Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (chuyên) năm học 2015-2016 Sở GD-ĐT TP Hồ Chí Minh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN THI: TOÁN CHUYÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 12 tháng 6 năm 2015
(Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1. (1,5 điểm)
Cho hai số thực , thỏa điều kiện , .
Tính giá trị của biểu thức:
Câu 2. (2,5
điểm)
a) Giải phương trình:
b)
Chứng minh rằng: với mọi số nguyên , , .
Câu 3. (2 điểm)
Cho hình bình hành . Đường thẳng qua vuông góc với cắt đường thẳng qua vuông
góc với tại . Đường thẳng qua vuông góc với cắt đường trung trực của tại . Hai
đường thẳng và cắt nhau tại . Tính tỉ số .
Câu 4. (1 điểm)
Cho hai số dương , thỏa mãn điều
kiện: .
Chứng minh rằng:
Câu 5. (2 điểm)
Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn . Gọi là trung điểm của cạnh và
là điểm đối xứng của qua . Đường thẳng qua vuông góc với cắt đường thẳng qua
vuông góc với tại . Kẻ đường kính . Chứng minh rằng:
a) Chứng minh
b) đi qua trung điểm của đường cao của tam giác .
Câu 6. (1 điểm)
Mười vận động viên tham gia cuộc thi đấu quần vợt. Cứ hai người trong họ chơi với
nhau đúng một trận. Người thứ nhất thắng trận và thua trận, người thứ hai thắng
trận và thua trận, , người thứ mười thắng trận và thua trận. Biết rằng trong một trận đấu

quần vợt không có kết quả hòa. Chứng minh rằng:
HẾT
Hướng dẫn giải
/>a
b
ab = 1
a b+ ≠ 0
( ) ( ) ( )
P
a b
a b a b
a b a b a b
     
= + + + + +
 ÷  ÷  ÷
     
+ + +
3 3 3 4 2 2 5
1 1 1 3 1 1 6 1 1
x x x x+ + = +
2
2 3 3 3
( ) ( ) ( )
abc a b b c c a− − −
3 3 3 3 3 3
7M
a
b
c
A BCD

C
CD
A
BD
FB
A B
A C
E
BC
EF
K
KE
KF
a
b
a b+ ≤ 1
a
a
a b
− − ≤ −
2
3 9
4 4
A BC
O( )
M
BC
N
M
O

A
A N
B
BC
D
A E
BA BC BD BE
=
. 2 .
CD
A H
A BC
x
1
y
1
x
2
y
2
x
10
y
10
x x x y y y+ + + = + + +
2 2 2 2 2 2
1 2 10 1 2 10

Câu 1.
Với , , ta có:

Vậy , với , .
Câu 2a.
Điều kiện:
Với điều kiện trên, phương trình trở thành:
•
•
So với điều kiện ban đầu, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là:
/>ab =1
a b+ ≠ 0
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
a b
a b
a b
P
a b ab a b ab a b ab
+
+
+
= + +
+ + +
2 2
3 3
3 3 4 2 5

3
6
( )
( )
( )
( )
( )
a b
a b
a b
a b a b a b
+
+
+
= + +
+ + +
2 2
3 3
3 4 5
3
6
( )
( )
( ) ( )
a b
a b
a b a b a b
+
+ −
= + +

+ + +
2 2
2 2
2 4 4
3
1 6
( )
( )
( )
( )
a b a b a b
a b
+ − + + + +
=
+
2
2 2 2 2
4
1 3 6
( ) ( ) ( )
( )
a b a b a b
a b
+ − + + + + +
=
+
2 2 2 2 2 2
4
1 2 3 6
( ) ( )

( )
( )
( )
a b a b a b
a b a b
+ + + + + +
= =
+ +
2 2
2 2 2 2 2 2
4 4
4 4 2
( )
( )
( )
( )
a b
a b ab
a b a b
 
+
+ +
 
= = =
+ +
2
2
2
2 2
4 4

2
1
P = 1
ab =1
a b+ ≠ 0
x ≥ −3
( ) ( )
(
)
(
)
x x x x− + + + =
2
2
2 3 3 3 0
( ) ( )
(
)
( )
(
)
(
)
x x x x x x⇔ − + − + + + =
2
2
2 2 3 3 3 0
(
)
(

)
x x x x x x⇔ − + − + − + =2 3 3 3 0
(
)
(
)
x x
x x x x
x x

+ =

⇔ − + − + = ⇔

+ =

3 (1)
3 2 3 0
3 2 (2)
x
x x
x
x x x
x x x x
x

≥


+

 

≥ ≥
+
  
=

+ = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =
  

+ = − − =
 

 

−

=




2 2
0
1 13
0 0
1 13
(1) : 3
2
3 3 0

2
1 13
2
x
x x
x
x x x
x x x x
x

≥

 
≥ ≥
  

=
+ = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =
  

+ = − − =
 

 

= −





2 2
0
0 0
1
(2) : 3 2 1
3 4 4 3 0
3
4
S
 
+
 
=
 
 
 
1 13
1;
2
Câu 5.
a) Chứng minh BA . BC = 2BD . BE
• Ta có: ,


(1)
• Ta có:

(c-g-c)

Ta lại có: ,

và

(2)
• Từ (1) và (2) suy ra (g-g)

b) CD đi qua trung điểm của đường cao AH của ∆ ABC
• Gọi

là giao của và .
Ta có (cmt)

(c-g-c)

. Mà (cùng chắn )

⇒

là trung điểm .
• Gọi là giao điểm của và .
có (HQ định lí Te-let) (3)
có (HQ định lí Te-let) (4)
Mà (là trung điểm ) (5)
• Từ (3), (4) và (5) suy ra là trung
điểm .
/>·
·
DBA A BC+ =
0
90

·
·
EBM A BC+ =
0
90
·
·
DBA EBM⇒ =
ONA OME∆ = ∆
·
·
EA N MEO⇒ =
·
·
·
DA B BAE EA N+ + =
0
90
·
·
·
BEM BA E MEO+ + =
0
90
·
·
DA B BEM⇒ =
BDA BME∆ ∆#
. . .
BD BA BC

BD BE BA BM BA
BM BE
⇒ = ⇒ = =
2
. .BD BE BA BC
⇒ =
2
F
BD
CA
. .BD BE BA BM
=
BD BM
BA BE
⇒ =
BDM BA E⇒ ∆ ∆#
·
·
BMD BEA⇒ =
·
·
BCF BEA=
»
A B
·
·
BMD BCF⇒ =
/ /MD CF D⇒
BF
T

CD
A H
BCD∆
/ /T H BD
T H CT
BD CD
⇒ =
FCD∆
/ /T A FD
T A CT
FD CD
⇒ =
BD FD=
D
BF
T A T H=
T
⇒
A H
A
B C
M
O
N
D
H
E
F
T