn
cục, thì tồn tại một số C, không phụ thuộc vào b, sao cho
|W
ψ
f(b, a)| ≤ C |a|
3/2
Có rất nhiều các phát biểu khác nhau về khẳng đinh ngược
lại của định lý trên nhưng ta chỉ phát biểu định lý sau để làm một
ví dụ minh hoạ.
Định lý 2.5.
Cho trước một sóng nhỏ cơ sở ψ với giá compact. Nếu f ∈ L
2
(R)
là một tín hiệu thời gian liên tục với biến đổi sóng nhỏ thoả mãn
đánh giá
|W

ψ
f(b, a)| ≤ C |a|
α+
1
2
, a, b ∈ R
với một α ∈ (0, 1], thì f liên tục H ¨older toàn cục với số mũ α.