Thống kê lượng tử và áp dụng thống kê Fermin - Dirac biến dạng q nghiên cứu tính chất từ của khí điện tử tự do

1


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2



DƯƠNG ĐẠI PHƯƠNG



THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ VÀ ÁP DỤNG THỐNG KÊ
FERMI-DIRAC BIẾN DẠNG q NGHIÊN CỨU TÍNH
CHẤT TỪ CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ TỰ DO

Chuyên ngành: Vật lý chất rắn
Mã số: 60 44 07


LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

Người hướng dẫn khoa học: Tiến sĩ Lưu Thị Kim Thanh





HÀ NỘI, 2009
2

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được thực hiện tại trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của Tiến sĩ Lưu Thị Kim Thanh, người đã đặt nền móng và tận
tình hướng dẫn tôi hoàn thành bài luận văn này. Cô luôn động viên, khích lệ
để tôi vượt qua khó khăn, vươn lên trong cuộc sống đặc biệt trong học tập và
công tác nghiên cứu khoa học. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân
thành và sâu sắc nhất đối với cô.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo Khoa Vật lý, Phòng
Sau Đại Học, Ban Giám Hiệu Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2; Khoa Cơ
Bản, Trường Sỹ Quan Tăng Thiết Giáp - Bộ Tư Lệnh Tăng Thiết Giáp; Phòng
Quản Lý Học Viên, Đoàn 871 - Bộ Quốc Phòng đã tạo mọi điều kiện để tôi
hoàn thành chương trình học và bài luận văn tốt nghiệp này.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã tạo mọi điều kiện thuận
lợi nhất, đóng góp những ý kiến, kinh nghiệm quí báu giúp tôi hoàn thành
luận văn.


Hà nội, tháng 09 năm 2009
Tác giả


Dương Đại Phương




3

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của Tiến sĩ Lưu Thị Kim Thanh. Luận văn này không hề trùng lặp
với những đề tài nghiên cứu khác.



Hà nội, tháng 09 năm 2009
Tác giả


Dương Đại Phương

4


MỤC LỤC

Trang
Mở đầu
Nội dung
Chương 1. Xây dựng các phân bố thống kê lượng tử bằng phương
pháp Gibbs.
1.1 Phân bố chính tắc Gibbs lượng tử.
1.2 Giá trị trung bình của số chứa đầy.
1.3 Phân bố thống kê lượng tử Maxwell-Boltzman.
1.4 Phân bố thống kê lượng tử Bose-Einstein.
1.5 Phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac.
Chương 2. Xây dựng các phân bố thống kê lượng tử và các phân bố
thống kê lượng tử biến dạng –q bằng phương pháp lý thuyết trường
lượng tử.
2.1 Xây dựng các phân bố thống kê lượng tử bằng phương
pháp lý thuyết trường lượng tử.
2.1.1 Hình thức luận dao động tử điều hòa.
2.1.2 Phân bố thống kê lượng tử Bose-Einstein.
2.1.3 Phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac.
2.2 Xây dựng các phân bố thống kê lượng tử biến dạng q bằng
phương pháp lý thuyết trường lượng tử.
2.2.1 Lý thuyết về q-số.
2.2.2 Dao động tử điều hòa biến dạng q, biến dạng
q của dao động Fermion.
2.2.3 Phân bố thống kê lượng tử Bose-Einstein biến dạng q.
2.2.4 Phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac biến dạng q.

5


Chương 3. Áp dụng phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac nghiên
cứu tính chất từ của khí điện tử tự do.
3.1 Tổng quan về các tính chất từ.
3.1.1 Khái niệm và các đại lượng đặc trưng cho vật liệu từ.
3.1.2 Phân loại các vật liệu từ.
3.2 Áp dụng phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac nghiên cứu
tính chất từ của khí điện tử tự do trong kim loại.
3.2.1 Khảo sát khí điện tử tự do trong kim loại.
3.2.2 Áp dụng phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac
nghiên cứu tính chất từ của khí điện tử tự do trong kim loại.
3.3 Áp dụng phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac biến dạng q
nghiên cứu tính chất từ của khí điện tử tự do trong kim loại.
Kết luận
Tài liệu tham khảo

6


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Vật lý học phát triển cùng với sự phát triển của lịch sử loài người,
những ứng dụng của nó đã đạt được nhiều thành tựu vĩ đại trong mọi hoạt
động đời sống xã hội. Thế kỷ XVIII cơ học cổ điển Newton ra đời đã trở
thành môn khoa học cơ bản, thế kỷ XIX lý thuyết điện từ trường của Maxwell
và Faraday đã có nhiều ứng dụng quan trọng trong khoa học kỹ thuật, thế kỷ
XX là thế kỷ của vật lý học hiện đại với khuynh hướng thâm nhập sâu vào cấu
trúc vi mô của vật chất người ta đã thấy rằng các quy luật được tìm thấy trong
vật lý học cổ điển hơn nữa mà ở đây còn xuất hiện quy luật mới đó là quy luật
thống kê. Vật lý thống kê là một bộ phận của vật lý học hiện đại nghiên cứu
các tính chất của hệ lượng tử bằng các phương pháp của vật lý lý thuyết.
Trong vật lý lý thuyết cũng như trong vật lý chất rắn, khi có sự sai khác
giữa một lý thuyết chính tắc và một kết quả thực nghiệm, người ta thường
dùng các phương pháp gần đúng để giải quyết chẳng hạn như phương pháp
nhiễu loạn. Tuy nhiên, nhiều hiện tượng vật lý lại không dễ dàng thấy được
bằng phương pháp này như sự phá vỡ đối xứng tự phát, sự chuyển pha các
trạng thái… Điều đó đòi hỏi phải có những phương pháp mới phù hợp đảm
bảo được các yếu tố phi tuyến của lý thuyết như phương pháp tác dụng hiệu
dụng, phương pháp nhóm lượng tử mà cấu trúc của nó là đại số biến dạng.
Khoảng hai thập kỷ gần đây, việc nghiên cứu nhóm lượng tử và đại số
lượng tử đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà vật lý lý thuyết, đặc biệt
các cấu trúc toán học mới này phù hợp với nhiều vấn đề của vật lý lý thuyết
như: Thống kê lượng tử, quang học phi tuyến, vật lý chất rắn…Khi áp dụng
đại số biến dạng vào vật lý thống kê, chúng ta rất thuận lợi trong nghiên cứu

dao động tử điều hoà biến dạng, hơn nữa lý thuyết này còn rất thành công
trong việc nghiên cứu và giải thích các vấn đề liên quan đến hệ các hạt đồng
nhất Boson và Fermion. Xuất phát từ những vấn đề đó, tôi chọn đề tài:
7

“ Thống kê lượng tử và áp dụng thống kê Fermi-Dirac biến dạng q
nghiên cứu tính chất từ của khí điện tử tự do” làm nghiên cứu cho luận văn tốt
nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu.
- Xây dựng các định luật phân bố thống kê lượng tử bằng phương pháp
Gibbs và phương pháp lý thuyết trường lượng tử trong trường hợp chưa
có biến dạng.
- Xây dựng các định luật phân bố thống kê lượng tử và các định luật
phân bố thống kê lượng tử biến dạng q bằng phương pháp lý thuyết
trường lượng tử.
- Áp dụng thống kê Fermi-Dirac nghiên cứu độ cảm từ của khí điện tử tự
do.
- So sánh kết quả tính toán lý thuyết thu được với kết quả thực nghiệm và
rút ra kết luận.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Sử dụng phương pháp Gibbs và phương pháp lý thuyết trường lượng
tử để xây dựng các phân bố thống kê lượng tử.
- Áp dụng thống kê Fermi-Dirac nghiên cứu tính chất từ của khí điện tử
tự do trong kim loại.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
a. Đối tượng.
- Các phân bố thống kê lượng tử.
- Hệ khí Fermion và thống kê Fermi-Dirac.
- Độ cảm từ của khí điện tử tự do trong kim loại.
b. phạm vi nghiên cứu.

Khí điện tử tự do trong kim loại.
5. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp vật lý lý thuyết.
- Phương pháp toán lý.
8

6. Nội dung.
Chương 1. Xây dựng các phân bố thống kê lượng tử bằng phương pháp
Gibbs.
1.1 Phân bố chính tắc Gibbs lượng tử.
1.2 Giá trị trung bình của số chứa đầy.
1.3 Phân bố thống kê lượng tử Maxwell-Boltzman.
1.4 Phân bố thống kê lượng tử Bose-Einstein.
1.5 Phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac.
Chương 2. Xây dựng các phân bố thống kê lượng tử và các phân bố thống
kê lượng tử biến dạng –q bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử.
2.1 Xây dựng các phân bố thống kê lượng tử bằng phương pháp lý
thuyết trường lượng tử.
2.1.1 Hình thức luận dao động tử điều hòa.
2.1.2 Phân bố thống kê lượng tử Bose-Einstein.
2.1.3 Phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac.
2.2 Xây dựng các phân bố thống kê lượng tử biến dạng q bằng phương
pháp lý thuyết trường lượng tử.
2.2.1 Lý thuyết về q-số.
2.2.2 Dao động tử điều hòa biến dạng q, biến dạng q của dao
động Fermion.
2.2.3 Phân bố thống kê lượng tử Bose-Einstein biến dạng q.
2.2.4 Phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac biến dạng q.
Chương 3. Áp dụng phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac nghiên
cứu tính chất từ của khí điện tử tự do.

3.1 Tổng quan về các tính chất từ.
3.1.1 Khái niệm và các đại lượng đặc trưng cho vật liệu từ.
3.1.2 Phân loại các vật liệu từ.
3.2 Áp dụng phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac nghiên cứu
tính chất từ của khí điện tử tự do trong kim loại.
9

3.2.1 Khảo sát khí điện tử tự do trong kim loại.
3.2.2 Áp dụng phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac
nghiên cứu tính chất từ của khí điện tử tự do trong kim loại.
3.3 Áp dụng phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac biến dạng q
nghiên cứu tính chất từ của khí điện tử tự do trong kim loại.
7. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài.
- Xây dựng được lý thuyết q-số, lý thuyết biến dạng q của dao
động Boson và Fermion cho hệ các hạt đồng nhất.
- Xây dựng được hai định luật phân bố thống kê lượng tử: Bose-
Einstein và Fermi-Dirac trong trường hợp có biến dạng.
- Xác định được độ cảm từ của khí điện tử tự do trong kim loại
trong trường hợp có biến dạng.

10


NỘI DUNG

CHƯƠNG 1
XÂY DỰNG CÁC PHÂN BỐ THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ BẰNG
PHƯƠNG PHÁP GIBBS
1.1 Phân bố chính tắc gibbs lượng tử.
Các hạt của thế giới vi mô ( hạt lượng tử ) như electron, photon tuân
theo các định luật của cơ học lượng tử. Những hệ được cấu thành bởi các hạt
lượng tử như hệ các electron trong kim loại, hệ khí photon được gọi là hệ
lượng tử.
Đối với hệ đẳng nhiệt có các mức năng lượng hoàn toàn không suy biến
thì phân bố chính tắc lượng tử là.
W
k
= exp
k

  
 
 
 

(1.1)
Nếu xẩy ra suy biến nghĩa là cùng một mức năng lượng ứng với nhiều hàm
k

khác nhau, tức là nhiều trạng thái vật lý khác nhau lúc đó.
W
k
= exp
k

  
 
 
 
g
k
(1.2)
Trong đó g
k
là độ suy biến.
Nói chung, số hạt trong hệ không phải là bất biến cho nên thay thế cho phân
bố chính tắc lượng tử ta dùng phân bố chính tắc lớn lượng tử có dạng:
W(n
0,
n
1,
)
1
!



exp
0
l l
l
n
 



 
   
 
 
 
 
 
 

g
k
(1.3)
Trong đó N
0
l
l
n








là thế nhiệt động lớn.
µ là thế hóa học.
11

1.2 Giá trị trung bình của số chứa đầy.
Do tính đồng nhất như nhau của các hạt vi mô và tính đối xứng của hàm
sóng. Nếu hệ gồm các hạt không tương tác thì ta có.
E
k
0
l l
l
n





(1.4)
Trong đó
l

là năng lượng của một hạt riêng lẻ của hệ.
l
n
là số chứa đầy tức là số hạt có cùng năng lượng

l

.

Kí hiệu G (n
0,
n
1,
)
!
k
g



Thay vào (1.3) ta được
W(n
0,
n
1,
) = exp
0
( )
l l
l
n
 




 
  
 
 
 
 
 
 

G(n
0,
n
1,
) (1.5)
Từ (1.5) ta có nhận xét sau đây.
Bởi vì vế bên phải của (1.5) có thể coi là hàm của các n
l
cho nên ta có
thể đoán nhận công thức đó như là xác suất để cho có n
0
hạt nằm trên mức
năng lượng ε
0
, n
l
hạt nằm trên mức năng lượng ε
l
, nghĩa là, đó là xác suất
của các số chứa đầy; do đó, nhờ công thức này ta có thể tìm được số hạt trung
bình nằm trên các mức năng lượng.

k
n
0 1
0 1
w( , )
k
n n
n n n


(1.6)
Ta có điều kiện chuẩn hóa
0 1
0 1
w( , )
n n
n n

= 1 (1.7)


0 1
n n

exp
0
( )
l l
l
n

 



 
  
 
 
 
 
 
 

G(n
0,
n
1,
) = 1
12


exp


 
 
 
0 1
0
( )

exp
l l
l
n n
n
 



 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


G(n
0,
n
1
) = 1


exp


 
 
 
Z = 1 (1.8)
Trong đó
Z
0 1
0
( )
exp
l l
l
n n
n
 



 

 
 

 
 
 

 


G(n
0,
n
1
, ) (1.9)
Từ (1.8) ta suy ra
Ω = −θlnZ. (1.10)
Để tính giá trị trung bình của các số chứa đầy (số hạt trung bình nằm
trên các mức năng lượng khác nhau) ta dùng thủ thuật toán học sau đây. Ta
gắn cho đại lượng μ trong công thức (1.5) chỉ số l, nghĩa là ta sẽ coi hệ ta xét
hình như không phải chỉ có một thế hóa học μ mà có cả một tập hợp các thế
hóa học μ
l
và cuối phép tính toán ta sẽ đặt tất cả các μ
l
bằng nhau và bằng μ.
Nghĩa là
Z
0 1
0
( )
exp
l l l
l
n n
n
 




 

 
 

 
 
 
 


G(n
0,
n
1
, ). (1.11)
Ta xét đạo hàm của Ω theo μ
k

1
k k

 
 
 
  

Kết hợp (1.8) ta suy ra

1
k k

 
 
 
  
= −θexp


 
 
 
k




13

= −θexp


 
 
 
0 1
0

( )
1
exp
l l l
l
k
n n
n
n
 
 


 

 
 
 
 
 
 


G(n
0
,n
1
).
= −
0 1

0
( )
exp
l l l
l
k
n n
n
n
 



 
  
 
 
 
 
 
 


G(n
0
,n
1
). (1.12)
Ta thấy khi μ
k

= μ vế phải của công thức (1.12) có ý nghĩa là giá trị
trung bình của số chứa đầy n
k
,

nghĩa là ta được.
k
n
= −
k
k
 




(1.13)
1.3 Phân bố thống kê lượng tử Maxwell-Boltzman.
Trong phân bố thống kê lượng tử Maxwell-Boltzman các số chứa đầy có
thể có trị số bất kỳ và có độ suy biến.
 
g


=
0 1
!
! ! !
k
n n n



Suy ra
G(n
0
,n
1
)
( )
!
k
g



0 1
1
! !
n n

(1.14)
Ta có tổng trạng thái.
Z
0 1
0
( )
exp
l l l
n
n n

n
 



 

 
 

 
 
 
 


0 1
1
! !
n n

Z
0
0 0 0
0
( )
exp
!
n
n

n
 


 
 
 


1
1 1 1
1
( )
exp
!
n
n
n
 


 
 
 


Z
0
0
exp

!
l l
n
l
n
n
 





  
 
 
 
 
 




Z
0
exp exp
l l
l
 




  
 

 
 
 
 

(1.15)
14

Ta có
Ω = −θlnZ = −θln
0
exp exp
l l
l
 



  
 
 
 
 
 


= −θ
0
ln exp exp exp
l l
l
 



 
  
 
 
 
 
 
 
 

= −θ
0
exp
l l
l
 




 

 
 

(1.16)
Số hạt trung bình trên các mức năng lượng là:
l
n

Mà
l
l
 




= −θ
l



exp
l l
 


 
 
 
= −θ

1

exp
l l
 


 
 
 


exp
l l
 


 
 
 
 
(1.17)
Suy ra
l
n
= −
l
l
 






exp
l
 


 

 
 
(1.18)
Mà số hạt trung bình trên một mức năng lượng nào đó tỉ lệ với xác suất
tìm hạt trên mức đó.
Vậy ta có phân bố thống kê lượng tử Maxwell-Boltzman
f

(ε)
exp
 


 

 
 
(1.19)

1.4 Phân bố thống kê lượng tử Bose-Einstein.
Đối với hệ hạt boson, số hạt trên các mức năng lượng có thể có trị số bất
kỳ ( từ 0 đến ∞ ) và G(n
0
,n
1
) = 1.
Ta có tổng trạng thái
Z
0 1
0
( )
exp
l l l
l
n n
n
 



 

 
 

 
 
 
 




Z
0
0
exp
l l
n
l
n
 





  
 

 
 
 
 



Vì
0
exp

l l
n
n
 



  
 
 
 
 
 

là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn nên
15

0
exp
l l
n
n
 



  
 
 
 

 
 

1
1 exp
l l
 



 

 
 

0
1
1 exp
l
l l
Z
 



 

 

 

 

(1.20)
Từ đó suy ra
Ω = −θlnZ = −θln
0
1
1 exp
l
l l
 




 

 
 


Ω = θ
0
ln 1 exp
l l
l
 




  
 

 
 
 
 

(1.21)
0
ln 1 exp
l l
l
l l
 

  


  
 
 
 
 
 
 
 
 


exp
1
exp 1 exp 1
l l
l l l l
 

   
 

 
 
 
  
 
   
 
   
   
(1.22)
Suy ra số hạt trung bình trên các mức năng lượng là:
l
n
= −
l
l
 






1
exp 1
 



 

 
 
(1.23)
Vậy ta có phân bố thống kê lượng tử Bose-Einstein.
f
B
(ε)
1
exp 1
 



 

 
 
(1.24)
Thế hóa học μ trong phân bố được xác định:

0
l
l
n



=

(1.25)
1.5 Phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac.
Đối với hệ hạt fermion, theo nguyên lí pauli số hạt trung bình trên một
mức năng lượng chỉ có thể bằng 0 hoặc bằng 1 (n
l

1) và G(n
0,
n
1
) = 1
Ta có tổng trạng thái
16

Z
0 1
0
1 1
( )
exp
l l l

l
n n
n
 



 
 

 
 

 
 
 
 




0
0 0
0
exp
n
n
 

  

 

 
 
 
 

1
1 1
1
exp
n
n
 

  
 
 
 
 
 


=
1
0
0
exp
l l
n

l
n
 




  
 
 
 
 
 


=
0
1 exp
l l
l
 



  
 

 
 
 

 

(1.26)
Từ đó Ω = −θlnZ = −θln
0
1 exp
l l
l
 



  
 

 
 
 
 


= −θ
0
ln 1 exp
l l
l
 




  
 

 
 
 
 

(1.27)
Suy ra số hạt trung bình trên các mức năng lượng là:
l
n
= −
l
l
 




=
exp
1
1 exp
l l
l l
 


 



  
 
 
 
 
 
 

 
 

 
 
 
 


exp
1
1 exp exp 1
l l
l l l l
 

   
 

 

 
 
 
 
   
 
   
   
(1.28)
Vậy ta có phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac.
f
F
(ε)
1
exp 1
 



 

 
 
(1.29)
Kết luận chương 1:
Như vậy trong chương 1 chúng ta đã đưa ra nội dung của phương pháp
Gibbs, thông qua phân bố chính tắc lớn Gibbs ta xác định được giá trị trung
bình của số lấp đầy, làm cơ sở để xây dựng các phân bố thống kê lượng tử.
Bằng phương pháp Gibbs ta đã xây dựng các phân bố thống kê
lượng tử: Thống kê lượng tử Maxwell-Boltzman; Thống kê lượng tử Bose-

Einstein; Thống kê lượng tử Fermi-Dirac.

17


CHƯƠNG 2
XÂY DỰNG CÁC PHÂN BỐ THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ VÀ CÁC PHÂN
BỐ THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ BIẾN DẠNG q BẰNG PHƯƠNG PHÁP
LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ
2.1 Xây dựng các phân bố thống kê lượng tử bằng phương pháp lý thuyết
trường lượng tử.
2.1.1 Hình thức luận dao động tử điều hòa.
Dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m
chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi F = −k
x
dọc theo một
đường thẳng nào đó.
Toán tử Hamiltonian của dao động tử điều hòa một chiều có dạng:



2
2
x
p
m


2
2

2
m
x


(2.1)

Trong đó

x

q x 
là toán tử tọa độ và

x
p
d
i
dx
 

là toán tử xung lượng.
Hệ thức giao hoán giữa

p
và

q




,p q
 
 

 

pq q p
 
d
i
dx
 

x
d
xi
dx





 


,
,
d d
p q i x xi i

dx dx
p q i
   
 
    
 
 
  
 
  

(2.2)
Hamiltonian biểu diễn qua

p
và

q
có dạng:



2
2
2
2 2
p m
q
m


  
(2.3)
Đặt

 
 
  
 
2
2
m
p i a a
q a a
m




 
 


(2.4)
18

Biểu diễn


theo


a
và

a

ta được:



  
 
 
 
2
2 2
2 2
2
2
1
2 2 2 2 2 2
p m m m
q i a a a a
m m m
  

 
           
 

 
 
 
 
2 2
1
2 2
a a a a

 
 
   
 
 



 
 
 
 
 
 
 
 
1
2 2
a a a a a a a a

   

 
     
 



   
 
1
2 2
2 2
aa a a



 

   
 
2
aa a a



 

(2.5)
Các toán tử

a

và

a

có thể được biểu diễn ngược lại qua

p
và

q
như sau:


 
 
2
m
p i a a


 


 
a a



2
p

m
i




2
i p
m

 

(2.6)
  
 
2
q a a
m


 




 
a a




2
q
m




2
m
q



(2.7)
Từ đó ta thu được:
 

2
m p
a q i
m


 
  
 
 
 

(2.8)

và
 

2
m p
a q i
m



 
 
 
 
 

(2.9)
Dễ dàng chứng minh được rằng các toán tử

a
và

a

thỏa mãn hệ thức
 
,
a a

 

 
= 1 (2.10)
Thật vậy
 
,
a a

 
 
   
aa a a


 









2 2 2 2
m p m p m p m p
q i q i q i q i
m m m m
   
   
       

      
       
       
       
   


 

 

 

 
 
1
2 2 1
2
i i
i pq i q p pq q p i
 

      

  
(đpcm)
19

Do đó toán tử Hamiltonian có dạng



 
1
2
a a


 
 
 
 

(2.11)
Ta đưa vào toán tử mới


 
a a


(2.12)
Hệ thức giao hoán giữa toán tử


với các toán tử

a
và

a


là



 

     
   
 
  
,
1
a a a a aa aa a
a a aa a a a
 


 
      
 
     



 

 
1
a a

   
(2.13)
Tương tự ta cũng có



 

          
 

, 1a a a a aa a a a a aa a a a
         

 
          
 



 

 
1
a a


   
(2.14)
Ký hiệu

n
là véc tơ riêng của toán tử


ứng với trị riêng n, ta có
phương trình:
 
n n n n n n n n n n n
     
(2.15)
Từ phương trình (2.15) ta có

 
0
n n n a a n
n
n n n n


  
(2.16)
Vì
n n
 
2
0
n
r d r

 


 

 
n a a n


 
2
0
n
a r d r

 

 

Kết luận 1:
Các trị riêng của toán tử


là các số không âm. Xét véc tơ trạng thái
thu được bằng cách tác dụng toán tử

a
lên
n
ta thu được véc tơ trạng thái
20


a n
.Tác dụng lên véc tơ trạng thái này toán tử


và sử dụng công thức (2.13)
ta có:

 

 

   

1 1 1
a n a n a n n n a n
       
(2.17)
Ý nghĩa: Hệ thức (2.17) có ý nghĩa là véc tơ trạng thái

a n
cũng là một
véc tơ trạng thái riêng của toán tử


ứng với trị riêng (n-1).
Tương tự như vậy
 
2 3
, a n a n

cũng là véc tơ trạng thái của toán tử



ứng với trị riêng (n − 2), (n − 3)
Xét véc tơ trạng thái

a n

ta tác dụng lên véc tơ trạng thái này toán tử


và
sử dụng công thức (2.14) ta có.

 
   

1 1
a n a n n n a n
 
    
(2.18)
Ý nghĩa: Hệ thức (2.18) chứng tỏ véc tơ trạng thái

a n

cũng là một
véc tơ trạng thái riêng của toán tử



ứng với trị riêng (n + 1).
Tương tự ta có thể dễ dàng chứng minh được rằng
 
2 3
, a n a n
 
cũng là các
véc tơ riêng của toán tử


ứng với trị riêng (n + 2), (n + 3)
Kết luận 2:
Nếu
n
là một véc tơ riêng của toán tử


ứng với trị riêng n thì P = 1,
2, 3, ,

p
a n
cũng là một véc tơ riêng của toán tử


ứng với trị riêng n – p.
Kết hợp kết luận 1 và kết luận 2 ta thấy n là một trị riêng của toán tử



thì
chuỗi các số không âm n – 1, n – 2, n – 3 cũng là trị riêng của toán tử


. Vì
chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất sao cho:

min
0
a n

(2.19)
Vì nếu

min
0
a n

thì đó là véc tơ trạng trái ứng với trị riêng
min min
1
n n 
, sẽ
trái với giả thiết
min
n
là trị riêng nhỏ nhất.
Từ (2.19) ta có
 


min min
0
a a n n

  
(2.20)
21

Mặt khác theo định nghĩa cuả
min
n
:

min min min
n n n 
(2.21)
Kết hợp hai phương trinh (2.20) và (2.21) ta đi đến kết luận sau:
Kết luận 3:
Trị riêng nhỏ nhất của toán tử


là
min
n
= 0.Véc tơ trạng thái ứng với trị
riêng nhỏ nhất của được ký hiệu là
0
. Véc tơ trạng thái này thỏa mãn điều
kiện:


0 0
a

(2.22)
Khi đó


0
a

tỉ lệ với véc tơ riêng
1
của toán tử


ứng với trị riêng
1
n

.


2
0
a

tỉ lệ với véc tơ riêng
2
của toán tử



ứng với trị riêng
2
n

.
. . . . . . . . . . . .

0
n
a

tỉ lệ với véc tơ riêng
n
của toán tử


ứng với trị riêng
n
.
Từ (2.11) và (2.12) suy ra



 
1
2
a a



 
 
 
 


1
2

 
  
 
 

(2.23)
Ta thấy:
0
là véc tơ riêng của


ứng với trị riêng
0
1
2

 


1
là véc tơ riêng của



ứng với trị riêng
1
1
1
2

 
  
 
 


.
.
.
n
là véc tơ riêng của


ứng với trị riêng
1
2
n
n

 
  
 

 

.
Vậy các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián
đoạn với các giá trị cách đều nhau, hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái kề
nhau luôn luôn bằng một lượng tử năng lượng


. Trạng thái
0
có năng
lượng thấp nhất
0

. Trạng thái tiếp theo
1
với năng lượng
1 0

    
có thể
22

được xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng


vào trạng
thái
0
. Trạng thái tiếp theo

2
ứng với năng lượng
2 1

    

0
2

   

có thể xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng


vào trạng
thái
1
, cũng có nghĩa là thêm hai lượng tử năng lượng


vào trạng thái
0
Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là
0

thì có thể coi
0
là trạng thái
không chứa lượng tử nào. Vì vậy
0

gọi là trạng thái chân không,
1
là trạng
thái chứa một lượng tử,
2
là trạng thái chứa hai lượng tử, ,
n
là trạng thái
chứa n lượng tử. Toán tử


có các trị riêng nguyên không âm cách nhau một
đơn vị được đoán nhận là toán tử số lượng tử năng lượng. Toán tử

a
khi tác
dụng lên trạng thái
n
cho ta một trạng thái tỉ lệ với (n – 1) và do đó được
đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng. Toán tử

a

khi tác dụng lên
trạng thái
n
cho ta một trạng thái tỉ lệ với (n + 1) và do đó được đoán nhận
là toán tử sinh lượng tử năng lượng. Nếu ta tưởng tượng rằng lượng tử năng
lượng là một hạt thì toán tử



sẽ là toán tử số hạt, toán tử

a
sẽ là toán tử hủy
hạt, còn toán tử

a

sẽ là toán tử sinh hạt. Khi đó trạng thái
n
với năng lượng
n
n

  
sẽ là trạng thái chứa n hạt. Đó chính là biểu diễn số hạt của dao động
tử điều hòa. Trong cơ học tử trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa có
thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng


. Khái niệm
hạt đưa vào ở đây để diễn đạt, thực ra đó là các “giả hạt”.
Như đã lập luận ở trên toán tử

a
khi tác dụng lên
n
cho một trạng thái tỉ lệ
với

1n 
và toán tử

a

khi tác dụng lên
n
cho một trạng thái tỉ lệ với
1n 
.
Do đó, chúng ta tính các hệ số tỉ lệ
, ,
n n n
  
trong các biểu thức:



1
1
0
n
n
n
n
a n n
a n n
n a






 
 

(2.24)
Để cho các véc tơ trạng thái là trực giao chuẩn hóa thì
23

,
,
m n
m n


(2.25)
Chứng minh
Từ (2.16) và (2.25) ta có
 
,m n
n n n n
n
n n

 
 
(vì
m n
nên

,m n

= 1)

 
n n n n a a n

  
(2.26)
Mặt khác ta có


*
*
1
1
n
n
n a n
n a n



 
 
(2.27)
2 2
*
1 1 1 1
n n n n

n n n n n
   
       

Coi
n

là số thực nên
n

n

(2.28)
Từ (2.26) ta có

   
1n n a a n n aa n


  

=
*
1 1 1
n n
n n
 
  

=

2 2
1 1 1 1
n n
n n
 
    

Coi
n

là số thực nên
2
1 1
n n
n n
 
    
(2.29)
Từ (2.24) ta có
 
 

1
0 0
n
n
n n
n a a a
 


 

 


 

 


 

 
 
 
 
1 2
0 0
2 2
0 1 0 1
0 1 2 1
1
2
2
1 1
2 2

1.2 !
! 1
n n

n n
n n
n n
n n
n n
n
n a a a
n a a
n n
n n n n n
n n n
   
     
    
 

 

 
 
 

 
 

 
  

Coi
n


là thực
1
!
n
n

 
(2.30)
Vậy ta thiết lập được các công thức sau:
24






0 0
1
1 1
1
0
!
n
n n n
a
a n n n
a n n n
n a
n



 

 
  

(2.31)
Trên đây chúng ta đã tìm được các hệ thức giao hoán của toán tử sinh
hạt và toán tử hủy hạt.
 
,
a a

 
 
= 1 (2.32)
 
,a a
 
 
=
 
,
a a
 
 
 
= 0 (2.33)
Các hệ thức này được mở rộng ra cho hệ nhiều hạt ở nhiều trạng thái

khác nhau như sau:
 
,
a a



 
 
=


(2.34)
 
,
a a
 
 
 
=
 
,
a a
 
 
 
 
 
= 0 (2.35)
Có một câu hỏi đặt ra đó là các lượng tử của dao động tử điều hòa hay

một cách tổng quát hơn, các hạt mà toán tử sinh hạt và toán tử hủy hạt thỏa
mãn các hệ thức giao hoán (2.35) là boson hay fermion? Để trả lời câu hỏi
này, ta xây dựng véc tơ trạng thái của hệ hai hạt ở hai trạng thái khác nhau ν
và μ, đó là:
 
 
0
0
a a
a a
 
 


 
 


(2.36)
Trong đó
0
là trạng thái chân không không chứa hạt nào.
Vì các toán tử sinh hạt thỏa mãn các hệ thức giao hoán (2.35) nên
   
a a a a
   
   
 
(2.37)
Do đó ta suy ra :

 

(2.38)
Như vậy, do có các hệ thức giao hoán (2.35) nên véc tơ trạng thái của
hệ hai hạt đồng nhất có tính chất đối xứng với phép hoán vị hai hạt. Chúng là
25

các boson và đối với các boson toán tử số hạt


=
 
a a
 

trong một trạng thái ν
có thể nhận bất cứ giá trị nguyên không âm nào phù hợp hoàn toàn với hiện
tượng ngưng tụ bose-Einstein.
Kết luận:
Các toán tử sinh, hủy boson phải tuân theo các hệ thức giao hoán (2.35).
Yếu tố ma trận của

a
,

a

,



trong
n
biểu diễn có thể tính nhờ các biểu thức
sau:


'
' '
, 1
1 1 1
n n
n a n n n n n



    



'
' '
, 1
1
n n
n a n n n n n


  
(2.39)


'
' '
,n n
n n n n n n

  

Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson

a

, hủy Boson

a
và toán
tử số hạt


có dạng:


0 1 0
0 0
2
0 0
0
a
 
 

 

 
 
 
 



  



0 0 0
0
0
1
0
0 2
a

 
 
 

 
 
 
 




  



 
1 0 0
0 2 0
0 0 3
a a

 
 
 
  
 
 
 



  
(2.40)
Còn đối với các fermion, các toán tử sinh, hủy fermion không tuân theo
các hệ thức (2.35). Để tìm các hệ thức cho fermion ta cũng đi từ các đẳng thức
tương tự (2.36). Chú ý trong trường hợp các fermion, véc tơ trạng thái của hệ
hạt đồng nhất phải là phản đối xứng đối với phép hoán vị hai hạt.