Các toán tử tuyến tính không gian bị chặn trong không gian Hilbert và phổ của chúng

Lời cảm ơn
Em xin chân thành cảm ơn Phòng sau Đại học; Các thầy giáo, cô giáo
trong Khoa Toán cùng toàn thể các anh chị em học viên khóa 13 chuyên
ngành Toán giải tích Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã động viên
giúp đỡ để tác giả có điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình thực hiện
đề tài nghiên cứu khoa học. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu
sắc tới PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm đã định hướng chọn đề tài và tận
tình chỉ bảo giúp đỡ em hoàn thành Luận văn này.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên Luận văn không tránh khỏi
những hạn chế và còn có thiếu sót nhất định. Em xin chân thành cảm
ơn đã nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và
các bạn học viên.
Hà Nội, tháng 12 năm 2011
Tác giả
Nguyễn Sơn Tùng
Lời cam đoan
Tác giả xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của PGS. TS.
Nguyễn Năng Tâm, Luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích với
đề tài "Các toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian
Hilbert và phổ của chúng" được hoàn thành bởi chính sự nhận thức
của bản thân tác giả, không trùng với bất cứ Luận văn nào khác.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện Luận văn, tác giả đã kế thừa
những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn!
Hà Nội, tháng 12 năm 2011
Tác giả
Nguyễn Sơn Tùng
Mục lục
Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Chương 1. Các toán tử tuyến tính không bị chặn trong không
gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1. Một số vấn đề cơ bản về toán tử tuyến tính bị chặn. . . . . . . 10
1.1.1. Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.2. Lý thuyết phổ của toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2. Toán tử tuyến tính không bị chặn và toán tử liên hợp trong
không gian Hilbert của chúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3. Toán tử liên hợp trong không gian Hilbert, toán tử tuyến tính
đối xứng và toán tử tuyến tính tự liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4. Toán tử tuyến tính đóng và bao đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Chương 2. Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn trong
không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1. Tính chất phổ của toán tử tự liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2. Biểu diễn phổ của toán tử unita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3. Biểu diễn phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp . . . . . . . . . 39
2.4. Toán tử nhân và toán tử vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Chương 3. Toán tử không bị chặn trong cơ học lượng tử 53
3.1. Ý tưởng cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1
3.2. Toán tử moment và nguyên lý bất định Heisenberg . . . . . . . 57
3.3. Phương trình Schr¨oudinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4. Toán tử Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2
BẢNG KÝ HIỆU
A
C
phần bù của tập hợp A
B(X, Y ) không gian các toán tử tuyến tính bị chặn
B(x; r) hình cầu mở
B(x; r) hình cầu đóng

C mặt phẳng phức hoặc trường số phức
C
n
không gian đơn vị n chiều
C[a, b] không gian các hàm liên tục
C(X, Y ) không gian các toán tử tuyến tính compact
D(T ) miền xác định của toán tử T
dim X chiều của không gian X
C = (E
λ
) họ phổ
f chuẩn của phiếm hàm tuyến tính bị chặn f
G(T ) đồ thị của toán tử T
I toán tử đơn vị
inf infimum (cận dưới lớn nhất)
L
p
[a, b] không gian hàm
l
p
không gian dãy
L(X, Y ) không gian toán tử tuyến tính
N(T ) không gian không của toán tử T
0 toán tử không
Ø tập hợp rỗng
R đường thẳng thực hoặc trường số thực
R
n
không gian Euclid n chiều
R(T ) miền giá trị của toán tử T

R
λ
(T ) giải thức của toán tử T
r
σ
(T ) bán kính phổ của toán tử T
ρ(T ) tập hợp giải của toán tử T
σ(T ) phổ của toán tử T
σ
c
(T ) phổ liên tục của toán tử T
σ
p
(T ) phổ điểm của T
σ
r
(T ) phổ thặng dư
sup supremum (cận trên nhỏ nhất)
T  chuẩn của toán tử tuyến tính bị chặn T
T
∗
toán tử liên hợp trong không gian Hilbert
Var(w) biến phân toàn phần của w
X
∗
không gian đại số đối ngẫu của không gian vectơ X
X

không gian đối ngẫu của không gian định chuẩn X
X chuẩn của X

x, y tích trong của x và y
x ⊥ y x trực giao với y
Y
⊥
phần bù trực giao của không gian con đóng Y .
4
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích hàm là một môn học rất lý thú của Toán học, có nhiều ứng
dụng trong vật lý và nhiều lĩnh vực khác của Toán học (xem [5], [6], [7], [8], [9]).
Toán tử tuyến tính không bị chặn xuất hiện trong nhiều ứng dụng,
đáng chú ý là sự liên quan đến phương trình vi phân và cơ học lượng tử.
Lý thuyết của chúng phức tạp hơn so với toán tử bị chặn. Thực tế, lý
thuyết của toán tử tuyến tính không bị chặn được khơi nguồn vào cuối
những năm 1920 nhờ sự nỗ lực đặt cơ học lượng tử trên một nền tảng
toán học chính xác. Sự phát triển có hệ thống của lý thuyết này là do
J. Neumann (1929-30, 1936) và M. H. Stone (1932).
Ứng dụng của lý thuyết này vào phương trình vi phân cho ta một
cách tiếp cận thống nhất với các vấn đề đa dạng và cũng đòi hỏi sự đơn
giản hóa đáng kể.
Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu sắc hơn về vấn đề
này và bước đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học, em đã chọn
đề tài “ Các toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian
Hilbert và phổ của chúng”.
5
2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu giúp em làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm
hiểu sâu hơn về Giải tích hàm, từ đó hình thành tư duy logic đặc thù
của bộ môn. Khắc sâu các kiến thức về các toán tử tuyến tính không bị
chặn trong không gian Hilbert và phổ của chúng.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về toán tử tuyến tính không bị chặn và toán tử liên hợp
trong không gian Hilbert của chúng, toán tử tuyến tính đối xứng và toán
tử tự liên hợp, toán tử tuyến tính đóng và bao đóng, các tính chất phổ
của các toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert và
ứng dụng của chúng trong cơ học lượng tử.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Các toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert và
phổ của chúng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá.
6
6. Dự kiến đóng góp mới
Trình bày một cách có hệ thống và chứng minh chi tiết về các vấn
đề liên quan đến các toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian
Hilbert và phổ của chúng.
7
Chương 1
Các toán tử tuyến tính không bị
chặn trong không gian Hilbert
Phần đầu của chương này chúng ta sẽ trình bày một số vấn đề về
toán tử tuyến tính bị chặn liên quan trực tiếp đến phần sau của luận
văn. Tiếp theo chúng ta trình bày về toán tử tuyến tính không bị chặn
và toán tử liên hợp trong không gian Hilbert của chúng; toán tử liên hợp
trong không gian Hilbert, toán tử tuyến tính đối xứng và toán tử tuyến
tính tự liên hợp; toán tử tuyến tính đóng và bao đóng.
Trước hết, chúng ta trình bày một số khái niệm cơ bản cần thiết sau:
Định nghĩa 1.1. (xem [3]) Không gian định chuẩn (hay không gian
tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường K (K có
thể là R hoặc C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập K, kí hiệu là · và

đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây:
1) (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ (ký hiệu phần tử không là θ);
2) (∀x ∈ X)(∀α ∈ K) αx = |α|x;
3) (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y.
Số x gọi là chuẩn của vector x. Ta ký hiệu không gian định chuẩn
là (X, ·). Nếu trên X chỉ trang bị một chuẩn ta có thể ký hiệu là X.
Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề chuẩn. Phần tử của K gọi là vô
8
hướng.
Định nghĩa 1.2. (xem [3]) Dãy điểm (x
n
) trong không gian định chuẩn
X gọi là dãy cơ bản, nếu
lim
m,n→∞
x
n
− x
m
 = 0.
Định nghĩa 1.3. (xem [3]) Không gian định chuẩn X gọi là không gian
Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
Định nghĩa 1.4. (xem [3]) Cho không gian tuyến tính X trên trường
K (K có thể là R hoặc C). Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X
mọi ánh xạ từ tích Descartes X ×X vào K, ký hiệu ·, ·, thoả mãn các
tiên đề:
1) (∀x, y ∈ X) y, x = x, y;
2) (∀x, y, z ∈ X) x + y, z = x, z + y, z;
3) (∀x, y ∈ X)(∀α ∈ K) αx, y = α x, y;
4) (∀x ∈ X) x, x > 0, nếu x = θ (θ là ký hiệu phần tử không),

x, x = 0, nếu x = θ.
Các phần tử x, y, z, gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số x, y
gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y, các tiên đề 1), 2), 3), 4) gọi
là hệ tiên đề tích vô hướng, ký hiệu z là phần tử liên hợp của z.
Định lý 1.1. (Bất đẳng thức Schwarz, [3]) Đối với mỗi x ∈ X ta đặt
x =

x, x.
Khi đó ∀x, y ∈ X ta có bất đẳng thức Schwarz
|x, y| ≤ xy.
9
Định nghĩa 1.5. (xem [3]) Không gian tuyến tính trên trường K cùng
với một tích vô hướng gọi là không gian tiền Hilbert.
Nếu K = R thì H gọi là không gian tiền Hilbert thực.
Nếu K = C thì H gọi là không gian tiền Hilbert phức.
Định nghĩa 1.6. (xem [3]) Tập H = ∅ là không gian Hilbert nếu tập
H thỏa mãn:
1) H là không gian tiền Hilbert;
2) H là không gian Banach với chuẩn x =

x, x, x ∈ H.
1.1. Một số vấn đề cơ bản về toán tử tuyến tính bị
chặn
1.1.1. Một số khái niệm
Định nghĩa 1.7. (xem [1]) Một toán tử tuyến tính T là một toán tử
sao cho
(i) miền xác định D(T ) của T là một không gian vectơ và miền giá
trị R(T ) nằm trong một không gian vectơ trên cùng một trường,
(ii) với mọi x, y ∈ D(T ) và một vô hướng α,
T (x + y) = T x + T y

T (αx) = αTx.
Ví dụ 1.1. Toán tử đồng nhất I
X
: X −→ X xác định bởi I
X
x = x với
mọi x ∈ X.
Toán tử không 0 : X −→ Y xác định bởi 0x = 0 với mọi x ∈ X.
10
Toán tử vi phân T : X −→ X, trong đó X là không gian vectơ gồm
tất cả các đa thức trên [a, b], xác định bởi
T x(t) = x

(t).
Toán tử tích phân T : C [a, b] −→ C [a, b] xác định bởi
T x(t) =

t
a
x(τ)dτ, t ∈ [a, b] .
Toán tử nhân T : C [a, b] −→ C [a, b] xác định bởi
T x(t) = tx(t).
Chú ý rằng chúng ta viết T x thay cho T (x), và từ đây chúng ta sẽ sử
dụng các ký hiệu sau:
D(T ) là miền xác định của T.
R(T ) là miền giá trị của T.
N(T ) là không gian không của T.
Định lý 1.2. (Toán tử ngược, [8], p. 88) Cho X, Y cùng là không gian
vectơ thực hoặc phức. Cho T : D(T ) −→ Y là toán tử tuyến tính với
miền xác định D(T ) ⊂ X và miền giá trị R(T ) ⊂ Y . Khi đó:

(a) Toán tử ngược T
−1
: R(T ) −→ D(T ) tồn tại nếu và chỉ nếu
T x = 0 =⇒ x = 0.
(b) Nếu T
−1
tồn tại thì nó là một toán tử tuyến tính.
(c) Nếu dim D(T ) = n < ∞ và T
−1
tồn tại thì dim R(T ) = dim D(T ).
Định nghĩa 1.8. (Toán tử tuyến tính bị chặn, [8], p. 91) Cho X và Y
là hai không gian định chuẩn và T : D(T ) −→ Y là một toán tử tuyến
11
tính, ở đó D(T ) ⊂ X. Toán tử T được gọi là bị chặn nếu tồn tại một số
thực c sao cho với mọi x ∈ D(T ),
T x ≤ c x.
Định nghĩa 1.9. (xem [3]) Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không
gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Chuẩn của toán tử A,
kí kiệu là A, được xác định bởi
A = inf

C > 0


Ax ≤ C x, ∀x ∈ X

.
Ví dụ 1.2. Toán tử đồng nhất I : X −→ X trên không gian định chuẩn
X = {0} là bị chặn và có chuẩn I = 1.
Toán tử không 0 : X −→ Y trên không gian định chuẩn X = {0} là

bị chặn và có chuẩn 0 = 0.
Định nghĩa 1.10. (xem [8], p. 196) Cho T : H
1
−→ H
2
là toán tử tuyến
tính bị chặn, trong đó H
1
, H
2
là không gian Hilbert. Khi đó toán tử tự
liên hợp T
∗
của T trong không gian Hilbert là toán tử
T
∗
: H
2
−→ H
1
sao cho với mọi x ∈ H
1
và y ∈ H
2
,
T x, y = x, T
∗
y.
Định lý 1.3. (Các tính chất của toán tử liên hợp trong không gian
Hilbert, [8], p. 198) Cho H

1
, H
2
là các không gian Hilbert, S : H
1
−→ H
2
và T : H
1
−→ H
2
là các toán tử tuyến tính bị chặn và một vô hướng bất
kỳ α. Khi đó ta có
12
(a) T
∗
y, x = y, T x (x ∈ H
1
, y ∈ H
2
)
(b) (S + T )
∗
= S
∗
+ T
∗
(c) (αT )
∗
= αT

∗
(d) (T
∗
)
∗
= T
(e) T
∗
T  = T T
∗
 = T 
2
(f) T
∗
T = 0 ⇐⇒ T = 0
(g) (ST )
∗
= T
∗
S
∗

giả sử H
2
= H
1

.
Định nghĩa 1.11. (xem [8], p. 201) Một toán tử tuyến tính bị chặn
T : H −→ H trên không gian Hilbert H được gọi là

tự liên hợp hay toán tử Hermite nếu T
∗
= T ,
unita nếu T là song ánh và T
∗
= T
−1
,
chuẩn tắc nếu TT
∗
= T
∗
T .
Định lý 1.4. (Tính tự liên hợp, [8], p. 203) Cho T : H −→ H là một
toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert H. Khi đó
(a) Nếu T là tự liên hợp, thì T x, x là thực với mọi x ∈ H.
(b) Nếu H là không gian phức và T x, x là thực với mọi x ∈ H, thì
toán tử T là tự liên hợp.
Định lý 1.5. (Toán tử unita, [8], p. 205) Cho toán tử U : H −→ H và
V : H −→ H là toán tử unita; ở đây H là không gian Hilbert. Khi đó:
(a) U là đẳng cự; do đó Ux = x với mọi x ∈ H,
(b) U = 1, với H = {0},
(c) U
−1
(= U
∗
) là toán tử unita,
(d) UV là toán tử unita,
(e) U là chuẩn tắc,
13

(f) Một toán tử tuyến tính bị chặn T trên không gian Hilbert phức
H là toán tử unita nếu và chỉ nếu T là đẳng cự và toàn ánh.
Định nghĩa 1.12. (xem [8], p. 527) Toán tử tuyến tính T : D(T) −→ H
được gọi là xác định trù mật trong H nếu miền xác định D(T ) trù mật
trong H.
1.1.2. Lý thuyết phổ của toán tử tuyến tính bị chặn
Định nghĩa 1.13. (xem [4]) Cho X = {0} là không gian định chuẩn
phức và T : D(T ) −→ X là toán tử tuyến tính với miền xác định
D(T ) ⊂ X. Giá trị chính quy λ của T là một số phức thỏa mãn
(R
1
) R
λ
(T ) tồn tại,
(R
2
) R
λ
(T ) bị chặn,
(R
3
) R
λ
(T ) xác định trên một tập hợp trù mật trong X.
Tập hợp giải ρ(T ) của T là tập hợp tất cả các giá trị chính quy λ của
T . Phần bù của nó σ(T ) = C −ρ(T) trong không gian phức C được gọi
là phổ của T và một λ ∈ σ(T ) gọi là giá trị phổ của T . Hơn nữa, phổ
σ(T ) được chia thành ba tập hợp rời nhau như sau
Phổ điểm hay phổ rời rạc σ
p

(T ) là tập hợp sao cho R
λ
(T ) không tồn
tại. một λ ∈ σ
p
(T ) được gọi là giá trị riêng của T.
Phổ liên tục σ
c
(T ) là tập hợp sao cho R
λ
(T ) tồn tại và thỏa mãn (R
3
)
nhưng không thỏa mãn (R
2
), nghĩa là R
λ
(T ) không bị chặn.
Phổ thặng dư σ
r
(T ) là tập hợp sao cho R
λ
(T ) tồn tại (và có thể bị
chặn hoặc không bị chặn) nhưng không thỏa mãn (R
3
), nghĩa là miền
xác định của R
λ
(T ) không trù mật trong X.
14

Bổ đề 1.1. (Miền xác định của R
λ
, [8], p. 373) Cho X là không gian
Banach phức, T : X −→ X là toán tử tuyến tính, và λ ∈ ρ(T ). Giả sử
(a) T đóng hoặc (b) T bị chặn. Khi đó R
λ
(T ) xác định trên toàn bộ
không gian X và bị chặn.
Định nghĩa 1.14. (xem [8], p. 494) Họ phổ là một họ các tham số
C = (E
λ
)
λ∈R
của các hình chiếu E
λ
xác định trên không gian Hilbert H
phụ thuộc vào một tham số thực λ và thỏa mãn
1. E
λ
≤ E
µ
, do đó E
λ
E
µ
= E
µ
E
λ
= E

λ
(λ < µ),
2. lim
λ→−∞
E
λ
x = 0,
3. lim
λ→+∞
E
λ
x = x,
4. E
λ+0
x = lim
µ→λ+0
E
µ
x = E
λ
x (x ∈ H).
* Các tính chất phổ của toán tử tuyến tính bị chặn
Định lý 1.6. (Phổ đóng, [8], p. 376) Tập hợp giải ρ(T ) của toán tử
tuyến tính bị chặn T trên không gian Banach phức X là tập mở; do đó
phổ σ(T ) là tập đóng.
Định lý 1.7. (Giải thức, [8], p. 377) Với X và T như trong định lý 1.6
và mọi λ
0
∈ ρ(T ) giải thức R
λ

(T ) có biểu diễn
R
λ
=
∞

j=0
(λ − λ
0
)
j
R
j+1
λ
0
,
chuỗi hội tụ tuyệt đối với mọi λ thuộc đĩa mở được cho bởi
|λ − λ
0
| <
1
R
λ
0

trong không gian phức. Đĩa này là tập hợp con của ρ(T ).
15
Định lý 1.8. (Phổ, [8], p. 377) Phổ σ(T ) của toán tử tuyến tính bị chặn
T : X −→ X trên không gian Banach phức X là compact và chứa trong
đĩa được cho bởi

|λ| ≤ T .
Do đó tập hợp giải ρ(T) của T khác rỗng.
Định lý 1.9. (Phổ, [8], p. 463) Phổ σ(T ) của toán tử tuyến tính tự liên
hợp bị chặn T : H −→ H trên không gian Hilbert phức H là thực.
Định lý 1.10. (Chuẩn, [8], p. 463) Với toán tử tuyến tính tự liên hợp
bị chặn bất kỳ T trên không gian Hilbert phức H ta có
T  = max (|m|, |M|) = sup |T x, x|.
Định lý 1.11. (Định lý phổ cho toán tử tuyến tính tự liên hợp bị
chặn, [8], p. 505) Cho T : H −→ H là toán tử tuyến tính tự liên hợp bị
chặn trên không gian Hilbert phức. Khi đó
(a) T có biểu diễn phổ
T =

M
m−0
λdE
λ
,
trong đó C = (E
λ
) là họ phổ liên hợp với T ; tích phân được hiểu là toán
tử hội tụ đều [hội tụ trong chuẩn trên B(H, H)] và với mọi x, y ∈ H
T x, y =

M
m−0
λdw(λ), w(λ) = E
λ
x, y,
trong đó tích phân là tích phân Riemann-Stieltijes thông thường.

(b) Tổng quát hơn, nếu p là đa thức của λ có các hệ số thực
p(λ) = α
n
λ
n
+ α
n−1
λ
n−1
+ ··· + α
0
,
16
thì toán tử p(T ) được xác định bởi
p(T ) = α
n
T
n
+ α
n−1
T
n−1
+ ··· + α
0
I
có biểu diễn phổ
p(T ) =

M
m−0

p(λ)dE
λ
và với mọi x, y ∈ H,
p(T )x, y =

M
m−0
p(λ)dw(λ), w(λ) = E
λ
x, y.
(Mở rộng tới các hàm liên tục sẽ xét trong định lý 1.13.)
Chú ý: m−0 được viết để chỉ ra rằng phải đưa vào xem xét tại λ = m,
xảy ra nếu E
m
= 0 (và m = 0); do đó lấy bất kỳ a < m, ta có thể viết

M
a
λdE
λ
=

M
m−0
λdE
λ
= mE
m
+


M
m
λdE
λ
.
Tương tự,

M
a
p(λ)dE
λ
=

M
m−0
p(λ)dE
λ
= p(m)E
m
+

M
m
p(λ)dE
λ
.
Định lý 1.12. ([8], p. 509) Cho T như định lý 1.11 và p, p
1
, p
2

là các đa
thức có các hệ số thực. Khi đó
(a) p(T ) là tự liên hợp.
(b) Nếu p(λ) = αp
1
(λ) + βp
2
(λ), thì p(T ) = αp
1
(T ) + βp
2
(T ).
(c) Nếu p(λ) = p
1
(λ)p
2
(λ), thì p(T ) = p
1
(T )p
2
(T ).
(d) Nếu p(λ) ≥ 0 với mọi λ ∈ [m, M], thì p(T ) ≥ 0.
(e) Nếu p
1
(λ) ≥ p
2
(λ) với mọi λ ∈ [m, M], thì p
1
(T ) ≥ p
2

(T ).
(f) p(T ) ≤ max
λ∈J
|p(λ)|, trong đó J = [m, M].
(g) Nếu một toán tử tuyến tính bị chặn giao hoán với T , thì cũng
giao hoán với p(T ).
17
Định lý 1.13. (Định lý phổ, [8], p. 514) Cho T : H −→ H là toán tử
tuyến tính tự liên hợp bị chặn trên không gian Hilbert phức và f là hàm
giá trị thực liên tục trên [m, M]. Khi đó f(T ) có biểu diễn phổ
f(T ) =

M
m−0
f(λ)dE
λ
,
trong đó C = (E
λ
) là họ phổ liên hợp với T , tích phân được hiểu là toán
tử hội tụ đều, và với mọi x, y ∈ H
f(T )x, y =

M
m−0
f(λ)dw(λ), w(λ) = E
λ
x, y,
trong đó tích phân là tích phân Riemann-Stieltijes thông thường.
Định lý 1.14. ([8], p. 516) Định lý 1.12 vẫn đúng nếu p, p

1
, p
2
được thay
thế bởi các hàm giá trị thực liên tục f, f
1
, f
2
trên [m, M].
Định lý 1.15. (Giá trị riêng, [8], p. 517) Cho T : H −→ H là toán
tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn trên không gian Hilbert phức H và
C = (E
λ
) là họ phổ tương ứng. Khi đó λ → E
λ
gián đoạn tại bất kỳ
λ = λ
0
(nghĩa là, E
λ
0
= E
λ
0
−0
) nếu và chỉ nếu λ
0
là một giá trị riêng của
T . Trong trường hợp này không gian riêng tương ứng là
N (T −λ

0
I) = (E
λ
0
− E
λ
0
−0
) (H).
1.2. Toán tử tuyến tính không bị chặn và toán tử liên
hợp trong không gian Hilbert của chúng
Định nghĩa 1.15. (xem [4]) Một toán tử A xác định trong không gian
Hilbert H gọi là không bị chặn nếu nó không phải là bị chặn.
18
Ví dụ 1.3. Toán tử vi phân và toán tử nhân xác định trên L
R
không bị
chặn.
Cho A là một toán tử compact trong không gian Hilbert H vô hạn
chiều. Nếu A là khả nghịch, thì A
−1
không bị chặn. Thật vậy, cho v
n
∈ H
là một dãy trực giao và đặt Z
n
= Av
n
thì Z
n

−→ 0 nhưng A
−1
Z
n
 0.
Một toán tử tuyến tính không bị chặn có nhiều tính chất khác toán
tử tuyến tính bị chặn. Một kết quả nổi tiếng (định lý 1.16) dưới đây đã
gợi ý rằng miền xác định của toán tử và bài toán mở rộng toán tử sẽ
đóng vai trò đặc biệt. Thực tế chúng ta sẽ thấy rằng khá nhiều tính chất
của một toán tử phụ thuộc vào miền xác định và có thể thay đổi qua sự
mở rộng hay hạn chế.
Khi định lý đó được khám phá bởi E. Hellinger và O. Toeplitz (1910),
nó gây ra sự bối rối vì định lý thiết lập một quan hệ giữa hai tính chất,
đó là tính chất xác định khắp nơi và tính chất bị chặn.
Trong trường hợp của toán tử tuyến tính bị chặn T trên không gian
Hilbert H, tính tự liên hợp của T định nghĩa bởi
T x, y = x, T y (1.1)
Đây là một tính chất rất quan trọng. Định lý đó chỉ ra rằng một toán
tử tuyến tính không bị chặn T thỏa mãn (1.1) không thể xác định trên
toàn bộ H.
Định lý 1.16. (Định lý Hellinger-Toeplitz, [8], p. 525) Nếu toán tử
tuyến tính T xác định trên toàn bộ không gian Hilbert phức H và thỏa
mãn (1.1) với mọi x, y ∈ H, thì T bị chặn.
19
Chứng minh. Nếu trái lại H sẽ chứa một dãy (y
n
) sao cho
y
n
 = 1 và T y

n
 −→ ∞.
Ta xét hàm f
n
được định nghĩa bởi
f
n
(x) = T x, y
n
 = x, T y
n
,
trong đó n = 1, 2, , và ta sử dụng (1.1). Mỗi f
n
xác định trên toàn bộ
H và tuyến tính. Với mỗi n cố định hàm f
n
bị chặn vì theo bất đẳng
thức Schwarz ta có
|f
n
(x)| = |x, T y
n
| ≤ T y
n
x.
Hơn nữa, với mọi x ∈ H cố định, dãy (f
n
(x)) bị chặn. Thật vậy, sử dụng
bất đẳng thức Schwarz và y

n
 = 1, ta có
|f
n
(x)| = |T x, y
n
| ≤ T x.
Do đó, (f
n
) bị chặn, giả sử f
n
 ≤ k với mọi n. Điều này suy ra rằng
với mọi x ∈ H ta có
|f
n
(x)| ≤ f
n
x ≤ k x
và lấy x = T y
n
, ta nhận được
T y
n

2
= T y
n
, T y
n
 = |f

n
(T y
n
)| ≤ k T y
n
.
Do đó, T y
n
 ≤ k, mâu thuẫn với giả sử T y
n
 −→ ∞ và định lý được
chứng minh.
Trong lý thuyết của toán tử bị chặn, toán tử liên hợp T
∗
của toán tử
T trong không gian Hilbert đóng một vai trò cơ bản. Vì vậy chúng ta
khái quát hóa khái niệm quan trọng này với toán tử không bị chặn.
20
Định nghĩa 1.16. (xem [8], p. 527) Cho T : D(T ) −→ H là toán
tử tuyến tính xác định trù mật (có thể không bị chặn) trong không
gian Hilbert phức H. Khi đó toán tử liên hợp trong không gian Hilbert
T
∗
: D (T
∗
) −→ H của T được xác định như sau: Miền xác định D (T
∗
)
của T
∗

gồm tất cả các y ∈ H sao cho tồn tại y
∗
∈ H thỏa mãn
T x, y = x, y
∗

với mọi x ∈ D(T ). Với mỗi y ∈ D (T
∗
) như vậy toán tử liên hợp T
∗
trong
không gian Hilbert khi đó được xác định bởi các số hạng của nó là
y
∗
= T
∗
y.
1.3. Toán tử liên hợp trong không gian Hilbert, toán
tử tuyến tính đối xứng và toán tử tuyến tính tự
liên hợp
Định lý 1.17. ([8], p. 531) Cho S : D(S) −→ H và T : D(T ) −→ H là
các toán tử tuyến tính xác định trù mật trong không gian Hilbert phức.
Khi đó
(a) Nếu S ⊂ T , thì T
∗
⊂ S
∗
.
(b) Nếu D (T
∗

) trù mật trong H, thì T ⊂ T
∗∗
.
Định nghĩa 1.17. (xem [8], p. 533) Cho T : D(T ) −→ H là toán tử
tuyến tính xác định trù mật trong không gian phức H. Khi đó T được
gọi là toán tử tuyến tính đối xứng nếu với mọi x, y ∈ D(T ),
T x, y = x, T y.
21
Bổ đề 1.2. (Toán tử đối xứng, [8], p. 533) Một toán tử tuyến tính T
xác định trù mật trong không gian Hilbert phức H là đối xứng nếu và
chỉ nếu
T ⊂ T
∗
.
Định nghĩa 1.18. (xem [2]) Cho T : D(T ) −→ H là toán tử tuyến tính
xác định trù mật trong không gian phức H. Khi đó T được gọi là toán
tử tuyến tính tự liên hợp nếu
T = T
∗
.
Nhận xét 1.1. Mọi toán tử tuyến tính tự liên hợp đều đối xứng.
1.4. Toán tử tuyến tính đóng và bao đóng
Định nghĩa 1.19. (xem [8], p. 535) Cho T : D(T ) −→ H là toán tử
tuyến tính, trong đó D(T ) ⊂ H và H là không gian Hilbert phức. Khi
đó T được gọi là toán tử tuyến tính đóng nếu đồ thị của nó
G(T ) = {(x, y) | x ∈ D(T ), y = T x}
đóng trong H × H, trong đó chuẩn trên H × H được xác định bởi
(x, y) =

x

2
+ y
2

1
2
và kết quả từ tích trong xác định bởi
(x
1
, y
1
) , (x
2
, y
2
) = x
1
, x
2
 + y
2
, y
2
.
Định lý 1.18. (Toán tử tuyến tính đóng, [8], p. 536) Cho T : D(T ) −→
H là toán tử tuyến tính, trong đó D(T ) ⊂ H và H là không gian Hilbert
phức. Khi đó
22
(a) T đóng nếu và chỉ nếu
x

n
→ x [x
n
∈ D(T )] và T x → y
cùng với nhau suy ra x ∈ D(T ) và T x = y.
(b) Nếu T đóng và D(T) đóng, thì T bị chặn.
(c) Cho T bị chặn. Khi đó T đóng nếu và chỉ nếu D(T) đóng.
Định lý 1.19. ([8], p. 536) Toán tử liên hợp T
∗
trong không gian Hilbert
được xác định trong định nghĩa 1.16 là đóng.
Định nghĩa 1.20. (xem [4]) Nếu toán tử tuyến tính T có một mở rộng
T
1
là toán tử tuyến tính đóng, thì T được gọi là đóng được, và T
1
được
gọi là một mở rộng tuyến tính đóng của T .
Một mở rộng tuyến tính đóng T của toán tử tuyến tính đóng được T
được gọi là cực tiểu nếu mọi mở rộng tuyến tính đóng T
1
của T là mở
rộng tuyến tính đóng của T . Mở rộng cực tiểu T này của T , nếu tồn tại,
được gọi là bao đóng của T .
Nhận xét 1.2. Nếu T tồn tại thì nó là duy nhất.
Định lý 1.20. (Bao đóng, [8], p. 537) Cho T : D(T) −→ H là toán
tử tuyến tính, trong đó H là không gian Hilbert phức và D(T ) trù mật
trong H. Khi đó nếu T đối xứng, thì bao đóng của nó T tồn tại và là
duy nhất.
Định lý 1.21. ([8], p. 539) Với toán tử tuyến tính đối xứng T như trong

định lý 1.20 ta có

T

∗
= T
∗
.
23