Phân bố thống kê Bose - Einstein biến dạng q với trạng thái ngưng tụ của vật liệu siêu dẫn

Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp
Trờng ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT




1

Lời cảm ơn

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sau đại học, Ban chủ
nhiệm và thầy cô giáo khoa Vật lý trờng Đại học S phạm Hà Nội 2 đã tạo
mọi điều kiện và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn. Đặc
biệt tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.
TS Lu Thị Kim Thanh đã tận tình hớng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi trong
suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè, những ngời
đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn. Mặc dù
tôi đã rất cố gắng, song bản luận văn này không tránh khỏi những hạn chế và
thiếu sót. Rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn.

Tháng 11 năm 2011
Tác giả

đỗ thị thắm

Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp
Trờng ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT




2

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này
là trung thực và không trùng lập với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan
rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã đợc cảm ơn và thông
tin trích dẫn trong luận văn đã đợc chỉ rõ nguồn gốc.

Tác giả

đỗ thị thắm

Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp
Trờng ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT




3

Mục lục


Trang
Li cm n

1
Li cam oan
2
Mc lc
3
Mở đầu

4
Nội dung

6
Chng 1: Phân bố thống kê Bose Einstein v nhit ngng t
6
1.1. Thống kê Bose Einstein
6
1.2. Thống kê Bose Einstein theo lý thuyết trng lng t
9
1.2.1. Biu din s ht ca dao ng t iu hòa tuyến tính
9
1.2.2.Toán t sinh ht v hy ht Boson
1.2.3. Thống kê Bose - Einstein theo lý thuyết trng lng t

17
19
1.3 Nhit ngng t Bose Einstein
21
Chng 2: Phân bố thống kê Bose Einstein bin dng q v nhit
ngng t

29

2.1. Lý thuyết q - s
29
2.2 Thống kê Bose Einstein biến dng q
2.3 áp dng thống kê Bose Einstein bin dng q nghiên cu hin
tng ngng t Bose Einstein
33

35
Chng 3: Tính số nhit ngng t ca vt liu siêu dn Z
n

43
3.1. Tính số theo nhit ngng t Bose Einstein thông thờng
43
3.2. Tính số theo nhit ngng t Bose Einstein ph thuc thông
s bin dng q ca Z
n


44
Kết luận chung

57
Tài liệu tham khảo

58
Phụ lục

59

Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp
Trờng ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT




4


I. Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Đầu thế kỷ XX, Einstein sau khi xây dựng xong thống kê Bose -
Einstein, trên cơ sở đặc điểm của hệ các hạt đồng nhất Boson là số hạt ở trong
cùng một trạng thái có thể tùy ý chứ không nh các Fermion phải tuân theo
nguyên lý loại trừ Pauli. Ông đã tiên đoán có tồn tại một trạng thái vật chất
đặc biệt đó là trạng thái ngng tụ Bose - Einstein. Kể từ đó tiên đoán của
Einstein đã đợc ứng dụng giải thích các hiện tợng vật lý nh hiện tợng siêu
dẫn, siêu chảy và đã thu hút đợc nhiều nhà vật lý quan tâm. Từ thực
nghiệm các nhà vật lý đã tìm đợc nhiệt độ chuyển pha của một số vật liệu
siêu dẫn. Năm 2001 ba nhà vật lý ngời Mỹ đã bằng thực nghiệm tạo ra trạng
thái ngng tụ với kim loại kiềm, cả ba nhà vật lý đã đợc trao giải Nobel. Phát
minh này đã mở ra các công nghệ mới cho khoa học.
Từ trớc đến nay, các kết quả nghiên cứu bằng lý thuyết để tính nhiệt
độ ngng tụ đều dùng phân bố thống kê Bose - Einstein. Thống kê này là áp
dụng cho hệ khí lý tởng nên khi ta áp dụng cho hệ khí thực thì có sự sai khác
giữa lý thuyết và thực nghiệm. Để giải quyết vấn đề này, chúng tôi đã dùng
phơng pháp lý thuyết trờng lợng tử để xây dựng phân bố thống kê Bose -
Einstein biến dạng q và áp dụng phân bố thống kê Bose - Einstein biến dạng q
này để tìm nhiệt độ ngng tụ cho các vật liệu siêu dẫn. Dới sự hớng dẫn của

cô giáo PGS- TS - Lu Thị Kim Thanh, chúng tôi đã thực hiện luận văn Phân
bố thống kê Bose - Einstein biến dạng q với trạng thái ngng tụ của vật
liệu siêu dẫn.
2. Mục đích nghiên cứu
- Xây dựng hàm phân bố Bose - Einstein trong trờng hợp biến dạng.


Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp
Trờng ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT




5

- Nghiên cứu trạng thái ngng tụ Bose - Einstein, tìm đợc giá trị của
nhiệt độ ngng tụ Bose - Einstein đối với vật liệu siêu dẫn cụ thể và so sánh
với kết quả chính tắc.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Xây dựng thống kê Bose - Einstein bằng phơng pháp lý thuyết trờng
lợng tử.
- áp dụng thống kê Bose - Einstein biến dạng q nghiên cứu trạng thái
ngng tụ Bose - Einstein.
- Tính nhiêt độ ngng tụ của vật liệu siêu dẫn kẽm.
4. Đối tợng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
- Các hạt có Spin nguyên - các hạt Boson và vật liệu siêu dẫn.
5. Phơng pháp nghiên cứu
- Phơng pháp của lý thuyết trờng lợng tử.
- Phơng pháp giải tích toán học.
- Phơng pháp tính số bằng phần mềm Mathematica 7.0.

6. Những đóng góp mới của đề tài
Đề tài sau khi hoàn thành sẽ:
- Xây dựng đợc lý thuyết hàm phân bố thống kê Bose - Einstein trong
trờng hợp biến dạng q.
- Tính đợc nhiệt độ ngng tụ Bose - Einstein phụ thuộc vào thông số
biến dạng q và so sánh với kết quả chính tắc.








Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp
Trờng ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT




6

II. Nội dung
Chơng 1
Phân bố Thống kê Bose Einstein và nhiệt độ ngng tụ
Trong chơng 1, chúng tôi trình bày việc xây dựng phân bố thống kê
Bose Einstein bằng hai phơng pháp Gibbs và lý thuyết trờng lợng tử. áp
dụng phân bố thống kê Bose - Einstein để nghiên cứu về nhiệt độ ngng tụ
Bose Einstein.
1.1. Thống kê Bose

Einstein.
Để xây dựng phân bố thống kê Bose - Einstein này đồng nghĩa với việc
ta cần tìm công thức tính số hạt trung bình trong mỗi trạng thái lợng tử đơn
hạt.
Để tính đợc số hạt trung bình đó thì ta cần tìm đợc xác suất trạng thái
của cả hệ với điều kiện

( 1,2, )
i
i
N N const i


Trong đó
i
N
là số hạt ở trạng thái lợng tử
i
và
N
là số hạt của
cả hệ ta xét.
Xét mô hình hệ mở tổng quát tức là hệ có thể trao đổi cả năng lợng và
vật chất với môi trờng. Số hạt của hệ có thể nhận giá trị từ 0 đến

với xác
suất khác nhau. Khi hệ cân bằng nhiệt động với môi trờng thì số hạt của hệ
chỉ thăng giáng không đáng kể xung quanh giá trị trung bình và số hạt trung
bình đó đợc xem là số hạt thật của hệ.

Ta có thể xét hệ điện tử nằm trong những điều kiện cân bằng nhiệt động
với số điện tử có thể thay đổi (thoát qua mặt phân cách ra ngoài hoặc từ ngoài
vào), miễn là số điện tử trung bình bằng
N
. ở đây thì ta sẽ sử dụng phân bố
chình tắc lớn hay phân bố Gibbs suy rộng để tính.


Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp
Trờng ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT




7

Theo phân bố Gibbs suy rộng, ta có xác suất của trạng thái

,
k
N N
là
trạng thái của hệ với số hạt tổng cộng của hệ là
N
trong đó có
k
N
hạt ở trạng
thái
k

là:



,
.
,
1
.
N N
k
k
E N
kT
N N
gr
e
Z





(1.1)
Trong đó
+
gr
Z
là tổng thống kê suy rộng.
+

,
k
N N
E
là năng lợng ứng với trạng thái

,
k
N N
và
đợc tính bằng:

,
. .
k
k k i i
N N
i k
E N N





(1.2)
Với
i

là năng lợng của một hạt ở trạng thái đơn hạt i.

i k



là ký hiệu cách lấy tổng theo các chỉ số
i k
với điều
kiện ràng buộc:
i k
i k
N N N



(1.3)
Thay (1.2) vào (1.1) ta đợc:



1 1
,
1
.
k k k i
i k
k
N N
kT kT
N N
gr

e
Z








Đặt
1
kT


, ta có:


,
1
.
k k k i
k
N N
N N
i k
gr
e e
Z

(1.4)
Ta có

,
. .
k k i i
N N
k
i k
k k
N N N
E N
gr
N k N k
Z e e

. .
. .
k k i i i k
k k i i
i k
i k
k k
N N N N
N N
N k N k
e e

. . .
k k i i i i
k i i
N N N
N k N N
i k i
e e e






(1.5)
Thay (1.5) vào (1.4) ta đợc:


Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp
Trờng ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT

8





,
.
k k k i
k
i i
i
N N
i k
N N
N
N
i
e e
e

Ta sẽ tìm xác suất
k
N
hạt nằm trong trạng thái
k
là

k
N

bằng cách
cộng tất cả các xác suất

,
k
N N

theo mọi tập hợp các số
i
N

( 1,2, )
i

cùng
chứa

k
N
.
Tức là:



.
.
k k i i
i
k
i i
i
N N
N
i k
N
N
N
i
e e
e

Hoán vị phép lấy tổng và tích ở tử số ta đợc:






.
. .
k k i i
k k
i
k
i i k k
i k
N N
N
N
i k
N
N N
N N
i
e e
e

e e














Số hạt trung bình trong trạng thái lợng tử
k
là:




.
k k
k
k
k k
k
k
N

k
N
k
k
N
N
N
N
N e
N N
e










Từ đó suy ra:


.
1
ln
k k
k
N

k
N
N e







(1.6)
Nh vậy thì để tính đợc số hạt trung bình trong trạng thái lợng tử
k

với năng lợng
k

ta cần tính tổng ở vế phải của (1.6).
Thật vậy, đối với các hạt Boson ta có
0,1,2
k
N

nên:


. .
0
k k k k
k k

N N
N N
e e







Để cho tổng này hội tụ thì
,
k
k


. Tức là
min


(1.7)


Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp
Trờng ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT




9

Do đó:

1
.
0
1
k k k
k
N
N
e e










Thay vào (1.6) ta đợc:



1 1
ln 1
1
k

k
k
N e
e













1
1
k
kT
e




(1.8)
Biểu thức này gọi là phân bố Bose - Einstein. Biểu thức này chỉ đúng
trong trờng hợp các mức năng lợng
k

không suy biến. Nếu mức
k

suy
biến và bội suy biến là

k
g

tức là ứng với năng lợng
k

có

k
g

trạng thái
lợng tử khác nhau thì khi đó (1.8) đợc viết lại là:


1
k
k
k
kT
g
N
e

(1.9)
1.2. Thống kê Bose Einstein theo lý thuyết trờng lợng tử.
1.2.1. Biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính.
Dao động tử điều hòa một chiều là chuyển động của một chất điểm có
khối lợng m dới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi
f kx
dọc theo một
đờng thẳng nào đó.
Toán tử

A
là một quy tắc hay một phép toán mà nhờ nó ta có thể biến
đổi hàm

thành hàm

. Ta nói rằng toán tử

A
tác dụng lên hàm

cho ta
hàm

và viết rằng

A


.
Ta có biểu thức toán tử Hamiltonian của dao động tử điều hòa một
chiều [1], [6]:

2
2
2



2 2
x
p m
H x
m


(1.10)
Trong đó

x q x
là toán tử tọa độ.


Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp
Trờng ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT

10



x
d
p p i
dx


là toán tử xung lợng.
Giữa

p
và

q
thỏa mãn hệ thức giao hoán:




,
d d d d
p q pq qp i x x i i x i x
dx dx dx dx

, ( )

,
d d
p q i x i x i
dx dx
p q i





(1.11)
Ta có biểu thức toán tử Hamiltonian theo

p
và

q
nh sau:

2
2
2

2 2
x
p m
H x
m


(1.12)
Ta đặt:



2

2
m
p i a a
q a a
m

Khi đó biểu thức toán tử Hamiltonian theo

a
và

a

nh sau:


2
2 2
2 2
2 2

1


2 2 2 2 2 2
x
p m m m
H x i a a a a
m m m

2 2
1

2 2
1

2 2
1

2 2
2 2
a a a a
a a a a a a a a
aa a a

2
aa a a




(1.13)
Từ biểu thức của

p
và

q
ta tính đợc

a
và

a

nh sau:

Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp
Trờng ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT




11





2


2 2

2

2
2


2


2
p

a a ip
m
m
m
p i a a
i
q m
q a a a a q
m
m
m p
a q i
m
m p
a q i
m

Hệ thức giao hoán giữa

a
và

a

nh sau:

,
a a aa a a







2 2 2 2

m p m p m p m p
q i q i q i q i
m m m m








1

2 2 1
2
i
i pq i qp pq qp





Suy ra

, 1
a a

(1.14)
Từ đó biểu thức toán tử Hamiltonian có dạng:

1


2
H a a







(1.15)
Ta đặt


N a a


[1], [5] (1.16)
Khi đó ta có các hệ thức giao hoán sau:
+



, 1.
N a Na aN a aa aa a a a aa a a a

Suy ra



1
Na a N

(1.17)
+



, .1
N a Na a N a aa a a a a aa a a a a





Suy ra



1
Na a N

(1.18)


Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp
Trờng ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT




12

Ký hiệu
n
là véc tơ riêng của toán tử

N
ứng với trị riêng n thì phơng
trình hàm riêng, trị riêng khi đó là:


N n n n

(1.19)


n N n n n n n n n

Hay


n N n n a a n
n
n n n n


(1.20)
Ta có :


2
2

0
0
n
n
n a a n a r d r
n n r dr

nên
0
n

(1.21)
Vậy các trị riêng của toán tử

N
là các số không âm.
Cho

a
tác dụng lên véc tơ trạng thái
n
ta thu đợc véc tơ trạng thái

a n
. Sau đó tác dụng toán tử

N
lên véc tơ này ta có:





1 1 1
Na n a N n aN n a n a n n n a n

(1.22)

Nghĩa là véc tơ trạng thái

a n
cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán
tử

N
ứng với trị riêng

1
n

.
Do đó
2 3

; a n a n
cũng là véc tơ trạng thái của toán tử

N
ứng với trị
riêng

2 , 3 ,
n n

Tơng tự cho toán tử

N
tác dụng lên véc tơ trạng thái

a n

ta thu
đợc:





1 1 1
Na n a N n a N n a n a n n n a n


(1.23)
Nghĩa là véc tơ trạng thái

a n

cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán
tử

N
ứng với trị riêng

1
n

.

Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp
Trờng ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT




13

Do đó
2 3

; a n a n

cũng là véc tơ trạng thái của toán tử

N
ứng với trị
riêng

2 , 3
n n

Vậy nếu
n
là một véc tơ riêng của toán tử

N
ứng với trị riêng n thì

p
a n
cũng là một véc tơ riêng của toán tử

N
ứng với trị riêng
n p


1,2,3
p
.
Từ đó ta thấy khi
n
là một trị riêng của toán tử

N
thì chuỗi các số
không âm
1, 2, 3,
n n n

cũng là trị riêng của toán tử

N
. Vì chuỗi này giảm
dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất. Khi đó:

min

0
a n

(1.24)
Do
min

0
a n

thì đó là véc tơ trạng thái ứng với trị riêng
min min
1
n n
trái
với giả thiết n
min
là trị riêng nhỏ nhất.
Từ (1.15) ta có:
min min


0
a a n N n


(1.25)
Theo định nghĩa thì
min min min

N n n n

(1.26)
Từ (1.25) và (1.26) ta thấy trị riêng nhỏ nhất của toán tử

N
là n
min
có
giá trị bằng 0. Véc tơ trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất của

N
đợc ký hiệu
là
0
. Véc tơ trạng thái này thỏa mãn điều kiện

0 0
a

.
Ta có thể rút ra các định lý sau:
+ Các trị riêng của toán tử

N
là các số không âm.
+ Nếu
n
là một véc tơ riêng của toán tử

N
ứng với trị riêng
n

thì

p
a n
cũng là một véc tơ riêng của toán tử

N
ứng với trị riêng
n p


1,2,3
p
và

p
a n

cũng là một véc tơ riêng của toán tử

N
ứng với trị riêng
n p
(nếu chúng khác 0).

Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp
Trờng ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT




14

+ Trị riêng nhỏ nhất của toán tử

N
là n
min
có giá trị bằng 0. Véc
tơ trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất của

N
đợc ký hiệu là
0
. Véc tơ
trạng thái này thỏa mãn điều kiện

0 0
a

.
Ta có:
+

0

a

tỷ lệ với véc tơ riêng
1
của

N
ứng với trị riêng
1
n

.
Thật vậy ta có:

1 1
N n
(i)
Mà

0
a

là một véc tơ riêng của toán tử

N
ứng với trị riêng
0 1 1
,
tức là

0 1. 0
Na a


(ii)
Từ (i) và (ii) ta thấy:

1
là một véc tơ riêng của toán tử

N
ứng với trị riêng 1.


0
a

là một véc tơ riêng của toán tử

N
ứng với trị riêng 1.
Vì vậy

0
a

phải tỷ lệ với véc tơ riêng
1
của toán tử

N
ứng với trị
riêng
1
n

.

2

0
a

tỷ lệ với véc tơ riêng
2
của toán tử

N
ứng với trị riêng
2
n

và tơng tự thì

0
n
a

tỷ lệ với véc tơ riêng

n
của toán tử

N
ứng với trị
riêng
n
.
Mặt khác ta có:
1 1


2 2 2
H a a N N











0

0 0 0
2

0 0 0
2
H N
H E








vì

0 0 0 0
N


Nên:
0
là véc tơ riêng của

H
ứng với trị riêng
0
1
2
E

Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp
Trờng ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT




15


1
là véc tơ riêng của

H
ứng với trị riêng
1
1
1
2
E

n
là véc tơ riêng của

H
ứng với trị riêng
1
2
n
E n






.
Vậy các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lợng gián
đoạn với các giá trị cách đều nhau, hiệu số năng lợng giữa hai trạng thái kề
nhau luôn luôn bằng một lợng tử năng lợng


.

1
1 3
1
2 2
E

2
1 5
2
2 2
E








12 2 1
E E E



Nếu ta lấy gốc tính năng lợng là
0
E
thì có thể coi:

+ Trạng thái
0
là trạng thái không chứa lợng tử nào và đợc
gọi là trạng thái chân không.
+ Trạng thái
1
là trạng thái chứa 1 lợng tử.
+ Trạng thái
2
là trạng thái chứa 2 lợng tử.

+ Trạng thái
n
là trạng thái chứa
n
lợng tử.
Toán tử

N
có các giá trị nguyên không âm, cách nhau một đơn vị đợc
đoán nhận là toán tử số năng lợng.
Toán tử

a
khi tác dụng lên
n
cho một trạng thái tỷ lệ với
1
n

, do đó
đợc đoán nhận là toán tử hủy lợng tử năng lợng.
Toán tử

a

khi tác dụng lên
n
cho một trạng thái tỷ lệ với
1
n

, do
đó đợc đoán nhận là toán tử sinh lợng tử năng lợng.


Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp
Trờng ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT




16

Nếu ta tởng tợng rằng lợng tử năng lợng là một hạt thì toán tử

N

sẽ là toán tử số hạt,

a
sẽ là toán tử hủy hạt,

a

sẽ là toán tử sinh hạt, khi đó
trạng thái
n
với năng lợng
n
E


sẽ là trạng thái chứa n hạt, đó là biểu
diễn số hạt của dao động tử điều hòa.
Từ trên ta thấy:
+ Toán tử

a
khi tác dụng lên
n
cho một trạng thái tỷ lệ với
1
n

, tức là:


1
n

a n n


trong đó
n

đợc xác định từ điều kiện
chuẩn hóa.
Ta có:
,

n n
n N n n N n
n
n n



Theo điều kiện để cho các véc tơ là trực giao và chuẩn hóa:

,
1
,
0
m n
khi m n
m n
khi m n

thì
,
1
n n



Khi đó:


n n N n n a a n



Mặt khác:
*

1
n
n a n




Do đó

* 2 2
1 1 1 1
n n n n
n n n n n



Coi
n

là thực nên
n
n


. Suy ra

1
a n n n

(1.27)
+ Toán tử

a

tác dụng lên
n
cho một trạng thái tỷ lệ với
1
n

, tức là:


1
n
a n n



với
n

đợc xác định từ điều kiện chuẩn hóa.
Ta có:


1n n N n n a a n n aa n



Mặt khác:
*

1
n
n a n

Do đó
* 2


1 1 1 1
n n n
n n N n n a a n n aa n n n






Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp
Trờng ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT




17

Coi
n

là thực nên
2
1 1
n n
n n

.
Suy ra

1 1
a n n n


(1.28)
+ Đối với trạng thái chân không thì ta có tỷ lệ:

0
n
n a




Ta có:

1

0 0
n
n n
n a a a

1 2 2
0 0 0 1
2
0 1
0 1 2 1

1 1 2

2

1.2.3 !
1
!
n n n
n n n
n
n
n n
n n
n
n a a a a
n a
n n
n n n n n
n

Suy ra
1

0
!
n a
n


(1.29)
1.2.2. Toán tử sinh hạt và hủy hạt Boson.
Boson, đặt tên theo nhà vật lý ngời ấn Độ Satyendra Nath Bose, là một
trong hai loại hạt cơ bản trong tự nhiên (loại hạt kia là Fermion). Chúng là hạt
duy nhất tuân theo thống kê Bose - Einstein, nghĩa là chúng có thể nằm cùng
một trạng thái lợng tử (không tuân thủ nguyên lý Pauli). Theo lý thuyết

thống kê spin, chúng có spin lấy giá trị nguyên.
Theo trên thì ta đã tìm đợc các hệ thức giao hoán của toán tử sinh hạt
và toán tử hủy hạt là:



, 1

, , 0
a a
a a a a









Mở rộng các hệ thức này cho hệ nhiều hạt ở nhiều trạng thái khác nhau
nh sau:


Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp
Trờng ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT

18




,

, , 0
k l kl
k l k l
a a
a a a a










Vậy vấn đề đặt ra là ta sẽ xét xem là đối với các hạt Bose thì nó có tuân
theo các hệ thức giao hoán hay không?
Để giải quyết vấn đề này ta xây dựng véc tơ trạng thái của hệ hai hạt ở
hai trạng thái khác nhau là
k
và
l
:

0

0
k l
l k
kl a a
lk a a




với
0
là trạng thái chân không không chứa hạt nào.
Theo trên thì ta có:

k l l k
a a a a


do đó ta suy ra
kl lk

.
Do đó véc tơ trạng thái của hệ hai hạt đồng nhất có tính chất đối xứng
với phép hoán vị hai hạt.
Mà ta biết rằng những hạt đợc mô tả bởi hàm sóng đối xứng là những
hạt có spin nguyên, tức là các hạt Boson.

Vậy:
Các toán tử sinh hạt, hủy hạt Boson phải tuân theo hệ thức giao
hoán:


, 1

,

, , 0
k l kl
k l k l
a a
a a
a a a a














Ta đi tìm biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson

a

, hủy Boson

a

và toán tử số hạt

N
:
Bằng cách áp dụng liên tiếp (1.27) và (1.28) ta có các đẳng thức sau:


( 1)

aa n n n
a a n n n





Nh vậy các trị riêng của các tích những toán tử

aa

và

a a

lần lợt
bằng
1n
và
n
. Do đó ma trận của những toán tử này trong biểu diễn riêng
của chúng là những ma trận chéo.


Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp
Trờng ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT




19





1
mn
mn
aa n



và

mn
mn
a a n






1.2.3. Thống kê Bose Einstein theo lý thuyết trờng lợng tử.
Ta xuất phát từ biểu thức tính giá trị trung bình của đại lợng vật lý F
[1], [2], [5]:




( )
H N
Tr e F
F
Z



(1.30)
Trong đó Z là tổng trạng thái, xác định tính chất nhiệt động của hệ và
có dạng:

0
( )
H N H N
n
Z Tr e n e n






(1.31)
Với:
1
kT


trong đó:
k
: Là hằng số Boltzman
T: Là nhiệt độ của hệ
H: Là Hamiltonian của hệ
ở trên ta đã chọn mốc tính năng lợng
0
2
E

.
Khi đó

,
N n n H N


với

là năng lợng của một dao động tử.
Mặt khác ta lại có

N n n n

và điều kiện trực chuẩn là:
,m n
m n



Sử dụng các biểu thức trên ta có:





0 0 0
H N
N n

Z n e n n e n n e n








=

0 0
1
n n
n n
e n n e do n n






.


Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp
Trờng ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT

20

Ta thấy

0
n
n
e





là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội
là

e


và số hạng đầu tiên ứng với
0
n

có giá trị bằng 1.
Vậy:



1

1 1
e
Z
e e






(1.32)
Thay toán tử

F
bằng toán tử số dao động

N
vào công thức (1.30) ta có:







H N
Tr e N
N a a
Z

(1.33)
Trong đó:







0 0

H N H N
N
n n
Tr e N n e N n n e N n








=

0
n

n
n e n n






=

.2
0 0
0 2
n n
n n
e n n n e n e e







Đặt

x



Ta có: I =

. 2 3
0 0
. 0 2. 3. .
n
n x x x x nx
n n
e n e n e e e n e











2 3 2 3
1
2
2. 3. .
1
x x x nx x x x nx
n x
x x x
e e e n e e e e e
e e e e

Mà

1
2
1
1
1
n x
x x
x
e e e
e




Do đó


2 2
1 .
1
1 1

x x x x
x x
x
x x
e e e e
e e
I
e
e e









Suy ra:





2

1
H N
e
Tr e N

e










(1.34)


Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp
Trờng ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT




21

Thay (1.32) và (1.34) vào (1.33) ta có:

2 2
1 1
1

1
1 1
e e
e e
N
e e e
e e















Vậy:

1 1

1
1
kT
N
e
e







(1.35)
Đây là biểu thức tính số hạt trung bình ở trên cùng một mức năng lợng

đợc gọi là phân bố thống kê Bose - Einstein cho hệ đồng nhất các hạt
Boson.
1.3. Nhiệt độ ngng tụ Bose Einstein.
Ngng tụ Bose - Einstein hay ngng tụ Bose là hiện tợng chuyển pha
của các hạt Boson, trong đó một lợng lớn các hạt Boson cùng tồn tại trên một
trạng thái lợng tử, khi nhiệt độ nhỏ hơn một nhiệt độ chuyển pha.
Đối với mô hình khí lý tởng (không có tơng tác giữa các Boson), khi
ở nhiệt độ đạt đến không tuyệt đối (0 kelvin) tất cả các hạt Boson có thể cùng
tồn tại trên một trạng thái lợng tử với năng lợng thấp nhất. Đó chính là
ngng tụ Boson - Einstein. Bằng lý thuyết ngời ta đã chứng minh rằng tồn tại
nhiệt độ ngng tụ T

c
mà khi nhiệt độ của hệ T < T
c
thì hệ ở trạng thái BEC.
Đối với hệ khí Boson có tơng tác (mô hình khí thực), ngời ta đã
chứng minh một cách lý thuyết là tồn tại nhiệt độ chuyển pha, mà khí Boson
có thể ngng tụ. Những tiến bộ trong kỹ thuật làm lạnh và giam nguyên tử đã
cho phép thực nghiệm quan sát đợc hiện tợng ngng tụ Boson - Einstein
trong hệ khí liti, kali và natri.
ở nhiệt độ thấp khí Boson có tính chất khác hẳn khí Fecmi, vì các hạt
Boson không chịu sự chi phối của nguyên lý cấm Paoli nên ở nhiệt độ không


Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp
Trờng ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT




22

tuyệt đối tất cả các hạt đều có năng lợng
0


, do đó trạng thái cơ bản của
tất cả chất khí là trạng thái có năng lợng E = 0.
Khí Boson tuân theo quy luật phân bố thống kê Bose - Einstein, vì vậy
số hạt trong khoảng năng lợng
d

là :


.
dn N f d


(1.36)
Với

f d

là số các mức năng lợng trong khoảng

đến
d


.


N

là số hạt trung bình ở trên cùng một mức năng lợng

tức
hàm phân bố Bose - Einstein là :

exp 1
g
N
kT









(1.37)
Với
k
: Là hằng số Boltzman


: Là thế hóa học


g

: Là bội suy biến của các trạng thái lợng tử.
Theo quan điểm lợng tử các hạt Boson chứa trong thể tích V có thể
xem nh các sóng đứng De Broglie.
Ta có số sóng đứng có chiều dài (modun) của véc tơ sóng
k

từ
k
đến
k dk
:


2
2
2
k dk
f k dk


(1.38)
Theo giả thiết De Broglie ta có hệ thức giữa xung lợng
p

và véc tơ
sóng
k

là:
p k




, do đó (1.38) đợc viết lại nh sau:

2
2 3
2
p
f p dp Vdp



(1.39)
Mặt khác với các hạt phi tơng đối tính (tức là các hạt có vận tốc v <<c)
thì ta có:


Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp
Trờng ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT




23


2
2
2 3
2
2
2
2
2

2 2
2
p
m
m
p m dp d
m
p dp m d m d









Nên (1.39) đợc viết lại nh sau:

3
2 3
2
2
m V
f d d




(1.40)

Bởi vì các hạt có thể có các định hớng Spin khác nhau nên số trạng
thái khả dĩ ứng với cùng một giá trị của Spin s của hạt là g=2s+1. Bội suy biến

g

phụ thuộc vào Spin của hạt, nếu Spin của hạt bằng 0 chẳng hạn nh phân
tử
4
2
He
thì bội suy biến

g

=1.
Thay (1.37) và (1.40) vào (1.36) ta thu đợc số hạt trung bình có năng
lợng trong khoảng

đến
d


bằng:



1
3/2
2
2 3

2
.
4
1
kT
g m V
dn d
e








(1.41)
Lấy tích phân trong khoảng năng lợng từ 0 đến

, ta đợc tổng số hạt
của chất khí:



1
3
2
2
2 3
0 0

2
. .
4
1
kT
g m V
N N f d d
e










(1.42)
Số hạt

dn

trong khoảng năng lợng từ

đến
d


phải là số dơng,

vì vậy thế hóa học

phải thỏa mãn điều kiện
0


.
Nếu số hạt N là số cho trớc thì biểu thức (1.42) sẽ xác định đợc

và

là hàm nghịch biến của nhiệt độ, tức là:
0
T




[1], [6]. (1.43)


Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp
Trờng ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT




24

Thật vậy:

1
2
0
1
2
0
1
1
kT
kT
d
N
T
T e
N
T
d
e

Trên tử ta có:
1
1 1
2
2 2
2
0 0 0
1 1
1
kT
kT kT
kT
e
T kT

d d d
T T
e e
e

=

1
2
2
2
0
. .
1
1
kT
kT
e
d
kT
e

.
Dới dẫu ta có:

1
1 1
2
2 2
2
0 0 0
. .
1 1
1
kT
kT kT
kT
e
kT
d d d
e e
e

1
2

2
0
1 .
1
kT
kT
e
d
kT
e













.
Vậy:

1
2
2
0

1
2
2
0
. .
1
1
.
.
1
kT
kT
kT
kT
e
d
e
T T
e
d
e

, vì
0


và
0


cho nên ta thu đợc
0

, từ đó ta thấy
0
T




.


Đỗ Thị Thắm Luận Văn Tốt Nghiệp
Trờng ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K13 - VLLT&VLT




25

Khi nhiệt độ giảm thì

tăng, và đến nhiệt độ T
c
nào đó

sẽ đạt giá trị
cực đại bằng 0, vì
max
0 0

thay

=0 vào (1.42) và lấy tích phân ta
đợc:


1
3
2
2
2 3
0
2
4
1
c
kT
g m V
N d
e

(1.44)
Ta đặt
c
x
kT


, khi đó (1.44) có dạng:


1
3
2
2
2 3
0
2
4 1
c
x
g mkT V
x
N dx
e

(1.45)
Tính I=
1
2
0
1
x
x
dx
e



bằng phần mềm Mathemmatica 7.0 nh sau:
1
2
69
[ ,{ ,0, }, 12, 40]
1
2.31516 2.60406 10
x
x
NIntegrate x PrecisionGoal MaxRecursion
e
i

Thay giá trị của I =
69
2,31516 2,60406 10 i


vào (1.45) ta tính đợc:

2
2
3
2
3
3,31.
.
.
c
N
T
V
g mk





(1.46)
Đối với
4
He

có mật độ
3
. 0,12
N g
m
V cm




nhiệt độ T
c
cỡ 2,8K.
Nói chung đối với mọi chất khí Boson nhiệt độ T
c
rất nhỏ, tuy nhiên sự
tồn tại
c
T 0
có ý nghĩa rất quan trọng. Để hiểu đợc ý nghĩa của nó ta xét
khoảng nhiệt độ
c
0 T
T

, thế hóa học
0


với nhiệt độ

c
T
T

, số hạt có
năng lợng
0


là:



1
3
2
2
2 3
0
2
0
4
1
kT
g m V
N d
e