Advanced Control

3


Lời nói đầu
Để có đợc lần xuất bản thứ ba ny với nội dung v chất lợng tốt hơn hai lần xuất
bản trớc (lần đầu l vo năm 2005), tác giả xin đợc gửi lời cám ơn về những nhận xét,
góp ý của bạn đọc, các bạn sinh viên, học viên cao học, nghiên cứu sinh đã gửi tới cho tác
giả.
Quyển sách ny đợc viết ra từ các bi giảng trong nhiều năm của tác giả tại
Trờng Đại học Bách khoa H Nội về Lý thuyết Điều khiển, gồm bốn phần chính:
Điều khiển tối u,
Nhận dạng đối tợng điều khiển,
Điều khiển bền vững v
Điều khiển thích nghi.
Mục đích của tác giả khi viết quyển sách ny chỉ đơn giản l mong muốn cung cấp
cho các bạn sinh viên đang theo học các ngnh Điều khiển tự động, Đo lờng v Tin học
công nghiệp, Tự động hóa, thêm một ti liệu bổ trợ cho việc hiểu kỹ, hiểu sâu bi giảng
cũng nh hỗ trợ việc tự học của sinh viên, học viên cao học, nghiên cứu sinh thuộc các
ngnh liên quan.
Quyển sách đã đợc viết với sự cảm thông, chịu đựng rất to lớn của gia đình tác giả.
Nó cũng đợc đợc hon thnh nhờ sự cổ vũ, khuyến khích v tạo điều kiện thuận lợi của
các đồng nghiệp trong Bộ môn Điều khiển Tự động, Trờng Đại học Bách khoa, nơi tác
giả đang công tác. Tác giả xin đợc gửi tới gia đình v các bạn lời cám ơn chân thnh.
Mặc dù đã rất nỗ lực, song chắc không thể không có thiếu sót. Do đó tác giả rất
mong nhận đợc những góp ý sửa đổi, bổ sung thêm của bạn đọc để hon thiện. Th góp
ý xin gửi về:

Trờng Đại học Bách khoa H Nội
Khoa Điện, Bộ môn Điều khiển Tự động


H Nội, ngy 28 tháng 5 năm 2007


4


Mục lục
1
Điều khiển tối u tĩnh 11
1.1 Nhập môn 11
1.1.1 Thế nào là bài toán điều khiển tối u tĩnh? 11
1.1.2 Phân loại bài toán tối u 15
Bài toán tối u tuyến tính/phi tuyến 15
Bài toán cận tối u (suboptimal) 16
Bài toán tối u có ràng buộc/không ràng buộc 18
Nghiệm tối u địa phơng/toàn cục 18
1.1.3 Công cụ toán học: Tập lồi và hàm lồi 19
1.2 Những bài toán tối u điển hình 23
1.2.1 Bài toán tối u lồi 23
1.2.2 Bài toán tối u toàn phơng 25
1.2.3 Bài toán tối u hyperbol 27
1.3 Tìm nghiệm bằng phơng pháp lý thuyết 29
1.3.1 Mối quan hệ giữa bài toán tối u và bài toán điểm yên ngựa 29
1.3.2 Phơng pháp KuhnTucker 31
1.3.3 Phơng pháp Lagrange 34
1.4 Tìm nghiệm bằng phơng pháp số 36

1.4.1 Bài toán tối u tuyến tính và phơng pháp đơn hình (simplex) 36
1.4.2 Phơng pháp tuyến tính hóa từng đoạn 40
1.4.3 Phơng pháp NewtonRaphson 41
1.5 Tìm nghiệm bằng phơng pháp hớng đến cực trị 44
1.5.1 Nguyên lý chung 44
1.5.2 Xác định bớc tìm tối u 46
Xác định bằng phơng pháp giải tích 46
Xác định bằng phơng pháp số 47
Thuật toán nhát cắt vàng 47
1.5.3 Phơng pháp GaussSeidel 49
1.5.4 Phơng pháp gradient 51
1.5.5 Kỹ thuật hàm phạt và hàm chặn 53
Kỹ thuật hàm phạt 53
Kỹ thuật hàm chặn 56
1.6 Một số ví dụ ứng dụng 57
1.6.1 Xác định tham số tối u cho bộ điều khiển PID 57
1.6.2 Nhận dạng tham số mô hình đối tợng tiền định 60
Nhận dạng tham số mô hình không liên tục 60
Nhận dạng tham số mô hình liên tục 62

5

1.6.3 ứng dụng vào điều khiển bền vững trong không gian trạng thái 63
Phát biểu bài toán 63
Phơng pháp Roppenecker 65
Phơng pháp Konigorski 68
1.6.4 ứng dụng vào điều khiển thích nghi 73
Mục đích của điều khiển thích nghi 73
Vai trò của điều khiển tối u tĩnh trong điều khiển thích nghi 77
Câu hỏi ôn tập và bài tập 78

2 Điều khiển tối u động 81
2.1 Nhập môn 81
2.1.1 Thế nào là bài toán điều khiển tối u động? 81
Bài toán tối u động liên tục 81
Bài toán điều khiển tối u không liên tục 83
2.1.2 Phân loại bài toán tối u động 84
2.2 Phơng pháp biến phân 86
2.2.1 Hàm Hamilton, phơng trình EulerLagrange và điều kiện cần 86
2.2.2 Bàn thêm về hàm Hamilton 92
2.2.3 Phơng trình vi phân Riccati và bộ điều khiển tối u không dừng cho đối
tợng tuyến tính (trờng hợp thời gian hữu hạn) 94
Phát biểu bài toán và tìm nghiệm nhờ phơng pháp biến phân 94
Tìm nghiệm tối u từ phơng trình vi phân Riccati 96
Thiết kế bộ điều khiển tối u, phản hồi trạng thái, không dừng 99
2.2.4 Phơng trình đại số Riccati và bộ điều khiển tối u tĩnh, phản hồi trạng thái
cho đối tợng tuyến tính (trờng hợp thời gian vô hạn) Bộ điều khiển LQR 100
Phát biểu bài toán 100
Lời giải của bài toán Bộ điều khiển tối u LQR phản hồi dơng 101
Bộ điều khiển tối u LQR phản hồi âm 103
2.3 Nguyên lý cực đại 104
2.3.1 Điều khiển đối tợng nửa tuyến tính, đã biết trớc điểm trạng thái đầu và
khoảng thời gian xảy ra quá trình tối u 105
2.3.2 Điều khiển tối u tác động nhanh đối tợng tuyến tính 108
Nguyên lý cực đại 108
Xây dựng quỹ đạo trạng thái tối u 112
Định lý Feldbaum về số lần chuyển đổi giá trị và ý nghĩa ứng dụng 118
2.3.3 Nguyên lý cực đại dạng tổng quát: Điều kiện cần, điều kiện hoành 123
Điều kiện cần 123
Điều kiện hoành (điều kiện trực giao) 126
Bài toán tối u có khoảng thời gian cố định và cho trớc 131

Bài toán tối u có đối tợng không autonom 132
2.3.4 Về ý nghĩa vector biến đồng trạng thái 133
2.4 Phơng pháp quy hoạch động (Bellman) 137
2.4.1 Nội dung phơng pháp 139
Nguyên lý tối u của Bellman 139
Hai vòng tính của phơng pháp: Vòng ngợc (kỹ thuật nhúng) và vòng xuôi 140

6

2.4.2 Mở rộng cho trờng hợp hàm mục tiêu không ở dạng tổng 144
2.4.3 Mở rộng cho trờng hợp điểm cuối không cố định 147
2.4.4 Mở rộng cho hệ liên tục và phơng trình HamiltonJacobiBellman 148
Câu hỏi ôn tập và bài tập 155
3 Điều khiển tối u ngẫu nhiên 159
3.1 Một số khái niệm nhập môn 159
3.1.1 Quá trình ngẫu nhiên 159
Định nghĩa và mô tả chung 159
Quá trình ngẫu nhiên dừng 161
Quá trình ngẫu nhiên egodic 161
Hàm mật độ phổ và ảnh Laplace của quá trình ngẫu nhiên egodic 162
3.1.2 Hệ ngẫu nhiên và mô hình toán học trong miền phức 163
Phép biến đổi Fourier 163
Xác định mô hình hàm truyền đạt 164
3.1.3 Bài toán điều khiển tối u ngẫu nhiên 165
3.2 Điều khiển tối u ngẫu nhiên tĩnh 167
3.2.1 Nhận dạng trực tuyến tham số mô hình không liên tục 167
3.2.2 Nhận dạng trực tuyến (on-line) mô hình tuyến tính liên tục 169
Nhận dạng trực tuyến mô hình không tham số 169
Nhận dạng trực tuyến tham số mô hình đối tợng không có thành phần vi
phân 172

Nhận dạng trực tuyến tham số mô hình đối tợng không có thành phần tích
phân 173
3.2.3 Nhận dạng chủ động (off-line) mô hình tuyến tính không liên tục 174
Nhận dạng chủ động tham số mô hình AR (Autoregressive) 174
Sử dụng thuật toán Levinson để tìm nghiệm phơng trình Yule-Walker 176
Nhận dạng off-line tham số mô hình MA và ARMA 183
3.3 Điều khiển tối u ngẫu nhiên động 186
3.3.1 Bộ lọc Wiener 186
Mục đích của bộ lọc 186
Các bớc thiết kế 188
3.3.2 Bộ quan sát trạng thái Kalman (lọc Kalman) 191
Mục đích của bộ quan sát 191
Thiết kế bộ quan sát trạng thái cho đối tợng tuyến tính 192
3.3.3 Bộ điều khiển LQG (Linear Quadratic Gaussian) 195
Nội dung bộ điều khiển LQG 195
Nguyên lý tách (separation principle) 199
Câu hỏi ôn tập và bài tập 200
4 Điều khiển tối u RH

(Điều khiển bền vững) 203
4.1 Không gian chuẩn Hardy 203
4.1.1 Không gian chuẩn L
2
và H
2
(RH
2
) 203

7

Không gian L
2
203
Không gian H
2
và RH
2
204
Mở rộng cho ma trận hàm phức (hệ MIMO) 206
Cách tính chuẩn bậc hai 206
4.1.2 Không gian chuẩn H

và RH

208
Khái niệm không gian H

và RH

208
Tính chuẩn vô cùng 209
4.2 Tham số hóa bộ điều khiển 212
4.2.1 Hệ có các khâu SISO 212
Trờng hợp đối tợng là ổn định 212
Trờng hợp đối tợng không ổn định 214
Thuật toán tìm nghiệm phơng trình Bezout 216
Tổng kết: Thuật toán xác định tập các bộ điều khiển ổn định 222
4.2.2 Hệ có các khâu MIMO 225
Khái niệm hai ma trận nguyên tố cùng nhau 225

Phân tích ma trận truyền đạt thành cặp các ma trận nguyên tố cùng nhau 227
Xác định tập các bộ điều khiển làm ổn định hệ thống 230
Thuật toán tìm nghiệm hệ phơng trình Bezout 232
Tổng kết: Thuật toán tham số hóa bộ điều khiển ổn định 236
4.2.3 ứng dụng trong điều khiển ổn định nội 238
Khái niệm ổn định nội 238
Tính ổn định nội đợc (internal stabilizable) 240
Bộ điều khiển ổn định nội 243
4.3 Điều khiển tối u RH

244
4.3.1 Những bài toán điều khiển RH

điển hình 244
Bài toán cân bằng mô hình 244
Bài toán cực tiểu độ nhạy với sai lệch mô hình 245
Bài toán tối u RH

mẫu (standard) 246
Bài toán ổn định bền vững với sai lệch mô hình 249
4.3.2 Trình tự thực hiện bài toán tối u RH

251
Bớc 1: Chuyển thành bài toán cân bằng mô hình 251
Bớc 2: Tìm nghiệm bài toán cân bằng mô hình 252
4.3.3 Khả năng tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng mô hình 252
4.3.4 Phơng pháp 1: Tìm nghiệm bài toán cân bằng mô hình nhờ toán tử Hankel
và định lý Nehari 255
Phân tích hàm trong và hàm ngoài 255
Toán tử Hankel 257

Định lý Nehari và nghiệm của bài toán (4.73) 259
Thuật toán xác định nghiệm bài toán cân bằng mô hình 260
4.3.5 Phơng pháp 2: Tìm nghiệm bài toán cân bằng mô hình nhờ phép nội suy
NevannlinnaPick 262
Nội suy NevannlinnaPick 263
Tìm giá trị chặn dới lớn nhất 266
Tổng kết: Thuật toán tìm nghiệm bài toán cân bằng mô hình 268
4.3.6 Nghiệm cận tối u (suboptimal) 270

8

Câu hỏi ôn tập và bài tập 273
5 Điều khiển thích nghi và bền vững 275
5.1 Lý thuyết Lyapunov 275
5.1.1 Tiêu chuẩn ổn định Lyapunov và định lý LaSalle 275
T tởng chung 278
Tiêu chuẩn Lyapunov và hàm Lyapunov 279
Định lý LaSalle 282
áp dụng cho hệ tuyến tính và phơng trình Lyapunov 286
5.1.2 Thiết kế bộ điều khiển GAS nhờ hàm điều khiển Lyapunov (CLF) 290
Khái niệm hàm điều khiển Lyapunov 290
Thiết kế hàm điều khiển Lyapunov cho hệ affine 292
Thiết kế cuốn chiếu (backstepping) hàm CLF cho hệ truyền ngợc 295
Thiết kế cuốn chiếu (backstepping) hàm CLF cho hệ tam giác 297
Thiết kế hàm CLF cho hệ truyền ngợc chặt nhờ phép đổi biến vi phôi 301
Thiết kế hàm CLF cho hệ affinetruyền ngợc nhờ phép đổi biến vi phôi 306
Điều khiển tuyến tính hóa chính xác gán điểm cực cho hệ tam giác 309
5.2 Điều khiển thích nghi tự chỉnh (STR) 312
5.2.1 Tổng quát về cơ cấu nhận dạng tham số mô hình, phơng pháp bình phơng
nhỏ nhất và mô hình hồi quy 313

Phơng pháp bình phơng nhỏ nhất 313
Nhận dạng tham số mô hình không liên tục 315
Nhận dạng tham số mô hình liên tục 316
5.2.2 Cơ cấu xác định tham số bộ điều khiển từ mô hình đối tợng 316
Xác định tham số bộ điều khiển PI theo phơng pháp tối u độ lớn 317
Xác định tham số bộ điều khiển PID theo phơng pháp tối u đối xứng 317
Xác định tham số bộ điều khiển tối u theo nhiễu 318
Thiết kế bộ điều khiển phản hồi, tĩnh, theo nguyên tắc cho trớc điểm cực 319
Thiết kế bộ điều khiển động, phản hồi tín hiệu ra có điểm cực cho trớc 321
Thiết kế bộ điều khiển với mô hình mẫu (model following) 323
Xác định tham số bộ điều khiển không liên tục 330
5.2.3 Sử dụng mô hình mẫu nh một thiết bị theo dõi: Điều khiển thích nghi tự
chỉnh trực tiếp 332
Xác định trực tiếp tham số bộ điều khiển không liên tục 332
Xác định trực tiếp tham số bộ điều khiển liên tục 335
5.3 Điều khiển thích nghi có mô hình theo dõi (MRAC) 336
5.3.1 Hiệu chỉnh tham số bộ điều khiển theo luật MIT 338
Nội dung phơng pháp 338
Đánh giá chất lợng cơ cấu chỉnh định 343
5.3.2 Hiệu chỉnh tham số bộ điều khiển nhờ cực tiểu hóa hàm mục tiêu hợp thức
(xác định dơng) 345
5.4 Điều khiển ổn định ISS và điều khiển bất định, thích nghi kháng nhiễu 356
5.4.1 Đặt vấn đề 356
5.4.2 Điều khiển thích nghi đối tợng phi tuyến có tham số hằng bất định 358
Phơng pháp giả định rõ (certainty equivalence) 358

9

Thiết kế cuốn chiếu (backstepping) bộ điều khiển thích nghi giả định rõ cho
đối tợng truyền ngợc 364

Thiết kế cuốn chiếu (backstepping) bộ điều khiển bám thích nghi cho đối
tợng tam giác có tham số hằng bất định 369
5.4.3 Điều khiển thích nghi đối tợng phi tuyến có tham số bất định phụ thuộc thời
gian 372
Phơng pháp nén miền hấp dẫn (damping) 373
Khái niệm ổn định ISS, hàm ISSLyapunov và hàm ISSCLF 376
Phơng pháp điều khiển ISS thích nghi kháng nhiễu 383
Thiết kế cuốn chiếu (backstepping) hàm ISSCLF 389
5.5 Sử dụng phơng pháp điều khiển trợt 393
5.5.1 Xuất phát điểm của phơng pháp điều khiển trợt 393
5.5.2 Thiết kế bộ điều khiển trợt ổn định bền vững 396
5.5.3 Thiết kế bộ điều khiển trợt bám bền vững 401
5.6 Điều khiển thích nghi bù bất định 402
5.6.1 Điều khiển thích nghi bù bất định đối tợng tuyến tính 402
Bù bất định bằng phản hồi tín hiệu ra 402
Bù bất định bằng phản hồi trạng thái 406
5.6.2 Điều khiển thích nghi bù bất định đối tợng phi tuyến 407
Điều khiển tuyến tính hóa chính xác hệ có một đầu vào 407
Điều khiển tuyến tính hóa chính xác hệ có nhiều đầu vào 415
Điều khiển thích nghi bù bất định đối tợng phi tuyến affine 430
Câu hỏi ôn tập và bài tập 435
6 Một số khái niệm cơ bản của điều khiển và những vấn đề bổ sung 439
6.1 Những khái niệm cơ bản 439
6.1.1 Cấu trúc đại số 439
Nhóm 439
Vành 440
Trờng 441
Không gian vector 441
Đa tạp tuyến tính 443
Đại số 444

Ideale 445
6.1.2 Đại số ma trận và mô hình hệ tuyến tính 445
Các phép tính với ma trận 446
Hạng của ma trận 447
Định thức của ma trận 448
Ma trận nghịch đảo 449
Vết của ma trận 450
Ma trận là một ánh xạ tuyến tính 450
Phép biến đổi tơng đơng 452
Giá trị riêng và vector riêng 453
Mô hình trạng thái hệ tuyến tính 455
6.1.3 Không gian hàm số và mô hình hệ phi tuyến 458
Không gian metric 458

10

Không gian đủ 459
Không gian compact 460
Không gian chuẩn 460
Không gian Banach 462
Không gian Hilbert 462
Không gian các ánh xạ liên tục 463
Mô hình trạng thái hệ phi tuyến 465
6.2 Lý thuyết hàm biến phức 468
6.2.1 Định nghĩa, khái niệm hàm liên tục, hàm giải tích 468
6.2.2 Hàm bảo giác (conform) 469
6.2.3 Tích phân phức và nguyên lý cực đại modulus 472
6.3 Lý thuyết ổn định Kharitonov 474
6.3.1 Nội dung định lý Kharitonov 474
6.3.2 Thiết kế bộ điều khiển ổn định bền vững cho đối tợng tuyến tính có tham số

bất định 479
6.4 ứng dụng hình học vi phân vào điều khiển 483
6.4.1 Hệ affine 483
6.4.2 Các phép tính cơ bản 485
Đạo hàm của hàm vô hớng (đạo hàm Lie) 485
Phép nhân Lie, hay đạo hàm của vector hàm 486
Hàm mở rộng (distribution) 487
6.4.3 Phép đổi biến vi phôi đa hệ affine về dạng chuẩn 490
Nguyên lý chung 490
ứng dụng trong thiết kế bộ điều khiển hai cấp 496
Tài liệu tham khảo 498









11
1 Điều khiển tối u tĩnh
1.1 Nhập môn
1.1.1 Thế nào là bài toán điều khiển tối u tĩnh?
Trong quá trình điều khiển hệ thống, ta thờng hay gặp phải loại bi toán chọn các
tham số điều khiển trong số những tham số thích hợp sao cho hệ thống đạt đợc chất
lợng một cách tốt nhất. Nếu sử dụng ký hiệu:
tập các tham số điều khiển thích hợp l P,
các tham số điều khiển cần chọn l vector
p =(p

1
, p
2
, ,p
n
)
T
, tức l bi toán
có
n tham số, v
chất lợng hệ thống do bộ tham số
p mang lại l Q( p )
thì các bi toán nêu trên đợc viết chung lại thnh:

Q( p )
Pp

min *p = arg
Pp
min
Q( p ) (1.1)
hoặc Q(
p )
Pp

max *p = arg
Pp
max
Q( p ) (1.2)
Định nghĩa 1.1: Vector tham số điều khiển hệ thống đợc gọi l tối u nếu:

a) Nó thỏa mãn các yêu cầu của bi toán điều khiển (phơng án thích hợp).
b) Nó mang lại cho hệ thống một chất lợng điều khiển tốt nhất.
Ví dụ 1.1: (Đầu t để có lợi nhuận cao nhất)
Trong một nh máy có n phân xởng A
1
, , A
n
. Nh máy hiện có nguyên vật liệu
với số lợng a trong kho v có dự định chia cho các phân xởng để sản xuất. Gọi p
k
,
k=1,
,n l số vật liệu m phân xởng A
k
nhận đợc cũng nh h
k
(p
k
) l lãi suất m
nó mang lại cho phân xởng. Bi toán đặt ra cho nh máy l phải phân chia nguyên vật
liệu đó nh thế no cho các phân xởng để cuối cùng tổng lợi nhuận của nh máy l lớn
nhất.


12
Rõ rng, tham số điều khiển ở đây l (đợc gộp chung lại thnh vector):

p =

n
p
p

1

v tập các tham số điều khiển thích hợp có dạng:
P =
{ p R
n


=
n
k
k
p
1
a v p
k
0 , k=1,2, ,n }.
Lợi nhuận của nh máy do phơng án

p mang lại đợc tính bằng:
Q(
p ) =

=
n
k
kk
ph
1
)(
Vậy, nhiệm vụ của nh máy l phải tìm đợc cách chia tối u
*p l nghiệm của:

*p = arg
Pp
max
Q( p ) S
Ví dụ 1.2: (Chọn tham số tối u cho bộ điều khiển PI)
Hình 1.1a) mô tả hệ thống gồm đối tợng điều khiển có hm truyền đạt:
S(s) =
)3)(1(
2
ss ++

v bộ điều khiển PI với hm truyền đạt:
R(s) = k
p
(1+
sT

I
1
) =
sT
sTk
I
Ip
)1( +

Nhiệm vụ bi toán điều khiển đặt ra l phải xác định tham số k
p
, T
I
cho bộ điều
khiển PI trong khoảng:
0 <

p
k k
p

+
p
k cũng nh 0 <

I
T T
I

+

I
T
sao cho bình phơng sai lệch giữa tín hiệu ra y(t) v tín hiệu vo w(t) l nhỏ nhất:
Q =
22
00
() () ()w t y t dt e t dt

=

min!. (1.3)
Các hằng số giới hạn (dơng)

p
k ,
+
p
k ,

I
T ,
+
I
T đợc quy định bởi chủng loại bộ điều
khiển PI m ta sử dụng.
Trớc hết ta thấy, để Q hữu hạn thì cần phải có:

t
lim [y(t) w(t)] = 0

13
Điều ny chứng tỏ rằng các tham số thích hợp k
p
, T
I
của bộ điều khiển phải l những
tham số lm hệ kín ổn định, tức lm cho hm truyền đạt hệ kín:
G(s) =
)()(1
)()(
sRsS
sRsS
+
=
)1(2)3)(1(
)1(2
sTksssT
sTk
IpI
Ip
++++
+

l hm bền. Suy ra phải có:
(3+2k
p
) >
I
p
T

k
2

v nh vậy, tập P gồm bộ tham số điều khiển thích hợp có dạng nh sau:
P =
{ p =








I
p
T
k

R
2


p
k k
p

+
p
k ,

I
T T
I

+
I
T v 3+2k
p
>
I
p
T
k
2
}









Tiếp tục, nhờ công thức Parseval, hm đo chất lợng Q(
p ) cho trong (1.3) đợc viết
lại thnh:

)( pQ =

djE
2
)(
2
1
=




j
j
dssEsE
j
)()(
2
1


trong đó (xem thêm bảng 1.1 của mục 1.6.1):
E(s) =
)()(1
1
sRsS+

s
1
=
32
2
4)23(2
)43(
sTsTskTk
ssT
IIpIp
I
++++
++

l ảnh Laplace của sai lệch e(t)=w(t)y(t). Từ đây suy ra:

)( pQ =
p
I
k
T
4

ppI
Ippp
kkT
Tkkk
2)23(4
3620)23(2
+

+++

Vậy dạng chuẩn (1.1) của bi toán xác định tham số tối u PI sẽ l:
y(t)w(t) e(t)
PI
S(s)
y(t)
t
1
Hình 1.1: Minh họa ví dụ 1.2.
a) b)

14

p * =








*
*
I
p
T
k
= arg

Pp
min
p
I
k
T
4

ppI
Ippp
kkT
Tkkk
2)23(4
3620)23(2
+
+++
.
S

Ví dụ 1.3: (Bộ điều khiển có giá thành thấp nhất)
Cho đối tợng tuyến tính (giả sử không ổn định) đợc mô tả bởi mô hình trạng thái
dạng chuẩn điều khiển nh sau:


dt
xd
=

210
100
010
aaa
x +










1
0
0
u
với x
=

3
2
1
x
x
x
l ký hiệu chỉ vector các biến trạng thái x
1
, x
2
, x
3
. Đối tợng đợc điều
khiển phản hồi trạng thái bằng bộ điều khiển (tĩnh)
k
T
= (k
1
k
2
k

3
)
Với bộ điều khiển ny, hệ kín (hình 1.2) sẽ có
phơng trình đặc tính
A(s) = (a
0
+k
1
)+(a
1
+k
2
)s+(a
2
+k
3
)s
2

Do đó nó ổn định khi v chỉ khi
k
1
> a
0
k
2
> a
1
v k
3

> a
2

Nói cách khác, tập P l tập con trong không gian ba chiều
R
3
gồm các phơng án điều
khiển thích hợp (các phơng án chọn tham số k
1

, k
2
, k
3
) có dạng
P =
{ p =










3
2
1

k
k
k
R
3
k
1
> a
0
, k
2
> a
1
v k
3
> a
2
}
Giá thnh chi phí cho bộ điều khiển k
T
đợc tính theo từng kênh. Kênh một k
1
sẽ
có giá thnh l 12 đồng trên một đơn vị, kênh hai k
2
l 18 đồng/đơn vị v kênh ba k
3
l
15 đồng/đơn vị. Suy ra

)( pQ = 12 k
1
+18 k
2
+15 k
3


l giá thnh của bộ điều khiển k
T
.
)( pQ
Đối tợng
điều khiển
x uw
( k
1
, k
2
, k
3
)
Hình 1.2: Minh họa ví dụ 1.3.

15
Ngời thiết kế bộ điều khiển có nhiệm vụ l phải chọn một phơng án
p *P để có
Q(
p ) nhỏ nhất, tức l

p * =












*
3
*
2
*
1
k
k
k
= arg
Pp
min
(12 k
1
+18 k
2
+15 k

3

) . S

Nhìn lại cả ba ví dụ nêu trên ta thấy chúng có một điểm chung. Đó l tập P các
tham số điều khiển v hm đo chất lợng Q(
p ) đều có dạng đại số (không chứa toán tử
tích phân, vi phân). Những dạng bi toán điều khiển tối u nh vậy đợc gọi l điều
khiển tối u tĩnh.
Định nghĩa 1.2: Bi toán điều khiển tối u tĩnh l bi toán (1.1) hoặc (1.2), trong đó tập
P của các tham số điều khiển thích hợp
p v mục tiêu chất lợng Q( p ) đều đợc mô
tả bằng các hm đại số.

1.1.2 Phân loại bài toán tối u
Trớc hết ta thấy, việc cho rằng bi toán tối u chỉ có dạng (1.1) sẽ không lm mất
tính tổng quát của bi toán điều khiển tối u. Vì nếu ngợc lại, tham số điều khiển tối
u
*p thực sự phải lm cho *)( pQ l lớn nhất, tức l bi toán (1.2), thì ta chỉ cần thay
)( pQ trong (1.2) bởi )(
~
pQ = )( pQ l sẽ lại trở về bi toán (1.1) nêu trên.
Bi toán tối u tuyến tính/phi tuyến
Định nghĩa 1.3: Bi toán điều khiển tối u (1.1) đợc gọi l tuyến tính, nếu tập P của các
tham số điều khiển thích hợp
p v hm mục tiêu Q( p ) đều đợc mô tả bằng các bất
phơng trình hoặc phơng trình tuyến tính. Ngợc lại thì nó đợc gọi l bi toán
điều khiển tối u phi tuyến.

Ví dụ 1.4: (Bài toán tối u tuyến tính)

Bi toán tối u (1.1) với
P = { a
11
p
1
+ a
12
p
2
+ + a
1
n
p
n
b
1

a
21
p
1
+ a
22
p
2
+ + a
2
n
p
n

b
2


a
m
1
p
1
+ a
m
2
p
2
+ + a
mn
p
n
b
m
}
)( pQ

16
v
)( pQ = c
1
p
1
+ c

2
p
2
+ + c
n
p
n

l bi toán tối u tuyến tính.
S
Nh vậy, để quyết định một bi toán điều khiển tối u l tuyến tính hay phi tuyến,
không thể chỉ căn cứ vo mô hình hệ thống m phải dựa vo dạng chuẩn (1.1) của nó.
Điển hình nhất l bi toán nêu trong ví dụ 1.2. Rõ rng ở đó hệ thống l tuyến tính v
đợc mô tả bởi mô hình hm truyền đạt G(s), song bi toán xác định tham số tối u ứng
với nó lại l bi toán điều khiển tối u tĩnh v phi tuyến.
Trong quyển sách ny, chúng ta sẽ tập trung chủ yếu vo các phơng pháp giải bi
toán tối u phi tuyến v xem bi toán tối u tuyến tính nh l một trờng hợp riêng.
Bi toán cận tối u (suboptimal)
Tiếp theo, ta bn đến tên gọi tối u của bi toán (1.1). Giả sử p * l tham số điều
khiển tối u. Vậy thì giá trị Q(
p *) phải l nhỏ nhất. Điều ny chỉ rằng sẽ không có các
khái niệm "tối u hơn" hay "tối u nhất". Thật vậy nếu nh bên cạnh
p * còn có một
phơng án
p
~
"tối u hơn", tức l với nó Q( p
~
) còn có giá trị nhỏ hơn *)( pQ thì điều ny
lại mâu thuẫn với giả thiết rằng

p * l tối u.
Nh vậy bản thân tên gọi tối u đã mang ý nghĩa nhất. Tuy nhiên cũng phải chú ý
rằng nghĩa nhất của tối u l nói rằng hm Q(
p ) chỉ có một giá trị nhỏ nhất *)(pQ chứ
không phải tham số điều khiển tối u
p * l duy nhất. Có thể một bi toán điều khiển
tối u có nhiều vector tham số tối u
*
1
p,
*
2
p . Những vector tham số ny đều mang
đến cho hệ thống một chất lợng giống nhau l hm mục tiêu
Q( p ) nhận giá trị nhỏ
nhất tại đó (hình 1.3):

)(
*
1
pQ = )(
*
2
pQ = = Q
min
=
Pp
min
)( pQ .

)( pQ
p
Q
min

*
1
p
*
2
p
*
3
p
Hình 1.3: Nghiệm của bài toán điều khiển tối u.

17
Khi đã đề cập đến vấn đề một bi toán điều khiển tối u có thể có nhiều nghiệm thì
cũng cần bn đến những bi toán điều khiển tối u không có nghiệm. Để minh họa cho
trờng hợp ny ta xét ví dụ 1.5 dới đây:
Ví dụ 1.5: (Bài toán tối u vô nghiệm)
ở ví dụ 1.3 ta đã xét bi toán tìm bộ điều khiển phản hồi trạng thái có giá thnh
thấp nhất để ổn định đối tợng v cũng đã đi đến dạng chuẩn của nó nh sau

p * =












*
3
*
2
*
1
k
k
k
= arg
Pp
min
)( pQ (1.4)
trong đó
P =
{ p =

3
2
1
k
k
k
R
3
k
1
>a
0
, k
2
>a
1
v k
3
>a
2
}

v
)( pQ = 12 k
1
+18 k
2
+15 k
3
.
Hiển nhiên rằng bi toán (1.4) với các hằng số dơng a
0
,a
1
,a
2
vô nghiệm. Thật
vậy, ta giả sử rằng tồn tại
p * tối u, hay:

*)( pQ = 12
*
1
k +18
*
2
k +15
*
3
k
l giá trị nhỏ nhất của
)( pQ . Gọi p

~
l một phơng án khác với ba thnh phần
1
~
k ,
2
~
k ,
3
~
k đợc xác định nh sau:

1
~
k =
2
0
*
1
ak +
,
2
~
k =
2
1
*
2
ak +
,

3
~
k =
2
2
*
3
ak +

Khi đó thì do:

1
~
k <
*
1
k ,
2
~
k <
*
2
k ,
3
~
k <
*
3
k
nên:

Q(
p
~
) = 12
1
~
k +18
2
~
k +15
3
~
k < Q( p *) = 12
*
1
k +18
*
2
k +15
*
3
k .
v đó l điều phi lý.
S
Bằng ví dụ 1.5 ta đã chỉ ra sự tồn tại các bi toán điều khiển tối u vô nghiệm, tức
l không có một phơng án điều khiển
p *P no lm cho )( pQ có giá trị nhỏ nhất.
Trờng hợp ny thờng hay gặp phải ở loại bi toán có P l tập hở nhng đạo hm của
)( pQ lại khác 0 trong P (chẳng hạn có nghiệm nằm trên biên của P).
Tuy nhiên, nếu nh

)( pQ với p P lại có giá trị chặn dới lớn nhất (infimum):

18
q =
)(inf pQ
p

v khi cho trớc một hằng số dơng

nhỏ tùy ý ta luôn tìm đợc p
~
P sao cho

|Q( p
~
) q | <


thì phơng án
p
~
đó đợc gọi l cận tối u.
Định nghĩa 1.4: Một phơng án điều khiển p
~
thuộc tập các phơng án điều khiển thích
hợp P sẽ đợc gọi l lời giải cận tối u của bi toán điều khiển tối u (1.1) nếu:

|Q( p
~
) )(inf pQ

p
| <


trong đó

l hằng số dơng nhỏ tùy ý nhng cho trớc.
Mặc dù ở đây nghiệm
p
~
P không phải l tối u thực sự theo đúng nghĩa của nó,
nhng lại l một phơng án điều khiển chấp nhận đợc trong miền sai số cho phép, đủ
thỏa mãn các yêu cầu của bi toán, nên nó vẫn đợc xem nh l lời giải gần đúng của
bi toán tối u (1.1).
Bi toán tối u có rng buộc/không rng buộc
Các bi toán tối u dạng (1.10) không bắt buộc phải có điều kiện rng buộc p P.
Nói cách khác không bắt buộc phải có tập các tham số điều khiển thích hợp P. Những
bi toán không có điều kiện rng buộc cho
p , hay P=R
n
, đợc gọi l bi toán không bị
rng buộc (unconstrained).
Định nghĩa 1.5: Bi toán (1.10) có P=R
n
đợc gọi l bi toán điều khiển tối u tĩnh
không bị rng buộc (unconstrained). Ngợc lại nếu P
R
n
(tập con thực trong R
n

)
thì nó đợc gọi l bi toán tối u bị rng buộc (constrained).

Nghiệm tối u địa phơng/ton cục
Nghiệm của bi toán (1.1) đợc gọi l nghiệm ton cục (global). Tên gọi ny hm ý
chỉ rằng tại
*p hm Q( p ) có giá trị nhỏ nhất v điều đó đúng trong ton bộ tập P. Tuy
nhiên trong khá nhiều phơng pháp giải bi toán tối u (1.1) ngời ta thờng phải đi
vòng qua nghiệm tối u địa phơng (local). Đó l những nghiệm chỉ thỏa mãn:

*p = arg
Up
min
)( pQ
với U
P l một lân cận nhỏ của *p (hình 1.4).

19





Định nghĩa 1.6: Xét bi toán tối u (1.1). Nếu có một điểm
0
p
P thỏa mãn

)(
0

pQ
)( pQ
với mọi
p thuộc một lân cận UP no đó của
0
p
thì
0
p
đợc gọi l nghiệm địa
phơng (local) của bi toán.
1.1.3 Công cụ toán học: Tập lồi và hàm lồi
Định nghĩa 1.7: Tập hợp L đợc gọi l
lồi, nếu đoạn thẳng nối hai điểm
x
1
, x
2
bất kỳ của L, đợc ký hiệu l
[x
1
,x
2
], cũng sẽ nằm hon ton
trong L. Nói cách khác nếu có
x
1
,x
2
L thì cũng có:

ax
1
+bx
2
L
với a, b l hai số thực dơng thỏa mãn a+b=1.
Theo định nghĩa trên thì tập rỗng
cũng l một tập lồi. Hình 1.5 minh họa cho
định nghĩa 1.7. Để nghiên cứu về tập lồi, bên cạnh định nghĩa 1.6, ngời ta còn thờng
sử dụng các khái niệm sau:
1) Tập tổ hợp tuyến tính lồi: Cho n phần tử x
1
, x
2
, , x
n
của một không gian vector
X. Tập tổ hợp tuyến tính lồi M của nó đợc hiểu l:
M =
{
y
=

=
n
i
i
i
xa
1

a
i
R
+
, i=1,2, ,n v

=
n
i
i
a
1
=1 }
Nh vậy, khác với khái niệm bao tuyến tính, ở đây còn có thêm điều kiện

=
n
i
i
a
1
=1
trong đó a
i
chỉ l những số thực dơng (hình 1.6a).
2) Bao lồi: Cho tập hợp M (cha cần phải l lồi). Bao lồi L của M l tập lồi nhỏ nhất
chứa M (hình 1.6b).
T
ậ
p khôn

g
lồiT
ậ
p lồi
x
1
x
2
x
1
x
2

Hình 1.5: Minh họa định nghĩa 1.7.
Q( p )
p
Hình 1.4: Nghiệm tối u địa phơng/toàn cục.
N
g
hiệm đ
ị
a phơn
g
Nghiệm
toàn cục

20
3) Điểm biên x
b
của tập lồi M: L điểm m không biểu diễn đợc dới dạng:

x
b
= ax
1
+bx
2
, trong đó x
1
, x
2
L, x
1
x
2
v a,b>0 với a+b=1.
4) Rời tuyến tính: Cho hai tập hợp con M
1
v M
2
(cha cần phải l lồi) của không gian
vector X. Chúng đợc gọi l rời tuyến tính với nhau, nếu nh tồn tại mặt phẳng (đa
tạp tuyến tính):
D =
{ c
T
x = k cR
n
, kR v x
i
X , i=1,2, ,n }

thỏa mãn (hình 1.6c v 1.6d):
x
M
1
c
T
xk v xM
2
c
T
xk.









Về tập lồi ta có những phát biểu sau:
Để tập con M của không gian R
n
l tập lồi, thì cần v đủ l mọi tập lồi tuyến tính,
tạo bởi các phần tử của M lại thuộc M. Nói cách khác nếu có x
1
, x
2
, , x
m

M
thì cũng có

=
m
i
i
i
xa
1
M với mọi a
i
R
+
v

=
m
i
i
a
1
=1.
Tổng M=M
1
+M
2
={ x
1
+x

2
x
1
M
1
, x
2
M
2
} của hai tập lồi l một tập lồi.
Tích M=M
1
ìM
2
={ x=








2
1
x
x
x
1
M

1
, x
2
M
2
} của hai tập lồi l một tập lồi.
Tập giao M=

k
k
M của (vô số) các tập lồi M
k
l một tập lồi.
Tập L gồm tất cả các tổ hợp lồi tuyến tính của các phần tử x
1
, x
2
, , x
n
của tập
M (cha cần lồi) sẽ l bao lồi của M.
Phần tử x
b
M l điểm biên của tập lồi M khi v chỉ khi M\{x
b
} cũng l tập lồi.
y
x
1

x
3
x
2

a) b)
M
M
1
M
2
M
1
M
2
D
c) d)
Hình 1.6: Một số khái niệm đợc sử dụng để nghiên cứu tập lồi.
Rời tu
y
ến tính Khôn
g
rời tu
y
ến tính Bao lồiT
ậ
p tổ h
ợ
p tu
y

ến tính lồi

21
Nếu MR
n
l tập lồi đóng, không rỗng, với 0M thì sẽ tồn tại ít nhất một mặt
phẳng
c
T
x=k (k>0) để từ xM suy ra đợc c
T
x>k.
Nếu MR
n
l tập lồi đóng, không rỗng, với 0M thì sẽ tồn tại ít nhất một mặt
phẳng
c
T
x=0 để từ xM suy ra đợc c
T
x0.
Nếu M
1
v M
2
l hai tập lồi thỏa mãn M
1
M
2
=, thì chúng sẽ rời tuyến tính với

nhau, tức l sẽ tồn tại ít nhất một mặt phẳng
c
T
x=k để nếu xM
1
thì c
T
xk v
nếu
xM
2
thì c
T
xk.
Nếu M
1
v M
2
l hai tập lồi đóng thỏa mãn M
1
M
2
=, thì chúng sẽ rời tuyến
tính với nhau theo nghĩa chặt, tức l sẽ tồn tại ít nhất một mặt phẳng
c
T
x=k để
nếu
xM
1

thì c
T
x<k v nếu xM
2
thì c
T
x>k.
Định nghĩa 1.8: Xét hm y=f(x) xác định trên tập lồi M (xM). Khi đó nó sẽ đợc gọi l:
a)
hm lồi nếu:

f(ax
1
+bx
2
) af(x
1
)+bf(x
2
)
với mọi
x
1
,x
2
M, a+b=1 v a,b>0.
c)
hm lồi chặt nếu:

f(ax

1
+bx
2
) < af(x
1
)+bf(x
2
), x
1
,x
2
M, x
1
x
2
, a+b=1 v a,b>0
d)
hm lõm (hay lõm chặt) nếu f(x) l hm lồi (hay lồi chặt).
Hình 1.7 minh họa định nghĩa 1.8 thông qua đồ thị hm số.
ở hm lồi, đoạn nối hai
điểm bất kỳ của đồ thị hm số không đợc nằm dới đờng đồ thị hm số. Với hm lồi
chặt thì đờng nối đó phải luôn nằm phía trên đờng đồ thị hm số.

Nếu định nghĩa tập
epi của hm số y=f(x) l tập tất cả các điểm








y
x
~
có y
~
f(x),
tức l (hình 1.8):
y

y
Hàm lồi
Hàm khôn
g
lồi
x
M

x
M
a) b)

Hình 1.7: a) Hàm lồi b) Hàm không lồi
y
epi(f)
x
Hình 1.8: Minh họa tập epi của hàm

22
epi(
f)={








y
x
~
y
~
f(x) }
thì rõ rng hm
y=f(x) lồi khi v chỉ khi tập epi(f) của nó l tập lồi.
Về hm lồi ta có những phát biểu sau:
1) Nếu
f
i
(x), i=1,2,,n l các hm lồi thì hm f(x)=

=
n
i
ii
xfa
1
)( với a
i
0, i=1,2, ,n
cũng l hm lồi.
2) Nếu
f
i
(x), i=1,2, ,n l các hm lồi v ứng với mỗi điểm x chúng đều bị chặn
trên, thì
f(x)=
ni1
max
f
i
(x) cũng l hm lồi.
3) Cho hm
y=f(x) xác định v khả vi trên tập lồi (mở) M. Để f(x) l hm lồi thì cần
v đủ l
(
x
2
x
1

)
T
gradf(x
1
) f(x
2
) f(x
1
), với mọi x
1
, x
2
M,
trong đó
grad
f ( x )=
T
n
x
xf
x
xf

)(
, ,
)(
1

4) Cho hm
y=f(x) xác định trên tập lồi M v khả vi hai lần tại đó. Ma trận Hesse
đợc định nghĩa l:

H(x)=(h
ij
)=(
ji
xx
xf


)(
2
) phần tử ở hng i cột j l
ji
xx
xf


)(

2
.
Khi đó thì:
a)
f(x) sẽ l hm lồi khi v chỉ khi H(x) xác định bán dơng (positiv semidefinit)
với mọi
xM, tức l khi v chỉ khi H(x) l ma trận đối xứng v tất cả các giá
trị riêng của nó có phần thực không âm với mọi
xM.
b)
f(x) sẽ l hm lồi chặt khi v chỉ khi H(x) xác định dơng (positiv definit) với
mọi
xM, tức l khi v chỉ khi H(x) l ma trận đối xứng v tất cả các giá trị
riêng của nó có phần thực dơng với mọi
xM.
5) Cho
m hm lồi f
i
(x), i=1,2, ,m cùng xác định trên tập lồi M. Vậy thì:
a) Hoặc hệ bất phơng trình
f
i
(x)<0, i=1,2, ,m có nghiệm xM.
b) Hoặc tồn tại
m số dơng a
i
0, i=1,2, ,m, để có )(xfa
T
=

=
m
i
ii
xfa
1
)( 0 với
mọi
xM.

23
1.2 Những bài toán tối u điển hình
1.2.1 Bài toán tối u lồi
Định nghĩa 1.9: Nếu bi toán tối u (1.1) có )( pQ l hm lồi v tập giới hạn:

P={ p R
n
)( pg
i
0, i=1,2, ,m }
có
)( pg
i
, i=1, ,m cũng l các hm lồi, thì nó đợc gọi l bi toán tối u lồi.
Nhiều bi toán tối u tĩnh, chỉ cần một vi biến đổi nhỏ, l ta đã có thể chuyển đợc
nó về dạng bi toán tối u lồi. Ngoi ra, do hm tuyến tính cũng l hm lồi, nên bi toán
tối u lồi định nghĩa nh trên bao gồm luôn cả lớp bi toán (1.1) có tập tham số điều
khiển
P dạng:

P={ p R
n
)( pg
i
0, )( ph
j
=b
j
, i=1,2, ,m; j=1,2, ,q }
với
)( pg
i
, i=1,2, ,m l những hm lồi, v )( ph
j
, j=1,2, ,q l những hm
tuyến tính, tức l
)( ph
j
= pa
T
j
, trong đó
T
j
a =(a
j,
1
, , a
j,n
).

Định lý 1.1: Bi toán tối u lồi (1.1) có những tính chất cơ bản sau:
a) Tập
P các tham số điều khiển thích hợp l một tập lồi.
b) Mọi nghiệm tối u địa phơng của bi toán tối u lồi cũng sẽ l nghiệm ton
cục, hay bi toán
không có nghiệm tối u địa phơng.
c) Nếu bi toán có nhiều nghiệm thì tập của tất cả các nghiệm tối u
*p l một
tập lồi.
d) Nếu
P không rỗng v giới nội thì bi toán luôn có nghiệm. Nếu Q( p ) còn l
hm lồi chặt thì bi toán sẽ có nghiệm duy nhất.
Chứng minh:
a) Gọi
M
k
={ p R
n
)( pg
k
0 }. Khi đó P=

n
k
k
M
1=
nên sẽ đủ nếu ta chỉ ra đợc M
k

l tập lồi. Giả sử
1
p
,
2
p
M
k
. Vậy thì
)(
1
pg
k
0 v
)(
2
pg
k
0. Từ đây, cùng với tính
lồi của
)( pg
k
ta suy ra đợc
)(
21
pbpag
k
+

)(

1
pag
k
+
)(
2
pbg
k
0, trong đó a+b=1,
v
a,b>0. Vậy
)(
21
pbpa +
cũng thuộc M
k
, hay M
k
l tập lồi (đ.p.c.m).
b) Gọi
*p l nghiệm ton cục. Giả sử
0
p
l nghiệm địa phơng với *p
0
p
.Vậy thì
*)( pQ
)(
0

pQ
. Suy ra với mọi cặp giá trị a,b>0 thỏa mãn a+b=1 có:

24

)*(
0
pbpaQ +
a *)( pQ +b
)(
0
pQ
<a
)(
0
pQ
+b
)(
0
pQ
=
)(
0
pQ

Cho
a0 thì
)*(
0
pbpa +

0
p
. Nh vậy, trong mọi lân cận U của
0
p
ta luôn tìm
đợc ít nhất một điểm
p =
)*(
0
pbpa +
có )( pQ <
)(
0
pQ
v điều ny mâu thuẫn với giả
thiết
0
p
l nghiệm địa phơng. Vậy điều giả sử l sai (đ.p.c.m).
c) Giả sử bi toán tối u lồi (1.1) có hai nghiệm tối u
1
p
,
2
p
, tức l:

)(

1
pQ
=
)(
2
pQ
= Q
min

Nh vậy thì với mọi cặp giá trị
a,b>0 thỏa mãn a+b=1 ta sẽ có từ tính lồi của )( pQ :

)(
21
pbpaQ +
a
)(
1
pQ
+b
)(
2
pQ
=
)(
1
pQ
=Q
min
(1.5)

Ngoi ra, do
1
p
l nghiệm tối u nên còn phải có:

)(
21
pbpaQ +

)(
1
pQ
=Q
min
(1.6)
Suy ra phải có
)(
21
pbpaQ +
=Q
min
. Điều ny chỉ rằng
1
pa
+
2
pb
cũng l nghiệm tối
u, hay tập của tất cả các nghiệm tối u
*p l một tập lồi (đ.p.c.m).

d) Do
P l tập đóng, nên hiển nhiên khi không rỗng v giới nội, bi toán sẽ có nghiệm.
Giả sử rằng bi toán có hai nghiệm
1
p

2
p
. Nếu )( pQ l hm lồi chặt thì bất đẳng thức
(1.5) sẽ đợc thay bằng

)(
21
pbpaQ +
<Q
min

v điều ny mâu thuẫn với (1.6). Vậy điều giả sử l sai.
S
Gọi đờng đồng mức
)( pQ =k l quỹ tích tất cả các điểm p m tại đó hm )( pQ
của bi toán tối u lồi (1.1) có cùng một giá trị
k. Hình 1.9 minh họa hai đờng đồng
mức của
)( pQ ứng với hai giá trị khác nhau k
2
>k
1
. Nếu )( pQ khả vi, tức l tồn tại
vector gradient, ký hiệu bởi grad

)( pQ , thì do tính chất của vector gradient l luôn
vuông góc với đờng đồng mức v chỉ chiều tăng giá trị của hm, nên tại điểm
1
p
trên
đờng đồng mức
)( pQ =k
1
, hai vector grad
)(
1
pQ
v (
2
p

1
p
) phải tạo với nhau một
góc không lớn hơn 90
(hình 1.9). Điều ny chỉ rằng:
Nếu có
)(
1
pQ
<
)(
2
pQ
thì cũng phải có (

2
p

1
p
)
T
grad
)(
1
pQ
0.