Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Chuyên) năm học 2015-2016 trường THPT Chuyên Sư Phạm, Hà Nội

ĐỀ THI TUYỂN SINH
VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2015
Môn thi: Toán
(Dùng cho học sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)
Thời gian: 120 phút
Câu 1: (2,5 điểm)
1. Cho a ≥ 0, a # 1. Rút gọn biểu thức
2. Cho x, y thỏa mãn 0< x <1, 0 < y <1 và

Tính giá trị của biểu
thức
Câu 2: (2 điểm)
Một xe tải có chiều rộng 2,4m và chiều cao 2,5m muốn đi qua một cái cổng có
hình parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng
(đỉnh parabol) tới mỗi chân cổng là m (bỏ qua độ dầy của cổng)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi parabol (P) với a < 0 là hình biểu diễn
cổng mà xe tải muốn đi qua. Chứng minh a = -1
2. Hỏi xe tải có thể qua cổng được không? Tại sao?
Câu 3: (1,5 điểm)
Cho 2 số nguyên a,b thỏa mãn
Chứng minh a và b là hai số chính phương liên tiếp.
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC). M là trung điểm của cạnh BC. O là tâm của
đường tròn ngoại tiếp tam giác. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng
quy tại H. Các tiếp tuyến với (O) tại B,C cắt nhau tại S. Gọi X,Y lần lượt là giao điểm
của đường thẳng EF với các đường thẳng BS, AO. Chứng minh rằng:
1.
2. Hai tam giác SMX và DHF đồng dạng
3.
Câu 5: (1 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có các đỉnh là các điểm nguyên (một

điểm được gọi là điểm nguyên nếu hoành độ và tung độ của điểm đó là các số
nguyên).
Chứng minh rằng hai lần diện tích của tam giác ABC là một số nguyên.
Hướng dẫn giải
3
3
1
6 4 2. 20 14 2 ( 3) 3 1 : 1
2( 1)
a
S a a a
a
 
−
= − + + + − − −
 
−
 
1
1 1
x y
x y
+ =
− −
2 2
P x y x xy y= + + − +
2 5
2
axy =
2 2

1 2( )a b ab a b+ + = + +
MX BF⊥
EF BC
FY CD
=
Câu 1: (2,5 điểm)
1. Cho a ≥ 0, a # 1. Rút gọn biểu thức
2. Cho x,y thỏa
mãn 0< x <1, 0 < y <1 và

Tìm giá trị của biểu
thức
Giải:
1.
2.
Ta có .
Thay Ta có

Nếu xy> 1/3 Thì P
= 2
Nếu xy < 1/3n thì P
= 3xy
Câu 2: (2 điểm)
Một xe tải có chiều
rộng 2,4m và chiều cao 2,5m muốn đi qua một cái cổng có hình parabol. Biết khoảng
cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng (đỉnh parabol) tới mỗi
chân cổng là m (bỏ qua độ dầy của cổng)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi parabol (P) với a < 0 là hình biểu diễn
cổng mà xe tải muốn đi qua. Chứng minh a = -1
2. Hỏi xe tải có thể qua cổng được không? Tại sao?

1. Áp dụng định lý py ta go ta có /y/ = 4 thay x = 2
4 = /a/4 suy ra a= -1 ta được y = - x
2

2. Thay x= 1.2 ta có y = 1.44
Khoảng cách còn lại 4- 1.44 = 2.56 vậy ô tô đi qua được
Câu 3: (1,5 điểm)
Cho 2 số nguyên a,b thỏa mãn

là số chính
phương suy ra a
3
3
1
6 4 2. 20 14 2 ( 3) 3 1 : 1
2( 1)
a
S a a a
a
 
−
= − + + + − − −
 
−
 
1
1 1
x y
x y
+ =

− −
2 2
P x y x xy y= + + − +
( ) ( ) ( )
( )
3
3
1
6 4 2. 20 14 2 ( 3) 3 1 : 1
2( 1)
2 1
2 2 2 2 1 :
2 1
2 2 4
a
S a a a
a
a a
a
a
 
−
= − + + + − − −
 
−
 
 
− +
 ÷
= − + + −

 ÷
−
 
= + =
( )
1 2 1 3
1 1
1 3
2
x y
x y xy
x y
xy
x y
+ = ⇔ + = +
− −
+
⇔ + =
1 3
2
xy
x y
+
+ =
( )
2
2 2
2 2
3
1 3 1 3 1 3 1 3

3
2 2 2 2
1 3 1 3
2 2
P x y x xy y x y x y xy
xy xy xy xy
xy
xy xy
= + + − + = + + + −
+ + + −
   
= + − = +
 ÷  ÷
   
+ −
= +
2 5
2
axy =
( )
2 2 2 2
2
1 2( ) 1 2 2 2 4
1 4
a b ab a b a b ab a b a
a b a
+ + = + + ⇔ + + − + − =
⇔ − + =
là số chính phương a = x
2

(x là số nguyên)
Vậy a và b là hai số chính
phương liên tiếp
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC). M là trung điểm của cạnh BC. O là tâm của
đường tròn ngoại tiếp tam giác. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng
quy tại H. Các tiếp tuyến với (O) tại B,C cắt nhau tại S. Gọi X,Y lần lượt là giao điểm
của đường thẳng È với các đường thẳng BS,AO. Chứng minh rằng:
1.
2. Hai tam giác SMX và DHF đồng dạng
3.
1. Ta có BE, CF, AD là ba đường
cao .
Suy ra các tứ giác BFHD, BFEC , BFEC nội tếp Góc ACB = góc XFB = góc FBX
( cùng chắn cung AB, góc trong bằng
góc ngoài đối diện) . Tam giác BXF cân suy ra XF = XB. Vì M là trung điểm của BC
nên FM là trung tuyến suy ra FM = MB.Vậy XM là trung trực BF hay
2 Xét hai tam giác FHD và tam giác XMS
ta có góc DFH = góc SXM ( vì cùng phụ với hai góc bằng nhau).
Góc FDH = góc FBH = góc BSM ( cùng phụ với hai góc bằng nhau)
Vậy . Hai tam giác SMX và DHF đồng dạng
3 Ta chứng minh được tam giác AFE đồng dạng tam giác ACB và tam giác AFY
đồng dạng tam giác
ADC suy ra
3.
Câu 5: (1 điểm)
Trong mặt phẳng tọa
độ Oxy, cho tam
giác ABC có các
đỉnh là các điểm

nguyên (một điểm
được gọi là điểm
nguyên nếu hoành
độ và tung độ của
điểm đó là các số
nguyên).
Chứng minh rằng
hai lần diện tích của
tam giác ABC là
một số nguyên
( )
( )
2
2 2 2
2
1 4 1 2
1
x b x x b x
b x
− + = ⇔ − + =
⇔ = −
MX BF⊥
EF BC
FY CD
=
MX BF⊥
EF BC
FY CD
=
Đặt A(x

2,
y
2
). B(x
3
,y
3
). C(x
1,
y
1
) Thì P có hoành độ là x
1
. D có hoành độ x
2
, N có hoành
độ là x
3
. R có tung độ y
2
. S có tung độ là y
1
. T có tung độ là y
3.
S
ABC
= S
CBNP
- S
ABND

- S
ADPC

2 S
ABC
= x
1
(y
2
-y
1
) + y
3
(x
2
-x
1
)
Vì các tọa độ là các số nguyên vậy diên tích hai lần diện tích tam giác ABC là số
nguyên
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
(
( ) ( )
3 2 3 1 3 2 3 2 2 1 2 1
3 3 3 1 2 1 2 3 3 3 3 2 2 3 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1
3 1 2 1 3 2 2 1
1 2 1 3 2 1
1 1 1
2 2 2

1
2
1
)
2
1 1
2 2
y y x x y y x x y y x x
y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x
y x y x y x y x
x y y y x x
= + − − + − − + −
= − − + − + − + − + − +
= − − + +
= − + −